离散数学-3-9 集合的划分和覆盖

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离散数学教案

学习目标：1．深刻理解序偶、笛卡尔积、关系、集合的划分与覆盖、等价关系、等价类、商集、相容关系、（最大）相容类、偏序关系、极大元、极小元、上（下)界、上(下）确界、最大（小)元、全序关系、良序关系等概念;2．掌握集合的交、并、差、补、对称差的运算及其运算规律;3．掌握关系的交、并、逆、复合运算、闭包运算及其性质；4．掌握关系的矩阵表示和关系图；5．深刻理解关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性，掌握其判别方法；6．掌握集合的覆盖与划分的联系与区别;7．掌握偏序关系的判别及其哈斯图的画法;会求偏序集中给定集合的极大元、极小元、上(下）界、上（下）确界、最大（小）元.主要内容:1．集合的基本概念及其运算2．序偶与笛卡尔积3．关系及其表示4．关系的性质及其判定方法5．复合关系和逆关系6．关系的闭包运算7．等价关系与相容关系8．偏序关系重点：1．关系的性质及其判别；2．关系的复合运算及其性质;3．等价关系与等价类、等价关系与集合的划分的联系；4．偏序关系判别及其哈斯图的画法、偏序集中特异位置元素的理解.难点：1．关系的传递性及其判别；2．等价关系的特性;3．偏序关系的哈斯图的画法；偏序集中特异位置元素的求法。

教学手段：通过多个实例的精讲帮助同学理解重点和难点的内容，并通过大量的练习使同学们巩固和掌握关系的性质及其判别、关系的复合运算及其性质、等价关系的特性、偏序关系的哈斯图的画法及偏序集中特异位置元素的求法。

习题：习题3。

1：4，6；习题3。

2:3（8），4（12），6(m);习题 3.4:1 （2）、（4）,3；习题3。

5：1,4；习题3.6：2,5,6;习题3.7：2，5，6;习题3。

8：1(1）-（6）;习题3。

9:3（2)、(4）,4(3);习题3。

10：1 ，4，5。

3。

1 集合的基本概念集合（set ）(或称为集）是数学中的一个最基本的概念。

所谓集合,就是指具有共同性质的或适合一定条件的事物的全体,组成集合的这些“事物”称为集合的元素。

集合的划分与覆盖

1. 集合的划分

Def (1) (2) (3) 例1-53 设A = {a, b, c}, 则A的所有不同的划分分别为:

1 {{a, b, c}}, 2 {{a, b},{c}}, 3 {{a, c},{b}}, 4 {{b, c},{a}}, 5 {{a},{b},{c}}.

3. 集合的基数有限集合的基数就是的元素个数. 借助于集合对等概念, 可以将其扩展到无限集合. Def 若集合A和B对等, 则称这两个集合的基数(cardinality)相同. |A|.
• | N |然数集合N对等的集合称为可列集合(countable set).
1.集合对等 Def A ~ B: 存在双射f : A B.

N ~ E. Z~N? (0, 1) ~ R. N ~ N N. Theorem 1-28(对等的性质) (1) A ~ A. (2) A ~ B B ~ A. (3) A ~ B, B ~ C A ~ C.

取 r 0.b0b1b2 ...bn ... :
1, ann 1 bn , n 0,1,2,... 3, ann 1

6. 基数的比较 Def 给定集合A和B, 若存在A到B的单射, 则称A的基数小于等于B的基数, 记为|A| |B|. 若进一步, 不存在A到B的双射, 则称A的基数小于B的基数, 记为|A| < |B|. 由定义易知, 若存在B到A的满射, 则|B| |A|. 显然, 0 . Problem 是否存在集合A, 满足 0 | A | ? (著名的连续统假设?!)

离散数学知识点总结

注意/技巧：析取符号为V，大写字母Vx + y = 3不是命题前件为假时，命题恒为真运用吸收律命题符号化过程中要注意命题间的逻辑关系，认真分析命题联结词所对应的自然语言中的联结词，不能只凭字面翻译。

也就是说，在不改变原意的基础上，按照最简单的方式翻译通用的方法：真值表法VxP（x）蕴含存在xP（x）利用维恩图解题证明两个集合相等：证明这两个集合互为子集常用的证明方法：任取待证集合中的元素<,>构造相应的图论模型第一章命题逻辑命题和联结词命题的条件：表达判断的陈述句、具有确定的真假值。

选择题中的送分题原子命题也叫简单命题，与复合命题相对简单联结词的真值表要记住非（简单）合取（当且仅当P，Q都为真时，命题为真）析取（当且仅当P，Q都为假时，命题为假），P，Q可以同时成立，是可兼的或条件（→）（当且仅当P为真，Q为假时，命题为假）P是前件，Q是后件只要P，就Q等价于P→Q只有P，才Q等价于非P→非Q，也就是Q→PP→Q特殊的表达形式：P仅当Q、Q每当P双条件（↔）（当且仅当P与Q具有相同的真假值时，命题为真，与异或相反）命题公式优先级由高到低：非、合取和析取、条件和双条件括号省略条件：①不改变先后次序的括号可省去②最外层的括号可省去重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、偶然式可满足式：包括重言式和偶然式逻辑等价和蕴含（逻辑）等价:这是两个命题公式之间的关系，写作“⇔”，要与作为联结词的↔区分开来。

如果命题公式A为重言式，那么A⇔T常见的命题等价公式：需要背过被标出的，尽量去理解。

关键是掌握公式是将哪个符号转换为了哪个符号，这对于解证明题有很大的帮助！验证两个命题公式是否等价：当命题变元较少时，用真值表法。

当命题变元较多时，用等价变换的方法，如代入规则、替换规则和传递规则定理：设A、B是命题公式，当且仅当A↔B是一个重言式时，有A和B逻辑等价。

蕴含:若A→B是一个重言式，就称作A蕴含B，记作A⇒B常见的蕴含公式的运用方法同上面的命题等价公式证明A⇒B：①肯定前件，推出后件为真②否定后件，推出前件为假当且仅当A⇒B且B⇒A时，A⇔B，也就是说，要证明两个命题公式等价，可以证明它们相互蕴含联结词的完备集新的联结词：条件否定、异或（不可兼或）、或非（析取的否定）、与非（合取的否定）任意命题公式都可由仅含{非，析取}或{非，合取}的命题公式来等价地表示全功能联结词集合极小全功能联结词集合对偶式对偶式：将仅含有联结词非、析取、合取（若不满足，需先做转换）的命题公式A中的析取变合取，合取变析取，T变F，F变T得到的命题公式A*称为A的对偶式范式析取式：否定+析取合取式：否定+合取析取范式：（合取式）析取（合取式）……析取（合取式）。

有限集合上的划分与覆盖

." ! 0 （ $ & ）! 0" （ * ’ "）， .# ! * " 1&1* （ $ & +$ % ）! 0# （ * ’ #）， … 0 *
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第! 期
陈仁荣：有限集合上的划分与覆盖
+
定义 " ：设 ! 是集合 " 上的一个相容关系，对于一个非空子集 # -"，如果 # 中任何元素与 # 中其他元素相容，且 " # # 中的每个元素至少与 # 中一个元素不相容，则称 # 为 " 上关于 ! 的一个最大相容类。定理 " ：设 #（是集合 " 上关于相容关系 ! 的最大相容类，则 " 的所有最大相容类的集合 $ ! $$ $% ） #$ ， …， #% ｝是 " 的一个覆盖，并且是唯一的覆盖。｛#! ，
下面讨论集合 ) !｛(" ， (， …， (- ｝的划分个数。按照定义 " ，求集合 ) 的一个划分就是把 - 个不同元 (# ， …， ( - 分成 * （ " $*$- ）个非空子集 $" ， $# ， …， $* ，其中 .$ & 、 $（满足 $ & + $ % ! 素 (" ， % " $& % %$*）集合｛$" ， $# ， …， $* ｝即为 ) 的一个划分。现分以下步骤进行。 ,，第一，子集 $" ， $# ， …， $ * 有顺序区别。把 - 个不同元素放入 * 个不同的子集，记 $（为第 & " $& $* ） & 个子集为空集， $ （ -， *）为 $" ， $# ， …， $ * 中没有空集的不同放入法数。显然， .$ ! * - ，

离散数学---集合

3、幂集：、幂集：
定义：是一个集合，定义：设A是一个集合，由A的所有子集是一个集合的所有子集组成的集合称为A的幂集，组成的集合称为的幂集，记作 P(A)或的幂集或
。 2A。。
该定义可以写作P(A)={u| 该定义可以写作P(A)={u|u⊆ A} P(A)={u 例如，例如，A = {0, 1}，则， P(A) = { {}, {0}, {1}, {0, 1} }
定义：定义：若A⊆ B且A ≠ B ，则称 A为 ⊆ 且为 B的真子集。记作 A ⊂ B ，或 B ⊃ A 的真子集。的真子集对一切x如果x 必有x 对一切x如果x∈A必有x∈B，并且存在一个 x0∈B且x0∉A。
三、特殊的集合
1、空集：、空集：定义：不含任何元素的集合称为空集，定义：不含任何元素的集合称为空集，记作∅。例如：例如：Z={xx2+1=0,x∈R}，这是空集。 ∈ ，这是空集。定理：空集是任何集合的子集。定理：空集是任何集合的子集。证明：证明： ∅ ⊆ A ⇔ ∀ x(x∈∅ x∈A) ⇔1 ∈∅ ∈
特定的一些集合的表示符号
自然数集N={0，1，2，…} ，，，自然数集整数集合Z={…-2，-1，0，1，2，…} 整数集合，，，，，有理数集合Q={xx=P⁄⁄q，p,q∈Z} 有理数集合， ∈ 实数集合R={ x x是实数是实数} 实数集合是实数复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=-1}
第三章集合的基本概念
集合(set)：集合是数学中最基本的概念之一，：集合是数学中最基本的概念之一，集合不能以更简单的概念来定义(define)，只能给，不能以更简单的概念来定义出它的描述(description)。一些对象的整体就。出它的描述称为一个集合，称为一个集合，这个整体的每个对象称为该集合的一个元素集合的一个元素(member或element)。元素或。

离散数学集合的基本概念(一)

离散数学集合的基本概念(一)离散数学集合的基本概念集合是离散数学中最基本的概念之一，它是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。

这些对象被称为集合的元素，可以是任何事物，比如数字、字母、人、动物等。

在集合中，元素的顺序和重复是无关紧要的。

集合的表示集合通常用大写字母表示，如A、B。

元素属于集合时，通常用小写字母表示，如a、b。

一个元素a属于某个集合A时，表示为a∈A。

不属于某个集合时表示为a∉A。

集合的表示形式1.列举法：通过逐个列举出集合中的元素来表示集合。

例如，集合A={1, 2, 3}表示A为包含元素1、2、3的集合。

2.描述法：通过描述元素的特征来表示集合。

例如，集合A={x|x为正整数，且x<4}表示A为包含不大于3的正整数的集合。

1.并集：将两个集合中的元素合并在一起，形成的新集合包含了两个集合中的所有元素，且没有重复。

用符号∪表示。

例如，A∪B 表示集合A和集合B的并集。

2.交集：求两个集合中共有的元素，形成的新集合包含了两个集合中的所有共有元素。

用符号∩表示。

例如，A∩B表示集合A和集合B的交集。

3.差集：求一个集合中去除另一个集合中的元素后的剩余元素。

用符号-表示。

例如，A-B表示集合A去除集合B的元素后的剩余元素。

4.补集：求一个集合关于全集的差集。

用符号’表示。

例如，A’表示集合A的补集。

集合的性质1.互斥性：两个集合没有共同的元素时，称为互斥的。

两个互斥的集合的交集为空集。

2.包含关系：一个集合包含另一个集合时，称为包含关系。

包含关系可以是真包含或假包含，当一个集合包含另一个集合且两者不相等时，称为真包含。

3.幂集：一个集合所有可能的子集的集合称为幂集。

离散数学中的集合理论在计算机科学、信息技术、逻辑学、概率论等领域有着广泛的应用。

集合的概念和基本操作可以用于解决各种问题，例如数据处理、算法设计、数据库管理等。

以上是对离散数学集合的基本概念及相关内容的简要介绍，希望可以对读者有所帮助。

离散数学(3.9划分与覆盖)

3.7.3 全集的划分
(The Partition of the
Universal Set U)
设A,B,C是全集U的子集,则
{A, A},{B, B},{C, C },{AB, AB , A B, A B} 及 {ABC, A BC, AB C, ABC , AB C , A BC , A B C, A B C },
S5={ {a}, {b}, {c}, {d}, {e}, {f}, } （（
1 ） 1 ）
说明: (1)若S是A的划分,则S也一定是A的覆盖.
(2) 任意给定集合A的划分或覆盖不是唯一的.
(3) 给定了集合A的划分或覆盖,则A便唯一确定.
(4) 覆盖中各子集可重叠,划分则不然.
(5) 以非空集A为元素的集合S={A}称为A的最小划分.
离散数学discretemathematics1第三章集合与关系setsandrelations第三章集合与关系setsandrelations31集合及其运算setsoperationswithsets32序偶与笛卡尔积orderedpairscartesianproduct系33关系relations34关系的性质thepropetiesofrelations35复合关系与逆关系compoundrelationsinverse36关系的闭包运算closureoperations37集合的划分与覆盖partitioncoverofsets38等价关系equivalentrelations39相容关系compatibilityrelations310序关系orderedrelationsrelationsorderedrelationsrelations37集合的划分与覆盖partitioncoverofsets371集合的划分partitionofsets第三章集合与关系setsrelationsba??ba??372集合的覆盖coverofsets373全集的划分thepartitionoftheuniversalsetuthepartitionoftheuniversalsetu37集合的划分与覆盖1当ij时时2371集合的划分partitionofsets定义371设有非空集合asa1a2

《离散数学》课件-第3章集合的基本概念

17
例题
计算以下幂集：
，{}；{，{}}
解：
P()={} P({})={，{}} P({，{}})= {, {}，{{}},{，{}}}
18
3.3 集合的运算
集合的运算并，交，补（绝对补），差（相对补－），和对称差等。
19
集合的并运算
• 定义3.3.1 设A，B为集合，由A和B的所有元素组成的集合称为A与B的并集，可表示为： AB={x|xAxB} 其文氏图：
其文氏图如下：
~E = ， ~ = E， ~（~A）= A A ~A = ， A ~A = E
27
德.摩根定律
• 定理3.3.5 设A，B为任意二个集合，则有： • （1）（AB）= A B • （2）（A B）= A B • 证明设E为全集，显然有AE=A，AE=E成立。 • （1）（AB）= {x | xEx（AB）}= {x |
据的增加、删除、修改、排序，以及数据间关系的描述。
集合论在计算机语言、数据结构、编译原理、数据库与
知识库、形式语言及人工智能等许多领域得到广泛的应
用。
2
3.1 集合及其表示
• 集合是由一些对象聚集在一起构成的。例如，全体整数全体中国人 26个英文字母
• 构成集合的对象可以是各种类型的事物。 • 定义3.1.1 集合中的对象叫集合的元素，或成员。
• 集合中的元素可以具有共同性质，也可以表面上看起来不相干。
• 如{2，Tom，计算机，广州}
• 在集合论中，规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关系的。
例如，{3,4,5},{3,4,4,5,5},{5,3,4}都是同一个集合。
• 例如，A={3,4,5},

离散数学课程教学大纲

离散数学课程教学大纲一、课程简介本课程是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程。

离散数学主要是研究离散量的结构和相互关系，具体内容包括数理逻辑、集合论、代数系统、图论。

它综合了计算机科学中所用到的研究离散量的各个数学课题，并进行系统、全面的论述。

通过本课程的学习，使学生掌握高级科研人员或高级技术人员必备的离散数学基本理论和基本方法，同时，结合本课程的特点，可以培养学生的抽象思维和缜密的概括能力，为进一步学习专业课打好基础，并为学生今后处理离散信息，解决计算机科学各个领域中提出的有关离散量的理论问题，提高专业理论水平，为从事计算机的应用提供必要的描述工具和理论基础。

课程教学强调培养学生的独立思考能力、科学思维方法和求知创新精神。

最终使学生能够在众多的概念、定理中抽象出最重要、最根本的理论，并将这些基本的概念和定理透彻理解，自如运用，从而达到掌握离散数学的教学要求。

二、课程目标（一）课程具体目标1. 掌握计算机工程技术实践所需的离散量的数学知识：数理逻辑、集合论、图论，并能够运用于解决计算机软件工程领域的复杂工程问题；2. 掌握计算机学科基础理论，并能够用于解决复杂工程问题；3. 能够运用离散数学知识表述复杂工程问题；4. 能够运用数理逻辑和图论知识对所选模型的理论正确性进行分析和推理。

（二）课程目标与专业毕业要求的关系表1 本课程对专业毕业要求及其指标点的支撑（三）课程对解决复杂工程问题能力的培养在课程理论知识讲授环节，注重培养学生对软件工程中所涉及到的离散量的数学的深入理解，使学生掌握解决软件工程领域复杂工程问题所需的基本离散数学理论，并通过适当的课后作业锻炼和检验学生解决复杂工程问题的能力。

在课程考核环节，根据课程支撑的课程目标选择合适的考核方式，考题设置应完全覆盖课程支撑的课程目标，考题设计应充分考虑学生解决复杂工程问题所需的知识和能力，考题的难度和深度应能够体现复杂工程问题的特征。

《离散数学集合》课件

满射。
双射
03
如果一个映射既是单射又是满射，则称该映射为双射。
函数的基本性质
确定性
对于任意一个输入，函数只能有一个输出。
互异性
函数的输出与输入一一对应，没有重复的输出值。
可计算性
对于任意给定的输入，函数都能计算出唯一的输出值。
域和陪域
函数的输入值的集合称为函数的定义域，函数输出的集合称为函数的陪域。
04
集合的运算性质
并集运算性质
并集的交换律
对于任意集合A和B，有A∪B=B∪A。
并集的幂等律
对于任意集合A，有A∪A=A。
并集的结合律
对于任意集合A、B和C，有 A∪(B∪C)=(A∪B)∪C。
并集的零律
对于任意集合A和空集∅，有A∪∅=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。
交集运算性质
交集的交换律
对于任意集合A和B，有A∩B=B∩A。
在数学中的应用
集合论
集合论是数学的基础，它为数学提供了基本的逻辑和概念框架。通过集合，可以定义和讨论概念、关系和性质等。
概率论
在概率论中，集合用来表示事件，事件发生的概率可以定义为该事件所对应的集合的元素个数与样本空间所对应的集合的元素个数之比。
拓扑学
拓扑学是研究几何形状在大范围内变化的学科。在拓扑学中，集合用来表示空间中的点、线、面等元素，以及它们之间的关系。
THANKS FOR WATCHING
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03
集合的分类
有穷集和无穷集
有穷集
集合中元素的数量是有限的，可以明确地列举出集合中的所有元素。例如，集合{1, 2, 3}是一个有穷集。
无穷集
集合中元素的数量是无限的，无法列举出集合中的所有元素。例如，自然数集N={1, 2, 3,...}是一个无穷集。

离散数学 3-9 集合的划分和覆盖3-10 等价关系与等价类

若把一个集合a分成若干个叫做分块的非空集合使得a中每个元素至少属于一个分块那么这些分块的全体构成的集合叫做a的一个覆如果a中每个元素属于且仅属于一个分块那么这些分块的全体构成的集合叫做a的一个划分或分a集合s称作集合a的覆盖
离散数学
Discrete Mathematics
山东科技大学信息科学与工程学院
二、关系的性质与闭包的关系
1、定理3-8.1：设R是X上的二元关系，则 (1)R是自反的，当且仅当r(R)=R (2)R是对称的，当且仅当s(R)=R (3)R是传递的，当且仅当t(R)=R
证明只证明①
①必要性: 令R为自反. 由于RR, 并取右方R为S,
以及任何包含R的自反关系 T, 有S T, 可见R满足
加细
定义3-9.3：给定X的任意两个划分{A1，A2，· ，Ar}与{B1， · · ，Bs}，若对每一个Aj均有Bk使AjBk，则{A1，A2，· ， B2，· · · · · ，Bs}的加细。 Ar}称为{B1，B2，· · · 定理3-9.2：任何两种划分的交叉划分，都是原来各划分的一种加细。证明：设{A1，A2，· ，Ar}与{B1，B2，· ，Bs}的交叉划分 · · · · 为T，对T中任意元素AiBj必有AiBjAi，AiBjBj，故T必是原划分的加细。
8、定理3-8.6：若RAA，则
①rs(R)=sr(R)
②rt(R)=tr(R)
③st(R)ts(R)
作业
• P127: (1),(2),(7):a,c
3-9 集合的划分和覆盖
在集合的研究中，除了常常把两个集合相互比较之外，有时也要把一个集合分成若干子集加以讨论。
一、集合的划分和覆盖
例题1：设集合T={1，2，3，4}，R={<1，1>， <1，4>，<4，1>，<4，4>，<2，2>，<2，3>， <3，2>，<3，3>}。验证R是T上的等价关系。解：画出R的关系图

离散数学课本定义和定理

离散数学课本定义和定理第1章集合1.1 集合的基本概念1. 集合、元（元素）、有限集、⽆限集、空集2. 表⽰集合的⽅法：列举法、描述法3. 定义1.1.1（⼦集）：给定集合A和B，如果集合A的任何⼀个元都是集合B中的元，则称集合A包含于B或B包含A，记为或，并称A为B的⼀个⼦集。

如果集合A和B满⾜，但B中有元不属于A，则称集合A真包含于B，记为，并且称A为B的⼀个真⼦集。

4. 定义1.1.2（幂集）：给定集合A，以A的所有⼦集为元构成的⼀个集合，这个集合称为A 的幂集，记为或1.2 集合的运算定义1.2.1（并集）：设A和B是两个集合，则包含A和B的所有元，但不包含其他元的集合，称为A和B的并集，记为.定义1.2.2（交集）：A和B是两个集合，包含A和B的所有公共元，但不包含其他元的集合，称为A和B的交集，记为.定义1.2.3（不相交）：A和B是两个集合，如果它们满⾜，则称集合A和B是不相交的。

定义1.2.4（差集）：A和B是两个集合，属于A⽽不属于B的所有元构成集合，称为A和B 的差集，记为.定义1.2.5（补集）：若A是空间E的集合，则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集，记为.定义1.2.6（对称差）：A和B是两个集合，则定义A和B的对称差为1.3 包含排斥原理定理1.3.1设为有限集，其元素个数分别为，则定理 1.3.2设为有限集，其元素个数分别为，则定理1.3.3设为有限集，则重要例题P11 例1.3.1第2章⼆元关系2.1 关系定义2.1.1（序偶）：若和是两个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为⼀个序偶。

※对于序偶和，当且仅当并且时，才称和相等，记为定义2.1.2（有序元组）：若是个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为⼀个有序元组（简称元组）。

定义2.1.3（直接积）：和是两个集合，则所有序偶的集合，称为和的直接积（或笛卡尔积），记为. 定义2.1.4（直接积）：设是个集合，，则所有元组的集合，称为的笛卡尔积（或直接积），记为.定义2.1.5（⼆元关系）若和是两个集合，则的任何⼦集都定义了⼀个⼆元关系，称为上的⼆元关系。

《离散数学》第3章集合

集合表示方法
列举法
列举法是将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。例如，A={1,2,3}表示集合A 由元素1、2、3组成。
描述法
描述法是通过描述集合中元素的共同特性来表示集合的方法。例如，B={x|x>0}表示集合B由所有大于 0的实数组成。
常用集合类型介绍
有限集
有限集是指集合中的元素个数是有限的。例如， C={1,2,3,4,5}是一个有限集，它包含5个元素。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
特殊的集合。
集合论在数据库设计中应用
实体-关系模型
集合论中的集合和关系概念被用于描述实体-关系模型，这是数据库设计中的重要方法。
数据完整性
集合论中的概念如唯一性、存在性等可以用于定义和维护数据库的完整性约束。
查询优化
集合论中的运算和性质可以用于优化数据库查询，提高查询效率。
集合论在其他领域应用
元素与集合关系
元素与集合的关系
元素与集合的关系只有两种，即属于和不属于。如果元素a是集合A的元素，就说a 属于A，记作a∈A；如果元素a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A。
元素与集合的运算
元素与集合的运算主要有并集、交集和差集等。并集是指两个集合中所有元素的集合；交集是指两个集合中共有元素的集合；差集是指属于第一个集合但不属于第二个集合的元素的集合。幂集与笛卡尔积关来自探讨幂集与笛卡尔积的联系
幂集与笛卡尔积的区别
幂集与笛卡尔积的应用
幂集和笛卡尔积都是集合论中的重要概念，它们之间有着密切的联系。例如，对于任意集合A，其幂集P(A)可以看作是A与其自身的笛卡尔积A×A的子集构成的集合。

离散数学

第一章命题逻辑1.1 命题及其表示方法1.2 联结词1.3 命题公式与翻译1.4 真值表与等价公式1.5 重言式与蕴含式1.6 其它联结词1.7 对偶与范式1.8 推理理论1.1 命题及其表示方法命题：具有确定真值的陈述句命题的类型（原子命题和复合命题）命题的表示（一个命题标识符（比如P）表示确定的命题）重点：如何判断语句是否为命题。

1.2 联结词否定⌝合取∧析取∨条件→双条件↔重点：五种联结词的含义、真值表1.3 命题公式与翻译命题公式符号化：所谓命题的符号化就是把一个用文字叙述的句子相应地写成由命题标识符、联结词和括号表示的合式公式。

命题符号化的重要性命题符号化是很重要的，一定要掌握好，在命题推理中最先遇到的就是符号化一个问题，解决不好，等于说推理的首要前提没有了。

重点：命题的符号化符号化应该注意下列事项:①确定给定句子是否为命题。

②句子中连词是否为命题联结词。

③要正确地表示原子命题和适当选择命题联结词。

1.4 真值表与等价公式真值表的构造方法(1) 找出公式中所含的全体命题变元P1, P2, …, Pn, (若无下角标就按字典顺序排列), 列出2n个赋值. 赋值从00…0开始, 然后按二进制加法依次写出各赋值, 直到11…1为止.(2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次.(3) 对应各个赋值计算出各层次的真值, 直到最后计算出公式的真值.等价关系的含义等价式的判别方法•真值表法•等价演算法基本等价式（必须掌握）(1)对合律（双重否定）：⌝⌝P⇔P(2)幂等律：P∧P⇔P，P∨P⇔P(3)结合律：(P∧Q)∧R⇔P∧(Q∧R)，(P∨Q)∨R⇔P∨(Q∨R)(4)交换律：P∧Q⇔Q∧P，P∨Q⇔Q∨P(5)分配律：P∧(Q∨R)⇔(P∧Q)∨(P∧R)，P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)(6)德·摩根律：⌝ (P∧Q) ⌝⇔P∨⌝Q，⌝ (P∨Q) ⌝⇔P∧⌝Q(7)吸收律：P∧(P∨Q)⇔P，P∨(P∧Q)⇔P(8)同一律：P∧T⇔P，P∨F⇔P(9)零律：P∧F⇔F，P∨T⇔T(10)否定律：P∧⌝P⇔F，P∨⌝P⇔T(11) 条件式转化律：P→Q⌝⇔P∨Q，P→Q⌝⇔Q→⌝P(12) 双条件式转化律：P↔Q ⇔(P→Q)∧(Q→P) ⇔(P∧Q)∨(⌝P∧⌝Q)⌝ (P↔Q) ⇔P⌝↔Q ⌝⇔P↔Q(13) 输出律(CP规则)：P→(Q→R) ⇔(P∧Q)→R重点：等价式的证明、基本等价式1.5 重言式与蕴含式重言式或永真公式定义1-5.1 给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为真，则称该命题公式为重言式或永真公式。

离散数学集合 PPT

(A×C)∪(A×D)∪(B×C)∪(B×D)
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本章主要掌握集合的谓词表示法，和集合的基本运算，以及序偶的概念，集合的笛卡尔集，及相关定理。定理的证明相对简单，所以证明略。
对于数学归纳法，由于中学就已学过，所以这里就省略。
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思考题：
1 AB与AB能同时成立吗？ 2 何为一个集合的幂集，含有n个元素的集合，其
有序偶:它不仅与含有的元素x，y有关，还与x，y出现的次序有关。
这样的偶集称为有序偶，并记为：<x,y>
例如，用<x，y>表示平面直角坐标系下的横坐标为x且纵坐标为y的点时，则<x，y>和<y，x>在xy时就代表不同的点，因而就不相同。
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用集合定义有序偶
定义1 有序偶的集合定义：若x，y为任意两个元素，令 <x，y>={{x}，{x，y}}
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例1 如果论域是整数集I，那么能被3整除的正整数集合S 用归纳法可定义如下：
（1）（基础）3S，（2）（归纳）如果xS和yS，则x+yS
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集合的特殊情况
1、不含任何元素的集合称为空集，记为φ 2、含讨论问题所需全部元素的集合称为全集，记为∪ 3、称含有有限个元素的集合为有限集合 4、含有无限个元素的的集合称为无限集合或无限集 5、集合A中元素的个数（或基数或集合的势）记为:|A|
(A=B 当且仅当AB 且 BA） 3)集合的包含关系具有传递性:即
若A B且B C，则A C
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大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
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子集的两种特殊情况（平凡子集）： 1）空集是任一集合的子集。 2）任何集合都是它自己的子集。