1-2.2等差数列前n项和

122等差数列前n项和

教学目标

1.掌握等差数列前《项和的公式，并能运用公式解决简单的问题

(1)了解等差数列前《项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前？!项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式;

(2)用方程思想认识等差数列前《项和的公式，利用公式求儿卫1/卫；

等差数列通项公式与前«项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值;

(3)会利用等差数列通项公式与前《项和的公式研究q的最值.

2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特

殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法

3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.

4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中

的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题. 教学重点：等差数列的前n项和公式的推导和应用，

难点：获得推导公式的思路.

教学方法:讲授法.

教学建议

(1)知识结构

本节内容是等差数列前《项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列前《项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题.

(2)重点、难点分析

高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上.

(3)教法建议

①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用, 一节侧重于通项公式与前《项

和公式综合运用.

②前《项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活

③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法

④补充等差数列前《项和的最大值、最小值问题.

⑤用梯形面积公式记忆等差数列前«项和公式.

教学过程：一.新课引入

提出问题：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？

问题就是（板书）“ 1 + 2 + 3 + 4 +…+100 = ? ”

这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的

（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101,

50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.

我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发?

.讲解新课：（板书）等差数列前《项和公式

1.公式推导（板书）问题：设等差数列｛%｝的首项为"1,公差为d，

E广勺+勺+偽+…+ a广?由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的

指导意义.

思路一：运用基本量思想，将各项用衍和d表示，得

儿 + 十d）+ （a] + 2d）+（逐 +〃）+ ・♦ +仙+0-2同|+国+（旷1）引，有以下等式冷+d）+M +（旷2）d] = @1 +2d）+国+伙-加]二…，问题是一共有多少个

+国+也~1同，似乎与n的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.

思路二：上面的等式其实就是坷5 5巾『^3 5•厂…，为回避个数问

题，做一个改写心=珂+勺+陽+…+迄“+抵］+必菱， 心=尬」抵1+也+…地+勾+如，两式左右分别相加, 得：2$厂何5）+佃+如）+ （西巾』+

…+ （也+曲）+ （也5）+仇+卯,2S,=呛1 +叮

g _总⑷+石

于是有：" 2 .这就是倒序相加法.

思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得

2S'=加］+坷+ （用T ）d ］， 于是5咛d

g _ 验 1 + Q

于是得到了两个公式： 槪 —厂

2. 公式记忆：用梯形面积公式记忆等差数列前 «项和公式，这里对图形进行了割、

补两种处理，对应着等差数列前 《项和的两个公式.

3. 公式的应用：公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一

例 1.求和：（1）101 + 100 + 99 + 98 + 97 + …+ 64 ；

（2）2+4 + 6 + 8 +…+ （2时+4）（结果用《表示）

解题的关键是数清项数，小结数项数的方法

例2.等差数列2,4,6,,…中前多少项的和是9900?

本题实质是反用公式，解一个关于《的一元二次函数，注意得到的项数 《必 须是正整数.

三.小结：1.推导等差数列前«项和公式的思路;

2.公式的应用中的数学思想. o 严世2 和k 1

2 7 1

r = - til f

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