《应用离散数学》函数
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§3.5 函数
习题3.5
1. 设函数N N →：f 如下：
⎪⎩⎪⎨⎧=为偶数若为奇数
若x x
x x f 21)(
求)0(f ，})0({f ，)3(f ，})3({f ，})6420({Λ，
，，，f ，})97531({，，，，f ，})864({，，f 。
解 略
2. 设函数Y X f →：，X B X A ⊆⊆，，证明 （1）)()()(B f A f B A f Y Y =
（2）)()()(B f A f B A f I I ⊆
解 略
3. 设可逆函数Y X f →：，Y B Y A ⊆⊆，，证明 （1）)()()(1
1
1
B f
A f
B A f ---=Y Y （2）)()()(1
1
1
B f
A f
B A f
---⊆I I
解（1）因为
)(1
B A f
y Y -∈))((y x f B A x x =∧∈∃⇔Y
)))(())(((y x f B x y x f A x x =∧∈∨=∧∈∃⇔ ))(())((y x f B x x y x f A x x =∧∈∃∨=∧∈∃⇔
)()(1
1
B f
y A f
y --∈∨∈⇔)()(1
1
B f
A f
y --∈⇔Y
所以)()()(1
1
1
B f
A f
B A f
---=Y Y
（2）因为
)(1
B A f
y I -∈))((y x f B A x x =∧∈∃⇔I
)))(())(((y x f B x y x f A x x =∧∈∧=∧∈∃⇔ ))(())((y x f B x x y x f A x x =∧∈∃∧=∧∈∃⇒
)()(1
1
B f
y A f
y --∈∧∈⇔)()(1
1
B f
A f
y --∈⇔I
所以)()()(1
1
1
B f
A f
B A f
---=Y Y
4. 给定函数f 和集合B A 、如下：
（1）}4{}8{)(===→B A x x f f ，，，：R R
（2）
}21{}1{2)(，，，，：===→+B A x f f x
R R （3）}32{}5{1)(><==>+=<⨯→，
，，，，：B A x x x f f N N N （4）}31{}32{1
2)(，，，，，：==+=→B A x x f f N N （5）}1{}21
{||)(=-==→B A x x f f ，，，，：N Z （6）
]21
41[)10(412)(]10[，，，，，，，：==+=
=→B A x x f S S S f
（7）
}21{}210{11)()0[==+=
∞+=→B A x x f S S f ，，，，，，：R （8）}
32{1
)()10(，，，，，，：====→+B S A x x f S S f R
对以上每一组函数f 和集合B A 、，分别回答以下问题：
（a ）求A 在f 下的像)(A f 和B 在f 下的原像)(1
B f -。
（b ）f 是不是满射、单射和双射？ （c ）如果f 是双射，求f 的逆函数。
解 （1）、（2）、（3）、（5）、（6）、（7）略 （4）}7,5{)(=A f ，}1,0{)(1
=-B f
，f 不是满射，是单射。
（8）),1()(+∞=A f ，
}
31
,21{)(1=-B f ，f 不是满射，是单射。
5. 设X 和Y 分别是m 元集和n 元集，试就三种情况：n m n m n m <=>，，求解下列问题：
（1）从X 到Y 的单射函数有多少个？ （2）从X 到Y 的双射函数有多少个？
解 （1）n m >：不存在，
n m =：!123)2()1(m m m m =⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅Λ个 ，
n m <：!!
)1()2()1(m n m n n n n =
+-⋅⋅-⋅-⋅Λ个。 （2）n m >：不存在，
n m = ：!123)2()1(m m m m =⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅Λ个 ， n m < ：不存在。
6. 设N
N ∈h g f ，，，即h g f ，，是从N 到N 的函数，且有
1)(+=n n f ， n n g 2)(=， ⎩⎨
⎧=为奇数为偶数
n n n h 10)(
求f f ο，f g ο，g f ο， g h ο，h g ο，f g h οο。
解 略
7. 设>-+=<
><⨯→⨯22)(y
x y x y x f f ，，，：R R R R ，证明f 是双射并求出其逆
函数。
证明：
R R ⨯>∈<∀v u ,，令
2v u x +=
，2v u y -=，则>=<> 所以f 是满射。 若>-+>=<-+< 2,222v u v u y x y x ，，则22v u y x +=+， 22v u y x -=-，从而 v y u x ==,，即>>=<