刚体平面运动ppt
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理论力学第7章 刚体平面运动
基础部分——运动学第7 章刚体平面运动连杆作什么运动呢？行星齿轮机构行星轮作什么运动？第7章刚体平面运动运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离保持不变刚体上任一点都在与某一固定平面平行的平面内运动沿直线轨道滚动的车轮机械臂小臂的运动平面运动的刚体在自身平面内运动的平面图形SxyOxyOASIIxyOA SII平面图形上任一线段的位置位置x Ay AϕB )(1t f x A =)(2t f y A =)(3t f =ϕ平面运动平移+ 转动xyOASIIxAyAϕB基点⇒O ′O O ′O O ′O′三种运动?平面运动基点平移基点转动注意：平移动系不一定固结与某一实际刚不一定固结与某一实际刚体。
O ′xyO平移动系O'x'y'x ′y ′O ′基点推广结论：刚体的平面运动可以分解为随基点的平移和绕基点的转动问题一：x yOA SIIx Ay AϕB问题二：随基点的平移与基点的选择有无关系绕基点的转动与基点的选择有无关系结论：同一瞬时平面图形绕任一基点转动的ω、α都相同。
动点re a 点的速度合成定理SAv ωABB v A v ?=B v x ′y ′基点BA v 三种运动？大小? 方向?BAA B v v v +=AωA Av BAv Bv平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。
SAv ωABAv BAv Bv BAA B v v v +=试一试：基点法作平面运动。
[例7-1] 曲柄—滑块机构解：转动。
r 3ABOωϕAv Bv BAv 基点大小方向?AvBA3ABOωϕAv B v BAv Av ABω转向？= v 滑块Bϕ大小方向A 32SAv ωAB Av BAv Bv 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影（大小和正负号）相等。
速度投影定理[][]ABA AB B v v =[]ABBA vr 3再分析例7-1ABOωϕAv Bv Bv解：请比较两种方法A 32如何解释这种现象？观察到了什么现象？[先看一照片]若选取速度为零的点作为基点，则求解速度问题•基点法•速度投影法优点：缺点:优点：缺点:SAv ωAv BAv Bv AA 为基点B有没有更好的方法呢？Aω0≠ω唯一存在AL ′证明:MAA M v v v +=SA v v MAv LMPωAv PA =∴0=⋅−=ωPA v v A P ∵该瞬时瞬时速度中心速度瞬心唯一性：瞬时性：不共线，故速度均不为零。
刚体的进动与平面平行运动课件
置。
03
刚体的进动和平行运动 的关系
进动与平面平行运动的联系
进动和平行运动都是刚体在旋 转运动中的表现形式。
进动和平行运动都涉及到刚体 的旋转轴和旋转角度的变化。
进动和平行运动在某些情况下 可以相互转化，例如在陀螺的 旋转运动中。
进动与平面平行运动的区别
进动是刚体绕自身旋转轴的旋转运动，而平面平行运动是刚体绕一个固定点的旋转 运动。
为$x - x_0$和$y - y_0$。
平面平行运动的速度计算
总结词
速度是描述刚体在平面平行运动中位置 变化的快慢程度，可以通过位移量和时 间的变化计算得出。
VS
详细描述
在平面平行运动中，速度可以通过位移量 和时间的变化计算得出。假设刚体在$t$ 时刻的位移量为$(x, y)$，经过的时间为 $Delta t$，则速度$v_x$和$v_y$分别为 $frac{Delta x}{Delta t}$和$frac{Delta y}{Delta t}$。
04
刚体进动的计算方法
进动角速度的计算
总结词
进动角速度是描述刚体绕自身轴线旋 转的角速度。
详细描述
进动角速度的计算公式为ω=IωIomega = IomegaIω=Iω，其中IWIW是刚体的 转动惯量，ωomegaω是刚体的旋转角 速度。通过已知的转动惯量和旋转角速 度，可以计算出进动角速度。
进动周期的计算
刚体进动的条件
刚体的质量分布相对 于转轴是不均匀的， 即存在质量偏心。
刚体的自转轴线在惯 性空间中是进动的旋 转轴。
刚体受到一个与自转 轴线不重合的外力矩 作用。
刚体进动的特点
进动的角速度矢量与外力矩矢量 成正比，即M=k×w，其中M为 外力矩，w为角速度，k为转动
03
刚体的进动和平行运动 的关系
进动与平面平行运动的联系
进动和平行运动都是刚体在旋 转运动中的表现形式。
进动和平行运动都涉及到刚体 的旋转轴和旋转角度的变化。
进动和平行运动在某些情况下 可以相互转化，例如在陀螺的 旋转运动中。
进动与平面平行运动的区别
进动是刚体绕自身旋转轴的旋转运动，而平面平行运动是刚体绕一个固定点的旋转 运动。
为$x - x_0$和$y - y_0$。
平面平行运动的速度计算
总结词
速度是描述刚体在平面平行运动中位置 变化的快慢程度，可以通过位移量和时 间的变化计算得出。
VS
详细描述
在平面平行运动中，速度可以通过位移量 和时间的变化计算得出。假设刚体在$t$ 时刻的位移量为$(x, y)$，经过的时间为 $Delta t$，则速度$v_x$和$v_y$分别为 $frac{Delta x}{Delta t}$和$frac{Delta y}{Delta t}$。
04
刚体进动的计算方法
进动角速度的计算
总结词
进动角速度是描述刚体绕自身轴线旋 转的角速度。
详细描述
进动角速度的计算公式为ω=IωIomega = IomegaIω=Iω，其中IWIW是刚体的 转动惯量，ωomegaω是刚体的旋转角 速度。通过已知的转动惯量和旋转角速 度，可以计算出进动角速度。
进动周期的计算
刚体进动的条件
刚体的质量分布相对 于转轴是不均匀的， 即存在质量偏心。
刚体的自转轴线在惯 性空间中是进动的旋 转轴。
刚体受到一个与自转 轴线不重合的外力矩 作用。
刚体进动的特点
进动的角速度矢量与外力矩矢量 成正比，即M=k×w，其中M为 外力矩，w为角速度，k为转动
第八章：刚体的平面运动
y
w
M
O
A
B
vA
x
y vMD vM
M
vD O A
D
w vD B
1、求vM
vD= vA= 2m/s vA 基点：D点 x
vMD MD w 2rw 2.12 m S
vM vVM VD O
w VD B
vMD 2.12 m S
vM vM2 x vM2 y 3.8 m
B
C
A II wII
D
wO
O
I
vA wO OA wO (r1 r2 )
分析两轮接触点D
vD＝0
vD vA vDA
0 vA vDA
vDA＝vA＝wO(r1+r2)
wII
vDA DA
wO (r1
r2
r2 )
B
C
vA A II wII
vA D
wO
vDA
O
I
以A为基点，分析点B的速度。
第八章 刚体的平面运动
§8–1 刚体平面运动的概述和运动分解 §8–2 求图形内各点速度的基点法 §8–3 求平面图形内各点速度的瞬心法 §8–4 用基点法求平面图形内各点的加速度 §8–5 运动学综合应用
注重学习分析问题的思想和方法
刚体的平面运动
• 重点 • 刚体平面运动的分解； • 熟练应用各种方法求平面图形上任一 点的速度。 • 求平面图形上任一点的加速度。
3、刚体绕基点转动的角速度ω和角加速度α是刚体自 身的运动量 与基点的选择无关。
注意：
虽然基点可任意选取
选取运动情况已知的点作为基点。
§8-2 求图形内各点速度的基点法
一．基点法
va ve vr
《工程力学》教学课件 第8章 刚体的平面运动
行四边形，并由图中几何关系得
因此，B 端的速度为
vB
vA
tan
tan vA ， sin φ vA
vB
v BA
设杆 AB 的角速度为 ，由于 vBA AB l ，则
vBA
vA sin φ
l
因此，杆 AB 的角速度为 ω vA l sin φ
03 用瞬心法求平面图形内各点 的速度
3 用瞬心法求平面图形内各点的速度
其方向垂直于 OA； vBA 垂直于杆 AB，大小未知； vB 沿水平方向，大小未知。由此可以得出速度平行
四边形，并由图中几何关系得 其方向水平向左。
vB
vA cos15
162.54
(cm/s)
2 用基点法求平面图形内各点的速度
例 8-2 如图 8-8 所示的机构中，A 端以速度 vA 沿 x 轴负方向运动， AB l 。试求：当杆 AB 与 x 轴负方向的夹角为 φ 时，B 端的速度以及杆 AB 的 角速度。
动可看作是先随基点 A 平动到位置 O2 A1 ，然后再绕点 A1
顺时针转过 2 到位置 O1A1 。
图8-4
1.2 刚体平面运动的分解
实际上平动和转动是同时进行的。当 t 0 时，上述分析就趋近于真实情况。因此，平面图
形的运动，即刚体的平面运动，可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。
根据上述分析可知，在平面图形上选取不同的基点，平动的位移 OO1 或 AA1 是不同的。因而， 平动的速度和加速度也是不同的，即平面图形随基点的平动规律与基点的选择有关。
此时车轮的角速度为 ω vO v r 3a
于是可求得点 A，B，D，E 的速度大小为
v 7v vA AC ω (R r) ω (4a 3a) 3a 3
刚体转动及角动量守恒ppt
匀直细杆对端垂轴旳
平行移轴定理
对质心轴旳转动惯量 对新轴旳转动惯量
质心
例如：
时
新轴对心轴旳平移量
新轴 质心轴
代入可得 端
匀质薄圆盘对圆心垂盘轴算旳 例
取半径为 微宽为 旳窄环带旳质量为质元
球体算例 匀质实心球对心轴旳 可看成是许多半径不同旳共轴 薄圆盘旳转动惯量 旳迭加 距 为 、半径为 、微厚为 旳薄圆盘旳转动惯量为
a = Rb
T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Ib
及
I
=
1 2
mR2
得
b=
(m1-m2)g
R(m1+ m2+ m
2)
常量
故
由
m2
a
G2
m1
a
G1
(m1-m2)g
R(m1+ m2+ m 2)
t (m1-m2)g
g 2 (rad)
R(m1+ m2+ m 2)
两匀直细杆
q
转动定两律者瞬例时题角加五速度之比
与 时刻相应，何时
则何时
，
何时 恒定 则何时 恒定。
匀直 细杆一 端为轴 水平静 止释放
转动定律例转题动 二( T2 – T1 ) R = Ib
I=mR2 2
R
m
T2
T1
a
m2
m1
b
平动 m2 g – T2 = m2a
T2
T1
T1 – m1 g = m1a
线-角 a = Rb
T2
T1
联立解得
a
G2
力矩旳功算例 拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩旳功旳大小
《刚体的平面运动 》课件
评估控制系统的性能。
鲁棒性分析
分析控制系统对参数变化和外部干扰的鲁棒 性表现。
05
刚体的平面运动的展望
刚体的平面运动的发展趋势
理论研究的深入
随着数学和物理学理论的不断发展，人们对刚体的平面运动的理 解将更加深入，这有助于推动相关领域的研究和应用。
航空航天领域
在航空航天领域，刚体的平面运动对于飞行器的姿态调整和机动性有着 至关重要的作用，未来随着空间探索的深入，其应用前景将更加广阔。
03
医疗器械
刚体的平面运动在医疗器械领域也有着广泛的应用，例如在手术机器人
中用于精确控制手术器械的动作，提高手术的精度和安全性。
刚体的平面运动的挑战与机遇
挑战
刚体的平面运动的研究和应用面临着 一些挑战，如精确控制、稳定性、复 杂环境下的适应性等问题，需要不断 探索和创新来解决。
自动化生产线
刚体的平面运动在自动化生产线中起到关键作用， 如传送带、机器人手臂等。
机械设备的维护和检修
刚体的平面运动在机械设备的维护和检修中也有应 用，如对机械设备进行定位和调整。
航空航天中的应用
飞机起降系统
刚体的平面运动在飞机起降系统中起 到关键作用，如飞机滑行、转向等。
航天器对接
航空航天器的制造和测试
刚体的平面运动的重要性
实际应用
刚体的平面运动在实际生活中广泛存 在，如机械设备的运作、车辆的行驶 等。
理论意义
刚体的平面运动是刚体运动的基础， 对于理解更复杂的刚体运动形式具有 重要意义。
刚体的平面运动的基本原理
平移原理
刚体在平面内沿直线进行平移时，其上任意一点都沿着该直线进行等距离的移 动。
旋转原理
详细描述
在实际的物理问题中，刚体往往不会只进行平动或转动，而是同时进行这两种运动。这种复杂的平面运动形式通 常包括椭圆运动、抛物线运动等。这种复杂的运动形式通常需要综合考虑平动和转动的共同作用，以确定刚体的 最终运动轨迹。
鲁棒性分析
分析控制系统对参数变化和外部干扰的鲁棒 性表现。
05
刚体的平面运动的展望
刚体的平面运动的发展趋势
理论研究的深入
随着数学和物理学理论的不断发展，人们对刚体的平面运动的理 解将更加深入，这有助于推动相关领域的研究和应用。
航空航天领域
在航空航天领域，刚体的平面运动对于飞行器的姿态调整和机动性有着 至关重要的作用，未来随着空间探索的深入，其应用前景将更加广阔。
03
医疗器械
刚体的平面运动在医疗器械领域也有着广泛的应用，例如在手术机器人
中用于精确控制手术器械的动作，提高手术的精度和安全性。
刚体的平面运动的挑战与机遇
挑战
刚体的平面运动的研究和应用面临着 一些挑战，如精确控制、稳定性、复 杂环境下的适应性等问题，需要不断 探索和创新来解决。
自动化生产线
刚体的平面运动在自动化生产线中起到关键作用， 如传送带、机器人手臂等。
机械设备的维护和检修
刚体的平面运动在机械设备的维护和检修中也有应 用，如对机械设备进行定位和调整。
航空航天中的应用
飞机起降系统
刚体的平面运动在飞机起降系统中起 到关键作用，如飞机滑行、转向等。
航天器对接
航空航天器的制造和测试
刚体的平面运动的重要性
实际应用
刚体的平面运动在实际生活中广泛存 在，如机械设备的运作、车辆的行驶 等。
理论意义
刚体的平面运动是刚体运动的基础， 对于理解更复杂的刚体运动形式具有 重要意义。
刚体的平面运动的基本原理
平移原理
刚体在平面内沿直线进行平移时，其上任意一点都沿着该直线进行等距离的移 动。
旋转原理
详细描述
在实际的物理问题中，刚体往往不会只进行平动或转动，而是同时进行这两种运动。这种复杂的平面运动形式通 常包括椭圆运动、抛物线运动等。这种复杂的运动形式通常需要综合考虑平动和转动的共同作用，以确定刚体的 最终运动轨迹。
《刚体的平面运动》课件
刚体平动的实例分析
总结词
刚体平动的实例分析主要介绍了刚体在平面内沿某一方向做直线运动的情况，包 括匀速平动和加速平动。
详细描述
刚体平动的实例分析中，我们可以通过观察汽车在路面上行驶、火车在铁轨上飞 驰等实际现象，理解刚体平动的概念和特点。同时，通过分析匀速平动和加速平 动的动力学特征，可以深入了解刚体的平动运动规律。
03
刚体的平面运动的动力学
刚体的平动的动力学方程
平动的动力学方程：$F = ma$
描述刚体在平面内平动时的加速度和力之 间的关系。 适用于刚体在平面内直线运动或曲线运动 的情况。 考虑了刚体的质量对运动的影响。
刚体的定轴转动的动力学方程
定轴转动的动力学方程：$T = Ialpha$
描述刚体绕固定轴转动时的角加速度和力 矩之间的关系。 适用于分析刚体在平面内定轴转动的情况 。 考虑了刚体的转动惯量对运动的影响。
特点
刚体上任意一点的速度方 向都与该固定轴线平行， 且各点的速度大小相等。
应用
许多机械的运动可以简化 为刚体的定轴转动，如车
轮、电机转子等。
刚体的平面运动
定义
刚体在平面内既有平动又有定轴转动的运 动。
特点
刚体的运动轨迹是一个平面曲线，同时具 有平动和定轴转动的特征。
应用
许多复杂的机械运动可以简化为刚体的平 面运动，如曲柄连杆机构、凸轮机构等。
刚体的平面运动的运动学方程
平面运动定义
刚体在平面内既有平动又有定轴转动 。
运动学方程
解释
该方程描述了刚体在平面内既有平动 又有定轴转动的复杂运动，需要综合 考虑平动和定轴转动的运动学方程来 描述其运动轨迹。
需要将平动和定轴转动的运动学方程 结合起来，描述刚体在平面内的运动 轨迹。
《刚体运动学》课件
总结词
理解定轴转动的定义和性质是掌握刚体运动学的基础。
详细描述
定轴转动是指刚体绕某一固定轴线旋转的刚体运动，具有角速度和角加速度两个重要的物理量。刚体在定轴转动 时，其上任意一点都以相同的角速度和角加速度绕轴线旋转。
定轴转动的合成与分解
总结词
掌握定轴转动的合成与分解是解决刚体动力学问题的关键。
详细描述
合成与分解的方法
通过选择合适的参考系和坐标系，利用矢量合成 和分解的方法进行计算。
刚体的定点平面运动
定义：刚体绕某一固定点在平 面内作圆周运动或椭圆运动。
描述参数：刚体的位置、速度 和加速度可以用定点、角位移 、角速度和角加速度等参数描
述。
动力学方程：根据牛顿第二定 律和刚体的转动定理，建立定 点平面运动的动力学方程。
在物理学中的应用
01
力学
刚体运动学是力学的一个重要分支，用于研究刚体的运动规律和力学性
质。通过刚体运动学分析，可以了解物体在不同力场作用下的运动状态
和变化规律。
02
天体物理学
在天体物理学中，刚体运动学用于研究天体的运动和演化。通过对天体
的刚体运动进行分析，可以了解天体的轨道、速度和加速度等运动参数
要点二
分解
空间运动的分解是指将一个复杂的运动分解为若干个简单 的运动。
刚体的定点空间运动
定义
刚体的定点空间运动是指刚体绕一个固定点在空间中的 旋转运动。
性质
定点空间运动具有旋转轴、旋转角速度和旋转中心等物 理量，其运动状态可以通过这些物理量来描述。
06
刚体运动学的应用
在工程中的应用
机械工程
刚体运动学在机械工程中广泛应用于机构分析和设计，如连杆机构、凸轮机构和齿轮机构等。通过刚体运动学分析， 可以确定机构的运动轨迹、速度和加速度，优化机构设计。
理解定轴转动的定义和性质是掌握刚体运动学的基础。
详细描述
定轴转动是指刚体绕某一固定轴线旋转的刚体运动，具有角速度和角加速度两个重要的物理量。刚体在定轴转动 时，其上任意一点都以相同的角速度和角加速度绕轴线旋转。
定轴转动的合成与分解
总结词
掌握定轴转动的合成与分解是解决刚体动力学问题的关键。
详细描述
合成与分解的方法
通过选择合适的参考系和坐标系，利用矢量合成 和分解的方法进行计算。
刚体的定点平面运动
定义：刚体绕某一固定点在平 面内作圆周运动或椭圆运动。
描述参数：刚体的位置、速度 和加速度可以用定点、角位移 、角速度和角加速度等参数描
述。
动力学方程：根据牛顿第二定 律和刚体的转动定理，建立定 点平面运动的动力学方程。
在物理学中的应用
01
力学
刚体运动学是力学的一个重要分支，用于研究刚体的运动规律和力学性
质。通过刚体运动学分析，可以了解物体在不同力场作用下的运动状态
和变化规律。
02
天体物理学
在天体物理学中，刚体运动学用于研究天体的运动和演化。通过对天体
的刚体运动进行分析，可以了解天体的轨道、速度和加速度等运动参数
要点二
分解
空间运动的分解是指将一个复杂的运动分解为若干个简单 的运动。
刚体的定点空间运动
定义
刚体的定点空间运动是指刚体绕一个固定点在空间中的 旋转运动。
性质
定点空间运动具有旋转轴、旋转角速度和旋转中心等物 理量，其运动状态可以通过这些物理量来描述。
06
刚体运动学的应用
在工程中的应用
机械工程
刚体运动学在机械工程中广泛应用于机构分析和设计，如连杆机构、凸轮机构和齿轮机构等。通过刚体运动学分析， 可以确定机构的运动轨迹、速度和加速度，优化机构设计。
02-23.3 平面运动刚体的运动微分方程(课件)
3、平面运动刚体的运动微分方程平面运动刚体的运动微分方程y x C ''：过质心平移参考系平面运动随质心平移 绕质心转动()()e e ()C C C ma FJ M F α⎫=∑⎪⎬=∑⎪⎭()()2e 22e 2d d d ()d C C C r m F tJ M F t ϕ⎫=∑⎪⎪⎬⎪=∑⎪⎭投影式： ()()()e e e ()Cx xCy y C C ma F ma F J M F α⎫=∑⎪⎪=∑⎬⎪=∑⎪⎭()()()e te ne ()Ct C n C C ma F ma F J M F α⎫=∑⎪⎪=∑⎬⎪=∑⎪⎭以上各组均称为刚体平面运动微分方程平面运动刚体的运动微分方程已知：半径为r ，质量为m 的均质圆轮沿水平直线滚动，如图所示.设轮的惯性半径为，作用于轮的力偶矩为M .求轮心的加速度.如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为f ，问力偶M 必须符合什么条件不致使圆轮滑动?C 例 1M平面运动刚体的运动微分方程解： N 2Cx Cy C ma Fma F mg m M Fr ρα⎫=⎪=-⎬⎪=-⎭()()2222N ,,,CC C C F r Mra M r m r F ma F mgρρ+==+==纯滚动的条件： s NF f F ≤即22s Cr M f mgρ+≤C a 0C a r α=分析圆轮，受力和运动情况如图所示。
由平面运动刚体运动微分方程：平面运动刚体的运动微分方程例2已知：均质圆轮半径为r 质量为m，受到轻微扰动后，在半径为R 的圆弧上往复滚动，如图所示.设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动.求:质心C 的运动规律.平面运动刚体的运动微分方程t Ca rα=解: t sin Cma F mg θ=-C J Frα=-θcos 2mg F r R v m N C -=-()θr R s -=0d d 2322=-+s rR gt s )sin(00βω+=t s s ()r R g -=3220ω0,0v s== s 初始条件 ()gr R v s 23,000-==β运动方程为()⎪⎫ ⎛⋅-=t gr R v s 2sin 30分析圆轮，受力和运动情况如图所示。
刚体平面运动瞬心法、加速度(课堂PPT)
vPvOvrvOvP O
dr dr ds dt ds dt
lim r
s
vPvOwr
drv Y vr ωr
ωr
O
S vO
P vO
X
结论：平面图形内任一点的速度O0等于基点的速度和该点X0随图形绕
基点转动速度的矢量和。
Chapter 15 Kinematics of Rigid Bodies
Solution
瞬心法
vA(Rr)w
wA
vA r
Rrw
vP 0
因此，可以证明只要角速度w不等于零，
在垂线AL‘总会有一点P，这点的瞬时速度等于零。
Chapter 15 Kinematics of Rigid Bodies
为了找到瞬心，我们做一条直线垂直于速度VA， 另一条直线垂直于速度VB，在图中可看出，两条 直线交汇于一点O，O点便是瞬心。如果O点不位于 刚体的形状当中，我们假设刚体足够大可以包容下 改点，这种情况就叫做Body extended.
vB
D 90o B 90o O1
Chapter 15 Kinematics of Rigid Bodies
Sample problem 8
已知: 行星轮系固定轮半径R，行星轮半径r
(只滚不滑)，曲柄角速度w。
求：行星轮上M点速度。
M
A
w
O
Chapter 15 Kinematics of Rigid Bodies
Chapter 15 Kinematics of Rigid Bodies
归纳总结：瞬时速度中心的几种求法
(1) 已知一点的速度 及刚体的角速度
(2) 已知两点的速度方向， 且互不平行
dr dr ds dt ds dt
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结论：平面图形内任一点的速度O0等于基点的速度和该点X0随图形绕
基点转动速度的矢量和。
Chapter 15 Kinematics of Rigid Bodies
Solution
瞬心法
vA(Rr)w
wA
vA r
Rrw
vP 0
因此，可以证明只要角速度w不等于零，
在垂线AL‘总会有一点P，这点的瞬时速度等于零。
Chapter 15 Kinematics of Rigid Bodies
为了找到瞬心，我们做一条直线垂直于速度VA， 另一条直线垂直于速度VB，在图中可看出，两条 直线交汇于一点O，O点便是瞬心。如果O点不位于 刚体的形状当中，我们假设刚体足够大可以包容下 改点，这种情况就叫做Body extended.
vB
D 90o B 90o O1
Chapter 15 Kinematics of Rigid Bodies
Sample problem 8
已知: 行星轮系固定轮半径R，行星轮半径r
(只滚不滑)，曲柄角速度w。
求：行星轮上M点速度。
M
A
w
O
Chapter 15 Kinematics of Rigid Bodies
Chapter 15 Kinematics of Rigid Bodies
归纳总结：瞬时速度中心的几种求法
(1) 已知一点的速度 及刚体的角速度
(2) 已知两点的速度方向， 且互不平行
平面运动刚体内各点的速度分析介绍.ppt
瞬心法：应用瞬心来求平面图形内各点的速度的方法。
几种确定瞬心位置的方法： （1）平面图形沿某一固定面作纯滚动（无滑动地 滚动）时，它与固定面的接触点就是该瞬时平面图 形的速度瞬心。
（2）平面图形内任意丙点的速度已知（14.7a），通过这两点作其速度矢量的垂 线，两垂线的交点C即为瞬心。
（3）若平面图形内两点的速度方向平行，且垂直于两点的连线（图14.7b，c）， 则瞬心在这两点的连线或其延长线上，且各点的速度与它们到瞬心的距离成
正比。
990
vBA
vA
tan
400
200 990
80.8mm
/
s
BA
AB
vBA
80.8 990
0.08rad
/
s
二、速度瞬心法
在前面的基点法中，基点可以任意选取，若在平面图形上（或其延伸部分）能 找到一个在该瞬时速度为零的点C，则：vM=vMC
此式表明：在该瞬时平面图形的运动可看成是绕C点的转动。这个速度刚好为 零的点称为该平面图形在该瞬时的速度瞬心，简称速度瞬心或瞬心。由此可见，只 要在平面图形上找到某瞬时的瞬心位置，平面图形内其它点在此瞬时的绝对速度就 等于它们绕瞬心C转动的速度。
平面运动刚体内各点的速度分 析介绍
例1：发动机的曲柄连杆机构如图（图14.5），已知曲柄OA长r=200mm，以匀角 速度ω=2rad/s绕O点转动，连杆AB长L=990。试求当角θ=90º时，滑块B的速度及 连杆AB的角速度。
Hale Waihona Puke 解：vB=ve+vBA
vB
vA
cos
400
2002 9902 408mm / s
几种确定瞬心位置的方法： （1）平面图形沿某一固定面作纯滚动（无滑动地 滚动）时，它与固定面的接触点就是该瞬时平面图 形的速度瞬心。
（2）平面图形内任意丙点的速度已知（14.7a），通过这两点作其速度矢量的垂 线，两垂线的交点C即为瞬心。
（3）若平面图形内两点的速度方向平行，且垂直于两点的连线（图14.7b，c）， 则瞬心在这两点的连线或其延长线上，且各点的速度与它们到瞬心的距离成
正比。
990
vBA
vA
tan
400
200 990
80.8mm
/
s
BA
AB
vBA
80.8 990
0.08rad
/
s
二、速度瞬心法
在前面的基点法中，基点可以任意选取，若在平面图形上（或其延伸部分）能 找到一个在该瞬时速度为零的点C，则：vM=vMC
此式表明：在该瞬时平面图形的运动可看成是绕C点的转动。这个速度刚好为 零的点称为该平面图形在该瞬时的速度瞬心，简称速度瞬心或瞬心。由此可见，只 要在平面图形上找到某瞬时的瞬心位置，平面图形内其它点在此瞬时的绝对速度就 等于它们绕瞬心C转动的速度。
平面运动刚体内各点的速度分 析介绍
例1：发动机的曲柄连杆机构如图（图14.5），已知曲柄OA长r=200mm，以匀角 速度ω=2rad/s绕O点转动，连杆AB长L=990。试求当角θ=90º时，滑块B的速度及 连杆AB的角速度。
Hale Waihona Puke 解：vB=ve+vBA
vB
vA
cos
400
2002 9902 408mm / s
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基点
o
A (xA,yA)
x
运动模型-平面图形
确定直线AB或平面图形在Oxy参考系
中的位置，需要 3 个独立变量 (xA , yA , )。
3个独立变量随时间变化的函数：
三、刚体平面运动的分解
y B
A
当Ａ点不动时，则刚体作定轴转动 当 角不变时，则刚体作平移
刚体的平面运动可以分解平移和定轴
o
x 转动
平面内的运动
o
x
结论：刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身
平面内的运动。即在研究平面运动时，不需考虑刚体 的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，确定平面 图形上各点的速度和加速度。
2.运动方程
y
平面图形上的任意直线运动可
B
以代表平面图形的运动，也就是
刚体的平面运动。为了确定图形 在任意瞬时的位置，只须确定图 形内任一条直线的位置。
设在Δt 时间间隔内，平面
图形由位置Ⅰ运动到位置Ⅱ。
y
y
y
B B
•绝对运动：刚体平面运动
•牵连运动：随基点的平移
B
Ⅰ
•相对运动：平面图形相对于
平移系的转动
A
o
Ⅱ
A
x
x
x
刚体平面运动分解为平移和转动的基本方法： 选择基点(任意选择)； 在基点上建立平移系(特殊的动系)； 按照合成运动理论分解.
车轮的平面运动
+
随同O的平移运动
绕O1的转动
●平移和转动与基点之间的关系
B B
B
Ⅱ
Ⅰ
A A
A
结论：平面图形的平面运动可取任意的基点分解为平移 和转动，其中平移的速度和加速度与基点的选择有关； 而平面图形的角速度和角加速度与基点的选择无关。
一点注意
所谓绕基点的转动，实际上是指相对于一个坐标
原点铰接于基点的平移参考系的转动，故 和α是相
杆此瞬时C点的速度 vC 。 解：(1) 机构的运动分析
C
(2) 取A为基点，研究B点
大小 ? 方向 √
√ √
? √
ABC
B
vA
O1
O
vBA vB
A
0 vA
(3) 再取B为基点，研究C点
大小 ? 方向 ?
√√ √√
C
vCB
vB
vC
ABC
B
vB
O1
O
A
0
与水平夹角可由正弦定理求出
二、速度投影法
将速度 vB 向线段AB投影 ( vB )AB = ( vA + vBA )AB 因为 (vBA )AB = 0 所以( vB )AB = ( vA )AB
解法二：选B点为基点，研究A点
大小 √
？
方向 √
√
其中vA= u
？ 所以 √
( 逆时针 )
例题3 曲柄连杆机构中，曲柄 OA长r，连杆AB长l，曲
柄以匀角速度 0 转动，当 OA与水平线的夹角 = 45时，
OA正好与AB垂直。求（1）滑块的速度vB 。
（解2）：连选杆择AAB为的基角点速，度研究ABB。点（运3动）连杆AvBA 中点vCB的速度。
§8-1 刚体平面运动的概述和运动分解
一、问题的提出
回顾：刚体的简单运动—平移和定轴转动 请观察以下刚体的运动：
火车车轮
机械臂
连杆
动齿轮
刚体平面运动的定义： 在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距
离始终保持不变。即刚体上任一点都在与该固定平面
平行的某一平面内运动。
刚 体 平 面 运 动 实 例
y´
y vBA vB
S A
O
B vA x´ vA x
va= vB
ve= vA
vr= vBA
vB= vA+ vBA
结论：平面图形上任意点的速度，等于基点的速度与 该点随图形绕基点转动速度的矢量和。
方向与半径AB垂直，指向与角速度的
转向一致 • 前述方法称为基点法 或速度合成法 • 通常对于平面图形内的任意两点 A 和 B
二、刚体平面运动的运动方程
A1
1.刚体平面运动模型的简化
● 过刚体作平面Ⅱ平行平面Ⅰ
平面Ⅱ与刚体相交截出一个平面 Ⅱ 图形S；
●平面图形S始终保持在平面Ⅱ内运动；
Ⅰ
●在S面内任选一点M，过M做平
面Ⅱ垂线。
y
MS
A2
● A1MA2做平移，M点可代表直线 A1MA2上各点的运动
S
刚体平面运动 平面图形S 在其自身
对角速度和相对角加速度。
当注意到动参考系作平移时，可见， 和α又是 绝对角速度和绝对角加速度。这正是把 和α分别称
为平面图形的角速度和平面图形的角加速度的原因。
速度、加速度对点而言， 角速度、角加速度对图形或刚体而言。
例题1 已知：曲柄－滑块机构中OA=r , AB=l;曲柄OA以等角速 度 绕 O轴转动。求：1、连杆的平面运动方程；2、连杆上P 点(AP=l1)的运动轨迹、速度与加速度。
vBA
A
vB
vA B
vA
速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这 两点连线上的投影相等。
上面的定理正好说明刚体上任意两点间的距离保 持不变。所以定理适应于刚体作其它任意的运动。
例题2 在图中，杆AB长l，滑倒时B 端靠着铅垂墙壁。 已知A点以速度u沿水平轴线运动，试求图示位置杆 端B点的速度及杆的角速度。
本章以刚体平移和定轴转动为基础 ，应用运动分解和合成的方法，研究 工程中一种常见而又比较复杂的运动 —刚体平面运动，同时介绍平面运动 刚体上各点速度和加速度的计算方法 。
第八章 刚体的平面运动
§8-1 刚体平面运动的概述和运动分解 §8-2 求平面图形内各点速度的基点法 §8-3 求平面图形内各点速度的瞬心法 §8-4 用基点法求平面图形内各点的加速度 §8-5 运动学综合应用 结论与讨论
解：1、确定连杆平面运动 的3个独 立变量与时间的关系
连杆的平面运动方程为
2、连杆上P点的运动方程
y
A
xP
P
yP
B
x
O
§8-2 求平面图形内各点速度的基点法
一、基点法
平面图形：S
平面图形的角速度：
定系：Oxy 基点：A 平移系：Ax´y´
基点速度： vA B点速度： vB 速度合成定理： va = ve + vr
注意： vBA ≠ vAB
例题2 在图中，杆AB长l，滑倒时B 端靠着铅垂墙壁。 已知A点以速度u沿水平轴线运动，试求图示位置杆端 B点的速度及杆的角速度。
B
ψ
u
O
A
解：解法一：选A点为基点研究B点
B vA
大小 ?
√
？
方向 √
√
√
其中vA= u
vBA vB ωAB
ψ
vAB vAu
所以
O
A
( 逆时针 ) vB
vBA
大小 ? 方向 √
√ √
？ √
其中：速度
B
A
vB AA O0
再求连杆AB中点C的速度vC 仍选A为基点
大小 ? 方向 ?
√ √
√ √
其中：vCA=rAB/2
vA
vB
BvA
vCvBA
vCA Cv
AA
O
AB 0
例题4 已知:OA= OO1 = r,BC=2r，∠OAB=45°,求:连