数学建模-微积分模型
数学学科教学微积分与数学建模
数学学科教学微积分与数学建模微积分和数学建模是数学学科中的两个重要部分，它们在数学教学中起到了关键的作用。
微积分是研究变化以及极限的数学分支，而数学建模是利用数学方法解决实际问题的过程。
本文将探讨微积分和数学建模在数学学科教学中的应用和意义。
一、微积分在数学学科教学中的应用微积分是数学学科中的重要内容，它包括微分和积分两个部分，通过对函数的研究，能够帮助学生理解数学中的变化和极限概念。
在数学学科教学中，微积分可以应用于以下几个方面。
1.1 函数的导数与变化率函数的导数是微积分的重要概念之一，它表示了函数在某一点的变化率。
通过学习函数的导数，学生可以更好地理解函数的图像和性质，进一步探究函数的最值和变化趋势。
在教学中，可以通过练习和实例，引导学生发现函数的导数与函数图像之间的关系，培养他们的观察力和分析思维。
1.2 积分与面积问题积分是微积分的另一个重要概念，它可以用来求解曲线下面积和曲线长度等问题。
在数学学科教学中，可以通过具体的实例，如计算曲线下方的面积或曲线的弧长，让学生领会积分的几何意义和实际应用，培养他们的数学建模能力。
1.3 微分方程与实际问题微分方程是微积分的一个重要分支，它在解决实际问题中发挥着重要作用。
在数学学科教学中，可以通过引入实际问题，如物理、经济、生物等领域中的问题，让学生学习和掌握微分方程的建模和求解方法，提高他们的应用能力和创新思维。
二、数学建模在数学学科教学中的应用数学建模是指利用数学方法解决实际问题的过程，它将数学与实际问题相结合，培养学生的综合思维能力和解决问题的能力。
在数学学科教学中，数学建模可以应用于以下几个方面。
2.1 实际问题的抽象与模型建立数学建模在解决实际问题中的第一步是将实际问题抽象成数学模型。
在数学学科教学中，可以通过引入实际问题，让学生学习和掌握问题抽象的方法和建立模型的技巧，培养他们的问题分析和数学建模能力。
2.2 模型求解与结果分析数学建模的第二步是对建立的数学模型进行求解，并分析结果的合理性和可行性。
数学建模-微积分模型
需要对烧毁森林的损失费、救火费及火势蔓延程度的形式做出假设。
(1)损失费与森林烧毁面
积 成正比，比例系数为 ， 即烧毁单位面积森林的损失费，取决于森林的疏密程度和珍贵程度。
对于 ，火势蔓延程度 与时间t成正比，比例系数 称为火势蔓延速度。（注：对这个假设我们作一些说明，火势以着火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，所以蔓延的半径与时间成正比，因为烧毁森林的面积与过火区域的半径平方成正比，从而火势蔓延速度与时间成正比）。
从起跳到落地的时间为 ，人在雨中奔跑的总距离为 ，不妨假设 为 的整倍数。由物理学的抛体运动定律可得 。
模型建立
计算人在每个方向上的淋雨量：
对于垂直方向上，每一个小段的淋雨量为 。利用相对坐标系得到
时的垂直方向的速度为 ，这期间扫过的雨水体积
据此计算得到在垂直方向总的淋雨量为
（4.13）
从（4.13）式中可以看出， 关于水平方向的速度是单调减少的，但与垂直方向速度 无关。
(2)效用函数为
根据（4.10）式可以求得最优比例为
结果表明均衡状态下购买两种商品所用的资金的比例与价格无关，只与消费者对这两种商品的偏爱程度有关。
(3)效用函数为
根据（4.10）式可以求得最优比例为
。
结果表明均衡状态下购买两种商品所用的资金的比例，与商品价格比成反比，与消费者对这两种商品偏爱程度之比的平方成正比。
实际应用这个模型时， 都是已知常数， 由森林类型、消防人员素质等因素确定。
4.4消费者的选择
本节利用无差别曲线的概念讨论消费者的选择问题。如果一个消费者用一定数量的资金去购买两种商品，他应该怎样分配资金才会最满意呢？
记购买甲乙两种商品的数量分别为 ，当消费者占有它们时的满意程度，或者说给消费者带来的效用是 的函数，记作 ，经济学中称之为效用函数。 的图形就是无差别曲线族，如图4.4所示。类似于第二章中无差别曲线的作法，可以作出效用函数族，它们是一族单调下降、下凸、不相交的曲线。在每一条曲线上，对于不同的点，效用函数值不变，即满意程度不变。而随着曲线向右上方移动， 的值增加。曲线下凸的具体形状则反映了消费者对甲乙两种商品的偏爱情况。这里假设消费者的效用函数 ，即无差别曲线族已经完全确定了。
微积分方法建模1飞机的降落曲线--数学建模案例分析
第二章 微积分方法建模现实对象涉及的变量多是连续的，所以建立连续模型是很自然的，而连续模型一般可以用微积分为工具求解，得到的解析解便于进行理论分析，于是有些离散对象，如人口的演变过程，也可以构造连续模型。
当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立对象的动态模型。
建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其它对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析或预测了。
§1 飞机的降落曲线根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条三次抛物线（如图）。
在整个降落过程中，飞机的水平速度保持为常数u ，出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过10/g （这里g 是重力加速度）。
已知飞机飞行高度h （飞临机场上空时），要在跑道上O 点着陆，应找出开始下降点0x 所能允许的最小值。
一、 确定飞机降落曲线的方程设飞机的降落曲线为d cx bx ax y +++=23由题设有 h x y y ==)(,0)0(0。
由于曲线是光滑的，所以y(x)还要满足0)(,0)0(0='='x y y 。
将上述的四个条件代入y 的 表达式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++='=+++==='==023)()(0)0(0)0(020*******c bx ax x y hd cx bx ax x y c y d y 得 ,0,0,3,22030===-=d c x h b x ha飞机的降落曲线为 )32(23020x x x x h y --= 二、 找出最佳着陆点飞机的垂直速度是y 关于时间t 的导数，故dt dx x x x x h dt dy )66(2020--= 其中dtdx 是飞机的水平速度，,u dt dx = 因此 )(60220x x x x hu dt dy --= 垂直加速度为)12(6)12(6020202022--=--=x x x hu dt dx x x x hu dt y d 记 ,)(22dt y d x a =则126)(0202-=x x x hu x a ，[]0,0x x ∈ 因此，垂直加速度的最大绝对值为 2026)(max x hu x a = []0,0x x ∈设计要求 106202g x hu ≤，所以gh u x 600⋅≥ （允许的最小值） 例如：小时/540km u =，m h 1000=，则0x 应满足：)(117378.9100060360010005400m x =⨯⨯≥ 即飞机所需的降落距离不得小于11737米。
微积分与数学建模
建模实例
（三）模型的建立
在数理统计中，将A类或B类这样的群体称为统计总体， 把描述总体的每一个体特征的所有变量均视为随机变量。
如果不同总体中诸变量所遵循的分布有明显的差异时，则
可将此差异作为分类依据，这就是多元统计分析处理问题 的一般想法。区分一个DNA序列属于A类还是B类的问题属
于两总体间的判别问题，这里我们利用微积分中的向量代
1*1=1 11*11=121 111*111=12321 1111*1111=1234321 11111*11111=123454321 111111*111111=12345654321
前 言
• • • • • 1*8+1=9 12*8+2=98 123*8+3=987 1234*8+4=9876 12345*8+5=98765
分析建模
建模实例
节水洗衣机模型
（一）问题的提出
我国淡水资源有限，节约用水颇为重要。洗衣机在我国Biblioteka 相当普及，为节约洗衣机用水，要求设
计一洗衣机程序，在满足一定洗涤效果的前提下，
使得总用水量最少。 已知洗涤过程为：首先加入衣物和洗涤剂，然 后重复加水——漂洗——脱水过程。
建模实例
（二）模型假设
（1）洗涤剂一次加满，漂洗过程中不再添加；
的驻点。 又若 f " ( x0 ) 存在，且 f ' ( x) 0, f "' ( x) 0 ，则有下列结论：
若 f ( x0 ) 0 ，则 f ( x0 ) 为极大值。 若 f ( x0 ) 0 ，则 f ( x0 )为极小值。
内容回顾
但在实际问题中，上述简单的极值问题很少能出现，而是 有某些条件的限制，这就需要利用求条件极值的方法--Lagrange算法来解决。
数学建模思想融入微积分
目录
数学建模概述 微积分基础知识 数学建模在微积分中的应用 案例分析 数学建模思想在微积分教学中的实践与思考
01
数学建模概述
数学建模的定义
数学建模：运用数学语言、符号、公式和理论对现实问题进行抽象和简化，以解决实际问题的方法和过程。
数学建模是一种跨学科的综合性技术，涉及数学、计算机科学、工程学等多个领域。
详细描述
无穷小和极限在建模中有着广泛的应用。例如，在物理学中，瞬时速度可以看作是平均速度的极限，而瞬时加速度则可以看作是平均加速度的无穷小变化量。在经济学中，无穷小和极限的概念也常用于描述经济变量的变化趋势和规律。
总结词
无穷小与极限在建模中的应用案例
05
数学建模思想在微积分教学中的实践与思考
强调概念背景
对实际问题进行深入分析，明确问题的背景、条件和目标。
问题分析
根据问题分析的结果，选择适当的数学方法和工具，建立数学模型。
建立模型
运用数学方法和计算机技术，求解建立的数学模型。
求解模型
对求解结果进行评估，并根据实际情况对模型进行优化和改进。
模型评估与优化
数学建模的基本步骤
02
微积分基础知识
03
导数与微分的应用
定积分与不定积分
定积分是积分的一种特殊形式，用于计算具体几何量或物理量；不定积分则用于求函数的原函数或反导数。
积分的应用
积分在解决实际问题中有着广泛的应用，如计算旋转体的体积、曲线的长度等。
积分
级数概念
级数是无穷多个数的和，可以用来表示连续变化的过程或现象。
无穷小的概念
无穷小是数学中的一个重要概念，用于描述函数在某点附近的变化趋势。
数学建模(微积分)一
数学建模讲座
(1) 机理分析法
常用的建模方法有机理分析法、测试分析法等。 机理分析法是立足于事物内在规律的一种常见建 模方法，主要是依对现实对象的特性有较为清楚 的了解与认识，通过分析其因果关系，找出反映 其内部机理的规律性而建立其模型的一种方法.
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数学建模讲座
四、模型建立
我们以1天为时间单位，那么每天基础代谢的能量消 耗为B=24b（焦耳/日）。由于人的活动不可能是全天 进行的，所以假设每天人体活动h小时，则一天消耗的 能量应为R=rh（焦耳/日） ； 按照假设3，我们可以在任何一个时间段内考虑由 于能量的摄入与消耗引起人的体重的变化。 按照能量平衡原理，任何时间段内由于体重的改变 所引起的人体内能量变化应等于这段时间内摄入的能 量与消耗的能量之差。
从以上两个方面来看，咳嗽时气管收缩（在一定范围内） 有助于咳嗽，它促进气管内空气的流动，从而使气管中 的脏物能尽快地被清除掉
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数学建模讲座
减肥模型
一、问题的提出 随着社会的进步和发展，人们的生活水平在不断 提高，由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥 胖”已经成为社会关注的一个重要问题，无论从健康 的角度还是从审美的角度，人们越来越重视自己的形 体的健美。从面就导致目前社会上出现了各种各样的 减肥食品（或营养素）和名目繁多的健美中心。 如何对待减肥的问题，我们也可以通过组建模型， 从数学的角度对有关规律作进一步的探讨和分析
实例十一、群体遗传模型
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数学建模讲座
一、数学建模的总体介绍
1．数学建模中常用的书籍
2．数学建模基本过程
高等数学模型—微积分模型(数学建模课件)
2、假设易拉罐是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？其结果是
否可以合理地说明你们所测量地易拉罐地形状和尺寸。
二、数据测量
罐直径、罐高、罐壁厚、顶盖厚、圆台高、
顶盖直径、圆柱体高、罐底厚、罐内体积等。
该如何测量？
二、数据测量
1、直接测量
①用软皮尺环绕易拉罐相关部位一圈
（罐桶直径、罐
测得周长。
高、圆台高、顶
速度、出手角度和出手高度)
作定性和定量研究并得到明
确结论。
森林救火问题
微积分模型
知识点
一、问题的提出
二、模型分析与假设
三、模型建立与求解
四、模型应用
一、问题的提出
一、问题的提出
森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火。队
员多，火被扑灭的快，森林损失小，但救援费用大；队员少，救援费用小，
118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0];
y1=[44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 43 37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 68];
y2=[44 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 118 121 124 121 121 121 122 116 83 81 82 86
四、模型建立与求解
一、问题的提出
运动员单手托住铅球，在投掷圆内将铅球掷出并使铅
球落入有效区内，以铅球投掷的远度评定运动员的成绩。
问题：
建模分析如何使铅球投掷的最远？
二、问题分析
• 铅球投掷中，影响投掷距离的因素有哪些？
微积分的数学模型解析
微积分的数学模型解析微积分，是数学的一个分支，它是构建现代科学的基础之一。
微积分是研究自然界各种现象的基础，几乎所有科学的研究都需要用到微积分的方法。
微积分的核心是求解导数和积分，通过导数和积分的作用，可以建立不同的数学模型，此时微积分就将不同的问题转化为数学问题，使问题的求解变得简单明了。
微积分的数学模型解析，虽然是微积分的一个难点，但是却是非常重要的。
在现实生活中，经常会遇到各种需要建立数学模型的问题，如经济、发展、生物、环境等，这些问题都需要微积分的数学模型进行分析和解决。
下面，就来详细探讨微积分的数学模型解析。
一、导数的数学模型解析导数是微积分中的一个重要概念，具有解决许多问题的力量。
导数包含了物理学、工程学、生物学、经济学等众多学科中的各种数学模型。
导数可以体现一个量随着另一个量的改变所带来的变化率。
导数的推导过程中涉及到极限，而极限则是微积分的核心概念之一。
在数学模型解析过程中，常常需要建立函数的导数模型。
假设函数f(x)表示某一变量随着另一变量的变化而发生变化的规律，那么f(x)的导数f'(x)就是一个新的变量随着原变量x的改变而发生变化的规律。
这里需要注意的是，导数f'(x)并不是函数的直接表示，而是函数变化的速度，也就是函数斜率的大小。
导数的数学模型解析，有助于解决许多现实生活中的问题。
例如，对于销售某种商品的商家，可以通过建立该商品的销售量与时间的导数模型，来分析该商品在不同时间下销售情况的变化趋势，并为制定销售策略提供支持。
二、积分的数学模型解析积分是微积分中的另一个核心概念，也有着非常重要的应用价值。
积分可以将一个函数曲线下的面积求出，因此，在物理学、化学、统计学、经济学等学科领域中，经常会用到积分的方法。
在数学模型解析过程中，建立函数的积分模型需要注意一些要点。
首先，需要选择合适的积分方法，例如，定积分、不定积分、面积积分等。
其次，需要确定积分区间，即对函数需要积分的范围进行明确。
微积分方法建模12传染病模型--数学建模案例分析
§12 传染病模型建立传染病模型的目的是描述传染过程、分析受感染人数的变化规律、预报高潮期到来的时间等等。
为简单起见假定，传播期间内所观察地区人数N 不变，不计生死迁移，时间以天为计量单位。
模型（一）（SI 模型） 模型假设1、人群分为健康者和病人，在时刻t 这两类人中所占比例分别为)(t s 和)(t i ，即1)()(=+t i t s 。
2、平均每个病人每天有效接触人数是常数λ，即每个病人平均每天使)(t s λ个健康者受感染变为病人，λ称为日接触率。
模型建立与求解据假设，在时刻t ，每个病人每天可使)(t s λ个健康者变成病人，病人数为)(t Ni ，故每天共有)()(t i t Ns λ个健康者被感染，即Nsi dtdiNλ= 又由假设1和设0=t 时的比例0i ，则得到模型⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(i i i i dt diλ （1）（1）的解为te i t i λ--+=)11(11)(0（2）21i m dtdi )(m 21i模型解释1、当21=i 时，dt di 达最大值，这个时刻为)11ln(01-=-i t m λ，即高潮到来时刻，λ越大，则m t 越小。
2、当∞→t 时1→i ，这即所有的人都被感染，主要是由于没有考虑病人可以治愈，只有健康者变成病人，病人不会再变成健康者的缘故。
模型（二）（SIS 模型） 在模型（一）中补充假设3、病人每天被治愈的占病人总数的比例为μ，称为日治愈率。
模型修正为⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)0()1(i i ii i dt diμλ （t 时刻每天有μNi 病人转变成健康者） （3）（3）的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠--+-=----μλλμλμλλμλλμλ101)(0)1(])1([)(i t e i t i t （4） 可以由（3）计算出使dt di 达最大的高潮期m t 。
（dt di 最大值m dt di )(在λμλ2-=i 时达到）。
微积分在实际问题中的数学建模方法
微积分在实际问题中的数学建模方法微积分是数学中重要的分支，它研究函数的变化率和积分的性质。
微积分为解决实际问题提供了强有力的数学工具和建模方法。
在实际问题中，微积分的数学建模方法可以帮助我们理解和分析问题，并通过数学计算得到解决方案。
微积分在实际问题中的数学建模方法包括函数建模、极限分析、导数分析、积分分析等。
下面将对每个方法进行详细介绍，并给出实际问题的例子以说明其应用。
函数建模是微积分中最基础的建模方法之一，它可以将实际问题转化为数学函数的形式。
通过观察问题的特征和规律，我们可以根据实际情况选择适当的函数模型，并确定模型的参数。
例如，在人口增长问题中，我们可以使用指数函数来建模人口的增长趋势，通过调整指数函数的系数来拟合实际数据，进而预测未来的人口变化。
极限分析是微积分中重要的思维工具之一，在实际问题中广泛应用。
通过对问题中的量进行极限分析，我们可以推导出问题的特性和规律。
例如，在力学中，我们可以利用极限分析来推导物体的速度和加速度之间的关系，进而解决运动问题。
在经济学中，极限分析可以帮助我们理解市场供需关系的演变过程，从而预测价格的变化趋势。
导数分析是微积分中常用的分析方法之一，它可以帮助我们理解函数的变化趋势和函数的局部特性。
通过求导数，我们可以得到函数的斜率和变化率，进而分析问题中的变化规律。
例如，在物理学中，通过对位移函数求导数，我们可以得到速度函数；再对速度函数求导数，我们可以得到加速度函数。
这种导数分析可以帮助我们理解物体运动的过程和规律。
积分分析是微积分中重要的计算方法之一，它可以帮助我们计算函数的面积、体积和曲线的长度等。
通过对问题中的量进行积分，我们可以得到问题的定量解决方法。
例如，在物理学中，通过对力的函数进行积分，我们可以计算出力对物体所做的功；再通过对功的函数进行积分，我们可以计算出物体的势能变化。
这种积分分析可以帮助我们计算物体的能量转换和储存情况。
综上所述，微积分在实际问题中的数学建模方法可以帮助我们理解问题、分析问题并得到解决方案。
数学建模的主要建模方法
数学建模的主要建模方法数学建模是一种用数学语言描述实际问题，并通过数学方法求解问题的过程。
它是数学与实际问题相结合的一种技术，具有广泛的应用领域，如物理、工程、经济、生物等。
数学建模的主要建模方法可以分为经典建模方法和现代建模方法。
经典建模方法是数学建模的基础，主要包括数理统计、微积分、线性代数等数学工具。
经典建模方法的特点是基于简化和线性的假设，并通过解析或数值方法来求解问题。
1.数理统计：统计学是数学建模的重要工具之一，它的主要任务是通过对样本数据的分析，推断出总体的特征。
数理统计中常用的方法有概率论、抽样理论、假设检验等。
2.微积分：微积分是数学建模中常用的工具，它研究变化率和积分问题。
微积分的应用范围广泛，常用于描述物体的运动，求解最优化问题等。
3.线性代数：线性代数是研究向量空间与线性变换的数学学科。
在数学建模中，线性代数经常出现在模型的描述和求解过程中，如矩阵运算、线性回归等。
现代建模方法是近年来发展起来的一种新的建模方法，主要基于现代数学工具和计算机技术。
现代建模方法的特点是模型更为复杂，计算更加精确，模拟和实验相结合。
1.数值模拟：数值模拟是一种基于计算机技术的建模方法，通过离散和近似的数学模型，利用数值计算方法求解模型。
数值模拟常用于模拟和预测实际问题的复杂现象，如天气预报、电路仿真等。
2.优化理论：优化理论是数学建模中的一种重要工具，它研究如何找到最优解或最优化方案。
优化问题常用于求解资源分配、生产排程等实际问题。
3.系统动力学：系统动力学是一种研究系统结构和行为的数学方法，它通过建立动态模型，分析系统的变化趋势和稳定性。
系统动力学常用于研究生态系统、经济系统等复杂系统。
4.随机过程：随机过程是描述随机事件随时间变化的数学模型。
它在数学建模中常用于分析随机现象的特征和规律，如金融市场变动、人口增长等。
总体而言，数学建模的方法多种多样，建模方法的选择取决于问题的性质、可用数据和计算资源等因素。
数学建模之微积分模型
4r − 40 g − 2 t= =10 rg
10天后出售，可多得利润20元
敏感性分析
4r − 40 g − 2 t= rg
估计r=2， g=0.1
研究 r, g变化时对模型结果的影响 • 设g=0.1不变
40r − 60 t= , r ≥ห้องสมุดไป่ตู้1.5 r
20
t 对r 的（相对）敏感度
t
15 10 5 0 1.5
其中 c1,c2,c3, t1, β ,λ为已知参数
模型求解
dC =0 dx
求 x使 C(x)最小
β x= +β λ
c1 λ t12 + 2 c 2 t1 2 2c3λ
b
dB dt
β
λx − β
0
t1
t2 t
结果解释
• β /λ 是火势不继续蔓延的最少队员数
结果 解释
β x= +β λ
c1 λ t + 2 c 2 t1 2c3λ2
可设置一系列数值由模型决定队员数量x思考在森林救火模型中如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火有关试假设一个合理的函数关系重新求解模型34问题根据产品成本和市场需求在产销平衡条件下确定商品价格使利润最大假设1产量等于销量记作x2收入与销量x成正比系数p即价格3支出与产量x成正比系数q即成本4销量x依赖于价格pxp是减函数建模与求解px收入qx利润进一步设dpdu使利润up最大的最优价格pdpdcdpdi最大利润在边际收入等于边际支出时达到px建模与求解边际收入边际支出结果解释价格上升1单位时销量的下降幅度需求对价格的敏感度绝对需求p很小时的需求在最优价格模型中如果考虑到成本q随着产量x的增加而降低作合理假设重新求解模型35机体提供能量维持血液在血管中的流动给血管壁以营养克服血液流动的阻力消耗能量取决于血管的几何形状在长期进化中动物血管的几何形状已经达到能量最小原则研究在能量最小原则下血管分支处粗细血管半径比例和分岔角度模型假设一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动血液给血管壁的能量随管壁的内表面积和体积的增加而增加管壁厚度近似与血管半径成正比考察血管ac与cbcb粘性流体在刚性管道中运动粘性系数克服阻力消耗能量管壁内表面积2rl管壁体积d2rdl管壁厚度d与r成正比模型假设机体为血流提供能量模型求解4937模型解释生物学家
数学建模竞赛---微分方程模型PPT课件
tr tr
F(r,t)0r p(s,t)ds
p0 (r)
tr
N(t)0rm p(s,t)ds
14 0
f (t)
t
生育率的分解
k(r,t) ~(女性 )性别比函数 b(r,t)~(女性 )生育数[r1,r2 ] ~ 育龄区间
f(t)r1 r2b (r,t)k(r,t)p (r,t)drh(r,t)h(r)
1)出生一人的概率与t成正比，记bnt ; 出生二人及二人以上的概率为o(t).
2)死亡一人的概率与t成正比，记dnt ; 死亡二人及二人以上的概率为o(t).
3)出生和死亡是相互独立的随机事件。
进一步假设
bn与n成正比，记bn=n , ~出生概率； dn与n成正比，记dn=n，~死亡概率。
19
建模 为得到Pn(t) P(X(t)=n),的变化规律，
2）平均年龄 R(t)N1(t)0rmrp(r,t)dr
3）平均寿命
S(t) e d t(r,t)dr 0
t
t时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间
4）老龄化指数 (t)R (t)/S(t)
控制生育率
17
控制 N(t)不过大
控制 (t)不过高
二、 随机人口模型
背景 • 一个人的出生和死亡是随机事件
di dt
i(1 i)
i
i(0) i0
~ 日接触率 1/ ~感染期
/ ~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
36
模型3
di/dt
dii(1i)i
dt
i
/
ddtii[i(11)]
>1
i0
>1
微积分与数学建模知识总结
微积分与数学模型（上册）任课教师：***小组成员张程1440610405王子尧1440610402李昊奇1440610403梅良玉1440610426方旭建1440610406李柏睿1440610428第1章 函数，极限与连续1.1 函数的基本概念准备知识（掌握集合与区间的相关知识）函数定义：设x 和y 是两个变量，D 是一个给定的数集。
如果对于任意x ∈D ， 按照某一法则f ，变量y 都有确定的值和它对应，则称f 为定义在D 上的函数，数集D 称为函数的定义域，x 称为自变量，y 称为因变量。
与x 对应的y 的值记做f(x)，称为函数f 在x 处的函数值。
D 上所有的数值对应的全体函数值的集合称为值域 函数特性：1：函数的有界性设f(x)在集合X 上有定义，若存在M>=0,使得对任意x 属于X 都有f(x 的绝 对值<=M, 则称函数f(x 在)X 上有界；否则，称函数f(x)在X 上无界。
2：函数的单调性 3：函数的奇偶性 4：函数的周期性 5：分段函数 6：复合函数1.2初等函数常值函数 如：y=C,C 为常数； 幂函数 如：y=x α,α∈R 为常数； 指数函数 如：y=a x ,a>0且a ≠1；对数函数 如：y=axlog ,a>0且a ≠1；三角函数 如：y=sinx,y=cosx,y=tanx ；反三角函数 如：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx ；以及双曲函数1.3 极限的概念（1) .极限的直观定义：当x 接近于某个常数x 0但不等于x 0时，若f(x)趋向于常数A ，则 称A 为f(x)当x 趋向于x 0时的极限。
(2) .极限的精确定义：给定函数f(x)和常数A ，若对于∀ε>0（无论ε多么小），总彐δ>0,使得当0<|x-x 0|<ε,则称A 为f(x)当x 趋于x 0时的极限，记做limx x →f(x)=A.(3) 单侧极限和极限的关系：（定理）limx x →f(x)=A.成立的充要条件是左极限lim-→0xx f(x)和右极限lim+→0xx f(x)均存在且都等于A(4) （定理）limx x →f(x)=A 的充要条件是lim-→0xx f(x)=lim+→0xx f(x)=A1.4 极限的性质与运算性质：唯一性：若limx x →f(x)存在，则必唯一（1）局部有界性：若limx x →f(x)=A ，则存在M>0以及δ>0，使得当0<|x-x 0|<δ时，有 |f(x)|≤M（2）局部保号性：若imx x →f(x)=A ，且A>0(或A<0)，则存在δ>0，使得当0<|x-x 0|<δ时，有f(x)>0(或f(x)<0) 运算 若lim f(x)=A,lim g(x)=B,则①. lim[f(x)±g(x)]存在，且lim[f(x)±g(x)]=lim f(x)±lim g(x)=A ±B; ②. lim f(x)·g(x)存在，且lim f(x)g(x)=lim f(x)·lim g(x)=AB; ③. 若B ≠0，则lim [f(x)/g(x)]存在，且 lim [f(x)/g(x)]=lim f(x)/lim g(x)=A/B 夹逼准则：若函数f(x),g(x),h(x)满足:（1）当x ∈U(x 0,δ)时，有g(x)≤f(x)≤h(x)；（2) lim x →x0g(x)=A,lim x →x0h(x)=A, 则极限lim x →x0f(x)存在,且等于A 。
数学建模微积分模型例题
数学建模微积分模型例题
以下是一个简单的数学建模微积分例题：
题目：有一根细棒，其长度为10米，质量为1千克。
我们需要计算这根细棒的弯曲程度。
首先，我们需要理解什么是弯曲程度。
弯曲程度可以理解为细棒弯曲的弧长与其原长的比值。
因此，我们可以用以下数学模型表示细棒的弯曲程度：设细棒的原长为L 米，弯曲的弧长为s 米，则弯曲程度y = s / L。
接下来，我们需要考虑如何计算弯曲的弧长s。
由于细棒弯曲时形成的是一个圆弧，因此我们可以使用微积分的知识来求解。
设细棒在弯曲过程中形成的圆弧的半径为r 米，圆心角为θ度，则弧长s = r ×θ。
由于细棒的质量分布均匀，因此我们可以认为细棒在弯曲过程中形成的圆弧的半径r 是恒定的。
同时，我们知道细棒的总质量M = 1 千克，因此我们可以计算出细棒在弯曲过程中形成的圆心角θ。
设细棒在弯曲过程中形成的圆心角为θ度，则θ= M ×g / (r ×g)。
其中g 是重力加速度，g = 9.8 m/s^2。
将以上模型整合，我们可以得到以下微积分方程：
y = s / L = r ×θ/ L = (M ×g / (r ×g)) ×90°/ L
其中，y 是弯曲程度，s 是弯曲的弧长，L 是细棒的原长，r 是圆弧的半径，θ是圆心角。
这是一个简单的数学建模微积分例题，通过这个例题我们可以理解数学建模的基本思路和方法。
数学建模第二章微积分方法建模24城市人口统计模型
把[0,T ]时间区分为 n 等分，每个小区间长度为 t
t
t0 0 t1
t2 … t j1
tj
…
tn T
初始时刻的人口数为 P(0) ，到时刻 T 将只剩下 h(T )P(0) 。当 t 很小时，从时刻 t j1 到 t j ，净增人口的 比率近似为常数 r(t j ) 。这段时期净增的人口数近似为 r(t j )t ，t j 时刻的人口到时刻T 时只剩下 h(T t j )r(t j )t 。 所以在T 时刻的总人口数近似为
设 P(t) 表示 t 时刻城市人口数，人口变化受下面两
条规则的影响：
1、 t 时刻净增人口以每年 r(t) 的比率增加；
2、在一段时期内，比如说从T1 到T2 ，由于死亡或迁移， T1 时刻的人口数 P(T1) 的一部分在T2 时刻仍然存在，用 h(T2 T1)P(T1) 来表示，这里 0 h(T2 T1) 1 ， T2 T1 是这段 时间的长度。
rj 2
rj
2 1
rj 2
(rj
r)2
2 rj r (r)2 2 rj r ，（ r 很小）
第 j 个圆环上的人口数近似为 P(rj ) 2 rj r ，因此
n
N P(rj ) 2 rj r j 1
令 n ，得
ห้องสมุดไป่ตู้
C
N 0 P(r)2 rdr
二、模型 2 （预测城市未来人口）
n
P(T ) h(T )P(0) h(T t j )r(t j )t j 1
令 n ，得
T
P(T ) h(T )P(0) 0 h(T t)r(t)dt
数学建模--微分、积分和微分方程PPT课件
缉私舰的运动轨迹是怎样的？是否 能够追上走私船？
如果能追上，需要用多长时间？
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22
应用、思考和练习(追击问题)
y M0
M(x, y)
d
S0
S
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x
23
应用、思考和练习(追击问题)
d2x d y2
r
(
1(dd
x)2)/ y
（1）定义法，取近似和的极限。
高等数学中不是重点内容 但数值积分的各种算法却是基于定义建立的
（2）用不定积分计算定积分。
不定积分是求导的逆运算， 而定积分是连续变量的求和（曲边梯形的面积） 表面上看是两个完全不同的概念， 通过牛顿－莱布尼兹公式联系在一起，
（3）解微分方程计算定积分
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moviein、 getframe、movie指令
x=-8:0.5:8; [XX,YY]=meshgrid(x);
r=sqrt(XX.^2+YY.^2)+eps;
Z=sin(r)./r;
surf(Z); %画出祯
theAxes=axis; %保存坐标值，使得所有帧都在同
例：求极限：
limsin(xs) in(3x) x0 sin(x)
syms x a
I1=limit(‘(sin(x)-sin(3*x))/sin(x)’,x,0) 运行结果
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12
符号微积分(求导）
diff(f,‘var’,n) 求 f 对变量var 的n阶导数 缺省n时为求一阶导数 缺省变量'var' 时，默认变量为x 可用来求单变量函数导数 多变量函数的偏导数 还可以求抽象函数的导数
微积分在数学建模中的应用
微积分在数学建模中的应用摘要:数学建模活动能培养学生的数学思维能力、创新能力及分析和解决问题的能力,而微积分被广泛应用于数学建模之中。
关键词:微积分;数学建模1数学建模数学模型与数学建模数学模型是对于现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,根据特有的内在规律,做出一些必要的简化假设,并运用适当的数学工具,得出的一个数学结构。
[它是使用数学符号、数学式子及数量关系对现实原型简化的本质描述。
数学建模活动是讨论建立数学模型的全过程,是通过建立数学模型解决实际问题的全过程,是一种数学思维方式。
它为学生创设了“提出问题、探索思考和实际应用”的空间。
其特点为: (1)创造性。
由于数学建模活动所讨论的是现实世界中的实际问题,而现实世界的复杂性往往使所提出的问题不能直接套用数学定理来解决,这就需要较多的创新工作。
(2)应用性。
即给出的是一种现实的情景,一种实际的需求,让学生面对现实的实际问题,选择适当的数学方法解决问题。
(3)开放性。
提出的问题中条件可能不足,也可能冗余,问题有较强的探索性,需要从迷离混沌的状态中,运用思维能力,找出一条主要线索。
2 微分方程建模的一般步骤微分方程建模是用数学中微分方程解决实际问题的桥梁，具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵，并在物理学、力学、工程学、生物学、医学、经济学、军事学等各个领域中有着广泛应用．应用微分方程理论针对各种实际问题建立的数学模型，一般而言都是动态模型，其结果极其简明，但整个推导过程却有点繁杂，不过还是能给人们以合理的解释．因此，选准切入点，将微分方程和数学建模的内容有机的结合才能充分体现微分方程建模的思想意图．当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来状态、研究它的控制手段时，通常要建立动态模型．而针对不同的实际对象的动态模型，进行微分方程建模的一般性步骤是：（1）用较精练的语言叙述待解决的问题（2）要根据建模的目的和对问题的具体分析做出简化假设（3）按照对象内在的或可类比的其他对象的规律建立目标函数的关系式并提出此微分方程有解的相关条件，即列出微分方程组（4）求出这个微分方程的解（5）用所得的结果来解释实际问题（或现象），或对问题的发展变化趋势进行预测下面以具体的实例来探究微分方程在数学建模中的应用．3 建模广泛应用运用微积分知识,人们建立了许多数学模型,并解决了许多重大问题。
数学微积分与数学建模
数学微积分与数学建模数学微积分是数学中的重要分支，它研究的是变化率和累积量的数学理论。
微积分的概念和方法在科学、工程、经济学等领域中具有广泛的应用。
而数学建模则是通过数学方法解决实际问题的过程，它将现实世界的问题转化为数学模型，并利用数学工具进行分析和求解。
微积分和数学建模之间存在着密切的联系，下面将从微积分的基本概念、微积分在数学建模中的应用等方面进行探讨。
微积分的基本概念包括导数和积分。
导数描述了函数在某一点上的变化率，它可以用来求解曲线的斜率、速度、加速度等问题。
而积分则是导数的逆运算，它描述了函数在一定区间内的累积量，可以用来求解曲线下的面积、体积、质量等问题。
导数和积分是微积分的核心概念，它们的应用范围非常广泛。
例如，在物理学中，通过对位移、速度和加速度的关系进行微积分分析，可以得到物体的运动规律；在经济学中，通过对需求曲线和供给曲线进行微积分分析，可以得到市场均衡的价格和数量等。
微积分在数学建模中的应用可以说是无处不在。
数学建模是一种将实际问题转化为数学模型的过程，而微积分则是解决这些数学模型的重要工具。
例如，在生物学中，研究生物种群的增长和衰退时，可以使用微积分中的微分方程来描述其变化规律；在工程学中，研究电路中的电流和电压时，可以使用微积分中的积分来求解电路的特性参数；在金融学中，研究股票价格的变动时，可以使用微积分中的导数来计算股票的波动率等。
微积分为数学建模提供了强大的工具和方法，使得我们能够通过数学的方式来理解和解决实际问题。
除了微积分的基本概念和应用之外，微积分还有一些重要的拓展内容，如偏导数、重积分、级数等。
这些概念和方法在更复杂的问题中起着重要的作用。
例如，在物理学中，研究多变量函数的变化规律时，可以使用偏导数来描述其变化率；在工程学中，研究三维空间中的物体的体积和质量时，可以使用重积分来求解；在数学分析中，研究无穷级数的收敛性和求和问题时，可以使用级数的概念和方法来分析。
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第四章 微积分模型今天人们不论从事什么活动都讲究高效益,即希望所采取的策略使某个或某些指标达到最优。
商店订货要使订货、存贮等费用最小，体育比赛运动员要创造最好的成绩，工程设计要追求最佳方案。
普遍存在的优化问题经常成为人们研究的对象，建立这类问题的模型，我们称为优化模型。
建立优化模型首先要确定所关心的优化指标的数量描述，然后构造包括这个指标及各种限制条件的模型，通过模型求解给出达到优化指标的所谓策略。
本章仅考虑定常情况(即所给的策略不随时间改变)。
不允许缺货模型；某配送中心为所属的几个超市送配某种小电器，假设超市每天对这种小电器的需求量是稳定的，订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。
如果超市对这种小家电的需求是不可缺货的，试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货，一次订多少货)。
如果日需求量价值100元，一次订货费用为5000元，每件电器每天的贮存费1元，请给出最优结果。
模型假设:（1）每天的需求量为常数r ； （2）每次的订货费用为c 1，每天每件产品的存贮费为c 2 ；（3）T 天订一次货,每次订Q 件，且当存贮量为0时，立即补充，补充是瞬时完成的； （4）为方便起见，将r ，Q 都视为连续量。
模型建立 》将存贮量表示为时间的函数(),0q t t =时，进货Q 件这类小电器,储存量(0),()q Q q t =以需求r 的速率递减，直到q (T )=0。
易见Q=rT一个周期的存贮费用C 2=A c ds s q T20)(=⎰一个周期的总费用C =2221rT c c +每天平均费用—2)(21rT c T c T c +=模型求解求T ，使)(T c 取最小值。
由0=dTdc，得 21212,2c r c Q rc c T ==上式称为经济订货批量公式。
模型解释(1)订货费越高，需求量越大，则每次订货批量应越大，反之，每次订货量越小；%(2)贮存费越高，则每次订货量越小，反之，每次订货量应越大。
模型应用将100,1,500021===r c c 代入式得 T =10天,Q =1000件，c =1000元。
允许缺货模型某配送中心为所属的几个超市送配某种小电器，假设超市每天对这种小电器的需求量是稳定的，订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。
如果超市对这种小家电的需求是可以缺货的，试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货，一次订多少货)。
如果日需求为100元，一次订货费用为5000元，每件电器每天的贮存费1元，每件小家电每天的缺货费为元，请给出最优结果。
《与不允许缺货情况不同的是，对于允许缺货的情况，缺货时因失去销售机会而使利润减少，减少的利润可以看作为因缺货而付出的费用，称为缺货费。
于是这个模型的第（1）、（2）条假设与不允许缺货的模型相同，除此之外，增加假设（3）每隔T 天订货Q 件，允许缺货，每天每件小家电缺货费为c 3 。
缺货时存贮量q 看作负值，)(t q 的图形如图，货物在1T t =时送完。
一个供货周期T 内的总费用包括：订货费1c ，存贮费⎰102)(T dt t q c ，缺货费dt t q c T T ⎰1|)(|3，借助图可以得到一个周期总费用为 213121)(2121T T r c QT c c C -++= 每天的平均费用rTQ rT c rT Q c T c Q T C 2)(2),(23221-++= （）!利用微分法，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00Q CTC可以求出最优的Q T ,值为 3232133221.2',.2'c c c c rc Q c c c rc c T +=+= （） 记)1(332>+=c c c μ 通过与不允许缺货的模型相比较得到 ：μμ/','Q Q T T == （） 显然Q Q T T <>','，即允许缺货时订货周期可以长一些，每次可以少订一些货。
（）式表明，缺货费3c 越大，μ值越小，','Q T 与Q T ,越接近，这与实际是相符的，因为3c 越大，意味着因缺货造成的损失越大，所以应该尽量避免缺货，当+∞→3c 时，1→μ，于是Q Q T T →→','。
这个结果是合理的，因为缺货费充分大，造成的缺货损失也充分大，所以不允许缺货。
将所给的数据代入（）式得到 7.301,333',33'===c Q T 件天元。
森林救火模型本节讨论森林救火问题。
森林失火了，消防站接到报警后派多少消防队员前去救火呢队员派多了，森林的损失小，但是救火的开支增加了；队员派少了，森林的损失大，救火的开支相应减小。
所以需要综合考虑森林损失和救火队员开支之间的关系，以总费用最小来确定派出队员的多少。
从问题中可以看出，总费用包括两方面，烧毁森林的损失，派出救火队员的开支。
烧毁森林的损失费通常正比于烧毁森林的面积，而烧毁森林的面积与失火的时间、灭火的时间有关，灭火时间又取决于消防队员数量，队员越多灭火越快。
通常救火开支不仅与队员人数有关，而且与队员救火时间的长短也有关。
记失火时刻为0=t ，开始救火时刻为1t t =，火被熄灭的时刻为2t t =。
设t 时刻烧毁森林的面积为)(t B ，则造成损失的森林烧毁的面积为)(2t B 。
下面我们设法确定各项费用。
先确定)(t B 的形式，研究)('t B 比)(t B 更直接和方便。
)('t B 是单位时间烧毁森林的面积，取决于火势的强弱程度，称为火势蔓延程度。
在消防队员到达之前，即10t t ≤≤，火势越来越大，即)('t B 随t 的增加而增加；开始救火后，即21t t t ≤≤，如果消防队员救火能力充分强，火势会逐渐减小，即)('t B 逐渐减小，且当2t t =时，0)('=t B 。
? 救火开支可分两部分：一部分是灭火设备的消耗、灭火人员的开支等费用，这笔费用与队员人数及灭火所用的时间有关；另一部分是运送队员和设备等的一次性支出，只与队员人数有关。
模型假设需要对烧毁森林的损失费、救火费及火势蔓延程度的形式做出假设。
(1) 损失费与森林烧毁面积)(2t B 成正比，比例系数为1c ，1c 即烧毁单位面积森林的损失费，取决于森林的疏密程度和珍贵程度。
)2( 对于10t t ≤≤，火势蔓延程度)('t B 与时火势蔓延速度。
间t 成正比，比例系数β称为（注：对这个假设我们作一些说明，火势以着火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，所以蔓延的半径与时间成正比，因为烧毁森林的面积与过火区域的半径平方成正比，从而火势蔓延速度与时间成正比）。
(3) 派出消防队员x 名，开始救火以后，火势蔓延速度降为x λβ-，其中λ称为每个队员的平均救火速度，显然必须λβ/>x ，否则无法灭火。
?（4）每个消防队员单位时间的费用为2c ，于是每个队员的救火费用为)(122t t c -，每个队员的一次性开支为3c 。
模型建立根据假设条件（2）、（3），火势蔓延程度在10t t ≤≤时线性增加，在21t t t ≤≤时线性减小，具体绘出其图形见图。
记1t t =时，b t B =)('。
烧毁森林面积⎰=202)(')(tdt t B t B正好是图中三角形的面积，显然有 2221)(bt t B = 而且 (βλ-=-x b t t 12因此)(221)(212βλ-+=x b bt t B根据条件（1）、（4）得到，森林烧毁的损失费为)(21t B c ，救火费为x c t t x c 3122)(+-据此计算得到救火总费用为x c x bx c x b c bt c x C 322111)(221)(+-+-+=βλβλ （） 问题归结为求x 使C (x )达到最小。
令0=dxdC得到最优的派出队员人数为 —λβλβλ++=232122c b c b c x （） 模型解释)('t B（）式包含两项，后一项是能够将火灾扑灭的最低应派出的队员人数，前一项与相关的参数有关，它的含义是从优化的角度来看：当救火队员的灭火速度λ和救火费用系数3c 增大时，派出的队员数应该减少；当火势蔓延速度β、开始救火时的火势b 以及损失费用系数1c 增加时，派出的队员人数也应该增加。
这些结果与实际都是相符的。
实际应用这个模型时，321,,c c c 都是已知常数，λβ,由森林类型、消防人员素质等因素确定。
消费者的选择}本节利用无差别曲线的概念讨论消费者的选择问题。
如果一个消费者用一定数量的资金去购买两种商品，他应该怎样分配资金才会最满意呢记购买甲乙两种商品的数量分别为21,q q ，当消费者占有它们时的满意程度，或者说给消费者带来的效用是21,q q 的函数，记作),(21q q U ，经济学中称之为效用函数。
c q q U =),(21的图形就是无差别曲线族，如图所示。
类似于第二章中无差别曲线的作法，可以作出效用函数族，它们是一族单调下降、下凸、不相交的曲线。
在每一条曲线上，对于不同的点，效用函数值不变，即满意程度不变。
而随着曲线向右曲线下凸的具体上方移动，),(21q q U 的值增加。
形状则反映了消费者对甲乙两种商品的偏爱情况。
这里假设消费者的效用函数),(21q q U ，即无差别曲线族已经完全确定了。
设甲乙两种商品的单价分别为21,p p 元，消费者有资金s 元。
当消费者用这些钱买这两种商品时所作的选择，即分别用多少钱买甲和乙，最大，即达到最大应该使效用函数),(21q q U 达到的满意度。
经济学上称这种最优状态为消费者均衡。
当消费者购买两种商品量为21,q q 时，他用的钱分别为11q p 和22q p ，于是问题归结为在条件s q p q p =+2211 （） 下求比例2211/q p q p ，使效用函数达到最大。
这是二元函数求条件极值问题，用乘子法不难得到最优解应满足2121/p p q Uq U =∂∂∂∂ （）>当效用函数),(21q q U 给定后，由（）式即可确定最优比例2211/q p q p 。
上述问题也可用图形法求解。
约束条件（）在图中是一条直线，此直线必与无差别曲线族中的某一条相切（见图中的Q 点），则21,q q 的最优值必在切点Q 处取得。
图解法的结果与（）式是一致的。
因为在切点Q 处直线与曲线的斜率相同，直线的斜率为21/p p -，曲线的斜率为21/q Uq U ∂∂∂∂-，在Q 点，利用相切条件就得到（）式。
/s经济学中21,q Uq U ∂∂∂∂称为边际效用，即商品购买量增加1单位时效用函数的增量。
（）式表明，消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比正好等于价格之比时达到。