微积分微分方程练习题及答案
微分方程基础练习题(简易型)含答案解析
微分方程基础练习题(简易型)含答案解析题目1. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2x$，其中 $y(0)=1$。
2. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} + y = x$，其中 $y(0)=1$。
3. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} - 2y = -4$。
4. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} + 9y = \sin x$。
答案解析1. 对微分方程两边同时积分，得到 $y = x^3+x+c$，其中$c$ 为任意常数。
由 $y(0)=1$ 可求出 $c=1$，所以 $y=x^3+x+1$。
2. 首先解齐次方程 $\frac{dy}{dx} + y = 0$，得到 $y=Ce^{-x}$，其中 $C$ 为任意常数。
对于非齐次方程 $\frac{dy}{dx} + y = x$，设其特解为 $y=ax+b$，代入方程得到 $a=\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{2}$。
因此通解为 $y=Ce^{-x}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$。
由 $y(0)=1$ 可得到 $C=\frac{1}{2}$，所以 $y=\frac{1}{2}(2e^{-x}+x+1)$。
3. 对微分方程两边同时积分，得到 $y = Ce^{2x}+2$，其中$C$ 为任意常数。
4. 首先解齐次方程 $\frac{dy}{dx} + 9y = 0$，得到 $y=Ce^{-9x}$，其中 $C$ 为任意常数。
对于非齐次方程 $\frac{dy}{dx} + 9y= \sin x$，由于 $\sin x$ 不是指数函数 $e^{kx}$ 的线性组合，所以采用常数变易法，设其特解为 $y=A\sin x + B\cos x$，代入方程得到 $A=-\frac{1}{82}$，$B=\frac{9}{82}$。
因此通解为 $y=Ce^{-9x}-\frac{1}{82}\sin x+\frac{9}{82}\cos x$。
大学微积分考试题及答案
大学微积分考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^2在区间(-1, 1)上是：A. 增函数B. 减函数C. 先减后增函数D. 先增后减函数答案：A2. 极限lim (x->0) [sin(x)/x]的值是：A. 0B. 1C. 2D. 无穷大答案：B3. 下列哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = cos(x)答案：C4. 曲线y = x^3在点(1, 1)处的切线斜率是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C5. 定积分∫[0, 1] x dx的值是：A. 0B. 1/2C. 1/3D. 1答案：C6. 微分方程dy/dx = x^2的通解是：A. y = x^3 + CB. y = e^x + CC. y = sin(x) + CD. y = ln(x) + C答案：A7. 函数f(x) = e^x在点x=0处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. e答案：B8. 以下哪个级数是收敛的？A. ∑(-1)^n / nB. ∑n^2C. ∑(1/n)D. ∑(1/n^2)答案：D9. 曲线y = ln(x)的拐点是：A. x = 1B. x = eC. x = 0D. 没有拐点答案：D10. 以下哪个选项是正确的泰勒公式展开？A. e^x = ∑x^nB. sin(x) = ∑(-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)!C. ln(1+x) = ∑(-1)^n * x^n / nD. cos(x) = ∑x^(2n) / (2n)!答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2的驻点是______。
答案：x = 0, x = 312. 极限lim (x->∞) (1 + 1/x)^x的值是______。
答案：e13. 定积分∫[1, e] e^x dx可以通过分部积分法计算，其结果是______。
数学课程微分方程求解练习题及答案
数学课程微分方程求解练习题及答案微分方程是数学中非常重要的一门课程，它在许多科学领域中有着广泛的应用。
为了更好地掌握微分方程的解题技巧，下面将给出一些微分方程求解的练习题及其答案。
练习一：一阶线性微分方程1. 求解微分方程：dy/dx + y = 2x解答：首先将该微分方程转化为标准形式：dy/dx = 2x - y然后可以使用分离变量的方法进行求解，将变量分离得到：dy/(2x - y) = dx对等式两边同时积分，得到：∫(1/(2x - y))dy = ∫dx通过对右边的积分，得到：ln|2x - y| = x + C1 (其中C1是常数)将等式两边取e的指数，得到：2x - y = Ce^x其中C = e^C1是一个任意常数，所以方程的通解为：y = 2x - Ce^x （其中C为常数）2. 求解微分方程：dy/dx + 2y = e^x解答：将该微分方程转化为标准形式：dy/dx = e^x - 2y然后使用分离变量的方法进行求解，得到：dy/(e^x - 2y) = dx对等式两边同时积分，得到：∫(1/(e^x - 2y))dy = ∫dx通过对右边的积分，得到：(1/2)ln|e^x - 2y| = x + C2 （其中C2是常数）再次将等式两边取e的指数，得到：e^x - 2y = Ce^2x其中C = e^C2是一个任意常数，所以方程的通解为：y = (1/2)e^x - (C/2)e^2x （其中C为常数）练习二：二阶微分方程1. 求解微分方程：d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = 0解答：首先将该微分方程的特征方程写出来：r^2 + 4r + 4 = 0解特征方程，得到特征根为：r = -2由于特征根为重根，所以方程的通解形式为：y = (C1 + C2x)e^(-2x) （其中C1和C2为常数）2. 求解微分方程：d^2y/dx^2 + dy/dx - 2y = 0解答：首先将该微分方程的特征方程写出来：r^2 + r - 2 = 0解特征方程，得到特征根为：r1 = 1，r2 = -2所以方程的通解形式为：y = C1e^x + C2e^(-2x) （其中C1和C2为常数）这里给出了一些微分方程求解的练习题及其答案，通过练习这些题目，相信可以增强对微分方程的理解和掌握。
第六章微积分微分方程初步（含答案）
第六章微积分微分⽅程初步（含答案）微分⽅程初步⼀、单项选择题1．微分⽅程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分⽅程222y x dxdy x +=是（ b ） A.⼀阶可分离变量⽅程 B.⼀阶齐次⽅程 C.⼀阶⾮齐次线性⽅程 D.⼀阶齐次线性⽅程3．下列⽅程中，是⼀阶线性微分⽅程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．⽅程x y xy =-'满⾜初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分⽅程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分⽅程y y x ='满⾜1)1(=y 的特解为（ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y7. 设21,y y 是⼆阶常系数线性齐次⽅程()()0y P x y Q x y '''++=的两个线性⽆关的解，21,C C 是两个任意常数，则下列命题中正确的是（ c ）（A ） 2211y C y C +是微分⽅程的特解。
（B ）2211y C y C +不可能是微分⽅程的通解。
（C ）2211y C y C +是微分⽅程的通解。
（D ）2211y C y C +不是微分⽅程的解。
8．微分⽅程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A ⼀阶微分⽅程B ⼆阶微分⽅程C 可分离变量的微分⽅程D ⼀阶线性微分⽅程9．微分⽅程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =⼆、填空题1．微分⽅程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分⽅程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分⽅程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分⽅程x y y e +'=的通解是()10,0x y e C e C ++=<；5. 微分⽅程03='+''y y x 的通解为 221xC C y +=; 6. n 阶微分⽅程的通解含有__n __个独⽴的任意常数。
微积分练习题及答案
微积分练习题及答案微积分练习题及答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化规律和求解各种问题的方法。
在学习微积分的过程中，练习题是非常重要的，它能够帮助我们巩固知识、提高技能。
下面，我将为大家提供一些微积分的练习题及其答案，希望能够对大家的学习有所帮助。
一、求导练习题1. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1的导数。
答案：f'(x) = 3x^2 + 4x - 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。
答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2 + 1)的导数。
答案：h'(x) = (2x) / (x^2 + 1)二、定积分练习题1. 计算定积分∫[0, 1] (x^2 + 1) dx。
答案：∫[0, 1] (x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x ∣[0, 1] = (1/3) + 1 - 0 = 4/32. 计算定积分∫[1, 2] (2x + 1) dx。
答案：∫[1, 2] (2x + 1) dx = x^2 + x ∣[1, 2] = 4 + 2 - 1 - 1 = 43. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。
答案：∫[0, π/2] sin(x) dx = -cos(x) ∣[0, π/2] = -cos(π/2) + cos(0) = 1三、微分方程练习题1. 求解微分方程dy/dx = 2x。
答案：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。
2. 求解微分方程dy/dx = e^x。
答案：对方程两边同时积分，得到y = e^x + C，其中C为常数。
3. 求解微分方程d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = 0。
答案：设y = e^(mx)，代入方程得到m^2 + 2m + 1 = 0，解得m = -1。
微积分四章节微分方程章节外习题答案
e
1 dx x(x1)
[
e
1 dx
x(x1) dx
c]
x ( x ln x c ). x1
又
y(1) 0, c 1,
特解
y x ( x ln x 1).
1 xa
10
p 8 5 .三 .1 . 通 解 y e sin x ( x c ).
2.
dx 1 x ( y 1 ),
5c2 cos 5 x 5c1 sin 5 x )e 2x .
y x 0 0 , y x 0 1 5 , c1 0 , c 2 3 ,
特解
y 3e 2x sin 5 x.
a
24
p 9 0 .二 .4 .解 : r 3 2 r 2 r 0 , r ( r 1)2 0 ,
dt t
dy y ln y y
dx 1
arctan y
(3) dy 1 y2 x 1 y2 .
a
8
p 8 5 .二 .1 .
x yy
y
x2
x1
2
y
2
,
d d
y x
x y yx
y 2 x1
(1) ,
令 u y , 得 dy u x du ,代 入 (1)得
x
dx
dx
du dx
r1 0 , r2 ,3 1 ,
通 解 y c1 (c2 c3 x )e x .
y (c3 c2 c3 x )e x ,c2 c3 c3 x c3
y ( c 2 2 c 3 c 3 x )e x
y 2, x0
y
x0
0,
y
x
0
1,
c1 1,c2 c3 1,
微积分B2练习2+答案
练 习 卷一、选择题1、微分方程(ln )0y y dx xdy -+=的类型是( )．A ．可分离变量方程B ．一阶线性齐次方程C ．一阶线性非齐次方程D ．齐次方程 2、方程222240x y z -+=表示的曲面是（ ）． A ．单叶双曲面B ．双叶双曲面C ．椭圆抛物面D ．锥面3、函数z =sin(x 2+y )在点(0,0)处（ ）．A ．无定义B ．无极限C ．有极限，但不连续D ．连续 4、函数2222z x y x y =+-在点(1,1)处的全微分 (1,1)dz 等于（ ）． A . 0 B . dx dy + C . 22dx dy + D . 22dx dy - 5、更换积分次序12201(,)(,)xx dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰等于（ ）． A ．120(,)yy dy f x y dx -⎰⎰B ．220(,)yydy f x y dx -⎰⎰C ．12201(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰D ．1201(,)ydy f x y dx -⎰⎰6、设曲线L为下半圆y =22()Lx y ds +⎰＝（ ）．A ．0B ．2πC ．π-D ．π 二、填空题1、在xOy 面内过原点，且与直线215321x y z -+-==-垂直的直线方程为 ． 2、设函数(,,)()z u x y z xy =，则点(1,2,1)处的u u u xyz∂∂∂++=∂∂∂ ． 3、曲面163222=++z y x 在点)3,2,1(--处的切平面方程是 ． 4、22222(,arctan )x y xyf x y dxdy x+≤+⎰⎰化为极坐标下的二次积分为 ．5、设f 可微，L 是光滑有向闭曲线取正向，则22()()Lf x y xdx ydy ++=⎰ ．6、判别级数∑∞=⋅1!2n nnnn 的敛散性 ．三、解答题1、求微分方程2(23)0y dx xy dy -+=的通解．2、设方程2223x y z xyz ++=确定了隐函数(,)z z x y =，求,z z x y∂∂∂∂．3、求函数22(,)(2)=++x f x y e x y y 的极值．4、求二重积分2Dxydxdy ⎰⎰，其中D 由曲线2y x =与直线y x =所围成．5、求曲线积分43224(4)(65)Lx xy dx x y y dy ++-⎰，其中L 为35(1)sin12x ye e π-+-=上由点(2,1)A --至点(3,0)B 的一段弧．6、验证2sin 2sin33cos3cos 2x ydx y xdy -在整个xOy 平面内是某一函数u (x , y )的全微分，并求这样的一个函数u (x , y )．7、求幂级数∑∞=-12)1(n nnx 的收敛域．8、设函数f (t )在[0,)+∞上连续，且满足方程：222299()t x y t f t e f dxdy π+≤=+⎰⎰，又f (0)=1，求f (t )．、选择题：1、A ；2、D ；3、D ；4、A ；5、A ；6、D ． 、填空题：1、230x y z==； 2、32ln 2+； 3、323160+-+=x y z ；4、2cos 2202(,)d f r rdr πθπθθ-⎰⎰； 5、0； 6、收敛 ．、解答题：1、解：将方程化为223dx x dy y y-=，方程是一阶非齐次线性微分方程， 其中223(),()P y x Q y y y=-=，根据其通解公式有： 2223()dydy yy x ee dy C y---⎰⎰=+⎰2ln 2ln 23()y y e e dy C y -=+⎰=243()y dy C y =+⎰231()y C y=-+1Cy y =-． 2、解：两边分别对x , y 求偏导数， 由2233z z x zyz xy x x ∂∂+=+∂∂，得3223z yz xx z xy∂-=∂-， 由2233z z y zxz xy y y ∂∂+=+∂∂，得3223z xz y y z xy∂-=∂-． 3、解：由方程组得222(2241)0(22)0x x xyf e x y y f e y ⎧=+++=⎪⎨=+=⎪⎩得驻点1(,1)2-，又由1(,1)202xx f e -=>，1(,1)0,2xy f -=1(,1)22yy f e -=，所以2240xx yy xy f f f e ⋅-=>，由判断极值的充分条件知，在点1(,1)2-处函数取得极小值，1(,1)22ef -=-．4、解：用区域D 的草图，边界2,y x y x ==与的交点(0,0),(1,1), 由2{(,)|,01}D x y x y x x =≤≤≤≤，22111222222400011[]()22xx x x Dx ydxdy x dx ydy x dx y x x x dx ===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰146571001111121()[]225723535x x dx x x =-=-=⋅=⎰． 5、解：432244,65,P x xy Q x y y =+=-212,P Qxy y x∂∂==∂∂ 曲线积分与路径无关，选取A(-2,-1)到C(3,-1)到B(3,0)，43224(4)(65)Lx xy dx x y y dy ++-⎰342421(4)(545)x x dx y y dy --=-+-⎰⎰52335021154[2][]6253x x y y --=-+-=． 6、解：在整个xOy 平面内，2sin 2sin3,3cos3cos 2,P x y Q y x ==-具有一阶连续偏导数，且6sin 2cos3,Q Px y x y∂∂==∂∂ 故所给表达式为某一函数u (x , y )的全微分，取(x 0,y 0)=(0,0)，则有(,)(0,0)(,)2sin 2sin33cos3cos20(3cos3cos2)x y xyu x y x ydx y xdy dx y x dy =-=+-⎰⎰⎰0[s i n 3c o s 2]c o s 2si n 3yy x x y =-=-． 7、解：令t =x -1, 级数变为∑∞=12n n n nt ．21)1(22 ||lim 11=+⋅⋅==++∞→n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径R =2．当t =2时, 级数成为∑∞=11n n , 发散; 当t =-2时, 级数成为∑∞=-1)1(n n, 收敛．因此级数∑∞=12n nnnt 的收敛域为-2≤t <2. 因为-2≤x -1<2, 即-1≤x <3, 所以原级数的收敛域为[-1, 3)．8、解：222339900011()()2()33t t t t f t e d f d e f d πππθρρρπρρρ=+=+⎰⎰⎰，2299()1823()31818()t t f t te f t t te tf t ππππππ'=+⋅⋅=+， 即 29()18()18t f t tf t te πππ'-=为一阶线性非齐次微分方程，222218189999()[18][18]tdttdtt t t t f t e te e dt C e te e dt C ππππππππ--⎰⎰=⋅+=⋅+⎰⎰22992[18](9)t t e tdt C e t C ππππ=+=+⎰，而由f (0)=1，得C =1，所以292()(91)t f t e t ππ=+．。
微积分练习100题及其解答
2
1
x2
．
1
解： lim x e
x 0
2
1
lim
x2
et ． t t
17．求极限： lim sin x ln x ．
x 0
解： lim sin x ln x lim
x 0 x 0
1 ln x tan x sin x x lim lim 0． x 0 csc x x 0 csc x cot x x 1 x 2 1 x ． 1 x2 lim x 1 1 x tan 2 1 x x
cos 2x 1 2 sin 2x lim 2 x 0 sin x 2 x sin 2 x x cos 2 x 2 sin 2x 6x cos 2x 2x2 sin 2x ； 2 sin 2x 1 2 x lim x 0 2 sin 2x 3 4 cos 2 x x sin 2 x 2x lim
2．求极限： lim
e x e sin x ． x 0 x sin x
( x 0) ，∴ lim
解：∵ e x 1 ~ x
e x e sin x e x sin x 1 lim e sin x 1． x 0 x sin x x0 x sin x
x 0
2
13．求极限： lim
x1
1 1 ． 1 x ln x
1 1 1 1 ln x 1 x x lim lim lim x 1 1 x x 1 x 1 1 x ln x (1 x) ln x ln x ； 解： x 1 x 1 1 lim lim x 1 1 x x ln x x 1 1 ln x 1 2
(完整版)微分方程试题及部分应用题答案整理版
第十章微分方程习题一.填空题：（33）1-1-40、微分方程4233''4''')'(x y x y y 的阶数是 . 1-2-41、微分方程0'2'2xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、微分方程0d d d d 22sxs x s的阶数是 .1-4-43、x y y y y sin 5''10'''4)()4(的阶数是 .1-5-44、微分方程xyxy2d d 满足条件1|'0xy 的特解是 .1-6-45、微分方程0d d yxy的通解是 .1-7-46、方程y e y x'的通解是 . 1-8-47、方程y y y ln '的通解是 .1-9-48、方程04'4''y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''yy y 的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221r r 则二阶常系数齐次微分方程为1-13-52、微分方程xe y ''的通解为 . 1-14-53、微分方程x e y xsin ''2的通解为 .1-15-54、若0d ),(dx ),(yy x Q y x P 是全微分方程, 则Q P,应满足 .1-16-55、与积分方程xy x f yx x d ),(0等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程0d )2(d )(22yxy xx y xy 化为齐次方程是 .1-18-57、通解为21221,(C C e C eC yxx 为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yx e y 2'满足条件0xy 的特解是 .1-19-59、方程0dy1dx2x xy 化为可分离变量方程是1-20-60、方程xy y 2'的通解是1-21-61、方程x yxyxy xyd d d d 22化为齐次方程是1-22-62、若t ycos 是微分方程09''yy 的解, 则.1-23-63、若ktCe Q 满足Qdt dQ03.0, 则k.1-24-64、y y 2'的解是1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x 1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为1-26-66、圆222r yx 满足的微分方程是1-27-67、ax ae y满足的微分方程是1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dyx Q yx P x的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25x y是微分方程y xy 2'的解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与之和.1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''qypy y 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为 .1-33-73、将微分方程0)2()(22dyxy xdxy xy写成齐次微分方程的标准形式为二.选择题：（29）2-1-56、微分方程yx2dxdy 的通解是 ( )A.2x yB.25x y C.2Cx yD.Cxy 2-2-57、微分方程0dy 1dx 2x xy 的通解是 ( ) A.21x eyB.21x CeyC.x C yarcsin D.21xC y 2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )A.0dy dx )(2x y xB. 0dy dx x yC.0dy)(1dx)1(xy y xy D.dydx)(22xy y x2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( ) A.xxe e 32, B.x x 2sin ,2cos C. x x x sin cos ,2sin D.2ln ,ln xx 2-5-60、方程03'2''y y y 的通解是 ( )A.xxe C eC y 321 B. xxeC eC y 321 C.xx eC eC y 321 D.xxeC e C y3212-6-61、方程0''y y 的通解是 ( ) A.x C ysin B.x C ycos C.x C xycos sin D.xC xC ycos sin 212-7-62、下列方程中是可分离变量的方程是( )A.xyyx 33dxdy B.dy 2dx)3(2xy y exC.234dxdy xyyx D.yx xyy321dxdy 2-8-63、微分方程0cot 'x y y 的通解是 ( ) A.x C ycos B.x C ysin C.x C ytan D.xC ycsc2-9-64、已知微分方程0''pyy 的通解为)(212x C C e yx,则p 的值是 ( )A.1B.0C.21D.412-10-65、微分方程02'yy 的通解是 ( )A.C x y2sin B.C eyx24 C.xCe y2 D.xCey 2-11-66、方程xy2dx dy的通解是 ( )A.C ex2B.Cxe2C.2CxeD.2)(C x e2-12-67、xe y ''的通解为y( )A.xe B.xe C.21C xC exD.21C x C ex2-13-68、微分方程xe21dxdy满足1xy 的特解为 ( )A.1221xeyB.3221x ey C.C ey x212 D.212121xey2-14-69、微分方程0ydy-dx 3x 的通解是 ( ) A.Cyx2422B.Cyx2422C.2422yxD.12422yx2-15-70、微分方程0ydy-dx 3x 的通解是 ( )A.222yxB.933yxC.133yxD.13333yx2-16-71、过点,0()2的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )A.32xyB.52xy C.53xey D.5xCe y 2-17-72、齐次方程x yxy tandx dy化为可分离变量的方程, 应作变换 ( )A.2ux yB.22x u yC.ux yD.33xu y2-18-73、设方程)()('x Q y x P y 有两个不同的解21,y y ,若21y y 也是方程的解,则( ) A.B.0 C. 1 D.,为任意常数2-19-74、方程dx 2dx dy y x x 的通解是 ( ) A.x Cxy2B. x xC y2sin C.C xy 2cos D.Cxy 22-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.xyxy 2'B .xxyy sin 'C .xyy' D.xyy 2'2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )A.y xy' B.y xy'C.x yy' D.xy y'2-22-77、方程2)3(,0'y yy 的解是 ( )A.xey 32 B.xey 32 C.32x ey D.32x ey 2-23-78、微分方程x y y ln '的通解是 ( ) A.xx eyln B. xx Ceyln C.xx x ey ln D.xx x Cey ln 2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''的解 ( )A. xey22 B.xe y2 C.xey 2 D.xey 22-25-80、方程0sin '''653)4(yy y y x xyy的阶是 ( )A. 6B. 5C. 4D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2，则这条曲线是( )A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )A.xyy x dxdy33B.2)3(2xydy dxy exC. xy yx dxdy D.yx xyy dxdy 3212-28-83、微分方程0cot 'xy y 的通解是 ( )A.x C ycos B.x C ysin C.x C ytan D.xC y csc 2-29-84、已知微分方程0''pyy 的通解为)(212x C C e yx ,则p 的值( )A. 1B. 0C.21D.41三.计算题：（59）3-1-52、0d tan sec d tan sec 22y x y x y x 3-2-53、0ln 'yy xy 3-3-54、0d sec )2(d tan 32yy e x y e x x3-4-55、yx y y x xy22222')1(3-5-56、yx eye x dxdy3-6-57、0)1()1(xdy y ydxx3-7-58、x x y yy x d sin cos d sin cos ,4|0xy 3-8-59、0)0(,02')1(22y xy y x3-9-60、1)(,ln 2'e y x y y 3-10-61、x x y y y x d sin cos d sin cos ,4|0xy 3-11-62、0y)dx -(x dy)(y x3-12-63、)ln (ln dx d x y y y x 3-13-64、0)2(22dyx dx xy y3-14-65、xy x y xy tan'3-15-66、xyx y x y xy ln)('3-16-67、dxdy xydxdy xy223-17-68、x y yx y', 2|1x y 3-18-69、x y xy y', ey ex|3-19-70、2|,'122xy y xyxy3-20-71、xx yxy sin 1', 1|xy 3-21-72、xex y xy 43'3-22-73、342'xxyy 3-23-74、xyxy ln 11'3-24-75、xeyxxy x21'3-25-76、x xy y sec tan ', 0|0xy 3-26-77、xx yxy sin 1', 1|xy 3-27-78、22112'xy xx y ,|0xy 3-28-79、x x yxy ln ', ey ex|3-29-80、22d dyx xexy x3-30-81、)sin (cos d dy2x xy yx3-31-82、5d dyxyy x3-32-83、02d dy4xyxy x3-33-84、4)21(3131d dy yx yx3-34-85、xyxy x 2d dy23-35-86、xy y '''3-36-87、01)'(''2y yy 3-37-88、01''3y y 3-38-89、y y 3'', 1|0xy , 2|'0xy 3-39-90、223''yy ,1|3xy ,1|'3xy 3-40-91、02''yy 3-41-92、013'4''y y y 3-42-93、0'2''y y y 3-43-94、04'5''y y y 3-44-95、04'3''y y y , 0|0xy , 5|'0xy 3-45-96、029'4''y y y , 0|0x y ,15|'0xy 3-46-97、0'4''4y y y , 2|0x y , 0|'0x y 3-47-98、0'4''4y y y , 2|0xy , 0|'0xy 3-48-99、013'4''y y y , 0|0x y , 3|'0x y 3-49-100、04'4''y y y , 0|0x y , 1|'0xy 3-50-101、xey y y 2'''23-51-102、x eyy xcos ''3-52-103、xex y y y 3)1(9'6''3-53-104、'''22xy y ye3-54-105、123'2''x y y y 3-55-106、''sin 20y yx, 1|xy , 1|xy 3-56-107、52'3''yy y , 1|0xy , 2|'0xy 3-57-108、xe y y y 29'10'',76|0x y ,733|'0x y 3-58-109、xxe yy 4'', 0|0xy , 1|'0xy 3-59-110、xxeyy y 26'5''四.应用解答题：（14）4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.4-2-10、已知xxxy t t y tt 03231d )(12, 求函数)(x y 4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x2.4-4-14、试求x y ''的经过点)1;0(M 且在此点与直线12x y相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x 满足xx t t t x x 01d sin )(2cos )(, 求)(x .4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为22pEpEQ, 最大需求量为1000Q, 求需求函数)(p f Q.4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Esin 0, 在时刻0t时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E ,为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为02v , 求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(d dL L Ak x，（其中0,0Ak）, 若不做广告, 即0x时纯利润为0L , 且A L 0, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101,投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy的31. 设0t时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题：（2）5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''y x q y x p y 的两个解,令)()(')(')()(')(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w 证明: )(x w 满足方程0)('wx p w5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x的3个相异特解,证明1213y y y y 为一常数.部分应用题答案487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Esin 0, 在时刻0t时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E ,为常数).解. 设)(t i i, 由回路电压定律tE dtdi LRisin 0, 即tLE LR dtdisin 0]sin [)(0C dt teLE et i t dtLRLR =]sin [0C dt te LE et t LR LR =)cos sin (2220t L t R LRE CetLR将0|0ti 代入通解得222LRLE C)cos sin ()(2220t L t R LeLRE t i t LR488.设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系解：.物体重力为mg w, 阻力为kv R , 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kvmg dtdv m ,从而得线性方程gv mk dtdv ,|0tv tmkdtdtCeg km C dt gee v km m k ][, 将0|0tv 代入通解得gkm C)1(t mk eg km v, 再积分得122C gekm gtkm Stmk,将0|0t S 代入求得gkm C 221)1(22t mkeg km gtkm S 489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x yt v y 1'0, 又弧OP 的长度为x tv dxy 0022'1,从以上两式消去t v 0得''121''')1(2y y y y x , 即2'121'')1(y y x 根据题意, 初始条件为0)0(y , 0)0('y 令p y', 原方程化为2121')1(pp x , 它是可分离变量得方程,解得21)1(112x C pp , 即21)1('1'12x C y y 将0)0('y 代入上式得11C , 故21)1('1'2x y y 而21)1(''1'1'122x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y 积分得22321)1(31)1(C x x y, 将0)0(y 代入上式得322C ,所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321x x y490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(d dLL A k x ，（其中0,0Ak ）, 若不做广告, 即0x时纯利润为0L , 且AL 0, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解：依题意得)(L A k dx dL,|L L x, 解可分离变量得微分方程, 得通解kxCeAL , 将00|L L x 代入通解, 得AL C 0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxeA LAx L )()(.491．在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy的31.设0t时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解：依题意:yS101,dt dyI31, 解之得通解tCe y103, 将5|0ty 代入通解得5C, 所以国民收入函数为tey 1035492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.解：设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dtdp,)0(p p , 其中0p 为0t时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, b kpr p f ),(, d cpp g )(, 则方程为)()(d b k p c k k dtdp ,)0(p p , 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为ckd b eckd b p t p tc k k )(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(p g r p f , 即dpc bpk ,则c kdb p, 从而价格函数pep p t p c k k )(0)()(,取极限:pt p t)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p 0, 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于tc k k ec kk p pdtdp)(0)()(, 所以当p p 0时, 0dtdp,)(t p 单调下降向p 靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.。
微积分习题讲解与答案
习题8.11.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程： (1)02)(2=+'-'xy y y y x (2) 02=+'-y y x y x (3)0)(sin 42=+''+'''y x y y x (4)θθ2sin d d =+p p解 (1) 1阶 非线性 (2) 1阶 线性 (3) 3阶 线性 (4) 1阶 线性2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1) xxy x y y x sin ,cos ==+' (2) 2212,2)1(x C y x xy y x -+==+'- (C 为任意常数) (3) xCe y y y y ==+'-'',02 (C 为任意常数) (4) x xe C eC y y y y 21212121,0)(λλλλλλ+==+'+-'' (C 1 ,C 2为任意常数)(5) C y xy x y x y y x =+--='-22,2)2( (C 为任意常数) (6) )ln(,02)(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''- 解 (1) 是，左=x x xx x x x xcos sin sin cos 2=+-=右(2) 是，左=x x C x x Cx x 2)12(1)1(222=-++---=右(3) 是，左=02=+-xxxCe Ce Ce =右 (4) 是，左=0)())(()(2121212121221121222211=++++-+x x x x x xe C e C e C e C eC e C λλλλλλλλλλλλλλ =右(5) 是，左==-=---y x yx yx y x 222)2(右(6) 是，左=x xy yx xy y y x xy y x x xy xy xy xy x xy ---+-+----2)()(22)(22332=0)())(2()()(222222232=---+-+---x xy x xy y y x xy xy x xy xy xy xy = 右3.求下列微分方程的解(1) 2d d =x y; (2) x xy cos d d 22=;(3) 0d )1(d )1(=--+y y x y (4) yx x y y )1()1(22++=' 解 (1) C x y x y +==⎰⎰2,d 2d (2) 1sin ,d cos d C x y x x x y +='=''⎰⎰211cos ,d )(sin d Cx C x y x C x x y ++-=+='⎰⎰(3)⎰⎰=+-x y y y d d 11 ⎰⎰=+++-x y y y d d 12)1(解得 ⎰⎰⎰=++-x y y y d d 12d即 C x y y +=++-|1|ln 2(4)⎰⎰+=+dx x xdy y y )1(122解得 2122)1ln()1ln(C x y ++=+整理得 22211C xy =++ 4.已知曲线)(x f y =经过原点，并且它在点),(y x 处的切线的斜率等于22x ，试求这条曲线的方程。
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。
3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则 。
0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则 。
=→)(lim x f ax 5.的连续区间是 。
)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。
=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. 。
='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。
Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（ ）。
11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（ ）。
=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。
当价格（ ）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
微积分考试题目及答案
微积分考试题目及答案一、单项选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2在x=0处的导数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 曲线y = e^x在点(0,1)处的切线斜率为（）。
A. 0B. 1C. eD. e^0答案：C3. 函数f(x) = sin(x)的不定积分为（）。
A. cos(x) + CB. sin(x) + CC. -cos(x) + CD. -sin(x) + C答案：A4. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为（）。
A. 0B. 1C. π/2D. ∞答案：B5. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，其在x=1处的极小值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3x的二阶导数为 ________。
答案：12x - 127. 曲线y = ln(x)绕x轴旋转一周形成的立体体积为 ________。
答案：π8. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值为 ________。
答案：1/39. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1的极值点为 ________。
答案：-110. 微分方程dy/dx = 2x的通解为 ________。
答案：y = x^2 + C三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算定积分∫(0,2) (x^2 - 2x + 1) dx。
解：∫(0,2) (x^2 - 2x + 1) dx = [1/3x^3 - x^2 + x](0,2) = (8/3 - 4 + 2) - (0) = 2/3。
12. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点。
解：f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，令f'(x) = 0，解得x = 1, 2/3。
经检验，x = 1为极小值点，x = 2/3为极大值点。
微积分(上)习题200题及答案
填空题：（30题）1.()___________2则20102sin 设函数2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧<≤+<<-=πf x xx xx f代入函数可得答案,220≤≤π答案：412π+2._________的定义域是24函数2--=x x y即可得到答案且由02-04-2≠≥x x答案：](()∞+⋃-∞-,22, 3.()[]()的定义域求,1,0的定义域是设2x f x fy =[]的范围，进而得到的范围是者函数由原函数定义域知道后x x 1,02 答案：[]1,1-4.()()()[]______则1,ln 1已知=+=+=x g f x x g x x f()()[][]()1ln 11,1++=+=+=x x fx g f x x g5.()()()x f d c b a dcx b ax x f1求反函数为常数,,,设-++=()可知反函数,--,--,0--,acy dyb x dy b x a cy b ax dy cxy d cx b ax y ===+++=答案：acx dxb -- 6._________1sinlim 3310=→x xx答案：07.______sin lim=+∞→xxx x答案:是有界的由于x x xx x sin 1sin lim =+∞→ 8.()0______1lim 0>=-→a x a x x答案:a aa x a x x x x ln 1ln lim 1lim00==-→→ 9.()_____1lim 1=-→xx x答案：1-e10._____则,22sin sin lim 若0==→m xmxx答案：411.()()_____则在其定义域内连续若函数011sin 00sin 1设=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=<=k x f x x x x k x xx x f 解：因为()在其定义域内连续函数x f ，所以1sin limk 0==→xxx12.()()_____的间断点是412函数+++=x x x y 答案：1-=x 13._____的连续区间是321函数2--=x x y答案：()()()∞+⋃-⋃-∞-,33,11,14.__________,则,14lim设21===+++-→b a b x ax x x 解：()34lim 145lim,5,04lim 12121=+=+++===++-→-→-→x x x x b a ax x x x x 。
微积分试卷及规范标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A │< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。
3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
微积分微分方程练习题
微分方程测试题（2022级本科各专业）一、选择题（每题3分，共30分）1.一阶线性非齐次微分方程()()y P x y Q x '=+的通解是（）.A.()d ()d e [()e d ]P x x P x xy Q x x C -⎰⎰=+⎰ B.()d ()d e ()e d P x x P x x y Q x x -⎰⎰=⎰C.()d ()d e [()e d ]P x xP x xy Q x x C -⎰⎰=+⎰ D.()e P x dxy c -⎰=2.方程xy y '=是（）.A.齐次方程B.一阶线性方程C.伯努利方程D.可分离变量方程3.22d d 0,(1)2y xy y x +==的特解是（）.A.222x y +=B.339x y +=C.331x y += D.33133x y +=4.方程sin y x '''=的通解是（）.A.21231cos 2y x C x C x C =+++ B.21231sin 2y x C x C x C =+++C.1cos y x C =+ D.2sin 2y x=5.方程0y y ''''+=的通解是（）.A.1sin cos y x x C =-+ B.123sin cos y C x C x C =-+C.1sin cos y x x C =++ D.1sin y x C =-6.若1y 和2y 是二阶齐次线性方程()()0y P x y Q x y '''++=的两个特解,则1122y C y C y =+(其中12,C C 为任意常数)（）.A.是该方程的通解 B.是该方程的解C.是该方程的特解D.不一定是该方程的解7.求方程2()0yy y ''-=的通解时,可令（）.A.y P '=，则y P '''= B.y P '=，则d d Py Py''=C.y P '=，则d d P y Px''= D.y P '=，则d d P y P y'''=8.已知方程20x y xy y '''+-=的一个特解为y x =,于是方程的通解为（）.A.212y C x C x =+B.121y C x C x =+C.12e xy C x C =+ D.12e xy C x C -=+9.已知方程()()0y P x y Q x y '''++=的一个特解为1y ,则另一个与它线性无关的特解为（）.A.()d 21211e d P x x y y x y -⎰=⎰B.()d 21211e d P x xy y xy ⎰=⎰C.()d 2111e d P x x y y x y -⎰=⎰ D.()2111e d P x dxy y xy ⎰=⎰10.方程32e cos2x y y y x '''-+=的一个特解形式是（）.A.1e cos2x y A x= B.11e cos2e sin 2x x y A x x B x x =+C.11e cos2e sin 2x x y A x B x=+ D.2211e cos2e sin 2x x y A x x B x x=+二、（每题7分，共21分）求下列一阶微分方程的通解:1.ln (ln 1)xy x y ax x '+=+；2.33d 0d yxy x y x+-=；3.22d d d d 0y x x yx x y y x y -++=+.三、（每题7分，共14分）求下列高阶微分方程的通解:1.210yy y '''--=；2.2(e 4)x y y y x ''''''+-=+.四、（每题7分，共14分）求下列微分方程满足所给初始条件的特解:1.322d 2()d 0y x x xy y +-=，1x =时，1y =；2.2cos y y y x '''++=，0x =时，30,2y y '==.五、（7分）已知某曲线经过点(1,1),它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.六、（7分）设可导函数()x ϕ满足0()cos 2()sin d 1xx x t t t x ϕϕ+=+⎰,求()x ϕ.七、（7分）我舰向正东1海里处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在航行中始终对准敌舰.设敌舰以速度0v 沿正北方向直线行驶,已知鱼雷速度是敌舰速度的两倍,求鱼雷的航行曲线方程,并问敌舰航行多远时,将被鱼雷击中?答案：一、1、A；2、A；3、B；4、A；5、B；6、B；7、B；8、B；9、A；10、C.二、1、ln cy ax x =+；2、2221e 1x y C x -=++；3、222arctan yx y C x+-=.三、1、1211cosh()y C x C C =+；2、22212314e e ()e 69x x x y C C C x x x x-=+++---四、1、2(12ln )0x y y +-=；2、1e sin 2x y x x -=+.五、ln y x x x =-.六、()cos sin x x x ϕ=+.七、132212(1)(1)(01)33y x x x =--+-+≤≤.敌舰航行2/3海里后即被击中.。
微积分第2版-朱文莉第10章 微分方程与差分方程习题详解(1-3节)
微积分第2版-朱文莉第10章微分方程与差分方程习题详解(1-3节)题10.1(A)1.指出下列微分方程的阶数：1) x(y')-2yy'+x=；2) y^2(4)+10y''-12y'+5y=sin2x；3) (7x-6y)dx+(x+y)dy=S；4) 2d^2S/dt^2+S=0.解：(1) 1阶；(2) 4阶；(3) 1阶；(4) 2阶。
2.判断下列各题中的函数是否为所给微分方程的解？若是解，它是通解还是特解？1) x(dy/dx)=-2y，y=Cx^-2（C为任意常数）；2) 2x(y'')-2y'+y=0，y=xe；3) y''-2/(y'+y)=0，y=C1x+C2/x^2（C1，C2为任意常数）；4) xdx+ydy=R，x+y=const（R为任意常数）。
解：(1) 通解；(2) 否；(3) 通解；(4) 通解。
3.验证：函数y=(C1+C2x)e^-x（C1，C2为任意常数）是方程y''+2y'+y=的通解，并求满足初始条件y(0)=4，y'(0)=-2的特解。
解：由已知得y=C1e^-x+C2xe^-x，y'=C2e^-x-C1e^-x-C2xe^-x。
将y代入方程得(C1-2C2)e^-x=0，因为e^-x不为0，所以C1=2C2.所以通解为y=(C1+C2x)e^-x=(2C2+2C2x)e^-x=(2+2x)e^-x。
将初始条件代入得C1=4，C2=2，所以特解为y=(4+2x)e^-x。
4.已知曲线上任一点(x,y)处的切线斜率等于该点的横坐标与纵坐标的乘积，求该曲线所满足的微分方程。
解：根据题意，设曲线为y=f(x)，则斜率为f'(x)，根据题意得f'(x)=xf(x)，即y'=xy，所以微分方程为dy/dx=xy。
微积分练习100题及其解答
《微积分》练习100题及其解答1．求极限：．⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x e x x 111lim 0解：∵，)0(~1→-x xe x ∴．()2121lim 1lim 11lim 111lim 02000-=-=+-=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→→→x e x e x e x e x x e x x x x x x x x x 2．求极限：．xx e e x x x sin lim sin 0--→解：∵，∴．)0(~1→-x xe x1sin 1lim sin lim sin sin 0sin 0=--⋅=---→→xx e e x x e e xx x x x x x 或者：记，则当时，在之间满足Lagrange 定理的条件，存x e x f =)(0≠x )(x f x x sin ,在（介于与之间），使得，从而ξξx x sin )(sin sin ξf x x e e xx '=--，所以，．1)0()(lim sin lim 0sin 0='='=--→→f f x x e e x x x x ξ1sin lim sin 0=--→xx e e x x x 3．求极限：．()x xx x e1lim+→解：；()11200lim lim 1xxe e xx xx x x x e xe e e →→⎡⎤⎛⎫⎢⎥+=⋅+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦或者．()()12000ln 1limlim 2lim x x xx x x x x e x e e x e xe x →→→++==⇒+=+4．求极限：．01lim 1xx x +→⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：，而，所以，．01lim ln 101lim 1x xx x x e x +→+⎛⎫+ ⎪⎝⎭→⎛⎫+= ⎪⎝⎭0ln(1)1lim ln 1lim0t x t x t x +→+∞→⎛⎫++== ⎪⎝⎭01lim 11xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭5．求极限：．())0,0,0(3ln ln lim0>>>-++→c b a xc b a x x x x解：．()00ln ln 3ln ln ln ln limlim 3x x x x x x x x x x x a b c a a b b c c abc xa b c →→++-++==++6．求极限：．()00x αα→>解：．()()112110001101lim lim 10111x x x x x x x αααααααααα--→→→->⎧==-=⎨∞<≤⎩-++7．求极限：．lim(0)x αα→>解：．()()22211000112202limlim022211x x x x x x x αααααααααα--→→→->⎧==-=⎨∞<≤⎩-++8．求极限：．(0)x αα→>解：．012x α→=-9．设函数在内，讨论的单调性．)(x f ()∞+∞-,0)0(,0)(≤>''f x f xx f y )(=解：，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'=-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛='x x f x f x x x f x f x x x f y )()(1)()()(20)0()()(--≤x f x f x x f 当时，，而，则，即，从而此时0>x )0()(f xx f '≤0)(>''x f )0()(f x f '≥'0>'y 递增；同理，当时，递增．x x f y )(=0<x xx f y )(=所以，在内单调增加．xx f y )(=()∞+∞-,10．设函数，求：（1）的极大值；（2）()220()2(0)xf x a ta dta =-+->⎰)(x f M 求极小时的值．M a 解：（1），而，所以xx f a x x f 2)(0)(=''±=⇒='0>a ；a a a f M 232)(3-=-=（2）时，，此时，0>a 102223223=⇒=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='a a a a M a04>=''a M的极小值为．M 34)1(-=M 11．求极限：．22011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭解：()()2222224000sin sin 11sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x xx →→→-+-⎛⎫-== ⎪⎝⎭．320000sin sin 1cos sin 1limlim 2lim 2lim 363x x x x x x x x x x x x x x →→→→-+-====12．求极限：．⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220sin 11lim 解：2222222200011sin sin 22lim lim lim sin sin 2sin sin 2x x x x x x x x x x xx x x x →→→--⎛⎫-== ⎪+⎝⎭；222000cos 212sin 2limlimsin 2sin 2cos 22sin 26cos 22sin 22sin 212lim 2sin 234cos 2sin 22x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x →→→--==+++--==-+-13．求极限：．⎪⎭⎫⎝⎛--→x x x ln 111lim 1解：；211ln 11lim ln 11lim ln 111lim ln )1(1ln lim ln 111lim 11111-=---=--+=--+=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→→→→x x x x x x xx xx x x x x x x x x x x 14．求极限：．1lim arcsin xx e x +→解：∵，∴．arcsin ~(0)x x x →11100lim arcsin lim lim t t xx x t x x ee x xe t ++=→+∞→→=====+∞15．求极限：．⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→x x x arctan 2lim解：．22221arctan 21lim arctan lim lim lim 11121x x x x x x x x x x xxππ→+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭+-==== ⎪+⎝⎭-16．求极限：．2120lim x x x e→解：．22112lim lim t tx x x t e x et=→→+∞====+∞17．求极限：．lim sin ln x x x +→解：．00001ln tan sin lim sin ln lim lim lim 0csc csc cot x x x x x x x x x x x x x x++++→→→→===-=-18．求极限：．1lim x -→解：11lim x x -→→=112sec 24x x ππ--→→===19．求极限：．xx xx x sin tan lim 20-→解：．22232200000tan tan sec 11cos sin21lim lim lim lim lim sin 3363x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→----=====20．求极限：．()ln 1ln limcot x x xarc x→+∞+-解：()222222111ln 111lim lim lim 1lim 1.111cot 1111x x x x x x x x x x arc x x xx x x →+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫+-- ⎪+⎝⎭==+==-+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭21．求极限：．()2lim sec tan x x x π→-解：．()2221sin cos lim sec tan limlim 0cos sin x x x x xx x x x πππ→→→--===-22．求积分：．cos sin 1sin 2x xdx x --⎰解：()2cos sin cos sin 11sin 2cos sin cos sin x x x x dx dx dx x x x x x --==---⎰⎰⎰．1ln csc cot 2244sin 4dx x x C x πππ⎛⎫⎛⎫=-=---+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭⎰23．求积分：．cos sin 1sin 2x xdx x -+⎰解：．()()()22cos sin 11cos sin cos sin sin cos sin cos x xdx d x x C x xx x x x -=+=-++++⎰⎰24．求积分：．cos sin 1cos 2x xdx x -+⎰解：()2cos sin cos sin 1sec tan sec 1cos22cos 2x x x x dx dx xdx xdxx x --==-+⎰⎰⎰⎰．()1sec ln sec tan 2x x x C =--++25．求积分：．dx xxx ⎰--2cos 1sin cos 解：()2cos sin cos sin 1csc cot csc 1cos 22sin 2x x x x dx dx x xdx xdxx x --==--⎰⎰⎰⎰．()1csc ln csc cot 2x x x C =-+-+26．求积分：．cos sin 1cos 2x xdx x +-⎰解：()2cos sin cos sin 1csc cot csc 1cos 22sin 2x x x x dx dx x xdx xdxx x ++==+-⎰⎰⎰⎰．()1csc ln csc cot 2x x x C =---+27．求积分：．1sin 1cos2xdx x--⎰解：()221sin 1sin 1csc csc 1cos 22sin 2x x dx dx xdx xdx x x --==--⎰⎰⎰⎰．()1cot ln csc cot 2x x x C =-+-+28．求积分：．1sin 1cos2xdx x -+⎰解：()221sin 1sin 1sec sec tan 1cos 22cos 2x x dx dx xdx x xdx x x --==-+⎰⎰⎰⎰．()1tan sec 2x x C =-+29．求积分：．1cos 1cos2xdx x-+⎰解：()221cos 1cos 1sec sec 1cos22cos 2x x dx dx xdx xdx x x --==-+⎰⎰⎰⎰．()1tan ln sec tan 2x x x C =-++30．求积分：．1cos 1cos2xdx x--⎰解：．()()221sin 1sin 1csc csc 1cos22sin 211cot ln tan cot ln csc cot 222x x dx dx xdx xdxx x x x C or x x x C--==--⎛⎫=-++-+-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰31．求积分：．1arctan21xedx x +⎰解：．1arctan11arctan arctan 21arctan 1xx x e dx e d e C x x=-=-++⎰⎰32．求积分：．2x dx解：222211222xe t x x e dx =⎛⎫==== ⎪⎝⎭．(2211ln ln 222x x e c e C ⎛ '=++=++ ⎝33．求积分：．211x dx e +⎰解：⎰+dx e x 211⎰⎰----++-=+=)1(112112222xx x x e d e dx e e C e x ++-=-)1ln(212或者：⎰⎰+=+=xxx x x x de e e dx e e e 222222)1(121)1(．[]C e x de e de e xx x x x ++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰⎰)1ln(221111212222234．求积分：．()21xxe dx x +⎰解：()()()2211(1)11111xxx xxxe xe xe dx d x xe d d xe x x x x x ⎛⎫=+=-=-+ ⎪+++⎝⎭++⎰⎰⎰⎰．11x x xxe e e dx C x x=-+=+++⎰35．求积分：．211dx x x -+⎰解：2221141133111422dx dx dxx x x x ==-+⎛⎫⎤⎫+-+- ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦⎰⎰⎰．211122112d x x C x ⎤⎤⎫⎫=--+⎪⎪⎥⎥⎭⎭⎦⎦⎤⎫+-⎪⎥⎭⎦⎰36．求积分：．2141dx x x -+⎰解：()2221111413231dx dx dxx x x ==-+---⎰⎰⎰．21ln ln 3661d C C ⎫==+=⎪⎭⎫-⎪⎭⎰37．求积分：．dx解：22111ln 1111u u du du C u u u u -⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭⎰⎰．))ln 2ln12ln1Cor x C or x C ⎛⎫=+-+-+ ⎝38．求积分：．解：设，则，，x e u +=1)1ln(2-=u x du u udx 122-=222112111u du du u u u ⎛⎫==+- ⎪--+⎝⎭⎰⎰12ln ln 1u u C C u ⎛⎫-⎛⎫=++=+ ⎪+⎝⎭．)2ln1orx C -+39．求积分：．21443dx x x +-⎰解：．21121ln 443823x dx C x x x -=++-+⎰40．求积分：．23222x dx x x --+⎰解：222323*********(1)x x dx dx x x x x x ⎡⎤--=+⎢⎥-+-+++⎣⎦⎰⎰．()23ln 22arctan(1)2x x x C =-++++41．求积分：．2dx x⎰解：设，则，，t x sin 2=t x cos 242=-tdt dx cos 2=．()222cot csc 1cot arcsin 2x dx tdt t dt t t C C x x ==-=--+=--+⎰⎰⎰42．求积分：．2dx x ⎰解：设，则，，θtan 2=x 2sec θ=θθd dx 2sec 2=．()Cxx x x C x x x x x x C d d d dx x x ++-++=++++--+-=++---=⎪⎭⎫⎝⎛-+=-==+⎰⎰⎰⎰22222222222244ln 44ln 2141sin 1sin ln 21csc sin sin 11sin 1sin sin )sin 1(1sin cos 14θθθθθθθθθθθθ43．求积分：．⎰++dx x x 1)2(1解：消去根号，记，t =122122+=+=-=t x tdtdx t x．()222arctan 21tdtt C C t t ==+=++⎰44．求积分：．⎰-+dx x x x21解：记，3122222+=+=+=⇒-=t x tdtdx t x x t ()()⎰⎰⎰⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=-+dt t t dt t t t dt t t dx x x x 21222112232212222．C x x C tt +-+-=++=22arctan 2222arctan2245．求积分：．⎰++dx x x x21解：记，1122222-=+=-=⇒+=t x tdtdx t x x t ()()⎰⎰⎰⎰-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--=++dt t t dt t t t dt t t dx x x x 21222112212212222．C x x x C t t t +++-+++=++-+=2222ln 222222ln 22246．求积分：．2dx x -⎰解：记，2213222t t t x dx tdt x +-=⇒==-=，．2222312212623332t dx dt dt t dt x t t t t C C⎛⎫==+=+ ⎪----⎝⎭=+=+⎰⎰⎰⎰47．求积分：．解：记，232212122+=+=-=⇒+=t x tdtdx t x x t ．Cxx C t t dt t t dt t dt t t dx x x ++-+=+-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=++⎰⎰⎰⎰321arctan 322123arctan3223162331232221222248．求积分：．⎰++dx x 3111解：记，dt t dx t x x t 23323,211=-=⇒+=．22233313331ln 1212142233(1)ln 142t dx dt t dt t t t C t t x C ⎛⎫==-+=-+++ ⎪++⎝⎭=+-+++⎰⎰49．求积分：．()⎰-dx x xx 2321arcsin 解：设：，则x u arcsin =；()332222arcsin sin sin sin sec cos cos 1sec sec sec ln sec tan 1lnln 1ln 12x xu u u udx d u du ud uu u x u u udu u u u u C C x x C ===-=-=-++==-++-+⎰⎰⎰⎰⎰50．求积分：．()()2213xdx xx ++⎰解：．()()()222222211111ln 4134313xx dx d x C x x x x x ⎛⎫+⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎰⎰51．假设某种商品的需求量，商品的总成本是，每1200080Q P =-2500050C Q =+单位商品需要纳税2元，试求使销售利润最大时商品单价（单位：元）和最大利润额．P 解：收入，28012000)8012000(P P P P PQ R -=-==总成本，P Q C 40006250005025000-=+=总利润，649000161608022-+-=--=P P Q C R L 边际利润，16160160+-='-'='P C R L 令，得，此时，有最大利润（元）．0='L 101=P 0160<-=''L 167080=Max L 52．一商家销售某种商品的价格（万元/吨），为销售量，商品的成本函数x P 2.07-=x 是（万元）．（1）若每销售1吨商品，政府征税t （万元），求商家获取最大利润时13-=x C 的销售量；（2）t 为何值时，政府税收最大？解：（1）收入，总成本，22.07)2.07(x x x x Px R -=-==13-=x C 税收，总利润，tx T =1)4(2.02+-+-=--=x t x T C R L 边际利润；令，得，此时，有最t x L -+-='44.00='L t x 5.210-=04.0<-=''L 大利润；（2），，令，得，所以当时政府税25.210t t tx T -==t T 510-='0='T 2=t 2=t 收最大．53．求积分：．()322arcsin 1x xdx x -⎰解：设，则x u arcsin =；()332222arcsin sin sin sin sec cos cos 1sec sec sec ln sec tan 1ln 1ln 1.2x xu u u udx d u du ud u u ux u u udu u u u u C Cx x C ===-=-=-++==++-+⎰⎰⎰⎰⎰54．已知的一个原函数为，求积分：．()f x ()1sin ln x x +()xf x dx '⎰解：∵，()1sin ()1sin ln cos ln xf x x x x x x'+=+=+⎡⎤⎣⎦∴()()()()xf x dx xdf x xf x f x dx'==-⎰⎰⎰．()1sin cos ln 1sin ln x x x x x x C =++-++55．设是三阶可导函数，，而．求．()f t ()0f t ''≠()()()x f t y tf t f t '=⎧⎨'=-⎩33d y dx解：由已知，，，，从而；()dx f t dt ''=()dy tf t dt ''=dy dy dt t dx dx dt ==1d dy dt dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，．()221d y d dy dx dt dx dt dx f t ⎛⎫== ⎪''⎝⎭()()()323321()d f t d y d d y f t dx dx dx d f t f t ⎡⎤⎢'''''⎛⎫⎣⎦===- ⎪'⎡⎤''⎡⎤⎝⎭⎣⎦⎣⎦56．设，求．()22tan()sec x yx x y tdt x y ---=≠⎰22d ydx解：对等式两边求导．得，()()()()222sec 1sec 1x y y x y y ''---=--整理，得，2sin ()y x y '=-()()()222sin cos 1d yx y x y y dx '∴=---．()()()21sin 2()cos sin 22y x y x y x y '=--=--57．已知，其中二阶可微，求．()y f x y =+()f u 22d ydx 解：，．()()1y f x y y '''=++()'1()f x y y f x y '+∴='-+对两边再求导，()()1y f x y y '''=++，()()()21y f x y y y f x y ''''''''=++++．()()()211y f x y y f x y '''++''∴='-+3"()[1'()]f x y f x y +=-+58．已知，求．0sin ()xtf x dt t p =-ò0()f t dt p ò解：由已知，，或sin ()xf x xp ¢=-sin ()()x f x xf x p ¢¢=-01cos sin ()()t t tt xdx f x dx xf x dxp ¢¢-==-òòò，()(0)()()()()()t tt f t f xf x f x dx f t tf t f x dx p p p =--+=-+òò取，有，t p =021cos ()()()f f f x dx pp p p p p =-=-+ò．()2f t dt p\=ò59．求积分：．121211x x x e x +æö÷ç+-÷ç÷çèøò解：1111122222111112222221111x x x x x x x x x x I x e dx e dx x e dx e dx xd e x x +++++æöæöæö÷ç÷÷çç÷=+-=+-=+ç÷÷çç÷÷÷ççç÷çèøèøèøòòòòò．21521232x x xee +==60．求极限：．2240sin lim x x xx®-解：224300sin sin sin lim lim x x x x x x x x x x x ®®-+-=×302sin cos 222lim x x xx x®-=．3022sin cos 2lim 8t t t t t ®-=2011cos lim 2t t t ®-=2202sin 12lim 2t t t ®=20sin 12lim 42t t t ®æö÷ç÷ç÷çç=çç÷ç÷÷çèø14=而，22223200000sin sin sin 1cos 1sin 1lim lim lim 2lim 2lim sin 3323x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ®®®®®-+--=×==´=请问以上方法错在哪里？61．计算．x ò解：记，代入，得()221ln 1x u e u x u ==+=+原式()()222ln 1121u u uduu u ++=+ò()()22222ln 12ln 121u u du u u duu =+=+-+òò．()22ln 12222u u u arctgu c c =+-++=-++62．求积分：．()12ln 11x dx x++ò解：令，，，，11t x t -=+211x t +=+()221dt dx t =-+()()22222111111t t x t t +æö-ç+=+=ççè++代入，则()12ln 11x I dx x +=+ò()()()()21122200ln 1122ln 11211x t I dx dt x t t t ++==×++++òò()()1112220001120ln 2ln 1ln 1ln 211112ln 2ln 214t x dt dt dx t t xI dt t p-++==-+++\==+òòòò．112011ln 221I dx x \=×+òln 28p =63．求积分：1ò解：记212t x t dx tdt==-=-当时，；当时，，则0x =t 1=1x =0t =原式．110202212dt arctgtt p ===-ò64．设在内有意义，且（1）可导；（2）有反函数；（3）()F x ()0,+¥()x j ．求．()()5322115F x t dt x x j æö÷ç÷=-ç÷ç÷èøò()F x 解：由（3）可知，时，，0x =()()010F t dt j =ò()01F =记，则为其反函数()x F y =()y x j =且或()()F y y j =()()F x xj =对（3）的式子两边求导，有，即．()()()23321123F x F x x x j ¢=- ()23321123x F x x x ¢×=-化简有()F x ¢=()23321132F x dx x x c æö\==-+ò而，故．()01F =()233211132F x x x =-+65．求积分：1ò解：11I -==òò．112-==òò12arcsin tp ==66．求积分：1ò解：令sin 02x t t p =<<．()22202200sin cos cos 1cos 1cos 4t d t I dt arctg t tt p pp p==-=-=++òò67．证明：．()4011212n tg xdx n np<<+ò证明：记，则．14201n nn t I tg xdx dt t p==+òò()11212n I n n<<+68．求积分：．244sin 1xxdx ep p --+ò解：．224404sin 11sin 111x x x x dx xdx e e e pp p ---æö÷ç=+÷ç÷çèø+++òò2402sin 8xdx p p -==ò69．设，且，则方程0在()[],f x C a b Î()0f x >()()1xxabf x dx dx f x +=òò(),a b内有几个根．解：记，，()()()1xxabF x f t dt dt f t =+òò()()()110abbaF a dt dt f t f t ==-<òò，而．；()()0baF b f x dx =>ò()0f x >[],x a b Î()()()10F x f x f x ¢=+>在内严格单调增加．因此，在内只有一个根．()F x \(),a b ()F x (),a b 70．在上连续可微，且满足．试证存在一点．使()f x [)0,1()()1212f xf x dx =ò()0,1x Î．()()0f f x x x ¢+=证：设．则，()()F x xf x =()()0000F f =´=．()()()()112211122F f xf x dx F x dx =´==´òò由于在上可微，由积分中值定理，必存在一点，使得()F x []0,110,2h æö÷çÎ÷ç÷çèø，在上，满足Rolle 定理的三个条件，固而存在()()()1122F F F h h =´´=[],1h ()F x ，使得．即．x (),1h Î()0,1Ì()0F x ¢=()()0f f x x x ¢+=71．设求，．()11010x x xe x f x e x ìïïïï¹ï=íï+ïïï=ïî()0f -¢()0f +¢解：由知()()()000limx x f x f x f x x x ®-¢=-()0f -¢()()11000lim lim lim 0011txt t x x x f x f e e x e e --®-¥®®-====-++()0f +¢()()11000lim lim lim 1011txt t x x xf x f e e x ee ++®+¥®®-====-++另，时0x ¹()1121111xx x e e x f x e æö÷ç÷-+ç÷ç÷èø¢=æö÷ç÷+ç÷ç÷èø；()0f -¢()1121011lim lim 1xx x x xe e xf x e --®®æö÷ç÷-+ç÷ç÷èø¢==æö÷ç÷+ç÷ç÷èø()()121lim01u u u xu u e u e e =®-¥-+¾¾¾®=+()0f +¢()1121011lim lim 1xx x x xe e xf x e ++®®æö÷ç÷-+ç÷ç÷èø¢==æö÷ç÷+ç÷ç÷èø()()21lim1u u u u e u e e ®+¥-+=+()()()11lim21u u u u u uu e u e e e e e ®+¥-++-=+()22lim21u uu uu e ue e e ®+¥-=+．()221lim lim 1221u u u u u u e u e e e ®+¥®+¥--===+72．设在上连续，且，证明：必存在，使()f x []0,n ()()()0f f n n N =Î()0,n x Î．()()1f f x x +=证明：记，则在上连续，因而有最大（小）值()()()1x f x f x j =+-()x j []0,1n -，，；()M m ()m x M j ££[]0,1x n Î-而，，…，；()()()010f f j =-()()()121f f j =-()()()11n f n f n j -=--从而，()()()1110n n k k k f k f k m M nnj --==éù+-ëû£==£åå故而，必存在，使，即()0,n x Î()0j x =．()()1f f x x +=73．证明：函数在上一致连续．3)(x x f =[]1,0证明：任取两点，，不妨设，则，考虑到1x []1,02∈x 21x x ≠03231≠-x x ()321232312132232132121323121)()(x x x x x x x x x x x x x x x f x f +--≤++-=-=-；()2323121323121)()(x x x x x x x f x f --≤-=-即；2133231321)()(x x x x x f x f -≤-=-所以，对于任意小的正数，取，当时，必有0>ε3εη=η<-21x x 成立，ε<-≤-=-321323121)()(x x x x x f x f 故而函数在上一致连续．3)(x x f =[]1,074．函数在上有定义，且（1），（2）对于在，)(x f ()∞,0)1()(lim 1f x f x =→0>∀x ，则（为常数）．)()(2x f x f =C x f ≡)(C 证明：任取，记，，，…，()∞+∈,0x x x =1x x x ==124123xx x x ===，…．则1211-==-n x x x n n 由可知，，即)()(2x f x f =)()(x f x f =；)()()()()(321n x f x f x f x f x f ===== 而注意到，故)0(1lim >=+∞→x x n n ；)0(1lim lim 121>==-+∞→+∞→x x x n n n n 而，从而)1()(lim 1f x f x =→；)1()lim ()(lim )(11f x f x f x f n x n x ===→→所以，（为常数）．C x f ≡)()1(f C =75．求极限：．21n n n tan n lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→解：注意到⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛n tan n ln n exp n tan n n 1122，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=11111112n tan n n tan n ln n tan n n exp 且，111111=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→ntan n n tan n ln lim n 而22111tan lim 11tan lim n n n n n n n n -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→∞→30201tan lim1tan lim y y y y y y y y ny -=-=→→=.yy tan lim y y sec lim y y 31331220220==-=→→故.e n tan n lim n n 3121=⎪⎭⎫⎝⎛∞→76．已知，，求．12a =()11112n n n a a n a +⎛⎫=+> ⎪⎝⎭lim n n a →∞解：很明显，，，，，12a =0n a >11112n n n a a a +⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭()12111122n n n a n a a +⎛⎫=+≤>⎪⎝⎭所以，，单调有界，存在；1212n n a a a +≤≤≤≤= {}n a lim n n a →∞记,则由得，注意到，解得．lim n n a l →∞=1112n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭112l l l ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21≤≤l 1l =77．设函数，求．xx y +=12()n y 解：，，11112++-=+=x x x x y 2111111⎪⎭⎫⎝⎛+-='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-='x x x y ，()()322121111+-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=''x x y 由数学归纳法可得：．()()())1(1!11>+-=+n x n yn n n 78．设函数在区间上连续，在内可导，且，()x f []0,1()0,1()()010==f f ．试证：121=⎪⎭⎫ ⎝⎛f (1)存在，使；1,12η⎛⎫∈⎪⎝⎭()ηη=f (2)对任意实数，必存在，使得．λ()0,ξη∈()()1f f ξλξξ'--=⎡⎤⎣⎦证明：（1）设，则在区间上连续，在内可导，且()()h x x f x =-()h x []0,1()0,1，，，则存在，，即()00h =()11h =11022h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭1,12η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()0h f ηηη=-=．()ηη=f （2）记，在区间上连续，在内可导，且，()()xF x f x x e λ-=-⎡⎤⎣⎦[]0,1()0,1()00F =，则由定理，必存在，使得，即()0F η=Rolle ()0,ξη∈()0F ξ'=．()()1f f ξλξξ'--=⎡⎤⎣⎦79．判断级数的敛散性．11nn ¥=åò提示：．220001122n xdx n n>=®<òòò80．证明：当时，.0>x ()x x xx<+<+1ln 1证明：记，则在上连续因而可积.tt f +=11)()(t f []x 0由积分第一中值定理，比存在一点，使得：()x 0∈ξ，()()x f dt t x x⋅=+=+⎰ξ0111ln 即.()x x ξ+=+111ln 而，，x <<ξ011111<+<+ξx ∴，)0(11><+<+x x x x x ξ即.()x x x x<+<+1ln 181．求在条件下，()22212312323,,2334f x x x x x x x x =+++2221231x x x ++=()123,,f x x x 的最大值和最大值点．解：利用拉格朗日乘数法，设，()()22222212312323123,,,23341L x x x x x x x x x x x λλ=++++++-，则123112233322221234206240624010x x x L x x L x x x L x x x L x x x λλλλ'=+=⎧⎪'=++=⎪⎨'=++=⎪⎪'=++-=⎩．1231222312323(1)020121(2)05x x x x Maxf x x x x x Maxf x x λ≠⇒=-⇒==→=±⇒=⎧+=⎪=⇒⇒==⇒=⎨=⎪⎩82．设随机变量，问：当取何值时，落入区间的概率最大？()2~,X N μσσX ()1,3解：因为，()212~x X f x σ⎛⎫- ⎝⎭=，{}133113()X P X P g σσσσσσ∆⎧⎫⎛⎫⎛⎫<<=<<=Φ-Φ=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭利用微积分中求极值的方法，有223311()g σσσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=-Φ+Φ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；222222221311111422231111130e e σσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎢⎥==-=⎢⎥⎣⎦令得，则；又，故．404ln 3σ=0σ=0()0g σ''<0σ=故当落入区间的概率最大．σ=X ()1,383．设，讨论方程的实数根．x e x f x λ-=)(0=-x e x λ解：（1）显然，当时，方程没有实根；0λ=0=-x e x λ（2）当时，方程有唯一实根；0λ<0=-x e xλ（3）当时，；曲线为下凸的，0>λ0)(,)(>=''-='x x e x f e x f λx e x f x λ-=)(呈∪型；由可知，驻点，极小值，0)(=-='λx e x f λln 0=x )ln 1()(0λλ-=x f 由此可知，当时，方程没有实根；e <<λ00=-x e x λ当，极小值，方程只有一个实根；e =λ0)ln 1()(0=-=λλxf 0=-x e x λλln 0=x 当，极小值，方程有2个实根．e >λ0)ln 1()(0<-=λλxf 0=-x e xλ84．函数的单调增减区间、凹凸区间与极值．()()()211f x x x =-+解：，()()()()()()()()()22111211131f x x x ,f x x x x x x '=-+=++-+=+-由得驻点：；()0f x '=113x ,=-由上可知，函数在与内单调递增，在内递减；极()f x ()1,-∞-13,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭113,⎛⎫- ⎪⎝⎭大值，极小值；()10f -=132327f ⎛⎫=-⎪⎝⎭由可得，因而函数曲线在内()()()211f x x x =-+()62f x x ''=+13,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，函数曲线上凸；在内下凸，如下图．()0f x ''<13,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭85．已知收益函数为，其中为价格，为需求量，求需求弹性时260R=Q Q -P Q 2d ε=-的边际收益．MR 解：因为，所以需求函数，边际收益函数为，且260R=Q Q -60P Q =-602R =Q '-需求弹性函数为；60601d P dQ Q Q dP Q Qε-==-=-当需求弹性时，，此时的边际收益．2d ε=-20Q =()20604020MR R '==-=86．设函数，求其渐近线．xx exe x f y 111)(+==解：首先考虑其水平渐近线和垂直渐近线：x()1,-∞-1-113,⎛⎫- ⎪⎝⎭1313,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '+0-0+()f x 增加极大值递减极小值递增因为，，，所以，1lim 1=∞→x x e +∞=+→x x e 100lim 0lim 100=-→xx e ；11011lim lim lim 0(1)(1)1t x t t t t x xxee t t e t e x e+-→+∞→+∞→⎛⎫==== ⎪++⎝⎭+；11011lim lim lim 0(1)(1)1t x t t t t x xxee t t e t e x e--→-∞→-∞→⎛⎫==== ⎪++⎝⎭+；110011limlim lim (1)(1)1t x t t x t t xxee t t e t e x e-→∞→→⎛⎫===∞=⎪++⎝⎭+故而没有水平渐近线和垂直渐近线；xx exex f y 111)(+==由于，()111limlim 21xx x xf x e a x e →∞→∞===+()1111111211lim lim lim 2211x x x x x x x x xe x e xe b fx x x e e →∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥⎡⎤ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，11011111122lim lim 2(1)41x t t x t xx xe e t t e x e→∞→-+-⎛⎫==== ⎪+⎝⎭+故而有斜渐近线：．xx exe x f y 111)(+==4121+=x y 87．求函数曲线的渐近线．()1ln 1x y e x=++解：显然，，为其垂直渐近线；()01lim ln 1x x e x→⎡⎤++=∞⎢⎥⎣⎦0x =，为其水平渐近线；()()1lim ln 1lim ln 10x xx x e e x →-∞→-∞⎡⎤++=+=⎢⎥⎣⎦0y =又，，，因而()()11ln 1ln 1x x y e x e x x -=++=+++()1lim ln 10x x e x -→+∞⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦为其一条斜渐近线．y x=88．若，试证明：与具有相同的敛散性．lim (0)n n a a a →∞=≠∑∞=+-11n n n a a ∑∞=+-1111n nn a a 证明：问题为讨论两个正项级数的敛散性，可以用比较法的极限形式，因为不是具体的级数形式．记，则,111nn n a a V -=+0,0>>n n V U ==n n n V U ∞→limnn nn n a a a a 11lim11--=++∞→1.lim +∞→n n n a a )0(2≠a 可见，与具有相同的敛散性．∑∞=+-11n n n a a∑∞=+-1111n nn a a 89．讨论下列级数的敛散性：（1）2）；（3）；（4）1n ∞=11tan 2n n n ∞+=∑()3113nnn n n ∞=⎤+-⎣⎦∑()∑∞=+-+121211n n n n n（5）；（6）；（7）．()()1111ln 1n n n ∞+=-+∑()211nn n n ∞=-+∑()()1111ln n n nn e e ∞+-=-+∑解：（1）当充分大时，比如时，有，从而n 3>n ()n n <+<1ln 1,而当时，，()n n n n <+<1ln 1∞→n 1→n n由极限的夹逼性定理知，当时，，所以，∞→n 1→1n ∞=（2）注意到，这是正项级数，当时，(等价无穷小)，0→x x x ~tan 所以，而后者收敛,所以收敛．11tan ~2n n n π∞+=∑112n n n π∞+=∑11tan 2n nn π∞+=∑（3）利用柯西判别法：也是正项级数，,可见原()33113n+-=<→级数收敛；事实上，，，)())333111333nnnn nnnn nn ⎤+-+⎣⎦<<3113nnn n ∞=⎤⎣⎦∑都收敛，且同为正项级数，因而原级数收敛．3113nn n n ∞=⎤⎣⎦∑（4）因为，()()111111122221212112121→+⋅+⋅=+=+=+-+-nn nnnn n n n n n n nnnnnu 改用比较判别法：取，则21nv n =；()11lim 1lim lim 122121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+∞→++∞→∞→n n n n n nn n n n n nv u其中()(){}1122222lim lim exp lim 12ln ln 111n x n x x n x x x x n x ++→∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎡⎤==+-+ ⎪ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎝⎭，()()()()()22222222ln ln 1211exp lim exp lim exp lim 111111x x x x x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞⎧⎫⎧⎫⎪⎪-⎪⎪⎧⎫-++⎪⎪⎪⎪⎪⎪+===-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎩⎭+⎪⎪⎪⎪+⎩⎭⎩⎭所以，与同时收敛．()∑∞=+-+121211n n n nn ∑∞=121n n（5）条件收敛．（6），发散．()()22111111nnn n n nn n n∞∞∞===-+-=+∑∑∑（7）=,()()1111ln n n n n e e ∞+-=-+∑()()12111ln 1n n n e n∞+=-+-∑,()222ln 1n n n e n e n e +-<-<()()()22222lim lim lim ln 1ln 1ln n x xn x x x n x x e e e e n e x e e -→∞→+∞→+∞==+-+-+==∞．()=+-=--+∞→x x x x xx e e e e e 22lim ()22221lim 1x x x x e e e →+∞+-x xx x ee e 2532106lim ++∞→另一方面，==,；()x x e e -+ln 1()xe x 21ln 1-++()x e xx x 1~1ln 11112-++()+∞→x 可见，原级数非绝对收敛；但是单调减少且趋于0，所以，原级数条件收敛．()x x e e -+ln 190．若正项级数与都发散，讨论与的敛散性．1nn v∞=∑1nn u∞=∑{}1max ,nnn u v ∞=∑{}1min ,nnn u v ∞=∑解：，，{}{}1max ,2n n n n n n u v u v u v =++-{}{}1min ,2n n n n n n u v u v u v =+--（1）显然，，或者，故而{}{}1max ,2n n n n n n n u v u v u v u =++-≥{}max ,n n n u v v ≥发散；{}1max ,nnn u v ∞=∑（2）而的敛散性未定．{}1min ,nnn u v ∞=∑例如，若，()222211111111123456212n n u n n ∞==+++++++++-∑ ，()222=11111111123456221n n v n n ∞=+++++++++-∑。
大学数学微积分下微分方程 试题 答案
y 2 y 10 y 0
．
（19）方程 y 3y 2 y ex cos 2x 的特解形式为(
A )．
（A） ex (C1 cos 2x C2 sin 2x) ；
（B） C1ex cos 2x ；
（C） xex (C1 cos 2x C2 sin 2x) ；
（D） C2ex sin 2x ．
齐次微分方程通解 c1 cos 2x c2 sin 2x …………4 分
又微分方程的一个特解为 1 x2 1 …………6 分
24
因而非齐次通解为
c1
cos
2x
c2
1 4
………8
分
将初始条件代入上式得 特解为 1 cos 2x 1 sin 2x 1 x2 1 …………9 分
f (x) 2 cos x sin x x2 2 ．……6 分
（ 16 ） 微 分 方 程 xy y xex 满 足 初 始 条 件 y(1) 0 的 特 解 为
x 1ex
.
x
（16）求微分方程 y 4 y 2x2 满足 y(0) 0, y(0) 1 的特解．
【解】 特征方程 r2 4 0 …………2 分
由 y 2ex (x2 1)e2x 2ex e2x x2e2x ，可知
y1(x) ex , y2 (x) e2x , y* x2e2x ， 因而 r1 1, r2 2 为特征根. 原方程通解为
…………….2 分
y C1ex C2e2x x2e2x . 故 a (1 2) 3, b 1 2 2 .
……………..4 分 ……………..6 分
将 y* x2e2x 代入 y 3y 2 y (cx d )e2x 可得
e2x (4x2 8x 2) 3e2x (2x2 2x) 2x2e2x (cx d ) e2x ，化简得 2x 2 cx d ，
微积分课后习题参考答案第六章
第六章 微分方程与差分方程§1微分方程的基本概念习 题 6 — 11.验证下列各题中函数是所给微分方程的解，并指出解的类型： ⑴03=+'y y x ，3-=Cx y ； 解：3-=Cx y 是03=+'y y x 的通解；⑵ax xyy +='，bx ax y +=2，其中a ，b 为常数； 解：bx ax y +=2是ax xy y +='的特解（因为b 不是任意常数）；⑶()()022='-'+'+''-y y y y x y x xy ，()xy y ln =；解：()xy y ln =是()()022='-'+'+''-y y y y x y x xy 的特解；⑷0127=+'-''y y y ，x xe C e C y 4231+=；解：x xe C eC y 4231+=是0127=+'-''y y y 的通解；⑸x y y y 2103=-'+''，50355221--+=-x e C e C y x x. 解：50355221--+=-x e C eC y x x是x y y y 2103=-'+''的通解. 知识点：，定义6.2（若一个函数代入微分方程后，能使方程两端恒等，则称这个函数为微分方程的解）和若微分方程的解中含有独立的任意常数且个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解，不含任意常数的解称为特解。
2.在曲线族()xex C C y 221+=中找出满足条件10==x y ，10='=x y 的曲线.解：由题意得：()xe x C C C y 222122++='，∵10==x y ，10='=x y ， ∴解得11=C ,12-=C ， 故所求曲线为()xex y 21-=（xxe y 2=）。
微积分习题及答案
微积分习题及答案微积分习题及答案微积分作为数学的重要分支，是研究变化和积分的学科。
它是现代科学和工程领域中不可或缺的工具。
在学习微积分的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以加深对概念和原理的理解，并提升解决实际问题的能力。
下面将介绍几个常见的微积分习题及其答案。
一、极限习题1. 求极限：lim(x→0) (sinx/x)解答：当x趋近于0时，sinx/x的值趋近于1。
这是因为sinx/x的极限定义为1，所以该极限的值为1。
2. 求极限：lim(x→∞) (1+1/x)^x解答：当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的值趋近于e，其中e是自然对数的底数。
这是因为(1+1/x)^x的极限定义为e，所以该极限的值为e。
二、导数习题1. 求函数f(x) = x^2的导数。
解答：根据导数的定义，f'(x) = 2x。
所以函数f(x) = x^2的导数为2x。
2. 求函数f(x) = e^x的导数。
解答：根据导数的定义，f'(x) = e^x。
所以函数f(x) = e^x的导数为e^x。
三、积分习题1. 求∫(x^2 + 2x + 1)dx。
解答：根据积分的定义，∫(x^2 + 2x + 1)dx = (1/3)x^3 + x^2 + x + C，其中C为常数。
2. 求∫(sinx + cosx)dx。
解答：根据积分的定义，∫(sinx + cosx)dx = -cosx + sinx + C，其中C为常数。
四、微分方程习题1. 求解微分方程dy/dx = 2x。
解答：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。
2. 求解微分方程dy/dx = 3x^2。
解答：对方程两边同时积分，得到y = x^3 + C，其中C为常数。
通过解答以上习题，可以加深对微积分概念和原理的理解。
同时，通过解决实际问题的能力的提升，可以将微积分应用于科学和工程领域中的实际问题。
微积分的习题和答案是学习过程中的重要参考资料，希望以上内容对大家有所帮助。
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一、 选择题:
1、 一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P y +='
的通解是( ). (A)⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P ； (B)⎰⎰⎰=-dx e x Q e y dx x P dx
x P )()()(； (C)⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx
x P ； (D)⎰
=-dx x P ce y )(.
2、方程y y x y x ++='22是( ).
(A)齐次方程； (B)一阶线性方程；
(C)伯努利方程； (D)可分离变量方程 .
3、2)1(,022==+y x
dx y dy 的特解是( ). (A)222=+y x ； (B)933=+y x ；
(C)133=+y x ； (D)13
333=+y x .
4、方程
x y sin ='''的通解是( ). (A)
322121cos C x C x C x y +++=； (B)32212
1sin C x C x C x y +++=； (C)1cos C x y +=；
(D)x y 2sin 2=.
5、方程0='+
'''y y 的通解是( ). (A)1cos sin C x x y
+-=； (B)321cos sin C x C x C y
+-=； (C)1cos sin C x x y
++=； (D)1sin C x y
-=.
6、若1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个特解,则 2211y C y C y +=(其中21,C C 为任意常数)( )
(A)是该方程的通解； (B)是该方程的解；
(C)是该方程的特解； (D)不一定是该方程的解.
7、求方程0)(2='-'y y y 的通解时,可令( ).
(A)P y P y '=''='则,； (B)
dy
dP P y P y =''='则,； (C)dx
dP P y P y =''='则,； (D)dy
dP
P y P y '=''='则,.
8、已知方程02=-'+''y y x y x 的一个特解为x y =,于是方程的通解为( ).
(A)221x C x C y +=； (B)x
C x C y 121+=；
(C)x e C x C y 21+=； (D)x
e C x C y -+=21.
9、已知方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的一个特1y 解为, 则另一个与它线性无关的特解为( ). (A) ⎰⎰=-
dx
e y y y dx x P )(21
121； (B) ⎰⎰=dx e y y y dx x P )(21
121
； (C) ⎰⎰=-dx e y y y dx x P )(1
121； (D) ⎰⎰=dx e y y y dx x P )(1
121.
10、方程x e y y y x 2cos 23=+'-''的一个特解形式是 ( ).
(A) x e A y x
2cos 1=；
(B) x xe B x xe A y x
x 2sin 2cos 11+=；
(C) x e B x e A y x x
2sin 2cos 11+=；
(D) x e x B x e x A y x
x 2sin 2cos 2121+=.
二、 求下列一阶微分方程的通解:
1、)1(ln ln +=+'x ax y x y x ；
2、033=-+y x xy dx dy
；
3、022=+-++y x xdy ydx ydy xdx .
三、 求下列高阶微分方程的通解:
1、012=-'-''y y y ；
2、)4(2+='-''+'''x e x y y y .
四、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
1、0)(2223=-+dy xy x dx y ,11==y x 时，；
2、x y y y cos 2=+'+'',23,00='==y y x 时，.
五、已知某曲线经过点)1,1(
,它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程 .
六、设可导函数)(x ϕ满足
1sin )(2cos )(0+=+
⎰x tdt t x x x ϕϕ, 求)(x ϕ.
七、我舰向正东海里1处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在航行中始终对准敌舰.设敌舰以0
v 常数沿正北方向直线行驶,已知鱼雷速度是敌舰速度的两倍,求鱼雷的航行曲线方程,并问敌舰航行多远时,将被鱼雷击中?
答案：
一、1、A ； 2、A ； 3、B ； 4、A ； 5、B ；
6、B ；
7、B ；
8、B ；
9、A ； 10、C. 二、1、x
c ax y ln +=； 2、12122++=-x e C y
x ； 3、C x y y x =-+arctan 222
. 三、1、
)cosh(1211C x C C y +=； 2、
x x e x x e C e C C y x x x ---+++=-222321)9
461( 四、1、0)ln 21(2=-+y y x ；
2、x xe y x sin 21+=-.
五、
x x x y ln -=.
六、x x x sin cos )(+=ϕ. 七、)10(3
2)1(31)1(2321
≤≤+-+--=x x x y . 敌舰航行2/3海里后即被击中.。