一高等代数与解析几何之间的关系

利用几何直观理解高等代数中抽象的定义和定理

一、高等代数与解析几何的关系

代数为几何的发展提供了研究方法，几何为代数提供直观背景。

解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识、定义来刻画、描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。

“如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。”

--------拉格朗日

二、目前将高等代数与解析几何合并开课的大学

中国科大：

陈发来，陈效群，李思敏，线性代数与解析几何，高等教育出版社，北京：2011.

南开大学：

孟道骥，高等代数与解析几何（上下册）（第二版），科学出版社，北京：2007.

华东师大：

陈志杰，高等代数与解析几何 (上下册) (第2版)，高等教育出版社，北京：2008.

华中师大：

樊恽，郑延履，线性代数与几何引论，科学出版社，北京：2004.

同济大学：

高等代数与解析几何同济大学应用数学系高等教育出版社(2005-05出版)

兰州大学，广西大学，西南科技大学，成都理工大学

三、高等代数的特点

1、逻辑推理的严密性；

2、研究方法的公理性；

3、代数系统的结构性。

四、高等代数一些概念的引入

对于刚上大学的一年级新生, 大多数难以适应高等代数的抽象概念的引入、推导

和应用。通过一些实例，特别是几何实例，引入高等代数的相关概念，一方面可以让学生了解抽象概念的来龙去脉，另一方面可以让学生找到理解抽象概念的思维立足点。

五、高等代数的一些概念的几何解析

高等代数中相关概念和定理的几何解析，可以使学生更容易把握这些概念和定理的几何本质，更容易直观地理解这些抽象的概念和定理，从而可以提高学生运用这些抽象的概念和定理去解题的能力。

1. 线性代数中“线性”的几何意义

线性代数是高等代数的一个分支，有线性空间、线性映射、线性变换、线性方程组、

线性相关性等概念。哪究竟这里的“线性”的直观理解是什么？简单地说，就是因变量与自变量之间的关系可以描述为一条直线，例如线性函数y=f(x)=ax+b,最简单的情形就是过原点的直线y=f(x)=ax 。

而对于过原点的直线y=f(x)=ax ，其满足可加性和比例性，即

1212()()(),()()f x x f x f x f kx kf x +=+=,或者11221122()()()f k x k x k f x k f x +=+。 一句话，线性组合的函数，等于函数的线性组合。 将这种关系推广到高维的情形：Y=AX,β= α,AX=b. 2.行列式的几何意义

（1）二级行列式的几何意义 二级行列式1221

2

a a D

b b =

是 xoy 平面上以行向量a =12(,)a a 和b =12(,)b b 为邻边的平行

四边形的有向面积：若这个平行四边形是由向量a 沿逆时针方向转到b 而得到的，面积取正值；若这个平行四边形是由向量a 沿顺时针方向转到b 而得到的，面积取负值。

S(a,b)=|a||b|sin ()αβ-,而sin 1221

()||||

a b a b a b αβ--=

。

另外，二级行列式的另一个几何意义就是是两个行向量或列向量的叉积a ⨯b 的数值。 （2）三级行列式的几何意义

三级行列式的几何意义是其行向量或列向量所张成的平行六面体的有向体积。

向量a ,b ,c 的混合积（a ,b ,c ）=（a ⨯b ） c =3

21

321

321

c c c b b b a a a 。 推论1：三点a ,b ,c 共面的等价条件是3

2

1

321

3

21

c c c b b b a a a ＝0. 推论2：过平面上两点(11,y x ), (22,y x )的直线方程为011122

11

=y x y x y

x

。

3. 矩阵乘积的几何意义

要说到矩阵的乘积的几何意义，我们首先要了解矩阵的发展历程：

1801年德国数学家高斯（F.Gauss ）把一个线性变换的全部系数作为一个整体。 1844年，德国数学家爱森斯坦（F.Eissenstein ）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。

1850年，英国数学家西尔维斯特（J. J. Sylvester ）首先使用矩阵一词。 1858年，英国数学家凯莱（A.Cayley ，）发表《关于矩阵理论的研究报告》。他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，并在这个主题上首先发表了一系列文章，因而被认为是矩阵论的创立者，他给出了现在通用的一系列定义，如两矩阵相等、零矩阵、单位矩阵、两矩阵的和、一个数与一个矩阵的数量积、两个矩阵的积、矩阵的逆、转置矩阵等。

矩阵实质上就是一个线性变换。矩阵乘积实质就是线性变换的复合。下面来看2R 中的一个简单例子：

1122x y X Y x y ⎛⎫⎛⎫=→= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭：1111122

2211222y a x a x y a x a x =+⎧⎨=+⎩，即Y=AX ，11122122a a A a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 1122y z Y Z y z ⎛⎫⎛⎫=→= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭：11111222211222z b y b y z b y b y =+⎧⎨=+⎩，即Z=BY ，11122122b b B b b ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦.

则12x X x ⎛⎫=→ ⎪⎝⎭12z Z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭：1111112211111212222

2211122211211222222

()()()()z b a b a x b a b a x z b a b a x b a b a x =+++⎧⎨=+++⎩，即Z=CX,