微积分微分方程练习题及答案

一、 选择题:

1、 一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P y +='

的通解是( ). (A)⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P ； (B)⎰⎰⎰=-dx e x Q e y dx x P dx

x P )()()(； (C)⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx

x P ； (D)⎰

=-dx x P ce y )(.

2、方程y y x y x ++='22是( ).

(A)齐次方程； (B)一阶线性方程；

(C)伯努利方程； (D)可分离变量方程 .

3、2)1(,022==+y x

dx y dy 的特解是( ). (A)222=+y x ； (B)933=+y x ；

(C)133=+y x ； (D)13

333=+y x .

4、方程

x y sin ='''的通解是( ). (A)

322121cos C x C x C x y +++=； (B)32212

1sin C x C x C x y +++=； (C)1cos C x y +=；

(D)x y 2sin 2=.

5、方程0='+

'''y y 的通解是( ). (A)1cos sin C x x y

+-=； (B)321cos sin C x C x C y

+-=； (C)1cos sin C x x y

++=； (D)1sin C x y

-=.

6、若1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个特解,则 2211y C y C y +=(其中21,C C 为任意常数)( )

(A)是该方程的通解； (B)是该方程的解；

(C)是该方程的特解； (D)不一定是该方程的解.

7、求方程0)(2='-'y y y 的通解时,可令( ).

(A)P y P y '=''='则,； (B)

dy

dP P y P y =''='则,； (C)dx

dP P y P y =''='则,； (D)dy

dP

P y P y '=''='则,.

8、已知方程02=-'+''y y x y x 的一个特解为x y =,于是方程的通解为( ).

(A)221x C x C y +=； (B)x

C x C y 121+=；

(C)x e C x C y 21+=； (D)x

e C x C y -+=21.

9、已知方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的一个特1y 解为, 则另一个与它线性无关的特解为( ). (A) ⎰⎰=-

dx

e y y y dx x P )(21

121； (B) ⎰⎰=dx e y y y dx x P )(21

121

； (C) ⎰⎰=-dx e y y y dx x P )(1

121； (D) ⎰⎰=dx e y y y dx x P )(1

121.

10、方程x e y y y x 2cos 23=+'-''的一个特解形式是 ( ).

(A) x e A y x

2cos 1=；

(B) x xe B x xe A y x

x 2sin 2cos 11+=；

(C) x e B x e A y x x

2sin 2cos 11+=；

(D) x e x B x e x A y x

x 2sin 2cos 2121+=.

二、 求下列一阶微分方程的通解:

1、)1(ln ln +=+'x ax y x y x ；

2、033=-+y x xy dx dy

；

3、022=+-++y x xdy ydx ydy xdx .

三、 求下列高阶微分方程的通解:

1、012=-'-''y y y ；

2、)4(2+='-''+'''x e x y y y .

四、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:

1、0)(2223=-+dy xy x dx y ,11==y x 时，；

2、x y y y cos 2=+'+'',23,00='==y y x 时，.

五、已知某曲线经过点)1,1(

,它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程 .

六、设可导函数)(x ϕ满足

1sin )(2cos )(0+=+

⎰x tdt t x x x ϕϕ, 求)(x ϕ.

七、我舰向正东海里1处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在航行中始终对准敌舰.设敌舰以0

v 常数沿正北方向直线行驶,已知鱼雷速度是敌舰速度的两倍,求鱼雷的航行曲线方程,并问敌舰航行多远时,将被鱼雷击中?

答案：

一、1、A ； 2、A ； 3、B ； 4、A ； 5、B ；

6、B ；

7、B ；

8、B ；

9、A ； 10、C. 二、1、x

c ax y ln +=； 2、12122++=-x e C y

x ； 3、C x y y x =-+arctan 222

. 三、1、

)cosh(1211C x C C y +=； 2、

x x e x x e C e C C y x x x ---+++=-222321)9

461( 四、1、0)ln 21(2=-+y y x ；

2、x xe y x sin 21+=-.

五、

x x x y ln -=.

六、x x x sin cos )(+=ϕ. 七、)10(3

2)1(31)1(2321

≤≤+-+--=x x x y . 敌舰航行2/3海里后即被击中.