2020年 高考数学(文科)常考基础题、易错题 提分必刷题之 算法
2020年 高考数学(文科)总复习超级详细讲解 效率提分之第2章 2.3
§2.3函数的奇偶性与周期性考情考向分析以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以填空题为主，中等偏上难度．1．函数的奇偶性2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．概念方法微思考1．如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？提示在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)．(2)f(x＋a)＝1f(x)(a≠0)．(3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)．提示(1)T＝2|a|(2)T＝2|a|(3)T＝|a－b|题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(×)(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)题组二教材改编2．[P45习题T11]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________.答案－2解析f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.3．[P43练习T4]函数y＝f(x)为(－∞，＋∞)上的偶函数，且f(|a|)＝3，则f(－a)＝________. 答案 3解析若a≥0，则f(－a)＝f(a)＝f(|a|)＝3；若a<0，则f(－a)＝f(|a|)＝3.故对a∈R，总有f(－a)＝3.4．[P45习题T8]若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝________.答案 1解析∵f(x)＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a为偶函数，∴f(－x)＝f(x)对x∈R恒成立，∴(1－a)x＝(a－1)x恒成立，∴1－a＝0，∴a＝1.题组三 易错自纠5．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． 答案 13解析 ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.6．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________. 答案 3解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)． 又f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴f (1)＝f (3)． ∴f (－1)＝3.题型一 函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2＋x 2－36； (2)f (x )＝ln (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧36－x 2≥0，x 2－36≥0，得x 2＝36，解得x ＝±6，即函数f (x )的定义域为{－6,6}，关于原点对称， ∴f (x )＝36－x 2＋x 2－36＝0. ∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ， ∴f (x )＝ln (1－x 2)－x.又∵f (－x )＝ln[1－(－x )2]x ＝ln (1－x 2)x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．跟踪训练1 (1)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是________．答案 2解析函数y＝x3，y＝2sin x为奇函数，y＝2x为非奇非偶函数，y＝x2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2.(2)函数f(x)＝lg|sin x|是________．(填序号)①最小正周期为π的奇函数；②最小正周期为2π的奇函数；③最小正周期为π的偶函数；④最小正周期为2π的偶函数．答案③解析易知函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sin x|＝lg|sin x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y＝|sin x|的最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sin x|是最小正周期为π的偶函数．题型二 函数的周期性及其应用1．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝________. 答案 －2解析 f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2 020)＝________. 答案 －2－ 3解析 由f (x ＋2)＝1－f (x )，得f (x ＋4)＝1－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (2 020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3.故f (2 020)＝－2－ 3.3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________. 答案 6解析 ∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)． 又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.4．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x <1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案2－1解析 依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2， 则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0. ∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋0＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0) ＝122－1＋20－1 ＝2－1.思维升华 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．题型三 函数性质的综合应用命题点1 求函数值或函数解析式例 2 (1)设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，－2≤x <0，ax －1，0<x ≤2，则f (2 021)＝________. 答案 －12解析 设0<x ≤2，则－2≤－x <0，f (－x )＝－ax ＋b .因为f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，所以－2a ＋b ＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2 021)＝f (1)＝12×1－1＝－12.(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，则f (x )＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧e－x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0 解析 ∵当x >0时，－x <0， ∴f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0.命题点2 求参数问题例3 (1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝__________. 答案 1解析 ∵f (－x )＝f (x )，∴－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)， ∴ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0. ∴ln a ＝0，∴a ＝1.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 答案 －10解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12且f (－1)＝f (1)， 故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.(3)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋ax －1－a ，若函数f (x )为R 上的减函数，则a 的取值范围是____________． 答案 [－1,0]解析 因为函数f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，若函数f (x )为R 上的减函数，则满足当x >0时，函数为减函数，且－1－a ≤0，此时⎩⎪⎨⎪⎧－a －2＝a 2≤0，－1－a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ≥－1，即－1≤a ≤0. 命题点3 利用函数的性质解不等式例4 (1)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，若f (ln x )<f (2)，则x 的取值范围是________． 答案 (e －2，e 2)解析 根据题意知，f (x )为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f (ln x )<f (2)⇔|ln x |<2， 即－2<ln x <2，解得e －2<x <e 2，即x 的取值范围是(e －2，e 2)． (2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为______________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，1解析 由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)， 由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)． 当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2， 因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x 2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0， 解得13<x <1.所以符合题意的x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.思维升华 解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．跟踪训练2 (1)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝________. 答案 －12解析 由题意可知，f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12. (2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小关系为________． 答案 f (－25)<f (80)<f (11)解析 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数且满足f (x －4)＝－f (x )， 得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数， 所以f (－1)<f (0)<f (1)． 所以f (－25)<f (80)<f (11)．(3)已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (6－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________． 答案 (－3,2)解析 ∵g (x )是奇函数，∴当x >0时，－x <0，g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )， 易知f (x )在R 上是增函数， 由f (6－x 2)>f (x )，可得6－x 2>x ， 即x 2＋x －6<0，∴－3<x <2.函数的性质函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．一、函数性质的判断例1 (1)已知函数f (x )＝ax 2＋1x ，其中a ∈R .讨论函数f (x )的奇偶性，并证明你的结论．解 方法一 f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )恒成立，即ax 2－1x ＝－ax 2－1x，得2ax 2＝0恒成立，所以a ＝0； 若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )恒成立， 即ax 2－1x ＝ax 2＋1x ，得2x ＝0，这是不可能的．综上所述，当a ＝0时，f (x )为奇函数； 当a ≠0时，f (x )为非奇非偶函数．方法二 f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 当a ＝0时，f (x )＝1x ，f (－x )＝－1x ＝－f (x )，此时f (x )为奇函数；当a ≠0时，f (－1)＝a －1，f (1)＝a ＋1， 则f (－1)≠－f (1)且f (－1)≠f (1)， 所以f (x )是非奇非偶函数． (2)下列函数： ①y ＝sin 3x ＋3sin x; ②y ＝1e x ＋1－12；③y ＝lg 1－x1＋x；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x －1，x >0.其中是奇函数且在(0,1)上是减函数的是________．(填序号) 答案 ②③解析 易知①中函数在(0,1)上为增函数；④中函数不是奇函数；满足条件的函数为②③. (3)定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋2)＝0，且f (4－x )＝f (x )．现有以下三个命题： ①8是函数f (x )的一个周期；②f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③f (x )是偶函数． 其中正确命题的序号是________． 答案 ①②③解析 由f (x )＋f (x ＋2)＝0可得 f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的最小正周期是4，①对； 由f (4－x )＝f (x )，可得f (2＋x )＝f (2－x )，f (x )的图象关于直线x ＝2对称，②对；f (4－x )＝f (－x )且f (4－x )＝f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，f (x )为偶函数，③对． 二、函数性质的综合应用例2 (1)(2018·全国Ⅱ改编)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝________.答案 2解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0， 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.(2)(2018·南京、盐城模拟)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增函数．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤1e ，e解析 f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ＝f (ln t )＋f (－ln t ) ＝2f (ln t )＝2f (|ln t |)， 于是f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)， 所以f (|ln t |)≤f (1)，所以|ln t |≤1，所以－1≤ln t ≤1， 所以1e≤t ≤e.(3)(2018·扬州期末)已知函数f (x )＝sin x －x ＋1－4x2x ，则关于x 的不等式f (1－x 2)＋f (5x －7)<0的解集为________． 答案 (2,3)解析 因为f (－x )＝sin(－x )＋x ＋1－4－x2－x＝－sin x ＋x ＋4x －12x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．又因为f(x)＝sin x－x＋12x－2x，所以易判断f(x)在R上单调递减，所以f(1－x2)＋f(5x－7)<0，即f(1－x2)<f(7－5x)，所以1－x2>7－5x，即x2－5x＋6<0，解得2<x<3.1．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是________．(填序号) ①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.答案②④解析由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，①f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；②f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；③－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数． 可知②④正确．2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝________. 答案 －3解析 由f (x )为R 上的奇函数，知f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1， 则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3. 3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0为________函数．(填“奇”或“偶”)答案 奇解析 f (x )的定义域为R (关于原点对称)．(1)当x ＝0时，－x ＝0，f (－x )＝f (0)＝0，f (x )＝f (0)＝0，∴f (－x )＝－f (x )； (2)当x >0时，－x <0， ∴f (－x )＝－(－x )2－2(－x )－3 ＝－(x 2－2x ＋3)＝－f (x )； (3)当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋3 ＝－(－x 2－2x －3)＝－f (x )．由(1)(2)(3)可知，当x ∈R 时，都有f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．4．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝________. 答案 －2解析 ∵函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且周期为2， ∴f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝124-＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2. 5．已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 解析 f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (log 2x )>2＝f (1)⇔f (|log 2x |)>f (1)⇔|log 2x |>1⇔log 2x >1或log 2x <－1⇔x >2或0<x <12.6．已知偶函数f (x )对于任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在区间[0,1]上是单调递增的，则f (－6.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是________．(用“<”连接) 答案 f (0)<f (－6.5)<f (－1)解析 由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴函数f (x )的周期是2. ∵函数f (x )为偶函数，∴f (－6.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,1]上是单调递增的， ∴f (0)<f (0.5)<f (1)，即f (0)<f (－6.5)<f (－1)．7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. 答案 －32解析 函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝2ax ＝ln e 2ax ，即1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x (e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0恒成立， 所以a ＝－32.8．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝ln x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2的值为________． 答案 －ln 2解析 由已知可得f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝ln 1e 2＝－2， 所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝f (－2)． 又因为f (x )是奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝f (－2)＝－f (2)＝－ln 2. 9．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________． 答案 9解析 由于f (x )在[3,6]上为增函数，所以f (x )的最大值为f (6)＝8，f (x )的最小值为f (3)＝－1，因为f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝1，所以f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9.10．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________． 答案 －25解析 由已知f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋a ， f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫92－4＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 又∵f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则－12＋a ＝110，a ＝35， ∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. 经检验，m ＝2符合题意．(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)解∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8. ∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．13．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x＋2)＝1f(x)对任意x∈R恒成立，则f(2 023)＝________. 答案 1解析因为f(x)>0，f(x＋2)＝1f(x)，所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝1f(x＋2)＝11f(x)＝f(x)，即函数f(x)的周期是4，所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)．因为函数f(x)为偶函数，所以f (2 023)＝f (－1)＝f (1)．当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1f (1).由f (x )>0，得f (1)＝1，所以f (2 023)＝f (1)＝1.14．已知函数f (x )＝x 3＋2x ，若f (1)＋1(log 3)af >0(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (0,1)∪(3，＋∞)解析 因为函数f (x )＝x 3＋2x 是奇函数，且在R 上是增函数，f (1)＋1(log 3)af >0，所以1(log 3)a f >－f (1)＝f (－1)，所以1log 3a >－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧1a >1，0<a <3或⎩⎪⎨⎪⎧0<1a <1，3<a ，所以a ∈(0,1)∪(3，＋∞)．15．已知函数f (x )＝sin x ＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－2，23 解析 易知f (x )在R 上为单调递增函数，且f (x )为奇函数，故f (mx －2)＋f (x )<0等价于f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，则mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h (m )＝mx ＋x－2，m ∈[－2,2]，此时，只需⎩⎪⎨⎪⎧h (－2)<0，h (2)<0即可，解得－2<x <23.16．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2,4)时，f (x )＝|x －3|，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 020)的值．解 因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)．在f(x＋1)＝f(－x＋1)中，令x＝1，可得f(2)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 020)＝0.21。
2020年 高考数学(文科)总复习超级详细讲解 效率提分之第8章 8.1
§8.1空间点、直线、平面之间的位置关系考情考向分析主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断，题型主要以填空题的形式出现，解题要求有较强的直观想象和逻辑推理等核心素养，主要为中低档题．1．四个公理、三个推论公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．空间两条直线的位置关系 (1)位置关系的分类①分类：⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点②定理：过平面内的一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线． (2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是异面直线，经过空间任一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把直线a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． ②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. ③定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．概念方法微思考1．分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示不一定．因为异面直线不同在任何一个平面内．分别在两个不同平面内的两条直线也可能平行或相交．2．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？提示不一定．如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(√)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(×)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(√)(5)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．(×) 题组二教材改编2．[P27习题T8]如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为________．答案60°解析连结B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.第2题图 第3题图3．[P28T12]如图，在三棱锥A —BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则(1)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形； (2)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为正方形． 答案 (1)AC ＝BD (2)AC ＝BD 且AC ⊥BD 解析 (1)∵四边形EFGH 为菱形， ∴EF ＝EH ，∵EF ∥AC ，EH ∥BD ，且EF ＝12AC ，EH ＝12BD ，∴AC ＝BD .(2)∵四边形EFGH 为正方形， ∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ，∵EF ∥AC ，EH ∥BD ，且EF ＝12AC ，EH ＝12BD ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD .题组三 易错自纠4．用集合符号表示“点P 在直线l 外，直线l 在平面α内”为________． 答案 P ∉l ，l ⊂α5．已知l ，m ，n 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是____．(填序号) ①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥n ； ③若α∩β＝l ，m ∥α，m ∥β，则m ∥l ； ④若α∩β＝m ，α∩γ＝n ，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α. 答案 ③解析 ①中，m ，n 可能的位置关系为平行、相交、异面，故①错误；②中，m 与n 也有可能平行，②错误；③中，根据线面平行的性质可知③正确；④中，若m ∥n ，根据线面垂直的判定可知④错误．6．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面的对数为________．答案 3解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB ，CD ，EF 和GH 在原正方体中，显然AB 与CD ，EF 与GH ，AB 与GH 都是异面直线，而AB 与EF 相交，CD 与GH 相交，CD 与EF 平行．故互为异面的直线有且只有3对．题型一平面基本性质的应用例1 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图，连结EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证两平面重合．(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．证明(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.∵在△BCD中，BGGC＝DHHC＝12，∴GH∥BD，∴EF∥GH.∴E，F，G，H四点共面．(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．题型二判断空间两直线的位置关系例2 已知空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD的中点．(1)求证：BC与AD是异面直线；(2)求证：EG与FH相交．证明(1)假设BC与AD不是异面直线，则BC与AD共面．不妨设它们所共平面为α，则B，C，A，D∈α，所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾．所以BC与AD是异面直线．(2)如图，连结AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，则EFGH为平行四边形．又EG，FH是平行四边形EFGH的对角线，所以EG与FH相交．思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．异面直线可采用直接法或反证法；平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决．跟踪训练2 (1)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交．(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)答案③④解析因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故①错；取DD1中点E，连结AE，则BN∥AE，但AE 与AM 相交，故②错；因为B 1与BN 都在平面BCC 1B 1内，M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.立体几何中的线面位置关系直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题．例 如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥F A 且BE ＝12F A ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ (1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 可得GH ∥AD 且GH ＝12AD .又BC ∥AD 且BC ＝12AD ，∴GH ∥BC 且GH ＝BC ， ∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 ∵BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G 为F A 的中点，∴BE ∥FG 且BE ＝FG ， ∴四边形BEFG 为平行四边形， ∴EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH .∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面． 又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．素养提升 平面几何和立体几何在点线面的位置关系中有很多的不同，借助确定的几何模型，利用直观想象讨论点线面关系在平面和空间中的差异．1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为________．答案 4解析首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．2．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，下列表示正确的是________．(填序号) ①A∈l，l∉α；②A∈l，l⊄α；③A⊂l，l⊄α；④A⊂l，l∉α.答案②3．给出下列命题：①四边形是平面图形；②有三个公共点的两个平面重合；③两两相交的三条直线必在同一平面内；④三角形必是平面图形．其中正确命题的序号为________．答案④解析由公理3知三角形必是平面图形．4．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．答案 4解析EF与正方体左、右两侧面均平行，所以与EF相交的平面有4个．5．(2018·江苏昆山中学质检)已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是________．①AB∥m；②AC⊥m；③AB∥β；④AC⊥β.答案④解析如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有④不一定成立．6．正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有________条．答案 6解析如图，在正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6条．7.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．答案P∈直线DE解析因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.8．若直线l⊥平面β，平面α⊥平面β，则直线l与平面α的位置关系为________．答案l∥α或l⊂α解析∵直线l⊥平面β，平面α⊥平面β，∴直线l∥平面α，或者直线l⊂平面α.9.如图，在正方体ABCD－EFMN中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确的命题是________．(填序号)答案②④解析观察图形，根据异面直线的定义可知，BM与ED是异面直线，CN与BM是异面直线，CN与BE不是异面直线，DN与BM是异面直线，故①③错误，②④正确．即正确的命题是②④.10.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析还原成正四面体A－DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合．易知GH与EF异面，BD与MN异面．连结GM，∵△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，又MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正确命题的序号是②③④.11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是A1B1，B1C1的中点．求证：(1)AM和CN共面；(2)D1B和CC1是异面直线．证明(1)如图，连结MN，A1C1，AC.∵点M，N分别是A1B1，B1C1的中点，∴MN∥A1C1.∵A1A∥C1C且A1A＝C1C，∴四边形A1ACC1为平行四边形，∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，∴A，M，N，C四点共面，即AM和CN共面．(2)∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1，B，C，C1∈α，这与B，C，C1，D1不共面矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．12．已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.证明(1)如图，连结AC，在△ACD 中，∵点M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ACD 的中位线， ∴MN ∥AC ，MN ＝12AC .由正方体的性质得AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1， ∴MN ∥A 1C 1且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)知MN ∥A 1C 1. 又∵ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形中的锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.13．若不共线的三点到平面α的距离相等，则该三点确定的平面β与α之间的关系是________．答案平行或相交解析当三点在平面α的同侧时，如图1所示，由点A，B，C到平面α的距离相等，设到α的点为D，E，F，则有构成三个长方形ABED，BCFE，CADF，于是就有AB∥DE，BC∥EF，因为两相交直线平行，所以α∥β.当三点在平面β的异侧时，如图2所示也成立．14.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.其中正确结论的序号是________．答案①③解析如图，①AB⊥EF，正确；②显然AB∥CM，所以不正确；③EF与MN是异面直线，所以正确；④MN 与CD异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是①③.15．空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD＝1，则AC的取值范围是________．答案(0，3)解析如图1所示，△ABD与△BCD均为边长为1的正三角形，当△ABD与△CBD重合时，点A与点C重合．将△ABD以BD为轴转动，到A，B，C，D四点共面时，AC＝3，如图2.故AC的取值范围是0<AC< 3.16.如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成的角的余弦值．解 (1)方法一 如图所示，取AE 的中点O ，连结OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M . 因为EC ⊥AC ，OM ，EC ⊂平面ACC 1A 1， 所以OM ∥EC .又因为EC ＝2FB ＝2，EC ∥FB ， 所以OM ∥FB 且OM ＝12EC ＝FB ，所以四边形OMBF 为矩形，BM ∥OF . 因为OF ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF ， 故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．方法二 如图所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连结PQ ，PB ，BQ . 因为EC ＝2FB ＝2， 所以PE ∥BF 且PE ＝BF ， 所以PB ∥EF ，PQ ∥AE ，又AE ，EF ⊂平面AEF ，PQ ，PB ⊄平面AEF ， 所以PQ ∥平面AFE ，PB ∥平面AEF ， 因为PB ∩PQ ＝P ，PB ，PQ ⊂平面PBQ ， 所以平面PBQ ∥平面AEF . 又因为BQ ⊂平面PBQ ， 所以BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．(2)由(1)知，BM 与EF 异面，∠OFE (或∠MBP )就是异面直线BM 与EF 所成的角或其补角． 易求AF ＝EF ＝5，MB ＝OF ＝3，OF ⊥AE ， 所以cos ∠OFE ＝OF EF ＝35＝155，所以BM 与EF 所成的角的余弦值为155.。
2020年 高考数学(文科)总复习超级详细讲解 效率提分之第2章 2.4
§2.4幂函数与二次函数考情考向分析以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为填空题，中档难度．1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较2.二次函数的图象和性质概念方法微思考1．二次函数的解析式有哪些常用形式？提示(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f(x)≥0恒成立的条件．提示a>0且Δ≤0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( × ) (2)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √ )(3)函数122y x =是幂函数．( × )(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (5)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( × )题组二 教材改编2．[P89练习T3]已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝________.答案 32解析 由幂函数的定义，知⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，22＝k ·⎝⎛⎭⎫12α. ∴k ＝1，α＝12.∴k ＋α＝32.3．[P40练习T3]已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－3]解析 函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧， ∴－2a ≥6，解得a ≤－3. 题组三 易错自纠4．幂函数21023()a a f x x －＋＝(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a ＝________. 答案 5解析 因为a 2－10a ＋23＝(a －5)2－2，2(5)2()a f x x －－＝(a ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a －5)2－2<0，从而a ＝4,5,6， 又(a －5)2－2为偶数，所以只能是a ＝5.5．已知函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是______． 答案 －1解析 函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32>1，∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上单调递减， ∴y min ＝2－6＋3＝－1.6．设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m －1)________0.(填“>”“<”或“＝”) 答案 >解析 f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝12，且f (1)>0，f (0)>0，而f (m )<0，∴m ∈(0,1)，∴m －1<0，∴f (m －1)>0.题型一 幂函数的图象和性质1．若幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14，则它的单调递增区间是________． 答案 (－∞，0)解析 设f (x )＝x α，则2α＝14，α＝－2，即f (x )＝x －2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．2．若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是______．(用“>”连接)答案 a >b >c >d解析 由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a >b >c >d . 3．若1133(1)(32)a a <－－＋－，则实数a 的取值范围是____________．答案 (－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫23，32解析 不等式1133(1)(32)a a <－－＋－等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得a <－1或23<a <32.4．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表，则不等式f (|x |)≤2的解集是________.答案 [－4,4] 解析 由题意知，22＝⎝⎛⎭⎫12α， ∴α＝12，∴f (x )＝12x ，∴f (|x |)＝12x ，由12x ≤2，得|x |≤4，故－4≤x ≤4.思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．题型二 求二次函数的解析式例1 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________． 答案 f (x )＝x 2－2x ＋3解析 由f (0)＝3，得c ＝3， 又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴b2＝1，∴b ＝2， ∴f (x )＝x 2－2x ＋3.(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x解析 设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a＝－1， 得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x . 思维升华 求二次函数解析式的方法跟踪训练1 (1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x ＋1解析 设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0)， 又f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以a ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 答案 x 2－4x ＋3解析 因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，即a ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.题型三 二次函数的图象和性质命题点1 二次函数的图象例2 设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0， 又由－－2a 2a ＝1得图象的对称轴是直线x ＝1，所以a >0.所以函数的图象开口向上，且在[1,2]上单调递增，f (0)＝f (2)， 则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. 命题点2 二次函数的单调性例 3 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－3,0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]． 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 答案 －3解析 由题意知f (x )必为二次函数且a <0， 又3－a2a＝－1，∴a ＝－3.命题点3 二次函数的最值例4 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.引申探究将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． 解 f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a . (1)当－a <12即a >－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5，(2)当－a ≥12即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a ，综上，f (x )max＝⎩⎨⎧4a ＋5，a >－12，2－2a ，a ≤－12.命题点4 二次函数中的恒成立问题例5 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________． 答案 (－∞，－1)解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝⎛⎭⎫x －322－54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.(2)函数f (x )＝a 2x ＋3a x －2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________． 答案 2解析 令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a ≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以1<a ≤2，所以a 的最大值为2. 思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路的关键都是求函数的最值或值域． 跟踪训练2 (1)(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为________． 答案 92解析 易知函数y ＝(3－a )(a ＋6)的两个零点是3，－6，图象的对称轴为a ＝－32∈[－6,3]，y＝(3－a )(a ＋6)的最大值为y ＝⎝⎛⎭⎫3＋32·⎝⎛⎭⎫－32＋6＝⎝⎛⎭⎫922，则(3－a )(6＋a )的最大值为92. (2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________． 答案 －1或3解析 由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)， 所以f (x )min ＝1.又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4， 当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1， 即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1.(3)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12，14<1x <1， ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论．例 设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．解 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数， 所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数， 所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2. 综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.1．幂函数24m my x－＝(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为________．答案 2 解析 ∵24m my x－＝(m ∈Z )的图象与坐标轴没有交点，∴m 2－4m <0，即0<m <4.又∵函数的图象关于y 轴对称且m ∈Z ， ∴m 2－4m 为偶数，∴m ＝2. 2．若幂函数()2268(44)m m f x m m x×－＋＝－＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为________．答案 1解析 由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0， 解得m ＝1.3．(2019·江苏省扬州中学月考)若函数f (x )＝x 2－2ax －1在(－∞，5]上单调递减，则实数a 的取值范围是________． 答案 [5，＋∞)解析 由题意可得－－2a2≥5，解得a ≥5.4．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫120，＋∞解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0，解得a >120.5．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a ＝________. 答案 2或－1解析 函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.6．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－2)解析 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ， 令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)， 所以f (x )<f (4)＝－2，所以a <－2. 7．已知P ＝322-，Q ＝⎝⎛⎭⎫253，R ＝⎝⎛⎭⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________． 答案 P >R >Q 解析 P ＝322-＝⎝⎛⎭⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数，且22>12>25，得⎝⎛⎭⎫223>⎝⎛⎭⎫123>⎝⎛⎭⎫253，即P >R >Q .8．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差的绝对值等于7，则此二次函数的解析式是________________． 答案 f (x )＝－4x 2－12x ＋40 解析 设f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49(a ≠0)， 方程a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49＝0的两个实根分别为x 1，x 2， 则|x 1－x 2|＝2－49a＝7，所以a ＝－4，所以f (x )＝－4x 2－12x ＋40.9．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是_________． 答案 [7，＋∞)解析 函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.10．设函数f (x )＝－2x 2＋4x 在区间[m ，n ]上的值域是[－6，2]，则m ＋n 的取值范围是______________． 答案 [0,4]解析 令f (x )＝－6，得x ＝－1或x ＝3；令f (x )＝2，得x ＝1.又f (x )在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，∴当m ＝－1，n ＝1时，m ＋n 取得最小值0；当m ＝1，n ＝3时，m ＋n 取得最大值4.11．已知函数()22k k f x x－＋＋＝(k ∈Z )满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为⎣⎡⎦⎤－4，178？若存在，求出q 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f (2)<f (3)，∴－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2. ∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2， ∴f (x )＝x 2.(2)假设存在q >0满足题设，由(1)知 g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点⎝⎛⎭⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得． 而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)24q ≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178，g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4. 解得q ＝2.∴存在q ＝2满足题意．12．(2018·江苏省如皋中学考试)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象与y 轴的交点坐标为(0,1)，且满足f (1－x )＝f (1＋x )． (1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝x f (x )，m >0，求函数g (x )在[0，m ]上的最大值． 解 (1)因为图象与y 轴的交点坐标为(0,1)，所以c ＝1， 因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以b ＝－2， 所以f (x )＝x 2－2x ＋1.(2)因为f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，所以g (x )＝x |x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥1，x －x 2，x <1.作出函数g (x )的图象如图所示．当0<m ≤12时，g (x )max ＝g (m )＝m －m 2；当12<m ≤1＋22时，g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝14； 当m >1＋22时，g (x )max ＝g (m )＝m 2－m ，综上，g (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧m －m 2，0<m ≤12，14，12<m ≤1＋22，m 2－m ，m >1＋22.13.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的是________．(填序号)答案①④解析因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．14．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．答案 (－∞，－5]解析 方法一 ∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx <－x 2－4对x ∈(1,2)恒成立，即m <－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 对x ∈(1,2)恒成立， 令y ＝x ＋4x ，x ∈(1,2)，则函数y ＝x ＋4x 在x ∈(1,2)上是减函数．∴4<y <5，∴－5<－⎝⎛⎭⎫x ＋4x <－4，∴m ≤－5. 方法二 设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，由f (x )<0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4，即m ≤－5.15．若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________． 答案 [－2,0]解析 当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，此时φ(x )单调递增，则m2≤0，即m ≤0；当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，此时φ(x )单调递增，则－m2≤1，即m ≥－2.综上，实数m 的取值范围是[－2,0]．16．是否存在实数a ∈[－2,1]，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由． 解 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2，当－2≤a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，21 ∴由⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝－2，f (1)＝2，得a ＝－1(舍去)； 当－1≤a ≤0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝－2，f (1)＝2，得a ＝－1； 当0<a ≤1时，由⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝－2，f (－1)＝2，得a 不存在； 综上可得，存在实数a 满足题目条件，a ＝－1.。
2020年 高考数学(文科)总复习超级详细讲解 效率提分之第4章 4.3
§4.3三角函数的图象与性质考情考向分析以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有填空题，又有解答题，中档难度．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )概念方法微思考1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？ 提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．2．思考函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？ 提示 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )(2)由sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( × ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin|x |是偶函数．( √ )题组二 教材改编2．[P44T1]函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是________． 答案 π3．[P45T4]y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. 4．[P33例4]函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－k 2π－π8，k ∈Z 题组三 易错自纠5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象的对称中心是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫k π－π3，0，k ∈Z 解析 由12x ＋π6＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π－π3，k ∈Z ，所以对称中心是⎝⎛⎭⎫k π－π3，0，k ∈Z . 6．函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间是______________________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) 解析 f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以要求f (x )的单调递减区间，只需求y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间． 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤512π＋k π(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，512π＋k π(k ∈Z )．7．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________________． 答案 sin 68°>cos 23°>cos 97° 解析 sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.题型一 三角函数的定义域1．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是____________． 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π6(k ∈Z ) 解析 由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z )．2．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________________． 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 解析 方法一 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .方法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 3．函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤2k π＋π3，k ∈Z解析 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，k ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z ， 所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤2k π＋π3，k ∈Z . 思维升华 三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．题型二 三角函数的值域(最值)例1 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________． 答案 2－ 3解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π6，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3≤1，则－3≤y ≤2.所以y max ＋y min ＝2－ 3.(2)函数y ＝cos 2x ＋2cos x 的值域是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析 y ＝cos 2x ＋2cos x ＝2cos 2x ＋2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋122－32，因为cos x ∈[－1,1]，所以原式的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. (3)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 答案 1解析 f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝1－cos 2x ＋3cos x －34，令cos x ＝t 且t ∈[0,1]，则y ＝－t 2＋3t ＋14＝－⎝⎛⎭⎫t －322＋1，当t ＝32时，y max ＝1， 即f (x )的最大值是1.思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)． (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是______． 答案 ⎣⎡⎦⎤π3，π解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6， ∵当x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象(图略)知，π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π. (2)(2018·苏州质检)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为__________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－12－2，1 解析 设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]．当t ＝1时，y max ＝1； 当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1. 题型三 三角函数的周期性与对称性例2 (1)(2019·盐城模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为4，则ω＝________. 答案 π2解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)， 由周期计算公式，可得T ＝2πω＝4，解得ω＝π2. (2)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为________． 答案 2解析 由题意知ωπ6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2.(3)(2018·无锡市梅材高中期中)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)，ω>0,0<φ<π为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫－π8的值为________． 答案2解析 因为函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6为偶函数，所以φ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，令k ＝0，可得φ＝2π3，根据其图象的两条相邻对称轴间的距离为π2，可得12·2πw ＝π2，所以w ＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x ， 所以f ⎝⎛⎭⎫－π8＝2cos ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π8＝2cos π4＝ 2. 思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点． (2)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.跟踪训练2 (1)函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω≠0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________. 答案 －2或2解析 由题意，知x ＝π4为函数f (x )的一条对称轴，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝±2. (2)若直线x ＝54π和x ＝94π是函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴，则φ＝______________. 答案 k π－54π，k ∈Z解析 由题意，函数的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫94π－54π＝2π，∴ω＝2πT ＝1，∴y ＝cos(x ＋φ)，当x ＝54π时，函数取得最大值或最小值，即cos ⎝⎛⎭⎫54π＋φ＝±1，可得54π＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－54π，k ∈Z .题型四 三角函数的单调性命题点1 求三角函数的单调区间例3 (1)若点P (1，－1)在角φ(－π<φ<0)终边上，则函数y ＝3cos(x ＋φ)，x ∈[0，π]的单调递减区间为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤π4，π解析 因为点P (1，－1)在角φ(－π<φ<0)终边上， 所以tan φ＝－1，φ＝－π4，即函数为y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π4， 令0<x －π4<π，且0≤x ≤π，解得π4≤x ≤π.(2)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的单调递增区间是____________． 答案 ⎝⎛⎭⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z ) 解析 由k π－π2<2x ＋π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－5π12<x <k π2＋π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的单调递增区间为 ⎝⎛⎭⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z )．(3)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是____________． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6 解析 ∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， 由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )， 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6. 命题点2 根据单调性求参数例4 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤12，54解析 由π2<x <π，ω>0，得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4， 又y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ， 所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54. 引申探究本例中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是_______． 答案 ⎣⎡⎦⎤32，74解析 函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14>0，k ∈Z ， 得k ＝1，所以ω∈⎣⎡⎦⎤32，74.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为________________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )解析 函数的解析式可化为f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )． (2)(2018·盐城模拟)若函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，a 3和⎣⎡⎦⎤4a ，7π6上均单调递增，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫π6，7π24解析 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 又∵函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，a 3和⎣⎡⎦⎤4a ，7π6上均单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤π6，4a ≥2π3，4a <7π6，解得π6≤a <7π24.三角函数的图象与性质纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．例 (1)(2018·连云港市灌南华侨高级中学月考)为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上出现50次最大值，则ω的最小值为________． 答案1972π 解析 为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上出现50次最大值， 则4914×T ≤1，即1974×2πω≤1.解得ω≥1972π，所以ω的最小值为1972π.(2)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论正确的是________．(填序号) ①f (x )的一个周期为－2π； ②y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称； ③f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6；④f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减． 答案 ①②③解析 ①中，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，①正确； ②中，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，②正确；③中，f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－5π6(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π6， 所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，③正确；④中，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )， 单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )， 所以⎝⎛⎭⎫π2，2π3是f (x )的单调递减区间，⎣⎡⎭⎫2π3，π是f (x )的单调递增区间，④错误．故正确的结论是①②③.(3)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为__________．答案 ⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析 由图象知，周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z . (4)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 答案 π解析 记f (x )的最小正周期为T . 由题意知T 2≥π2－π6＝π3，又f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，且2π3－π2＝π6， 可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝⎝⎛⎭⎫π2＋π6×12＝π3，x 2＝⎝⎛⎭⎫π2＋2π3×12＝7π12， ∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.1．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值是________． 答案 12解析 由题意，得2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因此f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π6＝sin 5π6＝12. 2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________． 答案 －22解析 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22. 3．若函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－π，0]解析 因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数， 所以只有当－π<a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．4．(2018·江苏泰州中学月考)函数f (x )＝cos x －sin x (x ∈[－π，0])的单调增区间为________．答案 ⎣⎡⎦⎤－π，－π4 解析 由已知f ′(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 由f ′(x )＝0且x ∈[－π，0]，得x ＝－π4，由f ′(x )的图象(图略)可得， 当x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π4时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎦⎤－π4，0时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－π，－π4. 5．函数y ＝cos 2x －2sin x 的最小值为________． 答案 －2解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1， 令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2， 所以y min ＝－2.6．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________． 答案 2解析 |x 1－x 2|的最小值为函数f (x )的半个周期， 又T ＝4，∴|x 1－x 2|的最小值为2.7．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (x )图象的对称中心是_________． 答案 ⎝⎛⎭⎫k 2π－π6，0(k ∈Z ) 解析 函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (0)＝2sin φ＝3， ∴sin φ＝32，又|φ|<π2，∴φ＝π3， 则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )， 则x ＝k π2－π6(k ∈Z )，∴函数f (x )图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫k 2π－π6，0(k ∈Z )．8．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(x ∈R )图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为________． 答案6π5解析 由函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(x ∈R )图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝k ＋23，又ω∈(1,2)，∴ω＝53，∴函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.9．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π4对任意x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π6>0，则f (x )的单调递减区间是________________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) 解析 由题意可得函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π4对称，故有2×π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π，k ∈Z .又f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ>0，所以φ＝2n π，n ∈Z ，所以f (x )＝sin(2x ＋2n π)＝sin 2x .令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，求得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4，k ∈Z . 10．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的周期是π2；②f (x )的值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}； ③直线x ＝5π3是函数f (x )图象的一条对称轴；④f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z . 答案 ④解析 函数f (x )的周期为2π，①错；f (x )的值域为[0，＋∞)，②错；当x ＝5π3时，12x －π6＝2π3≠k π2，k ∈Z ，∴x ＝5π3不是f (x )的对称轴，③错；令k π－π2<12x －π6≤k π，k ∈Z ，可得2k π－2π3<x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z ，④正确．11．已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. (1)解 f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明 因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6.所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≥sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. 12．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值； (3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1，且x ∈[]－π，π的x 的取值集合． 解 (1)令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)因为当x ＝π6时，f (x )取得最大值，即f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4. 解得a ＝1.(3)由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2＝1， 可得sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－12，则2x ＋π6＝7π6＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6＝11π6＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π2＋k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，可解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6.13．定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .例如1*2=1，则函数f (x )=sin x *cos x 的值域为 ..答案 ⎣⎡⎦⎤－1，22解析 根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可，设x ∈[0,2π]，当π4≤x ≤5π4时，sin x ≥cos x ，此时f (x )＝cos x ，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－1，22，当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，cos x >sin x ，此时f (x )＝sin x ，f (x )∈⎣⎡⎭⎫0，22∪[－1,0]．综上知f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 14．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，若f (x )>1对任意x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π6恒成立，则φ的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－π4，0 解析 由题意可得函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1的最大值为3.∵f (x )的图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，∴f (x )的周期T ＝2π3，∴2πω＝2π3，解得ω＝3，∴f (x )＝2cos(3x ＋φ)＋1.∵f (x )>1对任意x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π6恒成立，∴2cos(3x ＋φ)＋1>1，即cos(3x ＋φ)>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π6恒成立，∴－π4＋φ≥2k π－π2且π2＋φ≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ≥2k π－π4且φ≤2k π，k ∈Z ，即2k π－π4≤φ≤2k π，k ∈Z .结合|φ|<π2，可得当k ＝0时，φ的取值范围为⎣⎡⎦⎤－π4，0.15．已知函数f (x )＝cos(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2在⎣⎡⎦⎤－3π8，－π6上单调递增，若f ⎝⎛⎭⎫π4≤m 恒成立，则实数m 的取值范围为________． 答案 [0，＋∞)解析 f (x )＝cos(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2， 当x ∈⎣⎡⎦⎤－3π8，－π6时，－3π4＋θ≤2x ＋θ≤－π3＋θ， 由函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－3π8，－π6上是增函数得 ⎩⎨⎧－π＋2k π≤－3π4＋θ，－π3＋θ≤2k π，k ∈Z ，则2k π－π4≤θ≤2k π＋π3(k ∈Z )．又0≤θ≤π2，∴0≤θ≤π3，∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ， 又π2≤θ＋π2≤5π6，∴f ⎝⎛⎭⎫π4max ＝0，∴m ≥0. 16．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋m 的图象关于直线x ＝π对称，其中0<ω<12. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (x )的图象过点(π，0)，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π2上的值域． 解 (1)由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1， ∴2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又0<ω<12，∴ω＝13，∴函数f (x )的最小正周期为3π. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6＋m ， ∵f (π)＝0，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－π6＋m ＝0，∴m ＝－2， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6－2，当0≤x ≤3π2时，－π6≤23x －π6≤5π6，－12≤sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6≤1. ∴－3≤f (x )≤0，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π2上的值域为[]－3，0.。
2020年 高考数学(文科)总复习超级详细讲解 效率提分之第1章 1.4
§1.4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考情考向分析逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为填空题，低档难度．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定概念方法微思考含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？提示p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p，綈p：真假相反．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题“3≥2”是真命题．( √ ) (2)命题p 和綈p 不可能都是真命题．( √ ) (3)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．( × ) (4)命题綈(p ∧q )是假命题，则命题p ，q 都是真命题．( √ ) 题组二 教材改编2．[P11练习T3]已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题綈p ，綈q ，p ∨q ，p ∧q 中真命题的个数为________． 答案 2解析 p 和q 显然都是真命题，所以綈p ，綈q 都是假命题，p ∨q ，p ∧q 都是真命题． 3．[P15例1]命题“∃x ∈N ，x 2≤0”的否定是____________． 答案 ∀x ∈N ，x 2>04．[P21测试T6]命题“对于函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，存在a ∈R ，使得f (x )是偶函数”为________命题．(填“真”或“假”) 答案 真解析 当a ＝0时，f (x )＝x 2(x ≠0)为偶函数． 题组三 易错自纠5．命题“綈p 为真”是命题“p ∧q 为假”的________条件． 答案 充分不必要解析由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假．故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．6．下列命题中的假命题是________．(填序号)①∃x∈R，lg x＝1；②∃x∈R，sin x＝0；③∀x∈R，x3>0；④∀x∈R,2x>0.答案③解析当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题；当x<0时，x3<0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x>0，则④为真命题．7．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为__________．答案(－∞，－2]解析由已知条件，知p和q均为真命题，由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中的真命题是________．(填序号) ①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨(綈q )． 答案 ① 解析 如图所示，若a ＝A 1A →，b ＝AB →，c ＝B 1B →，则a ·c ≠0，命题p 为假命题；显然命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．2．已知命题p ：∀x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②p ∧(綈q )；③(綈p )∧q ；④(綈p )∧(綈q )．答案 ②解析 ∵x >0，∴x ＋1>1，∴ln(x ＋1)>ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴綈p 为假命题．∵a >b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4， 此时a 2<b 2，∴命题q 为假命题，∴綈q 为真命题．∴p ∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，(綈p )∧q 为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题． 3．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是假命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题，其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都填上) 答案 ②③解析 因为对任意实数x ，|sin x |≤1，而52>1，所以p 为假；因为x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ<0，所以q 为真．故②③正确．思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p ，q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假． 题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、存在性命题的真假 例1 下列四个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫13x ； ②∃x ∈(0,1)，1123log log x x >；③∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x>12log x ；④∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <13log x . 其中真命题序号为________． 答案 ②④解析 对于①，当x ∈(0，＋∞)时，总有⎝⎛⎭⎫12x >⎝⎛⎭⎫13x成立，故①是假命题；对于②，当x ＝12时，有1112331111log log log 232==>成立，故②是真命题；对于③，当0<x <12时，12log x >1>⎝⎛⎭⎫12x ，故③是假命题； 对于④，∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <1<13log x ，故④是真命题．命题点2 含一个量词的命题的否定例2 (1)命题：“∃x ∈R ，sin x ＋cos x >2”的否定是________________． 答案 ∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2(2)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≥0，则綈p 是__________． 答案 ∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判定存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x 0，使p (x 0)成立． (2)对全称命题、存在性命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练1 (1)设命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，3x >2x ；命题q ：∃x ∈(－∞，0)，3x >2x ，则下列命题为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②p ∧(綈q )；③(綈p )∧q ；④(綈p )∧(綈q )． 答案 ②解析 ∀x ∈(0，＋∞)，3x >2x ，所以命题p 为真命题；∀x ∈(－∞，0)，3x <2x ，所以命题q 为假命题，因此p ∧q ，(綈p )∧q ，(綈p )∧(綈q )为假命题，p ∧(綈q )为真命题，故填②. (2)已知命题p ：∃x >1,2x >4，綈p 是：______________. 答案 ∀x >1,2x ≤4解析 因为命题p ：∃x >1,2x >4，是一个存在性命题，所以綈p 是：∀x >1,2x ≤4. (3)已知命题“∃x ∈R ，e x ＋a <0”为假命题，则a 的取值范围是________． 答案 [0，＋∞)解析 因为命题“∃x ∈R ，e x ＋a <0”为假命题， 所以e x ＋a ≥0恒成立，所以a ≥(－e x )max 的最大值． ∵－e x <0，∴a ≥0.题型三 命题中参数的取值范围例3 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为____________． 答案 [e,4]解析 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，得Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e,4]．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时， g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练2 (1)(2018·苏北三市期末)由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝________. 答案 1解析 由题意得命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题， 所以Δ＝4－4m <0，即m >1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a 的值为1.(2)已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞) 解析 由命题p 为真知，0<c <1， 当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，2≤x ＋1x ≤52， 要使x ＋1x >1c 恒成立，需1c <2，即c >12，即由命题q 为真，知c >12.若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， 则p ，q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c >1.综上可知，c 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)．常用逻辑用语有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．一、命题的真假判断例1 (1)下列命题的否定为假命题的是________．(填序号)①∀x∈R，－x2＋x－1<0；②∀x∈R，|x|>x；③∀x，y∈Z,2x－5y≠12；④∀x∈R，sin2x＋sin x＋1＝0.答案①解析命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．(2)已知命题p：∀x∈R,3x<5x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)①p∧q；②(綈p)∧q；③p∧(綈q)；④(綈p)∧(綈q)．答案②解析若x＝0，则30＝50＝1，∴p是假命题，∵方程x3＝1－x2有解，∴q是真命题，∴(綈p)∧q是真命题．二、充要条件的判断例2 (1)设命题p ：x >4；命题q ：x 2－5x ＋4≥0，那么p 是q 的________条件． 答案 充分不必要解析 命题q ：x 2－5x ＋4≥0⇔x ≤1或x ≥4， ∵命题p ：x >4，∴p 是q 的充分不必要条件．(2)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．设p ：0<r <3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的________条件． 答案 充要解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1.又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0<r <3，故p 是q 的充要条件．三、求参数的取值范围例3 (1)若命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 因为命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”等价于“x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.(2)已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)·(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为____________． 答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 由命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，可得m ≤－1， 由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2， 因为p ∧q 为假命题，所以p ，q 中至少有一个为假命题， 当p 真q 假时，m ≤－2；当p假q真时，－1<m<2；当p假q假时，m≥2，所以m≤－2或m>－1.1．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则下列判断正确的是________．(填序号)①p∨q为真；②p∧q为真；③p真q假；④p∨q为假．答案④解析∵p假，q假，∴p∨q为假．2．命题“∃x∈R，x2－2x＋1≤0”的否定形式为________．答案∀x∈R，x2－2x＋1>0解析∵命题是存在性命题，∴根据存在性命题的否定是全称命题，命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≤0”的否定形式为：∀x ∈R ，x 2－2x ＋1>0.3．命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为___________． 答案 ∃x ∈(0，＋∞)，x ≤x ＋1解析 因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可． 4．以下四个命题中既是存在性命题又是真命题的是________．(填序号) ①锐角三角形有一个内角是钝角； ②至少有一个实数x ，使x 2≤0； ③两个无理数的和必是无理数； ④存在一个负数x ，1x >2.答案 ②解析 ①中锐角三角形的内角都是锐角，所以①是假命题；②中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以②既是存在性命题又是真命题；③是全称命题，又是假命题；④中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以④是假命题．5．命题p ：∀x ∈R ，sin x <1；命题q ：∃x ∈R ，cos x ≤－1，则下列为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②(綈p )∧q ；③p ∨(綈q )；④(綈p )∧(綈q )． 答案 ②解析 p 是假命题，q 是真命题，所以②正确．6．已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a m ＋a n ＝a p ＋a q 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)．则下列为真命题的是______．(填序号) ①(綈p )∧(綈q )；②(綈p )∨(綈q )；③p ∨(綈q )；④p ∧q . 答案 ②解析 当a ＝1.1，x ＝2时，a x ＝1.12＝1.21，log a x ＝log 1.12>log 1.11.21＝2， 此时，a x <log a x ，故p 为假命题． 命题q ，由等差数列的性质可知， 当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q 成立，当公差d ＝0时，由a m ＋a n ＝a p ＋a q 不能推出m ＋n ＝p ＋q 成立，故q 是真命题． 故綈p 是真命题，綈q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨(綈q )为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨(綈q )为真命题． 7．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值范围是________________． 答案 (－4,0]解析 “对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]． 8．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (－1,3)解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，则－2<a －1<2，即－1<a <3.9．若∃x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________． 答案 (－∞，22]解析 因为∃x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1<0成立是假命题，所以∀x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，2x 2－λx ＋1≥0恒成立是真命题，即∀x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，λ≤2x ＋1x 恒成立是真命题，令f (x )＝2x ＋1x ，则当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f (x )∈⎣⎡⎦⎤22，92，当且仅当x ＝22时，f (x )min ＝22，所以λ≤2 2. 10．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是_________． 答案 (－∞，0)∪(4，＋∞)解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0， 所以綈p ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1<0，则a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a >0，解得a <0或a >4. 11．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________. 答案 0解析 若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝f (0)＝0. 12．以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．答案0解析∵x2－3x＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题；对∀x∈R，x2＋1≥1，∴③为假命题；4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．故真命题的个数为0.13．已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1；命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}．现有以下结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且綈q”是假命题；③命题“綈p或q”是真命题；④命题“綈p或綈q”是假命题．其中正确结论的序号为____________．答案 ①②③④解析 ∵命题p ，q 均为真命题，∴“p 且q ”是真命题，“p 且綈q ”是假命题，“綈p 或q ”是真命题，“綈p 或綈q ”是假命题，故①②③④都正确．14．已知命题p ：∃x ∈R ，e x －mx ＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．由e x－mx ＝0，可得m ＝e x x ，x ≠0，设f (x )＝e xx ，x ≠0，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x 2，当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e xx 在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0<x <1或x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e xx 在(0,1)和(－∞，0)上是单调递减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e xx 的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m <e.当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2. 所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.15．已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∀x 2∈[2,3]，f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数a 的取值范围是______________． 答案 (－∞，－3]解析 由题意知f (x )min ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1≥g (x )max (x ∈[2,3])，因为f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上为减函数，g (x )在[2,3]上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝5，g (x )max ＝g (3)＝8＋a ，所以5≥8＋a ，即a ≤－3. 16．已知p ：∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x >m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值范围是____________． 答案 ⎣⎡⎭⎫817，1解析 ∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x >m (x 2＋1)，即m <2x x 2＋1＝2x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤14，12上恒成立， 当x ＝14时，⎝⎛⎭⎫x ＋1x max ＝174，∴⎝⎛⎭⎫2x x 2＋1min ＝817，∴由p 真得m <817. 设t ＝2x ，则t ∈(0，＋∞)，则函数f (x )化为g (t )＝t 2＋2t ＋m －1，由题意知g (t )在(0，＋∞)上存在零点，令g (t )＝0，得m ＝－(t ＋1)2＋2，又t >0，所以由q 真得m <1. 又“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p ，q 一真一假， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥817，m <1或⎩⎪⎨⎪⎧m <817，m ≥1，解得817≤m <1.故所求实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫817，1.。
2020年 高考数学(文科)总复习超级详细讲解 效率提分之第7章 7.3
§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考情考向分析以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中主要以填空题的形式进行考查，中低档难度．1．二元一次不等式(组)表示的平面区域2.线性规划中的基本概念概念方法微思考1．不等式x≥0表示的平面区域是什么？提示不等式x≥0表示的区域是y轴的右侧(包括y轴)．2．可行解一定是最优解吗？二者有何关系？提示不一定．最优解是可行解中的一个或多个．最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (2)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( √ )(3)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy <0表示．( √ ) (4)线性目标函数的最优解是唯一的．( × )(5)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × ) 题组二 教材改编2．[P74T1]点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是________． 答案 (－7,24)解析 点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，说明将这两点坐标代入3x －2y ＋a 后，符号相反，所以(9－2＋a )(－12－12＋a )<0，解得－7<a <24. 3．[P77T2]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≥0，x ＋y ≥0，x ≤3所表示的平面区域的面积是________．答案 25解析 直线x －y ＋4＝0与直线x ＋y ＝0的交点为A (－2，2)，直线x －y ＋4＝0与直线x ＝3的交点为B (3,7)，直线x ＋y ＝0与直线x ＝3的交点为C (3，－3)，则不等式组表示的平面区域是一个以点A (－2,2)，B (3,7)，C (3，－3)为顶点的三角形及其内部，所以其面积为S △ABC ＝12×5×10＝25.4．[P84T4]设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最小值为________．答案 －8解析 画出可行域与目标函数线如图(阴影部分含边界)，由图可知，目标函数在点(－2,2)处取最小值－8.题组三 易错自纠5．(2018·全国Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案 6解析 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(包含边界)所示．由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x ，平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6.6．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________． 答案 －1解析 先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1 不含参数的平面区域问题例1 在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧3x －y ≤0，x －3y ＋2≥0，y ≥0表示的平面区域的面积是_______．答案3解析 作出不等式组表示的平面区域是以点O (0,0)，B (－2，0)和A (1，3)为顶点的三角形及内部区域，即如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为12×2×3＝ 3.命题点2 含参数的平面区域问题 例2若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是______．答案 (0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l ：x ＋y ＝a 在l 1，l 2之间(包含l 2，不包含l 1)或l 3上方(包含l 3)．思维升华 平面区域的形状问题主要有两种题型(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．跟踪训练1 (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ≤4，y ≤5表示的平面区域的形状为________三角形．答案 等腰直角解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，易知平面区域的形状为等腰直角三角形(阴影部分，含边界)．(2)已知由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －kx ≤2，y －x －4≤0确定的平面区域Ω的面积为7，则k 的值为________．答案 －1解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －4≤0所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，可知该区域是等腰直角三角形且面积为8.由于直线y ＝kx ＋2恒过点B (0,2)，且原点的坐标恒满足 y －kx ≤2，当k ＝0时，y ≤2，此时平面区域Ω的面积为6，由于6<7，由此可得k <0.由⎩⎪⎨⎪⎧y －kx ＝2，y －x －4＝0，可得D ⎝⎛⎭⎪⎫2k －1，4k －2k －1，依题意应有12×2×⎪⎪⎪⎪2k －1＝1，解得k ＝－1或k ＝3(舍去)．题型二 求目标函数的最值问题命题点1 求线性目标函数的最值例3 (1)(2018·全国Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．答案 9解析 由不等式组画出可行域如图阴影部分(含边界)．目标函数x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看作常数)在y 轴上的截距最大，由图可得当直线x ＋y ＝z 过点C 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0，得点C (5,4)， ∴z max ＝5＋4＝9.(2)(2018·南通模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，2x －y ＋1≥0，x ＋4y －4≥0，则z ＝|x |＋|y －3|的取值范围是________． 答案 [1,7]解析 作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，则0≤x ≤4且0≤y ≤3，所以z ＝|x |＋|y －3|＝x －y ＋3，平移目标直线y ＝x －z ＋3经过点A (4,0)时，z 取得最大值7，经过点B (1,3)时，z 取得最小值1，所以z 的取值范围为[1,7]． 命题点2 求非线性目标函数的最值例4 (1)(2018·徐州模拟)已知(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，则k ＝yx ＋1的最大值为________．答案 1解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)：因为k 的几何意义为可行域内的点P (x ，y )与定点A (－1，0)连线的斜率，则由图象可知AB 的斜率最大，其中B (0,1)，此时k ＝10＋1＝1. (2)(2018·扬州模拟)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4，y ≤3，3x ＋4y ≥12，则x 2＋y 2的取值范围是______．答案 ⎣⎡⎦⎤14425，25解析 作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，则x 2＋y 2表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方． 由图知(x 2＋y 2)max ＝42＋32＝25，(x 2＋y 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1232＋422＝14425， 所以x 2＋y 2的取值范围为⎣⎡⎦⎤14425，25.命题点3 求参数值或取值范围 例5 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝______. 答案 5解析 绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，联立直线方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝－x ＋m ，可得交点坐标为A ⎝⎛⎭⎫m ＋13，2m －13，由目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值， 所以m ＋13－2m －13＝－1，解得m ＝5.思维升华 常见的三类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by . (2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －b x －a.跟踪训练2 (1)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ＋1≥0，x －3≤0，则z ＝2x －y 的最大值为________．答案 10解析 先根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示(含边界)，将z ＝2x －y 的最大值转化为直线y ＝2x －z 在y 轴上截距的最小值． 当直线y ＝2x －z 经过点A 时，在y 轴上的截距最小，z 最大， 又A (3，－4)，故z 的最大值为10. (2)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为________．答案 2解析 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0，作出可行域(图略)，z ＝3x －y 的最大值为2，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋2＝0，3x －y ＝2，解得A (2,4)，可知直线mx －y ＝0必须过点A ，可得2m －4＝0， 解得m ＝2.(3)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥1，则(x －3)2＋(y ＋2)2的最小值为________．答案 13解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥1表示的平面区域(图略)，易知(x －3)2＋(y ＋2)2表示可行域内的点(x ，y )与(3，－2)两点间距离的平方，可知当(x ，y )为直线x ＋y ＝2与y ＝1的交点(1,1)时，(x －3)2＋(y ＋2)2取得最小值，最小值为13.1．设点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x －5y －1≤0，3x ＋y －3≤0，且x ∈Z ，y ∈Z ，则这样的点共有________个．答案 12解析 画出⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x －5y －1≤0，3x ＋y －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，满足x ∈Z ，y ∈Z 的(x ，y )为(－4，－1)，(－3,0)，(－2,1)，(－2,0)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共12个． 2．设不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域为M .若直线y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k的取值范围是________． 答案 [2,5]解析 由约束条件作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．因为函数y ＝kx －2的图象为恒过定点A (0，－2)，且斜率为k 的直线l ， 由图知，当直线l 过点B (1,3)时，k 取最大值5， 当直线l 过点C (2,2)时，k 取最小值2， 故实数k 的取值范围是[2,5]．3．在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t 所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为________． 答案 1解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ， 解得交点B (t ，t ＋1)．在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)． 由平面区域的面积S ＝(1＋t ＋1)×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)． 4．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤0，2y －x ＋1≥0，x ＋y －4≥0且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________. 答案 1解析 作出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示．若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意； 若m ≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－1m 的动直线y ＝－1m x ＋zm.若m <0，则－1m >0，数形结合知使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m >0，则－1m <0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y )在线段AB 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－1m ＝－1，则m ＝1.综上可知，m ＝1.5．(2019·如皋调研)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x ＋y ≤3，y ≤2x －1，则z ＝x ＋2y 的最大值为______．答案143解析 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x ＋y ≤3，y ≤2x －1对应的可行域如图阴影部分(含边界)所示：当目标函数所在直线过点A 时，z 取得最大值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，y ＝2x －1，得A ⎝⎛⎭⎫43，53，此时x ＋2y ＝43＋103＝143.6．(2018·全国Ⅲ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3≥0，x －2y ＋4≥0，x －2≤0，则z ＝x ＋13y 的最大值是_______．答案 3解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，由z ＝x ＋13y 得y ＝－3x ＋3z ，作出直线y ＝－3x ，并平移该直线，当直线y ＝－3x ＋3z 过点A (2,3)时，目标函数z ＝x ＋13y 取得最大值为2＋13×3＝3.7．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形且其面积等于43，则z ＝12x －y 的最小值为________． 答案 －2解析 作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分含边界所示)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2m ＝0，x ＋y －2＝0，得A (1－m,1＋m )， 同理B ⎝⎛⎭⎫23－43m ，23＋23m ，C (2，0)，D (－2m,0)， S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12·DC ·(|y A |－|y B |)＝(1＋m )23＝43，解得m ＝1或m ＝－3，由图象，得要使可行域ABC 存在， 则－2m <2，即m >－1，即m ＝1， 即A (0,2)，B ⎝⎛⎭⎫－23，43，C (2,0)； 由图象，得当直线z ＝12x －y 过点A (0,2)时，z 取得最小值为－2.8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2y ≤0，2x ＋y ≤4，向量a ＝(2x,1)，b ＝(1，m －y )，则满足a ⊥b 的实数m 的最小值为________． 答案 －125解析 由向量a ＝(2x,1)，b ＝(1，m －y )，a ⊥b ， 得2x ＋m －y ＝0，整理得m ＝y －2x ，根据约束条件画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，将求m 的最小值转化为求y ＝2x ＋m 在y 轴上的截距的最小值，当直线y ＝2x ＋m 经过点A 时，m 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝4，解得A ⎝⎛⎭⎫85，45， 则实数m 的最小值为－2×85＋45＝－125.9．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≤－x ＋5，y ≥－12x ＋2，则y ＋1x的最大值为________． 答案 4解析 作出可行域如图阴影部分所示(含边界)， 则y ＋1x表示可行域内的点(x ，y )和()0，－1连线的斜率，由图可知，可行域中的点A ⎝⎛⎭⎫23，53和()0，－1连线的斜率最大，最大值为4. 10．(2018·南通模拟)甲、乙两种食物的维生素含量如下表：分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A ，B 的含量分别不低于100,120单位，则混合物重量的最小值为________ kg. 答案 30解析 设甲食物重x kg ，乙食物重y kg ， ∵维生素A ，B 的含量分别不低于100,120单位， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ≥100，5x ＋2y ≥120，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝100，5x ＋2y ＝120， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝10，即A (20,10)，混合物重z ＝x ＋y ， 平移直线z ＝x ＋y ，由图知，当直线过A (20,10)时，z 最小值为20＋10＝30. 11．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的最大值． 解 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)因为z ＝y x ＝y －0x －0，所以z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率，观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域内的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域内的点B 到(－3,2)的距离最大，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8，故z 的最大值为64.12．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解 (1)作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，当直线过A (3,4)时，z 取最小值－2，过C (1,0)时，z 取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4,2)．13．(2018·南通模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，且(k －1)x －y ＋k －2≥0恒成立，则实数k 的最小值是________． 答案 4解析 画出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，直线l ：(k －1)x －y ＋k －2＝0过定点(－1，－1)， 若(k －1)x －y ＋k －2≥0恒成立，即可行域在直线下方， 直线l 的斜率为k －1，当斜率最小时，k 最小．当直线过点(0,2)时，k －1有最小值2＋11＝3，k 的最小值为4.14．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋3y －3≤0，则z ＝⎪⎪⎪⎪yx ＋3的最大值为________．答案 1解析 由约束条件作出可行域(如图阴影部分含边界)，可知z 恒大于等于0，则目标函数z ＝⎪⎪⎪⎪yx ＋3的几何意义是可行域内(包括边界)的点与点A (－3,0)连线的斜率的绝对值的取值范围，由可行域可知直线|k AB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－0－2－(－3)＝1，|k AC|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－1－3－0＝13，故最大值为1.15．记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －5≥0，x －2y ＋1≤0的解集为D ，若∀(x ，y )∈D ，不等式a ≤3x ＋y 恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，7]解析 若∀(x ，y )∈D ，不等式a ≤3x ＋y 恒成立， 即求z ＝3x ＋y 的最小值，作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示：当y ＝－3x ＋z 经过A (1,4)点时，z 最小， 此时z min ＝3×1＋4＝7，∴a ≤7.16．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，且0<x 1<1<x 2<2，求b ＋2c 的取值范围．解 由函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，且0<x 1<1<x 2<2， 则⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝c >0，f (1)＝b ＋c ＋1<0，f (2)＝2b ＋c ＋4>0，设z ＝b ＋2c ， 作出约束条件所表示的平面区域(如图阴影部分，不含边界)，如图所示，由图象可知，当z ＝b ＋2c 经过点A 时，目标函数z ＝b ＋2c 取得最大值， 当z ＝b ＋2c 经过点B 时，目标函数z ＝b ＋2c 取得最小值，又由⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＋1＝0，2b ＋c ＋4＝0，解得A (－3,2)，此时z max ＝－3＋2×2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，2b ＋c ＋4＝0，解得B (－2,0)， 此时z min ＝－2＋2×0＝－2， 所以b ＋2c 的取值范围是(－2,1)．。
2020年高考数学23道题必考考点各个击破精讲主题15 算法与传统文化(含详细答案解析)
2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破（按题号与考点编排）主题14 算法与传统文化【主题考法】本主题的考查形式为选择题或填空题，常与传统文化、函数、数列、统计、不等式等知识结合，考查对三种基本逻辑结构、基本算法语句及算法应用案例的理解应用，重点考查形式有已知程序框图或算法程序，求输入或输出结果或已知结果补全框图或补全算法程序，考查辗转相除、法更相减损术求最大公约数的方法，秦九韶算法，各种进位制之间的转换方法，考查运算求解能力、读图识图能力，难度为中等，分值为5分.【主题考前回扣】1.程序框图的结构类型及作用名称内容顺序结构条件结构循环结构定义由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤，反复执行的步骤称为循环体2．三种语句的一般格式和功能3.条件语句（1）条件语句与程序框图中的条件结构相对应．（2）条件语句的格式及框图．①IF－THEN格式②IF－THEN－ELSE格式3．循环语句（1）算法中的循环结构是由循环语句来实现的．（2）循环语句的格式及框图①UNTIL语句②WHILE语句【易错点提醒】1.在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件．注意理解循环条件中“≥”与“＞”的区别．2．解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应．3.在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果．4.控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件.在解答这类题目时，易混淆两变量的变化次序，且容易错误判定循环体结束的条件.【主题考向】考向一程序框图【解决法宝】解答程序框图(流程图)问题的方法(1)首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，在累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中，都有循环结构．(2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；弄清循环体和输入条件、输出结果．(3)对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果，找出规律．例1下图给出的是计算11112462018+++⋅⋅⋅+值的程序框图，其中判断框内可填入的条件是（ ）A. 2016?i >B. 2018?i >C. 2016?i ≤D. 2018?i ≤ 【分析】根据程序框图，逐次执行即可找到条件框中应填的条件.考向二 算法语句【解决法宝】1.解答算法程序问题的方法(1)首先要读懂算法程序，要熟练掌握算法程序的五种基本语句和，特别是条件语句和循环语句，在累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中，都有循环语句．(2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；弄清循环体和输入条件、输出结果．(3)对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果，找出规律．2．循环语句的三个注意点： (1)注意区分计数变量与循环变量． (2)注意哪一步结束循环. （3）要分清循环语句类型.例2若下图程序执行后输出的结果是（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2 【分析】根据程序逐次执行，即可求出计算结果.【解析】由程序框图可知：第一次运行5,4s n ==；第二次运行9,3s n ==；第三次运行12,2s n ==；第四次运行14,1s n ==；第五次运行15,0s n ==；因为1515s =≥，故输出0n =,选B.考向三 算法案例【解决法宝】1.辗转相除法的算法步骤：第一步，给定两个正整数m ，n . 第二步，计算m 除以n 所得的余数r . 第三步，m ＝n ，n ＝r .第四步，若r ＝0，则m ，n 的最大公约数等于m ；否则返回第二步． 2.进位制的转化的方法：①将十进制数n 化为k 进制数，常用除k 取余法，即用k 连续除n 或所得商，然后取余数，直到商为0，从最后一个余数开始依次为k 进制的第1为到最后一位，就得到k 进制数； ②将k 进制化为十进制，先将k 进制数写成不同位置上的数字与k 的幂（幂指数为该数字在k 进制中从右向左数的位数减1）的乘积的和，再按十进制的运算规则计算出来的结果就是对应的十进制数.3.秦九韶算法的步骤：第一步，改写多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ为)(x f =021)))((((a x x a x a x a n n n ++++--ΛΛ第二步，计算，当0x x =时，由内到外依次计算⎩⎨⎧=+==--),,2,1(010n k a x v v a v k n k k nΛ；第三步，，当0x x =时，)(x f 的值为n v x f =)(0.例3计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字9~0和字母F A ~共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十六进制 8 9 A B C D E F 十进制89101112131415A.6EB.72C.5FD.0B【分析】先找出十六进制中A 、B 在十进制中表示的数，算出A ×B ，再将算出的十进制数化为十六进制数.例4如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的一种运算方法，执行该程序框图，若输入的a ， b 分别为12，20，则输出的a =（ ）A. 0B. 14C. 4D. 2【分析】由程序框图知，本框图是利用“更相减损术”求12,40的最大公约数，由“更相减损术”求12,20的最大公约数即为输出结果.考向四 算法与传统文化 【解题法宝】认真阅读试题，将传统文化给出的算法问题转化为数学问题，利用算法的知识求解. 例5【主题集训】1.阅读如下程序框图，如果输出5i =，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ）A. 8s <B. 8s ≤C. 9s <D. 9s ≤ 【答案】D【解析】根据题意得到：i=1,s=0,i=2,s=5；I=3,s=8,；I=4,s=9,；I=5,s=12,此时输出i 值为5，说明s 9≤是要进入循环的，s 〉9结束循环，故因该填写9s ≤，故选D.2.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学。
2020年 高考数学(文科)总复习超级详细讲解 效率提分之第4章 4.2
§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式考情考向分析考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力．题型为填空题，低档难度．1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．三角函数的诱导公式概念方法微思考1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？ 提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号．2．诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示 所有诱导公式均可看作k ·π2±α(k ∈Z )和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k 是奇数还是偶数．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( × )题组二 教材改编 2．[P18T3]若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝ . 答案 －12解析 ∵π2<α<π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－255，∴tan α＝sin αcos α＝－12.3．[P22T1]已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为 ．答案 3解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.4．[P22T4]化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ．答案 －sin 2α解析 原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题组三 易错自纠5．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为 ．答案32解析 ∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α，∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 6．已知α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝45，则cos(π＋α)＝ . 答案 －35解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝sin α＝45，且α为锐角，∴cos α＝35，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－35. 7．已知cos α＝15，－π2<α<0，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αtan (α＋π)cos (－α)tan α的值为 ．答案612解析 ∵－π2<α<0，∴sin α＝－1－⎝⎛⎭⎫152＝－256，∴tan α＝－2 6. 则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αtan (α＋π)cos (－α)tan α＝－sin αtan α·cos α·tan α＝－1tan α＝126＝612.题型一 同角三角函数基本关系式的应用1．已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α＝ .答案 －125解析 因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan α＝sin αcos α＝－125. 2．若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝ .答案6425解析 tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425.3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 ．答案 －3解析 由角α的终边落在第三象限， 得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.4．已知cos x ＋sin x ＝15，x ∈(0，π)，则tan x ＝ .答案 －43解析 由cos x ＋sin x ＝15，sin 2x ＋cos 2x ＝1，x ∈(0，π)，解得sin x ＝45，cos x ＝－35，所以tan x ＝－43.思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.题型二 诱导公式的应用例1 (1)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是 ．答案 {2，－2}解析 当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.∴A 的值构成的集合是{2，－2}．(2)化简：sin (α＋π)cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫5π2－αtan (－α)cos 3(－α－2π)＝ .答案 －1解析 原式＝(－sin α)·(－cos α)·cos α－tan α·cos 3α＝－sin αsin α＝－1.思维升华 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.跟踪训练1 (1)已知角α终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α·sin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－α·sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值为 ．答案 －34解析 原式＝(－sin α)sin α(－sin α)cos α＝tan α，根据三角函数的定义得tan α＝－34.(2)已知f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α(sin α≠0,1＋2sin α≠0)，则f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝ . 答案3解析 ∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α， ∴f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3.题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝ . 答案 －223解析 因为⎝⎛⎭⎫5π12＋α＋⎝⎛⎭⎫π12－α＝π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π12－α＝sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α. 因为－π<α<－π2，所以－7π12<α＋5π12<－π12.所以sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－223. (2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15.①求sin x －cos x 的值； ②求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x的值．解 ①由已知，得sin x ＋cos x ＝15，两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，由－π<x <0知，sin x <0，又sin x cos x ＝－1225<0，∴cos x >0，∴sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.②sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.引申探究本例(2)中若将条件“－π<x <0”改为“0<x <π”，求sin x －cos x 的值． 解 若0<x <π，又2sin x cos x ＝－2425，∴sin x >0，cos x <0，∴sin x －cos x >0，故sin x －cos x ＝75.思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形． (2)注意角的范围对三角函数符号的影响．跟踪训练2 (1)(2018·南京模拟)已知角θ的终边在第三象限，tan 2θ＝－22，则sin 2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－2cos 2θ＝ . 答案 23解析 由tan 2θ＝－22可得tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，即2tan 2θ－tan θ－2＝0， 解得tan θ＝2或tan θ＝－22. 又角θ的终边在第三象限，故tan θ＝2， 故sin 2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan2θ＋tan θ－2tan2θ＋1＝(2)2＋2－2(2)2＋1＝23.(2)已知函数f(x)＝a sin(πx＋α)＋b cos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 019)的值为．答案－3解析∵f(4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f(2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－(a sin α＋b cos β)＝－3.1．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝.答案 －513解析 因为tan α＝－512，所以sin αcos α＝－512，所以cos α＝－125sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝±513，又α是第四象限角，所以sin α＝－513.2．已知α为锐角，且sin α＝45，则cos(π＋α)＝ .答案 －35解析 ∵α为锐角，∴cos α＝1－sin 2α＝35，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－35.3．满足等式cos 2x －1＝3cos x (x ∈[0，π])的x 的值为 ． 答案2π3解析 由题意可得，2cos 2x －3cos x －2＝0， 解得cos x ＝－12或cos x ＝2(舍去)．又x ∈[0，π]，故x ＝2π3.4．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ＝ .答案 π3解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3. 又∵|θ|<π2，∴θ＝π3.5．(2019·江苏省扬州中学月考)设函数f (x )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ≤π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝ . 答案 12解析 ∵函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， 当0≤x ≤π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫17π6＋sin 17π6 ＝f ⎝⎛⎭⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6 ＝f ⎝⎛⎭⎫5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6 ＝0＋12－12＋12＝12.6．已知tan θ＝2，则sin 2θ－sin θcos θ2cos 2θ＝ .答案 1解析 ∵tan θ＝2，∴sin 2θ－sin θcos θ2cos 2θ＝tan 2θ－tan θ2＝4－22＝1.7．(2018·如东高级中学阶段测试)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝ .答案 2解析 ∵角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上， ∴tan θ＝2，sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝2tan θ－1＝2.8．若θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则1－2sin (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝ .答案 sin θ－cos θ 解析 因为1－2sin (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝(sin θ－cos θ)2 ＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin θ－cos θ>0， 所以原式＝sin θ－cos θ. 9．已知sin x ＋cos x ＝3－12，x ∈(0，π)，则tan x ＝ . 答案 － 3解析 由题意可知sin x ＋cos x ＝3－12，x ∈(0，π)，则(sin x ＋cos x )2＝4－234， 因为sin 2x ＋cos 2x ＝1， 所以2sin x cos x ＝－32，即2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x tan 2x ＋1＝－32，得tan x ＝－33或tan x ＝－ 3. 当tan x ＝－33时，sin x ＋cos x <0，不合题意，舍去，所以tan x ＝－ 3. 10．已知sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫x －5π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫π3－x 的值为 ． 答案 59解析 由诱导公式得sin ⎝⎛⎭⎫x －5π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－13， sin 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝89， 则sin ⎝⎛⎭⎫x －5π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＝－13＋89＝59. 11．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，则2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值为 ．答案5－95解析 因为cos α－sin α＝－55，① 所以1－2sin αcos α＝15，即2sin αcos α＝45.所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95.又0<α<π2，所以sin α＋cos α>0. 所以sin α＋cos α＝355.②由①②得sin α＝255，cos α＝55，tan α＝2，所以2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝5－95.12．已知k ∈Z ，化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)＝ .答案 －1解析 当k ＝2n (n ∈Z )时， 原式＝sin (2n π－α)cos[(2n －1)π－α]sin[(2n ＋1)π＋α]cos (2n π＋α)＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝－sin α(－cos α)－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1－1)π－α]sin[(2n ＋1＋1)π＋α]·cos[(2n ＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α(－cos α)＝－1.综上，原式＝－1.13．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为 ． 答案 1－ 5解析 由题意知方程的两根为－m ±m 2－4m4，∴sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， ∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5， 又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.14．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝ . 答案 0解析 原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0， 所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.15．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin(π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β.3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，求α，β. 解 由已知可得⎩⎨⎧sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β，②∴sin 2α＋3cos 2α＝2，∴sin 2α＝12，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α＝22，α＝π4. 将α＝π4代入①中得sin β＝12，又β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π6， 综上α＝π4，β＝π6.16．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋β＝1.求cos 2⎝⎛⎭⎫32π＋α＋cos β－1的取值范围． 解 由已知得cos β＝1－sin α. ∵－1≤cos β≤1， ∴－1≤1－sin α≤1， 又－1≤sin α≤1， 可得0≤sin α≤1， ∴cos 2⎝⎛⎭⎫32π＋α＋cos β－1＝sin 2α＋1－sin α－1＝sin 2α－sin α ＝⎝⎛⎭⎫sin α－122－14.(*) 又0≤sin α≤1，∴当sin α＝12时，(*)式取得最小值－14，当sin α＝0或sin α＝1时，(*)式取得最大值0， 故所求范围是⎣⎡⎦⎤－14，0.。
2020 年高考文科数学必刷卷解析版
【点睛】
本题主要考查了几何概型及其概率的求解，对于几何概型及其概率的计算中，注意几何度量，可以
是线段的长度、面积、体积等，而这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关,着重考查 了分析问题和解答问题的能力. 6．某正三棱柱的三视图如图所示，正三棱柱表面上的点 M、N 分别对应正视图上的点 A，B，若在 此正三棱柱侧面上，M 经过三个侧面到达 N 的最短距离为 6，则当此正三棱柱的侧面积取得最大值 时，它的高为（ ）
a2 4
b2 36
1．
∴1 a2 b2 2 a2 b2 ab ，
4 36
4 36 6
即 ab≤6，当且仅当 a2 b2 1 ，即 b 3 2 时， 4 36 2
三棱柱侧面积有最大值 S＝3ab＝18． 故选：C． 【点睛】 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，考查多面体表面距离最小值的求 法，是中档题．
A． 2
B．2
C．3 2
D．4
【答案】C 【解析】
【分析】
由三视图还原原几何体正三棱柱，设正三棱柱底面边长为 a，高为 b，由已知求得 a2 b2 1．再 4 36
由基本不等式求最值得答案．
【详解】
解：由三视图还原原几何体正三棱柱如图，
设正三棱柱底面边长为 a，高为 b，
则
9a2
b2
6 ，即
7．已知定义在 R 上的函数 f x 满足：(1) f x 1 2 f x , (2)当 x 0, 2, f x x 2 x 1 ，
则有
A．
f
3 2
f
1
f
1
B．
f
1
f
3 2
f
2020年 高考数学(文科)常考基础题、易错题 提分必刷题之 导数的概念及运算
第1讲导数的概念及运算一、填空题1．设y＝x2e x，则y′＝________.解析y′＝2x e x＋x2e x＝(2x＋x2)e x.答案(2x＋x2)e x2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)＝________.解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.答案－13．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是________．解析y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x －y＋1＝0.答案2x－y＋1＝04．(2017·苏州调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为________．解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1x，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝1x0，切线方程为y－ln x0＝1x0(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1 e.答案1 e5．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.解析因为y′＝2ax－1x，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝1 2.答案1 26．(2017·南师附中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.解析由图形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－13，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0. 答案07．(2017·苏北四市模拟)设曲线y＝1＋cos xsin x在点⎝⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝________.解析∵y′＝－1－cos xsin2x，∴由条件知1a＝－1，∴a＝－1.答案－18．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．解析由y＝x＋ln x，得y′＝1＋1x，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.又该切线与y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y，得ax2＋ax＋2＝0，∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.答案8二、解答题9．已知点M是曲线y＝13x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1， 所以切线方程为3x ＋3y －11＝0.(2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.11．(2016·山东卷改编)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数：①y ＝sin x ；②y ＝ln x ；③y ＝e x ；④y ＝x 3.其中具有T 性质的是________(填序号)．解析 若y ＝f (x )的图象上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于①：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k∈Z)时，结论成立；对于②：y′＝1x，若有1x1·1x2＝－1，即x1x2＝－1，∵x1＞0，x2>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；对于③：y′＝e x，若有e x1·e x2＝－1，即e x1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；对于④：y′＝3x2，若有3x21·3x22＝－1，即9x21x22＝－1，显然不存在这样的x1，x2.答案①12．(2017·合肥模拟改编)点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．解析点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小，直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－ln x，得y′＝2x－1x＝1，解得x＝1或x＝－12(舍去)，故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y＝x－2的距离等于2，∴点P到直线y＝x－2的最小距离为 2.答案 213．若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析∵f(x)＝12x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋1x(x>0)．∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，即x＋1x－a＝0有解，∴a＝x＋1x≥2(当且仅当x＝1时取等号)．答案[2，＋∞)14．已知函数f(x)＝x－2x，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解根据题意有f′(x)＝1＋2x2，g′(x)＝－ax.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)．所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.。
2020年 高考数学(文科)总复习超级详细讲解 效率提分之第6章 6.5
§6.5数列求和考情考向分析本节以考查分组法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法求数列前n项和为主，识别出等差(比)数列，直接用公式法也是考查的热点．题型以填空题为主，难度中等．解答题中一般和简单数论结合，难度较大．1．(1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2；(2)等差数列前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2，推导方法：倒序相加法；(3)等比数列前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.推导方法：错位相减法． 2．常见数列的前n 项和 (1)1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；(2)2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； (3)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2.3．数列求和的常见方法(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；(2)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和；(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和；(4)倒序相加：如等差数列前n项和公式的推导方法．(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．概念方法微思考请思考以下常见式子的裂项方法．(1)1n(n＋1)；(2)1(2n －1)(2n ＋1)； (3)1n ＋n ＋1；(4)1n (n ＋1)(n ＋2). 提示 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；(2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；(4)1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( √ )(2)当n ≥2时，1n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1.( √ )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( × )(4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序相加法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ )(5)如果数列{a n }是周期为k 的周期数列，那么S km ＝mS k (m ，k 为大于1的正整数)．( √ ) 题组二 教材改编2．[P69本章测试T12]等比数列1,2,4,8，…中从第5项到第10项的和为________． 答案 1 008解析 由a 1＝1，a 2＝2，得q ＝2， ∴S 10＝1×(1－210)1－2＝1 023，S 4＝1×(1－24)1－2＝15，∴S 10－S 4＝1 008.3．[P68复习题T13(2)]已知数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，则该数列的前________项之和等于9. 答案 99解析 由题意知，a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，所以S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1＝9，解得n ＝99. 4．[P62习题T12]1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝________(x ≠0且x ≠1)． 答案 1－x n (1－x )2－nx n1－x解析 设S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1，① 则xS n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，②①－②得(1－x )S n ＝1＋x ＋x 2＋…＋x n －1－nx n ＝1－x n 1－x －nx n ， ∴S n ＝1－x n (1－x )2－nx n1－x .题组三 易错自纠5．一个球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是________________． 答案 100＋200(1－2－9)解析 第10次着地时，经过的路程为100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×2－1(1－2－9)1－2－1＝100＋200(1－2－9)． 6．数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 017＝________. 答案 1 008解析 因为数列a n ＝n cos n π2呈周期性变化，观察此数列规律如下：a 1＝0，a 2＝－2，a 3＝0，a 4＝4.故S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2.a 5＝0，a 6＝－6，a 7＝0，a 8＝8， 故a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，∴周期T ＝4. ∴S 2 017＝S 2 016＋a 2 017 ＝2 0164×2＋2 017·cos 2 0172π＝1 008. 7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－5＋9－13＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31＝______. 答案 －76解析 S n＝⎩⎨⎧n2×(－4)，n 为偶数，n －12×(－4)＋4n －3，n 为奇数，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n ，n 为偶数，2n －1，n 为奇数，∴S 15＝29，S 22＝－44，S 31＝61， ∴S 15＋S 22－S 31＝－76.题型一 分组求和与并项求和例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n .a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ∈N *)． (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2(n ∈N *)． 引申探究本例(2)中，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 由(1)知b n ＝2n ＋(－1)n n . 当n 为偶数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －1)＋n ]＝2－2n ＋11－2＋n 2＝2n ＋1＋n 2－2；当n 为奇数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －2)＋(n －1)－n ] ＝2n ＋1－2＋n －12－n＝2n ＋1－n 2－52.∴T n＝⎩⎨⎧2n ＋1＋n 2－2，n 为偶数，2n ＋1－n 2－52，n 为奇数.思维升华 分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．跟踪训练1 (2018·苏州模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)． (1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； (2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)若数列{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd . 由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n －3， 即2d ＝4,2a 1－d ＝－3，解得d ＝2，a 1＝－12.(2)由a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)， 得a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)． 两式相减得a n ＋2－a n ＝4，所以数列{a 2n －1}是首项为a 1，公差为4的等差数列，数列{a 2n }是首项为a 2，公差为4的等差数列．由a 2＋a 1＝1，a 1＝2，得a 2＝－1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n 为奇数，2n －5，n 为偶数.①当n 为奇数时，a n ＝2n ，a n ＋1＝2n －3. S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －2＋a n －1)＋a n ＝1＋9＋…＋(4n －11)＋2n＝n －12×(1＋4n －11)2＋2n ＝2n 2－3n ＋52.②当n 为偶数时， S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7)＝2n 2－3n2.所以S n＝⎩⎨⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n2，n 为偶数.题型二 错位相减法求和例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n 2＋n . (1)求{a n }的通项公式a n ；(2)若a k ＋1，a 2k ，a 2k ＋3(k ∈N *)恰好依次为等比数列{b n }的第一、第二、第三项，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n b n 的前n 项和T n .解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋1＝2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋n )－[(n －1)2＋(n －1)]＝2n .检验n ＝1时，上式符合， ∴a n ＝2n (n ∈N *)．(2)由题意知a k ＋1，a 2k ，a 2k ＋3成等比数列， ∴a 22k ＝a k ＋1·a 2k ＋3， 即(2·2k )2＝2(k ＋1)·2(2k ＋3)， 解得k ＝3(负值舍去)．b 1＝a 4＝8，b 2＝a 6＝12，公比q ＝128＝32，∴b n ＝8·⎝⎛⎭⎫32n －1， ∴n b n ＝18n ·⎝⎛⎭⎫23n －1， ∴T n ＝18×⎝⎛⎭⎫230＋18×2×⎝⎛⎭⎫231＋…＋18×n ×⎝⎛⎭⎫23n －1， 即T n ＝18×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫230＋2×⎝⎛⎭⎫231＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫23n －1.① 上式两边乘以23，得23T n ＝18×⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫231＋2×⎝⎛⎭⎫232＋…＋⎦⎤(n －1)×⎝⎛⎭⎫23n －1＋n ×⎝⎛⎭⎫23n .② ①－②，得13T n ＝18×⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫230＋⎝⎛⎭⎫231＋…＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫23n －1－18n ⎝⎛⎭⎫23n ＝38－3＋n 8⎝⎛⎭⎫23n ，则T n ＝98－9＋3n 8⎝⎛⎭⎫23n(n ∈N *)．思维升华 形如{a n ·b n }(其中{a n }是等差数列，{b n }是等比数列)的数列可用错位相减法求和． 跟踪训练2 已知数列{a n }满足a n ≠0，a 1＝13，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，n ∈N *.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝2na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由已知可得，1a n ＋1－1a n＝2，1a 1＝3，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为3，公差为2的等差数列， ∴1a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，∴a n ＝12n ＋1(n ∈N *)． (2)由(1)知b n ＝(2n ＋1)2n ，∴T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)2n －1＋(2n ＋1)2n ， 2T n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －1)2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，两式相减得，－T n ＝6＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n ＋1)2n ＋1. ＝6＋8－8×2n －11－2－(2n ＋1)2n ＋1＝－2－(2n －1)2n ＋1，∴T n ＝2＋(2n －1)2n ＋1(n ∈N *)．题型三 裂项相消法求和例3 (2018·江苏省启东中学月考)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝2，a n a n ＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N *)． (1)求a 2 019的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＝1a n a n －1＋a n －1a n (n ≥2，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)因为a n a n ＋1＝2(S n ＋1)， 所以当n ≥2时，a n －1a n ＝2(S n －1＋1)， 两式相减，得a n a n ＋1－a n －1a n ＝2a n ，a n ≠0， 所以a n ＋1－a n －1＝2.又a 1＝2，所以a 2 019＝2＋2 019－12×2＝2 020.(2)由a n a n ＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N *)，当n ＝1时，a 1a 2＝2(a 1＋1)，即2a 2＝2×3，解得a 2＝3. 由a n ＋1－a n －1＝2，可得数列{a n }的奇数项与偶数项都成等差数列，公差为2，所以a 2k －1＝2＋2(k －1)＝2k ，k ∈N *，a 2k ＝3＋2(k －1)＝2k ＋1，k ∈N *， 所以a n ＝n ＋1.(3)因为数列{b n }满足b 1＝1，b n ＝1a n a n －1＋a n －1a n ＝1(n ＋1)n ＋n n ＋1＝(n ＋1)n －n n ＋1n (n ＋1)＝nn －n ＋1n ＋1， 所以{b n }的前n 项和 T n ＝⎝⎛⎭⎫1－22＋⎝⎛⎭⎫22－33＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫nn－n ＋1n ＋1 ＝1－n ＋1n ＋1. 思维升华 裂项相消法的关键是对通项拆分，要注意相消后剩余的项．跟踪训练3 已知数列{a n }满足：a n ＋1＝a n (1－a n ＋1)，a 1＝1，数列{b n }满足：b n ＝a n a n ＋1，则数列{b n }的前10项和S 10＝________. 答案1011解析 由a n ＋1＝a n (1－a n ＋1)，a 1＝1，得1a n ＋1－1a n＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n .因为b n ＝a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫110－111＝1－111＝1011.1．正项等差数列{a n }满足a 1＝4，且a 2，a 4＋2,2a 7－8成等比数列，{a n }的前n 项和为S n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1S n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d (d >0)， 由已知得a 2(2a 7－8)＝(a 4＋2)2，化简得，d 2＋4d －12＝0，解得d ＝2或d ＝－6(舍)， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋2(n ∈N *)． (2)因为S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (2n ＋6)2＝n 2＋3n ，所以b n ＝1S n ＋2＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋⎝⎛⎭⎫14－15＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2＝n2n ＋4(n ∈N *)． 2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2， ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1(n ∈N *)，b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1，得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n ＋2)，则c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n (n ＋2)，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，即c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n －1n ＋2，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，所以T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1) ＝1－12n ＋1＋2(1－4n )1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n －1)(n ∈N *)．3．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝0，其前n 项和为S n ，且a 2＋2，S 3，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n ＋2)22n ＋S n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n －2n <32.(1)解 由a 1＝0，得a n ＝(n －1)d ，S n ＝n (n －1)d2，因为a 2＋2，S 3，S 4成等比数列， 所以S 23＝(a 2＋2)S 4， 即(3d )2＝(d ＋2)·6d ，整理得3d 2－12d ＝0，即d 2－4d ＝0， 因为d ≠0，所以d ＝4，所以a n ＝(n －1)d ＝4(n －1)＝4n －4(n ∈N *)． (2)证明 由(1)可得S n ＋1＝2n (n ＋1)，所以b n ＝(2n ＋2)22n ＋2n (n ＋1)＝4(n ＋1)22n (n ＋2)＝2＋2n (n ＋2)＝2＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，所以T n ＝2n ＋⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2 ＝2n ＋1＋12－1n ＋1－1n ＋2，T n －2n ＝32－1n ＋1－1n ＋2，所以T n －2n <32.4．已知递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝12log n n a a ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>62成立的正整数n 的最小值．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝28，a 1q ＋a 1q 3＝2(a 1q 2＋2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12，∵{a n }是递增数列，∴a 1＝2，q ＝2，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)． (2)∵b n ＝12log n n a a ＝2n ·12log 2n ＝－n ·2n ， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n ·2n )，① 则2S n ＝－(1×22＋2×23＋…＋n ·2n ＋1)，②②－①，得S n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1， 则S n ＋n ·2n ＋1＝2n ＋1－2， 解2n ＋1－2>62，得n >5， ∴n 的最小值为6.5．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，(2n －1)a n ＋1＝(2n ＋3)S n (n ＝1,2,3，…)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n －1是等比数列；(2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋32n －1S n， ∴S n ＋1＝2(2n ＋1)2n －1S n ，∴S n ＋12n ＋1＝2·S n2n －1， 又a 1＝1，∴S 11＝1≠0，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n －1是以1为首项，2为公比的等比数列．(2)解 由(1)知，S n 2n －1＝2n －1， ∴S n ＝(2n －1)·2n －1，∴T n ＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －3)·2n －2＋(2n －1)·2n －1，① 2T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n .② ①－②得－T n ＝1＋2×(21＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n ＝1＋2×2－2n －1×21－2－(2n －1)·2n＝(3－2n )·2n －3，∴T n ＝(2n －3)·2n ＋3(n ∈N *)．6．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，∀n∈N*,2S n＝a2n＋a n.令b n＝1a n a n＋1＋a n＋1a n，设{b n}的前n项和为T n，求在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数．解∵2S n＝a2n＋a n，①∴2S n＋1＝a2n＋1＋a n＋1，②②－①，得2a n＋1＝a2n＋1＋a n＋1－a2n－a n，a2n＋1－a2n－a n＋1－a n＝0，(a n＋1＋a n)(a n＋1－a n－1)＝0.又∵{a n}为正项数列，∴a n＋1－a n－1＝0，即a n＋1－a n＝1.在2S n＝a2n＋a n中，令n＝1，可得a1＝1.∴数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．∴a n＝n，∴b n＝1n n＋1＋(n＋1)n＝(n＋1)n－n n＋1[n n＋1＋(n＋1)n][(n＋1)n－n n＋1]＝(n＋1)n－n n＋1n(n＋1)＝1n－1n＋1，∴T n＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＋1n－1n＋1＝1－1n＋1，要使T n为有理数，只需1n＋1为有理数，令n＋1＝t2.∵1≤n≤100，∴n＝3,8,15,24,35,48,63,80,99，共9个数，∴T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为9.。
2020高考文科数学考前提分必备(1)
2020高考文科数学考前提分必备考前速查之记超级结论必记最后一波助攻一、集合、常用逻辑用语、不等式与推理证明1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素。
如{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集。
2．0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}。
3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性。
4．空集是任何集合的子集。
由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B 求解集合A时，务必分析研究A＝∅的情况。
5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p，则q”，则该命题的否定为“若p，则¬q”，其否命题为“若¬p，则¬q”。
6．在对全称命题和特称(存在性)命题进行否定时，不要忽视对量词的改变。
7．对于充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论。
8．判断命题的真假要先明确命题的构成，由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算。
9．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数时，如果不讨论这个数的正负，容易出错。
10．解形如ax2＋bx＋c>0(a≠0)的一元二次不等式时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论。
11．求解分式不等式时应正确进行同解变形，不能把f(x)g(x)≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0。
12．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y ＝x ＋3x (x <0)的最值时应先转化为正数再求解。
二、复数、平面向量、程序框图1．复数(1)复数的有关概念(2)运算法则加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i 。
2020年高考必刷卷文科数学(解析版)
所给集合中元素的特征，属于基础题．
2．复数 z 满足 z 1 i 1 3i ，则复数 z 等于（）
A．1 i 【答案】B 【解析】
B．1 i
C．2
D．-2
【分析】
通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可. 【详解】
复数 z 满足 z 1 i 1 3i 2 ，
∴
z
2 1
i
21 i 1 i1
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
画出几何体的图形，然后 PQ 的路径有正面和右面以及正面和上面两种路径，分别计算出结果，得
出答案.
【详解】
由题，几何体如图所示
（1）前面和右面组成一面
此时 PQ= （2）前面和上面再一个平面
此时 PQ=
故选 C
【点睛】
本题考查了几何体的三视图以及相关的计算，解题的关键是 PQ 的路径有两种情况，属于较易题.
8．已知平面向量 a ， b
的夹角为
3
，且
a
1，
b
2 ，则
rr 3a 2b
（
）
A．13
B． 11
C． 13
D．11
【答案】C
【解析】
分析：根据向量的运算，化简
3a
2b
3a
2b
2
，由向量的数量积定义即可求得模长。
详解：平面向量数量积
a
b
a
b cos
，所以
3a
2b
3a
2b
2
12 4 10 22 32
3
.
4
因为 AD1 || BC1 ,所以异面直线 AD1 与 DC1 所成角的余弦值是 3 . 4
2020年 高考数学(文科)总复习超级详细讲解 效率提分之第7章 7.4
§7.4基本不等式及其应用考情考向分析主要考查利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度为中档．1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0) (1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值． 2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？提示 不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x 无最小值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4.( × ) (2)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( × )(3)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(4)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )(5)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 题组二 教材改编2．[P88T4]设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________． 答案 81解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.3．[P89例1]若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_______ m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎡⎦⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 题组三 易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充要解析 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1时等号成立)． 因为x ，1x 同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的充要条件．5．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________.答案 3解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是________． 答案 5解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x ＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝⎛⎭⎫3y ＋1x ＝15⎝⎛⎭⎫4＋9＋3y x ＋12x y ≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12xy ，即y ＝2x ＝1时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋(4－3x )22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．(3)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________．答案 15解析 y ＝x －1x －1＋4＋x －1，当x －1＝0时，y ＝0， 当x －1>0时，y ＝1x －1＋4x －1＋1≤14＋1＝15， ∴当且仅当x －1＝4x －1等号成立， 即x ＝5时，y max ＝15.命题点2 常数代换法例2 (1)(2018·江苏省盐城市东台中学质检)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值为____．答案 3＋2 2解析 由x >0，y >0，得(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝3＋y x ＋2xy ≥3＋22， 当且仅当y ＝2x 时等号成立， 又1x ＋2y ＝1，则x ＋y ≥3＋22， 所以x ＋y 的最小值为3＋2 2.(2)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________．答案 94解析 正数x ，y 满足(x ＋2)＋(y ＋1)＝4， ∴4x ＋2＋1y ＋1＝14[(x ＋2)＋(y ＋1)]⎝⎛⎭⎫4x ＋2＋1y ＋1＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋x ＋2y ＋1＋4(y ＋1)x ＋2 ≥14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋2x ＋2y ＋1·4(y ＋1)x ＋2＝94， 当且仅当x ＝2y ＝23时，⎝⎛⎭⎫4x ＋2＋1y ＋1min ＝94.命题点3 消元法例3 已知正实数a ，b 满足a 2－b ＋4≤0，则u ＝2a ＋3ba ＋b 的最小值为________．答案145解析 ∵a 2－b ＋4≤0，∴b ≥a 2＋4， ∴a ＋b ≥a 2＋a ＋4.又∵a ，b >0，∴a a ＋b ≤aa 2＋a ＋4，∴－a a ＋b ≥－a a 2＋a ＋4，∴u ＝2a ＋3b a ＋b ＝3－a a ＋b ≥3－a a 2＋a ＋4＝3－1a ＋4a＋1≥3－12 a ·4a＋1＝145， 当且仅当a ＝2，b ＝8时，两等号同时成立，即取得最小值． 思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法．跟踪训练1 (1)设x >0，y >0，若x lg 2，lg 2，y lg 2成等差数列，则1x ＋9y 的最小值为________．答案 16解析 ∵x lg 2，lg 2，y lg 2成等差数列， ∴2lg 2＝(x ＋y )lg 2，∴x ＋y ＝1. ∴1x ＋9y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ≥10＋2y x ·9xy＝10＋6＝16， 当且仅当x ＝14，y ＝34时取等号，故1x ＋9y的最小值为16. (2)(2018·苏北四市考试)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝3，|x |≠|y |，则1(2x ＋y )2＋4(x －2y )2的最小值是_______． 答案 35解析 由已知可得(2x ＋y )2＋(x －2y )215＝1，∴1(2x ＋y )2＋4(x －2y )2＝(2x ＋y )2＋(x －2y )215×⎣⎡⎦⎤1(2x ＋y )2＋4(x －2y )2＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋(x －2y )2(2x ＋y )2＋4(2x ＋y )2(x －2y )2≥115(5＋4)＝35， 当且仅当|x －2y |＝2|2x ＋y |时取等号．(3)若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0<x <12，则3x ＋1y －3的最小值为________． 答案 8解析 由已知得，x ＝3y ＋3，又0<x <12，可得y >3，∴3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6 ≥2(y －3)·1y －3＋6＝8，当且仅当y ＝4⎝⎛⎭⎫x ＝37时，⎝⎛⎭⎫3x ＋1y －3min ＝8.题型二 基本不等式的实际应用例4 某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得当0<x <80时，L (x )＝1 000x ×0.05－⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x －250 ＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－⎝⎛⎭⎫51x ＋10 000x －1 450－250 ＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x . ∴L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250，0<x <80，1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )max ＝950万元； 当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－210 000＝1 000(万元)， 当且仅当x ＝100时，L (x )max ＝1 000万元，综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大．思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 跟踪训练2 (2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是______． 答案 30解析 一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元)． 一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元． 因为3 600x＋4x ≥23 600x·4x ＝240， 当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．题型三 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例5 已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，过第一象限内圆O 外的点P (a ，b )作圆O 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，若PO →·P A →＝8，则a ＋b 的最大值为________． 答案 3 2解析 根据题意，结合向量数量积的定义式， 可求得PO →·P A →＝|P A →|2＝8，所以可求得|PO |2＝9， 即a 2＋b 2＝9，结合基本不等式， 可得a ＋b ≤2(a 2＋b 2)＝32， 当且仅当a ＝b ＝322时取等号．命题点2 求参数值或取值范围例6 已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________． 答案 4解析 已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋ay 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4.思维升华 求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练3 (1)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B ＋sin Bsin C 的最小值为________． 答案 32解析 由△ABC 的面积为2，所以S ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8，在△ABC 中，由正弦定理得2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋bc＝2cb b (c ＋2b )＋b 2bc＝168＋2b 2＋b 28＝84＋b 2＋b 2＋48－12≥284＋b2·b 2＋48－12＝2－12＝32， 当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立．(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a >0，b >0)的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，则8a ＋bab的最小值是________． 答案 9解析 由函数f (x )＝ax 2＋bx ，得f ′(x )＝2ax ＋b ， 因为函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为2， 所以f ′(1)＝2a ＋b ＝2，所以8a ＋b ab ＝1a ＋8b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋8b (2a ＋b )＝12⎝⎛⎭⎫10＋b a ＋16a b ≥12⎝⎛⎭⎫10＋2b a ·16a b ＝12(10＋8)＝9， 当且仅当b a ＝16a b ，即a ＝13，b ＝43时等号成立，所以8a ＋bab的最小值为9.利用基本不等式求解实际问题数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题．过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题．例 某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ，即k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，每万件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (万元)，∴2019年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx －8－16x －m＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎫3－2m ＋1－m＝－⎣⎡⎦⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)．(2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．素养提升 利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．1．函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为________．答案 4解析 f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥24＝4，当且仅当x ＝±2时，等号成立．2．已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1b 的最小值为________．答案 9解析 由题意知，正数a ，b 满足a ＋b ＝1， 则4a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫4a ＋1b (a ＋b ) ＝4＋1＋4b a ＋ab≥5＋24b a ·ab＝9，当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝23，b ＝13时等号成立，所以4a ＋1b的最小值为9.3．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为________． 答案 4解析 由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4.4．(2018·扬州模拟)已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝xy ，则3x x －1＋2yy －1的最小值为________． 答案 5＋2 6解析 ∵正实数x ，y 满足x ＋y ＝xy ，即1x ＋1y ＝1，∴1－1x ＋1－1y ＝1，又3x x －1＋2y y －1＝31－1x ＋21－1y，∴3x x －1＋2y y －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫31－1x ＋21－1y ⎝⎛⎭⎫1－1x ＋1－1y ＝5＋3⎝⎛⎭⎫1－1y 1－1x ＋2⎝⎛⎭⎫1－1x 1－1y ≥5＋26，等号成立的条件为3⎝⎛⎭⎫1－1y 2＝2⎝⎛⎭⎫1－1x 2. 5．(2018·江苏省无锡市第一中学期末)在等差数列{a n }中，a n >0，a 4＝5，则1a 2＋9a 6的最小值为_______． 答案 85解析 由题意得a 2＋a 6＝2a 4＝10， 所以1a 2＋9a 6＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋9a 6(a 2＋a 6)×110 ＝110⎝⎛⎭⎫10＋a 6a 2＋9a 2a 6≥110(10＋29)＝85. 当且仅当a 6＝3a 2＝152时等号成立．故1a 2＋9a 6的最小值为85. 6．已知函数f (x )＝e x 在点(0，f (0))处的切线为l ，动点(a ，b )在直线l 上，则2a ＋2－b的最小值是________． 答案2解析 由题意得f ′(x )＝e x ，f (0)＝e 0＝1，k ＝f ′(0)＝e 0＝1.所以切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0，∴a －b ＋1＝0，∴a －b ＝－1，∴2a ＋2－b ≥22a ·2－b ＝22a －b ＝22－1＝ 2⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝－12，b ＝12时取等号.7．设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________． 答案 6解析 由xy ＋x －y －10＝0，得x ＝y ＋10y ＋1＝9y ＋1＋1，∴x ＋y ＝9y ＋1＋1＋y ≥29y ＋1·(1＋y )＝6， 当且仅当9y ＋1＝1＋y ，即y ＝2时，等号成立．8．设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7－S 5＝3(a 4＋a 5)，则4a 3＋9a 7的最小值为________．答案 4解析 设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)， ∵S 7－S 5＝a 7＋a 6＝3(a 4＋a 5)，∴a 7＋a 6a 5＋a 4＝q 2＝3.∴4a 3＋9a 7＝4a 3＋9a 3q 4＝4a 3＋1a 3≥24a 3·1a 3＝4，当且仅当4a 3＝1a 3，即a 3＝12时等号成立．∴4a 3＋9a 7的最小值为4.9．(2018·扬州模拟)已知正实数x ，y 满足5x 2＋4xy －y 2＝1，则12x 2＋8xy －y 2的最小值为______． 答案 73解析 方法一 因为5x 2＋4xy －y 2＝1，所以y 2－5x 2＋1＝4xy ≤x 2＋4y 2(当且仅当x ＝2y 时，取“＝”)， 即6x 2＋3y 2≥1，所以2x 2＋y 2≥13，所以12x 2＋8xy －y 2＝12x 2＋2(y 2－5x 2＋1)－y 2 ＝2x 2＋y 2＋2≥13＋2＝73.方法二 因为5x 2＋4xy －y 2＝1， 则12x 2＋8xy －y 2＝12x 2＋8xy －y 25x 2＋4xy －y 2＝12⎝⎛⎭⎫x y 2＋8·x y －15⎝⎛⎭⎫x y 2＋4·x y －1.令t ＝xy，则t ∈(0，＋∞)，设f (t )＝12t 2＋8t －15t 2＋4t －1＝2＋2t 2＋15t 2＋4t －1，则f ′(t )＝8t 2－14t －4(5t 2＋4t －1)2＝2(4t ＋1)(t －2)(5t 2＋4t －1)2，令f ′(t )＝0，得t ＝2，则f (t )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 所以f (t )min ＝f (2)＝73.10．已知a ，b 为正实数，且(a －b )2＝4(ab )3，则1a ＋1b 的最小值为________．答案 2 2解析 由题意得(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ， 代入已知得(a ＋b )2＝4(ab )3＋4ab ， 两边同除以(ab )2得⎝⎛⎭⎫a ＋b ab 2＝4(ab )3a 2b 2＋4ab a 2b 2＝4⎝⎛⎭⎫ab ＋1ab ≥4·2ab ·1ab＝8， 当且仅当ab ＝1时取等号．所以1a ＋1b ≥22，即1a ＋1b 的最小值为2 2.11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 12. 某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 的值最大，则x ，y 的值各为多少？ 解 (1)由题意可得xy ＝1 800，b ＝2a ， 则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，所以S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a ＝(3x －8)y －33＝1 808－3x －83y (x >3，y >3)．(2)方法一 S ＝1 808－3x －83×1 800x＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x ≤1 808－23x ×4 800x＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x ＝4 800x ，即x ＝40时等号成立，S 取得最大值，此时y ＝1 800x ＝45，所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值． 方法二 设S ＝f (x )＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x (x >3)， 则f ′(x )＝4 800x 2－3＝3(40－x )(40＋x )x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝40，当0<x <40时，f ′(x )>0；当x >40时，f ′(x )<0. 所以当x ＝40时，S 取得最大值，此时y ＝45.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a －c b ＝cos Ccos B ，b ＝4，则△ABC 面积的最大值为________． 答案 4 3解析 ∵2a －c b ＝cos Ccos B ，∴(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ＝sin(B ＋C )＝sin A .又sin A ≠0，∴cos B ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π3.由余弦定理得b 2＝16＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴S △ABC ＝12ac sin π3≤12×16×32＝4 3.故△ABC 面积的最大值为4 3.14. 如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD →＋AE → ＝xAB →＋yAC →，则1x ＋4y 的最小值为________．答案 92解析 设AD →＝mAB →＋nAC →，AE →＝λAB →＋μAC →， ∵B ，D ，E ，C 共线，∴m ＋n ＝1，λ＋μ＝1， ∵AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →＝()m ＋λAB →＋()n ＋μAC →， 则x ＋y ＝m ＋n ＋λ＋μ＝2，∴1x ＋4y ＝12⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ()x ＋y ＝12⎝⎛⎭⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝⎛⎭⎫5＋2y x ·4x y ＝92，当且仅当x ＝23，y ＝43时，等号成立．故1x ＋4y 的最小值为92.15．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ·a q ，则f (n )＝S n －1·(S n －1＋2)＋256a n的最小值为________． 答案 30解析 当q ＝1时，a p ＋1＝a p ·a 1＝2a p ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n ＝2n，S n ＝2(2n －1)2－1＝2n ＋1－2， ∴S n －1＝2n －2，S n －1·(S n －1＋2)＝(2n －2)·2n ，∴f (n )＝(2n －2)2n ＋2562n ＝2n －2＋2562n ≥2256－2＝30，当且仅当2n ＝16，即n ＝4时，等号成立，f (n )min ＝30.16．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧面BCC 1B 1的面积为46，求该正三棱柱外接球表面积的最小值．解 设BC ＝a ，CC 1＝b ，则ab ＝46，底面三角形外接圆的半径为r ，则a sin 60°＝2r ，∴r ＝33a . 所以R 2＝⎝⎛⎭⎫b 22＋⎝⎛⎭⎫33a 2＝b 24＋a 23 ≥2 b 24·a 23＝29612＝42， 当且仅当a ＝32b 时，等号成立．所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为4π×42＝162π.。
2020年高考真题——数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)(解析版)
绝密★启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（）A.∅B. {–3，–2，2，3）C. {–2，0，2}D. {–2，2}【答案】D【解析】【分析】解绝对值不等式化简集合A, B 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为A ={x x < 3, x ∈Z}={-2, -1, 0,1, 2}，B ={x x >1, x ∈Z}={x x >1或x <-1, x ∈Z}，所以A B ={2, -2}.故选：D.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.2.（1–i）4=（）A. –4B. 4C. –4iD. 4i【答案】A【解析】【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.【详解】(1-i)4= [(1-i)2 ]2= (1- 2i +i2 )2= (-2i)2=-4 .故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.3.如图，将钢琴上的12 个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3 且j–i=4，则称a i，a j，a k 为原位大三和弦；若k–j=4 且j–i=3，则称a i，a j，a k 为原位小三和弦．用这12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A. 5B. 8C. 10D. 15【答案】C【解析】【分析】根据原位大三和弦满足k -j = 3, j -i = 4 ，原位小三和弦满足k -j = 4, j -i = 3从i = 1 开始，利用列举法即可解出．【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：k -j = 3, j -i = 4 ．∴i =1, j = 5, k = 8 ；i = 2, j = 6, k = 9 ；i = 3, j = 7, k =10 ；i = 4, j = 8, k =11；i = 5, j = 9, k =12 ．原位小三和弦满足：k -j = 4, j -i = 3 ．∴i =1, j = 4, k = 8 ；i = 2, j = 5, k = 9 ；i = 3, j = 6, k =10 ；i = 4, j = 7, k =11 ；i = 5, j = 8, k =12 ．故个数之和为10．故选：C．【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200 份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600 份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50 份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A. 10 名B. 18 名C. 24 名D. 32 名【答案】B【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为500 +1600 -1200 = 900 ，故需要志愿者900= 18 名. 50故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.5.已知单位向量a，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（）A. a+2bB. 2a+bC. a–2bD. 2a–b 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：a ⋅b=a ⋅b ⋅cos 60︒=1⨯1⨯1=1. 22A：因为(a + 2b) ⋅b =a ⋅b + 2b2 =1+ 2⨯1 =5≠ 0 ，所以本选项不符合题意；22B：因为(2a +b) ⋅b = 2a ⋅b+b2 = 2⨯1+1 = 2 ≠ 0 ，所以本选项不符合题意；2C：因(a - 2b) ⋅b =a ⋅b - 2b 2=1- 2⨯1 =-3≠ 0 ，所以本选项不符合题意；22D：因为(2a -b) ⋅b = 2a ⋅b -b2= 2⨯1-1 = 0 ，所以本选项符合题意. 2故选：D.a 1 1n【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.S n 6. 记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和．若 a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则=（ ）nA. 2n –1B. 2–21–nC. 2–2n –1D. 21–n –1【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为q ，⎧⎪a q 4 - a q 2 = 12⎧q = 2 由 a - a = 12, a - a = 24 可得： ⎨1 1 ⇒ ⎨ ， 5 3 6 4 ⎪⎩a q 5- a q 3 = 24 ⎩a 1 = 1 n -1n -1a (1- q n ) 1- 2n n 所以a n = a 1q= 2 , S n = 1= = 2 -1，S 2n -1 因此 n = =2 - 21-n .1- q 1- 2a 2n -1故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.7. 执行右面的程序框图，若输入的 k =0，a =0，则输出的 k 为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值模拟程序的运行过程k = 0, a = 0第1 次循环，a = 2 ⨯ 0 +1 =1 , k = 0 +1 = 1，2 > 10 为否第2 次循环，a = 2 ⨯1+1 = 3 , k =1+1 = 2 ，3 >10 为否第3 次循环，a = 2 ⨯3 +1 = 7 , k = 2 +1 = 3 ，7 > 10 为否第4 次循环，a = 2 ⨯7 +1 =15 , k = 3 +1 = 4 ，15 >10 为是退出循环输出k = 4 .故选：C.【点睛】本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考-2 5查了分析能力和计算能力，属于基础题.8. 若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x - y - 3 = 0 的距离为（）A.55B. 2 55C. 3 55D. 4 55【答案】B【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(a , a ), a > 0 ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点(2,1) 在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2x - y - 3 = 0 的距离.【详解】由于圆上的点(2,1) 在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(a , a ) ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为( x - a )2+ ( y - a )2= a 2 . 由题意可得(2 - a )2 + (1- a )2= a 2 ， 可得a 2 - 6a + 5 = 0 ，解得a = 1 或a = 5 ，所以圆心的坐标为(1,1) 或(5, 5) ，圆心到直线2x - y - 3 = 0 的距离均为d = =2 5 ； 5所以，圆心到直线2x - y - 3 = 0 的距离为 2 5. 5 故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9. 设O 为坐标原点，直线x = a 与双曲线 x 2 y 2 C : - = 1(a > 0,b > 0) a 2 b2 的两条渐近线分别交于D ,E 两点，若 ODE 的面积为 8，则C 的焦距的最小值为（）16 2 0)2 0)A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】B【解析】【分析】x 2 -y2= > >y =± bxx = a因为C : a21(a b 20,b 0) ，可得双曲线的渐近线方程是 ，与直线 a联立方程求得 D ， E 两点坐标，即可求得| ED | ，根据 的面积为 8 ，可得 ab 值，根据2c = 2 ，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】 C : x a 2 - y 2= 1(a > 0,b > b∴双曲线的渐近线方程是 y =± bxa x = a x 2 y 2 C : - = 1(a > 0,b >直线与双曲线a2b20) 的两条渐近线分别交于 D ， E 两点不妨设 D 为在第一象限， E 在第四象限⎧x = a ⎪ ⎧x = a 联立⎨y = b x ，解得⎨y = b⎪⎩ a ⎩故 D (a , b )⎧x = a⎪⎧x = a 联立⎨ y =- b x ，解得⎨y = -b⎪⎩ a ⎩故 E (a , -b )∴| ED |= 2b∴ ODE 面积为： S △ODE= 1a ⨯ 2b = ab = 82双曲线C : x a 2 - y 2= 1(a > 0,b > b∴其焦距为2c = 2 ≥ 2 = 2 = 8当且仅当a = b = 2 取等号∴ C 的焦距的最小值： 8ODE a 2 + b 2 a 2 + b 2 2ab 2 2 2【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10.设函数f (x) =x3-1x3,则f (x) （）A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【解析】【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{x x ≠ 0}，利用定义可得出函数f (x)为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数f (x)=x3-1 x3所以函数f (x)为奇函数．定义域为{x x ≠ 0}，其关于原点对称，而f (-x)=-f (x)，又因为函数y =x3在( 0, +? ) 上单调递增，在( -? , 0) 上单调递增，而y =1x3=x-3在( 0, +?) 上单调递减，在( -? , 0) 上单调递减，所以函数f (x)=x3-1x3在( 0, +?) 上单调递增，在( -? , 0) 上单调递增．故选：A．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．11.已知△ABC 是面积为9 3 的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为416π，则O 到平面ABC 的距离为（）A. B.3C. 1D.3 2 2【答案】C 【解析】3R 2 - r 2 3 9 3 a - 2 a 2 4 9 - 9 4 3 根据球O 的表面积和 ABC 的面积可求得球O 的半径 R 和 ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d = .【详解】设球O 的半径为 R ，则4π R 2 = 16π ，解得： R = 2 . 设 ABC 外接圆半径为 r ，边长为a ，ABC 是面积为 9 3 的等边三角形，41 2 2 ∴ a 2 ⨯ = ，解得： a = 3 ，∴r = ⨯ = ⨯ = ，2 2 4∴球心O 到平面 ABC 的距离d = 3 = 3= 1.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.12. 若2x - 2y < 3-x - 3- y ，则（）A. ln( y - x +1) > 0B. ln( y - x +1) < 0C. ln | x - y |> 0D.ln | x - y |< 0【答案】A【解析】【分析】将不等式变为 2x - 3-x < 2y - 3- y ，根据 f (t ) = 2t- 3-t的单调性知 x < y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2x - 2y < 3-x - 3- y 得： 2x - 3-x < 2y - 3- y ，令 f (t ) = 2t- 3-t，y = 2x 为 R 上的增函数， y = 3-x 为 R 上的减函数，∴ f (t ) 为 R 上的增函数， ∴ x < y ，Q y - x > 0 ，∴ y - x +1 > 1，∴ln ( y - x +1) > 0 ，则A 正确，B 错误；R 2 - r 2 4 - 32Q x - y 与1的大小不确定，故 CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函 数的单调性得到 x , y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 若sin x =- ，则cos 2x =．31 【答案】 9【解析】【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.【详解】cos 2x = 1- 2sin 2 x = 1- 2⨯(- 2)2 = 1- 8 = 1. 3 9 9故答案为： 1.9【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.14. 记 S n 为等差数列{a n } 的前 n 项和．若a 1 = -2,【答案】25 【解析】a 2 + a 6 = 2 ，则 S 10 =．【分析】因为{a n } 是等差数列，根据已知条件 a 2 + a 6 = 2 ，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案.【详解】 {a n } 是等差数列，且a 1 = -2 ， a 2 + a 6 = 2 设{a n } 等差数列的公差 d根据等差数列通项公式： a n = a 1 + (n -1)d 可得a 1 + d + a 1 + 5d = 2 即： -2 + d + (-2) + 5d = 2 整理可得： 6d = 6⎨ ⎩ 解得： d = 1根据等差数列前n 项和公式： S n= na 1+ n (n -1) d , n ∈ N *2可得： S 10= 10(-2) + 10⨯ (10 -1)= -20 + 45 = 252∴ S 10 = 25 .故答案为： 25 .【点睛】本题主要考查了求等差数列的前n 项和，解题关键是掌握等差数列的前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.⎧x + y ≥ -1 15. 若 x ，y 满足约束条件⎪x - y ≥ -1，则z = x + 2 y 的最大值是 ．⎪2x - y ≤ 1,【答案】8 【解析】【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线 y =- 1x ，在平面区域内2找到一点使得直线 y = - 1 x + 1z 在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.22【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线 y =- 1 x ，当直线经过点 A 时，直线 y = - 1 x + 1z 在纵轴上的截距最大，2⎧x - y = -1 2 2⎧x = 2此时点 A 的坐标是方程组⎨2x - y = 1 的解，解得： ⎨ y = 3 ，⎩ ⎩因此 z = x + 2 y 的最大值为： 2 + 2 ⨯ 3 = 8 .故答案为：8 .【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.16.设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l ⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是.①p1∧p4②p1∧p2③⌝p2∨p3④⌝p3∨⌝p4【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题p1的真假；利用三点共线可判断命题p2的真假；利用异面直线可判断命题p3的真假，利用线面垂直的定义可判断命题p4的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题p1，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为α；若l3 与l1 相交，则交点A 在平面α内，同理，l3 与l2 的交点B 也在平面α内，所以，AB ⊂α，即l3⊂α，命题p1真命题；对于命题p2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p2为假命题；对于命题p3，空间中两条直线相交、平行或异面，命题 p 3 为假命题；对于命题 p 4 ，若直线m ⊥ 平面α ，则 m 垂直于平面α 内所有直线， 直线l ⊂ 平面α ，∴直线m ⊥ 直线l ，命题 p 4 为真命题.综上可知， p 1 ∧ p 4 为真命题， p 1 ∧ p 2 为假命题，⌝p 2 ∨ p 3 为真命题， ⌝p 3 ∨ ⌝p 4 为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分.17. △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知cos2( π + A ) + cos A = 5． 2 4（1）求 A ；（2）若b - c =3a ，证明：△ABC 是直角三角形． 3π【答案】（1）A = ；（2）证明见解析3【解析】【分析】（ 1 ） 根据诱导公式和同角三角函数平方关系， cos 2⎛ π + A ⎫+ cos A = 5可化为 2 ⎪ 41- cos 2 A + cos A = 5，即可解出；4（2）根据余弦定理可得b 2 + c 2 - a 2 = bc ，将b - c =⎝ ⎭3 a 代入可找到a , b , c 关系，3再根据勾股定理或正弦定理即可证出．【详解】（1）因为cos 2⎛ π + A ⎫+ cos A = 5 ，所以sin 2 A + cos A = 5 ，2 ⎪ 4 4⎝⎭即1- cos 2 A + cos A = 5，4解得cos A = 1，又0 < A < π ， 2所以 A = π；3πb 2 +c 2 - a 21 （2） 因为 A =，所以cos A ==，3即b 2 + c 2 - a 2 = bc ①，2bc2又b - c =3 a ②， 将②代入①得， b 2 + c 2 - 3(b - c )2= bc ，3即2b 2 + 2c 2 - 5bc = 0 ，而b > c ，解得b = 2c ， 所以a = 3c ，故b 2 = a 2 + c 2 ，即 ABC 是直角三角形．【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．18. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中 x i 和 y i 分别表示第 i 个样区2020的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得∑ x i = 60 ， ∑ y i = 1200 ，i =1i =1202020∑（x - x )2 = 80 ， ∑（y - y )2 = 9000 ， ∑（x - x （) y - y ) = 800 . ii =1ii =1iii =1（1） 求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2） 求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到 0.01）；（3） 根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区∑i =12020(x - x ) ( y - y ) 2∑ 2iii =180 ⨯ 90002 ∑ i =1∑y 这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数 r =∑（x i - x （) i =1y i - y )，=1.414.【答案】（1）12000 ；（2） 0.94 ；（3）详见解析【解析】【分析】（1） 利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2） 利用公式r =20(xi- x )( y i - y )i =1计算即可；（3） 各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.1201【详解】（1）样区野生动物平均数为20 ∑ y i = 20⨯1200 = 60 ，地块数为 200，该地区这种野生动物的估计值为200 ⨯ 60 = 12000 （2）样本( x i , y i ) 的相关系数为20(x i- x )( y i- y )800 2r =i =1= = ≈ 0.943（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层， 在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.19. 已知椭圆 C 1：x a 2 2+ = 1(a >b >0)的右焦点 F 与抛物线 C 2 的焦点重合，C 1 的中心与 C 2 的 b 2n ∑ in （x - x ) （y - y )i =12∑ in2i =12 ∑ i =12020(x - x ) ( y - y )2∑ 2iii =12顶点重合．过 F 且与 x 轴重直的直线交 C 1 于 A ，B 两点，交 C 2 于 C ，D 两点，且|CD |= 4|AB |．3（1） 求 C 1 的离心率；（2） 若 C 1 的四个顶点到 C 2 的准线距离之和为 12，求 C 1 与 C 2 的标准方程．1Cx 2 y 2C 2【答案】（1） 2 ；（2） 1 ： += 1， 2 ： y 16 12= 8x .【解析】【分析】（1） 根据题意求出C 2 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 A , C 在第一象限，运用代入法求出 A , B , C , D 点的纵坐标，根据| CD |= 4| AB | ，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；3（2） 由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；【详解】解：（1）因为椭圆C 1 的右焦点坐标为： F (c, 0) ,所以抛物线C 2 的方程为 y 2 = 4cx ，其中c =.A , CC x 2 y2不妨设 在第一象限，因为椭圆 1 的方程为： a 2 + b2 = 1，x = cc 2 y 2 b 2A ,B b 2 b 2所以当时，有 + = 1 ⇒ y = ± ，因此 的纵坐标分别为 ， - ； a 2 b 2 a a a又因为抛物线C 2 的方程为 y 2 = 4cx ，所以当 x = c 时，有 y 2 = 4c ⋅ c ⇒ y = ±2c ，所以C , D 的纵坐标分别为2c ， -2c ，故| AB |=2b 2 ，| CD |= 4c . a48b 2cc 2 c c 1由| CD |= | AB |得4c = ，即3⋅ = 2 - 2( ) ，解得 = -2 （舍去）， = .3 3aa a a a 2 所以C 的离心率为 1.1 2x 2 y 2C （2）由（1）知a = 2c ， b = 3c ，故C 1 : 4c 2 + 3c2 = 1，所以1 的四个顶点坐标分别为(2c , 0) ， (-2c , 0) ， (0, 3c ) ， (0, - 由已知得3c + c + c + c = 12 ，即c = 2 .3c ) ， C 2 的准线为 x = -c . a 2 - b 21 11 1 Cx 2 y 2C 2所以 1 的标准方程为+ = 1， 2 的标准方程为 y 16 12= 8x .【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.20. 如图，已知三棱柱 ABC –A 1B 1C 1 的底面是正三角形，侧面 BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为 BC ，B 1C 1 的中点，P 为 AM 上一点．过 B 1C 1 和 P 的平面交 AB 于 E ，交 AC 于 F ．（1） 证明：AA 1//MN ，且平面 A 1AMN ⊥平面 EB 1C 1F ；（2） 设 O 为△A 1B 1C 1 的中心，若 AO =AB =6，AO //平面 EB 1C 1F ，且∠MPN =π，求四棱锥3B –EB 1C 1F 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2） 24 . 【解析】【分析】（1）由M , N 分别为 BC ，B 1C 1 的中点，MN //CC 1 ，根据条件可得 AA 1 / / BB 1 ，可证 MN //AA 1 ，要证平面 EB 1C 1F ⊥ 平面 A 1 AMN ，只需证明 EF ⊥ 平面 A 1 AMN 即可；（2）根据已知条件求得 S 四边形EB C F 和 M 到 PN 的距离，根据椎体体积公式，即可求得V B - E B C F .【详解】（1）∴ MN //BB 1M , N 分别为 BC ， B 1C 1 的中点，又 AA 1 / / BB 1∴ M N //AA 1MN //BB 1在等边 ABC 中， M 为 BC 中点，则 BC ⊥ AM 又 侧面 BB 1C 1C 为矩形，∴ BC ⊥ BB 1MN ⊥ BC由 MN ⋂ AM = M ， MN , AM ⊂ 平面 A 1 A MN∴ BC ⊥ 平面 A 1 A MN又 B 1C 1 //BC ，且 B 1C 1 ⊄ 平面 ABC ， BC ⊂ 平面 ABC ，∴ B 1C 1 // 平面 ABC又 B 1C 1 ⊂ 平面 EB 1C 1F ，且平面 EB 1C 1F ⋂ 平面 ABC = EF∴ B 1C 1 / / E F∴ EF //BC又 BC ⊥ 平面 A 1 AMN∴ EF ⊥ 平面 A 1 AMNEF ⊂ 平面 EB 1C 1F∴平面 EB 1C 1F ⊥ 平面 A 1 AMN（2）过 M 作 PN 垂线，交点为 H ，画出图形，如图3 3 3 ⨯ 63 3AO // 平面 EB 1C 1FAO ⊂ 平面 A 1 A MN ，平面 A 1AMN ⋂ 平面 EB 1C 1F = NP∴ AO //NP又NO //AP∴ AO = NP = 6O 为△A 1B 1C 1 的中心.∴ ON = 1 AC sin 60︒ = 1⨯ 6⨯sin 60︒ =3 1 1 3故： ON = AP = ，则 AM = 3AP = 3 ，平面 EB 1C 1F ⊥ 平面 A 1 A MN ，平面 EB 1C 1F ⋂ 平面 A 1 A MN = NP ，MH ⊂ 平面 A 1 AMN∴ MH ⊥ 平面 EB 1C 1F又 在等边 ABC 中EF =APBCAMAP ⋅ BC 即 EF === 2 AM由（1）知，四边形 EB 1C 1F 为梯形∴四边形 EB C F 的面积为： S=EF + B 1C 1⋅ NP = 2 + 6 ⨯ 6 = 241 1∴V= 1 S 四边形EB 1C 1F22⋅ h ， B -EB 1C 1F3 四边形EB 1C 1Fh 为 M 到 PN 的距离 MH = 2 3 ⋅sin 60︒= 3 ，∴ V = 1⨯ 24⨯ 3 = 24 .3【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.21. 已知函数 f （x ）=2ln x +1．3（1）若f（x）≤2x+c，求c 的取值范围；f (x) -f (a)（2）设a>0 时，讨论函数g（x）=x -a的单调性．【答案】（1）c ≥-1 ；（2）g(x) 在区间(0, a) 和(a, +∞) 上单调递减，没有递增区间【解析】【分析】（1）不等式f (x) ≤ 2x +c 转化为f (x) - 2x -c ≤ 0 ，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；（2）对函数g(x) 求导，把导函数g'(x)分子构成一个新函数m(x) ，再求导得到m'( x) ，根据m'( x) 的正负，判断m(x) 的单调性，进而确定g'(x) 的正负性，最后求出函数g(x) 的单调性.【详解】（1）函数f (x) 的定义域为：(0, +∞)f (x) ≤ 2x +c ⇒f (x) - 2x -c ≤ 0 ⇒ 2 ln x +1- 2x -c ≤ 0(*) ，设h(x) = 2 ln x +1- 2x -c(x > 0) ，则有h'(x) =2- 2 =2(1-x)，x x当x > 1 时，h' (x) < 0, h(x) 单调递减，当0 <x < 1时，h' (x) > 0, h(x) 单调递增，所以当x = 1 时，函数h(x) 有最大值，即h(x)max=h(1) = 2 ln1+1- 2 ⨯1-c =-1-c ，要想不等式(*) 在(0, +∞) 上恒成立，只需h(x)max≤ 0 ⇒-1-c ≤ 0 ⇒c ≥-1 ；（2）g(x) =2 ln x +1- (2 ln a -1)=2(ln x - ln a)(x > 0 且x ≠a) x -a x -a因此g'(x) =2(x -a -x ln x +x ln a)，设m(x) = 2(x -a -x ln x +x ln a) ，x(x -a)2则有m'(x) = 2(ln a - ln x) ，当x >a 时，ln x > ln a ，所以m' (x) < 0 ，m(x) 单调递减，因此有m(x) <m(a) = 0 ，即⎩ g '(x ) < 0 ，所以 g (x ) 单调递减；当0 < x < a 时， ln x < ln a ，所以m ' (x ) > 0 ， m (x ) 单调递增，因此有m (x ) < m (a ) = 0 ，即g '(x ) < 0 ，所以 g (x ) 单调递减，所以函数 g (x ) 在区间(0, a ) 和(a , +∞) 上单调递减，没有递增区间.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题.（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在 答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修 4—4：坐标系与参数方程]⎧x = t + 1 ,⎧x = 4 cos 2 θ 22. 已知曲线 C 1，C 2 的参数方程分别为 C 1： ⎨ y = 4sin 2 θ⎪ t （θ 为参数），C 2： ⎨ （t ⎪ y = t - 1 ⎩ t为参数）.（1） 将 C 1，C 2 的参数方程化为普通方程；（2） 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C 1，C 2 的交点为 P ，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程.【答案】（1） C 1 : x + y = 4 ； C 2 : x 2 - y 2 = 4 ；（2） ρ = 17 cos θ . 5【解析】【分析】（1） 分别消去参数θ 和t 即可得到所求普通方程；（2） 两方程联立求得点 P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由cos 2 θ + sin 2 θ = 1 得C 1 的普通方程为： x + y = 4 ；⎪⎩ 2 2 2 2 2 ⎧x = t + 1 ⎧x 2 = t 2 + 1 + 2 ⎪ t ⎪ t 2 C 2 2 由⎨ 1 得： ⎨ 1 ，两式作差可得 2 的普通方程为： x - y = 4 . ⎪ y = t - ⎪ y 2 = t 2 + - 2⎪⎩ t ⎪⎩t 2 ⎧x = 5 ⎧x + y = 4 ⎪ （2）由 得： 2 ，即 P ⎛ 5 , 3 ⎫； ⎨x 2 - y 2 = 4 ⎨ ⎪ ⎪ y = 3⎝ ⎭ ⎪⎩ 2设所求圆圆心的直角坐标为(a ,0) ，其中a > 0 ，⎛ 5 ⎫2 ⎛ 3 ⎫2 17 ∴ 17 则 a - 2 ⎪ + 0 - 2 ⎪ = a ，解得： a = ， 10 所求圆的半径r = ， 10 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ∴⎛ 17 ⎫2 ⎛ 17 ⎫2 2 2 17 所求圆的直角坐标方程为： x - 10 ⎪ + y = 10 ⎪ ，即 x + y = x ， 5 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ∴所求圆的极坐标方程为 ρ = 17 cos θ .5【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型. [选修 4—5：不等式选讲]23. 已知函数 f (x ) = x - a 2 + | x - 2a +1|.（1） 当a = 2 时，求不等式 f (x )…4 的解集；（2） 若 f (x )…4 ，求 a 的取值范围.【答案】（1） ⎧x x ≤ 3 或 x ≥ 11⎫ ；（2） (-∞, -1] [3, +∞) .⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 【解析】【分析】（1） 分别在 x ≤ 3 、3 < x < 4 和 x ≥ 4 三种情况下解不等式求得结果；（2） 利用绝对值三角不等式可得到 f( x ) ≥ (a -1)2 ，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当a = 2 时， f (x ) = x - 4 + x - 3 . 22 2 当 x ≤3 时， f (x ) = 4 - x + 3 - x = 7 - 2x ≥ 4 ，解得： x ≤ 3 ； 2当3 < x < 4 时， f (x ) = 4 - x + x - 3 = 1 ≥ 4 ，无解； 当 x ≥ 4 时， f (x ) = x - 4 + x - 3 = 2x - 7 ≥ 4 ，解得： x ≥ 11 ；2 综上所述： f ( x ) ≥ 4 的解集为⎧x x ≤3 或 x ≥ 11⎫ . ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ （2） f (x ) = x - a 2 + x - 2a +1 ≥ (x - a 2 ) - ( x - 2a +1) = -a 2 + 2a -1 = (a -1)2（当且 仅当2a -1 ≤ x ≤ a 2 时取等号），∴(a -1)2 ≥ 4 ，解得： a ≤ -1 或 a ≥ 3 ，∴a 的取值范围为(-∞, -1] [3, +∞) .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.。
2020全国卷1文科数学“基础题型解法”高考大纲(李老师编)
中等
6.2判断三角形的形状（夹角与边）
中等
6.3三角形与外接圆、内切圆（公式秒杀）
容易
7.求直线和圆的方程（公式秒杀）
容易
8.点、线、圆的位置关系和距离公式
容易
9.直线与圆基础（求截直线的方程、弦长）
容易
10.1设代法求与圆有关的方程
容易
10.2过定点问题与直线系方程、曲线系方程
中等
8.列联表4分
中等
模块
2020届全国卷1卷基础知识与易得分考点明细
难度
笔记
平面解析几何（一）
1.向量基础（平行垂直及模）5分
容易
2.向量三角形秒杀法（数形结合法：向量三角形、向量圆）
中等
3.向量的定比分点（黄金定律及秒杀法）
中等
4.解三角形的正余弦定理的化简基础5分
容易
5.判断三角形解的个数
中等
中等
模块
2020届全国卷1卷基础知识与易得分考点明细
难度
笔记
不等式
与
导数
1.不等式的可行域5分（截距型、斜率型、距离型）秒杀法
容易
2.基本不等式（和、积2种类：基本型，凑配型，转化型）
容易
3.解‘类二次不等式’秒杀法（分式型、绝对值型、指对型）
中等
4.参变分离秒杀法
中等
5.导数求切线和零点、最值点5分（定义法）
容易
10.经典的组合函数（对勾函数、太极函数、绝对值函数）
容易
11.指对函数、三角函数的图像5分（特值秒杀法）（性质法）
容易
12.三角函数诱导变换（口诀秒杀法）（和差公式秒杀法）
容易
13.指对函数、三角函数三态变换秒杀（平移、翻折、旋转）
2020年 (文科)数学高考高效提分 纠错本之 专题06 数列
易错点1忽略了n 的取值已知数列{}n a 满足3123=()n a a a a n n ∈*N L ，求数列{}n a 的通项公式n a ．【错解】由3123=n a a a a n L ，可得31231=(1),n a a a a n --L 两式相除可得33=(1)n n a n -．【错因分析】31231=(1)n a a a a n --L 仅适用于n ∈*N 且2n >时的情况，故不能就此断定33=(1)n na n -就是数列{}n a 的通项公式．【试题解析】当1n =时，11a =；当2n ≥时，由3123=n a a a a n L ，可得31231=(1),n a a a a n --L 两式相除可得33=(1)n n a n -，故331,1.,1,(1)n n a n n n n =⎧⎪=⎨>∈⎪-⎩*N已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法(1)形如a n ＋1＝a n f (n )，常用累乘法，即利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1求通项公式．(2)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，常用累加法．即利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)求通项公式． (3)形如a n ＋1＝ba n ＋d (其中b ，d 为常数，b ≠0,1)的数列，常用构造法．其基本思路是：构造a n ＋1＋x ＝b (a n ＋x )(其中x ＝db －1)，则{a n ＋x }是公比为b 的等比数列，利用它即可求出a n . (4)形如a n ＋1＝pa n qa n ＋r (p ，q ，r 是常数)的数列，将其变形为1a n ＋1＝r p ·1a n ＋qp .若p ＝r ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为qp ，可用公式求通项；若p ≠r ，则采用(3)的办法来求．(5)形如a n ＋2＝pa n ＋1＋qa n (p ，q 是常数，且p ＋q ＝1)的数列，构造等比数列．将其变形为a n ＋2－a n ＋1＝(－q )·(a n ＋1－a n )，则{a n －a n －1}(n ≥2，n ∈N *)是等比数列，且公比为－q ，可以求得a n －a n －1＝f (n )，然后用累加法求得通项．(6)形如a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝f (n )的式子， 由a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝f (n )，①得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝f (n －1)，② 再由①－②可得a n .(7)形如a n ＋1＋a n ＝f (n )的数列，可将原递推关系改写成a n ＋2＋a n ＋1＝f (n ＋1)，两式相减即得a n ＋2－a n ＝f (n ＋1)－f (n )，然后按奇偶分类讨论即可．(8)形如a n ·a n ＋1＝f (n )的数列，可将原递推关系改写成a n ＋2·a n ＋1＝f (n ＋1)，两式作商可得2(1)()n na f n a f n ++=，然后分奇、偶讨论即可．(9)a n ＋1－a n ＝qa n ＋1a n (q ≠0)型，将方程的两边同时除以a n ＋1a n ，可构造一个等差数列． 具体步骤：对a n ＋1－a n ＝qa n ＋1a n (q ≠0)两边同时除以a n ＋1a n ，得到1a n －1a n ＋1＝q ，即 1a n ＋1－1a n ＝－q ，令b n ＝1a n ，则{b n }是首项为1a 1，公差为－q 的等差数列. (10)a n ＝pa r n －1(n ≥2，p >0)型，一般利用取对数构造等比数列．具体步骤：对a n ＝pa r n －1两边同取常用对数，得到lg a n ＝r lg a n －1＋lg p ，令b n ＝lg a n ，则{b n }可归为a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)型.1．数列{}n a 的前n 项和n S 满足232n S n n =-+，则数列n a 的通项公式为_____________.【答案】0,124,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【解析】∵数列{}n a 的前n 项和232n S n n =-+，∴当2n ≥时，22132(1)3(1)224n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦， 又∵当1n =时，110214a S ==≠⨯-，故0,124,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故答案为0,124,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.【名师点睛】本题考查的知识点是数列的通项公式，其中正确理解由数列的前n 项和S n ，求通项公式的方法：1112n n n S n a S S n -=-⎨⎩≥⎧=，，和步骤是解答本题的关键．由已知中{}n a 的前n 项和232n S n n =-+，结合1112n n n S n a S S n -=-⎨⎩≥⎧=，，，分别讨论2n ≥时与1n =时的通项公式，并由1n =时，1a 的值不满足2n ≥时的通项公式，故要将数列{}n a 的通项公式写成分段函数的形式．易错点2 忽略数列中为0的项设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则当n S 最大时，n =__________．【错解】由1118S S =，得111110181711+1822a d a d ⨯⨯=+，即1=14a d -，由10a >可知0d <，解不等式组111(1)0,0n n a a n d a a nd +=+-≥⎧⎨=+<⎩即14(1)0,140d n d d nd -+-≥⎧⎨-+<⎩得1415n <≤．又n ∈*N ，故当15n =时n S 最大．【错因分析】由于150a =，所以1415S S =，当14n =或15n =时n S 最大，错解中忽略了数列中为0的项． 【试题解析】 【正解1】由1118S S =，得111110181711+1822a d a d ⨯⨯=+，即1=14a d -，由10a >可知0d <，解不等式组111(1)0,0n n a a n d a a nd +=+-≥⎧⎨=+≤⎩即14(1)0,140d n d d nd -+-≥⎧⎨-+≤⎩得1415n ≤≤．故当14n =或15n =时n S 最大．【正解2】由1118S S =，可得1=14a d -，所以2(1)2914()222n n n d S dn d n -=-+=--8418d ，由n ∈*N 并结合n S 对应的二次函数的图象知，当14n =或15n =时n S 最大．【正解3】由1118S S =，得121314151617180a a a a a a a ++++++=，即157=0a ，15=0a ，由10a >可知0d <，故当14n =或15n =时n S 最大．数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题1．等差数列的前n 项和与函数的关系 等差数列的前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，令A ＝d 2，B ＝a 1－d2，则S n ＝An 2＋Bn .当A ≠0，即d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上，为抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上一群孤立的点．利用此性质可解决前n 项和S n 的最值问题． 2．等差数列前n 项和的最值(1)若等差数列的首项a 1>0，公差d <0，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n 项和有最大值，且满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0. (2)若等差数列的首项a 1<0，公差d >0，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n 项和有最小值，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0.3．求等差数列前n 项和的最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *. (2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取得最值．(3)项的符号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n ，使S n 取最大值；当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0的项数n ，使S n 取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使S n 取最值的n 有两个．4．在等差数列{}n a 中，若10a >，()p q S S p q =≠，则（1）p q +为偶数⇒当2p qn +=时n S 最大；（2）p q +为奇数⇒当12p q n +-=或12p q ++时n S 最大．2．等差数列{}n a 中，12a =，1015S =，记2482n n B a a a a =++++L ，则当n =__________时，n B 取得最大值. 【答案】4【解析】在等差数列{}n a 中，12a =，1015S =，10110910152S a d ⨯∴=+=，即204515d +=，455d =-，19d ∴=-，()111921999n a n n =--=-+，由119099n a n =-+=，得19n =，即190a =，当19n >时，0n a <，当19,0n n a <>，因此在2482,,,n a a a a 中，当4n ≤时，20n a >，当5n ≥时，20n a <，故当4n =时，n B 取得最大值，故答案为4.【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的计算，属于难题.求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，即n S 2An Bn =+，当2Bn A=-时有最大值（若2Bn A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值.错点3 忽视奇数项或偶数项的符号在等比数列{}n a 中，246825a a a a =，求19a a 的值.【错解】因为{}n a 为等比数列，所以192846a a a a a a ==，由246825a a a a =可得219()25a a =，故195a a =±.【错因分析】错解中忽略了在等比数列中，奇数项或偶数项的符号相同这一隐含条件．【试题解析】因为{}n a 为等比数列，所以192846a a a a a a ==，由246825a a a a =可得219()25a a =，故19a a =5±．又在等比数列中，所有的奇数项的符号相同，所以190a a >，所以195a a =．1．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．3．已知等比数列{}n a 中，2346781,64a a a a a a ==，则5a = A ．2± B ．−2 C ．2D ．4【答案】C【解析】因为等比数列{}n a 中，2346781,64a a a a a a ==，所以33371,64a a ==，所以371,4a a ==， 因此25a =374a a =，因为5a ，3a 同号，所以5 2.a =故选C.【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.应用等比数列性质时的注意点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.易错点4 忽视q =1致错在数列{}n a 中，若2(0)n nn a m m m =-≠，求{}n a 的前n 项和n S ．【错解】123n n S a a a a =++++L2422()()n n a a a a a a =+++-+++L L222(1)(1)11n n a a a a a a--=---. 【错因分析】错解在进行等比数列求和时忽略了对公比是否等于1的讨论；此外，还需讨论相关数列是否为等比数列.【试题解析】当1m =时，0n a =，所以0n S =；当1m =-时，21m =，所以(1)1(1)12n nn m m S n n m ---=-=+-； 当1m ≠±时，222(1)(1)11n n n m m m m S m m--=---． 综上，2220,11(1),12(1)(1),111n n n n m S n m m m m m m mm ⎧⎪=⎪--⎪=+=-⎨⎪⎪---≠±⎪--⎩.1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n ，a n＋1的式子应进行合并．3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．4．各项均为正数的数列{}n a 的首项11a λ=，前n 项和为n S ，且211n n n S S a λ+++=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足nn n b a λ=，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n n a λ=；（2）()22,121,0,111n nn n nT n λλλλλλλ⎧+=⎪⎪=⎨-⎪->≠-⎪-⎩. 【解析】（1）因为211n n n S S a λ+++=，① 所以当2n ≥时，21n n n S S a λ-+=，②-①②得：2211n n n n a a a a λλ+++=-，即()()111n n n n n n a a a a a a λ++++=+-，因为{}n a 的各项均为正数， 所以10n n a a ++>，且0λ>，所以11n n a a λ+-=．由①知，2212S S a λ+=，即21222a a a λ+=，又因为11a λ=，所以22a λ=，所以211a a λ-=．故()*11n n a a n λ+-=∈N ， 所以数列{}n a 是首项为1λ，公差为1λ的等差数列． 所以()111n na n λλλ=+-=．（2）由（1）得n na λ=，所以1n n b n λ-=⋅，所以()2211231n n n T n n λλλλ--=++++-+L ，③()231231n n n T n n λλλλλλ-=++++-+L ，④-③④，得()2111n n n T n λλλλλ--=++++-L ，当0λ>且1λ≠时，()111n nn T n λλλλ--=--，解得()2111n n n n T λλλλ-=---； 当1λ=时，由③得()()21123122n n n n nT n n ++=++++-+==L ；综上，数列{}n b 的前n 项和()22,121,0,111n nn n nT n λλλλλλλ⎧+=⎪⎪=⎨-⎪->≠-⎪-⎩． 【名师点睛】（1）本题主要考查数列前n 项和公式，考查等差数列的通项的求法，考查错位相减求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.（2）数列{}·n n b c ，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，则采用错位相减法.1.数列求和，一般应从通项入手，若通项未知，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．2.解决非等差、非等比数列的求和，主要有两种思路(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成；(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成123,,,,,,na a a aL L简记为{}n a．2．数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列，如数列1，2，3，4，5，7，8，9，10无穷数列项数无限的数列，如数列1，2，3，4，…按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项，如数列1，3，5，7，9，…递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项，如数列10，9，8，7，6，5，…常数列各项都相等的数列，如数列2，2，2，2，…摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，如1，2，1，2 按项的有界性有界数列任一项的绝对值都小于某一正数，如－1，1，－1，1，－1，1，…无界数列不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它，如2，4，6，8，10，…3．数列的表示方法（1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况．（2）解析法：主要有两种表示方法，①通项公式：如果数列{}n a的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即()na f n=．②递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项(或前几项)，且任一项n a 与它的前一项1n a - (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．（3）图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示．数列用图象表示时，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图．由此可知，数列的图象是无限个或有限个孤立的点． 4．数列的前n 项和与通项的关系数列的前n 项和通常用n S 表示，记作12n n S a a a =+++L ，则通项11,2n nn S a S S n -⎧=⎨-≥⎩．若当2n ≥时求出的n a 也适合1n =时的情形，则用一个式子表示n a ，否则分段表示． 5．等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，可得1()n a dn a d =+-． 令p d =，1q a d =-，则n a pn q =+，其中p ，q 为常数．（1）当0p ≠时，(,)n n a 在一次函数y px q =+的图象上，数列{}n a 的图象是直线y px q =+上均匀分布的一群孤立的点，且当0d >时数列{}n a 为递增数列，当0d <时数列{}n a 为递减数列． （2）当0p =时，n a q =，等差数列为常数列，数列{}n a 的图象是平行于x 轴的直线（或x 轴）上均匀分布的一群孤立的点． 6．等差数列的前n 项和首项为1a ，末项为n a ，项数为n 的等差数列{}n a 的前n 项和公式：11()(1)==22n n n a a n n S na d +-+． 令2d p =，12d q a =-，可得2n S pn qn =+，则 ①当0p ≠，即0d ≠时，n S 是关于n 的二次函数，点(,)n n S 是函数2=y px qx +的图象上一系列孤立的点；②当0p =，即0d =时，n S 是关于n 的一次函数(0q ≠，即10)a ≠或常函数(0q =，即10)a =，点(,)n n S 是直线y qx =图象上一系列孤立的点．我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n 项和的相关问题． 7．用前n 项和公式法判定等差数列等差数列的前n 项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列{}n a 的前n项和2n S an bn c =++，那么当且仅当0c =时，数列{}n a 是以a b +为首项，2a 为公差的等差数列；当0c ≠时，数列{}n a 不是等差数列．8．等差数列的常用性质由等差数列的定义可得公差为d 的等差数列{}n a 具有如下性质：（1）通项公式的推广：()n m a a n m d =+-，,m n ∈*N ． （2）若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+(,)m n,p,q ∈*N ． 特别地，①若2m n p +=，则2m n p a a a +=(,)m n,p ∈*N ；②若m n t p q r ++=++，则m n t p q r a a a a a a ++=++(,)m n,p,q,t,r ∈*N ．③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即1211.n n i n i a a a a a a -+-+=+==+=L L（3）下标成等差数列的项2,,,k k m k m a a a ++L 组成以md 为公差的等差数列． （4）数列{}(,n ta t λλ+是常数)是公差为td 的等差数列．（5）若数列{}n b 为等差数列，则数列{}n n ta b λ±(,t λ是常数)仍为等差数列． （6）若,p q a q a p ==，则0p q a +=． 9．与等差数列各项的和有关的性质利用等差数列的通项公式及前n 项和公式易得等差数列的前n 项和具有如下性质： 设等差数列{}n a （公差为d ）和{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ， （1）数列{}n S n 是等差数列，首项为1a ，公差为12d ． （2）232(1),,,,,k k k k k mk m k S S S S S S S ----L L 构成公差为2k d 的等差数列． （3）若数列{}n a 共有2n 项，则S S nd -=奇偶，1n n S aS a +=奇偶． （4）若数列{}n a 共有21n -项，则S S -=奇偶n a ，(,1n S n S na S n ==-奇奇偶(1))n S n a =-偶． （5）2121n n n n S a T b --=，21212121m mn nS a m T n b ---=⋅-． 10．等比数列的性质若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，前n 项和为n S ，则有如下性质：（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =；若2m n r +=，则2(,)m n r a a a m n,p,q,r =∈*N ．推广：1211;n n i n i a a a a a a -+-===①L L ②若m n t p q r ++=++，则m n t p q r a a a a a a =． （2）若,,m n p 成等差数列，则,,m n p a a a 成等比数列． （3）数列{}(0)n a ≠λλ仍是公比为q 的等比数列；数列1{}n a 是公比为1q的等比数列； 数列{}||n a 是公比为||q 的等比数列；若数列{}n b 是公比为q'的等比数列，则数列{}n n a b 是公比为qq'的等比数列．（4）23,,,,k k m k m k m a a a a +++L 成等比数列，公比为mq ．（5）连续相邻k 项的和（或积）构成公比为(kq 或2)k q 的等比数列．（6）当1q =时，n m S n S m =；当1q ≠±时，11nn m m S q S q-=-． （7）m nn m m n n m S S q S S q S +=+=+．（8）若项数为2n ，则S q S =偶奇，若项数为21n +，则1S a q S -=奇偶． （9）当1q ≠-时，连续m 项的和（如232,,,m m m m m S S S S S --L ）仍组成等比数列（公比为mq ，2m ≥）．注意：这里连续m 项的和均非零． 11．求和常用方法方法1→错位相减法求和的注意点在运用错位相减法求数列前n 项和时要注意四点： ①乘数（式）的选择；②对公比q 的讨论（是否为1）；③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律； ④相消项中构成数列的项数． 方法2→裂项相消法求和的注意点 在应用裂项相消法求和时应注意：（1）把通项裂项后，是否恰好等于相应的两项之差；（2）在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，是否还有其他项． 方法3→求和方法——分组求和法的解题步骤 利用分组求和法解题的步骤： ①根据通项公式的特征准确拆分，将其分解为可以直接求和的一些数列的和； ②分组求和，分别求出各个数列的和；③得出结论，对拆分后每个数列的和进行组合，解决原数列的求和问题．1．[2018北京文]设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当14,1,1,4a b c d ====时，,,,a b c d 不成等比数列，所以不是充分条件；当,,,a b c d 成等比数列时，则ad bc =，所以是必要条件.综上所述，“ad bc =”是“,,,a b c d 成等比数列”的必要不充分条件，故选B.【名师点睛】证明“ad bc =”⇒“,,,a b c d 成等比数列”只需举出反例即可，论证“,,,a b c d 成等比数列”⇒“ad bc =”可利用等比数列的性质.2．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若643a a =，且104S a λ=，则λ的值为A ．15B ．21C ．23D ．25【答案】D【解析】依题意， 6411135392a a a d a d a d =⇒+=+⇒=-，其中0d ≠；()10411104532525S a a d a d d d λλλλ=⇒+=+⇒=⇒=，故选D ．3．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，1247S S =，则84S S = A ．13B ．13或12C ． 3D ． 3或2-【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，∵1247S S =， ∴1q ≠，且()()1241117111a q a q qq--=--，即()124171qq -=-.令4t q =， 0t >，且1t ≠.∴()3171t t -=-，即260t t +-=.∴2t =或3t =-（舍去）.即42q =.故选C ．4．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n na a +<，若3520a a +=，3564a a =，则4S = A ．63或120 B ．256 C ．120D ．63【答案】C【解析】∵11n na a +<，∴0＜q ＜1， ∵a 3+a 5=20，a 3a 5=64∴a 3和a 5为方程x 2﹣20x +64=0的两根， ∵a n ＞0，0＜q ＜1，∴a 3＞a 5，∴a 3=16，a 5=4，∴q =12，∴a 1=64，a 2=32，a 3=16，a 4=8， ∴S 4=64+32+16+8=120，故选C ．5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若212a a =，且3S ，1S ，2S 成等差数列，则4S =A ．10B ．12C ．18D ．30【答案】A【解析】在等比数列{}n a 中，由212a a =，得211a a q =，即1a q =，① 又3S ，1S ，2S 成等差数列，1322S S S ∴=+，即21111222a a a q a q =++，②联立①②得：0(q =舍去)或2q =-．12a q ∴==-，则()()414121161013a q S q--⨯-===-．故选A ．【名师点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等比数列的前n 项和，是中档题． 6．在数列{n a }中，已知12a =，1122n n n a a a --=+()2n ≥，则n a 等于A ．21n + B ．2n C ．3nD ．31n +【答案】B【解析】将等式1122n n n a a a --=+两边取倒数得到11112n n a a -=+，11111=,2n n n a a a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列，11a =12，根据等差数列的通项公式的求法得到()1111222n nn a =+-⨯=，故n a =2n. 故答案为B.【名师点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法，数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -再作差得通项，但是这种方法需要检验n =1时通项公式是否适用；还有构造新数列的方法，取倒数，取对数的方法等.7．已知数列{}n a 是递增数列，且对*n ∈N ，都有2n a n n λ=+，则实数λ的取值范围是A ．7,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,-+∞C ．()2,-+∞D ．()3,-+∞【答案】D【解析】∵{a n }是递增数列，∴a n +1＞a n 恒成立，∵a n =n 2+λn ，∴（n +1）2+λ（n +1）＞n 2+λn 恒成立，∴λ＞﹣2n ﹣1对于n ∈N *恒成立． 而﹣2n ﹣1在n =1时取得最大值﹣3，∴λ＞﹣3. 故选D ．【名师点睛】本题主要考查由数列的单调性来构造不等式，解决恒成立问题．研究数列单调性的方法有：比较相邻两项间的关系，将a n +1和a n 作差与0比较，即可得到数列的单调性；研究数列通项即数列表达式的单调性.8．已知数列{}n a 满足n a =（*n ∈N ），将数列{}n a 中的整数项按原来的顺序组成新数列{}n b ，则2018b 的末位数字为 A ．8 B ．2 C ．3D ．7【答案】C【解析】由n a =（*n ∈N ），可得此数列为：L，n a 的整数项为L ,∴数列{}n b 的各项依次为： 2,3,7,8,12,13,17,18L ，末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8L ，∵201845042=⨯+，故2018b 的末位数字为3，故选C ． 9．[2018浙江]已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则 A ．1324,a a a a << B ．1324,a a a a >< C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>【答案】B【解析】令()ln 1,f x x x =--则()11f x x'=-，令()0,f x '=得1x =，所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，因此()()10,ln 1f x f x x ≥=∴≥+.若公比0q >，则()1234123123ln a a a a a a a a a a +++>++>++，不合题意； 若公比1q ≤-，则()()212341110,a a a a a q q+++=++≤但()()212311ln ln 1ln 0a a a a q q a ⎡⎤++=++>>⎣⎦，即()12341230ln a a a a a a a +++≤<++，不合题意； 因此()210,0,1q q -<<∈，22113224,0a a q a a a q a ∴>=<=<，故选B.10．[2018北京文]“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为ABC．D．【答案】D【解析】因为每一个单音的频率与前一个单音的频率的比都为所以()*12,n n a n n -=≥∈N，又1a f =，则7781a a q f ===，故选D.【名师点睛】此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n ≠∈N ）或1nn a q a -=（*0,2,q n n ≠≥∈N ），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n ≥∈N ），则数列{}n a 是等比数列.11．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =__________．【答案】63-【解析】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以−1为首项，以2为公比的等比数列，所以()66126312S --==--，故答案是63-.【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.12．设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________．【答案】63n a n =-【解析】设等差数列的公差为d ，()133343663616 3.n a d d d a n n =∴+++=∴=∴=+-=-Q ，，， 【名师点睛】先根据条件列出关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用. 13．已知数列{}n a 满足： 212log 1log n n a a +=+，若310a =，则8a =__________．【答案】320【解析】根据题意，得 212log log 1n n a a +-=，所以{}2log n a 是公差为1的等差数列，52823222log log 5log 10log 2log 320a a =+=+=.所以8320a =.14．设n S 是等比数列{}n a 的前项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为__________．【答案】20【解析】很明显等比数列{a n }的公比q >0，q ≠1.∵236365432112(1)(1)5S S a a a a a a a q q q -=++---=++-=，则2135(1)1a q q q ++=-，q 3=2,即q =. ∴S 9−S 6的最小值为20.15．已知等差数列{}n a ，若24236n a a a a a +++=L ，132135n a a a a a -+++=L ，且2200n S =，则公差d =__________．【答案】0或6【解析】若24236n a a a a a +++=L ①，132135n a a a a a -+++=L ②， ②-①得3nd a d =.（1）若0d =，显然0n a >，则23611a a a na ⋅==，又2200n S =，所以12200na =，解得10n =，满足题意．（2）若0d ≠，则3n a =，56200n a a ∴⋅+=（）， 又212200n n S n a a ==⋅+（），56122105n a a a a n n ∴+=+∴==，，，3103855200a S a a ∴==+=，（），得835a =，6d ∴=．故答案为0或6．16．[2018全国I 文]已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）b 1=1，b 2=2，b 3=4；（2）见解析；（3）a n =n ·2n -1． 【解析】（1）由条件可得a n +1=2(1)n n a n+． 将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4． 将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12． 从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．（2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n na a n n+=+，即b n +1=2b n ， 又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． （3）由（2）可得12n na n-=， 所以a n =n ·2n -1．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列的通项公式，借助于的通项公式求得数列的通项公式，从而求得最后的结果.17．[2018全国Ⅲ文]等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 【答案】（1）1(2)n n a -=-或12n n a -=；（2）6.【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=． 由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =． 故1(2)n n a -=-或12n n a -=． （2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3nn S --=．由63m S =得(2)188m -=-，此方程没有正整数解．若12n n a -=，则21n n S =-．由63m S =得264m =，解得6m =． 综上，6m =．18．[2018北京文]设{}n a 是等差数列，且123ln2,5ln2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12e e e n aaa+++L .【答案】（1）ln 2n a n =；（2）122n +-. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵235ln2a a +=， ∴1235ln2a d +=， 又1ln2a =， ∴ln2d =.∴()11ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（1）知ln2n a n =， ∵ln 2ln2ee e =2nna n n ==，∴{}e n a 是以2为首项，2为公比的等比数列. ∴212ln2ln2ln221e e e eee=222=22nna a a n n ++++=++++++-L L L .∴12e e ena aa+++L 1=22n +-.【名师点睛】等差数列的通项公式及前n 项和共涉及五个基本量1,,,,n n a a d n S ，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.（1）设公差为d ，根据题意可列关于1,a d 的方程组，求解1,a d ，代入通项公式可得；（2）由（1）可得e 2n a n =，进而可利用等比数列求和公式进行求解. 19．已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和为392S =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）12n n a +=；（2）n T = 21n -． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得，． 化简得11322,,2a d a d +=+=解得11=1,2a d =，故通项公式1=1+2n n a -，即+1=2n n a ． （2）由（1）得141515+1=1==82b b a =，．设{}n b 的公比为q ,则3418b q b ==,从而2q =． 故{}n b 的前n 项和()()1111221112nnnn b q T q -⨯-===---．20．设12a =，24a =，数列{}n b 满足：122n n b b +=+且1n n n a a b +-=.（1）求证：数列{}2n b +是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2） 1*22()n n a n n +=-∈N .【解析】（1）由题意知： 12222222n n n n b b b b ++++==++， 又121422b a a =-=-=Q ，∴124b +=，∴{}2n b +是以4为首项， 2为公比的等比数列.（2）由（1）可得1242n n b -+=⋅，故122n n b +=-.1n n n a a b +-=Q ，∴211a a b -=，322a a b -=，433a a b -=，……11n n n a a b ---=.累加得： 11231n n a a b b b b --=++++L ，()()()()234222222222n n a =+-+-+-++-L ()()21212=2+2112n n -----122n n +=-，即()1222n n a n n +=-≥.而1112221a +==-⨯，∴1*22()n n a n n +=-∈N .21．[2018浙江]已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ．（1）求q 的值；（2）求数列{b n }的通项公式．【答案】（1）2q =；（2）2115(43)()2n n b n -=-+⋅.【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.（1）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+，所以34543428a a a a ++=+=，解得48a =.由3520a a +=得18()20q q+=， 因为1q >，所以2q =.（2）设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S .由11,1,, 2.n nn S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得41n c n =-.由（1）可知12n n a -=， 所以111(41)()2n n n b b n -+-=-⋅， 故211(45)(),22n n n b b n n ---=-⋅≥，11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-L23111(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅++⋅+L . 设221113711()(45)(),2222n n T n n -=+⋅+⋅++-⋅≥L ，2211111137()(49)()(45)()22222n n n T n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅L 所以22111111344()4()(45)()22222n n n T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅L ， 因此2114(43)(),22n n T n n -=-+⋅≥， 又11b =，所以2115(43)()2n n b n -=-+⋅. 【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ 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2020年 高考数学(文科)总复习超级详细讲解 效率提分之第7章 7.5
§7.5合情推理与演绎推理考情考向分析以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题．注重培养学生的推理能力；在高考中以填空题的形式进行考查，属于中低档题．1．合情推理(1)归纳推理①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——一般性的原理；②小前提——特殊对象；③结论——揭示了一般原理与特殊对象的内在联系．概念方法微思考1．合情推理所得结论一定是正确的吗？提示合情推理所得结论是猜想，不一定正确，用演绎推理能够证明的猜想是正确的，否则不正确．2．合情推理对我们学习数学有什么帮助？提示合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论，证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．3．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论，在用其进行推理时，大前提是否可以省略？提示大前提是已知的一般原理，当已知问题背景很清楚的时候，大前提可以省略．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(4)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N*)．(×)(5)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×)题组二教材改编2．[P32例1]已知在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是________．答案a n＝n2解析 a 2＝a 1＋3＝4，a 3＝a 2＋5＝9，a 4＝a 3＋7＝16，a 1＝12，a 2＝22，a 3＝32，a 4＝42，猜想a n ＝n 2.3．[P35T3]在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则存在的等式为________________． 答案 b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *) 解析 利用类比推理，借助等比数列的性质， b 29＝b 1＋n ·b 17－n ， 可知存在的等式为b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)． 题组三 易错自纠4．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理错误的原因是________． 答案 小前提错误解析 f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．5．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论： ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行． 则正确的结论是________．(填序号) 答案 ①④解析 显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交． 6．观察下列关系式：1＋x ＝1＋x ；()1＋x 2≥1＋2x ，()1＋x 3≥1＋3x ，……，由此规律，得到的第n 个关系式为________． 答案 (1＋x )n ≥1＋nx解析 左边为等比数列，右边为等差数列，所以第n 个关系式为(1＋x )n ≥1＋nx (n ∈N *)．题型一归纳推理命题点1与数式有关的的推理例1 (1)《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是________．答案 17 解析由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17.(2)观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋12 0192<________. 答案4 0372 019解析 由题意得，不等式右边分数的分母是左边最后一个分数的分母的底数，所以猜想的分母是2 019，分子组成了一个以3为首项，2为公差的等差数列，所以a 2 018＝3＋(2 018－1)×2命题点2与图形变化有关的推理例2 分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n＝6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为________．答案364解析由图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，所以，n＝1时，a1＝1；n＝2时，a2＝3＋1＝4；n＝3时，a3＝3×4＋1＝13；n＝4时，a4＝3×13＋1＝40；n＝5时，a5＝3×40＋1＝121；n＝6时，a6＝3×121＋1＝364.思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与式子有关的推理．观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真跟踪训练1 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为________．答案55解析由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55.题型二类比推理例3 (1)已知{a n}为等差数列，a1 010＝5，a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝5×2 019.若{b n}为等比数列，b1 010＝5，则{b n}类似的结论是________________．答案b1b2b3…b2 019＝52 019解析 在等差数列{a n }中，令S ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019， 则S ＝a 2 019＋a 2 018＋a 2 017＋…＋a 1，∴2S ＝(a 1＋a 2 019)＋(a 2＋a 2 018)＋(a 3＋a 2 017)＋…＋(a 2 019＋a 1)＝2 019(a 1＋a 2 019) ＝2 019×2a 1 010＝10×2 019， ∴S ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019＝5×2 019. 在等比数列{b n }中，令T ＝b 1b 2b 3…b 2 019， 则T ＝b 2 019b 2 018b 2 017…b 1，∴T 2＝(b 1b 2 019)(b 2b 2 018)(b 3b 2 017)…(b 2 019b 1)＝(b 21 010)2 019，∴T ＝b 1b 2b 3…b 2 019＝(b 1 010)2 019＝52 019.(2)如图(1)所示，点O 是△ABC 内任意一点，连结AO ，BO ，CO ，并延长交对边于A 1，B 1，C 1，则OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＝1，类比猜想：点O 是空间四面体V —BCD 内的任意一点，如图(2)所示，连结VO ，BO ，CO ，DO 并延长分别交面BCD ，VCD ，VBD ，VBC 于点V 1，B 1，C 1，D 1，则有____________________．答案OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1 解析 利用类比推理，猜想应有OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1.用“体积法”证明如下：OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝V O —BCD V V —BCD ＋V O —VCD V B —VCD ＋V O —VBD V C —VBD ＋V O —VBC V D —VBC ＝V V —BCDV V —BCD＝1. 思维升华 类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比(加与乘，乘与乘方，减与除，除与开方)．数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．跟踪训练2 在平面上，设h a ，h b ，h c 是△ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c ＝1.把它类比到空间中，则三棱锥中的类似结论为____________________． 答案P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d ＝1.题型三 演绎推理例4 设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n ∈N *)；②b n ≤M (n ∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界”数列． (1)若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ； (2)判断(1)中的数列{S n }是否为“特界”数列，并说明理由． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 1＋2d ＝4,3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋9n .(2){S n }为“特界”数列．理由如下：由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝(S n ＋2－S n ＋1)－(S n ＋1－S n )2 ＝a n ＋2－a n ＋12＝d2＝－1<0， 得S n ＋S n ＋22<S n ＋1， 故数列{S n }满足条件①；而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝⎛⎭⎫n －922＋814(n ∈N *)， 则当n ＝4或5时，S n 有最大值20，即S n ≤20， 故数列{S n }满足条件②.综上，数列{S n }是“特界”数列．思维升华 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，应当首先明确什么是大前提和小前提，若前提是显然的，则可以省略．跟踪训练3 某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知今天是星期________． 答案 四解析 因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E 车明天可以上路，E 车周四限行，所以今天不是周三；因为B 车昨天限行，所以今天不是周一，不是周五，也不是周日；因为A ，C 两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周二和周六，所以今天是周四．1．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是____________________．答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2解析 由题中式子可以归纳：等式左边为连续自然数的和，有2n －1项，且第一项为n ，则最后一项为3n －2，等式右边均为2n －1的平方． 2．观察下列三角形数阵： 1 13 15 17 19 111 113 115 117 119 ……按照以上排列的规律，第16行从左到右的第2个数为________． 答案1243解析 前15行共有15×(15＋1)2＝120(个)数，所以第16行第2个数为a 122＝12×122－1＝1243.3．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c.类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝________. 答案3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析 由类比推理可知r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.4．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，类比这些等式，若 6＋a b ＝6ab(a ，b 均为正数)，则a ＋b ＝________. 答案 41 解析 观察等式2＋23＝223， 3＋38＝338，4＋415＝4415，…，第n 个应该是 n ＋1＋n ＋1(n ＋1)2－1＝(n ＋1)n ＋1(n ＋1)2－1，则第5个等式中a ＝6，b ＝a 2－1＝35，a ＋b ＝41.5．有一个游戏，将标有数字1,2,3,4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：这4人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为_______． 答案 4,2,1,3解析 由于4个人预测不正确，其各自的对立事件正确，即甲：乙、丙没拿到3；乙：甲、丙没拿到2；丙：甲没拿到1；丁：甲没拿到3.综上，甲没拿到1,2,3，故甲拿到了4，丁拿到了3，丙拿到了1，乙拿到了2.6．已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 22≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4；…照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a nn ≥______.答案na 1a 2…a n解析 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)．7．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102. 根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝________. 答案 212解析 因为13＋23＝32,13＋23＋33＝62， 13＋23＋33＋43＝102，等式的右端依次为 (1＋2)2，(1＋2＋3)2，(1＋2＋3＋4)2，所以13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.8．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为________年． 答案 己酉解析 天干是以10为一个周期循环，地支以12为一个周期循环，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为起点，则80÷10＝8，则2029的天干为己，80÷12＝6余8，则2029的地支为酉． 9．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________. 答案 n n解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2 018这2 017个整数中能被2除余1且被3除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为____． 答案 336解析 因为这些整数能被2除余1且被3除余1， 所以这些数组成的数列的通项a n ＝6n ＋1， 设6n ＋1≤2 018，∴6n ≤2 017，∴n ≤33616.所以此数列的项数为336.11．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33， 并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明：设x 1＋x 2＝1， f (x 1)＋f (x 2)12x x12x x12x x12x x ＝33. 12．设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明： (1)a >0且－2<ba<－1；(2)方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根． 证明 (1)因为f (0)>0，f (1)>0， 所以c >0,3a ＋2b ＋c >0.由a ＋b ＋c ＝0，消去b 得a >c >0；再由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c 得a ＋b <0且2a ＋b >0，所以－2<ba<－1.(2)因为抛物线f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c 的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 3a，3ac －b 23a ，又因为－2<ba <－1，所以13<－b 3a <23.因为f (0)>0，f (1)>0，而f ⎝⎛⎭⎫－b 3a ＝3ac －b 23a ＝－a 2＋c 2－ac 3a＝－⎝⎛⎭⎫a －c 22＋3c 243a<0，所以方程f (x )＝0在区间⎝⎛⎭⎫0，－b 3a 与⎝⎛⎭⎫－b3a ，1内分别有一个实根，故方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根．13. 一质点从坐标原点出发，按如图的运动轨迹运动，每步运动一个单位，例如第3步结束时该质点所在位置的坐标为(0,1)，第4步结束时质点所在位置的坐标为(－1,1)，那么第2 018步结束时该质点所在位置的坐标为________．答案 (16，－22)解析 当运动：1＋1＋2＋2步时，坐标为(－1，－1)； 当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4步时，坐标为(－2，－2)；当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6步时，坐标为(－3，－3)； ……当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋…＋n ＋n (n 为偶数)步时， 坐标为⎝⎛⎭⎫－n 2，－n 2. 而1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋…＋n ＋n ≤2 018， 即n (n ＋1)≤2 018(n ∈N *)，解得n ≤44.当n ＝44时，该点的坐标为(－22，－22)，共走了1 980步，此时还需向右走38步，故最终坐标为(16，－22)．14. 如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为________．答案 8解析 由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *)层的点数为6(n －1)．设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N *)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6·n (n －1)2＝3n 2－3n＋1，由题意，得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8，故共有8层．15. 某电子设备的锁屏图案设计的操作界面如图①所示，屏幕解锁图案的设计规则如下：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点(点的个数在1到9个之间)就形成了一个线路图(线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次被划到不会成为确定线路的点)，这个线路图就形成一个屏幕解锁的图案，则图②所给线路中可以成为屏幕解锁图案的是________．(填序号)答案ab解析由解锁图案的设计规则可知，所给的线路图可以成为屏幕解锁图案的充分条件是：构成线路图的所有的点能且只能起到一次确定线段的作用．将屏保九宫格编号如下：则能形成a线路的方案是：a：1→5→9→2→8→6→4→3→7或者b：7→5→3→4→6→8→2→9→1，两者都能成为屏幕解锁图案；能形成b线路的方案是：c：6→5→4→2→7→8→9→5→8或者d：6→5→4→2→7→8→5→9→8或者e：8→9→5→8→7→2→4→6或者f：8→5→9→7→2→4→6或者g：8→5→4→2→7→9→5→6，其中f能成为屏幕解锁图案；能形成c线路的方案是：h：7→6→5→9→3→2→1→6或者i：7→6→1→2→3→9→5→6或者j：6→5→9→3→2→1→6→7或者k：6→1→2→3→9→5→6→7或者l：7→6→3→2→1→6→9→5→6或者m：7→6→3→2→1→6→5→9→6或者n：7→6→9→5→6→1→2→3→6，其中点6在所有的方案中至少起到两次确定线段的作用，都不能成为屏幕解锁图案．故本题正确答案为ab.16．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为a ，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得AC ＝DB ＝14AB ，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF 做相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为S n ，现给出有关数列{S n }的四个命题：①数列{S n }不是等比数列；②数列{S n }是递增数列；③存在最小的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n >2 019；④存在最大的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n <2 019.其中真命题的序号是________．(请写出所有真命题的序号)答案 ①②④解析 由题意，得图1中的线段为a ，S 1＝a ，图2中的正六边形的边长为a 2， S 2＝S 1＋a 2×4＝S 1＋2a ， 图3中的最小正六边形的边长为a 4，S 3＝S 2＋a 4×4＝S 2＋a ， 图4中的最小正六边形的边长为a 8， S 4＝S 3＋a 8×4＝S 3＋a 2， 由此类推，S n －S n －1＝a 2n －3(n ≥2)， 即{S n }为递增数列，且不是等比数列， (S n )min ＝S 1＝a ，若使对任意正整数n ，都有S n >2 019，则a >2 019. 所以不存在最小的正数a .即①②正确，③错误；因为S n ＝S 1＋(S 2－S 1)＋(S 3－S 2)＋…＋(S n －S n －1)＝a ＋2a ＋a ＋a 2＋…＋a 2n －3＝a ＋2a ⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12＝a ＋4a ⎝⎛⎭⎫1－12n －1<5a (n ≥2，n ∈N *)， 又S 1＝a <5a ，所以存在最大的正数a ＝2 0195， 使得对任意的正整数n ，都有S n <2 019， 即④正确．。
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第3讲算法
1．(2016·北京卷改编)执行如图所示的流程图，输出的S值为________．
解析k＝0，S＝0，满足k≤2；S＝0，k＝1，满足k≤2；
S＝1，k＝2，满足k≤2；
S＝1＋23＝9，k＝3，不满足k≤2，输出S＝9.
答案9
2．(2017·南京、盐城模拟)运行如图所示的伪代码，其结果为________．S←1
For I From 1 To 7 step 2
S←S＋I
End For
Print S
解析该伪代码输出的S＝1＋1＋3＋5＋7＝17.
答案17
3．(2017·徐州测试)阅读如图所示的流程图，若输入的n是30，则输出的变量S 的值是________．
解析该流程图运行15次，故输出的S＝30＋28＋…＋4＋2＝
15×(30＋2)
2＝
15×16＝240.
答案240
4．(2016·天津卷改编)阅读如图所示的流程图，运行相应的程序，则输出S的值为________．
解析初始值S＝4，n＝1，
循环第一次：S＝8，n＝2；
循环第二次：S＝2，n＝3；
循环第三次：S＝4，n＝4，满足n>3，输出S＝4.
答案 4
5．(2017·苏北四市调研)运行如图所示的伪代码，则输出的S为________．S←1
I←1
While I<5
S←S＋2
I←I＋1
End While
Print S
解析第一次运行，S＝3，I＝2；第二次运行，S＝5，I＝3；第三次运行，S ＝7，I＝4；第四次运行，S＝9，I＝5，结束循环，故输出的S为9.
答案9
6．(2017·南京调研)执行如图所示的流程图，若a＝7，则输出的S＝________.
解析由流程图知，该算法为求S＝1＋
1
1×2
＋
1
2×3
＋…＋
1
k(k＋1)
＝1＋1－
1
2
＋1
2－
1
3＋…＋
1
k－
1
k＋1
＝2－
1
k＋1
.又a＝7，∴当k＝8时，退出循环，此时S
＝2－
1
7＋1
＝
15
8.
答案15 8
7．(2017·南京模拟)下图是一个算法流程图，则输出的n的值是________．
解析本题实质就是求不等式2n>20的最小整数解，因此输出的n＝5.
答案 5
8．(2017·洛阳模拟)按如下流程图，若输出结果为170，则判断框内应填入的条件为________．
解析模拟流程图的运行过程，得该程序运行后是计算S＝2＋23＋25＋27＝2＋8＋32＋128＝170，满足条件i＝7＋2≥9时，终止循环，∴判断框中应填入的是i≥9.
答案i≥9
9．(2017·苏、锡、常、镇、宿迁五市调研)执行如图所示的流程图，输出的x值为________．
解析该流程图运行三次，第一次，x＝4，y＝16；第二次，x＝5，y＝32；
第三次，x＝6，y＝64>10×6＋3＝63，退出循环，故输出的x值为6.
答案 6
10．(2017·扬州质检)如图所示的伪代码输出的结果是________．S←1
For I From 1 To 5 Step 2
S←S＋I
End for
Print S
解析根据所给的伪代码知S＝1＋1＋3＋5＝10.
答案10
11．(2016·全国Ⅲ卷改编)执行下面的流程图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输
出的n＝________.
解析循环1次：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；
循环2次：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；
循环3次：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；
循环4次：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4；
此时20>16，则输出n的值为4.
答案 4
12．(2017·泰州模拟)执行如图所示的伪代码，当输入a，b值分别为1,3时，最后输出的a的值为________．
Read a，b
i←1
While i≤2
a←a＋b
b←a－b
i←i＋1
End While
Print a
解析该伪代码运行两次，第一次循环，a＝4，b＝1，i＝2；第二次循环，a ＝5，b＝4，i＝3，故输出的a的值是5.
答案 5
13．(2016·全国Ⅰ卷改编)执行右边的流程图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足的关系为________(填序号)．
①y ＝2x ；②y ＝3x ； ③y ＝4x ；④y ＝5x .
解析 输入x ＝0，y ＝1，n ＝1，
运行第一次，n ＝2，x ＝0，y ＝1，不满足x 2＋y 2≥36； 运行第二次，n ＝3，x ＝1
2，y ＝2，不满足x 2＋y 2≥36； 运行第三次，x ＝3
2，y ＝6，满足x 2＋y 2≥36， 输出x ＝3
2，y ＝6.
由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，6在直线y ＝4x 上，则x ，y 的值满足③.
答案 ③
14．(2017·徐州、宿迁、连云港三市模拟)执行如图所示的流程图，则输出k 的值为________．
解析 该流程图运行三次，第一次循环，n ＝6，k ＝1；第二次循环，n ＝3，k ＝2；第三次循环，n ＝1，k ＝3，结束循环，故输出的k 的值是3. 答案 3。