考研高数总复习Laplace变换(讲义)

求单位阶跃函数
u(t
)
0，t 1，t
>
0 0
的Laplace变换.
根据Laplace变换的定义, 有
L [u(t )] e- std t 0
这个积分在 Re s时>收0 敛, 而且有
e- std t - 1 e- st 1
0
s0s
所以 L [u(t)] 1 (Re(s) > 0).
2b f (t)e-std t 4b f (t)e-std t
0
2b
2(k1)b f (t )e-std t 2kb
2(k1)b f (t ) e- std t
2 kb
k0
令t 2kb, 则
2(k 1)b f (t ) e- std t 2b f ( 2kb) e- s( 2kb)d
一、问题的提出 二、Laplace变换的概念 三、Laplace变换的存在定理 四、周期函数的Laplace变换 五、小结
拉普拉（P.S.Laplace，1749-1827）， 法国著名的天文学家和数学家，天体力 学的集大成者.
法国的3L: 拉普拉斯和拉格朗日、勒让德.
一、 问题的提出
• 对于一个函数j(t), 有可能因为不满足Fourier变换
的条件, 因而不存在Fourier变换.
因此, 首先将j(t)乘上单位阶跃函数 u(t), 这样t小于零
的部分的函数值就都等于零. 而大家知道在各种函数
中, 指数函数 e-bt (b>0) 的上升速度是最快的了,
因而 e-bt下降的速度也是最快的.
几乎所有的实用函数j(t)乘上u(t)再乘上e-bt后得到 的j(t)u(t)e-bt的Fourier变换都存在.
0
s-k
0 s-k
所以 L [ekt ] 1 (Re(s) > k). s-k
练习:
试求指数函数 f (t ) e-kt 的Laplace变换.
(k为实数)
三、Laplace变换的存在定理
Laplace变换的存在定理: 若函数 f (t) 满足:
1)在t 0的任一有限区间上分段连续;
2)当t时, 的f增(t)长速度不超过某一指数函
f
(t)e-std t
e-2kbs
k0
当 Re(s) > 0 时
e-2kbs
k0
1 1 - e-2bs
从而
1
L [ f (t)] 1 - e-2bs
2b f (t )e-std t
0
1 1 - e-2bs
(1 - e-bs )2
1 s2
1 1 - e-bs 1
bs
s2 1 e-bs s2 tanh 2
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二、Laplace变换的概念
•对函数j(t)u(t)e取-btFobu>ri0er变换, 可得
Gb ()
j (t )u(t ) e-b te- jtd t
-
f (t ) e-(b j )td t f (t ) e- std t
0
0
其中 s b j, f (t) j(t)u(t).
s2
k
k2
Re s
>
0
同理得余弦函数的Laplace变换
L
[cos kt]
s2
s
k2
Re s
>
0
求周期性三角波
t,
f
(t
)
2b
-
t
,
且 f(t+2b)=f (t)的Laplace变换.
0 t b b t 2b
根据 F s f , 有t e-stdt 0
L [ f (t)] f (t)e-std t 0
2kb
0
e-2kbs 2b f ( )e-s d 0
而
2b f (t)e-std t b t e-std t 2b (2b - t)e-std t
0
0
b
因此
1 s2
(1 - e-bs )2
L [ f (t )] e-2kbs
2b f (t ) e- std t
0
k0
2b 0
数, 即存在常数 及 M, 使>得0 c 0
f (t ) Mect , 0 t
成立.
三、Laplace变换的存在定理
则 f t的 Laplace变换
F s
f
t e- st dt
0
•在半平面Re(s上) >一c 定存在, 右端的积分在
R•e(s) 上c1绝> c对收敛而且一致收敛, 并且在
函数 f (t) 的Laplace变换式
二、Laplace变换的概念
•记 F(s) L [ f (t)], F(s) 称为 f (t)
作: 的Laplace变换.
若 F(是s) f的(tL) aplace变换,则称 f (t)
为 F(的s) Laplace逆变换.
记作: f (t ) L -1 [F (s)] .
设函数 f (t的) 周期为 T,即 f (t T) f (t)t > 0,
当 f (t) 在一个周期上是分段连续的,则
L
[
f
(t)]
1 1 - e-sT
若再设
F(s)
Gb
s
-b
j
,
则得
F (s) f (t )e-std t 0
二、Laplace变换的概念 定义:
•设函数f (t当) 时t 有0定义, 而且积分
f (t)e-std t (s为一个复参量) 0
在s的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函数 可写为
F (s) f (t)e-std t 0
求单位脉冲函数 δ(t )的Laplace变换.
根据 F s f t e-stdt , 利用性质: 0
-
f
t δ t dt
f
0， 有
L [ (t )] δ(t )e-std t 0
δ(t ) e- std t 0-
δ(t ) e- std t e-st 1
-
t0
四、周期函数的Laplace变换
s
求指数函数 f (t) ekt 的Laplace变换(k为实数).
根据
F s
f
t e-stdt , 有
0
L [ f (t )] ekte-std t e-(s-k )td t
0
0
这个积分在Re s时> k收敛, 而且有
e-(s-k )td t 1 e -(s-k )t 1
• 的半平面内,
Re(s) > c
为解F析(s)函数.
求正弦函数 f (t) sin kt (k为实数)
的Laplace变换.
根据
F s
f
t e-stdt , 有
0
L [sin kt] sin kt e-std t 0
e- st s2 k2
-s sin kt
-
k cos kt
0