第四章第三节 相对运动图解法-14
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平面机构的运动分析
6
❖绝对瞬心：运动构件和机架之间的瞬心。
绝对瞬心也就是运动构件上瞬时绝对速度等于零的点。
❖相对瞬心：两个运动构件之间的瞬心。
相对瞬心也就是两个运动构件的同速重合点。
2.机构中瞬心的数目
设机构由K个构件组成，该机构的瞬心的总数为：
N = K(k-1)/2
7
3.机构中瞬心位置的确定
(1)两构件组成运动副 根据瞬心的定义，通过观察直接确定两构件的瞬心位
联接两绝对加速度终点 的矢量代表相应两点间 的相对加速度
c'
P'
e'
30
b' c"
2.组成移动副两活动构件的重合点间的运动关系。
（重合点法） 图示机构中，已知各构件的长度、原动件1的位置1 及等角速度ω1，求机构在图示位置时构件3的速度、 加速度。
31
▪ 活动构件1、2组成移动副， ▪ 作平面复杂运动的构件2上的另一个基本运动副是
vP13 P12
P13
P23 ω3 P34
P14
注意：图解法的特点体现在从“机构位置图”中直
接量出两点之间的距离。
15
提问：
1)如何求构件2的角速度ω2？ 2) ω3=0时，构件1的角位置1 ？
P24
P23
P12
P13
P34
16
P14
例2：如图所示为一曲柄滑块机构，已知l AB=30mm, l BC=65mm，原动件1的位置1=145° 及等角速度ω1 = 10rad/s，求机构在该位置时滑块3的速度。
C点
B点
构件2
影像原理
35
E点
2.速度分析
▪
VC = VB + VCB
❖绝对瞬心：运动构件和机架之间的瞬心。
绝对瞬心也就是运动构件上瞬时绝对速度等于零的点。
❖相对瞬心：两个运动构件之间的瞬心。
相对瞬心也就是两个运动构件的同速重合点。
2.机构中瞬心的数目
设机构由K个构件组成，该机构的瞬心的总数为：
N = K(k-1)/2
7
3.机构中瞬心位置的确定
(1)两构件组成运动副 根据瞬心的定义，通过观察直接确定两构件的瞬心位
联接两绝对加速度终点 的矢量代表相应两点间 的相对加速度
c'
P'
e'
30
b' c"
2.组成移动副两活动构件的重合点间的运动关系。
（重合点法） 图示机构中，已知各构件的长度、原动件1的位置1 及等角速度ω1，求机构在图示位置时构件3的速度、 加速度。
31
▪ 活动构件1、2组成移动副， ▪ 作平面复杂运动的构件2上的另一个基本运动副是
vP13 P12
P13
P23 ω3 P34
P14
注意：图解法的特点体现在从“机构位置图”中直
接量出两点之间的距离。
15
提问：
1)如何求构件2的角速度ω2？ 2) ω3=0时，构件1的角位置1 ？
P24
P23
P12
P13
P34
16
P14
例2：如图所示为一曲柄滑块机构，已知l AB=30mm, l BC=65mm，原动件1的位置1=145° 及等角速度ω1 = 10rad/s，求机构在该位置时滑块3的速度。
C点
B点
构件2
影像原理
35
E点
2.速度分析
▪
VC = VB + VCB
理论力学—相对运动动力学PPT
(1)当动系相对于定系仅作平动时 (1)当动系相对于定系仅作平动时
m r = F +F a Ie
(2)当动系相对于定系作匀速直线平动时 (2)当动系相对于定系作匀速直线平动时 (3)当质点相对于动参考系静止时 (3)当质点相对于动参考系静止时
m r =F a
F +F =0 Ie
质点相对静止的平衡方程：即质点在非惯性参考系中保持相对 质点相对静止的平衡方程： 静止时，作用在质点上的力与质点的牵连惯性力相互平衡。 静止时，作用在质点上的力与质点的牵连惯性力相互平衡。 (4)当质点相对于动参考系匀速直线运动时 (4)当质点相对于动参考系匀速直线运动时 质点相对平衡方程
m r = F + F +F a Ie IC
9
m r = F +F +F a Ie IC
非惯性系中质点的运动微分方程
d2r′ m 2 = F +F +F Ie IC dt
质点的质量与质点的相对加速度的乘积等于作 用在质点上的外力的合力与牵连惯性力以及科氏 力的矢量和。 力的矢量和。
10
m r = F +F + F a Ie IC
ω地
解：取地球为非惯性参考系，考察任一点M 取地球为非惯性参考系，考察任一点M FIC 应提供其圆周运动的向心力。 应提供其圆周运动的向心力。
F = m C = m⋅ 2 evr = 2m 地vr sinϕ a ω ω IC
该处应在南半球
2 vr m =FIC= 2m 地vr sinϕ ω R
aC vr
15
慢速转动的大盘使快速运动的皮带变形
16
由于地球的 自转引起的水 流科氏惯性力。 流科氏惯性力。
m r = F +F a Ie
(2)当动系相对于定系作匀速直线平动时 (2)当动系相对于定系作匀速直线平动时 (3)当质点相对于动参考系静止时 (3)当质点相对于动参考系静止时
m r =F a
F +F =0 Ie
质点相对静止的平衡方程：即质点在非惯性参考系中保持相对 质点相对静止的平衡方程： 静止时，作用在质点上的力与质点的牵连惯性力相互平衡。 静止时，作用在质点上的力与质点的牵连惯性力相互平衡。 (4)当质点相对于动参考系匀速直线运动时 (4)当质点相对于动参考系匀速直线运动时 质点相对平衡方程
m r = F + F +F a Ie IC
9
m r = F +F +F a Ie IC
非惯性系中质点的运动微分方程
d2r′ m 2 = F +F +F Ie IC dt
质点的质量与质点的相对加速度的乘积等于作 用在质点上的外力的合力与牵连惯性力以及科氏 力的矢量和。 力的矢量和。
10
m r = F +F + F a Ie IC
ω地
解：取地球为非惯性参考系，考察任一点M 取地球为非惯性参考系，考察任一点M FIC 应提供其圆周运动的向心力。 应提供其圆周运动的向心力。
F = m C = m⋅ 2 evr = 2m 地vr sinϕ a ω ω IC
该处应在南半球
2 vr m =FIC= 2m 地vr sinϕ ω R
aC vr
15
慢速转动的大盘使快速运动的皮带变形
16
由于地球的 自转引起的水 流科氏惯性力。 流科氏惯性力。
04-02_相对运动图解法及其应用解析
根据同一构件上相对速度原理写出相对加速度矢量方程式
4.2.1 在同一构件上的点间的速度和加速度的求法
式中： aCBn 表示点 C相对点 B的法 向加速度,其方向从C指向B；
aCBt表示点C相对点B的切向
加速度，其方向垂直CB。
4.2.1 在同一构件上的点间的速度和加速度的求法
因速度多边形已作出，所 以上式法向加速度都可求出，
b"
n a EB
b'
c"
4.2.1 在同一构件上的点间的速度和加速度的求法
各加速度矢量构成的多边形称为加速度多边形。△ bce 与 机构位置图中△BCE相似，且两三角形顶角字母顺序方向一致， 图形
ce BCE的加速度影像。当已知一构件上两点的 b称为图形
加速度时利用加速度影像便能很容易地求出该构件上其他任一 点的加速度。
b3 '
t aB 3
b3 "
4.2.2 组成移动副的两构件重合点间的速度与加速度的求法
用图解法求解构件上点的速度和加速度是算、画、量交替 进行的过程。其精度取决于作图的精度，包括矢量的大小和方 向的准确性。用计算机作图（如使用绘图软件AutoCAD）可以 得到很高的精度。
3 vB3B2
b1 (b2 )
而 vB3B2 位 于 平 面 运 动 平 面 之 内 ， 故 θ
=90°
k 从而 a B 3 B 2 2 2 v B 3 B 2
k 哥氏加速度 a B 3 B 2 的方向是将vB3B2
vB3B2
P
b3
沿ω2的转动方向转90°
4.2.2 组成移动副的两构件重合点间的速度与加速度的求法
t aC
aC uac
§1-4 相对运动
3. 加速度变换
将伽利略速度变换对时间求一次导数
考虑到 t t 伽利略加速度变换
aPK aPK aKK
ax ay
ax ay
az
az
若 aKK 0
则 aPK aPK
例：某人骑摩托车向东前进，其速率为10ms-1时 觉得有南风，当其速率为15ms-1时，又觉得 有东南风，试求风速度。
O 风速的方向：
X (东)
v 102 52
11.2(m / s)
arctg 5 2634
10 为东偏北2634'
例 一升降机以加速度 1.22 m/s2 上升，当一上升
速度为2.44m/s时,有一螺母自升降机的天花 板松落，天花板与升降机的底板相距 2.74m。 计算螺母自天花板落到底板所需的时间及螺 母相对于升降机外固定柱的下降距离。
r xi y j zk
P(x, y, z)
r r
r xi y j zk
o R o' x' x
z z'
r r R 成立的条件:
且 t t
绝对时空观！
绝对时空观
r r R r vt
t t
P(或P)在 K在 系
和 K系的空间坐 标、时间坐标的 对应关系为：
t 2h 0.71 s ga
s
v0t
1 2
a螺地t 2
0.74(m)
§1-4 相对运动
太阳、地球、月球系统
相对运动
运动是绝对的，运动的描述具有相对性。在不 同参考系中研究同一物体的运动状态会完全不同。
机械原理 瞬心法和相对运动图解法
2
1
•
P14 P12 P24 P12
VC VP13 1 • P14P13
P13
P12
B
2
1
A
1 1
P14
4
1
2
2
8
C
3 P23 V C
P34
4
3
§3-2 用速度瞬心法作机构速度分析
四、 用瞬心法作机构的速度分析 瞬心法小结
1）瞬心法 仅适用于求解速度问题，不可用于加速度分析。 2）瞬心法 适用于构件数较少的机构的速度分析。 3）瞬心法每次只分析一个位置，对于机构整个运动循环的 速度分析，工作量很大。
已知：机构的位置，各构件的长度及原动件角速度1。 求1）：每vC个，矢v量E，方a程C,可a以E,求解2两, 个3未, 知2量, 3
· 23412）））、、在由除绘 速vE速pp制度点点度机分指之v图构析向B外中运速，，动度v速p简E图点度B图上称图任为上vC意极任点点意v，的两E矢代C点量表间所均的有代连表构线件机均上构代11中绝表对对机B应速构点度中的为对F绝零应2 的对两E 速影点G度像间3点。相C。对
K N(N I) 32 3
2
2
设 同速点P23不在直线P12 P13上 而是在K点
显然 VK21 VK31 （方向不一致） 所以假定不成立。
P23必在直线P12 P13上
VK21
P23
K
VK31
2 P12 1
3 P13
§3-2 用速度瞬心法作机构速度分析
四、 例题 用瞬心法作机构的速度分析
a 求：vC，vE， C,
3、加a速C度B 分析
a E, 2, 3, 2, 3
(aCnB求)2aE与(速aC度t B分)2析类同(22lBC1)2
第四章 平面机构的运动分析
速度分析
VC = VB + VCB 方向: 方向: ⊥CD ⊥ AB ⊥ CB 大小: 大小: ? l ABω1 ?
µv =
真实速度大小 m / s v B m / s = 图中线段长度 mm pb mm
运动分析的相对运动图解法 已知：各构件的长和构件1 已知：各构件的长和构件1 的位置及等角速度ω 的位置及等角速度ω1 求：ω2 ，ω3 和VE5 1.取长度比例尺画出左图 取长度比例尺画出左图a 解：1.取长度比例尺画出左图a所 示的机构位置图, 确定解题步骤: 示的机构位置图, 确定解题步骤: 先分析Ⅱ级组BCD 然后再分析4 BCD， 先分析Ⅱ级组BCD，然后再分析4、 构件组成的Ⅱ级组。 5 构件组成的Ⅱ级组。 对于构件2 对于构件2 :VB2=VB1= ω1lAB
用瞬心法作机构的速度分析
图4-1 速度瞬心
用瞬心法作机构的速度分析
2. 瞬心的种类
1. 绝对瞬心：构成瞬心的两个构件之一固定不动，瞬心点的绝 构成瞬心的两个构件之一固定不动， 对速度为零 。 2. 相对瞬心：构成瞬心的两个构件均处于运动中，瞬心点的绝 构成瞬心的两个构件均处于运动中， 对速度相等、 对速度相等、相对速度为零 。 由此可知，绝对瞬心是相对瞬心的一种特殊情况。 由此可知，
P12 P24 ω4 = ω2 P14 P24
用瞬心法作机构的速度分析
本节例题
已知： 构件2的角速度 的角速度ω 已知： 构件 的角速度 2 和长 度 比例尺µ 比例尺 l 从动件3 的速度V 求：从动件 的速度 3； 由直接观察法可得P 解：由直接观察法可得 12，由 三心定理可得P 三心定理可得 13和P23如图所 示。由瞬心的概念可知： 由瞬心的概念可知：
瞬心的概念和种类
四章节凸轮机构
尖顶凸轮绘制动画
滚子凸轮绘制动画
2.用作图法设计凸轮廓线
1)对心直动尖顶推杆盘形凸轮
对心直动尖顶推杆凸轮机构中，已知凸轮
的基圆半径rb，角速度ω和推杆的运动规
律，设计该凸轮轮廓曲线。
-ω
8’ 7’ 5’ 3’ 1’
12 345 67 8
9’ 11’ 12’
13’ 14’
9 11 13 15
ω
rb
设计步骤小结：
3)对心直动平底推杆盘形凸轮
对心直动平底推杆凸轮机构中，已知
凸轮的基圆半径rb，角速度ω和推杆
的运动规律，设计该凸轮轮廓曲线。
8’ 7’ 5’ 3’ 1’
1 3 5 78
9’ 11’ 12’
13’ 14’
9 11 13 15
1’ 2’ 12
3
3’ 4’
4
5’
rb
5
15 14’
6
6’
7
14 13’ 13
rb 1.75rs (3~5)mmrT rb rh(3~5)mmrT
由图可得偏心、对心直动滚子从动件盘形凸轮机构在
推程任一位置时压力角的表达式为
n
tan
ds de
rb2 e2 s
tan ds d
rb s
分析结果：
压力角 2
F
F” F’vF’
t
t
基圆半径越大，压力角越小。从
B
F”
传力的角度来看，基圆半径越大越好；
①选比例尺μl作基圆rb。 ②反向等分各运动角。原则是：陡密缓疏。
③确定反转后，从动件尖顶在各等份点的位置。
④将各尖顶点连接成一条光滑曲线。
2)对心直动滚子推杆盘形凸轮
相对运动基本原理 PPT课件
求解相对加速度 a反向 = a1 + a2 a同向 = a1 - a2
二相对运动规律：
三:在一条直线上的运动合成
例1 如图所示，在一光滑斜面的顶端先释放甲 球，经过一段时间后再释放乙球，试用三种方 法确定甲球相对乙球的运动状态
解法一:利用相对位移求解
乙 甲
解:S甲 = S0 + V0t + at2/2 S乙 = at2/2 S相 = S甲 – S乙 = V0t
h
S相 = h
所以根据 S相 = V相0t + a相t2/2
得: h = (g+a)t2/2 t = 2h /(g a)
例3. 如图所示，一长为L的细杆悬挂在天花板上，在距细杆下 方h处有一小球。当剪断细绳使细杆自由下落的同时，小球以 初速度V0作竖直上抛运动，求小球通过细杆所需的时间。 （小球与细杆恰好不相碰）
解: V相0 = V0 –0 = V0 a相 = g – g = 0 (小球相对杆做匀速运动) S相 = L
所以根据 S相 = V相0t + a相t2/2 得: L = V0t t = L/V0
例4.在光滑的水平地面上放有一质量为M足够长的木板，木板 上一端一质量为m的物体以初速度V0沿木板由冲上木板。已知 物体与木板间的动摩擦因数为μ， 求（1）物体达到与木板相对静止所用的时间。
总结:
1 解决在一条直线上的运动合成问 题,可直接应用相对位移,相对速度 或相对加速度来判定或求解.
2 解决不在一条直线上的运动合成 问题如果直接用相对位移,相对速 度或相对加速度来判定或求解有困 难,可考虑应用位移代换来求解.
例2 在一向上运动的升降机天花板上用一细绳悬挂一小 球，小球距升降机底板的高度为h，
二相对运动规律：
三:在一条直线上的运动合成
例1 如图所示，在一光滑斜面的顶端先释放甲 球，经过一段时间后再释放乙球，试用三种方 法确定甲球相对乙球的运动状态
解法一:利用相对位移求解
乙 甲
解:S甲 = S0 + V0t + at2/2 S乙 = at2/2 S相 = S甲 – S乙 = V0t
h
S相 = h
所以根据 S相 = V相0t + a相t2/2
得: h = (g+a)t2/2 t = 2h /(g a)
例3. 如图所示，一长为L的细杆悬挂在天花板上，在距细杆下 方h处有一小球。当剪断细绳使细杆自由下落的同时，小球以 初速度V0作竖直上抛运动，求小球通过细杆所需的时间。 （小球与细杆恰好不相碰）
解: V相0 = V0 –0 = V0 a相 = g – g = 0 (小球相对杆做匀速运动) S相 = L
所以根据 S相 = V相0t + a相t2/2 得: L = V0t t = L/V0
例4.在光滑的水平地面上放有一质量为M足够长的木板，木板 上一端一质量为m的物体以初速度V0沿木板由冲上木板。已知 物体与木板间的动摩擦因数为μ， 求（1）物体达到与木板相对静止所用的时间。
总结:
1 解决在一条直线上的运动合成问 题,可直接应用相对位移,相对速度 或相对加速度来判定或求解.
2 解决不在一条直线上的运动合成 问题如果直接用相对位移,相对速 度或相对加速度来判定或求解有困 难,可考虑应用位移代换来求解.
例2 在一向上运动的升降机天花板上用一细绳悬挂一小 球，小球距升降机底板的高度为h，
第四章第三节楞次定律
分析:磁铁转动时,小线圈跟着磁 铁同向转动,且转速较磁铁小.
S
N
右手定则：（1）右手定则是判定导体棒切
割磁感线产生感应电流方向的。
（ 2 ）右手定则与楞次定律判断结果相同。在判 定部分导体在磁场中做切割磁感线运动产生感应 电流时，右手定则更为简便。
（3）楞次定律适用于任何电磁感应现象
X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X
N
当右边线圈的电 流减少时，左边 线圈中产生什么 方向的感应电流.
楞次定律的应用：
G
S
B感
电流减 小磁通 量变小.
A、先确定穿过线圈的原磁场方向； B、判断穿过线圈的磁通量的增大还是减少； C、由楞次定律确定感应电流的磁场方向； D、由安培定则确定感应电流的方向。
课本例题1
法拉第最初发现电磁感应现象的实验如 图所示，软铁环上绕有A、B两个线圈， 当A线圈电路中的开关断开的瞬间，线 圈B中的感应电流沿什么方向?
例15：如图所示，在匀强磁场中，光滑平行的导轨上放有金属棒 AB 、 CD ，在 AB 棒以中点 O 为轴向顺时针方向转动时， CD 将 （ ） A C A．可能向左移动 B．一定向右移动 O O′ C．一定绕CD的中点O′转动 D．一定不动 D B 答案： D
例题：磁铁转动时 , 内部的小线圈如何运 动?
答案：B
例11、如图所示，电池的正负极未知，在左侧软铁棒插入 线圈的过程中，悬吊在线圈右侧的铝环A将如何运动？
答案：向右
例12、如图所示，ab是一个可绕垂直于纸面的轴O转动的闭合 矩形导线框，当滑线变阻器R的滑动片P自左向右滑动时，线框 ab将（ ） A．保持静止不动 B．逆时针转动 C．顺时针转动 答案： D．发生转动，但因电源极性不 C 明，无法判断转动方向
机构的运动分析相对运动矢量方程图解法公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
v m smm
。如bc代表VCB而不是VBC ，惯用相对速 度来求构件角速度。
c p
③∵△bce∽△BCE，称bce为BCE速度影象， 两者相同且字母顺序一致。前者沿ω2方向 转过90°。
④极点p代表机构中所有速度为零点－ 绝对瞬心影象。
b
e
尤其注意：影象与构件相同而不是与机构位 形相同！
第24页
第11页
aB B K
大小：21 vB2B1 2 1 vB2B1 Sin 900 2 1 vB2B1
2 1 v 方向：将 B2B1 方向顺着 1转向转 900
VB2B11
VB2B11
2
B (B1B2)
2
B (B1B2)
ω 1
aBk2B1 ω 1
aBk2B1
第12页
3)、注意事项：
v v B1 B2 1 2
c" c'
C=
CD
CD
a
a E点加速度由影像得： E p' e' a
方向如图。
第25页
π b’c’e’ －加速度多边形（或速度图解）， π －加速度极
点 加速度多边形特性：
E
2
2
C
①联接π点和任一点向量代表该点在机构图
B
中同名点绝对加速 度，指向为π →该点。
ω A
D
②联接任意两点向量代表该两点在机构图中
1
E3
为1常数。
A 1
D 求： 2 , 3, 2 , 3,
vE 和aE 。
4
第20页
B
v v v 2
C
解B CB 大小：? lAB1 ?
A 1
b c
机构的运动分析-相对运动矢量方程图解法
动的刚体。
运动副
连接两个构件，限制它 们相对运动的约束。
自由度
速度和加速度
机构能够独立运动的数 量。
描述构件运动的物理量， 包括线速度、角速度、 线加速度和角加速度。
机构运动分析的数学模型
矢量方程
描述机构中各构件之间相对运动的矢 量方程，包括位置矢量、速度矢量和 加速度矢量。
矩阵运算
用于求解矢量方程的数学工具，包括 矩阵乘法、转置和逆等。
理解机构的运动规律。
齿轮机构的运动分析
齿轮机构是一种常见的机械传动机构，其运动特性可以通过相对运动矢量方程进行描述。
齿轮机构在运动过程中，各构件之间的相对位置和相对运动关系可以通过矢量方程进行表示， 通过图解法可以直观地理解机构的运动规律。
齿轮机构在运动过程中，各构件之间的相对位置和相对运动关系可以通过矢量方程进行表示， 通过图解法可以直观地理解机构的运动规律。
复杂的机构运动分析中。
深入研究机构运动分析的其他方 法和技术，促进机构设计领域的
创新和发展。
加强与其他学科的交叉研究，将 机构运动分析方法应用于更多领 域，如机器人学、生物力学等。
对未来研究的建议
注重理论与实践相结合，加强实际应用案例的积累和 分析，提高方法的实用性和可靠性。
鼓励跨学科合作，发挥各自优势，共同推进机构运动 分析领域的发展。
05
结论与展望
研究结论
相对运动矢量方程图解法能够 准确描述机构的运动特性，为 机构运动分析提供了有效工具。
通过实例分析验证了该方法的 可行性和实用性，为机构设计 和优化提供了理论支持。
该方法具有直观、易理解的特 点，有助于提高机构运动分析 的效率和精度。
研究展望
进一步拓展相机构的运动分析
运动副
连接两个构件，限制它 们相对运动的约束。
自由度
速度和加速度
机构能够独立运动的数 量。
描述构件运动的物理量， 包括线速度、角速度、 线加速度和角加速度。
机构运动分析的数学模型
矢量方程
描述机构中各构件之间相对运动的矢 量方程，包括位置矢量、速度矢量和 加速度矢量。
矩阵运算
用于求解矢量方程的数学工具，包括 矩阵乘法、转置和逆等。
理解机构的运动规律。
齿轮机构的运动分析
齿轮机构是一种常见的机械传动机构，其运动特性可以通过相对运动矢量方程进行描述。
齿轮机构在运动过程中，各构件之间的相对位置和相对运动关系可以通过矢量方程进行表示， 通过图解法可以直观地理解机构的运动规律。
齿轮机构在运动过程中，各构件之间的相对位置和相对运动关系可以通过矢量方程进行表示， 通过图解法可以直观地理解机构的运动规律。
复杂的机构运动分析中。
深入研究机构运动分析的其他方 法和技术，促进机构设计领域的
创新和发展。
加强与其他学科的交叉研究，将 机构运动分析方法应用于更多领 域，如机器人学、生物力学等。
对未来研究的建议
注重理论与实践相结合，加强实际应用案例的积累和 分析，提高方法的实用性和可靠性。
鼓励跨学科合作，发挥各自优势，共同推进机构运动 分析领域的发展。
05
结论与展望
研究结论
相对运动矢量方程图解法能够 准确描述机构的运动特性，为 机构运动分析提供了有效工具。
通过实例分析验证了该方法的 可行性和实用性，为机构设计 和优化提供了理论支持。
该方法具有直观、易理解的特 点，有助于提高机构运动分析 的效率和精度。
研究展望
进一步拓展相机构的运动分析
第04讲--相对运动
解：
v
A地
v轮地
v A轮
r
v轮地
(水平向左)
v轮A ? vA地 ?
（向切线右上） （竖直向上）
vA地 v轮地 tan r tan
• 一辆邮车以u=lOm／s旳速度沿平直公路匀速 行驶．在离此公路d=50m处有一种邮递员， 当他与邮车旳连线和公路旳夹角为α=tg-1(1/4) 时开始沿直线匀速奔跑．已知他奔跑旳最大 速度为5m／s．试问：
a杆地 at an a柱地
①
①式旳矢量图如图所示．将①式中旳各矢量向半径方向
上投影，可得
a杆地 cos a柱地 sin an
a杆地
a柱地
• tan
v2
R cos2
1
cos
a
tan
R
v2 cos3
此措施主要！
一种线轴，轮和轴旳半径分别为R和r，目前已 v旳速度将缠绕在轴上旳线水平拉出，已知线轴 和地面之间无滑动，求：线轴
d
v v2 tan
d2 x2 x d
解2： AB L t ，L x2 d 2
BC vOM t ， AC vAB t
可得和解1相同成果
• 例：
• 如图所示，在xy平面上有两个半径均为R旳圆， 左圆圆心固定在坐标原点O，右圆圆心O’沿x 轴以速度v0作匀速直线运动，t=O时刻两圆心 重叠，试求两圆交点之一P点旳速率v和向心加 速度an、切向加速度at各与时间t旳关系。
1.列式
V雨人 V雨地 V地水 V水人
A
V地水 V水地
V水人 V人水
2。作图：如右图
,
3。计算
BD DC 2 BC 2 32 42 5m / s AD AB 2 BD 2 102 52 5 5m / s
相对运动图解法
C = B + CB
4）根据矢量方程式按适当比例尺作矢量多边形 5）从封闭的矢量多边形中求出运动参数的大小或 方向
相对运动图解法
小组成员：廖建明
匡云超
于仲海
李音格
1.基本原理
平面运动刚体上一个点的绝对运动，是牵连 运动和相对运动的和。
a = e + r
aa = ae + ar
牵连运动为平动
aa = ae + ar + ac 牵连运动为转动 、α —— 在任一瞬时，图形绕其平面内任何
点转动的角速度及角加速度都相同，称为平面图
已知：各杆杆长
1
求：aC
aE
1
2
3
D F
3
A
α2 α3
(1)加速度分析
已知加速度
n aB = aB = w12lAB n 2 aC = w3 lCD n 2 aCB = w2 lBC
E B
C
A
1
D
F
（2）列方程
a + a = +a + a + a + a
n C n B n CB
t C
t B
b'
n 'c
F
同理E点的加速度可联立方程求解，即
aE = aB + a EB + a = aC + a + aEC
n EB n EC
t
t
方向 大小
? ?
图中已 E ® B ^ EB 图中已 E ® C ^ EB 作出 L w 2 LEBa 2 作出 L w 2 L a EC 2 EB 2 EC 2
●加速度极点p′:是各构件加速度为零的点的影像。
相对运动图解法
相对运动图解法起源于19世纪初的物 理学和工程学研究，最初用于描述简 单的直线运动。
随着虚拟现实和增强现实技术的普及， 相对运动图解法有望在可视化、交互性 和实时性方面取得更大的突破。
发展历程
随着计算机技术的发展，相对运动图 解法逐渐扩展到更复杂的运动形式和 领域。
相对运动图解法的基
02
本概念
相对速度
应用
在分析动力学问题、运动 学问题以及相对运动问题 时，需要考虑相对加速度 的影响。
相对角速度和相对角加速度
定义
两个物体之间的相对角速度是指 一个物体相对于另一个物体的角 速度。相对角加速度是指一个物 体相对于另一个物体的角加速度。
计算
相对角速度和相对角加速度可以 通过矢量合成或分解的方法进行
计算。
定义
相对角速度是指物体相对于另一个物体的角速度，而相对 角加速度是指物体相对于另一个物体的角加速度。
计算公式
相对角速度 = 绝对角速度 + 牵连角速度，相对角加速度 = 绝对角加速度 - 牵连角加速度。
举例
当两个旋转的物体A和B，A的角速度为ω1，B的角速度为 ω2，则A相对于B的角速度为ω1 + ω2；若A的角加速度 为α1，B的角加速度为α2，则A相对于B的角加速度为α1 - α2。
在机器人技术领域，相对运动图解法可用 于机器人的自主导航、人机交互和动作规 划等，提高机器人的智能化水平。
THANKS.
相对加速度的计算
定义
相对加速度是指物体相对于另一个物体的加速度。
计算公式
相对加速度 = 绝对加速度 - 牵连加速度。
举例
当物体A以10m/s^2的加速度向右运动，而与其相连的物体B以5m/s^2的加速度向左运动，则A相对于B 的加速度为10m/s^2 - (-5m/s^2) = 15m/s^2。
第4章 机构运动分析与综合的图解法
图4-1 绕定点转动
图4-2 纯滚动
一般地，如图4-3，构 件2相对构件1作平面运动， 在任一瞬时，其相对运动都 可以看作是绕某一重合点的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
转动，该重合点称为瞬时回
转中心或速度瞬心，简称瞬 心。瞬心是该两构件上相对
速度为零的重合点，或瞬时
绝对速度相同的重合点。
图4-3 两构件平面运动
如果两构件之一是静止的，则其速度瞬心称为绝对速度瞬 心，简称绝对瞬心。显然，绝对速度瞬心是运动构件上瞬时绝 对速度为零的点。 如果俩构件都是运动的，则其速度瞬心称为相对速度瞬心，
由此可得，机构在图示位置的传动比为
1 P12 P23 i12 2 P12 P13
（4.1-2）
由式 (4.1-2) 可看出：两构件绝对角速度之比等于其相对瞬
心分其绝对瞬心连线所得两线段的反比，内分时转向相反，外
分时转向相同 。
4.2 相对运动图解法及其应用
相对运动图解是应用理论力学中的相对运动原理求解构件上
vs2 vs3
又假定构件1在S处的重合点为 S1
v s 2 v s1 v s 2 s1 v s 3 v s1 v s 3 s1
则
v s1 v s 2 s1 v s1 v s 3 s1
v s 2 s1 v s 3 s1
图4-5 三心定理证明
即
但由图可见 v s 2 s1 P12 S
因
v p 24 2 ( P24 P12 ) 4 ( P24 P14 )
故
2 ( P24 P14 ) i24 4 ( P24 P12 )
(4.1-1)
图4-6 铰链四杆机构的瞬心
2. 曲柄滑块机构
1.6 相对运动
1.6.1 牛顿的绝对时空观
在两个相对作直线运动的参考系中， 时间的测量是绝对的，空间的测量也是绝 对的，与参考系无关．
时间和长度的的绝对性是经典力学或 牛顿力学的基础．
1
1.6.2 相对运动
yy'
质点在相对作 匀速直线运动的两 个坐标系中的位移
S系 (Oxyz) 基本参考系
S' 系 (O'x'y'z')
运动参考系
P P'
*
oo'
xx'
t0
y
y' u Q
o
P
D
r r'
P'
xx'
ut o' t t
u 是S'系相对S系运动的速度
位移关系
r r'
D
或 r r' ut
速度变换
r r' u t t v v' u
9
u
射弹器以与车前进方 B 60 A
u
向的反向60呈o 斜向
o'
o
x'
x
上射出一弹丸．此时
上站的在另地一面实验者B看到弹丸铅直向上运动，求 弹丸上升的高度．
解 地面参考 系为 S 系，平板车
参考系为 S'系
tan vy
速度变换 vx vx u v'x
v'
y v' y'
dt
4
例1-14 一飞机驾驶员想往正北方向航行， 而风以60km/h的速度由东向西刮来，如果飞 机的行速（在静止空气中的速率）为 180km/h ,试问驾驶员应取什么航向？飞机相 对于地面的速率为多少？试用矢量图说明。
在两个相对作直线运动的参考系中， 时间的测量是绝对的，空间的测量也是绝 对的，与参考系无关．
时间和长度的的绝对性是经典力学或 牛顿力学的基础．
1
1.6.2 相对运动
yy'
质点在相对作 匀速直线运动的两 个坐标系中的位移
S系 (Oxyz) 基本参考系
S' 系 (O'x'y'z')
运动参考系
P P'
*
oo'
xx'
t0
y
y' u Q
o
P
D
r r'
P'
xx'
ut o' t t
u 是S'系相对S系运动的速度
位移关系
r r'
D
或 r r' ut
速度变换
r r' u t t v v' u
9
u
射弹器以与车前进方 B 60 A
u
向的反向60呈o 斜向
o'
o
x'
x
上射出一弹丸．此时
上站的在另地一面实验者B看到弹丸铅直向上运动，求 弹丸上升的高度．
解 地面参考 系为 S 系，平板车
参考系为 S'系
tan vy
速度变换 vx vx u v'x
v'
y v' y'
dt
4
例1-14 一飞机驾驶员想往正北方向航行， 而风以60km/h的速度由东向西刮来，如果飞 机的行速（在静止空气中的速率）为 180km/h ,试问驾驶员应取什么航向？飞机相 对于地面的速率为多少？试用矢量图说明。
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不可解！
不可解！
C
A
B
aC＝aA + anCA+ atCA ＝ aB + anCB+ atCB
? √ ? √ 作图求解得:
√ √ ? √ √ √ √ √ ? √ b’
p’
aC＝μa 方向：p’ c’ b” a’ t a C A ＝ μ a c ”’方向： c ’ c”’ c’ c’ c”’ atCB＝μac’c” 方向：c” c’
作者： 潘存云教授
速度多边形的性质:
① 由极点 p 向外连接任一点的向量，代表 该点在机构简图中同名点的绝对速度， 方向为由p→指向该点。 ② 连接任意两点的向量代表这两点在机 构简图中同名点的相对速度，指向与速 度的下标相反。如bc代表VCB。 常用相对速度求构件的角速度。 P
C
A
D
作者：潘存云教授
如选B点： VB4 = VB3+VB4B3 大小： ? 方向： √
t A 2 B 1 作者：潘存云教授 3 C t 不可解！
D
4
3
(a)
B 2 1 A
可解！
C
√ √
? √
应将构件扩大至包含B点！ 图(b)中取C为重合点，
作者：潘存云教授
4
D
(b)
有: VC3= VC4+VC3C4 不可解！ 大小： ? ？ ? 方向： ? √ √
A 1 ω1 B ω3 C
转向
ω 3 = μ vpb3 / lCB
作者： 潘存云教授
2. 重合点处的加速度关系
此方程对吗？
aB3 = anB3+ atB3 = aB2+ arB3B2 + akB3B2
2VB3B2ω 3 l1 ω 2 1 ? √ 方向：? BC √ BA ∥BC akB3B2的方向：VB3B2 顺ω 3 转过90° ω 23lBC ? 图解得： p 大小：?
ω 3 ＝VCB /lCB 方向：CW
A 1 b
e
作者：潘存云教授
利用速度影象与构件相似的原理，可求 得影象点e。
f
p
c
VF＝VE+ VFE 大小： ? √ ? 方向：//DF √ ⊥EF 图解上式得pef： VF ＝μ v pf VFE ＝ μ v ef
天津大学专用
求构件6的速度：
方向：p f 方向：CW
6
作图求解得:
e
作者：潘存云教授
aC =μa p’c’ 方向：p’ c’ aCB =μa b’c’ 方向：b’ c’ α3 = atCB/ lCB 方向：CCW α4= at
C / lCD
c
f
p
Байду номын сангаас
e’
P’
作者：潘存云教授
方向：CCW c’
利用影象法求得e点的象e’ 得： aE =μa p’e’
天津大学专用
一、同一构件上两点间的速度和加速度的关系
例：连杆ABC作平面运动时，已知A点
的运动参数，求同一构件上C点或B点的 速度或加速度。 根据运动合成的原理，C点或B点的 运动，可以看作随连杆上任一点（基点） A 的牵连运动和绕基点A 的相对转动。
C A B
天津大学专用
作者： 潘存云教授
1. 同一构件上两点间的速度关系 VB＝VA+VBA 设已知大小： ? √ ? 方向： √ √ ⊥BA 选取速度比例尺 μ v =m/s/mm，
FE =μa
f”f’ 方向：f” f’
方向：CW
f”
f’
e’
P’
α5 = atFE/ lFE
作者：潘存云教授
c”
c’
b’
天津大学专用
c
作者： 潘存云教授
4、 运动分析时重合点的选取原则 1. 选已知参数较多的点（一般为铰链点）
如选C点： VC3 = VC4+VC3C4 大小： ? ? ? 方向： ? √ √
a p C A
v
B
B
选任意点p作图使 VA＝μ vpa， 按图解法得： VB＝μ vpb, 方向：p b
相对速度为： VBA＝μ vab 方向： a b
同理有： VC＝VA+VCA 大小： ? √ ? 方向： ? √ ⊥CA
天津大学专用
b
不可解！
作者： 潘存云教授
同理有： VC＝VB+VCB 大小： ? √ ? 方向： ? √ ⊥CB 联立方程有： VC＝VA+VCA ＝VB+VCB 大小： ? √ ? 方向： ? √ ⊥CA √ ? √ ⊥CB
作者：潘存云教授 天津大学专用 作者： 潘存云教授
p’c’
c”
＝μa b”b’ /μl AB方向：CCW aBA＝ (atBA)2+ (anBA)2 ＝lAB α 2 +ω 4 ＝μaa’b’ aCA＝ (atCA)2+ (anCA)2 ＝lCA α 2 +ω aCB＝ ( at
CB
角加速度：α ＝atBA/ lAB
方向：CW
强调用相对速度求
同理：ω ＝μ vca/μ l CA ω ＝μ vbc/μ l BC 得：ab/AB＝bc/ BC＝ca/CA
C
A
作者：潘存云教授
ω
a a
B
∴ △abc∽△ABC
图示由各速度矢量构成的图形pabc 称为速度多边形（或速度图) p点称为速度多边形极点
p c c p
b b
天津大学专用
c”
b’
c
作者： 潘存云教授
求构件6的加速度：
aF = aE + anFE + atFE
? √ ω 25 lFE ? //DF √ 作图求解得: F E ⊥FE
α3 3 C ω4 B α5 ω2 ω 作者：潘存云教授 E 3 2 4 5ω 5 F α4
A 1b D
6
e f c p
aF =μa p’f’ 方向：p’ f’ at
C
作者：潘存云教授
aB
A
aA
B
选加速度比例尺 μa m/s2/mm 在任意点p’作图使 aA＝μap’a’ 求得：aB＝μap’b’ atBA＝μ ab”b’
方向:
天津大学专用
p’
b’
b” a’
b” aBA＝μab’ a’ 方向: b’
a ’ b’
作者： 潘存云教授
同理： aC＝aA + anCA+ atCA 大小： ? √ ω 2lCA ? 方向： ? √ CA ⊥CA 又： aC＝ aB + anCB+ atCB 大小： ? √ ω 2lCB ? 方向： ? √ CB ⊥CB 联立方程：
4
4
＝μa a’c’
＝μa b’c’ C A
作者：潘存云教授
) 2+
( an
CB
)2
＝lCB
α2
+ω
得：a’b’/ lAB＝b’c’/ lBC＝ a’
c’/ lCA ∴
称p’a’b’c’为加速度多边形 （或加速度图），p’加速度多边形极 点 加速度多边形的特性： b’ b” c’
天津大学专用
α
B
△a’b’c’∽△ABC
第三节 运动分析的相对运动图解法
相对运动图解法原理与步骤 根据理论力学运动合成的原理 正确列出机构的速度和加速度矢量方程 准确绘制速度和加速度矢量图 根据矢量图解出待求量
又称——矢量方程图解法
天津大学专用
作者： 潘存云教授
机构中每个构件的运动形式不同（定轴转动、平面 运动、移动），两个构件通过运动副联接，根据不同的 相对运动情况，可分为两类：
C
E B
A
作者：潘存云教授
③ ∵△a ’b’c’∽△ABC ，称a’b’c’ 为ABC的 加速度影象，称p’a’b’c’为PABC 的加速 特别注意：影象与构件相似而不是与机构位 度影象，两者相似且字母顺序一致。 形相似！ ④ 极点p’代表机构中所有加速度为零 的 天津大学专用 点的影象。
p’
b’ c” e’ 作者：潘存云教授 b” a’ c’
A 1
F
6
b
VC ＝VB+ VCB 大小： ? √ ? 方向：⊥CD √ ⊥BC
c
天津大学专用
p
作者： 潘存云教授
从图解上量得：
VC ＝VB+ VCB
ω2
3 B 2
C 5ω 5 F
VCB ＝μ Vbc
VC＝μ Vpc ω 4 ＝VC /lCD
ω3
ω4
E 4 作者：潘存云教授 D 6
方向：b c 方向：p c 方向：CCW
c”’
作者： 潘存云教授
加速度多边形用途：根据相似性原理由两点的加速度 求任意点的加速度。 例如:求BC中间点E的加速度aE
b’c’上中间点 e’为E点的影象，联接p’e’就是 aE。 作者：潘存云教授
p’
b’ c” e’ 作者：潘存云教授 b” a’ c’
天津大学专用
c”’
作者： 潘存云教授
二、两构件重合点的速度及加速度的关系
B
③ ∵△abc∽△ ABC ，称 abc 为 ABC 的速 度 影象，两者相似且字母顺序一致。前 者沿ω 方向转过90°。 称pabc为PABC的速度影象。 ④ 极点p代表机构中所有速度为零的点的影象。
a
作者：潘存云教授
c
p
b
绝对瞬心
特别注意：影象与构件相似而不是与机构位形相似！
天津大学专用 作者： 潘存云教授
天津大学专用
p’ b”3
b’ 3
作者： 潘存云教授
三、用相对运动图解法作机构速度和加速度分析