5.1 平面向量

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第五章 §5.1 平面向量的概念及线性运算-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

§5.1平面向量的概念及线性运算课标要求1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法a －b ＝a ＋(－b )数乘|λa |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．3．在△ABC 中，点P 满足PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB →＋AC →)．4．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .(×)(2)单位向量都相等．(×)(3)任一非零向量都可以平行移动．(√)(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(√)2．下列命题正确的是()A ．零向量是唯一没有方向的向量B ．若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－bC ．向量AB →与BA →是平行向量D ．平行向量不一定是共线向量答案C解析A 项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误；B 项，|a |＝|b |说明a ，b 的长度相等，不能判断它们的方向，故B 错误；C 项，向量AB →与BA →方向相反，是平行向量，故C 正确；D 项，平行向量就是共线向量，故D 错误．3．(必修第二册P10T4改编)(多选)下列各式化简结果正确的是()A.AB →＋AC →＝BC→B.AM →＋MB →＋BO →＋OM →＝AM →C.AB →＋BC →－AC →＝0D.AB →－AD →－DC →＝BC →答案BC4．(必修第二册P16T3改编)已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.答案－4解析因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →，即2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，＝kλ，3＝6k ，解得λ＝－4.题型一平面向量的基本概念例1(1)(多选)下列说法正确的是()A ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cB ．若四边形ABCD 满足AB →＝DC →，则四边形ABCD 是平行四边形C ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cD ．与非零向量a 共线的单位向量为±a |a |答案ABD解析对于A ，由相等向量的定义知，A 正确；对于B ，因为AB →＝DC →，所以AB ∥DC 且AB ＝DC ，则四边形ABCD 是平行四边形，故B 正确；对于C ，若b ＝0，则由a ∥b ，b ∥c ，无法得到a ∥c ，故C 错误；对于D ，由单位向量和共线向量定义可知与非零向量a 共线的单位向量为±a|a |，故D 正确．(2)如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是()A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF→答案D解析方法一(排除法)AD →，BC →不共线，AC →，BD →不共线，故A ，B 错误；PE →，PF →方向相反，C 错误；故选D.方法二在等腰梯形ABCD 中，AD →，BC →不平行，AC →，BD →不平行，故A ，B 错误；∵AB ∥CD ，∴PD PB ＝CD AB ＝PC PA，∴PB PD ＝PAPC ，则PB ＋PD PD ＝PA ＋PC PC ，即BD PD ＝AC PC ，即PD BD ＝PC AC ，∵EF ∥AB ，∴PE AB ＝PD BD ＝PC AC ＝PF AB，∴PE ＝PF ，即P 为EF 的中点，∴EP →＝PF →，故C 错误，D 正确．思维升华平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)a|a |是与非零向量a 同方向的单位向量．跟踪训练1(1)(多选)下列关于向量的说法正确的是()A ．若|a |＝0，则a ＝0B ．若向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一条直线上C ．对于任意向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ，使a ＝λb 答案AC解析对于A ，若|a |＝0，则a ＝0，故A 正确；对于B ，若向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故B 错误；对于C ，若a ，b 方向相同，则|a ＋b |＝|a |＋|b |，若a ，b 方向相反，则|a ＋b |<|a |＋|b |，若a ，b 不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边可知|a ＋b |<|a |＋|b |.综上可知对于任意向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |，故C 正确；对于D ，若a ≠0，b ＝0，则a ∥b ，此时不存在实数λ，使a ＝λb ，故D 错误．(2)(多选)如图所示，四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是()A ．|AB →|＝|EF →|B.AB →与FH →共线C.BD →与EH →共线D.CD →＝FG →答案ABD解析由四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，知|AB →|＝|EF →|，即A 正确；由图形可知AB →与FH →的方向相反，CD →与FG →的方向相同且长度相等，即AB →与FH →共线，CD →＝FG →，故B ，D 正确；而∠BDE 与∠DEH 不一定相等，BD →与EH →不一定共线，故C 错误．题型二平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义例2若|AB →|＝7，|AC →|＝4，则|BC →|的取值范围是()A ．[3,7]B ．(3,7)C ．[3,11]D ．(3,11)答案C解析由题意知|AB →|＝7，|AC →|＝4，且|BC →|＝|AC →－AB →|，当AC →，AB →同向时，|BC →|取得最小值，|BC →|＝|AC →－AB →|＝||AC →|－|AB →||＝|4－7|＝3；当AC →，AB →反向时，|BC →|取得最大值，|BC →|＝|AC →－AB →|＝||AC →|＋|AB →||＝|4＋7|＝11；当AC →，AB →不共线时，3＝||AC →|－|AB →||<|BC →|<||AC →|＋|AB →||＝11，故|BC →|的取值范围是[3,11]．命题点2向量的线性运算例3(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA .记CA →＝m ，CD →＝n ，则CB →等于()A ．3m －2nB ．－2m ＋3nC ．3m ＋2nD ．2m ＋3n答案B解析因为BD ＝2DA ，所以AB →＝3AD →，所以CB →＝CA →＋AB →＝CA →＋3AD →＝CA →＋3(CD →－CA →)＝－2CA →＋3CD →＝－2m ＋3n .命题点3根据向量线性运算求参数例4(2024·安阳模拟)已知矩形ABCD 的对角线交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2－μ2等于()A ．－12B.79C.3－222D.1＋22答案A 解析如图，在矩形ABCD 中，DO →＝12(DA →＋DC →)，在△DAO 中，DE →＝12(DA →＋DO →)，∴DE →＋12DA →＋12DC ＝34DA →＋14DC →＝14AB →－34AD →，∴λ＝14，μ＝－34，∴λ2－μ2＝116－916＝－12.思维升华平面向量线性运算的解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来进行比较，求参数的值．跟踪训练2(1)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是OD 的中点，AE 的延长线交CD 于点F .若AB →＝a ，AD →＝b ，则AF →等于()A.14a ＋b B.13a ＋b C.14a ＋13b D.13a ＋13b 答案B解析在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是OD 的中点，AE 的延长线交CD于点F ，则△DEF ∽△BEA ，所以DF BA ＝DE BE ＝13，则DF BA ＝DF DC ＝13，所以DF →＝13DC →＝13AB →，则AF →＝AD →＋DF →＝13AB →＋AD →＝13a ＋b .(2)(2023·聊城模拟)M 是△ABC 内的一点，若BM →＝13BA →＋λBC →，AM →＝12AB →＋μAC →，则λ＋μ等于()A.76B ．1 C.56D.13答案D解析由AM →－BM →＝AB →，得AB →＝12AB →＋μAC →－13BA →－λBC →，所以16AB →＝μAC →－λBC →，即AB →＝6μAC →－6λBC →＝6μAC →＋6λCB →，又AB →＝AC →＋CB →，故μ＝λ＝16，故λ＋μ＝13.题型三共线定理及其应用例5(1)(2023·徐州模拟)已知向量a ，b 不共线，向量8a －k b 与－k a ＋b 共线，则k ＝________.答案±22解析因为向量a ，b 不共线，向量8a －k b 与－k a ＋b 共线，所以8a －k b ＝t (－k a ＋b )＝－kt a ＋t b ，t ∈R ，＝－kt ，k ＝t ，解得k ＝±2 2.(2)已知△ABC 的重心为G ，经过点G 的直线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若AD →＝λAB →，AE →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________.答案3解析如图，延长AG 交BC 于点F ，则F 为BC 的中点，AG →＝23AF →＝13(AB →＋AC →)，又AB →＝1λAD →，AC →＝1μAE →，∴AG →＝13λAD →＋13μAE →，又G ，D ，E 三点共线，∴13λ＋13μ＝1，即1λ＋1μ＝3.思维升华利用向量共线定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据．(2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则A ，P ，B 三点共线的充要条件是m ＋n ＝1.跟踪训练3(1)(2023·绵阳模拟)已知平面向量a ，b 不共线，AB →＝4a ＋6b ，BC →＝－a ＋3b ，CD →＝a ＋3b ，则()A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线答案D解析对于A ，BD →＝BC →＋CD →＝－a ＋3b ＋(a ＋3b )＝6b ，则AB →，BD →不共线，故A 不正确；对于B ，AB →与BC →不共线，故B 不正确；对于C ，BC →与CD →不共线，故C 不正确；对于D ，AC →＝AB →＋BC →＝4a ＋6b ＋(－a ＋3b )＝3a ＋9b ＝3CD →，即AC →∥CD →，又AC →与CD →有公共点C ，则A ，C ，D 三点共线，故D 正确．(2)如图，在△ABC 中，AN →＝12NC →，P 是BN 的中点，若AP →＝mAB →＋14AC →，则实数m 的值是________．答案14解析因为AN →＝12NC →，所以AC →＝3AN →，因为AP →＝mAB →＋14AC →＝mAB →＋34AN →，且B ，P ，N 三点共线，所以m ＋34＝1，所以m ＝14.课时精练一、单项选择题1．(2023·广州模拟)如图，在正六边形ABCDEF 中，AF →－ED →＋EF →＋2AB →等于()A ．0 B.AB →C.AD → D.CF→答案A解析因为六边形ABCDEF 为正六边形，所以AF →－ED →＋EF →＋2AB →＝CD →＋DE →＋EF →＋2AB →＝CF →＋2AB →＝0．2.如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，向量a ＋b ＋c 可表示为()A ．2e 1－3e 2B ．3e 1－2e 2C ．2e 1＋3e 2D ．3e 1＋2e 2答案D解析由题意得a ＝e 1＋2e 2，b ＝e 1－2e 2，c ＝e 1＋2e 2，所以a ＋b ＋c ＝e 1＋2e 2＋e 1－2e 2＋e 1＋2e 2＝3e 1＋2e 2.3．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析依题意，“a |a |＝b|b |”表示与a ，b 同向的单位向量是相等向量，能推出“a ，b 共线”，所以充分性成立；“a ，b 共线”可能同向共线、也可能反向共线，所以“a ，b 共线”不能推出“a |a |＝b|b |”，所以必要性不成立．4．(2024·银川模拟)已知向量a ，b 不共线，且c ＝x a ＋b ，d ＝a ＋(2x －1)b ，若c 与d 方向相反，则实数x 的值为()A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12答案B 解析因为c 与d 方向相反，所以存在k ∈R ，使得d ＝k c ，且k <0，即a ＋(2x －1)b ＝kx a ＋k b ，因为向量a ，b ＝1，＝2x －1，整理可得x (2x －1)＝1，即2x 2－x －1＝0，解得x ＝－12或x ＝1.又k <0，所以x <0，故x ＝－12.5．已知O ，A ，B 三点不共线，点P 为该平面内一点，且OP →＝OA →＋AB →|AB →|，则()A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段AB 的反向延长线上D ．点P 在射线AB 上答案D 解析由OP →＝OA →＋AB →|AB →|，得OP →－OA →＝AB →|AB →|，所以AP →＝1|AB →|·AB →，所以点P 在射线AB 上．6.如图所示，△ABC 内有一点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0，过点G 作一直线分别交AB ，AC 于点D ，E .若AD →＝xAB →，AE →＝yAC →(xy ≠0)，则1x ＋1y等于()A ．4B ．3C ．2D ．1答案B 解析因为GA →＋GB →＋GC →＝0，所以G 为△ABC 的重心，所以AG →＝13(AB →＋AC →)＝tAD →＋(1－t )AE →＝txAB →＋(1－t )yAC →，所以tx ＝13，(1－t )y ＝13，所以1x ＋1y＝3t ＋3(1－t )＝3.二、多项选择题7．下列各式中能化简为AD →的是()A ．－(CB →＋MC →)－(DA →＋BM →)B ．－BM →－DA →＋MB→C ．(AB →－DC →)－CB→D.AD →－(CD →＋DC →)答案ACD 解析对于A ，－(CB →＋MC →)－(DA →＋BM →)＝－(CB →＋MC →＋DA →＋BM →)＝－(CB →＋BM →＋MC →＋DA →)＝－DA →＝AD →，故A 正确；对于B ，－BM →－DA →＋MB →＝MB →－DA →＋MB →＝AD →＋2MB →，故B 错误；对于C ，(AB →－DC →)－CB →＝AB →－DC →－CB →＝AB →＋CD →＋BC →＝AD →，故C 正确；对于D ，AD →－(CD →＋DC →)＝AD →－0＝AD →，故D 正确．8.如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，且BC→＝3EC →，F 为AE 的中点，则()A.BC →＝－12AB →＋AD →B.AF →＝13AB →＋13AD →C.BF →＝－23AB →＋13AD →D.CF →＝16AB →－23AD →答案ABC 解析∵AB ∥CD ，AB ＝2DC ，∴BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝－12AB →＋AD →，故A 正确；∵BC →＝3EC →，∴BE →＝23BC →＝－13AB →＋23AD →，∴AE →＝AB →＋BE →＝AB →－13AB →＋23AD ＝23AB →＋23AD →，又F 为AE 的中点，∴AF →＝12AE →＝13AB →＋13AD →，故B 正确；∴BF →＝BA →＋AF →＝－AB →＋13AB →＋13AD →＝－23AB →＋13AD →，故C 正确；∴CF →＝CB →＋BF →＝BF →－BC →＝－23AB →＋13AD →－12AB →＋＝－16AB →－23AD →，故D 错误．三、填空题9．已知在四边形ABCD 中，AB →＝12DC →，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是________．答案等腰梯形解析由AB →＝12DC →，可得AB ∥CD 且AB ＝12DC ，所以四边形ABCD 是梯形，又因为|AD →|＝|BC →|，所以梯形ABCD 的两个腰相等，所以四边形ABCD 是等腰梯形．10．(2023·徐州模拟)已知单位向量e 1，e 2，…，e 2024，则|e 1＋e 2＋…＋e 2024|的最大值是________，最小值是________．答案20240解析当单位向量e 1，e 2，…，e 2024方向相同时，|e 1＋e 2＋…＋e 2024|取得最大值，|e 1＋e 2＋…＋e 2024|＝|e 1|＋|e 2|＋…＋|e 2024|＝2024；当单位向量e 1，e 2，…，e 2024首尾相连时，e 1＋e 2＋…＋e 2024＝0，所以|e 1＋e 2＋…＋e 2024|的最小值为0.11．(2023·佛山模拟)等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 上一点，若AP →＝4AB →|AB →|＋AC →|AC →|，则△ABC 的面积为________．答案252解析如图，过点P 作AB ，AC 的垂线交AB ，AC 分别于点E ，F ，由于AP →＝4AB →|AB →|＋AC →|AC →|，所以AE →＝4AB →|AB →|，AF →＝AC →|AC →|，则|AE →|＝4，|AF →|＝1，所以在等腰直角△ABC 中，PE ＝1，BE ＝1，所以AB ＝5，故△ABC 的面积S ＝12×5×5＝252.12.(2024·盐城模拟)如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BE →＝EC →，CD →＝2CF →，则|AE →＋AF →|＝________.答案3解析因为BE →＝EC →，所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，又因为CD →＝2CF →，所以AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋AD →，所以|AE →＋AF →|＝32|AB →＋AD →|＝32|AC →|，又因为∠BAD ＝120°，所以∠ADC ＝60°，所以△ADC 为等边三角形，所以AC ＝AD ＝2，所以|AE →＋AF →|＝32|AC →|＝32×2＝3.四、解答题13．(2023·青岛模拟)如图，在矩形ABCD 中，DE →＝2EC →，BF →＝2FC →，AC 与EF 交于点N.(1)若CN →＝λAB →＋μAD →，求λ＋μ的值；(2)设AE →＝a ，AF →＝b ，试用a ，b 表示AC →.解(1)依题意，设EN →＝tEF →，CN →＝CE →＋EN →＝CE →＋tEF →＝CE →＋t (CF →－CE →)＝(1－t )CE →＋tCF →＝－(1－t )3AB →－t 3AD →，又CN →＝λAB →＋μAD →，＝－1－t 3，＝－t 3，解得λ＋μ＝－13.(2)因为AC →＝AB →＋AD →，AE →＝23AB →＋AD →，AF →＝AB →＋23AD →，所以AE →＋AF →＝53(AB →＋AD →)＝53AC →，所以AC →＝35a ＋35b .14.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b.(1)用a ，b 表示AE →，BE →；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．(1)解在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，则AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12(AC →－AB →)＝12AB →＋12AC →＝12a ＋12b ，故AE →＝23AD →＝13a ＋13b ，BE →＝AE →－AB →＝13a ＋13b －a ＝13b －23a .(2)证明因为BE →＝13b －23a ＝13(b －2a )，BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )，所以BE →＝23BF →，所以BE →∥BF →，又BE →，BF →有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．15．(2023·扬州模拟)设点O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋3OB →＋4OC →＝0，则△BOC的面积为()A ．1B.34C.12D.14答案C 解析如图，∵OA →＋3OB →＋4OC →＝0，∴－17OA →＝37OB →＋47OC →，设－17OA →＝OD →，则OD →＝37OB →＋47OC →，即B ，C ，D 三点共线，∴|OD →||AD →|＝S △BOC S △ABC ＝18，∴S △BOC ＝4×18＝12.16.如图，已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，CO 与AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析因为CO 与AB 交于点D ，所以O ，C ，D 三点共线，所以OC →与OD →共线，设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，可得OD →＝λm OA →＋μmOB →，因为A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，可得λ＋μ＝m >1，所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．。

专题5.1 平面向量的概念及线性运算(重难点突破)(解析版)

专题5.1 平面向量的概念及线性运算一、考情分析1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.二、经验分享考点一向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0 考点二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b三角形法则a－b＝a＋(－b)的差数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa)＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b)＝λa ＋λb考点三共线向量定理向量a(a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa.,向量概念的4点注意 (1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0. (2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同．(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性．比如：命题“若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c”是假命题，因为当b 为零向量时，a ，c 可为任意向量，两者不一定平行．(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上．考点四必备结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2―→＋A 2A 3―→＋A 3A 4―→＋…＋A n －1A n ―→＝A 1A n ―→.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2.在△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别为三角形三边上的中线，它们交于点G (如图所示)，易知G 为△ABC 的重心，则有如下结论：(1) GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0； (2) AG ―→＝13(AB ―→＋AC ―→)；(3) GD ―→＝12(GB ―→＋GC ―→)＝16(AB ―→＋AC ―→)．3．若OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.4．对于任意两个向量a ，b ，都有：①||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；②|a ＋b|2＋|a －b|2＝2(|a|2＋|b|2)．当a ，b 不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系．三、题型分析重难点题型突破1 平面向量的基本概念例1、下列命题中，正确的个数是( )①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A【解析】①错误，如在▱ABCD 中，AD →＝BC →，但是这两个向量的起点和终点分别不重合；②错误，模相等的两个向量，方向关系不确定；③错误，若λa ＝0(λ为实数)，则λ＝0或a ＝0；④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，但a 与b 不一定共线．【变式训练1-1】、设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D.【解析】：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.【变式训练1-2】、设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D.【解析】：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.【变式训练1-3】、（2019年徐州开学初考试）给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( )A.②③B.①②C.③④D.②④【答案】A【解析】①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →. ③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是②③. 重难点题型突破2 平面向量的线性运算例2、.如图，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →，则OP →等于( )A.13OA →－43OB →B.13OA →＋43OB → C ．－13OA →＋43OB → D ．－13OA →－43OB →【答案】C.【解析】：OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.故选C.【变式训练2-1】、在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( ) A ．1 B ．12C.13 D ．23【答案】D.【解析】：由题意易得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，所以2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →.故λ＋μ＝12＋16＝23.【变式训练2-2】、如图，在直角梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC →，且AE →＝rAB →＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】法一：由题图可得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(BA →＋AD →＋DC →)＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝13AB →＋23(AD →＋14AB →)＝12AB →＋23AD →.因为AE →＝rAB →＋sAD →，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3.法二：因为BE →＝2EC →，所以AE →－AB →＝2(AC →－AE →)，整理，得AE →＝13AB →＋23AC →＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝12AB →＋23AD →，以下同法一．法三：如图，延长AD ，BC 交于点P ，则由DC →＝14AB →得DC ∥AB ，且AB ＝4DC .又BE →＝2EC →，所以E 为PB 的中点，且AP →＝43AD →.于是，AE →＝12(AB →＋AP →)＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋43AD →＝12AB →＋23AD →.以下同法一．法四：如图，建立平面直角坐标系xAy ，依题意可设点B (4m ，0)，D (3m ，3h )，E (4m ，2h )，其中m ＞0，h ＞0.由AE →＝rAB →＋sAD →，得(4m ，2h )＝r (4m ，0)＋s (3m ，3h )，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝4mr ＋3ms ，2h ＝3hs ，解得⎩⎨⎧r ＝12，s ＝23，所以2r ＋3s ＝1＋2＝3.重难点题型突破3 平面向量共线定理的应用例3、已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 反向共线，则实数λ的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12【答案】B【解析】由于c 与d 反向共线，则存在实数k 使c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]．整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又k <0，所以λ<0，故λ＝－12.【变式训练3-1】、如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1n 是定值，定值为2 D.2m ＋1n是定值，定值为3【答案】D.【解析】：法一：如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E .由AN →＝nAC →可得AC AN ＝1n ，所以AE EM ＝AC CN ＝1n －1，由BD ＝12DC 可得BM ME ＝12，所以AMAB ＝n n ＋n －12＝2n 3n －1，因为AM →＝mAB →，所以m ＝2n 3n －1，整理可得2m ＋1n＝3.法二：因为M ，D ，N 三点共线，所以AD →＝λAM →＋(1－λ)·AN →.又AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，所以AD →＝λm AB →＋(1－λ)·nAC →.又BD →＝12DC →，所以AD →－AB →＝12AC →－12AD →，所以AD →＝13AC →＋23AB →.比较系数知λm ＝23，(1－λ)n ＝13，所以2m ＋1n＝3，故选D. 【变式训练3-2】、在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是________．【答案】：⎪⎭⎫ ⎝⎛031-，【解析】：设CO →＝yBC →，因为AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. 因为BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)．所以y ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛310，，因为AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，所以x ＝－y ，所以x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛031-，重难点题型突破4 共线定理的推广与应用例4、如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y 的取值范围是________．【答案】 [1，3]【解析】 OC →＝xOA →＋3y ⎝ ⎛⎭⎪⎫OB →3，如图，作OB ′→＝OB →3，则考虑以向量OA →，OB ′→为基底．显然，当C 在A 点时，经过m ＝1的平行线，当C 在B 点时，经过m ＝3的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以x ＋3y 的取值范围是[1，3]．【变式训练4-1】、庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且PTAT ＝5－12.则下列关系中正确的是( )A.BP →－TS →＝5＋12RS →B ．CQ →＋TP →＝5＋12TS →C.ES →－AP →＝5－12BQ →D ．AT →＋BQ →＝5－12CR →【答案】A.【解析】：由题意得，BP →－TS →＝TE →－TS →＝SE →＝RS →5－12＝5＋12RS →，所以A 正确；CQ →＋TP →＝P A →＋TP →＝TA →＝5＋12ST →，所以B 错误；ES →－AP →＝RC →－QC →＝RQ →＝5－12QB →，所以C 错误；AT →＋BQ →＝SD →＋RD →，5－12CR →＝RS →＝RD →－SD →，若AT →＋BQ →＝5－12CR →，则SD →＝0，不合题意，所以D 错误．故选A.。

2023版高考数学一轮总复习5-1平面向量的概念及线性运算平面向量基本定理及坐标表示习题

5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示基础篇固本夯基考点一平面向量的概念及线性运算1.(2017课标Ⅱ,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则( )A.a⊥bB.|a|=|b|C.a∥bD.|a|>|b|答案 A2.(2022届江西重点中学联考二,5)设e1,e2是两个不共线的平面向量,若a=3e1-2e2,b=e1+ke2,且a与b共线,则实数k的值为( )A.-12B.12C.-23D.23答案 C3.(2018课标Ⅰ,6,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.34EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -14EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.14EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -34EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.34EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.14EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗答案 A4.(2021宁夏吴忠4月模拟,5)如图所示,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R),则λ+μ等于( )A.1B.-1C.12D.-12答案 D5.(2021陕西延安重点中学模拟,6)设M是△ABC所在平面上的一点,且EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +32EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +32EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,D是AC的中点,则|EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为( )A.13B.12C.1D.2答案 A6.(2020吉林梅河口五中4月模拟,5)在△ABC中,延长BC至点M使得BC=2CM,连接AM,点N为AM上一点且EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ=()A.13B.12C.-12D.-13答案 A7.(2022届山西吕梁11月月考,9)如图,△ABC中,点M是BC的中点,点N满足EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM 与CN交于点D,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=()A.23B.34C.45D.56答案 C8.(2022届安徽淮南一中月考,9)已知点M是△ABC所在平面内一点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△ABM与△BC M的面积之比为( )A.83B.52C.2D.43答案 C9.(2022届黑龙江八校期中,13)如图,在△ABC中,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D是BE上的点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数x的值为.答案19考点二平面向量基本定理及坐标运算1.(2022届哈尔滨三中期中,3)已知对任意的平面向量EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b),把EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕其起点A沿逆时针方向旋转角φ得到向量EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(acosφ-bsinφ,asinφ+bcosφ),叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角φ得到点P.已知A(1,2),B(1-√2,2+2√2),把点B绕点A沿逆时针方向旋转π4得到点P,则点P的坐标为( )A.(-3,1)B.(-2,1)C.(2,3)D.(-2,3)答案 D2.(2021云南统一检测一,7)已知向量a=(32,1),b=(-12,4),则( )A.a∥(a-b)B.a⊥(a-b)C.(a-b)∥(a+b)D.(a-b)⊥(a+b)答案 B3.(2020陕西咸阳一模,3)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12),若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O逆时针旋转60°得到向量EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(0,1) B.(1,0)C.(√32,-12) D.(12,-√32)答案 A4.(2022届江苏南通如皋调研,7)如图,已知OA=2,OB=2,OC=1,∠AOB=60°,∠BOC=90°,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EE=( )A.√3B.12C.√33D.23答案 C5.(2022届四川绵阳中学模拟二,5)设向量EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,-1),EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则1E +2E的最小值为( )A.4B.6C.8D.9答案 C6.(2021全国甲,14,5分)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k= .答案-1037.(2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=.答案128.(2019上海,9,5分)过曲线y2=4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2=4x交于A、B,A在B上方,M为抛物线上一点,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ-2)EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=.答案 39.(2022届云南五华模拟,15)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以CD为直径的半圆上有一点P,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为.答案73综合篇知能转换考法一平面向量线性运算的解题策略1.(2021广西百色重点中学4月模拟,5)已知点P为△ABC所在平面内一点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,点Q是线段BP的中点,则EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.16EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.23EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.16EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -16EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.23EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗答案 D2.(20215·3原创题)△ABC中,点M为AC上的点,且EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则1 E -1E的值为( )A.0B.-32C.1D.-1答案 B3.(2022届福州福清西山学校10月月考,8)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.在“赵爽弦图”中,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.54a+35bB.35a+45bC.1225a+925bD.1625a+1225b 答案 D4.(2022届河南段考三)已知△ABC 的三个内角分别为A,B,C,动点P 满足EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ·(EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |sin E +EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |sin E),λ∈(0,+∞),则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.垂心C.内心D.外心答案 A5.(2021赣中南五校联考二,15)已知△ABC 的重心为G,过G 点的直线与边AB 和AC 的交点分别为M 和N,若EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且△AMN 与△ABC 的面积的比值为2554,则实数λ= .答案 5或546.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tanα=7,EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n∈R),则m+n= .答案 3考法二向量共线问题的求解方法1.(2021山西孝义二模,6)已知EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,cosα),EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2sinα),若A,B,D 三点共线,则tanα=( )A.-2B.-12C.12D.2答案 A2.(2021太原一模,6)已知梯形ABCD 中,AB∥DC,且AB=2DC,点P 在线段BC 上,若EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =56EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λEE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ=( )A.34 B.23 C.13 D.12 答案 C3.(2021江西上饶2月联考,10)在三角形ABC中,E、F分别为AC、AB上的点,BE与CF交于点Q,且EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,延长AQ交BC于点D,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6答案 C4.(2022届河南平顶山月考,10)已知点O为正△ABC所在平面上一点,且满足EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1+λ)EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,若△OAC的面积与△OAB的面积比为1∶4,则λ的值为( )A.12B.13C.2D.3答案 B5.(2022届拉萨中学月考,15)在△ABC中,点D满足BD=34BC,E点在线段AD上移动,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则t=(λ-1)2+μ2的最小值是.答案9106.(2020吉林桦甸四中等4月联考,15)在△ABC中,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P为线段AM上任意一点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x2+2x+y2的最小值为.答案916应用篇知行合一应用向量在物理中的应用1.(2021山西长治二中月考,3探索创新情境)已知两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20N,当它们的夹角为120°时,合力大小为( )A.40NB.10√2NC.20√2ND.40√2N答案 B2.(2021咸阳模拟,9生活实践情境)渭河某处南北两岸平行,如图所示.某艘游船从南岸码头A出发向北航行到北岸.假设游船在静水中航行速度大小为|v1|=10km/h,水流速度的大小为|v2|=6km/h.设速度v1与速度v2的夹角为120°,北岸的点A'在码头A的正北方向,那么该游船航行到达北岸的位置应( )A.在A'东侧B.在A'西侧C.恰好与A'重合D.无法确定答案 A。

§5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理

考点二平面向量基本定理及坐标表示
１．平面向量基本定理如果ｅ１，ｅ２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一
平面内的任意向量ａ，有且只有一对实数 λ１，λ２，使ａ＝ λ１ｅ１＋λ２ｅ２．
��
{∴
８
－λｋ
＝
０， ⇒８
＝
２λ２
⇒λ
＝
±
２．
ｋ－２λ ＝０
∴ ｋ＝２λ ＝ ±４．
（３）证法一：∵ Ｍ、Ｎ、Ｐ三点共线，
∴ 存在实数 μ，使得Ｍ→Ｐ＝ μ Ｐ→Ｎ，
∴
Ｏ→Ｐ
＝
Ｏ→Ｍ＋μ Ｏ→Ｎ＝
１＋μ
１ｍ＋μａ＋１μ＋ｎμｂ．
∵ ａ，ｂ为不共线的非零向量，
ìïïα ＝１ｍ＋μ，
∴
í îïïβ
ｙ１）．（２）平面向量共线的坐标表示．若ａ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２），
ｂ≠０，则ａ与ｂ共线⇔ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝０．
需注意的几点：
①若ａ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２），则ａ∥ｂ的充要条件不能表示
成ｘ１ｘ２
＝
ｙ１ｙ２
③Ｐ为△ＡＢＣ的垂心⇔→ＰＡ·Ｐ→Ｂ＝Ｐ→Ｂ·Ｐ→Ｃ＝Ｐ→Ｃ·→ＰＡ；

高考数学一轮总复习专题5.1 平面向量的概念及线性运算练习(含解析)理

专题5.1 平面向量的概念及线性运算真题回放1.【2017年高考新课标Ⅱ卷文4题】设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则 ( ) A.a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a 【答案】A2.【2016年高考山东理8题】已知非零向量m ，n 满足4|m |=3|n |，cos ,m n =13.若n ⊥(t m +n )，则实数t 的值为（A ）4 （B ）–4（C ）94（D ）–94【答案】B【考点】平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从n ⊥(t m +n )出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好地考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.3.【2016年高考北京理4题】设,a b 是向量，则“||||=a b ”是“||||+=-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】D【考点】充要条件,向量运算【名师点睛】由向量数量积的定义||||cos θ⋅=⋅⋅a b a b (θ为a ，b 的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法. 考点分析融会贯通题型一平面向量的概念典例1 (2016-2017年河北武邑中学高二文周考)点C 在线段AB上，且，则ACuuu r 等于（）【答案】D【解析】因为点C 在线段AB 上，所以AC uuu r 等于 D.考点：向量的相等. 解题技巧与方法总结平面向量的概念问题需要牢牢抓住平行向量（共线向量）、相等向量、相反向量的概念及特征，需要注意平行向量可以包含两个向量重合的情况，这点需要与直线平行加以区别【变式训练1】(2016-2017学年河北武邑中学高一上学期月考)下列说法正确的是（） A ．零向量没有方向 B ．单位向量都相等 C ．任何向量的模都是正实数 D ．共线向量又叫平行向量【答案】D考点：向量的概念．【变式训练2】设a r是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )A ．a r 与λa r的方向相反 B ．a r 与2λa r 的方向相同 C ．|-λa r |≥| a r|D ．|-λa r |≥| λ|·a r【答案】B【解析】对于A ，当λ＞0时，a r 与λa r 的方向相同，当λ＜0时，a r 与λa r的方向相反，B 正确；对于C ，|-λa r |＝|-λ|| a r |，由于|-λ|的大小不确定，故|-λa r |与| a r|的大小关系不确定；对于D ，|λ| a r 是向量，而|-λa r|表示长度，两者不能比较大小．【变式训练3】(2015-2016学年江西上饶铅山县一中高一下学期期中)下列关系式正确的是 ( )A. 0AB BA +=uu u r uu r rB. a b ⋅r r是一个向量 C. AB AC BC -=uu u r uuu r uu u r D. 00AB ⋅=uu u r r【答案】D 【解析】试题分析：A 相反向量的和为零向量，所以A 不正确；B 两向量的数量积是一个实数，所以B 不正确；C 根据向量的减法的三角形法则，得CB AC =-AB ，故C 不正确；D 零与任何向量的数量积等等于零向量，故D 正确.考点：平面向量的线性运算；向量的数量积的定义及其性质.1.向量：既有大小又有方向的量叫作向量.向量的大小叫向量的长度(或模).2.几个特殊的向量(1)零向量：长度为零的向量，记作0，其方向是任意的. (2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.(3)平行向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线.(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.典例2 (青海省平安县第一高级中学2015~2016课后练习)设向量,a b rr 不平行，向量a b λ+r r 与2a b +r r平行，则实数λ=___________【答案】12考点：向量平行的条件解题技巧与方法总结(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量,a b r r共线是指存在不全为零的实数12,λλ，使120a b λλ+=r r r 成立；若120a b λλ+=r r r ，当且仅当12λλ==0时成立，则向量,a b r r不共线．【变式训练1】(青海省平安县第一高级中学2015~2016课后练习)已知向量i r 与j r不共线，且,,1AB i m j AD ni j m =+=+≠u u u r r r u u u r r r，若,,A B D 三点共线，则实数,m n 满足的条件是（）A. 1m n +=B. 1m n +=-C. 1mn =D. 1mn =-【解析】法一：Q ,,1AB i m j AD ni j m =+=+≠u u u r r r u u u r r r，若,,A B D 三点共线且,,A B D 三点共线所以存在非零实数λ，使AB AD λ=uu u r uuu r即()i m j ni j λ+=+r r r rQ i r 与j r不共线所以1n m λλ=⎧⎨=⎩1n m λλ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩∴1mn =法二：由题可得， AB CD uu u r uu u rP∴AB AD λ=uu u r uuu r∴11m n = ∴1mn =考点：向量共线定理【变式训练2】已知(1,0),(2,1)a b ==r r（1）当k 为何值时，ka b -r r 与2a b +r r共线？（2）若23AB a b =+uu u r r r ，BC a mb =+uu u r r r，且,,A B C 三点共线，求m 的值【答案】1-232（2）Q ,,A B C 三点共线AB BC ∴u u u r u u u rP故存在实数λ，使得AB BC λ=uu u r uu u r()23a b a mb λ+=+r r r r∴2λ=，32m =考点：向量的运算法则、共线定理知识链接：平行向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线. 两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =λa . 题型二向量的线性运算命题点1 简单的向量线性运算典例 (吉林省吉林大学附属中学2017届高三第五次摸底考试数学（理）)在梯形ABCD 中，3AB DC =uu u r uuu r ，则BC uu u r等于( )【答案】D解题技巧与方法总结(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系；④化简结果．【变式训练1】(河南省商丘市九校2016-2017学年高一下学期期中)如图12,e e u r u r为互相垂直的单位向量，向量a b c ++r r r可表示为（）A. 1223e e +u r u rB. 1232e e +u r u rC. 1232e e -u r u rD. 1233e e --u r u r【答案】B【解析】 1212122,2,2a e e b e e c e e =+=-=+u r u r u r u r u r u r r r r ，故 1232a b c e e ++=+u r u rr r r .知识链接：平面向量的基本定理如果12,e e u r u r是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数21,λλ使：1122a e e λλ=+r u r u r 其中不共线的向量12,e e u r u r叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【变式训练2】(北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）数学理)设,a b rr 是非零向量，则“,a b rr 共线”是“ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B命题点2 向量线性运算运用典例 (山东省淄博市临淄中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学（理）试题)如图在空间四边形 OABC 中，点M 在OA 上，且 2OM MA = ， N 为BC 中点，则MN uuu r等于( )A.121232OA OB OC -+uu ruu u r uuu r B.211322OA OB OC -++uu r uuu r uuu r C.111222OA OB OC +-uu ruu u r uuu r D.221332OA OB OC+-uu ruu u r uuu r【答案】B【名师点睛】进行向量的运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一点出发的基本量或首尾相接的向量，运用向量的加减运算及数乘来求解，充分利用相等的向量，相反的向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来解决【变式训练1】如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12b B.12a －bC ．a ＋12b D.12a ＋b【答案】D【解析】连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .【变式训练2】如图所示,设P 、Q 为△ABC 内的两点,且=+,=+,则△ABP与△ABQ 的面积之比为 .【答案】知识链接：1.向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法，例AB BC AC +=uu u r uu u r uuu r（1）0+0a a a =+=r r r r r；（2）向量加法满足交换律与结合律；2.向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则. 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”． 3.向量的减法：向量a r 加上b r 的相反向量叫做a r 与b r的差，记作：()a b a b -=+-r r r r 求两个向量差的运算，叫做向量的减法4.作图法：a b -r r 可以表示为从b r 的终点指向a r 的终点的向量（a r 、b r有共同起点）命题点3 向量线性运算求参数值或取值范围典例 1(黑龙江省齐齐哈尔市第一中学校2016-2017学年高一3月月考数学（理）试题)已知在ABC ∆中，点在边上，且2,CD DB CD r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则的值为（） A. 0 B. D. 3- 【答案】A【解析】分析试题由已知可得：()22223333CD CB AB AC AB AC ==-=-uu u r uu r uu u r uuu r uuu r uuu r ,所以=点睛：向量的线性运算，注意理解加法的三角形法则和平行四边形法则以及减法法则的运用. 【变式训练1】(2013·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】12【变式训练2】在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为 ( )A. 12B. 13C. 14D ．1【答案】A【解析】∵M 为BC 上任意一点，∴可设AM →＝x AB →＋y AC →(x ＋y ＝1)．∵N 为AM 的中点，∴AN →＝12AM →＝12x AB →＋12y AC →＝λ AB →＋μ AC →，∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.知识链接：三点共线的性质定理：(1)若平面上三点A 、B 、C 共线，则AB →＝λBC →.(2)若平面上三点A 、B 、C 共线，O 为不同于A 、B 、C 的任意一点，则OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.典例2【2014届广东省东莞市高三第二次模拟考试】如图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若OC =uuu r xOA yOB +uu r uu u r，则（）A.01x y <+<B.1x y +>C.1x y +<-D.10x y -<+<【答案】C【变式训练】（2014北京东城高三期末）在直角梯形ABCD 中，90,30,2,A B A BB C ∠=︒∠=︒==，点E 在线段CD 上，若AE AD AB μ=+uu u r uuu r uu u r，则实数μ的取值范围是 .【答案】102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】由题意可求得1,AD CD ==2AB DC =uu u r uuu r.因为点E 在线段CD 上，所以DE DC λ=uuu r uuu r(01λ≤≤).因为AE AD DE =+uu u r uuu r uuu r ，又AE AD AB μ=+uu u r uuu r uu u r =2AD DC μ+u u u r u u u r =2AD DE μλ+uuur uuu r ，所以2μλ=1，即μ=2λ.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12.知识交汇例1 如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．【答案】3【交汇技巧】本题将向量的共线定理与三角形重心的性质进行结合，三角形重心是三条边中线的交点，另外本题还结合了方程思想，通过消去λ得到m ，n 之间的关系例2 已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且0OA OB CO ++=uu r uu u r uu u r r，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】A【解析】由0OA OB CO ++=uu r uu u r uu u r r 得OA OB OC +=uu r uu u r uuu r，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故A ＝30°.【交汇技巧】三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，结合0OA OB CO ++=uu r uu u r uu u r r可得四边形OACB 为平行四边形的条件，得出四边形OACB 为菱形，从而求出角A 的大小练习检测1.【山东省淄博实验中学2015届高三第一学期第一次诊断考试试题，文10】在ABC ∆中，点,M N 分别是,AB AC 上，且32,5AM MB AN AC ==uuu r uuu r uuu r uuu r，线段CM 与BM 相交于点P ，且,AB a AC b ==u u u r r u u u r r，则AP uu u r 用a r 和b r 表示为( )A ．4193AP a b =+uu u r r rB ．4293AP a b =+uu u r r rC ． 2493AP a b =+uu u r r rD ．4377AP a b =+uu u r r r【答案】A2.(江西省南昌市重点学校2016-2017学年高一4月检测)已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足3BD DC =uu u r uuu r ，则AD uuu r可表示为（）A. 23AD AB AC =-+uuu r uu u r uuu rB.【答案】C【解析】如图所示，3.(2015届北京市156中学高三上学期期中考试理科)如图，向量b a -等于（）（A ）2124e e -- （B ）2142e e --（C ）213e e - （D ）213e e - 【答案】C点评：12,e e u r u r 是两个单位向量，从图上将,a b r r用单位向量表示出来4.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则 ( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上【答案】B【解析】因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B. 5.(2016-2017学年天津市静海县第一中学高二上学期期末五校联考理)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若1,,AB a BC b AA c ===uu u r r uu u r r uuu r r，则BM uuu r 可表示为（）A. 1122a b c -++r r rB. 1122a b c ++r r rC. 1122a b c --+r r rD. 1122a b c -+r r r【答案】A【解析】()111222BN BA BC a b =+=-+uuu r uu r uu u r r r Q1122BM BN NM a b c ∴=+=-++uuu r uuu r uuur r r r,故本题正确答案为A6.(江西省赣州市十四县（市）2017届高三下学期期中联考（理）)如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O ，点E ， F 分别在边AB ， AD 上，直线EF 交AC 于点K ， AK AO λ=uuu r，则λ等于（）【答案】C7.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.8.设点O 在ABC V 内部,且有40OA OB OC ++=uu r uu u r uuu r r,求△ABC 的面积与△OBC 的面积之比.【答案】S △ABC ∶S △OBC =3∶2.【解析】取BC 的中点D,连接OD,则+=2,4++=0,∴4=-(+)=-2,∴=-.∴O 、A 、D 三点共线,且||=2||,∴O 是中线AD 上靠近A 点的一个三等分点, ∴S △ABC ∶S △OBC =3∶2.9.在任意四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BC 中点，求证：()1=+2EF AB DC uu u r uu u r uuu r法二：连接EB EC uu r uu u r ，则=+EC ED DC uu u r uu u r uuu r()()11==+++=22EF EC EB ED DC EA AB +uu u r uu u r uu r uu u r uuu r uu r uu u r ()1+2AB DC uuu r uuu r。

江苏版高考数学一轮复习：专题5.1平面向量的概念及线性运算讲解附答案.doc

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】专题5.1 平面向量的概念及线性运算【考纲解读】内容要求备注ABC平面向量平面向量的概念√1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2．理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．平面向量的加法、减法及数乘运算√【直击考点】题组一常识题1．化简(()()AB BM BO CB OM -+-+u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r的结果是________．【解析】原式＝()()AB MB BO BC OM AB BO OM MB BC AC ++++=++++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r2．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(b ＋c －3x )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则x ＝______________．【解析】由2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(b ＋c －3x )＋b ＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32x －23a －12b －12c ＋b ＝0，即72x ＝23a－12b ＋12c ，所以x ＝421a －17b ＋17c .3． a 表示向东走1 km ，b 表示向南走1 km ，则a ＋b 表示向________方向走________km.【解析】易知a ＋b 表示向东南方向走 2 km.4．已知M 是△ABC 的边BC 上的中点，AB u u u r＝a ，AC u u u r ＝b ，则＝________．【解析11,()()22AB BM AM AC CM AM AM AB BM AC CM AB AC +=+=∴=+++=+=Q 12(a ＋b )．题组二常错题5．若四边形ABCD 满足12AD BC =u u u r u u u r，则四边形ABCD 的形状是________．【解析】//,||||AD BC AD BC ≠u u u r u u u r u u u r u u u r，所以四边形ABCD 是梯形．6．若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，且b 是非零向量，则a 与c 的关系是________．【解析】由共线向量的概念知，向量a 与向量c 共线．注意：若b 是零向量，则向量a 与向量c 的关系不确定．7．已知两向量a ，b ，若|a |＝1，|b |＝3，则|a ＋b |的取值范围是________．题组三常考题8．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则ED EF +=u u u r u u u r ________BE u u u r .【解析】因为D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中点，所以111,,()222ED BA EF BC ED EF BA BC BE =-=-∴+=-+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r .9．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．【解析】因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在唯一实数t ，使得λa ＋b ＝t (a ＋2b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得λ＝t ＝12.【知识清单】考点1 向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．考点2 平面向量的线性运算一．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a b b a ＋＝＋；(2)结合律：( +()a b c a b c ＋)+＝＋减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a与b 的差三角形法则1．定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝|λ||a |；②当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：①()()a a λμλμ＝；②() a a a λμλμ＋＝＋；③()a b a b λλλ＋＝＋.考点3共线向量共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa ..【考点深度剖析】本节内容是平面向量的基础，向量的加法和减法，实数与向量的积，两个向量共线的充要条件是本节的重点内容．但由于本章内容不会出现高难度的题目，所以复习时应以基本内容为主．【重点难点突破】考点1 向量的有关概念【1-1】给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A B C D ，，，是不共线的四点，则AB u u u r ＝DC u u u r 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中假命题的个数为________. 【答案】3【1-2】给出下列命题：①a b ＝的充要条件是||a b |＝|且a b //； ②若向量a 与b 同向，且||a b |>|，则a b >； ③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； ④若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； ⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ⑥任一向量与它的相反向量不相等．其中真命题的序号是________．【答案】⑤【解析】①当a 与b 是相反向量时，满足||a b |＝|且a b //，但a ≠b ，故①假； ②向量不能比较大小，故②假； ③0与任意向量平行，故③假；④当a 与b 中有零向量时，由于零向量的方向是任意的，故④假； ⑤由相等向量定义知，⑤真； ⑥0的相反向量仍是0，故⑥假．【思想方法】(1)准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．(2)几个重要结论①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； ②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．【温馨提醒】忽略 0与0的区别，把零向量 0误写成0而致误．考点2 平面向量的线性运算在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD u u u r ＝2DB u u u r ，CD u u ur ＝13CA u u u r ＋λCB u u u r ，则λ等于________. 【答案】23【2-2】平行四边形OADB 的对角线交点为C ，＝13，＝13，＝a ，＝b ，用a 、b 表示、、.【答案】OM =16a ＋56b, ON =23a ＋23b ，MN ＝12a －16b . 【解析】BA ＝a －b ，BM ＝16BA ＝16a －16b ，OM OB BM =+＝16a ＋56b ，OD ＝a ＋b ，ON OC CN =+＝12OD ＋16OD ＝23OD ＝23a ＋23b ， MN ON OM =-＝12a －16b .【思想方法】1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．【温馨提醒】注意向量运算的几何意义考点3共线向量【3-1】在ABC △中，E F 、分别为AC AB 、的中点，,BE CF 相交于G 点，设，试用a b ，表示.【答案】1133a b +【3-2】已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB PA PB λ=+，其中λ∈R ，则点P 一定在________.【答案】AC 边所在直线上【解析】由CB PA PB λ=+得CB PB PA λ-=，∴CP PA λ=.则,CP PA 为共线向量，又,CP PA 有一个公共点P C P A ∴，、、三点共线，即点P 在直线AC 上．【思想方法】1．应用共线向量定理，可以证明向量共线，也可以由向量共线确定参数的值；2.若a b ,不共线，则0a b λμ=+的充要条件是0λμ==；这一结论是解决求参数问题的重要依据；3.若AB AC λ=，则,,A B C 三点共线.【温馨提醒】向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”这一条件【易错试题常警惕】向量线性运算应注意的问题(1)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点。

5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理-5年3年模拟北京高考

5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理五年高考考点1 向量的线性运算及几何意义1．（2013陕西．3，5分）设a ，b 为向量，则,|,|||||b a b a =⋅是”“b a //的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．（2012浙江．5,5分）设a ，b 是两个非零向量． ( ) A ．若b a b a b a ⊥-=+则|,||||| B ．若,b a ⊥则||||||b a b a -=+C ．若|,|||||b a b a -=+则存在实数,λ使得a b λ=D ．若存在实数,λ使得||||||,b a b a a b -=+=则λ3．（2012辽宁，3,5分）已知两个非零向量a ，b 满足=+||b a |,|b a -则下面结论正确的是 ( )b a A //. b a B ⊥. ||||.b a C = b a b a D -=+.4．（2011山东，12，5分）设4321,,,A A A A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若),(2131R A A A A ∈=λλ∈=μμ(2141A A A A ),R 且,211=+μλ则称43,A A 调和分割⋅21,A A 已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是 ( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B.D 可能是线段AB 的中点C.C ，D 可能同时在线段AB 上D.C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上5．（2011上海．17，5分）设54321,,,,A A A A A 是空间中给定的5个不同点，则使054321=++++MA MA MA MA MA 成立的点M 的个数为( )0.A 1.B 5.C 10.D6．（2013四川．12.5分）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点,0D ,A A AB O λ=+则=λ7．（2013江苏．10.5分）设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，.32,21AD BC BE AB ==若1λ= 212,λλλ<+AL 为实数），则21λλ+的值为 8．（2011北京．10.5分）已知向量=-==c b a ),1,0(),1,3(⋅)3,(k 若a-2b 与c 共线，则=k 考点2 平面向量的基本定理及坐标表示1．(2013辽宁．3.5分)已知点A(l ，3)，B （4，-1），则与向量AB 同方向的单位向量为 ( ))5,5.(-A )5,5.(-B )5,5.(-C )5,5.(-D 2．（2013重庆．10，5分）在平面上，==⊥||||,2121OB OB AB AB .,121AB AB +=若,21||<则 ||的取值范围是( ))25,0.(A )27,25.(B )2,25.(C )2,27.(D 3．（2012大纲全国．6,5分）△ABC 中，AB 边的高为CD.若=,0,,=⋅=b a b a ===b a 则,2,1|| ( )b a A 3131.- b a B 3232.- b a C 5353.- b a D 5454.- 4．（2012广东，3，5分）若向量),7,4(),3,2(==CA BA 则=BC ( ))4,2.(--A )4,2.(B )10,6.(C )10,6.(--D5．（2012安徽．8，5分）在平面直角坐标系中，点0(0，0)，P(6，8)，将向量绕点0按逆时针方向旋转43π后得向量,则点Q 的坐标是 ( ) )2,27.(--A )2,27.(-B )2,64.(--C )2,64.(-D6．（2012重庆．6,5分）设,,R y x ∈向量c y b x a ),,1(),1,(==),4,2(-=且,//,c b C a ⊥则=+||b a ( )5.A 10.B 52.C 10.D7．（2010安徽．3,5分）设向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( )智力背景分粟子三个小女孩一共采集到770颗栗子，她们打算如往常那样，根据她们年龄的大小按比例进行分配．以往，当玛丽拿4颗栗子时，尼莉拿3颗；而每当玛丽得到6颗时，苏茜可以拿7颗，试问：每个女孩可以分到多少颗栗子？答案是最小女孩可分到198颗，年纪稍大的分得264颗，最年长的可分得308颗．||||.b a A = 22.=⋅b a B b b a C 与-.垂直 b a D //. 8．（2013北京．13,5分）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若),,(R b a c ∈+=μλμλ则=μλ解读探究知识清单1．既有大小又有方向的量叫做向量，向量可以用有向线段来表示．2．向量B A 的大小，也就是向量B A 的长度（或称模），记作.||3．长度为O 的向量叫做零向量，记作0．长度为1个单位长度的向量叫做单位向量． 4．方向相同或相反的非零向量叫做①____，也叫做②____．规定：O 与任一向量平行．5．长度相等且③____的向量叫做相等向量．6．向量加法的法则：三角形法则和平行四边形法则． 7．向量加法的交换律：a+b=b+a ，向量加法的结合律：（a+b ）+c=a+(b+c)．8．与a 长度相等，④____ 的向量叫做a 的相反向量，规定：O 的相反向量是09．实数λ与向量a 的乘积||a λ是一个向量，它的长度是a 的||λ倍，即.||||||a a λλ=它的方向:当0>λ时，与a 同向；当0<λ时，与a 反向．显然，当0=λ时，.0=a λ10.设a 、b 是任意向量，μλ、是实数，则实数与向量的积适合以下运算律：a ．结合律.;)()(b a a λμμλ= 第一分配律=+a )(μλ.;c a a μλ+第二分配律.)(b a b a λλλ+=+ 11.向量共线的判断：(1)若a 与b 是两个非零向量，则它们共线的充要条件是⑤(2)若a 与b 是两个非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数.,λ使⑥ 12.平面向量基本定理：如果21.e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数,21λλh 使,2211e e a λλ+=其中21e e 、是一组基底． 13.平面向量的坐标运算：(1)若),0)(,(),,(2211=/==b y x b y x a 则,21x x b a ±=±（).21y y ± (2)若),,(),,(2211y x B y x A 则⋅--=),(1212y y x x Ak (3)若,),,(R y x a ∈=λ则).,(y x a λλλ= 14．向量平行的坐标表示：(1)如果),,(),,(2211y x b y x a ==则a∥b 的充要条件为⑦智力背景BSD 猎想数学家总是对诸如222z y x =+这样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷，欧几里得曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，就变得极为困难．事实上，正如马蒂雅谢维奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即不存在一般的方法来确定这样的方程是否有一个整数解．当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通一戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数 z(s)在点s=l 附近的性态．(2)三点),(),,(),,(332211y x C y x B y x A 共线的充要条件为))())((12131312y y x x y y x x -----（.0=【知识拓展】1．向量是自由向量，大小和方向是向量的两个要素，在用有向线段表示向量时，要认识到有向线段的起点的选取是任意的，不要误以为向量是由起点、大小和方向三个要素决定的．一句话，研究向量问题应具有“平移”意识——长度相等、方向相同的向量都是相等向量．2．两个向量的和仍是向量．特别注意的是：在向量加法的表达式中，零向量一定要写成O ，而不应写成O ；在△ABC 中，0=++AF （如图）．3．两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：（如图）用平行四边形法则时，两个向量也是共起点，和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线),(而差向量是另一条对角线),(方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．·知识清单答案突破方法方法1 平面向量的线性运算用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加、减法，数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．例1 （2012山东聊城二模．10.5分）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,,b a ==则等于 ( )b a A 2141.+ b a B 3132.+ b a C 4121.+ b a D 3231.+解题思路解析如图，,DF AD AF +=由题意知，,31,:3:1:AB DF BE DE =∴== .3132)2121(312121b a b a b a +=-++=∴答案 B【方法点拨】向量的线性运算法则：向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”，即第二个向量的起点与第一个向量的终点重合，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”，即两个向量的起点重合，差向量由减向量的终点指向被减向量的终点；平行四边形法则的要素是“起点重合”，即两个向量的起点相同，和向量的起点也相同，方法2 平面向量共线问题向量共线定理的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了简单易行的方法，解题时要注意向量共线定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方程，以便用函数与方程的思想解题.例2（2012浙江杭州二模．11,4分）已知点A （1，-2），点AB 的中点坐标为(3，1)，且与向量),1(λ=a 共线，则=λ解题思路解析由AB 的中点坐标为(3，1)可知B(5，4)，=∴AB ),6,4(又⋅=∴=⨯-∴23,0614,//λλa AB 答案23 【方法点拨】共线向量的求解方法：向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式：b a b b a λ=⇔=/)0(//或.01221=-y x y x可以利用两个向量共线的条件列方程，求未知数的值，智力背景奔跑的狗（一）一次在德国苏步青与一位有名的数学家同乘电车时，这位数学象出了一道关于奔跑的狗的题目让苏教授解答，逸道题是：甲、乙两人同时从相距100千米的两地出发，相向而行．甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，甲带了一只狗和他同时出发，狗以每小时10千米的速度向乙奔去，遇到乙立即回头向甲奔去；遇到甲又回头向己奔去，蛊~甲、乙两人相遇时狗才停止问这只狗共跑了多少千米路？对这个问题，苏步青教授略加思索，就算出了正确的答案.三年模拟A 组 2011-2013年模拟探究专项基础测试时间：40分钟分值:45分一、选择题（每题5分，共20分）1．（2013北京石景山期末）AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，===),3,1(),4,2(A 则 ( ))4,2(⋅A )7,3(⋅B )1,1.(C )1,1.(--D2．（2013辽宁朝阳一模．5）在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，,μλ+=则μλ+ 的值为 ( )21.A 31.B 41.C 1.D 3．（2012辽宁大连沙河口3月模拟．8）非零不共线向量,且,02y x P +=若),(R AB PA ∈=λλ则点Q(x ，y)的轨迹方程是( )02.=-+y x A 012.=-+y x B 022.=-+y x C 022.=-+y x D4．（2012广东佛山三模．5）设a ),1,(),2,1(0-=-=O b a b ,0,0),0,(>>-=为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则ba 21+的最小值是 ( )二、填空题（每题5分，共15分）5．（2013北京西城高三上学期期末）已知向量==b a ),3,1().3,2(),1,2(=-c 若向量C 与向量b ka +共线，则实数=k6．（2013宁夏吴忠3月．15）在平面直角坐标系中，已知=AB ),1,2(),3,1(-=-AC 则=||BC 7．（2013江苏苏州一模．9）如图，在△ABC 中，点0是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若,C ,B AN n A AM m A ==则n m +的值为三、解答题（共10分）8．（2013山东莱芜一模，17）如图，已知△OCB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 是将分成2:1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设.,b a == (1)用a 和b 表示向量;、 (2)若,OA OE λ=求实数λ的值．B 组 2011-2013年模拟探究专项提升测试时间：45分钟分值：45分一、选择题（每题5分，共10分）1．（2013陕西黄陵一模．6）已知向量,2(),3,1(=-=),2,1(1-+=-k k 若A 、B 、C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )2.-=k A 21.=k B 1.=k C 1.-=k D 2．（2013湖北襄樊=模．8）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为B A ∠∠、.、C ∠的对边，且,a b c >>若向量)1,(b a m -=和,c b n -=（)1平行，且,54sin =B 当△ABC 的面积为23时，则=b ( ) 231.+A 2.B 4.C 32.+D 二、填空题（每题5分，共10分）3．（2013福建南平一模，14）设,,R y x ∈向量,1),1,(（==b x a )4,2(),-=c y 且,//,c b c a ⊥则=+||b a4．（2011陕西西安5月．14）在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若,3,2λ+==C A 则=λ智力背景奔跑的狗（二）解答：狗从甲、乙出发时起，直到两人相遇时止，一直在甲、乙之间奔跑，从未停止过．因此它奔跑的时间，就是甲、乙两人从开始行走到相遇时的时间，这就是解答本题的关键．时间知道了，狗跑的路程也就能算出来了．甲、乙两人从开始走到相遇共用100÷(6+4)=lO 小时，所以狗跑的总路程是10×10 =100千米．三、解答题（共25分）5．（2013吉林松原5月．18）已知平行四边形ABCD ，从平面AB-CD 外一点O 引向量,0k =OD K OH ,OC K C ,B K F ===O O O 求证：(1)四点E ，F ，G ，H 共面； (2)平面ABCD//平面EFGH.6．（2012江西九江5月模拟．17）在□ABCD 中，=A ),1,1(),0,6(点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ．(1)若),5,3(D =A 求点C 的坐标； (2)当|D |||A =时，求点P 的轨迹．。

2013届高考北师大版数学总复习课件：5.1平面向量的概念

[答案] D
[解析] 向量是既有大小又有方向的量，所以零向量必有方向，又规定零向量与任一向量平行，所以零向量是唯一的一个方向不确定的向量，故 A 错误；对平面内的任一非零向量 a 而言，
a a 由于 |a| ＝1，所以即是一个单位向量，由 | a|
a 的任意性，可知 B
错误；共线向量即平行向量，包括方向相同或方向相反的非零向量及零向量，故 C 错误；由于相等向量即长度相等且方向相同的向量，所以 D 正确．
根据本章近年高考试题的分析及最新命题立意的发展变化，宜采用以下应试对策： 1．数形结合思想是向量加法、减法运算的核心．向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．
2．向量有几何法和坐标法两种表示形式，因此它的运算也有两种方式，故向量问题的解决有两种途径 —— 几何法和代数法，在解决具体问题时要善于从不同的角度考虑问题．引入平面向量的坐标可以使向量运算完全代数化，成为数与形结合的载体；同时，增强数形转化的能力和培养运用运动变化的思想进行等价转化问题的能力，初步领会数学建模的思想和方法．
→ → → 3．设 P 是△ABC 所在平面内的一点，BC＋BA＝2BP，则 ( ) → ＋PB → ＝0 A.PA → ＋PA → ＝0 C.PC
[答案] C
→ ＋PC → ＝0 B.PB → ＋PB → ＋PC → ＝0 D.PA
→与 [解析] 方法一：由向量加法的平行四边形法则易知，BA → 的和向量过 AC 边上的中点， BC 长度是 AC 边上的中线长的二倍， → ＋PC → ＝0. 结合已知条件可知 P 为 AC 边中点，故PA → ＋BA → ＝2BP →，方法二：∵BC → ＋BC → ＋PB → ＋BA → ＝0，即PC → ＋PA → ＝0. ∴PB

2023年高考数学一轮复习核按钮版课件第5章平面向量与复数

(3)在△ABC 中，点 M，N 满足A→M＝2M→C，B→N＝N→C. 若M→N＝xA→B＋yA→C，则 x＝__________； y＝__________.
解：因为A→M＝2M→C，所以A→M＝23A→C. 因为B→N＝N→C，所以A→N＝12(A→B＋A→C)，所以M→N＝A→N－A→M ＝12(A→B＋A→C)－23A→C＝12A→B－16A→C，所以 x＝12，y＝－16. 故填12；－16.
3. 向量共线定理
向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使 b＝λa.
【常用结论】
4. 加法运算的推广 (1)加法运算的推广：A→1A2＋A→2A3＋…＋An－1An＝A→1An. (2)向量三角不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”知“<”成立；两向量共线时，可得出“＝”成立(分同向、反向两种不同情形). 5. 线性运算重要结论 (1)若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则O→P＝12(O→A＋O→B). (2)若 G 为△ABC 的重心，则G→A＋G→B＋G→C＝0. (3)若O→A＝λO→B＋μO→C(λ，μ为实数)，则点 A，B，C 共线的充要条件是 λ＋μ＝1.
【点拨】进行向量的线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决.
(1)(2020 届河南高三开学摸底)如图所示的△ABC 中，点 D，E，F 分别在边 BC，AC，
AD 上，且 BD＝DC，AE＝2EC，DF＝2AF，则向量E→F＝
(2021 宁夏大学附属中学高一月考)若 a＝2e1＋e2，b＝－2e1＋3e2，则以下向量中与 2a＋b 共

(湖北专用)高考数学一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念及其线性运算教学案理新人教A版

第五章平面向量5．1 平面向量的概念及其线性运算考纲要求1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念和向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．三角形法则平行四边形法则三角形法则a|＝______.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：__________. 1．给出下列命题：①向量AB →与向量BA →的长度相等，方向相反； ②AB →＋BA →＝0；③a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ④两个相等向量的起点相同，则其终点必相同； ⑤AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线，其中不正确的个数是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( )．A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C ．23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB → 3．平面向量a ，b 共线的充要条件是( )． A ．a ，b 方向相同B ．a 与b 中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，使b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝04．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，共线的三点是__________．5．在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝__________(用a ，b 表示)．一、向量的概念【例1】判断下列各命题是否正确． (1)零向量没有方向；(2)若|a |＝|b |，则a ＝b ； (3)单位向量都相等； (4)向量就是有向线段；(5)如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ； (6)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(7)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝CD →，BC →＝DA →； (8)a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 方法提炼1．平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．2．几个重要结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行具有传递性； (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； (3)平行向量与起点无关．请做演练巩固提升1 二、向量的线性运算【例2－1】在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB ＝3，且AD→＝13AC →＋λAB →(λ∈R )，则AD 的长为( )． A ．1 B ． 3 C ．2 3 D ．3【例2－2】如图所示，下列结论不正确的是( )．①PQ →＝32a ＋32b ；②PT →＝－32a －32b ；③PS →＝32a －12b ；④PR →＝32a ＋b .A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 方法提炼1．平面向量的线性运算法则的应用三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量的和用平行四边形法则，差用三角形法则．2．两个重要结论(1)向量的中线公式：若P 为线段AB 的中点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．(2)向量加法的多边形法则 A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.提醒：当两个向量共线(平行)时，三角形法则同样适用．向量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的，但当两个向量共线(平行)时，平行四边形法则就不适用了．请做演练巩固提升2,3 三、向量的共线问题【例3－1】设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2. (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．【例3－2】设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．方法提炼1．向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2使λ1a ＋λ2b ＝0成立．若λ1a ＋λ2b ＝0当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．提醒：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上．请做演练巩固提升5以向量为背景的新定义问题【典例】设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割点A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )．A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析：由A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )知：四点A 1，A 2，A 3，A 4在同一条直线上，且不重合．因为C ，D 调和分割点A ，B ，所以A ，B ，C ，D 四点在同一直线上，设AC →＝cAB →，AD →＝dAB →，则1c ＋1d＝2，选项A 中c ＝12，此时d 不存在，故选项A 不正确；同理选项B 也不正确；选项C 中，0＜c ＜1,0＜d ＜1，1c ＋1d＞2，也不正确，故选D.答案：D 答题指导：1．可通过特例、验证等方法理解新定义问题．2．化生为熟、化新为旧，设法把新定义问题转化为熟悉的问题来解决． 3．“按规则办事”，新定义问题怎么规定，就怎么办．1．给出下列命题：(1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． (2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． (3)λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．(4)λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．42．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于( )．A ．aB ．bC ．cD ．03．已知△ABC 和点M 满足MA u u u r ＋MB uuu r ＋MC uuu r ＝0，若存在实数m 使得AB uu u r ＋AC uuu r ＝mAM →成立，则m ＝( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 4．(2012四川高考)设a ，b 都是非零向量．下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )．A ．|a |＝|b |且a ∥bB ．a ＝－bC ．a ∥bD ．a ＝2b5．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a＋b )三向量的终点在同一条直线上？参考答案基础梳理自测知识梳理1．大小方向模长度 0 0 1个单位方向相同或相反的非零平行相等相同相等相反2．b ＋a a ＋(b ＋c ) |λ|²|a | 相同相反 0 (λμ)a λa ＋μa λa ＋λb 3．存在唯一的实数λ，使b ＝λa 基础自测1．B 解析：②中AB uu u r ＋BA uu r＝0，而不等于0；③中a 或b 为零向量满足a 与b 平行，但不能说a 与b 方向相同或相反，因为零向量方向是任意的；⑤中AB uu u r 与CD uu u r所在直线还可能平行，故②③⑤错．2．A 解析：依题意得2(OC uuu r －OA uu r )＋(OB uu u r －OC uuu r )＝0，所以OC uuu r ＝2OA uu r －OB uu u r.3．D 解析：A 中，a ，b 同向，则a ，b 共线，但a ，b 共线，a ，b 不一定同向． B 中，若a ，b 两向量中至少有一个为零向量，则a ，b 共线，但a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量．C 中，当b ＝λa 时，a 与b 一定共线，但a ，b 共线时，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 不成立．排除A ，B ，C ，故选D.4．A ，B ，D 解析：AB uu u r ＋BC uu u r ＋CD uu u r ＝AD u u ur ＝3a ＋6b ， ∵AD u u u r ＝3AB uu u r，∴A ，B ，D 三点共线．5．b －12a 解析：BE uur ＝BC uu u r ＋CE uur ＝AD u u u r ＋12BA uu r ＝b －12a .考点探究突破【例1】解：(1)不正确，零向量方向是任意的； (2)不正确；两向量模相等．方向不一定相同； (3)不正确；要看向量方向是否相同； (4)不正确；(5)不正确；(6)正确；(7)不正确；(8)不正确，a ∥b ，两向量方向不一定相同．【例2－1】 C 解析：如图所示，因为B ，D ，C 三点共线，所以λ＋13＝1，即λ＝23.在AB 上取一点E 使AE uu u r ＝23AB uu u r ，在AC 上取一点F 使AF u u u r ＝13AC uuu r，由AD u u u r ＝13AC uuu r ＋23AB uu ur ＝AF u u u r ＋AE uu u r ，可知四边形AEDF 为平行四边形，又∠BAD ＝∠CAD ＝30°，所以▱AEDF 为菱形．因为AE uu u r ＝23AB uu u r，AB ＝3，所以菱形的边长为2.在△ADF 中，AD sin 120°＝DFsin 30°，所以AD ＝sin 120°²DFsin 30°＝2 3.故选C.【例2－2】 D 解析：由a ＋b ＝23PQ uu ur ，知PQ uu u r ＝32a ＋32b .①正确；由PT uu u r ＝32a －32b ，从而②错误；PS uu r ＝PT uu u r＋b ，故PS uu r ＝32a －12b ，③正确；PR uur ＝PT uu u r ＋2b ＝32a ＋12b ，④错误．故正确的结论为①③，故选D.【例3－1】解：(1)证明：由已知得BD uu u r ＝CD uu u r －CB uu r＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB uu u r ＝2e 1－8e 2，∴AB uu u r ＝2BD uu u r ，又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)由(1)可知BD uu u r ＝e 1－4e 2，且BF uu u r＝3e 1－k e 2，由B ，D ，F 三点共线，所以存在实数λ，使得BF uu u r ＝λBD uu u r，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ，解得k ＝12，∴k ＝12. 【例3－2】 (1)证明：∵AB uu u r ＝a ＋b ，BC uu u r ＝2a ＋8b ，CD uu u r＝3(a －b )， ∴BD uu u r ＝BC uu u r ＋CD uu u r＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB uu u r . ∴AB uu u r 与BD uu u r共线．∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解：∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝ (λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝(λk －1)＝0. ∴k ＝±1. 演练巩固提升1．C 解析：(1)错，两向量共线要看其方向而不是起点与终点；(2)对，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小；(3)错，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0；(4)错．当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ，此时，a 与b 可以是任意向量．2．D 解析：∵a ＋b 与c 共线， ∴存在实数λ1，使得a ＋b ＝λ1c .① 又∵b ＋c 与a 共线，∴存在实数λ2，使得b ＋c ＝λ2a .② 由①得，b ＝λ1c －a .∴b ＋c ＝λ1c －a ＋c ＝(λ1＋1)c －a ＝λ2a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋1＝0，λ2＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝－1.∴a ＋b ＋c ＝－c ＋c ＝0.3．B 解析：由已知条件可得M 为△ABC 的重心，设BC 的中点为D ，则AB uu u r ＋AC uuu r＝2AD u u u r ，又AM uuu r ＝23AD u u u r，故m ＝3.4．D 解析：若a|a |＝b |b |，则向量a|a |与b|b |是方向相同的单位向量，所以a 与b 应共线同向，故选D.5．解：设OA uu r ＝a ，OB uu u r ＝t b ，OC uuu r ＝13(a ＋b )，∴AC uuu r ＝OC uuu r －OA uu r ＝－23a ＋13b ，AB uu u r ＝OB uu u r －OA uu r＝t b －a .要使A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使AC uuu r＝λAB uu u r ，即－23a ＋13b ＝λt b －λa ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt .∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上．。

高考数学专题复习五-5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示-模拟练习题(附答案)

专题五平面向量5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示基础篇考点一平面向量的概念及线性运算1.(2022吉林第三次调研,5)已知向量a =(4,3),则与向量a 垂直的单位向量的坐标为 ( ) A.(45,35) B.(35,−45)C.(−45,−35)或(45,35) D.(35,−45)或(−35,45) 答案 D2.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD =2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.3m -2n B.-2m +3n C.3m +2n D.2m +3n 答案 B3.(2022四川绵阳二模,6)已知平面向量a ,b 不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a +6b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a +3b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +3b ,则( )A.A ,B ,D 三点共线B.A ,B ,C 三点共线C.B ,C ,D 三点共线D.A ,C ,D 三点共线答案 D4.(2022江西宜春4月联考,7)如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =38AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.38AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −58AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.-58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 C5.(2023届江西宜春月考,7)已知S △ABC =3,点M 是△ABC 内一点且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△MBC 的面积为( )A.14B.13C.34D.12答案 C6.(2023届哈尔滨三中月考二,5)在△ABC 中,点D 是线段BC 上任意一点,且满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若存在实数m 和n ,使得BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m +n = ( )A.23 B.13 C.-23 D.−13 答案 C7.(2022贵州适应性考试,14)在平行四边形ABCD 中,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ .若CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ= . 答案 23考点二平面向量基本定理及坐标表示考向一平面向量基本定理1.(2022江西重点中学联考二,5)设e 1,e 2是两个不共线的平面向量,若a =3e 1-2e 2,b =e 1+ke 2,且a 与b 共线,则实数k 的值为( ) A.-12 B.12 C.−23 D.23 答案 C2.(2022甘肃顶级名校第二次联考,14)如图,在△ABC 中,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +4y 的值为 .答案 13.(2022东北三省三校联考(二),14)在正六边形ABCDEF 中,点G 为线段DF (含端点)上的动点,若CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCD ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R ),则λ+μ的取值范围是 . 答案 [1,4]考向二平面向量的坐标运算1.(2022黑龙江齐齐哈尔第一中学一模,3)已知向量a =(3,-2),b =(m ,1),若a ⊥b ,则a -3b = ( )A.(0,5)B.(5,1)C.(1,-5)D.(152,−5) 答案 C2.(2023届四川内江六中9月联考,1)已知向量a =(1,2),b =(1,1),若c =a +kb ,且b ⊥c ,则实数k =( )A.32B.−53C.53D.−32答案 D3.(2021云南统一检测一,7)已知向量a =(32,1),b =(−12,4),则 ( )A.a ∥(a -b )B.a ⊥(a -b )C.(a -b )∥(a +b )D.(a -b )⊥(a +b ) 答案 B4.(2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量a =(1,2),b =(2,-2),c =(1,λ).若c ∥(2a +b ),则λ= . 答案 125.(2022合肥二模,13)已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2t ,t +5),若A ,B ,C 三点共线,则t = . 答案 -16.(2021全国甲,14,5分)已知向量a =(3,1),b =(1,0),c =a +kb.若a ⊥c ,则k = . 答案 -1037.(2022河南中原名校4月联考,13)已知向量a =(-1,1),b =(-2,4),若a ∥c ,a ⊥(b +c ),则|c |= . 答案 3√28.(2023届河南安阳调研测试,13)设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a -b |2=|a |2-|b |2,则实数m = . 答案 39.(2019上海,9,5分)过曲线y 2=4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线y 2=4x 交于A 、B ,A 在B 上方,M 为抛物线上一点,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ-2)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= . 答案 310.(2022湘豫名校4月联考,13)已知向量a =(-1,3),b =(2x ,-x ),其中x ∈R ,则|a -b |的最小值为 . 答案 √5综合篇考法一平面向量的线性运算1.(2021贵州安顺模拟,5)如图,在正六边形ABCDEF 中,M 为DE 的中点,设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.54a -34b B.-34a +54b C.54a +34b D.34a +54b 答案 D2.(2022届江苏南通如皋调研,7)如图,已知OA =2,OB =2,OC =1,∠AOB =60°,∠BOC =90°,若OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x y= ( )A.√3B.12 C.√33D.23答案 C3.(2021皖江名校4月联考,10)在△ABC 中,AC ⊥AB ,AB =2,AC =1,点P ,M 是△ABC 所在平面内一点,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗ |+2AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |,且满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2λ+μ的最小值是 ( )A.3+√2B.5C.1D.3−√2 答案 D4.(2023届河南名校诊断测试一,10)已知△ABC 中,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,过点O 的直线分别交射线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,则△AMN 与△ABC 的面积之比的最小值为 ( )A.2√23B.49C.89 D.2答案 C5.(2022山西大同重点中学4月联考,14)在△ABC 中,若AD 是∠BAC 的平分线,且D 在边BC 上,则有ABAC =BDDC ,称之为三角形的内角平分线定理.已知在△ABC 中,AC =4,BC =6,AB =8,P 是△ABC 的内心,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则xy = . 答案8816.(2022昆明五华模拟,15)如图,在矩形ABCD 中,AB =4,AD =3,以CD 为直径的半圆上有一点P ,若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为 .答案 737.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ,n ∈R ),则m +n = .答案 3考法二向量共线问题1.(2021山西孝义二模,6)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,cos α),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2sin α),若A ,B ,D 三点共线,则tan α=( )A.-2B.-12 C.12 D.2 答案 A2.(2022安徽蚌埠三模,11)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥DC 且AB =2DC ,点E 为线段BC 的靠近点C 的一个四等分点,点F 为线段AD 的中点,AE 与BF 交于点O ,且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +y 的值为( )A.1B.57C.1417D.56答案 C3.(2022江西九大名校3月联考,9)在△ABC 中,点D 在线段AC 上,且满足|AD |=13|AC |,点Q 为线段BD 上任意一点,若实数x ,y 满足AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则1x+1y的最小值为 ( )A.4B.4√3C.8D.4+2√3 答案 D4.(2021江西上饶2月联考,10)在三角形ABC 中,E 、F 分别为AC 、AB 上的点,BE 与CF 交于点Q ,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,延长AQ 交BC 于点D ,AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λQD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ的值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C5.(2022豫北名校联盟4月联考,14)如图所示,A ,B ,C 是圆O 上的三点,线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D ,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m +n 的取值范围为 .答案 (-1,0)。

课时作业18：§5.1　平面向量的概念及线性运算

§5.1 平面向量的概念及线性运算一、选择题1．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC →＋CB →＝0，则向量OC →＝( ) A.23 OA →－13OB →B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA →－OB →D ．－OA →＋2OB →2．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( ) A ．aB ．bC ．cD ．03．设点M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB →＋32MA →＋32MC →＝0，点D 是AC 的中点，则|MD |→|BM |→的值为( ) A.13B ．12C ．1D ．24．在△ABC 中，BD →＝3DC →，若AD →＝λ1AB →＋λ2AC →，则λ1λ2的值为( ) A.116B ．316C ．12D ．1095．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →， CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( ) A ．反向平行 B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直6．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋CO →＝0，则△ABC 的内角A ＝( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则xy x ＋y 的值为( )A ．3B ．13C ．2D ．128．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积的比值为( )A.15B ．25C.35D ．45二、填空题9．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.10．若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB ＋AC →|＝________.11．已知点D 为△ABC 所在平面上一点，且满足AD →＝15AB →－45CA →，△ACD 的面积为1，则△ABD 的面积为________．12．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝2 3，BC ＝2，点E 在线段CD 上．若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．三、解答题13．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．【参考答案】一、选择题 1．C【解析】因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →. 2．D【解析】依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a.又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，即a ＋b ＝－c ，所以a ＋b ＋c ＝0. 3．A【解析】∵D 是AC 的中点，如图，延长MD 至E ，使得DE ＝MD ，∴四边形MAEC 为平行四边形，∴MD →＝12ME →＝12(MA →＋MC →)，∴MA →＋MC →＝2MD →.∵MB →＋32MA →＋32MC →＝0，∴MB →＝－32(MA →＋MC →)＝－3MD →，∴BM →＝3MD →，∴|MD |→|BM |→＝|MD |→3|MD |→＝13.故选A.4．B【解析】由题意得，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →，∴λ1＝14，λ2＝34，∴λ1λ2＝316. 5．A【解析】由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋13AC →，CF →＝CB →＋BF →＝CB→＋13BA →，因此AD →＋BE →＋CF →＝CB →＋13(BC →＋AC →－AB →)＝CB →＋23BC →＝－13BC →，故AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行．【解析】由OA →＋OB →＋CO →＝0，得OA →＋OB →＝OC →，由O 为△ABC 外接圆的圆心，可得|OA →|＝|OB →|＝|OC →|.设OC 与AB 交于点D ，如图，由OA →＋OB →＝OC →可知D 为AB 的中点，所以OC →＝2OD →，D 为OC 的中点．又由|OA →|＝|OB →|可知OD ⊥AB ，即OC ⊥AB ，所以四边形OACB 为菱形，所以△OAC 为等边三角形，即∠CAO ＝60°，故∠BAC ＝30°.7．B【解析】由已知得M ，G ，N 三点共线，∴AG →＝λAM →＋(1－λ)AN →＝λxAB →＋(1－λ)yAC →. ∵点G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，∴⎩⎨⎧λx ＝13，(1－λ)y ＝13，即⎩⎨⎧λ＝13x，1－λ＝13y，得13x ＋13y ＝1，即1x ＋1y ＝3，通分得x ＋y xy＝3， ∴xy x ＋y ＝13. 8．C【解析】设AB 的中点为D ，如图，连接MD ，MC ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得5AM →＝2AD →＋3AC → ①，即AM →＝25AD →＋35AC →，即25＋35＝1，故C ，M ，D 三点共线．又AM →＝AD →＋DM → ②，联立①②，得5DM →＝3DC →，即在△ABM 与△ABC 中，边AB 上的高的比值为35，所以△ABM与△ABC 的面积的比值为35.二、填空题【解析】由MA →＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心．设点D 为底边BC 的中点，则AM →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝3AM →.故m ＝3. 10．2 3【解析】∵|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，∴△ABC 是边长为2的正三角形，∴|AB →＋AC →|为△ABC 的边BC 上的高的2倍， ∴|AB →＋AC →|＝2×2sin π3＝2 3.11．4【解析】由AD →＝15AB →－45CA →，得5AD →＝AB →＋4AC →，即AD →－AB →＝4(AC →－AD →)，即BD →＝4DC →，∴点D 在边BC 上，且|BD →|＝4|DC →|.故△ABD 的面积是△ACD 的面积的4倍，故△ABD 的面积为4. 12．⎣⎡⎦⎤0，12 【解析】由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB →＝2DC →.∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC → (0≤λ≤1)．∵AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12，即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 三、解答题13．(1)解：延长AD 到G ，使AD →＝12AG →，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，如图，所以AG →＝AB →＋AC →＝a ＋b ，AD →＝12AG →＝12(a ＋b )，AE →＝23AD →＝13(a ＋b )，AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE →＝23BF →，又因为BE →，BF →有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．。

2020年高考山东版高考理科数学 5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示

专题五平面向量【真题典例】5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示挖命题【考情探究】分析解读 1.从“方向”与“大小”两个方面理解平面向量的概念.2.结合图形理解向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.3.掌握求向量坐标的方法,掌握平面向量的坐标运算,并能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题.4.用坐标表示的平面向量共线的条件是高考考查的重点,分值约为5分,属中低档题.破考点【考点集训】考点一平面向量的概念及线性运算1.(2018陕西西安中学11月月考,5)给出下列四个命题:①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;③若a=b,b=c,则a=c;④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.其中正确命题的序号是( )A.①②B.②③C.③④D.②④答案B2.(2018辽宁六校协作体期中联考,4)设非零向量a,b,下列四个条件中,使=成立的充分条件是( )A.a∥bB.a=2bC.a∥b且|a|=|b|D.a=-b答案B3.(2017河南中原名校4月联考,7)如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若=λ+μ(λ,μ为实数),则λ2+μ2=( )A. B. C.1 D.答案A考点二平面向量基本定理及坐标运算1.(2017河北衡水中学三调考试,6)在△ABC中,=,若P是直线BN上的一点,且满足=m+,则实数m的值为( )A.-4B.-1C.1D.4答案B2.(2018湖南湘东五校4月联考,15)在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若=λ+μ,则实数λ+μ=.答案3.(2018吉林长春期中,15)向量,,在正方形网格中的位置如图所示,若=λ+μ(λ,μ∈R),则= .答案 2炼技法【方法集训】方法1 平面向量的线性运算技巧和数形结合的方法1.(2018河北唐山二模,4)已知O是正方形ABCD的中心.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则=( )A.-2B.-C.-D.答案A2.(2018辽宁葫芦岛期中,3)在△ABC中,G为重心,记=a,=b,则=( )A.a-bB.a+bC.a-bD.a+b答案A方法2 向量共线问题的解决方法1.(2018陕西部分名校摸底考试,7)如图,在△ABC中,=,P是BN上一点,若=m+,则实数m 的值为( )A. B. C. D.答案D2.(2017福建福州3月质检,6)设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C 三点共线,则+的最小值为( )A.4B.6C.8D.9答案C3.(2018四川德阳三校联考,11)在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,I是△ABC的内心,若=m+n(m,n∈R),则=( )A. B. C.2 D.答案B4.(2018中原名校联考,15)如图,在△ABC中,点M是BC的中点,N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,则= .答案 4方法3 平面向量的坐标运算技巧1.(2018辽宁丹东五校协作体联考,4)向量a=,b=(cos α,1),且a∥b,则cos 2α=()A. B.- C. D.-答案C2.(2018重庆一中月考,10)给定两个单位向量,,且·=-,点C在以O点为圆心的圆弧AB上运动,=x+y,则x-y的最小值为( )A.-B.-1C.-2D.0答案B3.(2017福建四地六校4月联考,13)已知A(1,0),B(4,0),C(3,4),O为坐标原点,且=(+-),则||等于.答案2过专题【五年高考】A组山东省卷、课标卷题组考点一平面向量的概念及线性运算1.(2018课标Ⅰ,6,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( )A.-B.-C.+D.+答案A2.(2015课标Ⅰ,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点,=3,则( )A.=-+B.=-C.=+D.=-答案A3.(2014课标Ⅰ,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为. 答案90°考点二平面向量基本定理及坐标运算1.(2016课标Ⅱ,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( )A.-8B.-6C.6D.8答案D2.(2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=.答案3.(2015课标Ⅱ,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.答案B组其他自主命题省(区、市)卷题组考点一平面向量的概念及线性运算(2015北京,13,5分)在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x= ,y= .答案;-考点二平面向量基本定理及坐标运算1.(2015湖南,8,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为( )A.6B.7C.8D.9答案B2.(2014福建,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( )A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案B3.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若m a+n b=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为.答案-34.(2014北京,10,5分)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=.答案5.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.(1)若++=0,求||;(2)设=m+n(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值. 解析(1)解法一:∵++=0,又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),∴--解得x=2,y=2,即=(2,2),故||=2.解法二:∵++=0,则(-)+(-)+(-)=0,∴=(++)=(2,2),∴||=2.(2)∵=m+n,∴(x,y)=(m+2n,2m+n),∴两式相减得,m-n=y-x,令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.评析本题考查了向量线性坐标运算,简单的线性规划等知识;考查运算求解,数形结合、转化与化归的思想.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2019届山东淄博实验中学第一次诊断,9)已知△ABC和点M满足++=0,若存在实数m,使得+=m成立,则m=( )A.2B.3C.4D.5答案B2.(2019届山东青岛高三初期调研,6)已知向量a=(-1,1),b=(3,m),若a∥(a+b),则m=( )A.-2B.2C.-3D.3答案C3.(2019届山东博兴一中10月质检,9)如图,在△ABC中,点D在BC边上,且CD=2DB,点E在AD边上,且AD=3AE,则用向量,表示为( )A.+B.-C.+D.-答案B4.(2018江西师大附中12月模拟,10)设D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,则+2+3=( )A. B. C. D.答案D5.(2018河北衡水中学2月调研,5)直线l与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于点E,F,且交其对角线AC于点M,若=2,=3,=λ-μ(λ,μ∈R),则μ-λ=()A.-B.1C.D.-3答案A6.(2017河北冀州模拟,7)已知向量a=,b=(4,4cos α-),若a⊥b,则sin=( )A.-B.-C.D.答案B二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2018河北衡水中学9月大联考,13)已知向量a=,b=(k,1),若a∥b,则k= .答案 18.(2018河北石家庄重点中学12月联考,14)在平行四边形ABCD中,M为BC的中点,若=λ+μ,则λμ=.答案9.(2017山西大学附中模拟,15)在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=1,AB=2,E,F分别为AB,BC 的中点,点P在以A为圆心,AD长为半径的圆弧DE上运动(如图所示).若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则2λ-μ的取值范围是.答案[-1,1]三、解答题(共10分)10.(2018河南许昌、平顶山两市联考,21)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,M为平面上任意一点,A,B,C 三点满足=+.(1)求证:A,B,C三点共线,并求的值;(2)已知A(1,sin x),B(1+sin x,sin x),M,x∈(0,π),且函数f(x)=·+-·||的最小值为,求实数m的值.解析(1)证明:∵=+,备战2020高考∴-=(-),∴=,又∵,有公共点B,∴A,B,C三点共线.∵=,∴=3.(2)∵A(1,sin x),B(1+sin x,sin x),M,O(0,0),∴·=1+sin x+sin2x,=(sin x,0).又x∈(0,π),∴||=sin x,∴f(x)=·+-·||=sin2x+2msin x+1.设t=sin x,∵x∈(0,π),∴t∈(0,1],∴y=t2+2mt+1=(t+m)2+1-m2.①当-m≤0,即m≥0时,y=t2+2mt+1无最小值,不符合题意;②当0<-m≤1,即-1≤m<0时,当t=-m时,y min=1-m2=,∴m=-舍去;③当-m>1,即m<-1时,当t=1时,y min=2+2m=,∴m=-,此时m>-1,不符合题意.综上可知,m=-.。

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例２、如图，设0是正六边形ABCDEF的
中心，分别写出图中与向量 0 A,OB, OC 相等的向量。
解：
OA CB DO
OB DC EO
B A
OC AB ED FO C
D
O
FEຫໍສະໝຸດ 1、与 OA 长度相等的向量与多少个？ 2、与长度相等， OA 方向相反的向量有哪些？ 3、与共线的向量是哪些？ OA
EP PF
小结：

１、描述一个向量有2个指标：模和方向 2、平行向量（共线向量）：指方向相同或相反的向量，与长度无关，与是否在同一直线上无关 3、向量的表示：①箭头 ②起点和终点 4、向量相等：长度和方向都相等
判断：

1、若 | a || b | ，则 ab 2、两向量相等的充要条件是他们的起点和终点相同 3、若 AB DC ，则四边形ABCD是平行四边形 4、若四边形ABCD是平行四边形，则 AB DC 5、若 a b, b c, 则 a c
B
A
O
C F
D
E
练习：
1、下列各量中是向量的是（） A、动能 B、重量 C、质量 D、长度 2、等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，点E、F分别在两腰AD、BC上，EF过点P且EF//AB，则下列式子中正确的是（） A、 B、
AD BC
AC BD
C、PE PF D、 3、物理学中作用力和反作用力是模（）方向（）的共线向量
5.１
平面向量
向量的意义

1、意义：既有大小又有方向的量叫做向量 2、表示方法：常用有向线段或字母来表示。 AB 3、模：线段AB的长度，写作
AB
A
a
B
相关概念

1、零向量：长度为零的向量，方向是

任意的 2、单位向量：长度为1个单位的向量 3、平行向量：方向相同或相反的非零向量 4、共线向量：平行向量也叫共线向量 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量
例1、判断下列命题的真假或给出问题的答案

X 1、平行向量的方向一定相同 X 2、不相等的向量一定不平行 3、与任何向量都平行的向量是什么向量？零 4、与零向量相等的向量是什么向量零平行 5、两个向量在同一直线上，则他们是什么向量？长度相等且 6、两个非零向量相等的充要条件是什么？方向相同 7、共线向量一定在同一直线 X