各种位置直线的投影特性

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第二章直线的投影

如果两直线都不平行于投影轴，则有两个投影面投影平行则可以认为直线平行。如果两直线都平行于某投影面，则必须根据第三投影或比例关系判断。
2．已知直线 AB 平行直线 CD，试完成直线
例：已知直线AB平行直线CD，试完成直线AB
AB 和 CD 的三面投影。和CD的三面投影。
题解： c′〝
c
NEW
c
c
b
点Ｃ的投影在直线的同面投影上，并符合点的投影规律。
二、Ｄ点不在直线ＡＢ上。
a A d b a b
NEW
a b
D
d
B
d
例：判断点Ｍ是否在直线ＣＤ上解法１：
NEW
点Ｍ的投影不符合点在直线上的投影规律，故Ｍ点不在直线ＣＤ上。
例：判断点Ｍ是否在直线ＣＤ上
直线水平线
直观图
投影图
投影特征 1、水平投影ab 反映实长及直线的倾角β 和γ 。 2、正面投影a b //o x轴, 侧面投影a"b "//oy w 轴，且均短于实长。 1、正面投影e f 反映实长及直线的倾角α 和γ 。 2、水平投影ef //o x轴,侧面投影e"f "//oz 轴，且均短于实长。 1、侧面投影e"f" 反映实长及直线的倾角α 和β 。 2、水平投影e f//oy H 轴,正面投影e f //oz 轴，且均短于实长。
• 1．直线上的点，其投影必在该直线的同面投影上。 • 2．直线上的点，分割线段之比，在投影后保持不变。
三．直线上的点 (一) 直线上点的投影特性
点Ｃ在直线上ＡＢ上
1.直线上的点，
其投影必在该直线的同面投影上。
2.直线上的点，

第三章直线的投影

度缩短。
长度缩短。
长度缩短。
§3-3 一般位置直线的实长及
其对投影面的夹角
由上节可知，在特殊位置直线的投影中，至少有一个投影反映该线段的实长，线段对各投影面的夹角也可在投影图中找到。
4
图 3-5 一般位置直线
而一般位置直线在各投影面上的投影既
不反映实长，也不反映对投影面的夹角
（见图 3-5）。下面介绍工程上求一般位
（1）直线垂直投影面，它的投影成为一点；
（2）直线平行投影面，它的投影反映实长；
（3）直线倾斜投影面，它的投影不反映实长，而且缩短。
图 3-1 直线的投影
图 3-2 直线正投影的特性
1
二、点在直线上，点的投影一定在直线的投影上。
图 3-3 所示，过直线 AB 上一点 C 的投射线 Cc，必位于平面 ABba 上，故 Cc 与 H 面交点 c，也必位于平面 ABba 与 H 面的交线 ab 上。
图 3-7 以水平投影为一直角边求线段实长
图 3-8 以正面投影为一直角边求线段实长
综上所述，在投影图上求线段实长的方法是：以线段在某个投影面上的投影为一直角边，以线段的两端点到这个投影面的距离差为另一直角边，形成的直角三角形的斜边就是所求线段的实长，此斜边和投影长的夹角，就等于线段对该投影面的倾角。
10
（a）
（b）
（c）
（d）图 3-20 判断两直线的相对位置
（a）
（b）
图 3-21 过 A 点作一直线与 BC 、DE 两直线相交
§3-6 直角投影定理
当互相垂直的两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面的投影必为直角；当互相垂直的两直线都不平行于某投影面时，在该投影面的投影不反映直角；除此之外，当互相垂直的两直线中有一条平行于某投影面时，在该投影面的投影又会如何呢？这就是现在要讨论的一种情况，也是在作图时经常会遇到的，它是处理一般垂直问题的基础。

直线的投影

图2-19 判别C点是否在线段AB上
图2-19 判别C点是否在线段AB上作图：首先过a作一辅助线ab1，使ab1＝a'b',ac1＝a'c';然后连接b1b，过c1作b1b的平行线使与ab相交，如果交点与C点的水平投影c重合，则表明C点对AB的分段符合定比分段法，此时C点在直线段AB上；反之不在直线段AB上。 1.3两直线的相对位置空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。其中平行和相交两直线均在同一平面上，交叉两直线不在同一平面上，因此，又称为异面直线。 1. 两直线平行：相同；反之，若两直线的同面投影都平行，则空间两直线互相平行。如图2-20(a)所示，因为AB∥CD，则ab∥cd、a'b'//c'd'，且ab：cd= a'b'：c'd'。
1．水平投影积聚为一点 2．正面投影和侧面投影都平行于Z轴，并反映实长
1．正面投影积聚为一点2．水平投影和侧面投影都平行于Y轴，并反映实长
1．侧面投影积聚为一
侧
点
垂线
2．正面投影和水平投影都平行于X轴，并
反映实长
(3) 一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角，见图2-17。
影的夹角仍为直角；如果两直线都不平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影不反映直角。如果两直线相交成直角、且其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在该投影面上的投影仍然反映直角关系。通常称之为直角投影原理。
2-28所示，AB、BC为相交成直角的两直线，其中BC平行于Ｈ面（即水平线）， AB为一般位置直线。现证明两直线的水平投影ab和bc仍相互垂直，即bc垂直于ab。

3-直线的投影及两只线的相对位置关系

一边平行于投影面的直角的投影特性
例题 3

练习1
练习 2
练习3
练习4
各种位置的直线的投影及相对位置关系
一、各种位置的直线的投影特性及应用
投影面平行线投影面垂直线一般位置直线
二、直线的相对位置关系
相交平行交叉
投影特性及应用
一、特殊位置直线的投影及特性
1. 投影面平行线的投影及其特性：正平线、侧平线、水平线
2. 投影面垂直线的投影及其特性：正垂线、侧垂线、铅垂线
二、一般位置直线的投影及其真长与倾角的图解方法
1. 一般位置直线的投影特性
2. 一般位置的直线的真长与倾角的图解方法
直角三角形法求直线实长的基本原理
三、直线上的点的投影特性
1. 在直线的同面投影上
2. 按比例等分线段
2~4 两直线的相对位置
1. 相交
2. 平行
投影特性
及
3. 交叉
应用
两相交直线的判断方法
两相交直线的投影
例题 1
两平行直线的投影
例题 2
两交叉直线的空间位置及投影
两交叉直线的投影特性----1
重影点可见性的判断
交叉直线的投影----2
二、一边平行于投影面的直角的投影
1. 投影特性 2. 应用：例题：求点A到水平线BC的距离

直线的投影

（2）任何投影都小于空间线段的实长，也不能积聚为一点。
对于一般位置直线的辨认：直线的投影如果与三个投影轴都倾斜，则可判定该直线为一般位置直线。
思考题、讨论题、作业
习题册：P17 1、2、3、4
教学后记
在直线的投影中，只要理解了各种位置直线的定义、点的投影规律，作投影图应该是没问题的
3、一般位置直线
与三个投影面都处于倾斜位置的直线称为一般位置直线。
举例：如图2－23（a）所示，直线AB与H、V、W面都处于倾斜位置，倾角分别为α、β、γ。其投影如图2－23（b）所示。
（a）（b）
一般位置直线的投影特征可归纳为：
（1）直线的三个投影和投影轴都倾斜，各投影和投影轴所夹的角度不等于空间线段对相应投影面的倾角；
1、投影面平行线
平行于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。平行于V面的称为正平线；平行于H面的称为水平线；平行于W面的称为侧平线。
直线与投影面所夹的角称为直线对投影面的倾角。α、β、γ分别表示直线对H面、V面、W面的倾角。
举例说明：正平线的投影特性
强调：（1）斜线反映实长；
（2）直线的倾角α、γ。
授课题目
直线的投影
授课类型
新授
首次授课时间
年月日
学时
2
教学目标
理解并掌握各种位置直线的投影特性，并能根据投影特性判别直线对投影面的相对位置
重点与难点
各种位置直线的投影特性
教学手段与方法
讲授为主，学生理解掌握
教学过程：（包括授课思路、过程设计、讲解要点及各部分具体内容、时间分配等）
根据直线在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜线、投影面平行线、投影面垂直线三类。前一类直线称为一般位置直线，后两类直线称为特殊位置直线。

画法几何制图—平面投影及相对位置

② 若两投影面垂直面相互平行，
则它们具有积聚性的那组投影
必相互平行。
a
b c d
c d
b
b d
a c
e
d
b
ac
e
e f
f e
f h h
f
//
三峡大学
44
2 . 判例别判下断列下平列面两与平平面面是是否否平平行行。
a )
b ) 举例
平行
不平行
三峡大学
45
二、相交问题(重点与难点)
三峡大学
22
例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。
a
10
m
n
c
b
b
c
n m
a
唯一解！
三峡大学
23
⒉ 平面上取点
若点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。即：点在线上，则点在面上。
三峡大学
24
面上取点的方法：
首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
铅垂面(⊥H) 正垂面(⊥V) 侧垂面(⊥W)
水平面(//H) 正平面(//V) 侧平面(//W)
与三个投影面都倾斜一般位置平面
三峡大学
9
1）投影面垂直面的投影
铅垂面
V PB
c
a
a
W
b
A
a b
H
C PH c
a c
b 投影特性：
1. abc积聚为一条线，与OX、 OYH的夹角反映、角； 2 .abc、 abc为ABC的类似形；
1’ b’

各种位置直线的投影特性

各种位置直线的投影特性按照直线对三个投影面的相对位置，可以把直线分为三类：一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线。

后两类直线又称为特殊位置直线。

1.一般位置直线—与三个投影面都倾斜的直线一般位置直线的投影特性如下（图3-10）：1）三面投影都倾斜于投影轴。

2）投影长度均比实长短，且不能反映直线与投影面倾角的真实大小。

直线对H、V、W的倾角分别用α、β、γ表示。

投影面平行线——平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线(1）投影面平行线又可分为三种：平行于V面的直线叫正平线；平行于H面的直线叫水平线；平行于W面的直线叫侧平线。

图3-11 正平线的投影特性(2）正平线的投影特性(图3-11)：1)直线平行于V面，则V面投影与直线本身平行且等长，a＇b＇=AB；2)正平线上各点到V面的距离即Y坐标都相等，则a b∥OX, a"b"∥OZ。

3)AB与H面的倾角为α，由于AB平行V面，所以AB与V面的倾角为0。

又因为AB ∥a＇b＇，a b∥OX轴，所以，a＇b＇与OX轴的夹角为α，同理a＇b＇与OZ轴的夹角即为AB与W面的倾角γ。

表3-1为投影面平行线的投影特性。

表3-1 投影面平行线的投影特性名称轴测图投影图投影特性正平线(1)a＇b＇=AB, 反映α、γ角(2)a b//OX轴, a"b"//OZ轴水平线(1) cd=CD ,反映β、γ角(2)c＇d＇//OX轴, c"d"//O YW轴侧平线(1) e"f"=EF, 反映α、β角(2)e＇f＇//OZ轴，ef//O YH轴投影面平行线的投影特性:1.直线在与其平行的投影面上的投影,反映该线段的实长和与其他两个投影面的倾角2.直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴,且比线段的实长短投影面垂直线——垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线1）投影面垂直线又可分为三种：垂直于V面的直线叫正垂线；垂直于H面的直线叫铅垂线；垂直于W面的直线叫侧垂线。

直线的投影

直角三角形方法求倾斜线段的实长及其与W面的夹角g
X
直角三角形
实长
X
Rt△(γ)：ab X ab X
AB
g
AB g
Rt△(γ)
例9 已知三角形ABC 的投影，试求其实形。
实形
BC实长
Y AB实长
Y
AC实长
例10 已知线段AB 的投影，试定出属于AB 的点S 的投影，使AS 的实长等于已知长度L。
2.投影面垂直线
垂直于面（铅垂线）
直线的位置
直观图
投影图
特性
积聚成一点
⊥
YH YW
⊥ ＝＝
积聚成一点垂直于面（正垂线）
YW
⊥
YH
⊥ ＝＝
积聚成一点垂直于面（侧垂线）
YW
⊥
YH
⊥ ＝＝
归纳投影面垂直线投影特性：
① 在所垂直的投影面上的投影，为有积聚性的点。 ② 在另外两个投影面上的投影，垂直于相应的投影轴,且反映线段实长。
⒉ 平面法
② 第三面投影法平面法
DE与FG平行
DE与FG平行
⒉ 两直线相交
V c a C A X a
k
K
b d D O d B
交点是两直线的共有点
b c a
k
d
c
k
b
H
a
c k
d b
空间相交
投影特性
投影相交投影特征投影交点的连线垂直于投影轴
例4：过C点作水平线CD与AB相交。
四、直角三角形方法求倾斜线段的实长及α β γ
直角三角形方法求倾斜线段的实长及其与H面的倾角
Z Z

直线的投影知识

图4-28 一般位置直线
1.2 直线上点的投影特性
1. 从属性
直线上点的投影必在该直线的同面投影上，该特性称为点的从属性。如图4-29所示，C点在直线AB上，根据点在直线上投影的从属性和点的三面投影规律，可知C点的三面投影c、c′、c″分别在直线的同面投影ab、a′b′、a″b″上，并且三面投影符合点的投影规律。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
1.1 空间各种位置直线的投影特性
投影面垂直线的投影共性为：直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点，其他两投影反映实长，且垂直于相应的两投影轴。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
3. 一般位置直线
一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的夹角，如图4-28所示。
图4-31 两直线平行
1.3 两直线的相对位置
2. 两直线相交
空间中的两条直线如果相交，则它们的同面投影都相交，并且交点符合点的投影规律。如果两直线有一个投影面的投影不相交，则空间的两直线不是相交关系，如图4-32所示。
图4-32 两直线相交
1.3 两直线的相对位置
3. 两直线交叉
空间中两条直线如果交叉，则它们的同面投影既不相交又不平行，如图4-33所示。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
1. 投影面平行线
平行一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。与H面平行的直线称为水平线，与V面平行的直线称为正平线，与 W面平行的直线称为侧平线。它们的投影特性如表4-1所示。规定直线与H、V、W面的夹角分别用α、β、γ表示。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
1.1 空间各种位置直线的投影特性

直线的投影

2.投影面垂直线
正垂线
立体及其三视图
投影轴测图
直线投影图
直线的投影
铅垂线
侧垂线
投影特性：在所垂直的
投影面上的投影积聚为一点；
另外两个投影反映实长，且垂直于相应的轴。
直线的投影二、直线对投影面的各种相对位置及投影特性
3.一般位置直线对三个投影面都是倾斜的直线称为一般位置直线。
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位置直线则不能。
用直角三角形法求一般位置直线的真长和倾角。
ΔABD为直角三角形，
其中AB为实长，AD=ab，α
为AB对H面的倾角，BD=Bb-
Db=b＇bX- a＇aX=ΔZ（直线段AB两端点的Z坐标差）。
D
因此，已知ＡＢ投影，可以
通过ab和ΔZ作辅助直角三
角形求出AB及α角。
直线的投影三、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位置直线则不能。
用直角三角形法求一般位置直线的真长和倾角。
D
直线的投影三、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位置直线则不能。
在两直线交叉垂直时，也同样具有上述特性。
直线的投影六、一边平行于投影面的直角的投影
例5: 如图a所示，求点A到直线BC的距离AK。
分析：由图可知BC∥V面，而AK⊥BC，故根据直角投影定理可得：a′k′⊥b′c′。
图a
用直角三角形法求AK的实长
投影。投影用粗实线绘制。
直线的投影

各位置直线和平面投影特性总结

事实上，只要空间直线的任意两个投影都呈倾斜状态，则该直线一定是一条一般位置直线。
13
直角三角形法
直角三角形法的四要素：投影长、坐标差、实长、倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。解题
时，直角三角形画在任何位置都不影响解题结果，但用哪个长度来作直角边不能搞错。如图所示，在各个直角三角形中，实长与水平投影的夹角是α， α的对边长一定是Z坐标差；实长与正面投影的夹角是，的对边长一定是Y坐标差；实长与侧面投影的夹角是，的对边一定是X坐标差。直线对H、V、W三投影面的倾角为α、、。
3、一般位置平面
——与三个投影面都倾斜的平面。
16
（1）正垂面
投影特性：（一线两框）
1、正面投影abcd积聚为一倾斜于投影OX、OZ的直线。 2、abcd、abcd 具有类似性，PH OX轴，PWO轴 3、abcd与OX、OZ轴的夹角反映α、角的真实大小
Z V
Z
γ
14
（二）各种位置平面的投影特性
在三面投影体系中，根据平面与投影面所处的相对位置不同有如下分类:
平面
特殊位置平面一般位置平面
投影面平行面投影面垂直面
15
各种位置平面的三面投影
平面对H、V、W三投影面的倾角是指平面与投影面之间的
夹角，分别用α、、
1、投影面的垂直面
——与一个投影面垂直，而与另两个倾斜的平面。
X
O
βγ
β γ
H Y
YH
18
（3）侧垂面
投影特性：（一线两框）
1、侧面投影 abcd积聚为一倾斜于投影OYW、OZ的直线。 2、abcd、abcd 具有类似性,PH OYH,PVOZ轴 3、 abcd与OZ、OYW轴的夹角反映、α角的真实大小

基本要素的投影-直线的投影

●
●
a●
●
a
●
b
一般情况下，直线对一个投影面的投影特性
A
●
b 直线的投影
●
仍然为直线，特殊情况为一 α M A A B个点。
B ●
● ● ● ●
●
B
●
a≡b≡m
●
●
b
a●
b
a●
直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性
直线平行于投影面投影反映线段实长 ab=AB
直线倾斜于投影面投影比空间线段短 ab=ABcosα
a X A a
b a X b a Y a YH O

O b
b YW
|XA-XB|
直角三角形的作图要点: 直角三角形中,斜边为线段的实长,两直角边分别为线段的投影及坐标差,如图
α
△Z
AB
β
△Y
AB
γ
△X
ab
a ' b'
a ' ' b' '
每个直角三角形中，三条边和直线对投影面的倾角共四个参数，只要知道其中任意两个，就能求出其余两个
例１： α角的正确求法是（
b′
）图
b′ b′
α
a′
a′ a′
a
α
a
a
α
b (a)
b
b
(b)
(c)
例题2 已知线段的实长AB，求它的水平投影。 AB b |zA-zB|
AB |zA-zB|
a X

ab b
ab
a
例3 已知直线AB的水平投影ab及a′，且α=30°，用直角三角形法完成其正面投影。

《机械制图》第二章直线的投影

1.cd积聚成一点 2.c′d′⊥OX
c″d″⊥OYW 3.c′d′=c″d″=CD
1.e″f″积聚成一点 2.ef⊥OYH
e′f′⊥OZ 3.ef=e′f′=EF
一般位置直线（投影特点：三条斜线）
b a a
b
b a
投影特性：
三个投影都缩短。即: 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影
1. ab∥OX
影
a″b″∥OZ
特
2. a′b′=AB 3. 反映α 、γ 倾角
性
βγ
1. c′d′∥ OX c″d″∥OYW
2. cd=CD 3. 反映β 、γ 倾角
β α
1.e′f′∥OZ ef∥OY H
2. e″f″=EF 3. 反映α 、β 倾角
2.投影面垂直线
由两点到两个投影面距离相等时的两点连线构成。该直线垂直于某一投影面，对另外两个投影面都平行。
YW
Y
YH
• 在直线所平行的投影面上，投影反映实长，且该投影与相邻投影轴的夹角反映该直线对另外两个投影面的倾角大小。
• 在另外两个投影面上，线段的投影为缩短的线段，且分别平行于直线一斜二平）
名称
直观图
正平线
水平线
侧平线
投
γ
影
α
图
投
第二章直线的投影
第三节直线的投影
一、各种位置直线及投影特性
1.一般位置直线
由一般位置的两点连线构成。该直线与三个投影面都倾斜。
β
γ
YW
α
Y YH
投影特性: 三个投影都倾斜于投影轴，每个投影既不直接
反映线段的实长，也不直接反映倾角的大小。

工程制图4(直线的投影)

本节回顾
• 直线的投影
– 直线投影的定义，直线实长及其与各投影面夹角的求法
– 直线投影和点投影的关系 – 各种位置直线的投影 – 两直线的相对位置
• 作业
– 习题集17-20页
3-2 直线的投影
一、直线的投影图二、各种位置直线的投影三、直线上点的投影四、两直线的相对位置
一、直线的投影图 z
b’ b”
a’
a”
X
o
YW
b
a
YH
两点决定一条直线。因此，直线直线的的投投影影图可以由直线上任意两个点的投影来决定。
1. 直线对一个投影面的投影特性
A
B
B
M
A
B
α
A
b
b
a(b)(m) H
b’
c’
Z坐标差
a’
a c
C0

b
三、直线上点的投影
1. 从属性。若点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，并且符合空间一点的投影特性。
2. 定比性。若点在直线上，则点分线段之比等于其投影之比。
AC:CB= ac:cb = a’c’:c’b’ = a”c”:c”b”
b’
z
b”
c’
c”
例6 已知AB∥V面，试过点C作一直线CD与AB垂直相交。
b’
d’
a’
X
a
d
直线CD与正平线AB所成的直角正面投影上反映直角。
c’ b
c
例7 求两直线AB、CD的公垂线。
公垂线MN是水平
D N
线 c’
A
n’ d’
a’ m’
M
C
BX

直线投影

1、已知直线AB的三面投影
试判别有关性质：
aˊ
（1）AB是侧平线
（2）它同V面—倾—斜
bˊ
它同W—平—行
Xa
它同H 倾斜（平行或倾斜）
（3）它在 W 投影面上的投影 b
a〞b〞反映实长
Z a〞
b〞
O
YW
YH
2、已知直线AB的三面投影，试判别有关性质：
Z
a'(b')
X
b
b"
O
a"
AB是正垂线，
bˊ
a〞 b〞
A X
B O b〞 X
O
YW
a
H
b
a
Y
b
YH
投影特性：1、ab=AB且 ab且倾斜于投影轴（一斜）
2、a′b′、a〞b〞＜AB且平行于相应投影轴（二平）
3、侧平线（平行W面且倾斜V面、H面）
Z
V
aˊ
aˊ A
W a〞
bˊ
bˊ
Z a〞b〞Xa来自OXaO
YW
B
b〞
Hb
b Y
YH
投影特性：1、a〞b〞 =AB且 a′b′且倾斜于投影轴（一斜）
（垂直于投影轴→二垂）
辩认：一点二垂
（三）一般位置直线这类直线对三个投影面均处于倾斜位置
V
Z
b' B b" W
a'
X
A a b a"
Z b' b"
a'
O a"
X
b
YW
H
Y
a YH
1）直线的三面投影长度均小于实长

各种位置直线的投影特性讲解学习

各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性按照直线对三个投影面的相对位置，可以把直线分为三类：一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线。

后两类直线又称为特殊位置直线。

1.一般位置直线—与三个投影面都倾斜的直线一般位置直线的投影特性如下（图3-10）：1）三面投影都倾斜于投影轴。

2）投影长度均比实长短，且不能反映直线与投影面倾角的真实大小。

直线对H、V、W的倾角分别用α、β、γ表示。

图3-11正平线的投影特性(2）正平线的投影特性(图3-11)：1)直线平行于V面，则V面投影与直线本身平行且等长，a＇b＇=AB；2)正平线上各点到V面的距离即Y坐标都相等，则a b∥OX, a"b"∥OZ。

3)AB与H面的倾角为α，由于AB平行V面，所以AB与V面的倾角为0。

又因为AB∥a＇b＇，a b∥OX轴，所以，a＇b＇与OX轴的夹角为α，同理a＇b＇与OZ轴的夹角即为AB与W面的倾角γ。

表3-1为投影面平行线的投影特性。

表3-1 投影面平行线的投影特性名称轴测图投影图投影特性正平线(1)a＇b＇=AB, 反映α、γ角(2)a b//OX轴, a"b"//OZ轴水平线(1) cd=CD ,反映β、γ角(2)c＇d＇//OX 轴, c"d"//O YW轴侧平线(1) e"f"=EF, 反映α、β角(2)e＇f＇//OZ轴，ef//O YH轴投影面平行线的投影特性:1.直线在与其平行的投影面上的投影,反映该线段的实长和与其他两个投影面的倾角2.直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴,且比线段的实长短投影面垂直线——垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线1）投影面垂直线又可分为三种：垂直于V面的直线叫正垂线；垂直于H面的直线叫铅垂线；垂直于W面的直线叫侧垂线。

机械制图直线的投影

例1：判断图中两条直线是否平行。
b d c c b d 对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。
a a
AB//CD
三峡大学
例2：判断图中两条直线是否平行。
c c 对于投影面平行线，只有两 a 个同名投影互相平行，不能判断空 d 间直线平行。方法1：求出侧面投影 AB与CD不平行。
三峡大学
3)侧平线（//W,所有点X坐标相等）
a
b a
β
实长
α
b
a
b W面具有实形性,H、V有类似性. 1.W面a”b”=AB,反映倾角α .β ； 2.a’b’//OZ,ab//OYH，长度缩短。
投影特性：
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的大小。 ② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。投影特征：一斜两平行
三峡大学
cb ac
X
四、空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉
⒈ 两直线平行
b
a A a b B c d C c d H V
投影特性：
平行性——空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。
等比性——空间两线段平行，其长度之比等于同面投影长度之比。
直线平行
D
即：AB//CD，ab//cd，a’b’//c’d’， a”b”//c”d”. AB/CD=ab/cd=a’b’/c’d’=a 三峡大学
垂直于某一投影面而与其余两投影面平行
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
三峡大学
1.一般位置直线
如图,直线AB与三个投影面都倾斜。V面投影a’b’,H面投影ab,W面投影 a”b”。设直线段AB对H、V、W三个投影面的倾角分别为α 、β 、γ ，则 ab=ABcosα , a’b’=ABcosβ , a”b”=ABcosγ .三个投影都具有类似性.

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第二章 直线的投影

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《机械制图》第二章 直线的投影

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