九年级数学上图形的相似
华师版九年级数学上册第23章 图形的相似5 位似图形
2．下列关于位似图形的三个表述中正确的有( C ) ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同 一个点，那么这两个图形是位似图形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3.如图，△OAB 和△OCD 是位似图形，AB 与 CD 平行吗？为什么？
A A′
D′ D O C C′
B B′
A
C′
B
O
B′
C
A′
知识要点2
位似图形的性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
典例讲解
1
例1..把四边形 ABCD 缩小到原来的 2. (1) 在四边形外任选一点 O (如图)；
(2) 分别在线段 OA、OB、OC、OD 上
A
取点 A' 、B' 、 C' 、D' ，使得；
OA' OB' OC' OD' 1
B
D
A'
OA OB OC OD 2
B' D'
C
(3) 顺次连接点 A' 、B' 、C' 、D' ，所
O
C'
得四边形 A' B' C' D' 就是所要求的图形
知识要点3
画位似图形的一般步骤 ① 确定位似中心； ② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； ③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； ④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
第23章 图形的相似
位似图形
活动一 照相机把人物的影像缩小到底片上，这种相似有什么特征？
九年级数学相似的知识点
九年级数学相似的知识点
1. 相似三角形：了解相似三角形的定义和性质，掌握判定两个三角形是否相似的几何条件，了解相似三角形的比例关系以及应用。
2. 相似多边形：了解相似多边形的定义和性质，掌握判断两个多边形是否相似的几何条件，了解相似多边形的比例关系以及应用。
3. 相似比例：学习相似比例的定义，掌握相似比例的计算和应用，了解相似比例与比例的关系。
4. 相似形状的尺寸关系：通过相似性的特点和比例关系，掌握计算相似形状的尺寸关系，实际应用中解决实际问题。
5. 相似图形的面积和体积：了解相似图形的面积和体积之间的关系，掌握计算相似图形的面积和体积的方法。
6. 相似三角形的三线合一定理：了解相似三角形的三线合一定理，掌握计算相似三角形的高、中线、角平分线以及重心、垂心和外心的方法。
7. 三角形的判定：了解判定三角形是否相似的几何条件，掌握相似三角形中角的性质和边的关系，应用相似三角形解决实际问题。
8. 相似函数的性质：了解相似函数的定义和性质，掌握相似函数的图像特点和变化规律，应用相似函数解决实际问题。
9. 相似变换：了解平移、旋转、翻折和缩放等相似变换的性质，掌握相似变换的基本概念、性质和运算法则，应用相似变换解决实际问题。
10. 相似图形中的角度关系：通过相似图形的角度关系，学习解决相似图形中的角度问题。
以上是九年级数学中与相似相关的知识点，希望对你有帮助！。
九年级数学相似的知识点
九年级数学相似的知识点1. 相似三角形：相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形的性质包括对应角相等、对应边成比例等。
通过相似三角形，可以解决一些几何问题，如计算不可测量的长度或距离。
2. 比例与相似：比例是指两个量之间的相对关系。
在相似三角形中，对应边的长度之比等于对应角的边之比。
比例与相似问题常用于解决物体的放大缩小、图形的变换等。
3. 相似多边形：相似多边形是指具有相同形状但大小不同的多边形。
相似多边形的性质包括对应角相等、对应边成比例等。
通过相似多边形，可以解决一些面积和体积比较的问题。
4. 黄金分割：黄金分割是指一条线段分割成两部分，较长部分与整体的比例等于整体与较短部分的比例。
黄金分割在艺术、建筑、设计等领域中广泛应用。
5. 图形的相似性变换：图形的相似性变换是指通过平移、旋转、镜像和缩放等变换操作使两个图形成为相似图形。
相似性变换常用于解决图形的构造、定位和证明问题。
6. 相似三角形的勾股定理：相似三角形的勾股定理是指在两个相似三角形中，两个直角边的平方的比等于两个斜边的平方的比。
7. 外接圆和内切圆：在相似三角形和相似多边形中，外接圆和内切圆分别是能够通过所有顶点（或顶点所在的边）的圆和能够被所有边（或边上的顶点）所切的圆。
外接圆和内切圆之间存在着一定的关系，如半径比例等。
8. 相似三角形的角平分线定理和中线定理：相似三角形的角平分线定理是指两个相似三角形中，两个对应角的角平分线也相似；相似三角形的中线定理是指两个相似三角形中，两个对应中位线也相似。
这些是九年级数学中与相似有关的知识点，希望对你有帮助！。
九年级数学《图形的相似》总复习课件-PPT
6或2/3或1.5
6
2.比例中项：
当两个比例内项相等时，即
a b=
cb(，或 a：b=b：c)，
那么线段 b 叫做a 和 c 的比例中项.
即： b2 ac
数2与8的比例中项是 ___4_ .线段2cm与8cm的
比例中项是 _4__c_m.
7
3.黄金分割： A
C
B
把一条线段（AB）分成两条线段，使其中较长线段（AC）是 原线段（AB）与较短线段（BC）的比例中项，就叫做把这条 线段黄金分割。
y
·P
O B· C·
x
·A
28
9、如图, 在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2,
在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与
△ABC相似,那么AF=___85_或___52_
A
.E
F1
F2
DC
B
C
A
B
10、 如图, 在直角梯形中, ∠BAD=∠D=∠ACB=90。，
CD= 4, AB= 9, 则 AC=__6____
P
A
C
D
B
33
15、 如图D,E分别AB,AC是上的点, ∠AED=72o， ∠A=58o，∠B=50o, 那么△ADE和△ABC相似吗？
若AE=2,AC=4,则BC是DE的
倍.
A
E D
C B
34
16、若△ ACP∽△ABC，AP=4，BP=5，则AC=___6____，△
ACP与△ABC的相似比是_____2__:，3周长之比是_______，
1
1. 成比例的数（线段）：
若 a c 或a : b c : d , 那么 a ,b, c , d 叫做四个数成比例。
数学图形相似九年级知识点
数学图形相似九年级知识点数学中的图形相似是指两个或多个图形在形状上相似，即它们的对应角度相等，对应边的比例相等。
图形相似在几何学中有重要的应用，能够帮助我们分析和解决各种数学问题。
本文将介绍九年级数学中关于图形相似的知识点。
1. 判断图形相似的条件在九年级数学中，判断两个图形是否相似，需要满足以下三个条件：（1）对应角相等：两个图形的对应角度相等。
（2）对应边比例相等：两个图形中，对应边的长度之比相等。
（3）对应边平行：两个图形中，对应边之间相互平行。
2. 图形相似的性质图形相似具有以下性质：（1）对应角的性质：相似图形的对应角相等，即它们的内角相等，外角相等。
（2）对应边的比例：相似图形的对应边之比等于它们的周长、面积之比。
即若图形A与图形B相似，那么两个图形的对应边AB与A'B'的比例等于它们的周长或面积之比。
3. 相似三角形的定理在相似三角形中，我们可以应用以下定理来求解各种问题：（1）AAA相似定理：如果两个三角形的三个内角分别相等，则这两个三角形相似。
（2）AA相似定理：如果两个三角形的一个内角相等，并且两个三角形的对应边比例相等，则这两个三角形相似。
（3）SAS相似定理：如果两个三角形的一个内角相等，并且两个三角形的一个对边与这个角的对边的比例相等，则这两个三角形相似。
4. 图形相似应用图形相似在实际问题中有广泛的应用，比如：（1）计算高塔的高度：通过相似三角形的定理，我们可以计算高塔的高度。
例如，利用影子定理可以测量高塔的高度，其中就用到了相似三角形的概念。
（2）建模问题：在建模问题中，相似图形的概念可以帮助我们将实际物体或建筑的比例缩小或放大，以便进行实际测量或设计。
总结：数学图形相似是九年级数学中的重要知识点，它可以帮助我们分析和解决各种数学问题。
相似图形的判断条件、性质以及应用都需要我们掌握。
通过学习相似图形的知识，我们可以更好地理解几何学中的概念和应用，提升数学解题能力。
北师大版数学九年级上册第四单元图形的相似单元复习课件
（1） 求 的值；
（2） 求 的长.
（1） 求 的值；
解： , . .
（2） 求 的长.
[答案] 如图，过点 作 ，交 的延长线于点 .
， ， . . 是 的中线，
A
A. B. C. D.
3.如图，点 ， 在 的边 上，点 在边 上，且 ， .
（1） 求证： .
（2） 如果 ，求证： .
（1） 求证： .
证明： ， . , . . .
（2） 如果 ，求证： .
[答案] ， . ， .又 ， . . ， . . .
6.如图，在 中， ， ，则图中类似三角形有( )
C
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
Ⅳ.“旋转型”
7.如图，在 和 中， ， .
（1） 写出图中两对类似三角形（不得添加字母和线）；
（2） 请说明其中一对三角形类似的理由.
（1） 写出图中两对类似三角形（不得添加字母和线）；
Ⅱ.斜“A字形”（不平行）
4.如图， ， 两点分别在 的边 ， 上， 与 不平行.当添加条件_______________（写出一个即可）时， ．
如
5.如图，在 中， ， ， ．某一时刻，动点 从点 出发沿 方向以 的速度向点 匀速运动；同时，动点 从点
Ⅱ.反“8字形”（不平行）
9.如图，在 中， 平分 交 于点 ，点 在 的延长线上，且 .
（1） 求证： .
（2） 求证： .
（1） 求证： .
证明： 平分 ， . , . .
（2） 求证： .
[答案] ， . ， .又 ， . ，即 .
九年级相似图形知识点归纳
九年级相似图形知识点归纳相似图形是几何学中的一个基本概念，它指的是形状相似但尺寸不同的两个或多个图形。
在九年级的数学学习中，相似图形是一个重要的知识点，涉及到比例、比例尺、相似比等概念。
本文将对九年级相似图形的相关知识进行归纳总结。
一、相似图形的定义相似图形是指在形状上相似但尺寸不同的两个或多个图形。
相似图形具有以下特点：1. 对应角相等：两个相似图形的对应角都相等；2. 对应边成比例：两个相似图形的对应边的长度成比例。
二、相似图形的判定方法1. AAA判定法：若两个图形的对应角分别相等，则它们是相似图形。
2. AA判定法：若两个图形的两组对应角分别相等，则它们是相似图形。
三、相似图形的性质和定理1. 三角形的相似定理：a. AA相似定理：如果两个三角形的两组对应角相等，则这两个三角形是相似的。
b. SSS相似定理：如果两个三角形的三组对边成比例，则这两个三角形是相似的。
c. SAS相似定理：如果两个三角形的一组对边成比例且对应角相等，则这两个三角形是相似的。
2. 相似三角形的性质：a. 对应边成比例：相似三角形的对应边的长度成比例。
b. 三角形内角对应：相似三角形的内角都对应相等。
四、相似图形的应用相似图形的知识在实际生活和实际问题中有广泛应用，例如：1. 测量：利用相似图形的知识可以进行测量，如通过测量一个三角形的边长和另一个相似三角形的边长，可以得到未知边长的长度。
2. 设计：在设计中，相似图形的概念可以应用于建筑、道路等方面，通过对已知图形进行放大或缩小，使其与实际需求相适应。
3. 地图测绘：地图上的比例尺就是利用相似图形的原理进行测绘的。
五、示例题目1. 已知两个三角形的对边成比例，但两个三角形的对应角不全等，是否可以判定这两个三角形是相似的？2. 若一个平面图形与一个已知的相似图形所对应的角相等，并且对应边成比例，能否判断这两个图形是相似的？六、总结九年级相似图形是一个重要的几何学知识点，它涵盖了相似图形的定义、判定方法、性质和应用等方面。
2024秋九年级数学上册第3章图形的相似3
3.6 位似
第1课时位似图形的概念及画法
1下列图中的两个图形不是位似图形的是（）
A．B．
C．D．
2下列四图中的两个三角形是位似三角形的是（）
A．图（3）、图（4）
B．B．图（2）、图（3）、图（4）
C．C．图（2）、图（3）
D．D．图（1）、图（2）
3．如图，三个正六边形全等，其中成位似图形关系的有（）
A．0对B．1对
C．2对D．3对
学问点二位似图形的性质
4．如图所示，△ABC和△A′B′C′是位似图形，且OA′=OA，则AB：A′B′等于（）A．3：2 B．2：3
C．3：5 D．5：3
第4题图第6题图
5.（玉林中考）△ABC 与△'''A B C 是位似图形，且△ABC 与△'''A B C 的位似比是1︰2，已知△ABC 的面积是3，则△'''A B C 的面积是（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
6．如图，将△ABC 的三边缩小为原来的．任取一点O ，连AO 、BO 、CO ，并取它们的中点D 、E 、F ，得△DEF，下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC 与△DEF 是位似图形；
②△ABC 与△DEF 是相像图形；
③△ABC 与△DEF 周长之比为2：1；
④△ABC 与△DEF 的面积之比为4：1．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个。
初中九年级数学相似知识点
初中九年级数学相似知识点相似是数学中一个重要的概念，也是数学学习中的基础内容之一。
在初中九年级的数学学习中，相似是一个重要的知识点。
本文将介绍初中九年级数学中相似的相关知识点，以及相关应用。
一、相似的概念及性质相似是指两个图形的形状相同但尺寸不同。
在数学中，我们可以通过相似来解决一些几何问题。
相似的概念有以下几个性质：1. 对应角相等性质：两个相似图形的对应角相等。
2. 对应边成比例性质：两个相似图形的对应边成比例。
二、相似三角形的判定条件在初中九年级数学中，我们通常需要判断两个三角形是否相似。
以下是判定两个三角形相似的条件：1. AAA 判定相似定理：若两个三角形的三个角分别相等，则这两个三角形相似。
2. AA 判定相似定理：若两个三角形的两个角分别相等，并且对应边成比例，则这两个三角形相似。
三、相似比例相似的两个图形的对应边成比例。
在初中九年级的数学中，我们经常会涉及到相似比例的计算。
相似比例的计算方法如下：1. 如果两个图形相似，我们可以通过已知的两组对应边的长度，计算出它们的相似比例。
2. 设相似比例为k，则相似图形中相同位置的边长度之比为k。
四、相似图形的应用相似图形在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的相似图形应用：1. 测量高楼的高度：通过在两个相似的三角形之间设置高度比例，我们可以根据已知高楼和测量结果的比例，计算出高楼的实际高度。
2. 制作地图：在地图制作过程中，我们可以通过相似的关系将一个大区域缩小到合适的尺寸，以便于绘制。
3. 三角测量：在实际测量中，我们可以利用相似三角形的边长比例关系，计算得到难以直接测量的距离。
五、总结相似是数学中一个重要的概念，在初中九年级的数学学习中，相似是一个重要的知识点。
相似的性质和判定条件可以帮助我们解决实际问题，同时也为我们理解几何形状的变化提供了基础。
相似比例的应用也是数学在实际生活中的体现。
通过深入学习相似的概念和应用，我们可以更好地理解数学知识，提高我们的数学水平。
九年级数学上册23.2 相似图形课件 (共24张PPT)
且沿着直线 l 剪开后得到的矩形 EFCD 与原
矩形 ABCD 相似，试求 AD 的长；
AD AB 解： . 1 矩形EFCD∽矩形CBAD， CD CF 设AD 2CF 2 x , 又 CD AB 2. 2x 2 .解得：x 2, AD 2 2. 2 x
F l E
D
DC 2 4 ED 5 1, B AD 5 1 AE AD ED 2. AE 2 5 1 ED,
C
依据对称性考虑，必定存在当AE 5 1时， 使矩形EFBA与矩形ABCD相似的情形. 综上所述：当AE 5 1或2时，在剪开所 得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似. 这两种情形中，E点刚好是边AD的两个黄金 分割点.
解： 四边形ABCD与四边形A BC D相似， x 18 , 从而可得：x 27. 18 12 四边形ABCD与四边形A BC D相似， C C 83 ， 360 77 116 83 84 .
讨论
两个三角形一定是相似图形吗？ 不一定 两个等腰三角形呢? 不一定
两个等边三角形呢？
一定
思维变式
两个长方形相似吗？两个正方形呢？ 两个长方形不一定相似. 两个正方形一定相似.
小结
相似多边形的判定方法：对于两个边 数相同的多边形，如果它们的对应边成比 例并且对应角也分别相等，那么这两个多 边形相似.
例2.矩形 ABCD 纸片的边 AB长为 2cm，
动直线 l 分别交 AD、BC 于E、F 两点，
（2）若使 AD ( 5 1)cm ，试探究，在 AD 边上是否存在点 E ，使剪刀沿着直线 l 剪开 后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形 ABCD 相似的情况.若存在，请求出 AE 的值，并判 断 E 点在边 AD 上位置的特殊性；若不存在， 请说明理由.
初三数学九年级上册知识点——图形的相似
九年级数学上册知识点图形的相似一、成比例线段1.定义：（1）线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n. （2）成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。
2.定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0),那么（a+c+m）/(b+d++n)=a/b二、平行线分线段成比例1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
2.平行于三角形一边的直线与其他两边相交。
截得的线段成比例。
三、相似多边形定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做相似比。
四、探索三角形相似的条件1.两角分别相等的两个三角形相似。
2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3.三边成比例的两个三角形相似。
4.概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
五、相似三角形判定定理的证明判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
六、利用相似三角形测高1.利用阳光下的影子2.利用标杆3.利用镜子的反射七、相似三角形的性质1.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。
九年级数学上册第四章图形的相似-图形的位似课件
第四章 图形的相似
考场对接
题型五 以原点为位似中心的位似变换
例题5 如图4-8-14 , 在Rt△ OAB 中 ,
∠OAB=90°, 且点B的坐标为(4, 2)．
(1) 画出△OAB 绕点 O 逆时针旋转 90 °
后的
；
(2)以坐标原点O为位似中心, 按1∶2的位似
比 在y轴的右侧画出
缩小后的 ．
课后作业 1.完成导学案剩余练习 2.完成数学作业本相应练习。
第四章 图形的相似
8 图形的位似
第四章 图形的相似
考场对接
题型一 确定位似中心
例题1 如图4-8-9所示 , 将 △ ABC 的三 边分别扩大为原来的 2 倍得到 ( 顶点均在格点上 ) , 它们是以点P为位 似 中心的位似图形, 则点P的坐标是( A
考场对接
题型二 应用位似图形的性质进行计算
例题2 如图4-8-10, 已知△ADE与△ABC是 位似 图形, 且DE垂直平分AC. (1)求∠C的度数； (2)求△ A DE 与 梯 形 DECB的面积比.
第四章 图形的相似
考场对接
分析 抓住位似图形与相似图形的关系, 再利用相似三角形的性质 计算.
2.位似的三要素即是判定位似 的依据，也是位似图形的性质.
目标检测
1.如图，△OAB和△OCD是位似图形， AB与CD平行吗？为什么？
答案：平行.位似图形的
目标检测
2.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图 形，点O是位似中心，若OA=2AA′,S△AB C=8,则S△A′B′C′=?
独学：3分钟
对学：1分钟
新知探索
位似图形的性质：
如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O位似，BO＝ 3，B′O＝6. （1）若AC＝5，求A′C′的长； （2）若△ABC的面积为7，求△A′B′C′的面积.
数学九年级知识点相似
数学九年级知识点相似在数学九年级中，相似是一个非常重要的知识点。
相似性质是指两个或多个图形在形状上相似的性质。
相似的图形既可以是平面图形，也可以是空间图形。
在学习相似性质时，我们需要了解相似的定义、相似的判定方法以及相似的性质与应用等方面的知识。
一、相似的定义相似是指两个或多个图形在形状上相同，但大小可能不同，既没有重叠也没有间隙的性质。
对于两个平面图形来说，如果它们的对应角度相等，对应边的比例相等，那么这两个图形是相似的。
对于两个空间图形来说，如果它们的对应面的角度相等，对应边的比例相等，那么这两个图形是相似的。
二、相似的判定方法1. AA判定法：如果两个三角形的两个对应角分别相等，则这两个三角形是相似的。
2. SAS判定法：如果两个三角形的一个对应角相等，并且两个对应边的比例相等，则这两个三角形是相似的。
3. SSS判定法：如果两个三角形的三个对应边的比例相等，则这两个三角形是相似的。
三、相似的性质与应用1. 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比例相等。
根据这个性质，我们可以利用已知条件求解未知量，进而解决各种实际问题，比如测量高楼的高度、计算远近物体的距离等。
2. 相似形状的应用：在工程设计、建筑设计等领域中，相似性质可以用来进行模型的设计和缩放，以便更好地展示和理解复杂的结构、形状等。
四、相似的注意事项1. 相似的比例关系：在判定相似时，我们需要注意对应边或对应面的比例是否相等，这是相似的重要条件之一。
2. 注意相似的顺序：在进行相似判定时，我们需要保持对应关系一致，即相似三角形的对应边或对应面的顺序应该一致。
3. 注意判断相似的条件：在使用判定法时，我们需要确保满足相应的条件，才能得出两个图形相似的结论。
总之，相似是数学九年级中重要的知识点之一。
了解相似的定义、判定方法、性质与应用是我们理解和掌握相似性质的基础。
通过学习相似，我们可以应用数学的知识解决实际问题，提高数学的实践性和应用性。
初中数学北师大九年级上册图形的相似-射影定理PPT精选全文完整版
1、一般三角形相似的判定方法
（ 1 ） 两 角 分 别 相等 的 两 个 三 角 形 相 似
（ 2 ） 两 边 成比例 且 夹 角 相等的 两 个 三 角 形 相 似
（ 3 ） 三 边 成比例 的 两 个 三 角 形 相 似
2.
（ 4 ） 平 行 于三角形一边的直线截其他两边（或两边
的延长线）所得的三角形
与原三角形相似
23、. 直角三角形相似的判定方法
（1）一般三角形相似的判定方法
（ 2 ） 一直角边和 斜边 对应成比例的两个直角三角形相似。
新知探究
一、射影
1.如图1，太阳光垂直于L照在A点，留在直线L上的影子应是点A'
，线段AB留在L上的影子是线段A'B'。 2.定义：
A
过线段AB的两个端点分别作直线L的
ECF BCA
E AD
CEF ∽CBA
F B
知识小结
射影定理：
如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°, CD⊥AB于点D，则: CD2=AD·BD BC2=BD·AB AC2=AD·AB
视野拓展
图2
新知探究
二、射影定理
1.如图，是一个十分重要的相似三角形的
基本图形，图中的三角形可称为“子母型
相似三角形”，其应用较为广泛。
12
（1）请你找出图中的相似三角形，并
证明。
（2）请你结合射影的相关知识，研究
这几组相似三角形对应线段的比例关系，
你有什么发现吗？
新知探究
2.射影定理（欧几里得定理）：
C
A
D
B
例题精析
例题精析
例3 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E ，DF⊥BC于F，求证：△CEF∽△CBA
华师版九年级上册数学第23章 图形的相似 相似图形
感悟新知
2．相似多边形的性质：相似多边形的对应边成
比例，对应角相等．
知2－导
作用：常用来求相似多边形中未知的边的长度和
角的度数．
活学巧记：
两个相似多边形， 形状相同大小异. 各边对应成比例， 各角对应都相等.
感悟新知
例2 在图所示的两个相似四边形中，求边x的长 度和角α的大小．
知2－练
分析：利用相似多边形的性质和多边形的内角和公 式就可以得到所需结果，在利用相似多边形 的性质时，必须分清对应边和对应角．
课后作业
作业1 必做:请完成教材课后习题 补充:
作业2
感悟新知
知2－讲
思考
两个三角形一定是相似图形吗？两个等腰三角形 呢？两个等边三角形呢？
感悟新知
知2－练
1．若多边形ABCDEF与多边形A′B′C′D′E′F′相似， 且∠A与∠A′为对应角，∠A＝68°，则∠A′ 等于( )
A．22°B．C 112°C．68°D定义可作为判断两个多边形是否相 似的判定，即在多边形中，只有“边数相同” “角分别相等”“边成比例”这三个条件同时成立 时，才能说明这两个多边形是相似多边形． 2.相似比的值与两个多边形的前后顺序有关． 3.相似比为1的两个相似多边形是全等多边形．
仅形状相同，大小也相同．
感悟新知
图中的相似图形有哪些？ 例1
知1－练
感悟新知
导引：本题依据相似图形的定义求解．观察这些图形，虽
然图(6)与图(12)、图(8)与图(11)极为相似，
知1－练
但是它们的形状不相同．图(6)“拉长”而不是整体放大
变成了图(12)，图(8)“压缩”而不是整体缩小变成了图
第22章一元二次方程
第23章图形的相似
青岛版九年级数学上册图形的相似怎样判定三角形相似课件
l1
A
E B
l2
D
l3
F
l5
C l4
活动一
若直线 l3//l5//l4，AE=EB,则DF=FC即
AE DF 1 EB FC
l1
A
E
l2
D
l3
F
l5
B
C l4
活动二
三条距离不相等的平行线 截两条直线会有什么结果?
猜 想 ：
l A B
C
l
D
l1
E
l2
F
l3
你能否利用所学过的相关知识进行说明？
考察 AB 2 BC 3
设线段AB的中点为P1，线 段BC的三等分点为P2,P3， 分别过点P1,P2,P3作直线 a1,a2,a3平行于l1,与l 的交 点分别为Q1,Q2,Q3.有：
AP1=P1B=BP2= P2P3= P3C DQ1=Q1E=EQ2=Q2Q3=Q3F
A
ll A
P1
BB
P2
P3
CC
lDQEQ1lD2 Eaall1212
推论
平行于三角形一边，并且与其他两边相交的直 线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边 对应成比例.
说出成比 例线段
平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交,所
得的三角形与原三角形__类__似____.
“A”型
“X”型
A
D
E
O
D
E
B
C
（图1）
B
（图2）
C
教材P11 练习2
例题
如图,△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2,
A
B
C
教材P11 练习1
初三数学相似形的知识点
在计算面积、体积时，要注意使用相似形的性质，并正确计算对应边之比；
在解决解析几何问题时，要注意利用相似形的性质，并根据题意确定对应边。
希望以上内容能够帮助您更好地理解相似形的概念和应用。
在初中数学学习中，相似形是一个重要的概念。
1.定义：如果两个图形在同一坐标系内，且任意一个图形的任意一条边与任意一条角的对应边或对应角相等，则这两个图形为相似形。
2.相似形的性质：
两个相似形的相似比等于每对对应边之比的乘积相等；两个相似形源自面积之比等于每对对应边之比的平方相等；
两个相似形的体积之比等于每对对应边之比的立方相等。
3.相似形的判定：
两个图形相似，当且仅当它们的所有内角相等；
如果两个图形的两条对应边之比相等，则它们的所有内角相等；
如果两个图形的三条对应边之比相等，则它们的所有内角相等。
4.相似形的应用：
利用相似形的性质解决计算面积、体积的问题；
利用相似形的性质解决解析几何问题，如求线段中点、垂足等。
5.相似形的注意事项：
九年级数学图形的相似(带答案)
第3章图形的相似【经典例题】1.（2014湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，点A 的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（）．A ．(2，0)B ．(23，23)C ．(2，2)D ．(2，2)【解析】由已知得，E 点的坐标就是点A 坐标的2倍．【答案】C【点评】本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是同向位似．2.(2014山东日照，8，3分)在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE ,则FD BF 的值是（ ） A.21 B.31 C.41 D.51 解析：如图，由菱形ABCD 得AD ∥BE,，所以△BEF ∽△ADF, 又由EC =2BE ,得AD=BC=3BE ,故FD BF =AD BE =31. 解答：选B ．点评：本题主要考查了棱形的性质、相似三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键.3.（2014·湖南省张家界市·10题·3分）已知ABC △与DEF △相似且面积比为4∶25，则ABC △与DEF △的相似比为 ．【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根.【解答】ABC △与DEF △的相似比为254=52. 【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方.4.（2014山东省滨州，18，4分）如图，锐角三角形ABC 的边AB ，AC 上的高线CE 和BF 相交于点D ，请写出图中的两对相似三角形： （用相似符号连接）．【解析】（１）由于∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，可得△BDE ∽△CDF 。
由于∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，可得△ABF ∽△ACE 。
解：（1）在△BDE 和△CDF 中∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE ∽△CDF ．（2）在△ABF 和△ACE 中，∵∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF ∽△ACE ．【答案】△BDE ∽△CDF ，△ABF ∽△ACEABC D FE （第6题） yxAO C B D EF【点评】本题考查相似三角形的判定方法．三角形相似的判定方法有，AA ，AAS 、ASA 、SAS 等．5.(2014贵州黔西南州，17，3分)如图5，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AD=1，BC=3，△AOD 的面积为3，则△BOC 的面积为___________．【解析】由题意知AD ∥BC ，所以∠OAD=∠OCB ，∠ODA=∠OBC ，所以△OAD ∽△OCB ．又AD=1，BC=3，所以△OAD 与△OCB 的相似比为1:3，面积之比为1:9，而△AOD 的面积为3，所以△BOC 的面积为27．【答案】27．【点评】理解相似三角形的相似比与周长比、面积比之间的关系，是解决本题的关键．6.（2014贵州遵义，7,3分）如图，在△ABC 中，EF∥BC，=，S 四边形BCFE =8，则S △ABC =（ ）A ． 9B ． 10C ． 12D ． 13 解析：求出的值，推出△AEF∽△ABC，得出=，把S 四边形BCFE =8代入求出即可． 解：∵=， ∴==，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴==，∴9S △AEF =S △ABC ，∵S 四边形BCFE =8，∴9（S △ABC ﹣8）=S △ABC ，解得：S △ABC =9．故选A ．答案： A点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．7.（2014南京市，15，2）如图，在平行四边形ABCD 中，AD=10厘米，CD=6厘米，E 为AD 上一点，且BE=BC,CE=CD ，则DE= 厘米.C A E解析：△BCE 与△CDE 均为等腰三角形，且两个底角∠DEC=∠BCE ，∴△BCE ∽△CDE ，∴CD BC =DECE ,∴ 610=DE6,∴DE=3.6厘米. 答案：3.6.点评：在图形中，利用相似，得出比例式，可以求出线段的长.8.(2014山东日照，21，9分) 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点,连结AE ，作BF ⊥AE ，垂足为H ,交CD 于F ,作CG ∥AE ,交BF 于G .(1)求证CG =BH ;(2)FC 2=BF·GF ; (3) 22AB FC =GBGF .解析：(1)可证△ABH ≌△BCG ；(2)证△CFG ∽△BFC 可得；(3)先证△B CG ∽△BFC 得BC 2=BF·BG ,结合AB=BC 可得.证明： （1）∵BF ⊥AE ，CG ∥AE , CG ⊥BF ,∴ CG ⊥BF .∵在正方形ABCD 中，∠ABH+∠CBG =90o , ∠CBG+∠BCG =90o,∠BAH+∠ABH =90o ,∴∠BAH=∠CBG, ∠ABH=∠BCG, AB=BC,∴△ABH ≌△BCG ,∴CG=BH ;(2) ∵∠BFC=∠CFG, ∠BCF=∠CGF=90 o ,∴△CFG ∽△BFC ,∴FCGF BF FC =, 即FC 2=BF ·GF ; (3) 由（2）可知，BC 2=BG ·BF ,∵AB=BC ,∴AB 2=BG ·BF , ∴22BC FC =BF BG BF FG ••=BGFGAF即22AB FC =GBGF 点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到全等（或相似）三角形，并找到三角形全等（或相似）的条件.9.(2014海南省，12，3分）12、如图3，在△ABC 中，∠ACB=090，CD ⊥AB ，于点D ，则图中相似三角形共有（ ）C D B AA 、1对B 、2对C 、3对D 、4对【解题思路】由射影定理可知图中相似三角形共有三对：△BDC ～△BCA ～△CDA【答案】C ．【点评】本题主要考查相似三角形基本图形中的一种，也是很重要的一种：射影定理。
初中数学 如何判断两个图形是否相似
初中数学如何判断两个图形是否相似要判断两个图形是否相似，我们可以考虑以下几个方法：1. 观察对应角度是否相等：如果两个图形的对应角度相等，那么它们很可能是相似的。
对应角度是指在两个图形中相同位置的角度。
例如，如果两个三角形的对应角度相等，那么它们可能是相似的。
2. 比较对应边长是否成比例：如果两个图形的对应边长成比例，那么它们可能是相似的。
对应边长是指在两个图形中相同位置的边长。
例如，如果两个三角形的对应边长成比例，那么它们可能是相似的。
3. 使用相似三角形的性质：根据相似三角形的性质，我们可以判断两个三角形是否相似。
相似三角形的性质包括对应角度相等和对应边长成比例。
如果两个三角形满足这些性质，那么它们是相似的。
4. 利用比例关系：如果我们知道一个图形的各个部分之间的比例关系，我们可以根据这个比例关系来判断另一个图形是否相似。
比例关系可以是长度比例、面积比例等。
如果两个图形的各个部分之间的比例关系相同，那么它们可能是相似的。
5. 使用相似性判定定理：相似性判定定理是几何学中用来判断两个图形是否相似的定理。
根据不同的定理，我们可以利用一些特定的条件来判断相似性。
例如，AA判定定理指出，如果两个三角形的两个对应角度相等，那么它们是相似的。
需要注意的是，判断两个图形是否相似通常需要多个条件的共同验证。
只有满足所有相似性的条件，我们才能确定两个图形是相似的。
总结一下，判断两个图形是否相似可以通过观察对应角度是否相等、比较对应边长是否成比例、使用相似三角形的性质、利用比例关系和应用相似性判定定理等方法。
在判断过程中，需要注意验证多个条件，确保满足相似性的要求。
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A 三边对应成比例，两三角形相似。
A1
即：
B
C
如果
AB A1B1
BC B1C1
AC A1C1
,
那么 △ABC∽ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA1B1C1.
B1
C1
请同学们与同位合作，分别画∆ABC 与∆DEF，使AB BC AC 都等于一个
DE EF DF
定值（自己设定），并设法比较∠A与
∠D的大小.∆ABC与∆DEF相似吗？说
到目前为止，我们学习了哪些识别三角 形相似的方法？
三个角对应相等
运用定义 三边对应成比例
(1)两角分别相等 (2)两边成比例且夹角相等 两三角形相似 (3)三边成比例
【例题】
如图，在△ABC和△ADE中，
AB BC AC ，∠BAD=20°，求
AD DE AE
∠CAE的度数.
A
B
C
D
E
例 如图在△ABC和△ADE中 AB BC AC . ∠ BAD＝20°求∠ CAE的度数AD DE AE
解：∵
AB AD
BC DE
AC . AE
A
∴△ABC∽△ADE
△ABC的边AC，AB上的
点，请你添加一个条件， D
使△ADE∽△ABC.
C
E B
(判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似)
(判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)
三角形全等的判定方法有哪些？
SAS ASA AAS SSS (HL )
根据“三角形全等的判定方法”， 你猜测什么条件下，也能有三角形 相似？
B
(三边成比例的两个三角形相似）
C
∴ ∠BAC=∠DAE
D
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
E
即∠BAD=∠CAE
∵∠BAD=20°
∴∠CAE=20°
巩固训练
1.如图,△ABC与△ A′B′C′相似 吗?你有哪些判断方法?
A
B
C
A′
B′
C′
2.如图，小正方形的边长均为1，则下 图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的 为（ ）
说你的理由.
F
C
26 34
2 26
2 34
A4 B
∵ AB BC AC
DE EF DF
D
8
E
∴ ΔABC ∽ ΔDEF
合作探究
如果两个三角形的三组对应边的比 相等，那么这两个三角形相似。
三边对应成比例，两三角形相似。
A
A1
即：
B
C
如果
AB A1B1
BC B1C1
AC A1C1
,
那么 △ABC∽△A1B1C1.
九年级数学(上)第四章 图形的相似
4.探索三角形相似的条件（3）
• 掌握三角形相似的判定定理3，并会用判定 定理3进行判断、证明及计算．
• 通过对判定方法的探索，发展学生思维的灵 活性，进一步培养逻辑推理能力．
• 通过探索相似三角形的判定方法3,体现数学 活动充满着探索性和创造性.
回顾与思考
A
如图，D，E分别是
猜想：三边成比例，两三角形相似
探索三角形系相似的条件
观看演示：若△ABC与△A`B`C`满足条件： AB BC AC 2
你能发现这两个三角形相似？
AB BC AC 1
演示
相似三角形判定：三边对应成比例的两个三角形相似.
知识要点
边S
边S
√ 判定三角形相似的定理之一 边 S
如果两个三角形的三组对应边的比 相等，那么这两个三角形相似。
A
B
C
A
B
C
D
3.在四边形ABCD中，AB=2， BC=3, CD=6, AC=4, DA=8,AC平分 ∠BAD吗？说明你的理由.
C
B
D
A
测试评价
1.依据下列各组条件，判定△ABC与 △A′B′C′是不是相似，并说明理由. （1）∠A=120°，AB=7cm，BC=14cm， ∠A’=120°，A’B’=3cm， B’C’=6cm； （2）AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm， A’B’=12cm，B’C’=18cm， B’C’=24cm.
测试评价
2.下列每组的两个三角形是否相似？为什么？
3.在如图所示的网格图中，画出一 个与图中三角形相似的三角形
备选题：
如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm， AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s 的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以 1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、 C 出发，试探究经过多少秒 后，以点C、P、 Q为顶点 的三角形与△CBA相似？
B1
C1
随堂小练
已知△ABC和△DEF,根据下列条件判
断它们是否相似.
(1)AB=3，BC=4，AC＝6 DE＝6，EF＝8，DF＝9
否
(2)AB=4，BC=8，AC＝10 DE＝20，EF＝16，DF＝8
是
(3) AB=12，BC=15，AC＝24 DE＝16，EF＝20，DF＝30
否
（注意：大对大，小对小，中对中）