第六章 循环码的译码

0 T ~ x mod g x
非门
与门
输入R(x) 门
七级缓存
循环汉明码译码电路 (需要14移位)
Example：设计一个由g(x)=x4+x3+1 生成的[15,11]循环汉明码译码电路。
基本要求：需要一个除法电路和一个逻辑电路
要设计逻辑电路，须知道该码可纠正的错误图样及伴随式 汉明码可纠一个错误，只需知道一个错误图样的伴随式
覆盖多项式的数目
对于纠正t个错误的GF(q)上的[n, k]循环码， 当且仅当R<2/t时，覆盖多项式集合必存在。 对于t=2，覆盖多项式{Qj(x)}中，最少的多 项式数目为
j n /(2(n k ))
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0
S 如何用多项式表示？
循环码伴随式 可用除法电路实现
Rx E x
S x C x E x
mod g x
由此可知：循环码的检错电路易于实现。
循环码计算伴随式电路的特点
定理：若S(x)是R(x)的伴随式，R(x)的循环移位 xR(x)的伴随式为S1(x)，则S1(x)是伴随式计算电 路中无输入时右移一位的结果。
e0
基本原理
若错误集中在校验元的n-k位上，即EI(x)=0, E(x)=EP(x)
S x Ex E P x mod g x
此时，伴随式就是错误图样，C’(x)=R(x)-S(x)
可用捕错译码循环码必须满足
1、错误必须集中在任意连续的n-k位上 可利用循环码的特点将错误移到后n-k位上 2、k < n/t 或 t < n/k 或 R < 1/t
S1 x xS x
mod g x
循环码计算伴随式电路的特点
推论：xjR(x)的伴随式Sj(x)≡xjS(x) (mod g(x))， j=0， 1， …， n-1。 而任意多项式a(x)乘R(x)所对应的伴随式 Sa(x)≡a(x)S(x) (mod g(x))
在 q 进制时， 若码要纠正 ≤ t 个错误， 则错误图样代表共有 t j n 1 N1 ( q 1) j 1 j 1
软判决译码
软判决译码是最佳译码的折衷
软判决译码
软判决距离：二进制输入Q元输出的DMC中，最 大似然译码近似等价于最小软判决距离译码 软判决重量wls 软重量和汉明重量关系：wls=(Q-1)wlh 一个最小距离为dh的二进制[n,k]线性分组码，有 最小软距离ds=(Q-1)dh,它一定能纠正软重量为 ts<(Q-1)dh/2的任何错误图样 有最小距离为dh的二进制线性分组码，在Q进制 输出的DMC中，当信噪比很高时，应用最小软判 决距离译码，能纠正dh-1个硬判决错误
en k x
nk
k 1 x
k 1
en k

S I j x x
nk
Qx modg x
修正捕错译码原理
因此，如果能找到一个k-1次多项式Q(x) ，使 错误图样E(x)或E(x)的循环移位在前k位码段 内与Q(x)一致，即可找到最终的错误图样
修正的捕错译码
当循环码的信息比特数k等于n/t或比n/t稍大时，可 采用某种方法，将大部分错误集中在n-k位上，而 把个别错误集中在固定的某几位上，即可实现修正 的捕错译码
固定几位错误 大部分错误
修正捕错译码原理
E I x en 1 x x x
nk nk
n 1
Qx
e
汉明码的对偶码，极长码
大Байду номын сангаас逻辑译码
如果某一码元位置集合{ci1,ci2,…,cil}的线性组合 ai1ci1+ai2ci2+…+ailcil 在A1，A2,…,AJ的一致校验和式中均出现，而其 余码元位置集合至多在其中一个校验和式中出现， 则说A1，A2,…,AJ在集合{ci1,ci2,…,cil}上正交，称 A1，A2,…,AJ是正交于该码元位置集合的正交一 致校验和式。 例：[7,4,3]循环汉明码，两步大数逻辑可译码
n2
m
m k i 0 i
r
nk
m r 1

i 0
m i
r阶RM码是r+1步大数逻辑可译 码
极长码
对任何整数m>=2，均存在有如下参数的极 长码：n=2m-1，k=m, d=2m-1。码的生成多 项式g(x)=(xn-1)/p(x)。p(x)是一个m次本原 多项式。 极长码是汉明码的对偶码。 一步大数逻辑译码
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四 软判决译码
软判决译码
能够充分利用接收信号波形信息 比硬判决译码能得到额外的2～3dB的增益 适合中等码长和中等纠错能力的码 信噪比可以在很宽的范围内变化 硬判决译码<软判决译码<最大后验概率译 码
1、根据接收序列R计算伴随式S=RHT(n-k维向量) 2、根据伴随式S寻找错误图样E 3、根据错误图样E估计码向量C’， 进而计算信息序列
伴随式计算的多项式表示
R Rx rn1 x
n1
rn2 x
c n 2 x en 2 x
n 2
r0
c 0 e0
错误集中在n-k个校验元上的条件
纠正t个错误的GF(q)上的[n,k]循环码，捕错译码 过程中，已把t个错误集中在Ri(x)的最低次n-k 位 以内的充要条件是：
wS i x t
其中w(Si(x))是伴随式Si(x)的重量
Ex en1 x n1 enk x nk enk 1 x nk 1 e0
大数逻辑可译码
RM码 极长码（汉明码的对偶码） 差集循环码 复数旋转码
RM码
G0是长为N的全1矢量，G1是 G0 m×2m阶矩阵，其各列由2m个 G m重矢量组成；Gi是从G1中选 G 1 ... 取i行进行矢量与运算所得到的 矢量构造的。 Gr r阶RM码
使得循环码译码器的错误图样识别电路大为简 化， 由原来识别N2个图样减少到N1个
N2
j 1
t
n j j ( q 1)
Example:循环码生成多项式g(x)=x3+x+1， 计算E(x)=x6和E(x)=x5的伴随式
x x 1
x x x 1
5 2
6
2
mod x x 1
mod x
3

3


x 1
循环汉明码译码电路
[7,4,3]循环汉明码的生成多项式为x3+x+1
6 ~ H x

T
~ x5
T
~ x4
T
~ x3
T
~ x2
T
~ x1
T
1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1
编码增益和软判决增益
在某一误码率下，应用一定的纠错码系统后，相对于没有 应用时所获得的信噪比减少的分贝数称为此纠错码的编码 增益 高信噪比时所获得的编码增益称为渐进编码增益 码率R,纠t个错误，AWGN信道，硬判决译码 t 1 pb Kpe K (Q((2REb / N0 )1/ 2 ))t 1 未应用纠错码，AWGN信道
1 0 1 1 0 0 0 H0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1
H0CT 0
大数逻辑译码
A1=c6+c4+c3=0 A2=c6+c5+c1=0 A3=c6+c2+c0=0 该校验方程的特点：c6含在每一方程中，c5, c4, c3, c2, c1, c0只含在某一方程中。称为正交于c6码元位的 正交校验方程。H0称为正交一致校验矩阵。 定义：若某一特定码元位出现在H0矩阵中J行的 每一行中，其他码元位至多在其中一行出现，则 称H0为正交于该码元位的正交一致校验矩阵。
大数逻辑译码
假设正交位为en-1,若奇偶校验和的绝对多数为1， 则差错位en-1被译码为1；否则被译码为0。 一个循环码若在任一位上能建立J个正交一致校 验和式，则该码能纠正t≤J/2个错误。 最小距离d=J+1的码为一步完备可正交码 一步大数逻辑可译码的纠错个数，与码参数之 间的关系:
n 1 t 2(dev 1)
二、捕错译码
基本原理
S x Rx Ex E I x E P x mod g x
E I x en1 x
n1
en 2 x
n 2
en k x
n k 2
n k
E P x enk 1 x
nk 1
en k 2 x
三、大数逻辑译码原理
大数逻辑译码
g ( x) x4 x3 x2 1
1 1 H 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
A1 s3 e6 e4 e3 A2 s1 e6 e5 e1 A3 s2 s0 e6 e2 e0


T
1 T ~0 ~ , x , x

T

(mod g ( x))
S RH T
~ x n 1 ~ x n2 rn 1 , rn 2 , r0 mod g x 0 ~ x
~ ~ x n 1 x n 1 n2 n2 ~ ~ x x c n1 , c n 2 , c0 mod g x e n 1 , e n 2 , e0 mod g x 0 0 ~ ~ x x
软判决译码准则
码字错误概率最低：广义最小距离译码、Chase 译码 码元错误概率最低：APP译码、逐位译码、重量 删除译码
几类最佳译码 最小欧几里德距离译码
max p( R | Cl ) min (ri cli ) 2
i 1 n
最大内积译码（最大相关译码）
min dE max R Cl
' ' pb KQ[(2Eb / N0 )1/ 2 ]
dh 1 ) 硬判决渐进编码增益：G 10 lg R(t 1) 10 lg R( 2
C Cx cn1 x E Ex en1 x
n1
n 2
n1
n 2
nk 1 n k 2 S S x s nk 1 x s n k 2 x s0
系统循环码的一致校验矩阵H
n 1 T ~ n 2 ~ H x , x
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第六章 循环码的译码
循环码的译码
一般译码原理 捕错译码 大数逻辑译码
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一、一般译码原理
基本思想与线性分组码类似
若前面k位没有错误，则可用捕错译码实现
若前面k位也有错误，此时伴随式S(x)为：
S x E P x E I x mod g x E P x S I x
若EI(x)和SI(x)已知，可由此得到EP(x)， 进而确定E(x)= EI(x) +EP(x)，即是修正捕错译码
伴随式又可由校验矩阵H得到
扩展汉明码的译码
缩短循环码的译码
扩展汉明码的译码
扩展汉明码的码长是8的整数倍。 扩展汉明码d=4，能纠正一个错误同时发现两个错 误。 译码电路主要部分与循环汉明码译码器相同，需 要加上检错电路。
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