1-2.2等差数列前n项和

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北师版高中数学选择性必修第二册精品课件第一章 2.2 第1课时等差数列的前n项和

答案:B
3.在等差数列{an}中,有3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48,则此数列前13项之和
为
.
解析:∵数列{an}是等差数列,
∴3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=6a4+6a10=48.
∴a4+a10=8.∴a1+a13=8.
13(1 +13 )
∴S13=
=52.
2
2
随堂练习
1.已知等差数列{an}的各项都是负数,且 32 + 82 +2a3a8=9,则它的前10项和
S10等于(
A.-11
).
B.-9 C.-15 D.-13
解析:∵32 + 82 +2a3a8=9,
∴(a3+a8)2=(a1+a10)2=9.
∵an<0,∴a1+a10<0.
10(1 +10 )
1, = 1,
故 an=
2 × 3-1 , ≥ 2.
【思想方法】
应用方程思想解决等差数列问题
【典例】等差数列{an}的前n项和记为Sn,已知a10=30,a20=50.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若Sn=242,求n的值.
1 + 9 = 30,
1 = 12,
解:(1)由 an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组
2
2
即-512=1+(4-1)d,
解得d=-171.
在等差数列{an}中,S4=20,S6=48,求a1.
4×3
4 = 41 + 2 × = 20,

第一部分第一章§2第一课时等差数列的前n项和

第一课时等差数列的前n项和
[思路点拨] 运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换．
法二：由S5＝5a3＝40，得a3＝8. 所以a2＋a5＝a3－d＋a3＋2d＝2a3＋d＝16＋d＝19. 得d＝3. 所以a10＝a3＋7d＝8＋7×3＝29.
答案：A
5．在项数为2n＋1的等差数列{an}中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n＝ ( )
A．9
B．10
C．11
D．12
答案：B
6．已知数列{an}是等差数列，且a1＋a2＋…＋a10＝ 10， a11＋a12＋…＋a20＝20，求a41＋a42＋…＋a50.
法二：设b1＝a1＋a2＋…＋a10，b2＝a11＋a12＋…＋a20
(2)“知三求二”型：在a1，an，Sn，n，d五个量中，已知其中的三个量，可以由通项公式和前n项和公式建立方程组，即可以求出另外的两个．这两种类型是解决等差数列运算的基本方法．
ห้องสมุดไป่ตู้
2．等差数列前n项和的最值问题： (1)类型．①若d>0，a1<0，则Sn有最小值；②若 d<0，a1>0，则Sn有最大值． (2)主要方法： ①二次函数法．用求二次函数的最值方法(配方法) 来求其前n项和的最值，但要注意的是n∈N＋.
，b3＝a21＋a22＋…＋a30，b4＝a31＋a32＋…＋a40，
b5＝a41＋a42＋…＋a50. ∵数列{an}是等差数列， ∴数列{bn}也成等差数列，其中b1＝10，公差D＝b2－b1＝20－10＝10. ∴a41＋a42＋…＋a50＝b5＝10＋4×10＝50.
[例3] (12分)等差数列{an}中，Sn为前n项和，且 a1＝25，S17＝S9，请问数列前多少项和最大？

等差数列的前n项和教案

等差数列的前n项和教案一、教学目标1. 理解等差数列的概念及其性质。

2. 掌握等差数列的前n项和的计算公式。

3. 能够运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

二、教学重点1. 等差数列的概念及其性质。

2. 等差数列的前n项和的计算公式。

三、教学难点1. 等差数列的前n项和的公式的推导过程。

2. 运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等差数列的前n项和的计算方法。

2. 通过实例分析，让学生掌握等差数列的前n项和的应用。

3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解等差数列的前n项和的性质。

五、教学内容1. 等差数列的概念及其性质。

2. 等差数列的前n项和的计算公式。

3. 等差数列的前n项和的性质。

4. 运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

第一章：等差数列的概念及其性质1.1 等差数列的定义1.2 等差数列的性质1.3 等差数列的通项公式第二章：等差数列的前n项和的计算公式2.1 等差数列前n项和的定义2.2 等差数列前n项和的计算公式2.3 等差数列前n项和的性质第三章：等差数列的前n项和的性质3.1 等差数列前n项和的单调性3.2 等差数列前n项和的奇偶性3.3 等差数列前n项和的最值问题第四章：运用等差数列的前n项和公式解决实际问题4.1 等差数列前n项和在实际问题中的应用4.2 等差数列前n项和的优化问题4.3 等差数列前n项和与数学竞赛第五章：等差数列的前n项和公式的推导过程5.1 等差数列前n项和公式的推导方法5.2 等差数列前n项和公式的证明5.3 等差数列前n项和公式的拓展与应用六、等差数列的前n项和的图形直观6.1 等差数列前n项和的图形表示6.2 等差数列前n项和的图形性质6.3 等差数列前n项和的图形应用7.1 等差数列前n项和的数值方法7.2 等差数列前n项和的数值例子7.3 等差数列前n项和的数值分析八、等差数列的前n项和的实际应用8.1 等差数列前n项和在经济学中的应用8.2 等差数列前n项在工程学中的应用8.3 等差数列前n项在和生物学中的应用九、等差数列的前n项和的问题拓展9.1 等差数列前n项和的相关问题拓展9.2 等差数列前n项和的问题研究进展9.3 等差数列前n项和的问题解决策略十、等差数列的前n项和的教学设计10.1 等差数列前n项和的教学目标设计10.2 等差数列前n项和的教学方法设计10.3 等差数列前n项和的教学评价设计重点和难点解析一、等差数列的概念及其性质补充和说明：等差数列是一种常见的数列，其特点是相邻两项的差值是常数。

各有千秋,难分伯仲——等差数列前n项和公式的五种形式及应用

各有千秋,难分伯仲——等差数列前n项和公式的五种
形式及应用
一、定义：
等差数列（Arithmetic Sequence）是指一组数满足相邻两项之差均为常数的数列。

它是有序数列中最为常见的类型，而且它在数学中有着重要的应用。

二、公式：
等差数列的前n项和公式有五种形式，即：
1. 极差法：Sn = n*a + [(n-1)*d]/2；
2. 等比数列的和公式：Sn = a*(1-rn) / (1-r)；
3. 通项法：Sn = n/2(a+l)；
4. 等差前n项和公式：Sn = n/2(2a+(n-1)d)；
5. 首项和末项乘积法：Sn = n/2(a×l)。

三、应用：
1. 等差数列可以用于说明几何形体的对称性，如三角形、正方形和正多边形。

2. 等差数列可以用于推断和解决实际问题，如求解时间与距离的关系等。

3. 等差数列可以用于衡量某一事物的递增规律或趋势，如检测股价的波动趋势、记账的收入支出趋势等。

4. 等差数列可以用于估算一组数据的平均值，如计算某一时间段内股票的平均价格、计算某一地区的平均气温等。

5. 等差数列可以用于表达函数的性质，如线性函数y=ax+b、抛物线函数y=ax2+bx+c等。

高中数学同步学习等差数列的前n项和学案含解析

2.2 等差数列的前n 项和第1课时等差数列的前n 项和内容标准学科素养 1.理解等差数列的前n 项和公式的推导方法.2.掌握等差数列的前n 项和公式,会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题.强化图形应用严格公式代换抽象数学模型授课提示：对应学生用书第11页[基础认识]知识点一等差数列的前n 项和公式预习教材P 15－18,思考并完成以下问题1．你知道高斯求和的故事吗？请同学们交流一下,高斯是怎样求1＋2＋3＋…＋100的结果的？提示：对于这个问题,著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结果,当时他的思路和解答方法是：S ＝1＋2＋3＋…＋99＋100,把加数倒序写一遍S ＝100＋99＋98＋…＋2＋1.所以有2S ＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101,∴S＝50×101＝5 050. 2．你能用高斯的计算方法求1＋2＋3…＋n 的值吗？提示：设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n,① 又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1,②两式相加得2S n ＝(1＋n)＋(2＋n －1)＋…＋(n ＋1)＝n(n ＋1), ∴S n ＝n （n ＋1）2.3．我们把高斯的这种计算方法称为倒序求和法．你能用这种方法推得等差数列{a n }的前n 项和S n 吗？提示：S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n ＝a 1＋(a 1＋d)＋(a 1＋2d)＋…＋[a 1＋(n －2)d]＋[a 1＋(n －1)d], S n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1＝a n ＋(a n －d)＋(a n －2d)＋…＋[a n －(n －2)d]＋[a n －(n －1)d], ∴2S n ＝(a 1＋a n )×n , ∴S n ＝n （a 1＋a n ）2.③4．问题(2)中求出的S n 是已知等差数列首项、末项与项数时求前n 项和S n 的公式,如果用a n ＝a 1＋(n －1)d 替换末项,问题3中求出的S n 会变形为怎样的形式呢？提示：S n ＝na 1＋12n(n －1)d.知识点二 a 1n n 思考并完成以下问题(1)两个公式共涉及a 1,d,n,a n 及S n 五个基本量,它们分别表示等差数列的首项,公差,项数,通项和前n 项和．(2)依据方程的思想,在等差数列前n 项和公式中已知其中三个量可求另外两个量,即“知三求二”．知识点三等差数列前n 项和的最值思考并完成以下问题等差数列前n 项和的最值与{S n }的单调性有关．(1)若a 1＞0,d ＜0,则数列的前面若干项为正项(或0),所以将这些项相加即得{S n }的最大值． (2)若a 1＜0,d ＞0,则数列的前面若干项为负项(或0),所以将这些项相加即得{S n }的最小值．(3)若a 1＞0,d ＞0,则{S n }是递增数列,S 1是{S n }的最小值；若a 1＜0,d ＜0,则{S n }是递减数列,S 1是{S n }的最大值．[自我检测]1．在等差数列{a n }中,若其前13项的和S 13＝52,则a 7为( ) A ．4 B ．3 C ．6D ．12解析：∵在等差数列{a n }中,其前13项的和S 13＝52, ∴S 13＝132(a 1＋a 13)＝13a 7＝52,解得a 7＝4.故选A.答案：A2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若7a 5＋5a 9＝0,且a 9＞a 5,则S n 取得最小值时n 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：由7a 5＋5a 9＝0得a 1d ＝－173,又a 9＞a 5,所以d ＞0,a 1＜0,因为函数y ＝d 2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 的图像的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376,取最接近的整数6,故S n 取最小值时n 的值为6.答案：B3．在等差数列{a n }中,a 1＝1,a 3＋a 5＝14,其前n 项和S n ＝100,则n ＝________．解析：设等差数列的公差为d,则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝2＋6d ＝14,∴d＝2.则S n ＝n ＋n （n －1）2×2＝n 2.令S n ＝100,即n 2＝100. 解得n ＝10或n ＝－10(舍)．答案：10授课提示：对应学生用书第12页探究一等差数列前n 项和公式的基本应用[P17练习1第3题]在等差数列{a n }中, (1)已知S 8＝48,S 12＝168,求a 1和d ； (2)已知a 6＝10,S 5＝5,求a 8和S 8. (3)已知a 3＋a 15＝40,求S 17. 解析：设{a n }中首项为a 1,公差为d,(1)⎩⎪⎨⎪⎧S 8＝8a 1＋28d ＝48S 12＝12a 1＋66d ＝168,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝4. (2)⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝a 1＋5d ＝10S 5＝5a 1＋10d ＝5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5d ＝3. ∴a 8＝a 1＋7d ＝－5＋21＝16, S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋84＝44.(3)S 17＝17×（a 1＋a 17）2＝17×（a 3＋a 15）2＝17×402＝340.[例1] 已知一个等差数列{a n }的前10项的和是310,前20项的和是1 220,由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？[解析] 法一：由题意知,S 10＝310, S 20＝1 220,将它们代入公式S n ＝na 1＋n （n －1）2d,得到⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝310，20a 1＋190d ＝1 220，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝6.∴S n ＝n×4＋n （n －1）2×6＝3n 2＋n.法二：∵S 10＝10（a 1＋a 10）2＝310,∴a 1＋a 10＝62,①∵S 20＝20（a 1＋a 20）2＝1 220,∴a 1＋a 20＝122,② ②－①,得,a 20－a 10＝60, ∴10d＝60,∴d＝6,a 1＝4. ∴S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝3n 2＋n.方法技巧两种思想方法在等差数列前n 项和公式中的应用(1)方程思想：等差数列的通项公式及前n 项和公式中“知三求二”的问题,一般是由通项公式和前n 项和公式联立方程(组)求解．(2)整体代换：在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用．跟踪探究 1.(2019·珠海市模拟)已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n ,若a 2＋a 5＋a 8＝π4,则sin S 9＝( ) A.12 B.22 C ．－12D ．－22解析：∵a 2＋a 5＋a 8＝π4,a 2＋a 8＝2a 5＝a 1＋a 9,∴3a 5＝π4,a 5＝π12,∴a 1＋a 9＝π6,∴S 9＝9（a 1＋a 9）2＝92×π6＝3π4,sin S 9＝22.故选B.答案：B探究二等差数列前n 项和的最值问题[P18练习2第1题]已知数列{2n －11},那么S n 的最小值是( ) A ．S 1 B ．S 5 C ．S 6D ．S 11解析：由a n ＝2n －11,令a n ≤0,得n≤5.5,又∵n∈N ＋, 所以该数列前5项均为负数,从第6项开始为正数, 故S n 的最小值为S 5. 答案：B[例2] 在等差数列{a n }中,a 10＝18,前5项的和S 5＝－15, (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n 的最小值,并指出何时取最小值． [解题指南] (1)根据题意列关于a 1和d 的方程（组）→解出a 1和d →写出a n 的表达式(2)法一：写出S n 的表达式→分析S n 的最值法二：分析{a n }中项的变化规律→确定S n 最小时n 的值→求S n[解析] (1)设公差为d,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d＝－15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3，则a n ＝3n －12.(2)法一：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝12(3n 2－21n)＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478,所以n ＝3或4时,前n 项的和S n 取得最小值为－18. 法二：要使数列{a n }前n 项的和取得最小值,则⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝3n －12≤0，a n ＋1＝3（n ＋1）－12≥0，得3≤n≤4,又n∈N ＋,所以n ＝3或4,S 3＝S 4＝－18.所以数列{a n }前n 项的和取得最小值为－18.方法技巧求等差数列前n 项和的最值问题的两种方法(1)在等差数列{a n }中,当a 1＞0,d ＜0时,S n 有最大值,使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0确定．当a 1＜0,d ＞0时,S n 有最小值,使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0确定．(2)因为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n,若d≠0,则从二次函数的角度看：当d ＞0时,S n 有最小值；当d ＜0时,S n 有最大值；且n 取最接近对称轴的正整数时,S n 取到最值．跟踪探究 2.在等差数列{a n }中,若a 1＝25,且S 9＝S 17,求S n 的最大值．解析：法一：∵S 9＝S 17,a 1＝25,∴9×25＋9（9－1）2d ＝17×25＋17（17－1）2d,解得d ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2（n ＋1）＋27≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n≤1312，n≥1212，又∵n∈N ＋,∴当n ＝13时,S n 有最大值169. 法二：同方法一,求出公差d ＝－2. 设S n ＝An 2＋Bn. ∵S 9＝S 17,∴二次函数对称轴为x ＝9＋172＝13,且开口方向向下,∴当n ＝13时,S n 取得最大值169. 探究三等差数列前n 项和的实际应用[阅读教材P18例11及解答]九江抗洪指挥部接到预报,24 h 后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线．经计算,除现有的部队指战员和九江干群连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆工作24 h,但目前只有一辆车投入施工,其余的需从昌九高速公路沿线抽调．每隔20 min 能有一辆车到达,指挥部最多可调集25辆车,那么在24 h 内能否构筑成第二道防线？题型：等差数列前n 项和的实际应用．方法步骤：①从实际问题中抽象出等差数列． ②确定数列首项a 1及公差d. ③求出等差数列的前n 项和． ④判断并得出结论．[例3] 从4月1日开始,有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售出20件,第二天售出35件,第三天售出50件,以后每天售出的件数分别递增15件,直到4月12号日销售量达到最大,然后,每天售出的件数分别递减10件．(1)记从4月1日起该款服装日销售量为a n ,销售天数为n,1≤n≤30,求a n 与n 的关系； (2)求4月份该款服装的总销售量．[解题指南] 解答本题可先确定a n 与n 的关系,然后用等差数列的前n 项和公式求总销量．[解析] (1)设从4月1日起该款服装的日销售量构成数列{a n }．由题意知,数列a 1,a 2,…,a 10是首项为20,公差为15的等差数列,所以a 9＝15n ＋5(1≤n≤12且n∈N ＋)．而a 13,a 14,a 15,…a 30是首项为a 13＝a 12－10＝175, 公差为－10的等差数列．所以a n ＝175＋(n －13)×(－10)＝－10n ＋305(13≤n≤30且n∈N ＋)．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n ＋5，1≤n≤12且n∈N ＋，－10n ＋305，13≤n≤30且n∈N ＋.(2)4月份该款服装的总销售量为12（a 1＋a 12）2＋18a 13＋（30－12）×（30－12－1）×（－10）2＝12×（20＋185）2＋18×175＋18×17×（－10）2＝2 850(件)．延伸探究本例中,条件不变,求“按规律,当该商场销售此服装超过1 300件时,社会上就开始流行,当此服装的销售量连续下降,且日销售量低于110件时,则此服装在社会上不再流行．试问：该款服装在社会上流行是否超过10天？说明理由．” 解析：4月1日至4月12日的销售总量为 12（a 1＋a 12）2＝12×（20＋185）2＝1 230＜1 300,所以4月12日前该款服装在社会上还没有流行．4月1日至4月13日的销售总量为1 230＋a 13＝1 230＋175＝1 405＞1 300, 故4月13日该款服装在社会上已开始流行．由－10n ＋305＜110,得n ＞392,所以第20天该款服装在社会上不再流行．所以该款服装在社会上流行没有超过10天．方法技巧解应用题的基本程序跟踪探究 3.一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10 km/h 开始,每隔2 s 速度提高20 km/h.如果测试时间是30 s,测试距离是________km. 解析：由于每隔2 s 速度提高20 km/h,所以该赛车在每个2 s 内的速度构成等差数列{a n },且a 1＝10,d ＝20. 测试时间是30 s,则最后一个2 s 内的速度是a 15,测试距离S ＝(a 1＋a 2＋…＋a 15)×23 600＝(15×10＋15×142×20)×23 600＝1.25(km)．答案：1.25授课提示：对应学生用书第14页[课后小结](1)推导等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法,在某些数列求和中也可能用到．(2)等差数列的两个求和公式中,一共涉及a 1,a n ,S n ,n,d 五个量．若已知其中三个量,通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时,要注意整体思想的应用,注意下面结论的运用：若m ＋n ＝p ＋q,则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n,m,p,q∈N ＋)；若m ＋n ＝2p,则a n ＋a m ＝2a p .(3)求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法有两种： ①用二次函数的性质求解；②明确数列中的正项与负项,用负项之和最小,正项之和最大来解决． (4)解决数列应用题时应分清： ①是否为等差数列问题； ②是通项问题还是求和问题．[素养培优]忽略数列中为零的项致错设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1＞0,S 11＝S 18,则当n 为何值时S n 最大？易错分析在求解等差数列前n 项和S n 的最值时,容易忽略数列中为零的项而致错．利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0(或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0)求n 的范围或利用二次函数的图像求解均可避免出错,考查图形应用的学科素养．自我纠正法一：由S 11＝S 18 将11a 1＋55d ＝18a 1＋153d. 即a 1＝－14d ＞0,所以d ＜0,构建不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋（n －1）d≥0a n ＋1＝a 1＋nd≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧－14d ＋（n －1）d≥0，－14d ＋nd≤0 解得14≤n≤15.故当n ＝14或n ＝15时,S n 最大．法二：由S 11＝S 18知a 1＝－14d.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－14dn ＋n （n －1）2 d＝d 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2922－8418d,由于n∈N ＋,结合S n 对应的二次函数的图像知, 当n ＝14或n ＝15时S n 最大．法三：由S 11＝S 18知,a 12＋a 13＋a 14＋a 15＋a 16＋a 17＋a 18＝0,即7a 15＝0, 所以a 15＝0,又a 1＞0,所以d ＜0. 故当n ＝14或n ＝15时,S n 最大.。

1.2.2等差数列的前n项和课件高二下学期数学北师大版选择性

2.2等差数列前n项和
实例分析
如图，有200根相同的圆木料，要把它们堆放成正三角形垛，并使剩余的圆木料尽可能的少，那么将剩余多少根圆木料？
根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成等差数放了n层，能构成正三角形垛的圆木料数为
则
Sn 1 2 3 n,
Sn
这是一个等差数列的求和问题，如何计算该等差数列的和呢？
注：这里的项数是我们解题时容易忽略
2 2 100
30603.
3
（2 2
200
3）101
的问题.本题也可由S S200 S99得出.
S200
S99
(5
403) 2
200
(5
201) 2
99
4080010197 30603.
课堂练习
2甲、乙两物体分别从相距70m的两处相向运动，甲第一分钟走 2m,以后每分比前一分多走1m,乙每分走5m,问：甲、乙开始运动后多长时间相遇？
（2）当A 0，B 0时，d 0, a1 0, Sn Bn是关于n的正比例函数
（3）当A 0时，d 由上分析可知，Sn不一定是关于n的二次函数． 0, Sn是关于n的不含常数项的二次函数.
例题讲解
例1等差数列an的前n项和为Sn ,若S12 84, S20 460,
求 S28.
解设n分钟相遇，每分甲所走路程依次成公差为1的等差数列，共n项.
又 a1
2(m), d
1.70
5n
na1
n(n 1) 2
d,
代入数据得70 5n 2n n(n 1) 2
解得n 7(分）.
课堂小结
1.等差数列中涉及五个量a1, d, n, an , Sn , 可“知三求二”，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法.

等差数列的前n项和公式说课

教材分析
教学方法
2.学法
教学过程
板书设计
在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学
会学习，发展能力.
教材分析
教学方法
3.教学手段
教学过程
板书设计
在教学中,使用了多媒体辅助教学,充分发挥其快捷、清晰、形象的特点．
2. 学情分析教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨．
教材分析
教学方法
教学过程
板书设计
2.教学目标
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学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但是他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆的阶段。
问题2: 求和:Sn=1+2+3+4+…+n=?
1.当n为偶数时：
Sn
(1
n) [2 (n 1)] [ n 2
(n 2
1)]
n (n 1) 2
综上所述：
2.当n为奇数时：
知识目标：理解等差数列前n项和公式的推导过程； 1
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式；了解倒序相加法的原理;
2 能力目标：通过公式的推导过程，体验从特殊到一般
的研究方法，渗透函数思想与方程（组）思想，培养学生观察、归纳、反思的能力；通过小组讨论学习，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质;

等差数列和等比数列的前n项和公式

等差数列和等比数列的前n项和公式1. 前言说到数学，很多人可能会一脸懵，但其实有些东西还是挺有意思的，尤其是等差数列和等比数列。

这两个概念就像两位数学界的老朋友，一个温文尔雅，一个活泼开朗，各有各的魅力。

今天咱们就来聊聊这两个数列的前n项和公式，让数学不再是个“高冷”的存在，而是变得生动有趣。

2. 等差数列2.1 定义好啦，咱们先从等差数列说起。

等差数列，听名字就知道，它的特点就是每一项和前一项的差是个固定的数。

比如，1、3、5、7，这就是一个典型的等差数列，公差是2。

想象一下，这就像是在跑步，步伐都是一样的，不快不慢，稳稳的向前。

2.2 前n项和公式那么，等差数列的前n项和怎么计算呢？这可是个干货啊！公式是这样的：( S_n = frac{n{2 (a_1 + a_n) )。

哇，听起来有点复杂，其实没那么难。

你只需要知道第一项( a_1 )和第n项( a_n )，再加上项数n，按这个公式一算，就能得出前n项的和了。

就像你去超市买菜，先列个清单，再算算一共花了多少钱，简单明了。

3. 等比数列3.1 定义接下来，咱们再来看看等比数列。

与等差数列不同，等比数列是每一项和前一项的比值是个固定的数。

举个例子，2、4、8、16，这就是等比数列，公比是2。

它就像在做个魔术，一层一层地翻倍，真是让人惊讶！3.2 前n项和公式那么等比数列的前n项和又是怎样的呢？公式是这样的：( S_n = a_1 frac{(1r^n){(1 r) )（( r neq 1 )）。

这公式稍微复杂一点，但放心，只要你知道第一项( a_1 )和公比( r )，就能轻松搞定！可以想象成你在聚会，第一杯酒喝了，接下来每次都加倍，最后得出你总共喝了多少。

哈哈，记得别喝太多哦，不然明天就要受罪了。

4. 实际应用4.1 生活中的等差与等比生活中其实满是等差数列和等比数列的影子。

比如你攒钱的时候，如果每个月存同样的钱，就是在做等差数列；而如果你存钱的方法是每个月存的都翻倍，那就成了等比数列。

等差数列的前n项和PPT优秀课件1

（2）100元“零存整取”的月利息为 100×1.725‰=0.1725（元），存3年的利息是
0.1725×(1+2+3+……+36)=114.885(元)，因此李先生多收益
179.82－114.885×(1－20%)=87.912元.
答：李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益87.912元
解：（1）100元“教育储蓄”存款的月利息是 100×2.7‰=0.27（元），第1个100元存36个月，得利息0.27×36（元）; 第2个100元存35个月，得利息0.27×35（元）; ………… 第36个100元存1个月，得利息0.27×1（元），
此时李先生获得利息
0.27×(1+2+3+……+36)=179.82(元)，本息和为3600+179.82=3779.82元；
解得 30AB2
S 3 0 9 0 0 A 3 0 B 3 0 ( 3 0 A B ) 6 0
解法三：设a1+a2+……+a10=A， a11+a12+……+a20=B，
a21+a22+……+a30=C，则A，B，C成等差数列，且A=10，A+B=30, 解得B=20，
2.2.2等差数列的前n项和
如图堆放一堆钢管，最上一层放了4根，下面每一层比上一层多放一根，共8层，这堆钢管共有多少根？
这堆钢管从上到下的数量组成一个等差数列。
其中a1=4，公差d=1. 最下一层中a8=11。
即求4+5+6+……+11=?
我们设想，在这堆钢管旁，如图所示堆放同样数量的钢管，这时每层都有钢管(4+11)根.

等差数列前n项求和公式教案

2.2.2等差数列的前n 项和（一）教学设计：学习目标 :1、掌握等差数列前n 项和公式及其推导过程和思想方法。

2、能够利用等差数列的前n 项和公式进行有关计算。

3、理解n a 与n s 的关系，会利用这种关系解决有关的问题。

学习重点：等差数列前项和公式的推导及简单应用；学习难点：等差数列前项和公式的推导思路的获得。

评价设计：(1)通过观察阅读教材和讲义上的引例独立思考等差数列求和公式证明的思路，准确记忆等差数列的前n 项和求和公式。

(2) 运用教师提供的选择性评价，请同伴评价自己的学习效果，并进行自我评价，从而调整自己的学习进程。

1、对于目标1，通过课堂提问，要求学生叙述的关键词准确。

达标率100％2、对于目标2，通过课堂提问，要求学生表达的数学式子完整准确。

达标率100％3、对于目标3，通过学生练习（注意学生的递推过程及演算步骤，能否由特殊过渡到一般）。

达标率80％学习过程一、知识准备若n a n =，则数列n a 是否为等差数列呢?若是，首项是什么?公差是多少? 它们与n a 的关系式又是什么?n a n =与那个函数相似呢？20111a a +的值?20101a a +的值?二、新课导学创设情景:自主探究（一）：特殊的等差数列前n 项和公式1、思考问题1：你能快速地计算出下面式子的值吗?1009998321s n +++++=问题2：如图堆放着一堆钢管，最上层放了4根，下面每一层比上一层多放一根，共7层，这堆钢管共有多少根?新知：数列{}n a 的前n 项和：一般地，称为数列{}n a 的前n 项的和，用n s 表示，即=n s公式记忆同学们，等差数列{}n a 的前n 项和公式和我们学过去的哪个图形的面积公式相似呢? 你能用语言来描述等差数列的前n 项和公式吗?公式应用根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的 n s ：（1）8,16,21===n a a n（2）10,3,61=-==n d a合作探究（二）：一般的等差数列前n 项和公式如何求首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项的和?小结： 1. 用1()2n n n a a S +=，必须具备三个条件： .2. 用1(1)2n n n dS na -=+，必须已知三个条件： . 完成目标1及目标2 ※ 典型例题例1：等差数列{}n a 的公差为2，第20项29=n a ，求前20项的和20s练:1：等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，项数为n ，第n 项为n a ，前n 项和为n s ，请填写下表：这个表格中共有几个量？已知几个量才能进行运算？例2：已知数列{}n a 的前n 项和公式为n 30n 2s 2n-=，这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；（小组合作讨论2分钟）探究：等差数列{}n a 中n a 与n s 的关系：练习2：已知数列{}n a 的前n 项和公式为13022+-=n n s n 这个数列是等差数吗？求出他的通项公式。

第一章数列§2 2.2 第1课时等差数列的前n项和北师大版必修五.

把①， ②等号两边分别相加，得
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an ) （共n个） n(a1 an ).
于是，首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列的前n项和
n(a1 an ) Sn . 2
这种求和的方法叫作“倒序相加法”
③
这个公式表明：等差数列前n项的和等于首末两项的和与项数乘积的一半，参见下图.
100 (1 100) 1 2 3 99 100 5050. 2
等差数列的前n项和公式
…
…
… …
有200根相同的圆木料，要把它们堆成正三角形垛，并使剩余的圆木料尽可能少，那么将剩余多少根圆木料？根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成等差数列： 1,2,3，…
抽象概括
设Sn是等差数列{an}的前n项和，即
Sn a1 a2 a3 an .
根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成
Sn a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ],
再把项的次序反过来，Sn又可以写成
①
Sn an (an d ) )d ], ②
2.2 等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和
1.知识目标：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题．
2.能力目标：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，提高学生的思维水平. 3.情感目标：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美

1.2.2.2等差数列的前n项和

等差数列的前n项和使用说明：1.用15分钟左右的时间，阅读课本第15~18页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成教材助读设问及自测练习。

3.通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的学习目标【学习目标】：1.通过经历等差数列求和公式的发现、探究过程,掌握等差数列前n项和公式的推导及应用,会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究S n的最值.2.通过例题及其变式例题的训练,进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式.重点难点重点:掌握等差数列的前n项和公式;会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题,能用多种方法解决数列求和问题.难点:对等差数列求和公式的深刻理解及其灵活应用.预习案相关知识链接回忆上节课等差数列前n项和公式的推导方法,并写出等差数列前n项和的两个公式?教材助读1.等差数列求和公式中共有几个量?基本量是什么?有哪些常用性质?2.等差数列前n项和公式与二次函数有着怎样的关系?预习自测1.在数列{a n}中，a n=2n+3.求这个数列自第50项到100项之和S的值。

探究案基础知识探究1.已知数列{2n-11}，那么Sn的最小值是（）A.S1B. S5C.S6D.S112.一凸n边形，各内角的度数成等差数列，公差是10。

，最小内角是100。

，则边数n=______.3.某车间全年共生产2250个零件，又已知1月份生产了105个零件，每月生产零件的个数按等差数列递增，平均每月比前一月多生产多少个零件？12月份生产了多少个零件？综合应用探究九江抗洪指挥部接到预报,24 h后有一洪峰到达.为确保安全,指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的部队指战员和九江干群连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆工作24 h.但目前只有一辆车投入施工,其余的需从昌九高速公路沿线抽调,每隔20 min能有一辆车到达,指挥部最多可调集25辆车,那么在24 h内能否构筑成第二道防线?当堂检测1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36 D．272.（1）求等差数列8,5,2，......的第20项；（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13，...的项？如果是，是第几项？。

2018版高中数学人教B版必修5课件：2.2.2 等差数列的前n项和第一课时

(2)结合数列的特征,利用单调性: 当d>0,则数列为递增数列 ,且当a1<0时,一定会出现某一项,在此项及以前的项都是非正数 ,而后面的项都是正数 ,即Sn有最小值;当d<0时,数列为递减数列,且当a1>0时,一定会出现某一项,在此项及以前的项都是非负数,而
后面的项都是负数,即Sn有最大值.
n n 1 2
d,且 a1=1,an=-512,Sn=-1 022,则
① ②
将(n-1)·d=-513 代入②得 n+
1 n·(-513)=-1 022,解得 n=4,所以 d=-171. 2
(2)等差数列{an}中,已知a5=-1,a8=2,求S12.
思路点拨:(2)中结合等差数列的性质得a5+a8=a1+a12,再用公式求解.
(B)210
(C)380
a1 3 , d 4
(D)400
a1 d 7 解析: ⇒ a1 3d 15
所以 S10=10a1+ 故选 B.
10 9 ×d=210, 2
3.在等差数列{an}中,S10=4S5,则 (A) (C)
1 4 1 2
a1 等于( d
C
从而 Sn=25n+
n n 1 2
(-2)=-(n-13) +169.
2
故前 13 项和最大,且最大值为 169.
法二由 S17=
17( a1 a17 ) 9(a a ) =17a9,S9= 1 9 =9a5 以及 S17=S9,a1=25 得 d=-2. 2 2
所以 an=a1+(n-1)d=25-2(n-1)=27-2n. 显然,当 n≤13 时,an>0;当 n≥14 时,an<0. 所以前 13 项和最大,最大值为 S13=

等差数列的前n项和公式的性质

2
例 3. 项数为奇数的等差数列{an }，奇数项之和为 44，偶数项之和为
33，求这个数列的中间项及项数．
解：设等差数列{an}共有(2n＋1)项，则奇数项有(n＋1)项，偶数项
有 n 项，中间项是第(n＋1)项，即 an＋1，
1
S奇 2a1＋a2n＋1n＋1 n＋1an＋1 n＋1 44 4
解法1: 由S3=S11, 得
1
1
3 13 3 2 d 1113 1110 d
2
2
∴ d=－2
1
Sn 13n n(n 1) (2)
2
n2 14n
( n 7)2 49
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法2: 由S3=S11, 得d=－2<0
=
5+2

，则
+3

10n 3
67
7
=_______；
=_______；
2n 2
18
8
课堂小结
等差数列的前n项和公式的性质
性质1：数列{an}是等差数列⟺Sn=An2+Bn (A,B为常数)
Sn

性质2: 若数列{an}是公差为d的等差数列, 则数列也
d
n
是等差数列, 且公差为 2 .
当m=n时，公式变化？
an S 2 n 1

bn T2 n1
例 4.已知{an},{bn}均为等差数列，其前 n 项和分别为 Sn,
5
a5
Sn 2n＋2
Tn，且T ＝
，则b ＝________.
3
n
5
n＋3
变式1. 若

等差数列的前n项和讲课讲稿

2.2等差数列的前n项和1．理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系．(重点)2．熟练掌握等差数列的五个基本量a1，d，n，a n，S n之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点)[基础·初探]教材整理等差数列的前n项和1．等差数列的前n项和公式2.S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且无常数项．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)公差为零的数列不能应用等差数列的前n 项和公式．( ) (2)数列{n 2}可以用等差数列的前n 项和公式求其前n 项和S n .( ) (3)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝an 2＋bn ，则{a n }是等差数列．( ) 【解析】 (1)任何等差数列都能应用等差数列的前n 项和公式． (2)数列{n 2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n 项和公式．(3)当公差不为0时，等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数(常数项为0)．【答案】 (1)× (2)× (3)√[小组合作型](1)已知等差数列{a n }中，a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 和a n ；(2)已知等差数列{a n }中，S 5＝24，求a 2＋a 4；(3)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d ；(4)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，求a 10.【精彩点拨】运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换．【尝试解答】 (1)S n ＝n ·32＋n (n －1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0，解得n ＝12或n ＝－5(舍去)，所以a 12＝32＋(12－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.(2)设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则S 5＝5a 1＋5×(5－1)2d ＝24，即5a 1＋10d ＝24，所以a 1＋2d ＝245，所以a 2＋a 4＝2(a 1＋2d )＝2×245＝485.(3)因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，又a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，所以⎩⎨⎧1＋(n －1)d ＝－512， ①n ＋12n (n －1)d ＝－1 022， ②把(n －1)d ＝－513代入②得n ＋12n ·(－513)＝－1 022，解得n ＝4，所以d ＝－171.(4)由已知可得⎩⎨⎧(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝19，5a 1＋5×42d ＝40，解得a 1＝2，d ＝3，所以a 10＝a 1＋9d ＝2＋9×3＝29.等差数列中基本计算的两个技巧：(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2结合使用．[再练一题] 1．等差数列中：(1)a 1＝105，a n ＝994，d ＝7，求S n ； (2)a n ＝8n ＋2，d ＝5，求S 20； (3)d ＝13，n ＝37，S n ＝629，求a 1及a n .【解】 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 且a 1＝105，d ＝7，得994＝105＋(n －1)×7，解得n ＝128， ∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝128×(105＋994)2＝70 336.(2)∵a n ＝8n ＋2，∴a 1＝10，又d ＝5，∴S 20＝20a 1＋20×(20－1)2×5＝20×10＋10×19×5＝1 150.(3)将d ＝13，n ＝37，S n ＝629代入a n ＝a 1＋(n －1)d ， S n ＝n (a 1＋a n )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋12，37·(a 1＋a n )2＝629，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，a n ＝23.为响应教育部下发的《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》的要求，某市提出了实施“校校通”工程的总目标：从2011年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2011年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2011年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？【精彩点拨】将该实际问题转化为数列问题求解，由于每年投入资金都比上一年增加50万元，故可考虑利用等差数列求解．【尝试解答】根据题意，从2011年～2020年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所以，每年投入的资金依次组成等差数列{a n }，其中，a 1＝500，d ＝50. 那么，到2020年(n ＝10)，投入的资金总额为 S 10＝10×500＋10×(10－1)2×50＝7 250(万元)，即从2011年～2020年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元．有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：(1)问题中所涉及的数列{a n }有何特征； (2)是求数列{a n }的通项还是求前n 项和； (3)列出等式(或方程)求解． [再练一题]2.如图1-2-2，一个堆放铅笔的V 型架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支．最上面一层放120支，这个V 型架上共放着多少支铅笔？图1-2-2【解】由题意可知这个V型架自下而上各层的铅笔数组成等差数列，记为数列{a n}，其中a1＝1，a120＝120.根据等差数列前n项和公式得S120＝120×(1＋120)＝7 260.2即V型架上共放着7 260支铅笔．[探究共研型]探究1n n S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列吗？如果是，它们的公差是多少？【提示】由S m＝a1＋a2＋…＋a m，S2m－S m＝a m＋1＋a m＋2＋…＋a2m＝a1＋md＋a2＋md＋…＋a m＋md＝S m＋m2d，同理S3m－S2m＝a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m＝S2m－S m＋m2d，所以S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.探究2设S n、T n分别为两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和，那么a nb n与S2n－1T2n－1有怎样的关系？请证明之．【提示】a nb n＝S2n－1T2n－1.【证明】a nb n＝2a n2b n＝a1＋a2n－1b1＋b2n－1＝(2n－1)(a1＋a2n－1)2(2n－1)(b1＋b2n－1)2＝S2n－1T2n－1.(1)等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{a n}的前3m项的和S3m；(2)两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n和T n，已知S nT n＝7n＋2n＋3，求a5b5的值．【精彩点拨】(1)利用S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列求解．(2)利用前n项和结合等差数列的性质将项的比值转化为和的比值求解．【尝试解答】(1)在等差数列中，S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列，∴30,70，S 3m －100成等差数列，∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210. (2)a 5b 5＝2a 52b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝6512.巧妙应用等差数列前n 项和的性质 (1)“片段和”性质．若{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…构成公差为n 2d 的等差数列．(2)项数(下标)的“等和”性质． S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a m ＋a n －m ＋1)2.(3)项的个数的“奇偶”性质． {a n }为等差数列，公差为d .①若共有2n 项，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)； S 偶－S 奇＝nd ；S 偶S 奇＝a n ＋1a n. ②若共有2n ＋1项，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；S 偶－S 奇＝－a n ＋1；S 偶S 奇＝nn ＋1.(4)等差数列{a n }中，若S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，则S m ＋n ＝－(m ＋n )． (5)等差数列{a n }中，若S n ＝S m (m ≠n )，则S m ＋n ＝0.[再练一题]3．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n (n ＞1)项和分别是S n 和T n ，且S n ∶T n ＝(2n ＋1)∶(3n －2)，求a 9b 9的值．【解】 a 9b 9＝2a 92b 9＝a 1＋a 17b 1＋b 17＝a 1＋a 172×17b 1＋b 172×17＝S 17T 17＝2×17＋13×17－2＝3549＝57.探究1 将等差数列前n 项和S n ＝na 1＋2d 变形为S n 关于n 的函数后，该函数是怎样的函数？为什么？【提示】由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，所以当d ≠0时，S n 为关于n 的二次函数，且常数项为0.探究2 类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值？最小值？【提示】由二次函数的性质可以得出，当d ＞0时，S n 有最小值；当d ＜0时，有最大值，且n 取值最接近对称轴的正整数时，S n 取得最值．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15.(1)求数列{a n }的通项公式．(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值．【精彩点拨】 (1)直接根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列关于首项a 1和公差d 的方程，求得a 1和d ，进而得解；(2)可先求出前n 项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解．【尝试解答】(1)由题意得⎩⎨⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋5×42×d ＝－15，得a 1＝－9，d ＝3， ∴a n ＝3n －12.(2)S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478， ∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值S 3＝S 4＝－18.等差数列前n项和的最值问题的三种解法：(1)利用a n：当a1＞0，d＜0时，前n项和有最大值，可由a n≥0且a n＋1≤0，求得n的值；当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值，可由a n≤0且a n＋1≥0，求得n的值．(2)利用S n：由S n＝d2n2＋⎝⎛⎭⎪⎫a1－d2n(d≠0)，利用二次函数配方法求得最值时n的值．(3)利用二次函数的图象的对称性．[再练一题]4．在等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，求S n的最大值.【解】利用前n项和公式和二次函数性质，由S17＝S9得25×17＋172(17－1)d＝25×9＋92(9－1)d，解得d＝－2，∴S n＝25n＋n2(n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169，∴由二次函数性质，当n＝13时，S n有最大值169.1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2【解析】 S 8＝8(a 1＋a 8)2＝4(a 3＋a 6)，又S 8＝4a 3，所以a 6＝0，又a 7＝－2，所以a 8＝－4，a 9＝－6. 【答案】 A2．记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20，解得⎩⎨⎧a 1＝12，d ＝3.【答案】 B3．在等差数列{a n }中，a 1＝2，前三项和为15，则前6项和为( ) A ．57 B ．－40 C ．－57 D ．40 【解析】由题意知a 1＋a 2＋a 3＝15，∴3a 2＝15，a 2＝5， ∴d ＝a 2－a 1＝3，∴a n ＝3n －1， ∴S 6＝6(2＋17)2＝57.【答案】 A4．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，d ＝2，则S 20＝________. 【解析】 S 20＝20·a 1＋20×192×d ＝20×2＋20×192×2＝420.【答案】 4205．等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求通项公式a n ； (2)若S n ＝242，求n .【解】 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2，所以a n ＝2n ＋10.(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n ＝242，得12n ＋n (n －1)2×2＝242，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)，所以n ＝11.学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【解析】法一：∵a 1＋a 5＝2a 3，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1， ∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5，故选A.法二：∵a 1＋a 3＋a 5＝a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋4d )＝3a 1＋6d ＝3， ∴a 1＋2d ＝1，∴S 5＝5a 1＋5×42d ＝5(a 1＋2d )＝5，故选A. 【答案】 A2．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172 B.192C ．10D ．12 【解析】 ∵公差为1，∴S 8＝8a 1＋8×(8－1)2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12， ∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.故选B. 【答案】 B3．在等差数列{a n }中，若S 9＝18，S n ＝240，a n －4＝30，则n 的值为( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 【解析】 S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝18，所以a 5＝2，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 5＋a n －4)2＝240，∴n (2＋30)＝480，∴n ＝15. 【答案】 B4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310B.13C.18D.19【解析】由题意S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列．∵S 3S 6＝13.不妨设S 3＝1，S 6＝3，则S 6－S 3＝2，所以S 9－S 6＝3，故S 9＝6，∴S 12－S 9＝4，故S 12＝10，∴S 6S 12＝310. 【答案】 A5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取得最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9 【解析】设公差为d ，由a 4＋a 6＝2a 5＝－6，得a 5＝－3＝a 1＋4d ，解得d ＝2， ∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2×2＝n 2－12n ， ∴当n ＝6时，S n 取得最小值．【答案】 A 二、填空题6．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.【解析】 ∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0. ∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2. ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6.【答案】 67．已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________.【解析】法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知S 5＝5a 1＋5×42d ＝10，得a 1＋2d ＝2，即a 1＝2－2d .所以a 2＝a 1＋d ＝2－d ，代入a 1＋a 22＝－3，化简得d 2－6d ＋9＝0，所以d ＝3，a 1＝－4.故a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝10，所以a 3＝2.所以由a 1＋a 3＝2a 2，得a 1＝2a 2－2，代入a 1＋a 22＝－3，化简得a 22＋2a 2＋1＝0，所以a 2＝－1.公差d ＝a 3－a 2＝2＋1＝3，故a 9＝a 3＋6d ＝2＋18＝20. 【答案】 208．等差数列{a n }的前9项的和等于前4项的和，若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.【解析】设{a n }的公差为d ，由S 9＝S 4及a 1＝1得9×1＋9×82×d ＝4×1＋4×32×d ，所以d ＝－16，又a k ＋a 4＝0，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋(k －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋(4－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝0，即k ＝10. 【答案】 10 三、解答题9．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．【解】设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则 S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，①100a 1＋100×992d ＝10， ②①×10－②，整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100，所以S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎪⎫1 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110.10．已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？【解】 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11－2n . (2)a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．[能力提升]1．在项数为2n ＋1项的等差数列{a n }中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】 ∵等差数列有2n ＋1项， ∴S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2.又a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ， ∴S 奇S 偶＝n ＋1n ＝165150， ∴n ＝10. 【答案】 B2．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7(n ＋1)＋12n ＋1＝7＋12n ＋1，∴n ＝1,2,3,5,11.【答案】 D3．在等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于________．【解析】因为S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，所以35＝na 1＋n (n －1)2×2＝na 1＋n (n －1)①，又a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝a 1＋2(n －1)，∴a 1＋2(n －1)＝11②，由①②可得a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3或－1. 【答案】 3或－14．从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件．(1)记该款服装4月份日销售与销售天数n 的关系为a n ，求a n ； (2)求4月份的总销售量；(3)按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，社会上就流行，而且销售量连续下降，且日销售低于100件时，则流行消失，问：该款服装在社会上流行是否超过10天？【解】 (1)从4月1日起每天销售量依次组成数列{a n }，(n ∈{1,2，…，30}) 依题意，数列a 1，a 2，…，a 12是首项为10，公差为15的等差数列， ∴a n ＝15n －5(1≤n ≤12)．a 13，a 14，a 15，…，a 30是首项为a 13＝a 12－10＝165，公差为－10的等差数列，∴a n ＝165＋(n －13)(－10)＝－10n ＋295(13≤n ≤30)， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n －5 (1≤n ≤12，n ∈N ＋)，－10n ＋295 (13≤n ≤30，n ∈N ＋).(2)4月份的总销售量为12(10＋175)2＋18×165＋18×17×(－10)2＝2 550(件)， (3)4月1日至4月12日销售总数为 12(a 1＋a 12)2＝12(10＋175)2＝1 110＜1 200， ∴4月12日前还没有流行．由－10n ＋295＜100得n ＞392， ∴第20天流行结束，故该服装在社会上流行没有超过10天．2.2等差数列的前n项和1．理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系．(重点)2．熟练掌握等差数列的五个基本量a1，d，n，a n，S n之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点)[基础·初探]教材整理等差数列的前n项和1．等差数列的前n项和公式2.S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且无常数项．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)公差为零的数列不能应用等差数列的前n 项和公式．( ) (2)数列{n 2}可以用等差数列的前n 项和公式求其前n 项和S n .( ) (3)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝an 2＋bn ，则{a n }是等差数列．( ) 【解析】 (1)任何等差数列都能应用等差数列的前n 项和公式． (2)数列{n 2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n 项和公式．(3)当公差不为0时，等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数(常数项为0)．[小组合作型](1)已知等差数列{a n }中，a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 和a n ；(2)已知等差数列{a n }中，S 5＝24，求a 2＋a 4；(3)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d ；(4)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，求a 10.【精彩点拨】运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换．【尝试解答】 (1)S n ＝n ·32＋n (n －1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0，解得n ＝12或n ＝－5(舍去)，所以a 12＝32＋(12－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.(2)设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则S 5＝5a 1＋5×(5－1)2d ＝24，即5a 1＋10d ＝24，所以a 1＋2d ＝245，所以a 2＋a 4＝2(a 1＋2d )＝2×245＝485.(3)因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，又a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，所以⎩⎨⎧1＋(n －1)d ＝－512， ①n ＋12n (n －1)d ＝－1 022， ②把(n －1)d ＝－513代入②得n ＋12n ·(－513)＝－1 022，解得n ＝4，所以d ＝－171.(4)由已知可得⎩⎨⎧(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝19，5a 1＋5×42d ＝40，解得a 1＝2，d ＝3，所以a 10＝a 1＋9d ＝2＋9×3＝29.等差数列中基本计算的两个技巧：(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2结合使用．[再练一题] 1．等差数列中：(1)a 1＝105，a n ＝994，d ＝7，求S n ； (2)a n ＝8n ＋2，d ＝5，求S 20； (3)d ＝13，n ＝37，S n ＝629，求a 1及a n .为响应教育部下发的《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》的要求，某市提出了实施“校校通”工程的总目标：从2011年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2011年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2011年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？【精彩点拨】将该实际问题转化为数列问题求解，由于每年投入资金都比上一年增加50万元，故可考虑利用等差数列求解．【尝试解答】根据题意，从2011年～2020年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所以，每年投入的资金依次组成等差数列{a n}，其中，a1＝500，d＝50.那么，到2020年(n ＝10)，投入的资金总额为 S 10＝10×500＋10×(10－1)2×50＝7 250(万元)，即从2011年～2020年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元．有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：(1)问题中所涉及的数列{a n }有何特征； (2)是求数列{a n }的通项还是求前n 项和； (3)列出等式(或方程)求解． [再练一题]2.如图1-2-2，一个堆放铅笔的V 型架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支．最上面一层放120支，这个V 型架上共放着多少支铅笔？图1-2-2[探究共研型]探究1n n S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列吗？如果是，它们的公差是多少？【提示】由S m＝a1＋a2＋…＋a m，S2m－S m＝a m＋1＋a m＋2＋…＋a2m＝a1＋md＋a2＋md＋…＋a m＋md＝S m＋m2d，同理S3m－S2m＝a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m＝S2m－S m＋m2d，所以S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.探究2设S n、T n分别为两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和，那么a nb n与S2n－1T2n－1有怎样的关系？请证明之．【提示】a nb n＝S2n－1T2n－1.【证明】a nb n＝2a n2b n＝a1＋a2n－1b1＋b2n－1＝(2n－1)(a1＋a2n－1)2(2n－1)(b1＋b2n－1)2＝S2n－1T2n－1.(1)等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{a n}的前3m项的和S3m；(2)两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n和T n，已知S nT n＝7n＋2n＋3，求a5b5的值．【精彩点拨】(1)利用S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列求解．(2)利用前n项和结合等差数列的性质将项的比值转化为和的比值求解．【尝试解答】(1)在等差数列中，S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列，∴30,70，S3m－100成等差数列，∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210. (2)a 5b 5＝2a 52b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝6512.巧妙应用等差数列前n 项和的性质 (1)“片段和”性质．若{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…构成公差为n 2d 的等差数列．(2)项数(下标)的“等和”性质． S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a m ＋a n －m ＋1)2.(3)项的个数的“奇偶”性质． {a n }为等差数列，公差为d .①若共有2n 项，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)； S 偶－S 奇＝nd ；S 偶S 奇＝a n ＋1a n.②若共有2n ＋1项，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；S 偶－S 奇＝－a n ＋1；S 偶S 奇＝nn ＋1.(4)等差数列{a n }中，若S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，则S m ＋n ＝－(m ＋n )． (5)等差数列{a n }中，若S n ＝S m (m ≠n )，则S m ＋n ＝0. [再练一题]3．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n (n ＞1)项和分别是S n 和T n ，且S n ∶T n＝(2n ＋1)∶(3n －2)，求a 9b 9的值．探究1 将等差数列前n 项和S n ＝na 1＋2d 变形为S n 关于n 的函数后，该函数是怎样的函数？为什么？【提示】由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，所以当d ≠0时，S n 为关于n 的二次函数，且常数项为0.探究2 类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值？最小值？【提示】由二次函数的性质可以得出，当d ＞0时，S n 有最小值；当d ＜0时，有最大值，且n 取值最接近对称轴的正整数时，S n 取得最值．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15.(1)求数列{a n }的通项公式．(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值．【精彩点拨】 (1)直接根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列关于首项a 1和公差d 的方程，求得a 1和d ，进而得解；(2)可先求出前n 项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解．【尝试解答】(1)由题意得⎩⎨⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋5×42×d ＝－15，得a 1＝－9，d ＝3， ∴a n ＝3n －12.(2)S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478， ∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值S 3＝S 4＝－18.等差数列前n项和的最值问题的三种解法：(1)利用a n：当a1＞0，d＜0时，前n项和有最大值，可由a n≥0且a n＋1≤0，求得n的值；当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值，可由a n≤0且a n＋1≥0，求得n的值．(2)利用S n：由S n＝d2n2＋⎝⎛⎭⎪⎫a1－d2n(d≠0)，利用二次函数配方法求得最值时n的值．(3)利用二次函数的图象的对称性．[再练一题]4．在等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，求S n的最大值.1．设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝() A．－6B．－4 C．－2 D．22．记等差数列前n项和为S n，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于() A．2 B．3 C．6 D．73．在等差数列{a n}中，a1＝2，前三项和为15，则前6项和为() A．57 B．－40 C．－57 D．404．在等差数列{a n}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝________.5．等差数列{a n}中，a10＝30，a20＝50.(1)求通项公式a n；(2)若S n＝242，求n.学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A．5B．7 C．9 D．112．已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝()A.172 B.192C．10 D．123．在等差数列{a n}中，若S9＝18，S n＝240，a n－4＝30，则n的值为() A．14 B．15 C．16 D．174．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12等于()A.310 B.13 C.18 D.195．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取得最小值时，n等于()A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题6．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.7．已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和．若a1＋a22＝－3，S5＝10，则a9的值是________.8．等差数列{a n}的前9项的和等于前4项的和，若a1＝1，a k＋a4＝0，则k ＝________.三、解答题9．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．10．已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？[能力提升]1．在项数为2n ＋1项的等差数列{a n }中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．122．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．53．在等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于________． 4．从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件．(1)记该款服装4月份日销售与销售天数n的关系为a n，求a n；(2)求4月份的总销售量；(3)按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，社会上就流行，而且销售量连续下降，且日销售低于100件时，则流行消失，问：该款服装在社会上流行是否超过10天？。

2022-2021学年高二数学北师大版必修5学案：1.2.2 等差数列的前n项和(一)

2.2 等差数列的前n 项和(一)明目标、知重点 1.把握等差数列前n 项和公式及其猎取思路.2.经受公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的争辩方法，学会观看、归纳、反思.3.娴熟把握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．1．数列的前n 项和设S n 为数列{a n }的前n 项和，即S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则S n －1＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1. 2．等差数列的前n 项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数选用公式S n ＝n (a 1＋a n )2S n ＝na 1＋n (n －1)2d3.等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.(2)S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .(3)设两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.[情境导学]“数学王子”高斯是德国数学家．在高斯10岁时，老师出的一道数学题为1到100的全部整数的和为多少？很快高斯便得出答案为5 050.老师大吃一惊，而更使人吃惊的是高斯的算法，高斯的算法是老师未曾教过的方法，那么这是一个什么样的方法呢？它用于解决什么类型的问题呢？这种方法叫倒序相加法，是等差数列求和的一种重要方法，本节我们就来争辩它．探究点一等差数列前n 项和公式思考1 高斯是用怎样的方法快速求出1＋2＋3＋…＋100＝？答高斯的算法是S 100＝1＋2＋3＋4＋…＋98＋99＋100＝100＋99＋98＋97＋…＋3＋2＋1，这两个等式上、下对应项的和均为101，所以2S 100＝101×100＝10 100，即S 100＝5 050.思考2 人们从“高斯的算法”受到启示，制造了“倒序相加法”，即设S ＝1＋2＋3＋…＋99＋100，把加数倒序写一遍：S ＝100＋99＋98＋…＋2＋1.两式相加有2S ＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101， ∴S ＝50×101＝5 050.你能利用此种方法求1＋2＋3＋…＋n 等于多少吗？答设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ，又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1，∴2S n ＝(1＋n )＋[2＋(n －1)]＋…＋[(n －1)＋2]＋(n ＋1)， ∴2S n ＝n (n ＋1)，∴S n ＝n (n ＋1)2.思考3 如何用“倒序相加法”求首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和S n 呢？答 S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋…＋[a 1＋(n －2)d ]＋[a 1＋(n －1)d ]； S n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1＝a n ＋(a n －d )＋(a n －2d )＋…＋[a n －(n －2)d ]＋[a n －(n －1)d ]．两式相加，得2S n ＝(a 1＋a n )×n ，由此可得等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2.依据等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，代入上式可得S n ＝na 1＋n (n －1)2d .小结 (1)我们称a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .(2)等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .例1 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含很多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从其次圈开头，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问： (1)第9圈共有多少块石板？ (2)前9圈一共有多少块石板？解 (1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝9，d ＝9，n ＝9. 由等差数列的通项公式，得第9圈有石板 a 9＝a 1＋(9－1)d ＝9＋(9－1)×9＝81(块)．(2)由等差数列前n 项和公式，得前9圈一共有石板 S 9＝9a 1＋9(9－1)2d ＝9×9＋9×82×9＝405(块)．答第9圈有81块石板，前9圈一共有405块石板．反思与感悟建立等差数列的模型时，要依据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．本题是依据首项和公差选择前n 项和公式进行求解．易错方面：把前n 项和与最终一项混淆，遗忘答或写单位．跟踪训练1 在新城大道一侧A 处，运来20棵新树苗．一名工人从A 处起沿大道一侧路边每隔10 m 栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵．要栽完这20棵树苗，并返回A 处，植树工人共走了多少路程？解植树工人每种一棵树并返回A 处所要走的路程(单位：m)组成了一个数列：0,20,40,60，…，380，这是首项为0，公差为20，项数为20的等差数列，其和 S ＝20×(20－1)2×20＝3 800(m)．答植树工人共走了3 800 m 的路程．例2 九江抗洪指挥部接到预报，24 h 后有一洪峰到达，为确保平安，指挥部打算在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为其次道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24 h ．但目前只有一辆投入施工，其余的需从昌九高速大路沿线抽调，每隔20 min 能有一辆翻斗车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24 h 内能否构筑成其次道防线？解从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：h)依次设为a 1，a 2，…，a 25，由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24，公差d ＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×242×⎝⎛⎭⎫－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480. 因此，在24 h 内能构筑成其次道防线．反思与感悟解决实际问题首先要审清题意，明确条件与问题之间的数量关系，然后建立相应的数学模型．本题就是建立了等差数列的前n 项和这一数学模型，以方程为工具解决问题的．跟踪训练2 若只有25辆车可以抽调，则最长每隔多少分钟就有一辆车投入工作才能在24小时内完成任务？解从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a 1，a 2，…，a 25. 由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24. 由例题的解答可知，需要完成的工作量为480.即25辆翻斗车完成的工作量需满足条件 a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×242×d ≥480，解得d ≥－25.所以最长每隔24分钟就有一辆车投入工作才能在24小时内完成任务．探究点二等差数列前n 项和的性质思考1 设{a n }是等差数列，公差为d ，S n 是前n 项和，那么S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列吗？假如是，它们的公差是多少？答由S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m ，S 2m －S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a 2m ＝a 1＋md ＋a 2＋md ＋…＋a m ＋md ＝S m ＋m 2d . 同理S 3m －S 2m ＝a 2m ＋1＋a 2m ＋2＋…＋a 3m ＝S 2m －S m ＋m 2d . 所以S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，并且公差为m 2d .思考2 设S n 、T n 分别为两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，那么a n b n 与S 2n －1T 2n －1有怎样的关系？请证明之．答a nb n ＝S 2n －1T 2n －1. 证明：∵S 2n －1＝12(2n －1)(a 1＋a 2n －1)＝2n －12·2a n ＝(2n －1)a n ；同理T 2n －1＝(2n －1)b n ； ∴S 2n －1T 2n －1＝(2n －1)a n (2n －1)b n ＝a nb n. 即a n b n ＝S 2n －1T 2n －1. 例3 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ； (2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．解 (1)方法一在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． ∴30,70，S 3m －100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列，∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.(2)a 5b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝6512. 反思与感悟等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，假如运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练3 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .解设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝715a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)＝12n －52， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n .1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 答案 B解析由S 10＝10(a 1＋a 10)2，得a 1＋a 10＝S 105＝1205＝24.2．记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7 答案 B解析方法一由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝2a 1＋d ＝4S 4＝4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.方法二由S 4－S 2＝a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝S 2＋4d ，所以20－4＝4＋4d ，解得d ＝3. 3．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________. 答案 190解析 S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19(a 10＋a 10)2＝19a 10＝19×10＝190.4．已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d . 解 (1)∵S n ＝n ·32＋(－12)×n (n －1)2＝－15，整理得n 2－7n －60＝0，解之得n ＝12或n ＝－5(舍去)， a 12＝32＋(12－1)×(－12)＝－4.(2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1－512)2＝－1 022，解之得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解之得d ＝－171. [呈重点、现规律]1．推导等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要留意整体思想的应用，留意下面结论的运用：若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N ＋)；若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .3．本节基本思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类争辩思想．一、基础过关1．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( ) A ．18 B ．27 C ．36 D ．45 答案 C解析 S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 2＋a 8)＝36.2．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d 等于( )A.12 B ．2 C.14 D ．4 答案 A解析由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋12×5×4d )，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.3．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( )A ．－9B ．－11C ．－13D ．－15 答案 D解析由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3， ∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， ∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.5．在小于100的自然数中，全部被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．663 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.6．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为________．答案n ＋1n解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2，∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ， ∴S 奇S 偶＝n ＋1n .7．已知等差数列{a n }的前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k . 解设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得⎩⎨⎧a ＋3a ＝2×4d ＝4－aka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2d ＝2k ＝50.(注：k ＝－51舍)∴a ＝2，k ＝50. 二、力气提升8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( ) A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 答案 C解析由于{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得：2a m －a 2m ＝0，由S 2m －1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.9．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( ) A ．9 B ．10 C ．19 D ．29答案 B解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个． ∴钢管总数：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200. ∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．10．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310B.13C.18D.19 答案 A 解析方法一 S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13， ∴a 1＝2d ，S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d ＝310. 方法二由S 3S 6＝13，得S 6＝3S 3.S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9照旧是等差数列，公差为(S 6－S 3)－S 3＝S 3，从而S 9－S 6＝S 3＋2S 3＝3S 3⇒S 9＝6S 3， S 12－S 9＝S 3＋3S 3＝4S 3⇒S 12＝10S 3，所以S 6S 12＝310.11．甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开头运动后几分钟相遇？(2)假如甲、乙到达对方起点后马上返回，甲连续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙连续每分钟走5 m ，那么开头运动几分钟后其次次相遇？解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0. 解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)．第1次相遇是在开头运动后7分钟．(2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0. 解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)．第2次相遇是在开头运动后15分钟．12．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和．解方法一设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎪⎫1 099－109×11100＝－110.故此数列的前110项和为－110.方法二设S n ＝an 2＋bn .∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n .∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.三、探究与拓展13．2000年11月14日训练部下发了《关于在中学校实施“校校通”的工程通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中学校建成不同标准的校内网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺当实施，方案每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的将来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？解依题意得，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所以可以建立一个等差数列{a n }，表示从2001年起各年投入的资金，其中，a 1＝500，d ＝50. 那么，到2010年(n ＝10)，投入的资金总额为 S 10＝10×500＋10×(10－1)2×50＝7 250(万元)．答从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元．。

等差数列的前n项和公式的性质ppt课件

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『变式探究』
1．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足 an＋2－2an＋1＋an＝0，n∈N*. (1)求数列{an}的通项； (2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.
解析：(1)由an＋2－2an＋1＋an＝0得，2an＋1＝an＋an＋2，
所以数列{an}是等差数列，d＝ a 4 a 1 = －2，
Sna 1a 2a 5(a 6a 7a n) (a 1a 2a 3a n)2 (a 1a 2a 5)
n 9n40 Sn＝2－25＋9·5＋n－52＋2 2n－10＝n2－9n＋40.
由①，②可得
Sn＝－n2－n2＋9n＋9n，40，
1≤n≤5 n≥6
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，n∈N*.
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且
Sn Tn
7n 2 n3
，则
a5 b5
65 12
.
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13
『变式探究』
1.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和
Bn，且
An Bn
7n 45，则使得 n3
a b
n n
为整数的正整数n的
个数是( D )
A．2
B．3
C．4
D．5
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【题型分类深度剖析】
题型1：等差数列前n项和性质的简单应用
一般地若数列abn那么数列a为等差数列那么是什么数列为等差数列即等差数列a项的平均值组成的数列仍然是等差数列且公差是数列aa0b2011201120112009200720092007知识探究二等差数列前n项和的性质思考1

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122等差数列前n项和
教学目标
1.掌握等差数列前《项和的公式，并能运用公式解决简单的问题
(1)了解等差数列前《项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前？!项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式;
(2)用方程思想认识等差数列前《项和的公式，利用公式求儿卫1/卫；
等差数列通项公式与前«项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值;
(3)会利用等差数列通项公式与前《项和的公式研究q的最值.
2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特
殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法
3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.
4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中
的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题. 教学重点：等差数列的前n项和公式的推导和应用，
难点：获得推导公式的思路.
教学方法:讲授法.
教学建议
(1)知识结构
本节内容是等差数列前《项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列前《项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题.
(2)重点、难点分析
高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上.
(3)教法建议
①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用, 一节侧重于通项公式与前《项
和公式综合运用.
②前《项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活
③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法
④补充等差数列前《项和的最大值、最小值问题.
⑤用梯形面积公式记忆等差数列前«项和公式.
教学过程：一.新课引入
提出问题：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？
问题就是（板书）“ 1 + 2 + 3 + 4 +…+100 = ? ”
这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的
（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101,
50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发?
.讲解新课：（板书）等差数列前《项和公式
1.公式推导（板书）问题：设等差数列｛%｝的首项为"1,公差为d，
E广勺+勺+偽+…+ a广?由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的
指导意义.
思路一：运用基本量思想，将各项用衍和d表示，得
儿 + 十d）+ （a] + 2d）+（逐 +〃）+ ・♦ +仙+0-2同|+国+（旷1）引，有以下等式冷+d）+M +（旷2）d] = @1 +2d）+国+伙-加]二…，问题是一共有多少个
+国+也~1同，似乎与n的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.
思路二：上面的等式其实就是坷5 5巾『^3 5•厂…，为回避个数问
题，做一个改写心=珂+勺+陽+…+迄“+抵］+必菱，心=尬」抵1+也+…地+勾+如，两式左右分别相加, 得：2$厂何5）+佃+如）+ （西巾』+
…+ （也+曲）+ （也5）+仇+卯,2S,=呛1 +叮
g _总⑷+石
于是有：" 2 .这就是倒序相加法.
思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得
2S'=加］+坷+ （用T ）d ］，于是5咛d
g _ 验 1 + Q
于是得到了两个公式：槪 —厂
2. 公式记忆：用梯形面积公式记忆等差数列前 «项和公式，这里对图形进行了割、
补两种处理，对应着等差数列前《项和的两个公式.
3. 公式的应用：公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一
例 1.求和：（1）101 + 100 + 99 + 98 + 97 + …+ 64 ；
（2）2+4 + 6 + 8 +…+ （2时+4）（结果用《表示）
解题的关键是数清项数，小结数项数的方法
例2.等差数列2,4,6,,…中前多少项的和是9900?
本题实质是反用公式，解一个关于《的一元二次函数，注意得到的项数《必须是正整数.
三.小结：1.推导等差数列前«项和公式的思路;
2.公式的应用中的数学思想. o 严世2 和k 1
2 7 1
r = - til f
Uh ■*。