离散化方法研究
扭转立体曲面造型与数字离散化研究
扭转立体曲面造型与数字离散化研究摘要：水轮机导叶呈空间扭转曲面，无法展开成平面进行铣削加工，运用三维立体造型，进行曲面数字离散化处理，建立曲面数控加工模型，获得了很高的制造精度及生产效率。
关键词：叶面造形数字离散化余量估计五轴数控空间扭转曲面有很多种，高坝水轮机导叶片是一个呈“X”型的扭转空间曲面，它是这类曲面的典型代表，它的加工精度对于水轮机制造来说是非常重要的。
以前是采用“铸造+钳工打磨修配”，结果是形状精度极低、尺寸精度很差，严重影响到整个水轮机组的水力性能。
利用UG软件，对水轮机导叶片进行三维立体造型，建立数控曲面模型，进行曲面各点的离散化处理，制定3～5轴数控加工工艺方案并编写数控加工程序，加工的导叶片获得了很高的形状精度与尺寸精度，效率显著提高。
1 扭转曲面立体三维造型1.1 造型的工艺要求应用于高坝的水轮发电机组，水头高，发电能力强，对叶片的扭曲度要求很高，且大轴流机组的转轮直径为Φ5～8m之间。
“X”型的扭转空间曲面从进水边到出水边扭曲度超过1170，在叶片背面轮缘带有外裙边，在叶片轮毂侧带有很大的内裙边，使得导叶型面具有很大的扭曲。
为了叶片流体动力性能甚至整个机组的性能，也为了数控加工程序编制的需要，在导叶片的三维造型上必须保证型面连续光滑，然后通过数控程序来控制其加工精度。
1.2 曲面造型的理论模型曲面造型现在已形成了以有理B样条曲面(Rational B-spline Surface)参数化特征设计和隐式代数曲面(Implicit Algebraic Surface)两类方法，以插值(Interpolation)、拟合(Fitting)、逼近(Approximation)这三种手段为骨架的几何理论体系。
根据整个水轮机组的水力性能要求及实际情况，选择恰当的造型方法。
在进行造型的过程中，采用由点到线再到面的造型方法。
为了保证导叶型面的光顺及造型方法对型面具有很好的适应性，在生成样条曲线时，采用三次非均匀有理B 样条，即NURBS，其方程为：用3次NURBS样条保证了其造型曲面的各条曲线2阶连续可导。
微型计算机实验报告
目录实验一 A/D与D/A转换 (2)实验二数字滤波器 (5)实验三离散化方法研究 (8)实验四数字PID调节器算法的研究 (13)实验五串级控制算法的研究........................ 错误!未定义书签。
实验六解耦控制算法的研究........................ 错误!未定义书签。
实验七最少拍控制算法研究........................ 错误!未定义书签。
实验八具有纯滞后系统的大林控制 .................. 错误!未定义书签。
实验九线性离散系统的全状态反馈控制 .............. 错误!未定义书签。
实验十模糊控制系统.............................. 错误!未定义书签。
实验十一具有单神经元控制器的控制系统 ............ 错误!未定义书签。
实验十二二次型状态调节器........................ 错误!未定义书签。
实验十三单闭环直流调速系统...................... 错误!未定义书签。
实验十四步进电机转速控制系统 .................... 错误!未定义书签。
实验十五单闭环温度恒值控制系统 .................. 错误!未定义书签。
实验十六单容水箱液位定值控制系统 ................ 错误!未定义书签。
实验一A/D与D/A转换一、实验目的1．通过实验了解实验系统的结构与使用方法；2．通过实验了解模拟量通道中模数转换与数模转换的实现方法。
二、实验设备1．THBDC-1型控制理论·计算机控制技术实验平台2．THBXD数据采集卡一块(含37芯通信线、16芯排线和USB电缆线各1根)3．PC机1台(含软件“THBDC-1”)三、实验内容1．输入一定值的电压，测取模数转换的特性，并分析之；2．在上位机输入一十进制代码，完成通道的数模转换实验。
连续传递函数离散化的方法与原理
连续传递函数离散化的方法与原理(总44页)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March目录第一章模拟化设计基础 1 第一节步骤 1 第二节在MATLAB中离散化 3 第三节延时e-Ts环节的处理 5 第四节控制函数分类 6 第二章离散化算法10 摘要10 比较11 第一节冲击响应不变法(imp,无保持器直接z变换法) 11 第二节阶跃响应不变法(zoh,零阶保持器z变换法) 11 第三节斜坡响应不变法(foh,一阶保持器z变换法) 11 第四节后向差分近似法12 第五节前向差分近似法14 第六节双线性近似法(tustin) 15 第七节预畸双线性法(prevarp) 17 第八节零极点匹配法(matched) 18 第三章时域化算法19 第一节直接算法1—双中间变量向后递推19 第二节直接算法2—双中间变量向前递推20 第三节直接算法3—单中间变量向后递推21 第四节直接算法4—单中间变量向前递推(简约快速算法) 21 第五节串联算法22 第六节并联算法23 第四章数字PID控制算法24 第一节微分方程和差分方程25第二节不完全微分25 第三节参数选择26 第四节 c51框架27 第五章保持器33 第一节零阶保持器33 第二节一阶保持器30 附录两种一阶离散化方法的结果的比较31第一章 模拟化设计基础数字控制系统的设计有两条道路，一是模拟化设计，一是直接数字设计。
如果已经有成熟的模拟控制器，可以节省很多时间和部分试验费用，只要将模拟控制器离散化即可投入应用。
如果模拟控制器还不存在，可以利用已有的模拟系统的设计经验，先设计出模拟控制器，再进行离散化。
将模拟控制器离散化，如果用手工进行，计算量比较大。
借助数学软件MATLAB 控制工具箱，可以轻松地完成所需要的全部计算步骤。
如果需要的话，还可以使用MATLAB 的SIMULINK 工具箱，进行模拟仿真。
离散化方法
离散化方法离散化方法是一种将连续数据转化为离散数据的方法，它在数据处理和分析中有着广泛的应用。
离散化方法可以将连续的数据转化为离散的数据，从而使得数据更加易于处理和分析。
在实际应用中，离散化方法可以用于数据挖掘、机器学习、统计分析等领域。
离散化方法的基本思想是将连续的数据按照一定的规则进行分组，将每个分组看作一个离散的数据点。
这样，原本连续的数据就被转化为了离散的数据。
离散化方法的具体实现方式有很多种，常见的方法包括等宽离散化、等频离散化、聚类离散化等。
等宽离散化是将数据按照一定的宽度进行分组，每个分组的宽度相等。
例如，将一组数据按照区间宽度为10进行分组，数据范围在0到100之间，那么就可以将数据分为10个组，每个组的区间为0-10、10-20、20-30……90-100。
等宽离散化的优点是简单易懂，缺点是可能会导致某些分组中数据过于集中，而其他分组中数据过于分散。
等频离散化是将数据按照一定的频率进行分组，每个分组中包含相同数量的数据。
例如，将一组数据按照频率为10进行分组，数据范围在0到100之间，那么就可以将数据分为10个组，每个组中包含10个数据。
等频离散化的优点是可以避免某些分组中数据过于集中的问题，缺点是可能会导致某些分组中数据过于分散，而其他分组中数据过于集中。
聚类离散化是将数据按照一定的聚类算法进行分组，每个分组中包含相似的数据。
例如，可以使用K-means算法将一组数据分为若干个簇，每个簇中包含相似的数据。
聚类离散化的优点是可以更加准确地将数据分组，缺点是算法复杂度较高，需要进行参数调整。
离散化方法是一种将连续数据转化为离散数据的方法，它在数据处理和分析中有着广泛的应用。
离散化方法可以用于数据挖掘、机器学习、统计分析等领域，可以帮助我们更好地理解和分析数据。
分数阶导数精确离散化
分数阶导数精确离散化分数阶微积分是近年来发展起来的一门新兴学科，它在描述复杂系统的动力学行为、分析非线性现象、研究复杂介质等方面具有广泛的应用。
而分数阶导数的离散化是分数阶微积分研究中的一个重要问题，本文将从理论和实践两个方面探讨分数阶导数的精确离散化方法。
一、理论探讨分数阶导数的定义是通过分数阶微积分的方法得到的，而分数阶微积分的核心是分数阶积分。
分数阶积分是一种广义的积分形式，它可以描述非整数阶的积分运算。
在分数阶积分的基础上，可以得到分数阶导数的定义式：$$D^{\alpha}f(x)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\frac{d^n}{dx^n}\int_{a}^{x}\frac{f(t)}{(x-t)^{\alpha+1-n}}dt $$其中，$\alpha$为分数阶导数的阶数，$n$为大于$\alpha$的最小整数，$\Gamma$为伽马函数。
这个定义式可以用来计算分数阶导数，但是它并不适合离散化计算。
因此，需要寻找一种精确的离散化方法。
目前，常用的分数阶导数离散化方法有三种：格点法、基函数法和差分法。
其中，差分法是最常用的方法，它的基本思想是将导数的定义式中的积分离散化为差分形式，然后通过差分计算得到分数阶导数的近似值。
差分法的优点是简单易行，但是它的精度受到离散化误差的影响，因此需要进行一定的修正。
二、实践探讨为了验证分数阶导数离散化方法的精确性，我们进行了一系列的数值实验。
实验中，我们选取了一些常见的分数阶函数，如分数阶正弦函数、分数阶指数函数等，通过差分法和基函数法进行离散化计算，然后与理论值进行比较。
实验结果表明，差分法和基函数法都可以得到较为精确的分数阶导数值。
其中，差分法的精度受到离散化误差的影响，但是通过适当的修正可以得到较为准确的结果。
而基函数法的精度较高，但是计算量较大，需要进行一定的优化。
三、总结分数阶导数的精确离散化是分数阶微积分研究中的一个重要问题，它在实际应用中具有广泛的应用价值。
偏微分方程的离散化方法
偏微分方程的离散化方法偏微分方程是数学中一个重要的研究方向，它描述了在空间中各点的物理量随时间和空间变化的关系。
在实际问题中，我们常常需要求解偏微分方程的数值解。
然而，偏微分方程的解析解往往很难获得，因此我们需要对偏微分方程进行离散化处理，通过数值方法求解。
离散化方法是将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程组的过程。
离散化的基本思想是将自变量和依变量都用有限个点表示，并采用差分近似方式将微分算子离散化。
下面将介绍几种常见的离散化方法。
1. 有限差分方法（Finite Difference Method）有限差分方法是最常用的离散化方法之一、它基于泰勒展开将偏微分方程中的导数项用差分表示，然后在离散点上构建差分方程，最后求解得到数值解。
有限差分方法在空间和时间上都进行离散化，通常采用中心差分或者向前、向后差分的方式来逼近导数项。
2. 有限元方法（Finite Element Method）有限元方法是另一种常用的离散化方法，它将求解区域划分为有限个离散的子区域，称为单元，然后在单元上构建适当的插值函数，将偏微分方程转化为一个代数方程组。
有限元方法在时间上进行离散化，通常采用线性或非线性插值函数来逼近解。
3. 边界元方法（Boundary Element Method）边界元方法是一种特殊的有限元方法，它将偏微分方程转化为边界上的积分方程，从而将偏微分方程转化为一个边界上的代数方程组。
边界元方法只在边界上进行离散化，对内部区域不需要离散化，因此可以减少计算量。
4. 谱方法（Spectral Method）谱方法基于函数在一定函数空间的展开表示，将偏微分方程转化为一个无限维度的代数方程组。
谱方法通过选择合适的基函数，可以获得非常高的数值精度。
常见的基函数包括傅里叶基函数和勒让德基函数等。
除了以上介绍的几种常见离散化方法，还有其他一些方法，如有限体积法、有限差分积分法等。
这些方法各有特点，适用于不同类型的偏微分方程。
偏微分方程的离散化方法研究
三对角矩阵形式
1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 P P 2 P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P 3 4 5 1 2 3 4 5
2、椭圆型方程： 二维不稳定渗流方程
2P 2P P x 2 y 2 t 采用：等距网格差分 （1）显示差分：在点（i，j，n）的差分方程（图示）
t 2 ，截断误差： O ( t x ) x 2
从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值 Pi n ，就可以求得第 n+1 时刻（下步时间）的值 Pi n 1 。因此如初始条件，即 n=0 时各网格的 P 值已给定， 就可以依次求得以后各时间的 P 值。 这种差分格式是显式差分格式。 在显式差分 格式中：只有一个未知数 Pi n 1 ，由一个方程就可以求出。简单，精度较差，时间 步长受到严格限制，基本不用。
2 O ( x ) 忽略二阶截断误差
Pi 1 2 Pi Pi 1 2 P P( x x ) 2 P( x ) P( x x ) 2 P ， (用节点位置) 2 2 2 2 x i x x x
1、
一种常用二阶差商处理方法
k x x u u k k x x x 1 x x x2
3、
一阶中心差商
2 O ( x ) 忽略截断误差
P Pi 1 P P ( x x ) P ( x x ) P ， i 1 x 2 x x i 2x
P Pi 1 / 2 P P ( x x / 2) P ( x x / 2) P ， i 1 / 2 忽略截断误差 O (( x / 2) 2 ) x x x i x
离散事件系统建模与仿真方法的研究与实现
离散事件系统建模与仿真方法的研究与实现离散事件系统建模与仿真方法是一种重要的研究领域，它在许多实际问题中具有广泛的应用价值。
通过对系统进行离散化处理，将其抽象成事件发生的过程，可以更好地理解系统的行为特征和性能指标。
本文将对离散事件系统建模与仿真方法进行深入研究和探讨，旨在为相关领域的研究者提供一定的参考和借鉴。
首先，需要对离散事件系统建模的基本原理和方法进行介绍。
离散事件系统是指由一系列离散事件组成的系统，其中每个事件会在特定的时刻发生，并导致系统状态的变化。
建模过程中，需要明确定义系统中的事件类型、状态变化规则以及事件发生的条件，以便能够准确地描述系统的行为。
常用的建模方法包括Petri网、有限状态机等，它们可以帮助研究者从不同的角度理解系统的运行机制。
其次，对离散事件系统仿真方法的研究也是本文的重点之一。
仿真是指利用计算机模拟系统的运行过程，以验证系统设计的正确性和性能优化程度。
在离散事件系统仿真中，需要考虑事件的发生顺序、间隔时间、并发执行等因素，以便得到系统在不同条件下的行为表现。
常见的仿真工具有Simulink、Arena等，它们可以帮助研究者更直观地观察系统的运行轨迹和规律。
另外，本文还将重点讨论离散事件系统建模与仿真方法在实际问题中的应用。
离散事件系统建模与仿真方法不仅可用于工程领域，还可以应用于生产制造、物流运输、金融风险管理等不同行业和领域。
通过对具体案例的分析和实验研究，可以验证离散事件系统建模与仿真方法的有效性和实用性，为解决实际问题提供理论支持和技术指导。
最后，在文章的结尾部分，将总结本文的研究成果并提出未来的研究方向。
离散事件系统建模与仿真方法的研究仍然存在许多问题和挑战，如如何提高建模精度、仿真效率以及如何更好地应用于复杂系统的分析等方面。
未来研究可以进一步深入研究这些问题，以期为离散事件系统建模与仿真方法的进一步发展提供更多的理论支持和技术创新。
通过对，可以更好地理解和分析系统的行为特征，为系统设计和优化提供一定的参考依据。
计算机控制实验报告-离散化方法研究解析
东南大学自动化学院实验报告课程名称：计算机控制技术第 2 次实验实验名称：实验三离散化方法研究院（系）：自动化学院专业：自动化姓名：学号：实验室：416 实验组别：同组人员：实验时间：2014年4月10日评定成绩：审阅教师：一、实验目的1．学习并掌握数字控制器的设计方法（按模拟系统设计方法与按离散设计方法）；2．熟悉将模拟控制器D(S)离散为数字控制器的原理与方法（按模拟系统设计方法）；3．通过数模混合实验，对D(S)的多种离散化方法作比较研究，并对D(S)离散化前后闭环系统的性能进行比较，以加深对计算机控制系统的理解。
二、实验设备1．THBDC-1型控制理论·计算机控制技术实验平台2．PCI-1711数据采集卡一块3．PC机1台(安装软件“VC++”及“THJK_Server”)三、实验原理由于计算机的发展，计算机及其相应的信号变换装置（A/D和D/A）取代了常规的模拟控制。
在对原有的连续控制系统进行改造时，最方便的办法是将原来的模拟控制器离散化。
在介绍设计方法之前，首先应该分析计算机控制系统的特点。
图3-1为计算机控制系统的原理框图。
图3-1 计算机控制系统原理框图由图3-1可见，从虚线I向左看，数字计算机的作用是一个数字控制器，其输入量和输出量都是离散的数字量，所以，这一系统具有离散系统的特性，分析的工具是z变换。
由虚线II向右看，被控对象的输入和输出都是模拟量，所以该系统是连续变化的模拟系统，可以用拉氏变换进行分析。
通过上面的分析可知，计算机控制系统实际上是一个混合系统，既可以在一定条件下近似地把它看成模拟系统，用连续变化的模拟系统的分析工具进行动态分析和设计，再将设计结果转变成数字计算机的控制算法。
也可以把计算机控制系统经过适当变换，变成纯粹的离散系统，用z变化等工具进行分析设计，直接设计出控制算法。
按模拟系统设计方法进行设计的基本思想是，当采样系统的采样频率足够高时，采样系统的特性接近于连续变化的模拟系统，此时忽略采样开关和保持器，将整个系统看成是连续变化的模拟系统，用s域的方法设计校正装置D(s)，再用s域到z域的离散化方法求得离散传递函数D(z)。
偏微分方程的离散化方法研究
偏微分方程的离散化方法研究偏微分方程是描述自然界中动态行为的重要数学工具。
由于解析解通常很难或无法获得，离散化方法成为解决偏微分方程的重要手段之一、离散化方法的研究既包括离散化算法的设计与分析，也包括离散算法的稳定性和收敛性的研究。
本文将从这几个方面进行阐述，介绍离散化方法在偏微分方程求解中的应用和研究现状。
首先，离散化方法的设计和分析是解决偏微分方程求解中的关键。
离散化方法的目标是将连续型的偏微分方程转化为离散型的方程组。
其中一种常见的方法是有限差分法。
有限差分法将连续函数的导数用差商来近似，从而将偏微分方程转化为差分方程。
此外，还有有限元法、有限体积法等其他离散化方法，不同方法有不同适用范围，可以根据具体问题选择合适的方法。
其次，离散化方法的稳定性也是研究的重点之一、稳定性是指离散化方法对输入误差和算法扰动的敏感程度。
离散化方法的稳定性分析可以通过研究差分方程的解的增长率和振幅来进行。
一种常见的稳定性分析方法是Von Neumann分析，通过对差分方程进行傅里叶变换，得到差分方程的增长因子，从而判断稳定性。
稳定性是离散化方法是否能够产生可靠结果的重要保证。
最后，离散化方法的收敛性也是一个重要研究方向。
收敛性是指离散化方法在网格细化的情况下，逼近连续解的能力。
离散化方法的收敛性分析可以通过证明差分方程的解与连续解之间的误差的收敛程度。
通常通过证明差分格式的截断误差和稳定性之间的关系来研究收敛性。
收敛性分析可以帮助选择合适的离散化方法和网格大小，以保证数值解的精度。
离散化方法的研究在数值计算和科学工程中有着广泛的应用。
例如，在流体力学中，离散化方法可以用于求解Navier-Stokes方程，模拟流体的运动和流动特性。
在材料科学中，离散化方法可以用于求解热传导方程，分析材料的热传导性质。
在量子力学中，离散化方法可以用于求解薛定谔方程，研究原子和分子的波函数。
总而言之，离散化方法在偏微分方程求解中起着重要的作用，具有广泛的应用前景。
简述数据离散化的基本方法
简述数据离散化的基本方法
数据离散化是将连续型数据转化为离散型数据的过程,目的是将数据划分为一组组离散的值,从而使数据更易于处理、分析和理解。
以下是一些常见的数据离散化方法:
1. 取离散值:通过对数据进行离散的抽样,得到离散的值作为最终结果。
例如,对于一道数学题,可以随机选择一些离散的值作为答案,如0到1之间的整数。
2. 离散化分位数:将连续型数据离散化为小数部分,小数部分可以继续进行离散化,如将一个数分成小数部分、百分数部分、小数点位置等。
3. 插值离散化:通过对数据进行插值,得到离散的值作为最终结果。
例如,对于一段连续的股价数据,可以使用线性插值或非线性插值等方法,将数据离散化为一组离散的值。
4. 离散时间点:通过对数据进行离散时间点的采样,得到离散的值作为最终结果。
例如,对于一只动物的寿命数据,可以每隔一段时间进行一次采样,得到离散时间点的寿命值。
5. 离散化区间:通过对数据进行离散的区间采样,得到离散的值作为最终结果。
例如,对于一道数学题,可以根据不同的解法选择不同的区间,离散化求解结果。
这些方法可以根据具体的数据类型和需求进行选择和组合,以实现更有效的数据离散化。
有限元分析离散方法
方法运用的基本步骤：
步骤1：剖分:
将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合．元素（单元）的形状原则上是任意的．二维问题一般采用三角形单元或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等．每个单元的顶点称为节点（或结点）．
步骤2：单元分析:
进行分片插值，即将分割单元中任意点的未知函数用该分割单元中形状函数及离散网格点上的函数值展开，即建立一个线性插值函数
步骤3：求解近似变分方程
用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。结合计算机辅助设计技术，有限元法也被用于计算机辅助制造中。
4.有限分析法：同有限差分法一样，用一系列网格线将区域离散，所不同的是每个节点与相邻8个邻点组成。在计算单元中把控制方程中的非线形项局部线形化，并对该单元上未知函数的变化型线作出假设，把所选定型线表达式中的系数和常数项用单元边界节点上未知的变量值来表示，这样该单元内的被求问题就转化为第一类边界条件下的一个定解问题，可以找出分析解；然后利用这一分析解，得出该单元中点及边界上8个邻点上未知值间的代数方程，此即为单元中点的离散方程。两种离散方法外节点法：节点在子域的四角，先定节点位置而计算相应的界面内节点法：节点在子域中心，子域与控制容积重合。 计算时先定界面后算出节点位置。
离散化方法
1.离散化方法(1). 集中质量法把结构的分布质量按一定的规则集中到结构的某个或某些位置上，成为一系列离散的质点或质量块。
▪ 适用于大部分质量集中在若干离散点上的结构。
▪ 例如：房屋结构一般简化为层间剪切模型。
(2). 广义坐标法假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线可用一系列规定的位移曲线的和来表示：▪ 适用于质量分布比较均匀，形状规则且边界条件易于处理的结构。
▪ 例如：右图简支梁的变形可以用三角函数的线性组合来表示。
假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线为y (x ,t )，可用一系列位移函数的线性组合来表示：则组合系数A k (t )称为体系的广义坐标。
▪广义坐标表示相应位移函数的幅值，是随时间变化的函数。
▪广义坐标确定后，可由给定的位移函数确定结构振动的位移曲线。
▪以广义坐标作为自由度，将无限自由度体系转化为有限个自由度。
▪ 所采用的广义坐标数代表了所考虑的自由度数。
(3). 有限单元法—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
▪ 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；▪ 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作为广义坐标； ▪ 对每个广义坐标取相应的位移函数（插值函数）；▪ 由此提供了一种有效的、标准化的、用一系列离散坐标表示无限自由度的结构体系。
▪ 对分布质量的实际结构，体系的自由度数为单元节点可发生的独立位移未知量的总个数。
▪ 综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点，是最灵活有效的离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法。
▪ 已有不少专用的或通用的程序（如SAP ，ANSYS 等）供结构分析之用。
包括静力、动力和稳定分析。
)(x k φ∑=φ=nk k k x t A t x y 1)()(),(l x n b x n n πsin )(∑∞==1ν2.运动方程的建立定义:在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。
六种离散化方法
六种离散化方法离散化是数据处理中常用的一种技术，它将连续的数值型变量转换为离散的取值，以便于进行数据分析和建模。
在实际应用中，常见的离散化方法有六种，分别是等宽离散化、等频率离散化、聚类离散化、决策树离散化、最优分割点离散化和自定义分段离散化。
下面将详细介绍这六种方法的原理和步骤。
一、等宽离散化等宽离散化是指将数据按照相同的区间长度进行划分，每个区间代表一个取值范围。
该方法适用于数据较为均匀分布的情况下。
步骤：1. 确定划分区间数k，计算出每个区间的长度l=(max-min)/k。
2. 将数据按照大小排序，并将其划分为k个区间。
3. 对于落在某个区间内的数值，都赋予相同的标识符或编码。
二、等频率离散化等频率离散化是指将数据按照出现频率相同的原则进行划分，每个区间包含相同数量的数据。
该方法适用于数据分布不均匀的情况下。
步骤：1. 确定划分区间数k，计算出每个区间包含的数据量n=N/k，其中N 为总数据量。
2. 将数据按照大小排序，并将其分为k个区间，使得每个区间包含n 个数据。
3. 对于落在某个区间内的数值，都赋予相同的标识符或编码。
三、聚类离散化聚类离散化是指将数据按照聚类原则进行划分，每个区间包含相似的数据。
该方法适用于数据分布不规律或者存在异常值的情况下。
步骤：1. 确定划分区间数k，采用聚类算法对数据进行聚类操作。
2. 将每个簇视为一个区间，并对其内部的数据赋予相同的标识符或编码。
四、决策树离散化决策树离散化是指利用决策树算法对连续型变量进行离散化处理。
该方法适用于需要建立分类模型或者回归模型时使用。
步骤：1. 采用决策树算法对连续型变量进行建模，并确定最优划分点。
2. 将最优划分点作为区间边界，将数据划分为若干个区间。
3. 对于落在某个区间内的数值，都赋予相同的标识符或编码。
五、最优分割点离散化最优分割点离散化是指利用某种评价函数对连续型变量进行划分，以使得划分后的子集之间差异最大。
该方法适用于需要建立分类模型或者回归模型时使用。
离散化方法
•双线性变换后环节的稳态增益不变
D(s) s0 D(z) z1 •双线性变换后D(z)的阶次不变， 且分子、分母具有相同的阶次。并有下式成立：
D(e jT ) s 0 2
应用
1) 这种方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好 的特性，工程上应用较为普遍。
2) 这种方法的主要缺点是高频特性失真严重，主要用 于低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。
D(z) U (z) E(z)
T (1 z1) 2
1 z1
2
1 (z 1)
T (z 1)
主要特性
s平面与z平面映射关系
z
1 T 2
1 T 2
s s
1 1
T 2 T 2
j T
2
j T
2
s j
z
2
1 1
1 [(1 z1)2 / T 2 0.8(1 z1) / T 1]
T2z2 1 az bz2
, a 2 0.8T , b 1 0.8T T 2
当T=1s时，a=2.8，b=2.8，
D1 ( z )
1
z2 2.8z
2.8z2
当T=0.1s时，a=2.08，b=1.09，D2
主要特性
s平面与z平面映射关系
z 1 1 1 (1 Ts) 1 Ts 2 2 (1 Ts)
s j
z 1 2 1 (1T )2 (T )2 2 4 (1T )2 (T )2
•当=0 （s平面虚轴），s平面虚轴映射到z平面为该小圆的
圆周。
拉普拉斯方程离散化
拉普拉斯方程离散化
拉普拉斯方程是描述物理系统中的平衡状态的偏微分方程。
在数学和物理学中，离散化是将连续的数学模型转化为离散的形式，以便用计算机进行求解。
在本文中，我们将讨论拉普拉斯方程的离散化方法，以及如何利用离散化技术求解这一方程。
首先，让我们回顾一下拉普拉斯方程的形式：
∇^2φ = 0。
其中∇^2是拉普拉斯算子，φ是待求解的函数。
我们希望找到满足这一方程的φ。
为了离散化这个方程，我们需要将空间离散化为网格，并在网格点上逼近φ的值。
一种常用的方法是使用有限差分法。
在有限差分法中，我们将空间离散化为一个网格，然后在网格点上逼近φ的值。
我们可以使用中心差分来逼近拉普拉斯算子，从而得到离散化的形式：
(φ_i-1,j + φ_i+1,j + φ_i,j-1 + φ_i,j+1
4φ_i,j)/Δx^2 = 0。
其中φ_i,j表示在网格点(i,j)上的φ的值，Δx是网格的间距。
通过这种离散化方法，我们可以将拉普拉斯方程转化为一个关于离散点上φ值的代数方程组。
一旦我们得到了离散化的方程组，我们就可以使用各种数值方法来求解这个方程组，例如迭代法、直接求解法等。
通过求解离散化的方程组，我们可以得到在网格上的φ的近似解，从而得到整个空间中φ的近似解。
总之，拉普拉斯方程的离散化是将连续的方程转化为离散的代数方程组，从而可以利用计算机进行求解。
通过离散化技术，我们可以更好地理解和求解拉普拉斯方程，同时也可以应用到各种物理和工程问题的数值求解中。
数据离散化常用的方法
数据离散化常用的方法一、等宽离散化。
1.1 基本概念。
等宽离散化是一种比较简单直接的数据离散化方法。
就好比把一条长长的马路按照固定的长度划分成一段一段的。
比如说，我们有一组数据是0到100之间的数值，我们想把它离散成5个区间，那每个区间的宽度就是(100 0) / 5 = 20。
这样就把数据分成了0 20，21 40，41 60，61 80，81 100这几个区间。
这种方法简单粗暴，就像程咬金的三板斧，一下就把数据给划分了。
但是它也有缺点，有时候数据分布不均匀，可能会导致某个区间里的数据特别多，某个区间里的数据又特别少，就像有的地方人挤人，有的地方却门可罗雀。
1.2 适用场景。
这种方法比较适用于数据分布相对均匀的情况。
要是数据像排得整整齐齐的士兵一样，那等宽离散化就挺好用的。
例如，在统计某个地区居民的年龄分布，而且这个地区人口年龄分布比较均匀的时候，等宽离散化就能快速地给年龄数据进行分类。
二、等频离散化。
2.1 基本概念。
等频离散化呢，它的思路和等宽离散化不太一样。
它是要让每个区间里的数据个数都差不多，就像分蛋糕，要保证每个人分到的蛋糕大小不一样，但是重量是差不多的。
比如说有100个数据，要离散成5个区间，那每个区间就大概有20个数据。
它会根据数据的排序，然后按照数量来划分区间。
这就好比是量体裁衣，根据数据的实际情况来确定区间。
不过这个方法计算起来可能会稍微复杂一点，不像等宽离散化那么直来直去。
2.2 适用场景。
等频离散化在数据分布不均匀的时候就大显身手了。
如果数据像高矮不齐的树木一样，分布得乱七八糟，等频离散化就能把数据分得比较合理。
比如分析一个公司员工的工资数据，工资可能从很低到很高有很大的跨度，而且不同工资水平的人数差异很大，这时候等频离散化就能很好地把工资数据划分成不同的类别。
2.3 缺点。
但是等频离散化也不是完美无缺的。
有时候它可能会把相邻的数值分到不同的区间，就像硬生生把关系好的兄弟给拆开了。
第六章离散化方法
第六章离散化方法离散化方法是指将连续的数据或变量进行离散化处理，即将数据分成几个离散的区间或类别。
离散化方法在数据分析和建模领域中被广泛应用，可以帮助我们更好地理解和处理数据，并为后续的分析和建模提供便利。
离散化方法的应用场景多种多样，比如处理连续变量的数据、构建分类模型、数据可视化等。
在实际应用中，我们常常需要对连续的数据进行离散化处理，以便更好地进行数据分析或建模。
下面介绍几种常见的离散化方法。
1.等宽离散化（Equal Width Binning）等宽离散化是将连续的数据均匀划分成若干个等宽的区间。
该方法适用于数据分布比较均匀的情况下，可以简化分析和建模过程。
具体操作步骤如下：（1）确定区间个数n；（2）计算数据的最大值和最小值，得到数据的范围；（3）计算每个区间的宽度，宽度=（最大值-最小值）/n；（4）根据宽度划分区间，每个区间的上界为前一个区间的下界，下界为上界+宽度。
2.等频离散化（Equal Frequency Binning）等频离散化是将数据等分成若干个区间，每个区间包含大致相同数量的数据。
该方法适用于数据分布不均匀的情况下，可以保留更多的信息。
具体操作步骤如下：（1）确定区间个数n；（2）将数据按照从小到大的顺序排列；（3）根据总数量n和数据的数量m计算每个区间的数量，数量=m/n；（4）根据数量划分区间，每个区间的上界为每个数量的位置的值，下界为前一个区间上界。
3. 基于聚类的离散化（Clustering Binning）基于聚类的离散化是通过聚类算法将数据划分成若干个簇，每个簇对应一个离散的类别。
该方法适用于数据分布复杂或不规则的情况下，可以更好地捕捉数据的特征。
具体操作步骤如下：（1）选择适当的聚类算法，比如K-means、DBSCAN等；（2）根据数据的分布情况选择合适的聚类数目；（3）将数据输入聚类算法，得到每个数据的所属簇；（4）根据聚类结果划分离散的类别。
以上是几种常见的离散化方法，各有优劣，应根据实际情况选择合适的方法。
后向差分法离散化
后向差分法离散化介绍后向差分法是一种常用的离散化方法，常用于数值微分和差分方程的数值求解。
本文将介绍后向差分法的基本原理、步骤以及应用领域，并对其中涉及的数学概念进行解释。
基本原理后向差分法是一种数值近似方法，用于求解微分方程中的导数项。
它的基本思想是通过引入离散化的网格点，将连续的导数转化为离散的差分，从而得到数值解。
后向差分法的优点是稳定性高、精度可调节，并且适用于各种类型的微分方程。
步骤后向差分法的步骤如下：1.确定离散化的网格点。
这些网格点通常在区域内均匀分布，并且包括边界点。
2.通过将微分方程中的导数项近似为离散的差分，得到差分方程。
3.将差分方程转化为线性方程组，然后通过求解线性方程组得到数值解。
4.根据需要，可以对数值解进行后处理，如插值或平滑等。
数学概念解释离散化离散化是指将连续的函数或方程转化为一组离散的数值。
在后向差分法中，通过将空间区域和时间区域分割为网格点来进行离散化。
离散化的目的是将连续的问题转化为离散的问题，从而可以通过计算机进行求解。
差分差分是指在离散化中使用的差值。
在后向差分法中，导数项被近似为网格点上的函数值之间的差分。
常用的差分近似方法有前向差分、后向差分和中心差分，其中后向差分是本文的主要讨论内容。
差分方程差分方程是指通过差分近似得到的离散方程。
在后向差分法中，通过将微分方程中的导数项近似为差分表达式，得到差分方程。
差分方程可以通过代数运算和求解线性方程组来得到数值解。
应用领域后向差分法在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1.热传导问题：后向差分法可以用于求解热传导方程，从而研究材料的温度分布和传热性能。
2.流体力学问题：后向差分法可以用于求解不可压缩流体的速度场和压力场，从而研究流体的流动行为。
3.电磁学问题：后向差分法可以用于求解电场和磁场，从而研究电磁场的分布和特性。
4.金融工程：后向差分法可以用于求解期权定价模型，从而进行金融衍生品的定价和风险管理。
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东南大学自动化学院实验报告课程名称：计算机控制技术第二次实验实验名称：离散化方法的研究院（系）：自动化专业：自动化姓名：学号：实验室：实验组别：同组人员：实验时间：2012 年3月26日评定成绩：审阅教师：一、实验目的1．学习并掌握数字控制器的设计方法（按模拟系统设计方法与按离散设计方法）；2．熟悉将模拟控制器D(S)离散为数字控制器的原理与方法（按模拟系统设计方法）；3．通过数模混合实验，对D(S)的多种离散化方法作比较研究，并对D(S)离散化前后闭环系统的性能进行比较，以加深对计算机控制系统的理解。
二、实验设备1．THBDC-1型控制理论·计算机控制技术实验平台2．PCI-1711数据采集卡一块3．PC机1台(安装软件“VC++”及“THJK_Server”)三、实验原理由于计算机的发展，计算机及其相应的信号变换装置（A/D和D/A）取代了常规的模拟控制。
在对原有的连续控制系统进行改造时，最方便的办法是将原来的模拟控制器离散化。
在介绍设计方法之前，首先应该分析计算机控制系统的特点。
图3-1为计算机控制系统的原理框图。
图3-1 计算机控制系统原理框图由图3-1可见，从虚线I向左看，数字计算机的作用是一个数字控制器，其输入量和输出量都是离散的数字量，所以，这一系统具有离散系统的特性，分析的工具是z变换。
由虚线II向右看，被控对象的输入和输出都是模拟量，所以该系统是连续变化的模拟系统，可以用拉氏变换进行分析。
通过上面的分析可知，计算机控制系统实际上是一个混合系统，既可以在一定条件下近似地把它看成模拟系统，用连续变化的模拟系统的分析工具进行动态分析和设计，再将设计结果转变成数字计算机的控制算法。
也可以把计算机控制系统经过适当变换，变成纯粹的离散系统，用z变化等工具进行分析设计，直接设计出控制算法。
按模拟系统设计方法进行设计的基本思想是，当采样系统的采样频率足够高时，采样系统的特性接近于连续变化的模拟系统，此时忽略采样开关和保持器，将整个系统看成是连续变化的模拟系统，用s域的方法设计校正装置D(s)，再用s域到z域的离散化方法求得离散传递函数D(z)。
为了校验计算结果是否满足系统要求，求得D(z)后可把整个系统闭合而成离散的闭环系统。
用z域分析法对系统的动态特性进行最终的检验，离散后的D(z)对D(s)的逼真度既取决于采样频率，也取决于所用的离散化方法。
离散化方法虽然有许多，但各种离散化方法有一共同的特点：采样速率低，D(z)的精度和逼真度越低，系统的动态特性与预定的要求相差就越大。
由于在离散化的过程中动态特性总要变坏，人们将先设计D(s)再进行离散化的方法称为“近似方法”。
按离散设计方法设计的基本思想是，直接在z 域中用z 域频率响应法、z 域根轨迹法等方法直接设计数字控制器D(z)。
由于离散设计方法直接在z 域设计，不存在离散化的问题，所以只要设计时系统是稳定的，即使采样频率再低，闭环系统仍然是稳定的。
这种设计方法被称为“精确方法”。
本次实验使用按模拟系统设计方法进行设计。
下面以一个具体的二阶系统来说明D(S)控制器的离散化方法。
1、二阶系统的原理框图如图3-2所示。
图3-2 二阶对象控制系统方框图图3-3 二阶对象的模拟电路图2、系统性能指标要求 系统的速度误差系数2≥vK ，超调量%10%≤δ，系统的调整时间1≤s t s令校正后的开环传递函数为)2()(2n nS S S G ξωω+=根据公式%100%eδ=⨯，为满足%10%≤δ，取ζ=可以满足要求。
根据公式3s nt ζω≈，取5∆=，为满足1≤s t s ，取n ω=。
则校正后的开环传递函数为3()(0.1671)G s s s =+，已知二阶对象传递函数为05()(0.51)G s s s =+，可用零极点抵消的方法来设计校正网络D(s)，所以校正网络ss S D 167.015.016.0)(++⨯=。
此时03lim ()lim 32(0.1671)v s s K s G s ss s →→=⋅==>+，满足速度误差系数2≥v K 的条件。
利用Simulink 对校正前后系统进行仿真，并记录阶跃响应曲线。
3、)(S D 的离散化算法图3-4 数—模混合控制的方框图图3-4中)(S D 的离散化可通过数据采集卡的采样开关来实现。
下面介绍几种按模拟系统设计的几种设计方法。
1）后向矩形规则法后向矩形规则S 与Z 之间关系为Tz S 11--=，代入D(S)表达式中得1111167.0167.015.05.0167.06.01167.0115.016.0)(----+--+⨯+=-+-+⨯=ZT Z T T TZ T ZZ D于是得)1(167.03.0)(167.05.06.0)1(167.0167.0)(-+-++⨯+-+=k e T k e T T k U T k U2）双线性变换法此时的转换关系为111121122121--+-⨯=+-⨯=⇒-+≈zz TS Z Z TS sT s T Z 或，代入D(s)得)1(334.0)1()1()1(6.011T 20.167111T 20.516.0D(Z)11111111---------++++-⨯=+-⨯⨯++-⨯⨯+=ZZT TZZ ZZZ Z1111334.0334.01)1()1(334.06.0)334.0()334.0()1()1(6.0)(----+----+⨯+=--+--+⨯=ZTT Z T T TZT T ZT T Z D即)1(334.016.0)(334.016.0)1(334.0334.0)(-+-⨯-++⨯+-+-=k e TT k e TT k U TT k U3）冲激不变转换法 如果用零阶保持器，则1()[()]sTeD z D s s--=Z1()()(1)[]D s D z z s-=-Z根据前面已知10.5()0.610.167s D s s+=⨯+则110.5()0.6(1)[](10.167)s D z z s s -+=⨯-Z +11 1.94()0.6(1)[]5.88D z z ss -=⨯-Z ++5.8815.8812.94(1.94)()0.61T TezD z ez-----+=⨯-即1)]-)e(k (1.94-2.94e(k)[6.01)-U(k U(k)88.588.5T T e e --+⨯+=4）零极点匹配法已知10.5()0.610.167s D s s+=⨯+极点16S =-，零点22S =-，对应到Z 域，极点61T Z e -=，零点22TZ e -=，由于零点数等于极点数，故可省略匹配零点与极点相等这一步骤。
则在离散域传递函数变为26()()TTK z e D z z e---=-由10()|()|z s D z D s ===得2610.61T Te K e---⨯=-，求得6210.61T Te K e---=⨯-，则6262126261111()0.60.6111T T T T TTTTe z e e e z D z ez eeez--------------⋅=⨯⨯=⨯⨯----⋅即66221()(1)0.6[()(1)]1T TTTe U k e U k e k ee k e-----=-+⨯⨯-⋅--四、实验步骤1、仔细阅读“PCI-1711数据采集卡驱动函数说明.doc ”和“THJK-Server 软件使用说明.doc ”文档，掌握PCI-1711数据采集卡的数据输入输出方法和THJK-Server 软件（及相关函数）的使用方法。
2、模拟电路接线图如图3-5所示：图3-5 模拟电路接线图下面解释硬件电平匹配电路存在的原因，由于PCI-1711卡的DA 输出只能为0~10V 的正电压，而实验中则需要输出-10~10V 的电压，故先将-10~10V 的输出电压o U 进行软件电压匹配，将其转换为0~10V 的正电压由DA1通道输出，转换关系为11(10)2D A o U U =+，如表3-1所示：表3-1 o U （范围为-10V~10V ）与1D A U （范围为0~10V ）的对应关系这样就把-10~10V 电压转换为0~10V 电压通过DA1通道输出了，然后再将此电压通过图3-5中的硬件电平匹配电路，还原为-10~10V 的电压，不难看出，此硬件电平匹配电路的转换关系为112(5)DA DA U U '=-，1DA U '为1D A U 在通过硬件匹配电路后的输出电压。
此电平匹配方法实际作用是克服了PCI-1711卡只能输出0~10V 单极性电压的不足。
3、用导线将系统的输入端连接到PCI-1711数据采集卡的“DA1”输出端，系统的输出端与数据采集卡的“AD1”输入端相连；4、用导线将阶跃信号发生器输出端连接到PCI-1711数据采集卡的“AD2”输入端，作为阶跃触发使用，阶跃幅度由软件设定。
初始时，+5V 电源开关处于“关”状态；5、根据给定的性能指标要求，根据不同的方法设计离散化数字控制器（此步可在预习过程中做完）。
6、打开离散化实验文件夹下．dsw 工程文件，源程序中缺少数字控制器算法程序。
请同学用设计好的数字控制器算法编写程序。
7、源程序编译通过后，先启动“THJK_Server ”图形显示软件，再执行程序代码，在显示界面出现的曲线并稳定后（初始化后），把+5V 电源打到“开”状态，观测并记录系统的阶跃响应曲线。
在实验结束后，在键盘上先按下“e”，再按下“Enter（回车键）”键，程序退出。
8、采用不同的离散化方法，重复步骤6、7，比较采用各种离散化方法后的阶跃响应曲线。
9、利用Simulink对校正前后的系统进行仿真，并记录阶跃响应曲线，将校正前后曲线进行比较，并把校正后曲线与前面步骤7、8中采用数字控制器的实验曲线相比较；五、实验结果1、编写按各种离散化方法设计的数字控制器的C++程序。
答：// /*********控制器的编程eix=ei;ei=sv-fV oltage;//后项矩形规则//output=0.167/(Ts+0.167)*output+0.6*(Ts+0.5)/(Ts+0.167)*ei-0.3/(Ts+0.167)*eix;//双线性变换output=(0.334-Ts)*output/(0.334+Ts)+0.6*(1+Ts)*ei/(0.334+Ts)-0.6*(1-Ts)*eix/(0.334+Ts);//冲激响应不变法//output=exp(-5.88*Ts)*output+0.6*(2.94*ei-(1.94+exp(-5.88*Ts))*eix);// 控制器的编程*********/2、绘出二阶被控对象在采用不同离散化方法设计的数字控制器后的响应曲线，将它们相比较分析，并分析采样周期Ts的减小或增大对系统阶跃响应的影响。