曹显兵概率论讲义

∑ P(B | Ai )P( Ai )
i =1
i =1
4．二项概率公式:
Pn (k) = Cnk Pk (1− P)n−k , k = 0,1, 2,⋯, n. ,
【例 10】 10 件产品中有 4 件次品, 6 件正品, 现从中任取 2 件, 若已知其中有一件为次品, 试求另一件也为次品的概率.
为【 】
（A） 3 p(1 − p)2 .
（B） 6 p(1 − p)2 .
（C） 3 p2 (1 − p)2 .
（D） 6 p2 (1 − p)2 .
【例 11】设 10 件产品中有 3 件次品, 7 件正品, 现每次从中任取一件, 取后不放回.
试求下列事件的概率. （1） 第三次取得次品; （2） 第三次才取得次品; （3） 已知前两次没有取得次品, 第三次取得次品; （4） 不超过三次取到次品; 【例 12】 甲, 乙两人对同一目标进行射击,命中率分别为 0.6 和 0.5, 试在下列两种情形下, 分别求事件“已知目标被命中,它是甲射
3
（2） 两数之和小于 1 且其积小于 .
16
一、 事件的关系与概率的性质
1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有：
（1） A 与 B 互斥（互不相容） ⇔ AB = Φ （2） A 与 B 互逆（对立事件） ⇔ AB = Φ , A ∪ B = Ω （3） A 与 B 相互独立 ⇔ P（AB）=P（A）P（B）.
k!
（4）
均匀分布
U
(a,
b)
:
f
(
x)
=
⎪⎧ ⎨b
1 −
a
，
a<
x<
b,
⎪⎩ ０， 其他.
（5） 正态分布 N（μ，σ2）： f (x) =
1
(x−µ)2 −
e 2σ 2 , σ > 0, − ∞ < µ < +∞
2πσ
⎧λe−λx , x> 0,
（6） 指数分布 E(λ) : f (x) = ⎨
【例 8】 设 A, B, C 为三个相互独立的事件, 且 0<P（C）<1, 则不独立的事件为 【 】
（A） A + B 与 C .
（B） AC 与 C
（C ） A − B 与 C
（D） AB 与 C
【例 9】 设 A，B 为任意两个事件，试证
1
P（A）P（B）－P（AB） ≤ P（A－B） P（B－A） ≤ .
应用.
3. 了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.
4. 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布 N (µ,σ 2 ) 、指数分布及其应用，其中参数为 λ(λ > 0)
的指数分布的概率密度为
⎧λe−λx , x > 0, f (x) = ⎨
⎩ 0, x ≤ 0.
二、 常见的一维分布
（1） 0-1 分布： P( X = k) = pk (1 − p)1−k , k = 0, 1 .
（2） 二项分布 B(n, p) : P( X = k ) = Cnk pk (1 − p)n−k , k = 0,1,⋯, n .
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（3） Poisson 分布 P(λ) ： P( X = k ) = λk e−λ , λ> 0, k = 0,1,2,⋯ .
λ> 0 .
⎩ 0, 其他.
（7） 几何分布 G( p) : P( X = k) = (1 − p)k−1 p, 0< p< 1, k = 1,2,⋯.
（8） 超几何分布 H（N,M,n）:
P( X
=
k)
=
C C k n−k M N−M CNn
, k
=
0,1,⋯, min{n, M}.
【例 6】某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p（0<p<1）, 则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率
=
⎪⎪ 5 ⎨⎪16
x
+
7 16
,
⎪⎩ 1,
x < −1, −1 ≤ x < 1,
x ≥ 1.
则 P( X 2 = 1) =
.
【 例 2 】 设随机变量 X 的密度函数为 f （x）, 且 f （－x） = f （x）, 记 FX (x) 和 F− X (x) 分别是 X 和 − X 的分布
函数, 则对任意实数 x 有 【 】
（A） F− X (x) = FX (x) .
（B） F−X (x) = FX (−x) .
（C） F− X (x) = 1− FX (x) .
（D） F−X (x) = 2FX (x) −1 .
【 例 3 】 设 随机变量 X 服从参数为 λ > 0 的指数分布, 试求随机变量 Y= min { X, 2 } 的分布函数
1
1
【例 6】 设事件 A, B, C 满足条件: P（AB）＝P（AC）＝P（BC） = , P（ABC）＝ , 则事件 A, B, C 中至多一个发生的概
8
16
率为
.
【例 7】 设事件 A, B 满足 P（B| A）＝1 则
【】
（A） A 为必然事件.
（C） A ⊃ B .
（B） P（B| A ）=0. （D） A ⊂ B .
(2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率 q .
第二讲 随机变量及其分布
考试要求
1. 理解随机变量及其概率分布的概念.理解分布函数（ F (x) = P( X ≤ x) ） 的概念及性质.会计算与随机变量有关的事件的
概率.
2. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握 0－1 分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其
2．古典概型：设样本空间 Ω 为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 P( A) = A中有利事件数 基本事件总数
3．几何概型：设 Ω 为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则 A 的度量（长度、面积 、体积）
P( A) = Ω的度量（长度、面积 、体积）
【例 1】 一个盒中有 4 个黄球, 5 个白球, 现按下列三种方式从中任取 3 个球, 试求取出的球中有 2 个黄球, 1 个白球的概率. （1） 一次取 3 个； （2） 一次取 1 个, 取后不放回； （3） 一次取 1 个, 取后放回. 【例 2 】从 （0，1） 中随机地取两个数，试求下列概率： （1） 两数之和小于 1.2；
2. 重要公式
（1） P( A) = 1 − P( A)
（2） P( A − B) = P( A) − P( AB) （3） P( A ∪ B) = P( A) + P(B) − P( AB)
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(BC) − P(AC) + P(ABC)
中”的概率. （1）在甲, 乙两人中随机地挑选一人, 由他射击一次; （ 2）甲, 乙两人独立地各射击一次. 【例 13】设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表,其中女生的报名表分别为 3 份,7 份和 5 份. 随机地取一个地区的
报名表,从中先后任意抽出两份.
(1) 求先抽到的一份是女生表的概率 p;
5. 会求来自百度文库机变量函数的分布. 一、分布函数 1．随机变量：定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量.
2．分布函数： F (x) = P( X ≤ x),−∞< x< + ∞
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F（x）为分布函数 ⇔ （1） 0≤F（x） ≤1
（2） F（x）单调不减 （3） 右连续 F（x+0）=F（x）
（4） F (−∞) = 0, F (+∞) = 1
3．离散型随机变量与连续型随机变量 （1） 离散型随机变量
P( X = xi ) = pi , i = 1,2,⋯, n,⋯
∞
∑ pi ≥ 0, pi = 1 i =1
分布函数为阶梯跳跃函数.
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2． 全概率公式：
∞
∞
∑ ∪ P(B) = P(B | Ai )P(Ai ), Ai Aj = Φ,i ≠ j, Ai = Ω.
i =1
i =1
3．Bayes 公式：
∪ P(Aj | B) =
P(B | Aj )P(Aj )
∞
∞
, A i Aj = Φ,i ≠ j, Ai = Ω.
n
n
∪ ∑ （4） 若 A1, A2,…,An 两两互斥, 则 P( A i ) = P( A i ) .
i =1
i =1
（5） 若 A 1, A2 , …, A n 相互独立, 则
n
n
n
∏ ∪ ∏ P( Ai ) = 1− P( Ai ) = 1− [1−P( Ai )].
i=1
i=1
i=1
n
n
∩ ∏ P( Ai ) = P( Ai ) .
i=1
i=1
（6） 条件概率公式: P(B | A) = P( AB) （P（A）>0） P( A)
1 【例 3】 已知（A＋ B ）（ A + B ）＋ A + B + A + B ＝C, 且 P（ C ）＝ , 试求 P（B ）.
3
【例 4】 设两两相互独立的三事件 A, B, C 满足条件: ABC＝Φ, P（A）＝P（B）＝P（C）< 1 ,且已知 P( A ∪ B ∪ C) = 9 , 则
4
三、乘法公式，全概率公式，Bayes 公式与二项概率公式
1． 乘法公式：
P( A1 A2 ) = P( A1 )P( A2 | A1 ) = P( A2 )P( A1 | A2 ). P( A1 A2 ⋯ An ) = P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )⋯ P( An | A1 A2 ⋯ An−1 ).
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第一讲 随机事件与概率
考试要求 1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算. 2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘
法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式. 3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型 1．试验，样本空间与事件.
（2） 连续型随机变量
x
∫ F(x) = f (t)dt −∞
+∞
∫ f（x）为概率密度 ⇔ （1） f（x）≥0, （2）
f（x） dx = 1
−∞
b
P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = ∫a f (x)
4．几点注意
【 例 1 】 设随机变量 X 的分布函数为
⎧ 0,
F
(x)
⇔ P（B|A）=P（B） （P（A）>0）. ⇔ P(B | A) + P(B | A) = 1 （0<P（A）<1）. ⇔ P（B|A） =P（B| A ） （ 0 < P（A） < 1 ） 注: 若（0<P（B）<1）,则 A, B 独立 ⇔ P（A|B）=P（A） （P（B）>0）
⇔ P( A | B) + P( A | B ) = 1 （0<P（B）<1）. ⇔ P（A|B）=P（A| B ） （0<P（B）<1） ⇔ P（ A |B）=P（ A | B ） （0<P（B）<1）
2
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P（A）＝
.
【例 5】 设三个事件 A、B、C 满足 P（AB）＝P（ABC）, 且 0<P（C）<1, 则 【 】
（A）P（A ∪ B|C）＝P（A|C）+ P（B|C）.
（B）P（A ∪ B|C）＝P（A ∪ B）.
（C）P（A ∪ B| C ）＝P（A| C ）+ P（B| C ）. （D）P（A ∪ B| C ）＝P（A ∪ B）.
（4） A, B, C 两两独立 ⇔ P（AB）=P（A）P（B）; P（BC）=P（B）P（C）; P（AC）=P（A）P（C）.
（5） A, B, C 相互独立 ⇔ P（AB）=P（A）P（B）; P（BC）=P（B）P（C）;
P（AC）=P（A）P（C）;
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【分享你所有，下载你所需】考研资料论坛 www.kaoyanzl.com-概率论(曹显兵) P（ABC）=P（A）P（B）P（C）.
【 例 4 】设某个系统由 6 个相同的元件经两两串联再并联而成, 且各元件工作状态相互独立
每个元件正常工作时间服从参数为 λ > 0 的指数分布, 试求系统正常工作的时间 T 的概率分布.
【 例 5】设随机变量 X 的概率密度为
f
(
x)
=
⎧1− | x
⎨ ⎩
0,
|,
| x |< 1, 其他.
试求（1） X 的分布函数 F (x) ; （2）概率 P(−2 < X < 1 ) . 4