偏微分方程数值解试题参考答案

x ∈R n

2 ( Ax, x) ,

J ( x + x) = ϕ (1) = ϕ (0) + ( Ax, x) > J ( x ) ,因此 x 是 J ( x ) 的最小值点.

(4 分)

2 二（10 分）、对于两点边值问题： ⎨

dx dx a(u , v) = ⎰b

( p . + q u v)dx = ⎰b fvdx = f (v) , ∀ v ∈ H 1 (a , b )

dx dx a a

偏微分方程数值解

一（10 分）、设矩阵 A 对称正定，定义 J ( x ) = 1 ( Ax , x ) - (b , x ) ( x ∈ R n ) ，证明下

2

列两个问题等价：(1)求 x ∈ R n 使 J ( x ) = min J ( x ) ;(2)求下列方程组的解：Ax = b

解: 设 x ∈ R n 是 J ( x ) 的最小值点,对于任意的 x ∈ R n ,令

ϕ(λ) = J ( x + λx) = J ( x ) + λ( Ax - b , x) +

λ2

(3 分)

因此 λ = 0 是 ϕ(λ) 的极小值点 , ϕ ' (0) = 0 ,即对于任意的 x ∈ R n , ( Ax - b , x) = 0 ,特 0

别取 x = Ax - b ,则有 ( Ax - b , Ax - b ) =|| Ax - b || 2 = 0 ,得到 Ax = b . (3 分)

0 0

反 之 , 若

x ∈ R n

满 足

Ax = b

, 则 对 于 任 意 的 x

,

1

0 0 0

评分标准: ϕ(λ) 的表示式 3 分, 每问 3 分,推理逻辑性 1 分

⎧

d du ⎪Lu = - ( p ) + qu = f x ∈ (a, b )

⎪⎩ u (a) = 0, u (b ) = 0

其中 p ∈ C 1 ([a , b ]), p ( x ) ≥ min p ( x ) = p

x ∈[a,b ]

min

> 0, q ∈ C ([a , b ]), q ≥ 0, f ∈ H 0 ([a , b ])

建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的 Ritz 形式和

Galerkin 形式的变分方程。

解 : 设 H 1 = {u | u ∈ H 1 (a , b ), u (a ) = u (b ) = 0} 为求解函数空间 , 检验函数空间 . 取

v ∈ H 1 (a, b ) ,乘方程两端,积分应用分部积分得到

(3 分)

du dv

即变分问题的 Galerkin 形式.

(3 分)

1

h2+

h2=-1

(5分)

应用T ayloy展开得到,截断误差为h[∂u+∂u]+O(h4),其阶为O(h2)(3分)

A=,F=(4分)

0-1-11

(3)矩阵为

⎪,

⎪

B= ⎪

⎪ -14⎪⎭

-14-1

令J(u)=1a(u,u)-(f,u)=1⎰b[p(du)2+qu2-fu]dx,则变分问题的Ritz形式为22a dx

求u*∈H1(a,b),使J(u*)=m in J(u)

0u∈H

(4分)

评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题

⎧∂2u∂2u

⎪+

⎨∂x2∂y2

=-1,(x,y)∈G=(0,1)⨯(0,1)

⎪⎩u|∂G=0

（1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截

断误差的阶。

（2）取h=1/3，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解）（3）就取h=1/N的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。解:(1)区域离散x=jh,y=kh,差分格式为

j k

u

j+1,k -2u+u

jk j-1,k

u

j,k-1

-2u+u

jk j,k+1

244

12∂x4∂y4jk

(2)未知量为U=(u,u,u,u)T,矩阵形式为AU=F,其中

11122122

⎛4-1-10⎫⎛1⎫

⎪ ⎪

-140-1⎪1 1⎪

-104-1⎪9 1⎪

⎪ ⎪

⎝4⎭⎝⎭

解为u=1(1,1,1,1)T(3分)

18

⎛B -I ⎝-I

B

-I

-I

⎫⎛4-1⎫

⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪

B⎭⎝

(5分)

⎪ = a 四（20 分）、对于初边值问题 ⎪⎨ u ( x ,0) = ϕ ( x ), 0 < x < 1 τ

= a 应 用 T a y l o 展 开 得 到 , 误 差 主 项 为 1 ( ∂ u ) k τ - ah ( ∂ u ) k + O (τ 2 + h 4 ) , 阶 为 r τ

= a

δ 2 (θu k +1 + (1 - θ )u k ) , (3 分)

h 2 x 当 θ ≥ 1 格式恒稳定,当 θ < 1 ,稳定条件为 r ≤

评分标准:第 1 问 8 分,格式 4 分,截断误差 4.(2) 7 分,方程 4 分,解 3 分.(3)5 分, 形

式 3 分,B 的形式 2 分

⎧ ∂u ∂ 2u

, 0 < x < 1,0 < t ≤ T

∂t ∂x 2

⎪ u(0, t ) = u (1, t ) = 0,0 ≤ t ≤ T ⎪ ⎩

（1）建立向前差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，指出误差阶;

（2）写出差分格式的矩阵形式（即 AU k +1 = BU k + τ F 的形式），用矩阵方法分析 格式的稳定性

（3）建立六点加权格式，写出计算形式，应用Fourier 方法（分离变量法）分析

格式的稳定性。

解:(1) 区域离散,格式为

u k +1 - u k

j j

1

δ 2u k h 2 x j

, (5 分)

2 2 4

2 ∂t 2 j 12 ∂x 4 j

O(τ + h 2)

(3 分)

(2) A = E, B = diag {r,1 - 2r, r } ,

(4 分)

稳定条件为 r ≤ 1/ 2

(3 分)

(3) 格式为

u k +1 - u k

j j

j j

1 2 2 1 - 2θ

(2 分)