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其中|A|和|Ω|表示A和Ω中的元素个数。
类概率函数的性质
∑si∊Ωf(si)=1 证明： ∵f({si})=Bel({si})+|{si}|/|Ω|[Pl({si})-Bel({si})]
=m({si})+(1/n)m(Ω) ∴ ∑si∊Ωf(si)= ∑si∊Ωm(si)+m(Ω)=1
类概率函数的性质
∴ Pl(A) ≥ Bel(A)
使用信任函数与似然函数
Bel(A)：表示A为真的信任度，为信任度 下限。
Pl(A)：表示A为非假的信任度，为信任度 的上限。
使用信任函数与似然函数
表示事物的不确定性可以由事物的这两个函数 值来描述，例如{红} {红}：[0.3,0.9] 表示{红}的精确信任度为0.3，不可驳斥部分为 0.9，而肯定不是{红}的为0.1
概率分配函数
例：为上一个例子定义一个概率分配函数。 解： m(Φ，{红}，{黄}，{白}，{红，黄}，
{红，白}，{黄，白}，{红，黄，白}) ={0,0.3,0,0.1,0.2,0.2,0,0.2}
概率分配函数的两点说明
概率分配函数将样本空间中的任意子集映射到 ［０，１］的一个数。
– 当子集是一个元素时，表示对此元素的精确信任度， 也是对子集的精确信任度。
…,cnXCER(E)) m(Ω)=1-∑m({hi})
不确定性的更新
2. 求Bel(H),Pl(H)及f(H) Bel(H)=∑m({hi}) Pl(H)=1-Bel(¬H) f(H)=Bel(H)+|H|/|Ω|m(Ω)
3. CER(H)=f(H)
结论不确定性的合成
如果有两条知识支持同一结论 if E1 then H={h1,h2,,…,hn} CF={c1,c2,,…,cn} if E2 then H={h1,h2,,…,hn} CF={e1,e2,,…,en} 先求出每条知识的概率分配函数m1 ,m2,然后求 出两个概率分配函数的正交和m1⊕ m2以正交和 作为H的概率分配函数。
– 当子集是多个元素时，表示对子集的精确信任度， 但不清楚子集中每个元素的信任度。
– 当子集是样本空间时，不知道如何将信任度分配给 每个元素。
概率分配函数的两点说明
– 如例中A={红}， m({红})=0.3表示对红的精确信 任度是0.3；A={红，黄，白}， m({红，黄， 白})= 0.2表示这些信任度不知道如何分配给集合中 的元素。
似然函数
接前例： Pl({红})=1-Bel(¬{红})=1-Bel({黄,白})
=1-Bel({黄})-Bel({白})-Bel({黄,白}) =0.9 Pl({黄,白})=1-Bel(¬{黄,白})=1-Bel({红}) =0.7
似然函数
可以证明 Pl(A)=∑A∩B≠Φ m(B)
∑{红}∩B≠Φ m(B)=m({红})+m({红,白})+m({红,黄}) +m({红,白,黄})=0.3+0.2+0.2+0.2=0.9
|¬A|=|Ω|-|A| Pl(¬A)-Bel(¬A)=m(Ω) Bel(¬A)=1-Bel(A)-m(Ω)
类概率函数的性质
∴ f(¬A)=1-Bel(A)-m(Ω)+(|Ω|-|A|)/|Ω|m(Ω) =1-Bel(A)-m(Ω)+m(Ω)-|A|/|Ω|m(Ω) =1-(Bel(A)+|A|/|Ω|(Pl(A)-Bel(A))) =1-f(A)
设Ω={s1,s2,,…,sn},m为定义在2Ω上的概率分 配函数，且m满足：
1. m({si})≥0,对任给si ∊Ω 2. ∑ m({si})≤1 3. m(Ω)=1-∑ m({si}) 4. 当A⊆Ω，且A的元素多于1个或没有元素，则
m(A)=0。
一类特殊的概率分配函数
对上面的概率分配函数，可以得到信任函数 和似然函数的性质：
∑{黄,白}∩B≠Φ m(B)=m({黄})+m({白})+m({红,黄}) +m({白,黄}) +m({红,白})+m({红,白,黄}) =0+0.1+0+0.2+0.2+0.2=0.7
似然函数
Pl(A)-∑A∩B≠Φ m(B)=1-Bel(¬A)-∑A∩B≠Φ m(B) =1-(Bel(¬A)+∑A∩B≠Φ m(B)) =1-(∑B⊆¬A m(B)+∑A∩B≠Φ m(B)) =1-∑B⊆Ω m(B) =0
=0.48+2/10*(1-0.48)=0.584 CER(A)=f(A)=0.584
示例
2. 求CER(B) CER(E3 and(E4 or E5))=0.7 m({b1})=(0.7*0.7)=(0.49) Bel(B)=0.49 Pl(B)=1-Bel(¬B)=1-0=1 f(A)=Bel(A)+|A|/|Ω|*(Pl(A)-Bel(A))
类概率函数的性质
根据前面的性质可以很容易得到 1. f(Φ)=0 2. f(Ω)=1 3. 对任何A⊆Ω,0≤f(A)≤1
知识不确定性的表示
D-S理论中，不确定性知识的表示形式为 if E then H={h1,h2,,…,hn} CF={c1,c2,,…,cn} 其中：E为前提条件，它可以是简单条件，也可 以是复合条件； H是结论，它用样本空间的子集表示，h1,h2,,… ,hn是该子集的元素； CF是可信度因子，用集合的方式表示。 c1,c2,,… ,cn用来表示h1,h2,,…,hn的可信度。
1. Bel(A)= ∑si∊Am(si) 2. Bel(Ω)=∑si∊Ωm(si) +m(Ω)=1 3. Pl(A)=1-Bel(¬A)=1- ∑si∊¬Am(si) =1-
∑si∊Ωm(si)+∑si∊Am(si)=m(Ω)+Bel(A) 4. Pl(Ω)=1-Bel(¬Ω)=1
类概率函数
定义4-6：设Ω为有限域，对任何命题A⊆Ω其类 概率函数为 f(A)=Bel(A)+|A|/|Ω|[Pl(A)-Bel(A)]
∴ Pl(A)=∑A∩B≠Φ m(B)
信任函数与似然函数的关系
定理4-1：信任函数与似然函数有如下关系：对 任给的A⊆Ω有 Pl(A)≥Bel(A)
证明： ∵Bel(A)+Bel(¬A)=∑B⊆Am(B)+∑C⊆¬Am(C) ≤∑B⊆Ωm(B)=1
信任函数与似然函数的关系
又∵ Pl(A)-Bel(A)=1-Bel(¬A)-Bel(A) =1-(Bel(¬A)+Bel(A)) ≥0
=0.54 m({b})=0.43 m({a,b})=0.03
D-S理论的推理模型
如前面介绍，可以使用信任函数和似然函数表 示命题A的信任度下限和上限。我们使用同样 的方式表示知识信任度。
似然函数和信任函数的计算是建立在概率分配 函数的基础之上，概率分配函数不同，结论会 不同。
一类特殊的概率分配函数
概率分配函数不是概率。 不满足概率的归一性。
信任函数
定义4-3：信任函数(Belief function) Bel:2Ω→[0,1]为对任给的A⊆Ω Bel(A)=∑B⊆Am(B) Bel函数又称为下限函数，表示对A的总的信 任度。
信任函数
接前例：
Bel(Φ)=0
Bel({红})=0.3
Bel({红,白})=Bel({红})+Bel({白})+Bel({红,白})
证据不确定性的表示
证据的不确定性由证据的类概率函数给出。 CER(E)=f(E)
不确定性的更新
设有知识 if E then H={h1,h2,,…,hn} CF={c1,c2,,…,cn} 证据E的不确定性为CER(E)，确定结论H的不 确定性描述CER(H)，方法如下：
1. 求H的概率分配函数 m({h1 },{h2 },,…,{hn })=(c1XCER(E),c2XCER(E),,
示例
设有如下规则 r1: if E1 and E2 then A={a1,a2} CF={0.3,0.5} r2: if E3 and (E4 or E5) then B={b1} CF={0.7} r3: if A then H={h1,h2,h3} CF={0.1,0.5,0.3} r4: if B then H={h1,h2,h3} CF={0.4,0.2,0.1} 用户给出CER(E1)=0.8, CER(E2)=0.6 CER(E3)=0.9, CER(E4)=0.5, CER(E5)=0.7 并假定Ω中有10个元素，求CER(H)=？
不确定性推理
证据理论
D-S理论
证据理论是由德普斯特(A.P.Dempster)提 出，并由沙佛(G.Shfer)进一步发展起来的 一种处理不确定性的理论。也称为D-S理 论。
其将概率的单点赋值扩展为集合赋值，弱 化了公理系统。处理由不知道引起的的不 确定性。
概率分配函数
定义4-1：设Ω是样本集，则由Ω的所有子集 构成的集合称为Ω的幂集，记为2Ω。
例：设样本空间Ω={a,b},从不同的知识来源得 到的概率分配函数分别为： m1(Φ,{a},{b},{a,b})=(0,0.4,0.5,0.1) m2(Φ,{a},{b},{a,b})=(0,0.6,0.2,0.2) 求正交和m=m1⊕ m2 ？
概率分配函数的正交和
解：先求K-1 K-1=1-∑x∩y=Φm1(x) X m2(y)
=1- m1({a})xm2({b})-m1({b})xm2({a}) =1-0.3x0.3-0.5x0.6 =0.61
概率分配函数的正交和
m(Φ)=0 m({a})= K-1 ∑x∩y={a}m1(x) X m2(y)
= K-1(m1({a}) X m2((a,b})+ m1({a}) X m2({a})+m1({a,b}) X m2({a}))
=0.3+0.1+0.2=0.6
Bel({红,白,黄})=Bel({红})+Bel({白})+Bel({黄})+
Bel({红,白})+Bel({红,黄})+Bel({黄,白})
+Bel({红,黄,白})
=1
信任函数
Bel(Φ)=m(Φ)=0 Bel(Ω)=∑B⊆Ωm(B)=1
似然函数
定义4-4：似然函数(Plausibility function) Pl(A):2Ω→[0,1] 对任给的A⊆Ω Pl(A)=1-Bel(¬A) 似然函数又称为不可驳斥函数或上限函数。表 示对A非假的信任度。
概率分配函数的正交和
设m1,m2,…,mn是n个不同的概率分配函数，其正 交和m1⊕ m2⊕,…,⊕ mn满足 m1⊕ m2⊕,…,⊕ mn(Φ)=0 m1⊕ m2⊕,…,⊕ mn(A) =K-1 X ∑∩Ai=A∏1≤i≤n mi(Ai) 其中K=∑∩Ai≠Φ∏1≤i≤n mi(Ai)
概率分配函数的正交和
对任何A⊆Ω有Bel(A)≤f(A)≤Pl(A) 证明：∵Pl(A)-Bel(A)≥0, |A|/|Ω|>0
∴Bel(A)≤f(A) ∴ f(A)≤Bel(A)+[Pl(A)-Bel(A)]
=Pl(A)
类概率函数的性质
对任何A⊆Ω有f(¬A)=1-f(A) 证明： ∵ f(¬A)=Bel(¬A)+|¬A|/|Ω|[Pl(¬A)-Bel(¬A)]
例：设Ω={红பைடு நூலகம்黄，白}，求Ω的幂集2Ω 解： Ω的幂集元素为 Φ，{红}，{黄}，{白}，{红，黄}， {红，白}，{黄，白}，{红，黄，白}。
概率分配函数
定义4-2：设函数m: 2Ω→[0,1]，且满足 m(Φ)=0 ∑A⊆Ωm(A)=1
称m是2Ω上的概率分配函数，m(A)称为A的基 本概率数。
典型值的含义
A[0,1]：说明对A一无所知。Bel(A)=0,Pl(A)=1, 说明对A没有信任，对¬A也没有信任。
A[0,0]：说明A为假。 Bel(A)=0,Pl(A)=0， Bel(¬A)=1。
A[1,1]：说明A为真。
概率分配函数的正交和
定义4-5：设m和n是两个不同的概率分配函数， 其正交和m⊕n满足 m⊕n(Φ)=0 m⊕n(A)=K-1 X ∑x∩y=Am(x) X n(y) 其中K=1-∑x∩y=Φm(x) X n(y)
示例
1. 求CER(A) CER(E1 and E2)=min{CER(E1),CER(E2)}=0.6 m({a1},{a2})=(0.6*0.3,0.6*0.5)=(0.18,0.3) Bel(A)=0.18+0.3=0.48 Pl(A)=1-Bel(¬A)=1-0=1 f(A)=Bel(A)+|A|/|Ω|*(Pl(A)-Bel(A))
类概率函数的性质
∑si∊Ωf(si)=1 证明： ∵f({si})=Bel({si})+|{si}|/|Ω|[Pl({si})-Bel({si})]
=m({si})+(1/n)m(Ω) ∴ ∑si∊Ωf(si)= ∑si∊Ωm(si)+m(Ω)=1
类概率函数的性质
∴ Pl(A) ≥ Bel(A)
使用信任函数与似然函数
Bel(A)：表示A为真的信任度，为信任度 下限。
Pl(A)：表示A为非假的信任度，为信任度 的上限。
使用信任函数与似然函数
表示事物的不确定性可以由事物的这两个函数 值来描述，例如{红} {红}：[0.3,0.9] 表示{红}的精确信任度为0.3，不可驳斥部分为 0.9，而肯定不是{红}的为0.1
概率分配函数
例：为上一个例子定义一个概率分配函数。 解： m(Φ，{红}，{黄}，{白}，{红，黄}，
{红，白}，{黄，白}，{红，黄，白}) ={0,0.3,0,0.1,0.2,0.2,0,0.2}
概率分配函数的两点说明
概率分配函数将样本空间中的任意子集映射到 ［０，１］的一个数。
– 当子集是一个元素时，表示对此元素的精确信任度， 也是对子集的精确信任度。
…,cnXCER(E)) m(Ω)=1-∑m({hi})
不确定性的更新
2. 求Bel(H),Pl(H)及f(H) Bel(H)=∑m({hi}) Pl(H)=1-Bel(¬H) f(H)=Bel(H)+|H|/|Ω|m(Ω)
3. CER(H)=f(H)
结论不确定性的合成
如果有两条知识支持同一结论 if E1 then H={h1,h2,,…,hn} CF={c1,c2,,…,cn} if E2 then H={h1,h2,,…,hn} CF={e1,e2,,…,en} 先求出每条知识的概率分配函数m1 ,m2,然后求 出两个概率分配函数的正交和m1⊕ m2以正交和 作为H的概率分配函数。
– 当子集是多个元素时，表示对子集的精确信任度， 但不清楚子集中每个元素的信任度。
– 当子集是样本空间时，不知道如何将信任度分配给 每个元素。
概率分配函数的两点说明
– 如例中A={红}， m({红})=0.3表示对红的精确信 任度是0.3；A={红，黄，白}， m({红，黄， 白})= 0.2表示这些信任度不知道如何分配给集合中 的元素。
似然函数
接前例： Pl({红})=1-Bel(¬{红})=1-Bel({黄,白})
=1-Bel({黄})-Bel({白})-Bel({黄,白}) =0.9 Pl({黄,白})=1-Bel(¬{黄,白})=1-Bel({红}) =0.7
似然函数
可以证明 Pl(A)=∑A∩B≠Φ m(B)
∑{红}∩B≠Φ m(B)=m({红})+m({红,白})+m({红,黄}) +m({红,白,黄})=0.3+0.2+0.2+0.2=0.9
|¬A|=|Ω|-|A| Pl(¬A)-Bel(¬A)=m(Ω) Bel(¬A)=1-Bel(A)-m(Ω)
类概率函数的性质
∴ f(¬A)=1-Bel(A)-m(Ω)+(|Ω|-|A|)/|Ω|m(Ω) =1-Bel(A)-m(Ω)+m(Ω)-|A|/|Ω|m(Ω) =1-(Bel(A)+|A|/|Ω|(Pl(A)-Bel(A))) =1-f(A)
设Ω={s1,s2,,…,sn},m为定义在2Ω上的概率分 配函数，且m满足：
1. m({si})≥0,对任给si ∊Ω 2. ∑ m({si})≤1 3. m(Ω)=1-∑ m({si}) 4. 当A⊆Ω，且A的元素多于1个或没有元素，则
m(A)=0。
一类特殊的概率分配函数
对上面的概率分配函数，可以得到信任函数 和似然函数的性质：
∑{黄,白}∩B≠Φ m(B)=m({黄})+m({白})+m({红,黄}) +m({白,黄}) +m({红,白})+m({红,白,黄}) =0+0.1+0+0.2+0.2+0.2=0.7
似然函数
Pl(A)-∑A∩B≠Φ m(B)=1-Bel(¬A)-∑A∩B≠Φ m(B) =1-(Bel(¬A)+∑A∩B≠Φ m(B)) =1-(∑B⊆¬A m(B)+∑A∩B≠Φ m(B)) =1-∑B⊆Ω m(B) =0
=0.48+2/10*(1-0.48)=0.584 CER(A)=f(A)=0.584
示例
2. 求CER(B) CER(E3 and(E4 or E5))=0.7 m({b1})=(0.7*0.7)=(0.49) Bel(B)=0.49 Pl(B)=1-Bel(¬B)=1-0=1 f(A)=Bel(A)+|A|/|Ω|*(Pl(A)-Bel(A))
类概率函数的性质
根据前面的性质可以很容易得到 1. f(Φ)=0 2. f(Ω)=1 3. 对任何A⊆Ω,0≤f(A)≤1
知识不确定性的表示
D-S理论中，不确定性知识的表示形式为 if E then H={h1,h2,,…,hn} CF={c1,c2,,…,cn} 其中：E为前提条件，它可以是简单条件，也可 以是复合条件； H是结论，它用样本空间的子集表示，h1,h2,,… ,hn是该子集的元素； CF是可信度因子，用集合的方式表示。 c1,c2,,… ,cn用来表示h1,h2,,…,hn的可信度。
1. Bel(A)= ∑si∊Am(si) 2. Bel(Ω)=∑si∊Ωm(si) +m(Ω)=1 3. Pl(A)=1-Bel(¬A)=1- ∑si∊¬Am(si) =1-
∑si∊Ωm(si)+∑si∊Am(si)=m(Ω)+Bel(A) 4. Pl(Ω)=1-Bel(¬Ω)=1
类概率函数
定义4-6：设Ω为有限域，对任何命题A⊆Ω其类 概率函数为 f(A)=Bel(A)+|A|/|Ω|[Pl(A)-Bel(A)]
∴ Pl(A)=∑A∩B≠Φ m(B)
信任函数与似然函数的关系
定理4-1：信任函数与似然函数有如下关系：对 任给的A⊆Ω有 Pl(A)≥Bel(A)
证明： ∵Bel(A)+Bel(¬A)=∑B⊆Am(B)+∑C⊆¬Am(C) ≤∑B⊆Ωm(B)=1
信任函数与似然函数的关系
又∵ Pl(A)-Bel(A)=1-Bel(¬A)-Bel(A) =1-(Bel(¬A)+Bel(A)) ≥0
=0.54 m({b})=0.43 m({a,b})=0.03
D-S理论的推理模型
如前面介绍，可以使用信任函数和似然函数表 示命题A的信任度下限和上限。我们使用同样 的方式表示知识信任度。
似然函数和信任函数的计算是建立在概率分配 函数的基础之上，概率分配函数不同，结论会 不同。
一类特殊的概率分配函数
概率分配函数不是概率。 不满足概率的归一性。
信任函数
定义4-3：信任函数(Belief function) Bel:2Ω→[0,1]为对任给的A⊆Ω Bel(A)=∑B⊆Am(B) Bel函数又称为下限函数，表示对A的总的信 任度。
信任函数
接前例：
Bel(Φ)=0
Bel({红})=0.3
Bel({红,白})=Bel({红})+Bel({白})+Bel({红,白})
证据不确定性的表示
证据的不确定性由证据的类概率函数给出。 CER(E)=f(E)
不确定性的更新
设有知识 if E then H={h1,h2,,…,hn} CF={c1,c2,,…,cn} 证据E的不确定性为CER(E)，确定结论H的不 确定性描述CER(H)，方法如下：
1. 求H的概率分配函数 m({h1 },{h2 },,…,{hn })=(c1XCER(E),c2XCER(E),,
示例
设有如下规则 r1: if E1 and E2 then A={a1,a2} CF={0.3,0.5} r2: if E3 and (E4 or E5) then B={b1} CF={0.7} r3: if A then H={h1,h2,h3} CF={0.1,0.5,0.3} r4: if B then H={h1,h2,h3} CF={0.4,0.2,0.1} 用户给出CER(E1)=0.8, CER(E2)=0.6 CER(E3)=0.9, CER(E4)=0.5, CER(E5)=0.7 并假定Ω中有10个元素，求CER(H)=？
不确定性推理
证据理论
D-S理论
证据理论是由德普斯特(A.P.Dempster)提 出，并由沙佛(G.Shfer)进一步发展起来的 一种处理不确定性的理论。也称为D-S理 论。
其将概率的单点赋值扩展为集合赋值，弱 化了公理系统。处理由不知道引起的的不 确定性。
概率分配函数
定义4-1：设Ω是样本集，则由Ω的所有子集 构成的集合称为Ω的幂集，记为2Ω。
例：设样本空间Ω={a,b},从不同的知识来源得 到的概率分配函数分别为： m1(Φ,{a},{b},{a,b})=(0,0.4,0.5,0.1) m2(Φ,{a},{b},{a,b})=(0,0.6,0.2,0.2) 求正交和m=m1⊕ m2 ？
概率分配函数的正交和
解：先求K-1 K-1=1-∑x∩y=Φm1(x) X m2(y)
=1- m1({a})xm2({b})-m1({b})xm2({a}) =1-0.3x0.3-0.5x0.6 =0.61
概率分配函数的正交和
m(Φ)=0 m({a})= K-1 ∑x∩y={a}m1(x) X m2(y)
= K-1(m1({a}) X m2((a,b})+ m1({a}) X m2({a})+m1({a,b}) X m2({a}))
=0.3+0.1+0.2=0.6
Bel({红,白,黄})=Bel({红})+Bel({白})+Bel({黄})+
Bel({红,白})+Bel({红,黄})+Bel({黄,白})
+Bel({红,黄,白})
=1
信任函数
Bel(Φ)=m(Φ)=0 Bel(Ω)=∑B⊆Ωm(B)=1
似然函数
定义4-4：似然函数(Plausibility function) Pl(A):2Ω→[0,1] 对任给的A⊆Ω Pl(A)=1-Bel(¬A) 似然函数又称为不可驳斥函数或上限函数。表 示对A非假的信任度。
概率分配函数的正交和
设m1,m2,…,mn是n个不同的概率分配函数，其正 交和m1⊕ m2⊕,…,⊕ mn满足 m1⊕ m2⊕,…,⊕ mn(Φ)=0 m1⊕ m2⊕,…,⊕ mn(A) =K-1 X ∑∩Ai=A∏1≤i≤n mi(Ai) 其中K=∑∩Ai≠Φ∏1≤i≤n mi(Ai)
概率分配函数的正交和
对任何A⊆Ω有Bel(A)≤f(A)≤Pl(A) 证明：∵Pl(A)-Bel(A)≥0, |A|/|Ω|>0
∴Bel(A)≤f(A) ∴ f(A)≤Bel(A)+[Pl(A)-Bel(A)]
=Pl(A)
类概率函数的性质
对任何A⊆Ω有f(¬A)=1-f(A) 证明： ∵ f(¬A)=Bel(¬A)+|¬A|/|Ω|[Pl(¬A)-Bel(¬A)]
例：设Ω={红பைடு நூலகம்黄，白}，求Ω的幂集2Ω 解： Ω的幂集元素为 Φ，{红}，{黄}，{白}，{红，黄}， {红，白}，{黄，白}，{红，黄，白}。
概率分配函数
定义4-2：设函数m: 2Ω→[0,1]，且满足 m(Φ)=0 ∑A⊆Ωm(A)=1
称m是2Ω上的概率分配函数，m(A)称为A的基 本概率数。
典型值的含义
A[0,1]：说明对A一无所知。Bel(A)=0,Pl(A)=1, 说明对A没有信任，对¬A也没有信任。
A[0,0]：说明A为假。 Bel(A)=0,Pl(A)=0， Bel(¬A)=1。
A[1,1]：说明A为真。
概率分配函数的正交和
定义4-5：设m和n是两个不同的概率分配函数， 其正交和m⊕n满足 m⊕n(Φ)=0 m⊕n(A)=K-1 X ∑x∩y=Am(x) X n(y) 其中K=1-∑x∩y=Φm(x) X n(y)
示例
1. 求CER(A) CER(E1 and E2)=min{CER(E1),CER(E2)}=0.6 m({a1},{a2})=(0.6*0.3,0.6*0.5)=(0.18,0.3) Bel(A)=0.18+0.3=0.48 Pl(A)=1-Bel(¬A)=1-0=1 f(A)=Bel(A)+|A|/|Ω|*(Pl(A)-Bel(A))