高考数学复习点拨 巧用线性规划思想解题
高考数学热点问题专题练习——线性规划作图与求解知识归纳及典型例题分析
线性规划——作图与求解一、基础知识（1）线性约束条件：关于变量,x y 的一次不等式（或方程）组（2）可行解：满足线性约束条件的解(),x y（3）可行域：所有可行解组成的集合（4）目标函数：关于,x y 的函数解析式（5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解2、如何在直角坐标系中作出可行域：（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下三种情况：① 竖直线x a =或水平线y b =：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断 ② 一般直线()0y kx b kb =+≠：可代入()0,0点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。
例如：不等式230x y -+≤，代入()0,0符合不等式，则230x y -+≤所表示区域为直线230x y -+=的右下方③ 过原点的直线()0y kx k =≠：无法代入()0,0，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者利用象限进行判断。
例如：y x ≤：直线y x =穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧。
考虑第四象限的点0,0x y ><，所以必有y x ≤，所以第四象限所在区域含在y x ≤表示的区域之中。
（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件(),0F x y >（或(),0F x y <）边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件(),0F x y ≥（或(),0F x y ≤）边界能取值时，在图像中边界用实线表示3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域（2）确定目标函数z 在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设,a b 为常数）① 线性表达式——与纵截距相关：例如z ax by =+，则有a z y x b b =-+，从而z 的取值与动直线的纵截距相关，要注意b 的符号，若0b >，则z 的最大值与纵截距最大值相关；若0b <，则z 的最大值与纵截距最小值相关。
高中数学解线性规划问题的方法与思路总结
高中数学解线性规划问题的方法与思路总结一、引言线性规划是高中数学中的重要内容，也是数学建模和实际问题求解中常用的方法之一。
本文将总结解线性规划问题的方法与思路，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用线性规划。
二、线性规划问题的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最优值的问题。
其中，线性约束条件可以用一组线性不等式或等式表示，线性目标函数是一次函数。
三、线性规划问题的解题步骤1. 建立数学模型：根据实际问题，确定决策变量、目标函数和约束条件，并将其转化为数学表达式。
2. 确定可行域：根据约束条件，确定决策变量的取值范围，即可行域。
3. 确定最优解：通过图像、代数或单纯形表等方法，确定最优解的存在性和唯一性。
4. 求解最优解：利用图像、代数或单纯形表等方法，求解最优解，并进行验证。
5. 分析最优解：对最优解进行解释和分析，得出结论。
四、线性规划问题的解题技巧1. 图像法：将线性规划问题转化为几何问题，在平面直角坐标系中绘制可行域和目标函数的图像，通过观察图像找到最优解。
例如，解决如下问题：求函数 f(x, y) = 3x + 4y 在约束条件x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 6 的可行域中的最大值。
通过绘制可行域和目标函数的图像，可以观察到最优解在可行域的顶点处取得。
2. 代数法：通过代数计算，利用不等式关系和线性目标函数的性质，求解最优解。
例如，解决如下问题：求函数 f(x, y) = 2x + 3y 在约束条件x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4 的可行域中的最大值。
通过列出不等式组成的方程组，利用代数方法求解方程组，得到最优解。
3. 单纯形表法：适用于多个决策变量和多个约束条件的线性规划问题。
通过构建单纯形表，利用迭代计算的方法求解最优解。
例如，解决如下问题：求函数 f(x, y, z) = 5x + 4y + 3z 在约束条件x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z = 6 的可行域中的最大值。
高中数学线性规划解题技巧
高中数学线性规划解题技巧在高中数学中，线性规划是一个重要的内容，也是考试中常见的题型。
线性规划是一种优化问题，通过建立数学模型，找出使目标函数达到最优值的变量取值。
在解题过程中，我们需要掌握一些技巧和方法，下面就来具体介绍一下。
一、确定变量和目标函数在解线性规划问题时，首先要明确变量和目标函数。
变量是我们要求解的未知数，而目标函数则是我们要优化的目标。
例如，假设我们要求解一个生产问题，生产两种产品A和B，我们可以将A的产量表示为x，B的产量表示为y，目标函数可以是总利润或总成本。
二、列出约束条件约束条件是限制变量取值范围的条件，也是我们解题的关键。
要列出准确的约束条件，需要仔细分析题目并进行逻辑推理。
约束条件可以是生产能力、资源限制、市场需求等各种限制条件。
例如，假设某工厂生产产品A和B，A的生产需要2个单位的资源1和3个单位的资源2，B的生产需要4个单位的资源1和1个单位的资源2。
工厂拥有资源1的总量为10个单位，资源2的总量为12个单位。
那么我们可以得到以下约束条件：2x + 4y ≤ 103x + y ≤ 12三、确定可行域可行域是指满足所有约束条件的变量取值范围。
在解线性规划问题时，我们需要确定可行域的范围，以便找到最优解。
为了确定可行域，我们可以将约束条件转化为不等式，并将其绘制在坐标系中。
通过求解这些不等式的交集，我们可以确定可行域的范围。
以前面的例子为例，我们可以将约束条件绘制在坐标系中，得到以下图形：[图1]根据图中的交集部分，我们可以确定可行域的范围。
四、确定最优解确定最优解是线性规划的核心问题。
我们需要找到使目标函数达到最大或最小值的变量取值。
在确定最优解时，有两种常用的方法：图形法和单纯形法。
图形法通过绘制等高线图来找到最优解，而单纯形法通过迭代计算来逐步逼近最优解。
以目标函数为总利润的例子为例，我们可以通过图形法找到最优解。
在可行域中，我们需要找到使总利润最大化的点。
通过绘制等高线图，我们可以找到目标函数的等高线与可行域的交点，从而确定最优解。
高考数学命题热点名师解密专题：线性规划求解技巧(理)含答案解析
专题35 线性规划求解技巧一．【学习目标】1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．2．掌握确定平面区域的方法；理解目标函数的几何意义，注意线性规划问题与其他知识的综合．二．【知识要点】1．二元一次不等式表示的平面区域(1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，不包括边界直线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．(2)在平面直角坐标系中，设直线Ax＋By＋C＝0(B不为0)及点P(x0，y0)，则①若B>0，Ax0＋By0＋C>0，则点P(x0，y0)在直线的上方，此时不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0的上方的区域．②若B>0，Ax0＋By0＋C<0，则点P在直线的下方，此时不等式Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0的下方的区域．③若是二元一次不等式组，则其平面区域是所有平面区域的公共部分．2．线性规划相关概念名称意义约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组线性约束由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组条件目标函数关于x，y的函数解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合线性目标函数目标函数是关于变量的一次函数最优解使目标函数取得最大或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值3.常见简单的二元线性规划实际问题一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．解线性规划问题的一般步骤：审题、设元——列出约束条件(通常为不等式组)——建立目标函数作出可行域求最优解．三．解题方法总结1.二元一次不等式(组)表示的平面区域确定的方法第一种：若用y ＝kx ＋b 表示的直线将平面分成上下两部分不等式区 域y ＞kx ＋b 表示直线上方的半平面区域y ＜kx ＋b表示直线下方的半平面区域第二种：用Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)表示的直线将平面分成上下两部分(B ＝0读者完成)不等式B ＞0B ＜0Ax ＋By ＋C ＞0表示直线上方的半平面区域表示直线下方的半平面区域Ax ＋By ＋C ＜0表示直线下方的半平面区域表示直线上方的半平面区域联系：将Ax ＋By ＋C ＝0表示的直线转化成y ＝kx ＋b 的形式即是第一种.第三种：选特殊点判定(如原点)，取一点坐标代入二元一次不等式(组)，若成立，则平面区域包括该点，反之，则不包括.2.线性规划问题求解策略(1)解决线性规划问题时，找出约束条件和目标函数是关键，一般步骤如下：①作：确定约束条件，并在坐标系中作出可行域；②移：由z ＝ax ＋by 变形为y ＝－x ＋，所求z 的最值可以看成是求直线y ＝－x ＋在y 轴上的截a b z b a b zb 距的最值(其中a ，b 是常数，z 随x ，y 的变化而变化)，将直线ax ＋by ＝0平移，在可行域中观察使最大zb (或最小)时所经过的点；③求：求出取得最大值或最小值的点的坐标，并将其代入目标函数求得最大值和最小值；④答：写出最后结论.(2)可行域可以是一个一侧开放的平面区域，也可以是一个封闭的多边形，若是一个多边形，目标函数的最优解一般在多边形的某个顶点处取得.(3)若要求的最优解是整数解，而通过图象求得的是非整数解，这时应以与线性目标函数的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线最近的整点，或者用“调整优值法”去寻求最优解.四．典例分析例1．设满足约束条件，则的最大值是 A ．0B ．4C ．5D ．6【答案】D由，解得，即，此时，故选D．【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.学-科网-练习1．已知实数x,y满足，若不等式ax-y>0恒成立，则实数a的取值范围为( )A．（－∞，）B．（4，＋∞）C．（，4）D．（，4）【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示：若ax﹣y＞0恒成立即y＜ax恒成立，即平面区域在直线y＝ax的下方即可．即A（1，4）在y＝ax的下方或在直线上即可，即a＞4，故选：B．练习2．若满足则的最小值等于A．B．C．D．【答案】B【解析】由，满足作出可行域如图，即为线段AB，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过A时，直线在轴上的截距最小，有最小值为，故选：B．（二）含绝对值的不等式=+的最大值是__________．例2. 设,x y满足约束条件，则z x y【答案】2【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示．由图形得，当0,0x y ≥≥时，，且当直线经过点()0,2A 时z 有最大值2，故可得z x y =+的最大值为2．答案：2练习1．已知实数x ， y 满足条件，则2z x y =+的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由约束条件画出可行域如下图，目标函数可变形为z=2x+y,即2y x z =-+，求截距的最小值，过点C(2,1)时， min 5z =，选C.【点睛】线性规划中常见目标函数的转化公式：（1）截距型： ，与直线的截距相关联，若0b >，当zb的最值情况和z 的一致；若0b <，当zb的最值情况和z 的相反；（2）斜率型：与(),x y 的斜率，常见的变形：，，.（3）点点距离型：表示(),x y 到(),m n 两点距离的平方；（4）点线距离型：表示(),x y 到直线的距.练习2．若实数,x y 满足，则21x y ++的取值范围是（）A ．[]0,4B ．[]1,3 C ．[]2,6D ．[]0,3【答案】A【解析】作出不等式组表示的可行域如图．令2z x y =+ ，则，则12z 表示直线2z x y =+在y 轴上的截距，截距越大， z 越大由题意可得12A-（，） ，此时12C -（， ）又可行域过点B 时， z 最大，过点D 时z 最小，，，则故选A3．若实数满足不等式组，则的最大值是（）A．15 B．14 C．11 D．10【答案】B【解析】由题可知，作出目标函数的可行域，如图所示，由知，当目标函数经过点取得最大值，即，故选B．（三）与圆有关的线性规划例3．设满足约束条件，则的最小值为__________．【答案】【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线平移到和圆弧相切时，取得最小值，此时直线方程为，由点到直线的距离公式得，（取负值），即的最小值为.【点睛】本小题主要考查线性规划的知识，考查线性型目标函数的最值的求法，属于基础题.题目所给的约束条件中，表示的是圆心为，半径为的圆的圆上和圆内的点构成的区域.对于目标函数，由于，当直线截距最大时，取得最小值，这个在解题过程中要特别注意.练习1．若点满足，点在圆上，则的最大值为A．B．C．D．【答案】A【解析】根据所给不等式组，画出可行域如下图所示因为在圆上，所以即求可行域内到点距离加半径即可由图可知，可行域内点（1，1）到点（-2，3）的距离最大，所以，所以PQ最大值为5+1=6所以选A练习2．设不等式组表示的平面区域为D，若圆C：不经过区域D上的点，则r的取值范围为 A．B．C．D．【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部，其中，，圆：表示以为圆心，半径为的圆，由图可得，当半径满足或时，圆不经过区域上的点，，当或时，圆不经过区域上的点，故选练习3．若，则函数的最小值等于______．【答案】故答案为：（四）目标函数为平方和例4．已知满足约束条件则目标函数的最小值为（）A．B．C．1D．【答案】B【解析】由已知得到可行域如图：目标函数的几何意义是区域内的点到原点距离，所以原点到图中OP的距离即为所求，d ，所以目标函数的最小值为：；故选：B．练习1．若实数，满足，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,而表示正方形及其外部（如图），所以的最小值为点（1，0）到AB：y=-x+2的距离平方减去1，即,选D.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.（五）分式型目标函数例5.已知实数x,y满足，则的取值范围是__________.【答案】【解析】∵实数x，y满足x2﹣4x+3+y2＝0，即（x﹣2）2+y2＝1，表示以C（2，0）为圆心，半径等于1的圆．则1，表示圆上的点M（x，y）与定点A（1，﹣3）连线的斜率k加上1，如图．当切线位于AB这个位置时，k最小，k+1最小．当切线位于AE这个位置时，k不存在，k+1不存在．设AB的方程为y+3＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣3＝0，由CB＝1，可得1，求得k．而AE的方程为x＝1，故k+1的范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）．练习1．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】画出曲线与围成的封闭区域，如图阴影部分所示．表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，设，结合图形可得或，由题意得点A,B的坐标分别为，∴，∴或，∴的取值范围为．故选D．练习2．若变量满足约束条件则的最大值是（）A．B．0C．1D．2【答案】C【解析】由约束条件作出可行域如图：表示可行域内的点与定点连线的斜率，由图像易知，点与定点连线的斜率最大，由得，所以的最大值是.故答案为1练习3．若实数x，y满足不等式组，则目标函数的最大值是 A．1B．C．D．【答案】B【解析】实数x，y满足不等式组的可行域如图：目标函数；的几何意义是可行域内的点与连线的斜率，目标函数的最大值转化为的最小值，由图形可知最优解为，所以目标函数的最大值是：．故选：B．练习4．已知满足不等式组，若，则的取值范围为___.【答案】【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图：由得：，所以表示点到点距离的平方。
高考数学中的线性规划算法解题技巧
高考数学中的线性规划算法解题技巧高考数学中的线性规划是一种非常重要的问题类型，在考试中经常被考查，对于学生来说是必须掌握的一项技能。
而在线性规划中，解题的算法是关键，正确运用算法不仅能够提高解题效率，还能避免不必要的错误。
本文将介绍一些线性规划解题的算法和技巧，帮助学生在考试中取得更好的成绩。
一、线性规划的基本概念在解题之前，我们需要熟悉线性规划的一些基本概念。
线性规划是指在一定的限制条件下，求解一个线性函数的最大或最小值。
在这个过程中，我们需要确定目标函数、约束条件以及变量的取值范围。
通常情况下，我们可以将线性规划问题表示为标准型或非标准型。
标准型的形式如下：$$\max(z)=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n$$$$s.t.\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n\le b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n\le b_2\\...\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n\le b_m\\\end{cases}$$变量取值范围为$x_i\ge0(i=1,2,...,n)$而非标准型的形式则可以被转化为标准型。
二、单纯形法的原理和步骤单纯形法是解决线性规划问题的一种经典算法，其基本原理是通过不断地构造可行解和寻找可行解中的最优解来达到最终的优化目标。
其具体步骤如下：1、将标准型问题中的目标函数系数、约束条件系数和右端项系数分别组成一个矩阵。
2、选择其中一个非基变量（即取值为0的变量）作为入基变量，计算出使目标函数增大的最大步长。
3、选择其中一个基变量（即取值不为0的变量）作为出基变量，计算出使目标函数增大的最小步长。
4、通过第2步和第3步计算出的步长来更新目标函数和约束条件，得到一个新的可行解。
5、使用新的可行解重复进行第2-4步的计算，直到找到最优解。
需要注意的是，单纯形法有两种可能的结果：一是存在最优解，二是存在无穷多个最优解。
高考数学线性规划常见题型及解法[1]
![高考数学线性规划常见题型及解法[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/e12c850c001ca300a6c30c22590102020740f2d2.png)
高考数学线性规划常见题型与解法线性规划问题是高考的重点，也是常考题型，属于中等偏简单题，易得分，高考中要求会从实际问题中建立一格二元线性规划的模型，使实际问题得到解决。
现就常见题型与解决方法总结如下： 一、求线性目标函数的最值；例题：(2012年广东文5)已知变量,x y 满足条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为 A.3 .1 C5 6解析:利用线性规划知识求解。
可行域如图阴影所示，先画出直线01:2l y x =-，平移直线0l ,当直线过点A 时，2z x y =+的值最小，得110,x x y =-⎧⎨--=⎩12,x y =-⎧⎨=-⎩min (1,2),12(2)5A z ∴--∴=-+⨯-=- 探究提高：本题主要考查线性规划求最值,同时考查学生的作图能力，数形结合思想与运算求解能力，难度适中。
二、求目标函数的取值范围；例题：(2012山东文6)设变量,x y 满足约束条件2224,41x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是解析：作出不等式组表示的区域，如图阴影部分所示，作直线30x y -=，并向上、向下平移，由图可得，当直线过点C 时，目标函数取得最大值，当直线过点A 是，目标函数取得最小值，由210,(2,0)240x y A x y ++=⎧⎨+-=⎩得;由4101,(,3)2402x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得B 探究提高：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条条件，取得目标函数的最大（小）值，进一步确定取值范围 三、求约束条件中参数的取值；例题：(2012福建文10)若直线2x y =上存在点(,)x y 满足条件-30-2-30,x y x y x m +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（ ）解析：在同一直角坐标系中函数2x y =的图像与30230x y x y +-≤⎧⎨--≤⎩，所表示的平面区域图阴影部分所示。
数学线性规划解题技巧
数学线性规划解题技巧数学线性规划解题技巧_解数学线性规划技巧分享控制自己的情绪，保持冷静客观。
练习思维跳跃，拓展思维方式。
对已有知识进行组合和重组，寻找新的解决方法。
下面就让小编给大家带来数学线性规划解题技巧，希望大家喜欢!高数学线性规划解题技巧常用的途径有(一)、充分联想回忆基本知识和题型：按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。
(二)、全方位、多角度分析题意：对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。
因此，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉的解题方向。
(三)恰当构造辅助元素：数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式;条件与结论(或问题)之间，也存在着多种联系方式。
因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论(或条件与问题)的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。
数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形(点、线、面、体)，构造算法，构造多项式，构造方程(组)，构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命题，构造反例，构造数学模型等等。
数学线性规划解题实战运用所谓简单化策略，就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法把转化为一道或几道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简驭繁，解出原题。
简单化是熟悉化的补充和发挥。
一般说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉。
因此，在实际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不同而已。
解题中，实施简单化策略的途径是多方面的，常用的有: 寻求中间环节，分类考察讨论，简化已知条件，恰当分解结论等。
1、寻求中间环节，挖掘隐含条件：在些结构复杂的综合题，就其生成背景而论，大多是由若干比较简单的基本题，经过适当组合抽去中间环节而构成的。
高考数学复习考点题型专题讲解 题型24 线性规划(解析版)
高考数学复习考点题型专题讲解题型：线性规划【高考题型一】：线性规划求最值。
『解题策略』：确定线性区域：二元一次不等式0(0)Ax By C ++><区域的确定只与系数B 有关，当B 与后面的符号一致在直线上方，不一致在直线下方，或简记为“同上异下”，或通过移项等方式把B 变为正值，若0>，则在直线上方；若0<，则在直线下方。
另注意实虚线(有等号为实线)。
【题型1】：构造截距求最值。
『解题策略』：对于线性目标函数：a z z ax by y x b b=+⇒=-+，可看作直线平行移动穿过可行域时截距的范围。
注意：①可行域边界的斜率与平行直线系斜率的大小比较，然后确定直线平移规律；②b 的符号，当0b >时，当直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 最大；反之，z 最小。
当0b <时，与上面正好相反，且0b <是考生最容易出错的一个知识点。
1.(2009年新课标全国卷6)设y x ,满足:⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+22142y x y x y x ,则y x z += ( ) A.有最小值2,最大值3 B.有最小值2,无最大值C.有最大值3,无最小值D.既无最小值,也无最大值【解析】：如图画出区域，选B。
2.(2012年新课标全国卷14)设,x y满足约束条件,013x yx yx y≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩；则2z x y=-的取值范围为。
【解析】：画出区域可得取值范围为[]3,3-。
3.(2013年新课标全国卷II9)已知0>a，yx,满足约束条件()133xx yy a x⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若yxz+=2的最小值为1，则a= ( )A.14B.12C.1D.2【解析】：画出区域，选B。
4.(2016年新课标全国卷III13)若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+-0220201y x y x y x ，则y x z +=的最大值为 。
高中数学解线性规划问题的步骤和技巧
高中数学解线性规划问题的步骤和技巧线性规划是高中数学中的一个重要内容，也是数学建模的基础。
它通过数学方法来解决实际问题，寻找最优解。
本文将介绍解线性规划问题的步骤和技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用线性规划。
一、了解线性规划问题的基本概念在解决线性规划问题之前，首先需要了解线性规划问题的基本概念。
线性规划问题是在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最大值或最小值。
其中，线性约束条件是指各个变量之间的关系是线性的，线性目标函数是指目标函数是线性的。
二、确定决策变量和目标函数解决线性规划问题的第一步是确定决策变量和目标函数。
决策变量是指需要决策的变量，目标函数是指需要优化的目标。
例如，假设有一个生产问题，需要确定生产不同产品的数量，那么生产不同产品的数量就是决策变量，而总利润就是目标函数。
三、列出线性约束条件在确定了决策变量和目标函数之后，需要列出线性约束条件。
线性约束条件可以是等式或不等式，用来限制决策变量的取值范围。
例如，假设生产不同产品的数量不能超过某个限制值，那么可以列出相应的不等式约束条件。
四、绘制可行域图为了更直观地理解线性规划问题，可以绘制可行域图。
可行域图是指将线性约束条件表示在坐标系中，形成的一个区域。
决策变量的取值必须在这个区域内，才满足线性约束条件。
通过绘制可行域图，可以更好地理解问题的约束条件和可行解的范围。
五、确定最优解在确定了可行域图之后，需要确定最优解。
最优解是指在满足线性约束条件的前提下，使目标函数取得最大值或最小值的决策变量取值。
通过观察可行域图和目标函数的变化趋势，可以推测最优解的位置。
六、检验最优解在确定了最优解之后，需要对最优解进行检验。
检验最优解的方法是将最优解代入目标函数和约束条件中，计算是否满足所有约束条件。
如果满足所有约束条件，则最优解是可行解；如果不满足所有约束条件，则需要重新调整决策变量的取值。
七、灵活运用线性规划的方法和技巧在解决线性规划问题时，可以灵活运用一些方法和技巧来简化计算过程。
巧用线性规划知识解决高中数学难题
巧用线性规划知识解决高中数学难题福建省光泽第一中学胡长才摘要：近年来，全国高考卷每年都考到了线性规划问题。
线性规划成了高考数学的热点问题，这说明了线性规划知识重要性。
而学好线性规划知识，不仅可以解决现实生活中的最优化问题，还可以解决一系列高中数学难题。
关键词：线性规划解决数学难题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。
线性规划是高中数学的重要内容。
利用线性规划知识，不仅可以解决与线性约束条件有关的问题，还可以解决生活中的最优化等一系列问题。
因此，线性规划知识具有广泛的实用性。
一、利用线性规划知识解决直线与线段相交问题与直线或线段有关的问题，通常与线性约束条件有关，因此常常可以利用线性规划知识求解。
例1、已知点A（1，1）和点B（－2，5），若直线与线段AB相交，求a的取值范围。
分析：如果直接联立直线与线段的方程求解，需要考虑线段的自变量范围，这种解法有一定的难度。
[一般解法]利用数形结合思想求解。
首先，在平面直角坐标系中作出点A、点B和直线l的图象，显然，直线经过定点C（0，-1），易得直线AC的斜率,直线BC的斜率,直线要与线段AB相交，其斜率a必须大于，或小于，故a的取值范围是。
这种解法体现了数形结合思想，要求学生会作图，对直线的斜率有关性质非常熟练，有一定难度。
[快速解法]利用线性规划知识求解。
直线要与线段AB相交，等价于线段两端点A（1，1）和点B（－2，5）分别在的异侧，等价于异号，等价于,故a的取值范围是。
这种解法比较简便，采用了等价转化思想方法，线性规划知识在解题中的运用体现得淋漓尽致。
二、利用线性规划知识解决不等式难题有些问题，如果单独考察个体范围，较易出错。
而注意各部分之间的整体联系，进行整体换元，等价转化，再利用线性规划知识求解，就容易得解。
例2、已知21≤-≤b a ①，且42≤+≤b a ②，求b a 24-的范围。
[错解]由21(①+②)得：323≤≤a ③， 由21(①+②⨯（－1）)得：230≤≤b ④ ③⨯4＋④⨯（－2）得：12243≤-≤b a 。
备战高考数学一轮复习热点难点专题41妙用线性规划巧解最优化问题
专题41 妙用线性规划巧解最优化问题考纲要求:1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．基础知识回顾:1．二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．2．二元一次不等式所表示的平面区域一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界，则把边界画成实线．3．二元一次不等式表示平面区域的判断方法直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，直线l的同一侧点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符号，并且两侧点的坐标使Ax＋By＋C的值的符号相反，一侧都大于0，另一侧都小于0.4．线性规划中的基本概念约束条件：由变量x，y组成的不等式组.线性约束条件：由x，y的线性不等式(或方程)组成的不等式组；f x y，如z＝2x＋3y等；目标函数：关于x，y的函数(,)线性目标函数：关于x，y的线性目标函数.可行解：满足线性约束条件的解.可行域：所有可行解组成的平面区域.最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题应用举例:类型一、二元一次不等式(组)表示平面区域【例1】【内蒙古呼和浩特市2018届高三11月质量普查考试】已知,x y 满足条件0{0 2x y y x ≤≥-≤，则目标函数z x y =+从最小值连续变化到1时，所有满足条件的点(),x y 构成的平面区域的面积为（ ）A .74 B . 94 C . 92D . 1 【答案】A【例2】【2017河北正定一中高三月考】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，2x －y ≤4，x －y ≥0所围成的平面区域的面积为()A ．3 2B ．6 2C ．6D ．3【答案】D【解析】如图，不等式组所围成的平面区域为△ABC ，其中A (2,0)，B (4,4)，C (1,1)，所求平面区域的面积为S △ABO －S △ACO ＝12(2×4－2×1)＝3.【例3】如图2阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为__________．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0类型二、求线性目标函数的最值【例4】【2018年高考2017年11月份衡水联考文数】若实数x ， y 满足不等式组10,{30, 10,x y x y -+≥-≤-≥则2z x y =+的最大值为（ ）A . 12B . 10C . 7D . 1【答案】B【解析】作出可行域：当动直线2x z y =-+经过C 点时，z 最大， 即23410z =⨯+= 故选：B图2点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.【例5】【江西省宜春市2017届高三下学期第五次调研考试】已知实数,x y满足2{2452x yx yy x+≥+≥≤-，则32z x y=+的最大值为__________．【答案】9【例6】【2017四川省成都市高三摸底】若实数,x y满足条件222x yx yx y-≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥-⎩，则2z x y=+的最大值是（）A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C类型三、求非线性目标函数的最值【例7】【安徽省蒙城县“五校”2018届高三上学期联考】已知变量,x y 满足约束条件20{30 10y x x y -≤+≥--≤，则64x y x +--的最大值是__________．【答案】137【解析】 由题意得，画出约束条件所表示的平面区域 如图所示 又()42621444x y x y y x x x -+-+--==+---，设24y z x -=-，当取可行域内点C 时，此时z 取得最大值， 由30{10x x y +=--=，得()3,4C --，此时max 426347z --==--，所以64x y x +--的最大值为613177+=．【例8】【黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2017届高三第二次模拟考试】已知变量,x y 满足2,{2, 0,x y x y x -≥-+≥-≤则23y x ++的最大值为（ ） A . 2 B . 32 C . 43D . 1【答案】A类型四、求参数的值【例9】【福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期中考试】已知实数x ， y 满足20{40 250x y x y x y -+≥+-≥--≤，若使得目标函数z ax y =+取最大值的最优解有无数个，则实数a 的值是（ ）A . 2B . 2-C . 1D . 1-【答案】D点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．【例10】【甘肃省天水市第一中学2018届高三上学期第二学段考试】若,x y 满足220{20 0x y x y y -+≥-+≥≥，且z kx y =-+有最大值，则k 的取值范围是( )A . 1k ≤B . 12k ≤≤C . 1k ≥D . 2k ≥【答案】C【例11】【2017江苏省泰州中学高三摸底】已知实数x 、y 满足20,50,40,x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩若不等式222()()a x y x y +≥+恒成立，则实数a 的最小值是 ．【答案】95【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中510(2,4),(1,4),(,)33A B C ，因此[,][2,4]OA OB yk k x∈=,因为y x x y+在[2,4]上单调递增，所以517[,]24y x x y +∈，不等式222()()a x y x y +≥+恒成立等价于2maxmax min 22()299[][1].55x y a a y x x y x y+≥=+=⇒=++点评：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.类型五、线性规划解决实际问题【例12】【天津市河东区2017届高三二模】制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%．投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【答案】投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8 万元的前提下，使可能的盈利最大考点：利用线性规划求目标函数的最值. 方法、规律归纳:1．求目标函数最值的一般步骤：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义． 2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by . 求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a. 3．解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题 (3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．实战演练:1．【山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次联考】若正数,x y 满足约束条件2142{x y x y y lnx-≤-≤，则22y xxy+的取值范围为（）A.117,4ee⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B.1,ee⎡⎤++∞⎢⎥⎣⎦C.172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.12,ee⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【答案】A2．【四川省成都市第七中学2018届高三上学期一诊】设实数,x y 满足约束条件4{2 ,10x y x y x +≤-≤-≥则目标函数1yz x =+的取值范围是（） A . ][13,0,22⎛⎤-∞-⋃ ⎥⎝⎦ B . 13,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C . 11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D . 13-,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D3．【湖南省五市十校教研教改共同体2018届高三12月联考】若实数,x y 满足不等式组10{10 x y x y x a+-≥-+≥≤，若目标函数2z ax y =-的最大值为1，则实数a 的值是（ ）A1 B . 1 CD . 3【答案】B【解析】作可行域如图，则直线2z ax y =-过点B (),1a a -时，z 取得最大值，()2211,1a a a --==（负值舍去），选B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.4．【江西省南昌县莲塘一中2018届高三11月质量检测】若存在实数,x y 使不等式组0{320 60x y x y x y -≥-+≤+-≤与不等式20x y m -+≤都成立，则实数m 的取值范围是（ ）A . 0m ≥B . 3m ≤C . 1m ≥D . 3m ≥【答案】B5．【2018届高三南京市联合体学校调研测试】若不等式组0{24 24x x y x y ≥+≤+≥所表示的平面区域被直线4y kx =+分为面积相等的两部分，则k的值为________【答案】7 2 -6．【江西省宜春市2017届高三下学期第五次调研考试】已知实数,x y满足2{2452x yx yy x+≥+≥≤-，则1yzx=+的取值范围为__________．【答案】1,2 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】作出不等式2{2452x yx yy x+≥+≥≤-表示的平面区域，如下图，7．【重庆市第一中学2018届高三11月月考】已知x，y满足约束条件0,{2,0,x yx yy-≥+≤≥若z ax y=+的最大值为4，则a的值为__________．【答案】28．【河南省豫南豫北2018届高三第二次联考联评】已知实数,x y 满足220{210 20x y x y x y -+≥-+≤+-≤，则()221z x y =++的取值范围为__________． 【答案】9,95⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】可行域是由A ()()()1,10,21,0B C -围成的三角形及其内部， ()221z x y =++表示点()0,1- 与区域中的点(),x y 之间距离的平方，在点B 处， z 取得最大值为9，最小值即为点()0,1-到直线x 210y -+=的距离d 的平方，295d d === 故()221z x y =++的取值范围为9,95⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为9,95⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．【天津市实验中学2018届高三上学期期中（第三阶段）考试】某餐厅装修，需要大块胶合板20张，小块胶合板50张，已知市场出售A B 、两种不同规格的胶合板。
高考数学中线性规划在解题中的应用有哪些
高考数学中线性规划在解题中的应用有哪些在高考数学中，线性规划是一个重要的知识点，它不仅在数学学科中具有广泛的应用，对于培养学生的数学思维和解决实际问题的能力也有着重要的意义。
线性规划是一种优化方法，旨在在满足一系列线性约束条件的情况下，寻求线性目标函数的最优解。
一、线性规划的基本概念线性规划问题通常由决策变量、目标函数和约束条件三部分组成。
决策变量是我们需要确定其取值的变量，目标函数是我们希望最大化或最小化的线性函数，而约束条件则是对决策变量取值的限制，通常以线性不等式或等式的形式表示。
例如，一个简单的线性规划问题可能是：在满足 2x ＋3y ≤ 12，x ≥ 0，y ≥ 0 的条件下，求 z ＝ 5x ＋ 4y 的最大值。
二、线性规划在实际问题中的建模1、生产安排问题假设一家工厂生产两种产品 A 和 B，生产一件 A 产品需要 2 小时的加工时间和 3 单位的原材料，生产一件 B 产品需要 3 小时的加工时间和 2 单位的原材料。
每天工厂的加工时间不超过 12 小时，原材料不超过 10 单位。
已知 A 产品的利润为 5 元/件，B 产品的利润为 4 元/件，那么工厂应该如何安排生产才能获得最大利润？我们可以设生产 A 产品 x 件，B 产品 y 件。
则目标函数为 z ＝ 5x ＋ 4y（总利润），约束条件为 2x ＋3y ≤ 12（加工时间限制），3x ＋2y ≤ 10（原材料限制），x ≥ 0，y ≥ 0。
2、资源分配问题例如，一个学校有一定数量的教师和教室资源，要安排不同课程的教学。
已知每门课程需要的教师数量和教室数量不同，如何分配才能满足所有课程的需求，同时使教学资源得到最合理的利用？可以设安排课程 A 的数量为 x，课程 B 的数量为 y 等等，然后根据具体的资源限制建立约束条件和目标函数。
3、运输调度问题一家物流公司要将货物从多个发货地运输到多个收货地，不同的运输路线运输成本不同，同时车辆的载重量也有限制。
高考数学一轮复习简单的线性规划问题例析
2019 高考数学一轮复习简单的线性规划问题例析线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用宽泛、方法较成熟的一个重要分支，以下是简单的线性规划问题例析，希望考生能够切记。
简单的线性规划问题是高考的热门之一，是历年高考的必考内容，主要以填空题的形式考察最优解的最值类问题的求解，高考的命题主要环绕以下几个方面：(1) 惯例的线性规划问题，即求在线性拘束条件下的最值问题;(2)与函数、平面向量等知识联合的最值类问题 ;(3)求在非线性拘束条件下的最值问题 ;(4)考察线性规划问题在解决实质生活、生产实质中的应用 .而此中的第(2)(3)(4)点常常是命题的创新点。
【例 1】设函数 f()=?3?sin?+??cos?，此中，角的极点与坐标原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过点 ?P(x,y)?，且 0?。
(1)若点 P 的坐标为 12,32，求 f() 的值 ;(2)若点 P(x,y)为平面地区： x+y1,y1。
上的一个动点，试确立角的取值范围，并求函数 f() 的最小值和最大值。
剖析第(1)问只需要运用三角函数的定义即可 ;第(2)问中只需先画出平面地区，再依据抽画出的平面地区确立角的取值范围，从而转变为求f()=a?sin?+b?cos?型函数的最值。
解 (1) 由点 P 的坐标和三角函数的定义可得 ?sin?=32，?cos?=12。
于是 f()=3?sin?+??cos?=?332+12=2。
(2)作出平面地区 (即三角形地区 ABC) 如下图，此中 A(1,0)，B(1,1)，?C(0,1)?.于是 0?2,又 f()=3?sin?+?cos?=2?sin?+??6，且?+???2??3，故当 +??2，即 =??3 时， f() 获得最大值，且最大值等于 2;当+??6，即 =0 时， f() 获得最小值，且最小值等于 1。
“师”之观点，大概是从先秦期间的“师长、师傅、先生”而来。
盘点高考数学二轮复习线性规划知识要点
盘点高考数学二轮复习线性规划知识要点简单的线性规划问题是高考的热点之一，是历年高考的必考内容，要紧以填空题的形式考查最优解的最值类问题的求解，高考的命题要紧围绕线性规划知识要点有以下几个方面：(1) 常规的线性规划问题，即求在线性约束条件下的最值问题;(2) 与函数、平面向量等知识结合的最值类问题;(3) 求在非线性约束条件下的最值问题;(4) 考查线性规划问题在解决实际生活、生产实际中的应用.而其中的第(2)(3)(4)点往往是命题的创新点。
【例1】设函数f()=?3?sin?+??cos?，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边通过点?P(x,y)?，且0?。
(1) 若点P的坐标为12,32，求f()的值;(2) 若点P(x,y)为平面区域：x+y1,y1。
上的一个动点，试确定角的取值范畴，并求函数f()的最小值和最大值。
分析第(1)问只需要运用三角函数的定义即可;第(2)问中只要先画出平面区域，再依照抽画出的平面区域确定角的取值范畴，进而转化为求f()=a? sin?+b?cos?型函数的最值。
解(1) 由点P的坐标和三角函数的定义可得?sin?=32，?cos?=12。
因此f()=3?sin?+??cos?=?332+12=2。
(2) 作出平面区域(即三角形区域ABC)如图所示，其中A(1,0)，B(1,1)，? C(0,1)?.因此0?2,又f()=3?sin?+?cos?=2?sin?+??6，且?+2??3，我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一样在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
什么缘故在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在19 78年就尖锐地提出:“中小学语文教学成效差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时刻,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数只是关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其要紧缘故确实是腹中无物。
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巧用线性规划思想解题
当约束条件或目标函数不是线性规划问题，但其几何意义明显时，仍可利用线性规划的思想来解决问题，从而使解题思路拓宽，提高解题能力．
一、 函数问题转化为线性规划问题
例1 如图1，x y ，满足的可行域是图中阴影部分（包括边界）．若函数2t ax y =-在 点(05)，取得最小值，求a 的取值范围．
解：由图1易得x y ，满足的约束条件为5026000.
x y x y x y +-⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩，
，，≤≤≥≥ 将目标函数2t ax y =-改为斜截式22a t y x =-，2
t -表示直线在y 轴上的截距，欲求t 的最小值，可转化为求2
t -的最大值． 当0a ≥时，显然直线在点(05)，处，2
t -取得最大值； 当0a <时，依题意，12
a -≥，易得20a -<≤． 综上所述，2a -≥时，函数2t ax y =-在点(05)，取得最小值． 二、 方程问题转化为线性规划问题
例2 已知a b +∈R ，，若方程220x ax b ++=与方程2
20x bx a ++=都有实数根， 求a b +的最小值．
解：由题意，得2280440a b b a ⎧-⎪⎨-⎪⎩，，≥≥即228.a b b a ⎧⎪⎨⎪⎩，≥≥ 画出其可行域为如图2所示阴影部分．
令t a b =+，故要求a b +的最小值，即求过可行域
内的点，使得b t a =-在b 轴上截距最小的点的坐
标．由图知，A 点即为所求．
由228.a b b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得42a b ==，． a b ∴+的最小值为6．
三、 不等式问题转化为线性规划问题
例3 已知()3f x x y =-，且11x y -+≤≤，13x y -≤≤，求()f x 的取值范围． 解：如图3，作出不等式组1113x y x y -+⎧⎨-⎩，，
≤≤≤≤
所表示的平面区域，即可行域．
作直线:30l x y -=，把直线l 向右下方平移过
(01)B -，，即直线10x y --=与
10x y ++=的交点时，min ()3011f x =⨯+=；
再把直线l 向右下方平移过(21)A -，即直线30x y --=与10x y +-=的交点时，max ()2317f x =⨯+=，1()7f x ∴≤≤． 说明：本题还可运用整体代换法，先用x y +与x y -的一次组合表示，找出它们之间 的线性关系，然后利用不等式的性质加以解决．
四、 多元问题转化为线性规划问题
例4 已知ABC △的三边长a b c ，，满足2b c a +≤，2a c b +≤，求b a 的取值范围． 解：由题意，应用22000a b c a b a c b c a b a b c <+⎧⎪<+⎪⎨<+⎪⎪>>>⎩，
，，
，，，
≤≤
令b c x y a a
==，， 上述不等式可化为1212100.
x y x y x y x x y <+⎧⎪<+⎪⎨<+⎪⎪>>⎩，
，，
，≤≤
求出x 的范围即可．
作出可行域如图4，易得2332
x <<， 于是b a 的范围为2332⎛⎫ ⎪⎝⎭
，．。