电路微分方程解法

电路微分方程解法 Revised final draft November 26, 2020

第七章 二阶电路

用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。

重点：

1． 电路微分方程的建立 2． 特征根的重要意义 3． 微分方程解的物理意义

难点：

1． 电路微分的解及其物理意义 2． 不同特征根的讨论计算

知识复习

一、二阶齐次微分方程的通解形式

0'''=++cy by ay ，其特征方程为：02

=++c bp ap ，特征根：a

ac b a b p 44222

,1-±-=。 当特征方程有不同的实根1p 、2p 时，t p t p e A e A y 2121+= 当特征方程有相同的实根p 时，pt e t A A y )(21+=

当特征方程有共轭的复根ω±δ-=j p 2,1时，)sin cos (21)(t A t A e e y t t j ω+ω==δ-ω+δ-

二、欧拉公式

二阶电路的零输入响应

二阶电路中的能量振荡

在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。

设电容的初始电压为0U ，电感的初始电流为零。在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有储能。此时电流为零，电流的变化率不为零（0≠==dt di L

u u L C ，0≠∴dt

di

），这样电流将不断增大，原来存储在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。当电容电压下降到零

时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值I 0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。

电容电压虽然为零，但其变化率不为零（00≠===dt du C

I i i C L C ，0≠∴dt

du

C ），电路中的电流从I 0逐渐减小，电容在电流的作用下被充电（电压的极性与以前不同），当电感中的电流下降

到零的瞬间，能量再度全部存储在电容中，电容电压又达到，只是极性与开始相反。

之后电容又开始放电，此时电流的方向与上一次电容放电时的电流方向相反，与刚才的过程相同，能量再

次从电场能转化为电磁能，直到电容电压的大小与极性与初始情况一致，电路回到初始情况。

上述过程将不断重复，电路中的电压与电流也就形成周而复始的等幅振荡。

可以想象，当存在耗能元件时的情况。一种可能是电阻较小，电路仍然可以形成振荡，但由于能量在电场能与电磁能之间转化时，不断地被电阻元件消耗掉，所以形成的振荡为减幅振荡，即幅度随着时间衰减到零；另一种可能是电阻较大，电容存储的能量在第一次转移时就有大部分被电阻消耗掉，电路中的能量已经不可能在电场能与电磁能之间往返转移，电压、电流将直接衰减到零。

二阶电路的微分方程

二阶电路如下，其中电容电压的初始值为0)0()0(U u u C C ==-+，电感电流的初始值为

0)0()0(==-+L L i i 。

根据该电路列写电路方程为0=++-L R C u u u

其电路电流为：dt

du C

i C

-= 因此：dt

du RC Ri u C R -==，22dt u d LC dt di

L u C R -==

所以，电路方程为：022=++C C C u dt

du

RC dt u d LC

二阶电路微分方程的求解

方程022=++C C C u dt

du

RC dt u d LC 的特征方程为012=++RCp LCp 。特征根为：

其中：

由特征根的性质（不等的实数、相等的实数或共轭的复数）就可以确定通解的具体形式。再据电路的初始条件即可得出通解中的待定系数。

二阶电路特征根的讨论

分别讨论特征根的情况。

一、过阻尼情况——非振荡放电过程 1．过阻尼的条件

当LC L R 122

>⎪⎭

⎫

⎝⎛，即C L R 2>（C L R 42>）时，特征根1p 、2p 为不相等的负实数。

此时固有频率为不相等的负实数， 2．过阻尼时的响应

当特征根为不相等的实数时，方程的解的形式为

其中： 而dt

du C

i C

=，C

I dt du t C

0-

=+

=，且电路的初始条件，0)0(I i L =+，有 而

0)0(U u C =+，0)0()0(==+-L L i i

同时

dt

du C

i C

=，00

00=-=-

=+

=C

C I dt du t C

因此，初始条件为：

0)0(U u C =+，

00=+

=t C dt

du

代入电路方程t p t p C e A e A t u 2121)(+=中，就可以解出其中的待定系数，得出

由此可见，)(t u C 和)(t i L 均为随着时间衰减的指数函数，电路的响应为非振荡响应。其中当电流的变化率为零的时刻m t 时电流达到最大值。

而：

3．过阻尼时的响应曲线 二、临界阻尼情况 1．临界阻尼的条件

当LC L R 122

=⎪⎭

⎫

⎝⎛，即C L R 2=（C L R 42=）时，特征根1p 、2p 为相等的负实数p ；此时固

有频率为相等的负实数，

2．临界阻尼时的响应

当方程的特征根相同时，pt C e t A A t u )()(21+=，然后可以按照初值求取待定系数；也可以利用非振荡放电过程的解，令α-=-==→L

R

p p p 221，取极限得出。 非振荡放电过程的解为：)()(*1221210t p t p C e p e p p p U t u --=，令α-=-==→L

R

p p p 221，取极限，根据罗必塔法则：

由此可见，)(t u C 和)(t i L 也为随着时间衰减的指数函数，仍然为非振荡响应。其中 3．临界阻尼时的响应曲线

临界阻尼时响应曲线的变化规律与过阻尼时的情况类似。 三、欠阻尼情况 1．欠阻尼的条件

当LC L R 122

<⎪⎭

⎫

⎝⎛，即C L R 2<（C L R 42<）时，特征根1p 、2p 为一对共轭复数，其实部为

负数。

2．欠阻尼时的响应

令L

R

2=α，2

221⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωL R LC ，则微分方程的特征根ω+α-=j p 1，ω-α-=j p 2。 如图所示，设ω与α及0ω之间存在三角关系

即 220ω+δ=ω，α

ω

=βarctg