惯性矩的计算方法与常用截面惯性矩计算公式

设平面图形形心 C 的坐标为y c ,z c

(1-2)

y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上 3.组合图形的静矩和形心

设截面图形由几个面积分别为 A 1,A 2,A3……A n 的简单图形组成 直各族图形的形心坐标分别为x.|, y 1 ； x 2, y 2； x 3,y 3"…:,则图形对y

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式

截面图形的几何性质

一 •重点及难点：

（一）.截面静矩和形心 1•静矩的定义式

如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴 的一次矩为它对该轴的静矩，即

dS y = xdA dSx = ydA

整个图形对y 、z 轴的静矩分别为

S y 二 A

xdA

(1-1)

X

Sx 二 A ydA

2.形心与静矩关系

图1-1

推论1 如果y 轴通过形心（即X = ，则静矩Sy = 0 ；同理， 如果X

轴通过形心 （即y = 0），则静矩Sx= 0 ；反之也成立。

推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心

；如果

，且一 轴和x

轴的静矩分别为

n

S y 二％ S yi 二' A i X

i

i 2 i =1

S x = ' S xi =

、A i y

i

i 4 i 4

截面图形的形心坐标为

4.静矩的特征

（1）界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的 ，故静矩与坐标轴有 关。

⑵静矩有的单位为m 3

。

（3）静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定 为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形 心。

⑷ 若已知图形的形心坐标。则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静 矩。若已

知图形对坐标轴的静矩，则可由式（1-2）求图形的形心坐 标。组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐 标系的静矩，然后由式（1-4）求出其形心坐标。

（二）•惯性矩惯性积惯性半径

1. 惯性矩

定义 设任意形状的截面图形的面积为 A （图I-3），则图形对0点的 极惯性矩定义为

(1-3)

' A i X i

' A i y i

(1-4)

、A

i -1

I p = A^dA (1-5)

图形对y 轴和x 轴的光性矩分别定义为 I y=.A

x 2

dA ,

I x 「A

y 2dA

(I-6)

惯性矩的特征 (1)

界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的 ；轴惯性矩是对某一 坐标轴定义的。 (2) 极惯性矩和轴惯性矩的单位为m 4

。

(3) 极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值 。

(4)

图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为坐标 原点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即

I p 二 J 2

dA 二(x 2

y 2

)dA=l y l x (I-7)

A A

(5) 组合图形(图I-2 )对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩， 分别等于各族纷纷图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之 和，即

n

n

n

I T 八 I Q ， I y 八 I yi ， IX 八 I xi

（ I-8 ）

i=1

i=1

i=1

图I-3

X i X 2

C 2

X n

A 2

A n y n

y 2

C i

y i

A i

图I-2

2. 惯性积

定义 设任意形状的截面图形的面积为 A (图1-3),则图形对y 轴 和x 轴的惯性积定义为 I xy = A XydA 惯性积的特征 (1) 界面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定义的 。

(2) 惯性积的单位为m 4

。

(3)

惯性积的数值可正可负，也可能等于零。若一对坐标周中 有一轴为图形的对称轴，则图形对这一对称轴的惯性积必 等于零。但图形对某一对坐标轴的惯性积为零 ，这一对坐

标轴重且不一定有图形的对称轴。

(4) 组合图形对某一对坐标轴的惯性积，等于各组分图形对同 一坐标轴的惯性积之和，即

n

1 xy

八 1

xyi

( 1-10

)

\=1

3. 惯性半径

定义： 任意形状的截面图形的面积为 A (图I-3)，则图形对y 轴和 x 轴的惯性半径分别定义为 惯性半径的特征

(1) 惯性半径是对某一坐标轴定义的 (2) 惯性半径的单位为m （3）惯性半径的数值恒取证之

(I-9)

(I-11)

（三）•惯性矩和惯性积的平行移轴公式

平行移轴公式

2

l x = Ixc a A

（I-12）

2

I y = I yc b A

1 xy ^xCyC^abA（1-13）

平行移轴公式的特征

（1）意形状界面光图形的面积为 A （图（I-4）；x c，y c轴为图形的形心轴；x, y轴为分别与x c，y c形心轴相距为a和b的平行轴。

（2）两对平行轴之间的距离a和b的正负，可任意选取坐标轴x，y 或形心x c，y c为参考轴加以确定。

（3）在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不一定是最小。