含参一元二次不等式的解法

含参一元二次不等式的解法

温县第一高级中学数学组 任利民

解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点.解含参一元二次不等式时对参数的分类主要依据有三个因素：①比较两根大小；②判别式的符号；③二次项系数的符号.下面例举几例来加以分析说明.

一、 根据二次不等式所对应方程的根的大小分类

例1解关于x 的不等式

2(1)0x x a a --->. 分析：原不等式等价于()(1)0x a x a -+->，所对应方程的两根是 x a =或1x a =-.这两个根的大小关系不确定，因此分类的标准是a 与1a

-的大小关系.这样就容易将a 分成111,,222

a a a >=<这三类. 解：原不等式等价于()(1)0x a x a -+->，所对应方程的两根是x a =或1x a =-. 当12

a >时，有1a a >-，所以不等式的解集为{x x a >或1}x a <-. 当12a =时，有1a a =-，所以不等式的解集为{x x R ∈且1}2

x ≠ 当12

a <时，有1a a <-，所以不等式的解集为{1x x a >-或}x a <. 【评注】对参数进行的讨论是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类讨论.当二次项系数不含参数且能进行因式分解时，其解法较容

易，只讨论根的大小.本题中对a 的讨论时，12的选取依据就是比较两个根的大

小.解题关键是熟练掌握二次函数的图象特征，做到眼中有题，心中有图.

二、 根据判别式的符号分类

例2解关于x 的不等式

2220x ax ++>. 分析：设2()22f x x ax =++，欲确定()0f x =的根的情况，需讨论 0,0,0∆>∆=∆<三种情况，由此来确定()f x 的图像，并最终确定不等

式的解集.

解：不等式所对应方程的判别式216a ∆

=- ① 当0∆>，即4a >或4a <-时，原不等式所对应方程的两根为

: 4a x --=

或4

a x -+=,

原不等式的解集为{4a x x -+>或}4

a x --< ② 当0∆

=，得4a =±. 当4a =时,原不等式的解集为{x x R ∈且1}x ≠-.

当4a =-时,原不等式的解集为{x

x R ∈且1}x ≠. ③ 当0∆<，即44a -<<时, 原不等式的解集为R .

【评注】解含参的一元二次不等式，可先分解因式，再讨论求解，若不易分解，也可对∆分类讨论，或利用二次函数图象求解.本题对a 讨论时，4±的选取依据是题设条件和根存在的条件.对于二次项系数不含参数且不能因式分解时，则需对判别式∆的符号分类.

三、 根据二次项系数的符号分类

例3解关于x 的不等式

220ax x a -+<. 分析：二次项系数决定了不等式的性质（0a

=时，是一次不等式；0a ≠时，是二次不等式）.原不等式对应方程的根无法确定，需讨论的符号 解：①当0a

=时,原不等式的解集为{0}x x >. 当0a ≠时,原不等式所对应方程的判别式244a ∆=-.

② 当0a >时, 0∆>，即01a <<时,原不等式的解集为

11{}x x a a

-+<<. 当0∆=，即1a =时，原不等式的解集为φ.

当0∆<，即1a >时，原不等式的解集为φ.

③ 当0a <时, 0∆>，即10a -<<时,原不等式的解集为

1{x x a +<或1}x a

-> 当0∆=，即1a =-时，原不等式的解集为{1}x x ≠-.

当0∆<，即1a <-时，原不等式的解集为R .

【评注】本题中对参数的讨论，选取了0，1，-1其依据是二次项系数的符号、判别式的符号和根的大小.问题比较复杂，但只要抓住这三点，有次序地按大小讨论，问题就不难解决.另要注意原不等式在0a

>或0a <时所对应的两个根的大小是不同的，要注意判断和识别.