华中科技大学-微积分-极限习题课及答案

例1 求极限 （1）nn 2cos 2cos2cos lim 2θθθΛ∞→，解0=θ时，极限为1；0≠θ时（n 充分大时，02sin≠nθ），原式θθθθsin 2sin2sin lim ==∞→nn n 。

（2）nn n n )111(lim 2++∞→ 解 先求1)11(lim )111ln(lim 22=+=++∞→∞→n n n n n n n n ，所以原式=e 另法 利用111111112-+<++<+n n n n （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅→x x x 1lim 0解 因为1111+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x ，即有xx x 1111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-当0>x 时，111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅<-x x x ，由夹挤准则得11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+→x x x ，同理11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-→x x x ，故原极限为1。

（4）x x x cos lim 0+→解 先求21)1(cos 1lim cos ln 1lim 00-=-=++→→x x x x x x ，原极限为 2/1-e。

（5）ex e x ex e x --→lim .解 原式=ex e e e x e e e x x e x ee x x e x --=---→→1lim lim ln ln)ln lim ln ln lim (ln limex ex e e x x e x x e e x e x x e e x e x e ex e--+--=--=→→→ee 2=（6）2303cos 2cos cos 1lim xx•x x x -→. 解 分子为)3cos ln 312cos ln 21cos exp(ln 1x x x ++- ~)3cos ln 312cos ln 21cos (ln x x x ++-,原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=→22203cos ln 312cos ln 21cos ln lim x x x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+--=→222013cos 3112cos 211cos lim x x x x x x x []332121=++=. 练习（1）)sin (tanlim nx n x n n n -∞→ （答案321x ）（2）xx e e xxee x --→sin lim sin 0 （答案e ）（3）20cos 2cos cos 1limx nxx x nx Λ-→ （答案)1(41+n n ） （4）xx x x esin 10)(lim 2-→ （答案1-e ）（5）1311()1()1)(1(lim -→----n n x x x x x ）Λ （答案!1n ） （6）)sin 1sin lim x x x -++∞→（ （提示和差化积，极限为0）（7）设)1,1(0•a -∈，1,21211≥+=-n ••a a n n ，求n n a a a Λ21lim ∞→。

（提示：令()πθθ,0,cos 0∈=a ，则nn a 2cosθ=。

）例2 设R x ∈=α0，1,sin 1≥=-n x x n n ，求n n x ∞→lim解 考虑[]1,1sin 1-∈=αx ，分三个情形： （1）若01=x ，极限为0.（2）若01>x ，则112sin x x x <=，易得1,sin 11><=--n x x x n n n ，故数列单调递减有下界，极限存在。

对1sin -=n n x x 两边求极限得 l l sin =，从而0=l 。

（3）01<x 时，同理求得0=l 。

综上极限为0.例3设b a b y a x <>=>=,0,011，且 )(21,11n n n n n n y x ••yy x x +==++ 证明 n n x ∞→lim n n y ∞→=lim 。

分析 问题中的递推公式互相关联，且平均值不等式（几何平均与算术平均）可用，考虑单调有界准则。

证 由于0,0>>n n •y x ，且 •x y x y x y n n n n n n ,)(2111++=≥+= ••x x x y x •x n n n n n n ,1=≥=+ ,)(21)(211n n n n n n y y y y x y =+≤+=+可知{}n x 为单调增加数列，{}n y 为单调减少数列，且•b y x a n n ,≤≤≤故数列{}n x {}n y 极限都存在，设极限分别为B A ,，对•y x y n n n ),(211+=+两边取极限得2/)(B A B +=，故 B A =。

注 此题变化为：b a b y a x <>=>=,0,011，且 ••y x y y x y x x n n n nn nn n ,,211=+=++则n n x ∞→lim n n y ∞→=lim 。

例4 求下列函数的间断点并判断类型：（1）. xx x x f sin )()(π-= （2）. 11)1()(---=x xe x f解 （1）无定义的点k k x ,π=为整数.因为ππ-==+-)0(,)0(f f ，所以0=x 是跳跃间断点； 因为,)sin(lim)(lim ππππππ-=--=→→x x x f x x 所以π=x 是可去间断点；1,0≠k 时，πk x =是第二类间断点。

思考：间断点将实轴分成子区间，函数在哪个子区间上有界？ （2）无定义的点1=x 及0=x .因为 ∞=-=-→→)1(lim /1)(lim 10xx x x ex f ,故0=x 是)(x f 的无穷间断点.又由于⎪⎭⎫⎝⎛+∞→-=-=-→--x x ，ef xx x 10)1(lim /1)1(11因⎪⎭⎫⎝⎛-∞→-=-=-→++x x ，ef xxx 11)1(lim /1)1(11因故1=x 是)(x f 的跳跃间断点.例 5 设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，)1()0(f f =。

证明存在0x ]1,0[∈，使得)31()(00+=x f x f 。

证 令)31()()(+-=x f x f x g ，320≤≤x ，则由条件知)(x g 在]32,0[上连续，设其最小值与最大值为••M m ,。

则M g g g m ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤)32()31()0(31又直接计算得知11211122[(0)()()][(0)()()()()(1)]033333333g g g f f f f f f ++=-+-+-= 故由连续函数的介值定理，在区间]32,0[内)(x g 必能取到值0。

亦即存在0x ]1,0[∈，使得)31()(00+=x f x f 。

同型练习题：设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，)1()0(f f =。

证明存在0x ]1,0[∈，使得1),1()(00>+=n nx f x f 。

例6 设函数)(x f 在实轴上连续，且x x f f =))((。

证明c ∃，使c c f =)(。

（用反证法）例7 设)(x f 在1=x 连续，且0>∀x ：)()(2x f x f =，证明：0>x 时，)(x f 是常数。

证 对任0>x ，)()()()(2141nx f x f x f x f ====Λ.令∞→n ，利用121→nx 及连续性条件得，)1()lim ()(lim )(2121f x f x f x f nnn n ===∞→∞→，即)(x f 恒等于)1(f .同型练习题：设)(x f 在0=x 连续，且)2()(x f x f =，证明：)(x f 是常数。

例8 设n •i a i Λ,2,1=为常数，若不等式 x nx a x a x a n ≤+++sin 2sin sin 21Λ对所有R x ∈成立,证明1221≤+++n na a a Λ。

例9 设)(x f 在),(+∞-∞内连续，且任给R y x ∈,，有 )()()(y f x f y x f +=+试证)(x f 为线性函数ax x f =)(，其中)1(f a =。

证 显然0)0(=f ，)()(x f x f -=-，即)(x f 为奇函数。

又)1()111()(kf f k f =+++=Λ，)1()111()1(n nf n n n f f =+++=Λ，即)1(1)1(f n n f =。

从而)1()1()(f nmn mf n m f ==，故对有理数x 都有x f x f )1()(=。

任给∈x ),(+∞-∞，存在有理数数列{}x x n →，利用)(x f 的连续性，得x f x f x f x f x f n n n n n n )1()1(lim )(lim )lim ()(====∞→∞→∞→。

注 此题条件改为)(x f 在0=x 处可导，且任给R y x ∈,，有 )()()(y f x f y x f +=+则证法改变为 )0()0()(lim )()(lim)(00f yf y f y x f y x f x f y y '=-=-+='→→， 记)0(f '为a ，从而b ax x f +=)(，由0)0(=f 得ax x f b ==)(,0。