1.2大学物理(上)——质点动力学
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物理学大厦 的基石
动量守恒定律
动能转换与守恒定律
角动量守恒定律
p mv mv
dp 一、质点的动量定理 由F ma 可得： F dt
作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量 ——质点的动量定理
分量表示式
F dt mv F dt mv F dt mv
一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或合 外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换，但 系统的总动量保持不变。即：动量守恒定律。
关于动量守恒定律应注意：
1 若 Fi外 0, 则质点在任一方向均满足动量守恒；
2 若 Fi外 0, 但某一方向的分量为0， 则质点在 该方向上的动量守恒；
(kg) 、电流(A) 、温度(K) 、物质量(mol) 、发光
强度(cad) 。而其它物理量为导出物理量，相应的 单位为导出单位。 如给每个基本物理量一个符号(L、T、M、I、Θ、 H、J)，则导出物理量可用符号的组合表示。称这些符 号与符号的组合为物理量的量纲。
2-3
三大 守恒定律
动量
动量守恒定律
2、功率 指力在单位时间内所作的功
W 平均功率： P t
W dW 瞬时功率：P lim t 0 t dt dr 由于, dW F dr 则 P F F v dt
瞬时功率等与力与物体速度的标积 单位：瓦特 W
3、保守力的功 问：何谓保守力？
B
Fi
先求元功 dA F dr F cosds B B B 再求变力作功 A A dA A F dr A F cos dr B F ds F 是F在dr 方向的投影 A b 直角坐 A a Fx dx Fy dy Fz dz x y z 标系中 x0 Fx dx y0 Fy d y z0 Fz d z
解得a2 （g a1 ) sin , N m( g a1 ) cos 2l ( g a1 ) sin 1 而l a2t 2， 则t 2
五、国际单位与量纲
物理量必须有单位，常用的是国际单位制(SI). 14届国际计量会议上选择了7个基本物理量，定 义了相应的基本单位：长度(m)、时间(s) 、质量
[分析]：以m和M为研究系统，系统在水平方向不受 外力作用，则水平方向动量守恒。
x
设m相对M在水平方向的速度为vx，M对地的 速度为V，则在水平方向有：
m(v x V ) MV 0 mM vx V m
设m在环形滑槽上运动的时间为t，则：
R v x dt
0
t
而同时Байду номын сангаасM滑动的距离为：
3 动量是相对量，运用动量守恒定律时，须将各质点 的动量统一到同一惯性系中；
4 动量守恒定律比牛顿定律适应范围更广泛。
[例2.5]：一弹性球，质量m=0.20kg，速
度v=5m/s，与墙碰撞后弹回，设弹回时
速度大小不变，碰撞前后的运动方向与
v2 α
墙法线的夹角都是α，设球与墙碰撞的时
间为Δt=0.05s， α =60o，求在撞击时间 内，球和墙的平均相互作用力。 [分析]：取球为研究对象，设墙对球
四、牛顿定律的应用 注 意
d r F ma m 2 dt
2
1、在具体运用时要先选取合适的坐标系，如直角坐 标系、自然坐标系，然后写成分量形式。
2、牛顿定律只适用于质点，只在惯性系中成立。
[例2.1]：一细绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分 别悬有质量为m1和m2的物体，设滑轮和绳的质量可忽略 不计，绳不能伸长，试求物体的加速度及绳的张力。
t2
t1
n n t 2 n n 1 n Fi外 dt f ij dt mi vi 2 mi vi1 t1 i 1 i 1 i 1 i 1 j 1
因为内力总成对出现即：
i 1 j 1
α
v1
n
平均作用力为f，球在碰撞前后的的速
度为v1与v2。则由动量定律有： ft mv 2 mv1 mv
取坐标系，将上式投影，有：
f y t mv2 sin mv1 sin 0
y
O
v2 α α v1
f x t mv2 cos (mv1 cos ) 2mv cos
m S Vdt 0 mM
t
m 0 v x dt m M R
t
2-4
功、动能、势能、机械能守恒
一、功、功率
1、功——力的空间积累（单位J） 恒力作功是： A F r cos F r A 可见功是标量，也是相对量。变力沿曲线作功如何计算？
ri
瞬时性；迭加性；矢量性；定量的量度了惯性 F、a 之间一一对应 1、瞬时性：
i 2、迭加性：F F1 F2 FN Fi N 1
3、矢量性：具体运算时应写成分量式
dv x Fx ma x m dt dv y 直角坐标系中： Fy ma y m dt
Fdt (m dm)v (mv dm 0) vdm vkdt 于是， F kv 200 4 800 N
[例2.7]：如图，一质量为m的球在 质量为M的1/4园弧形滑槽中从静 止滑下。设园弧形滑槽半径为R， 如所有的摩擦都可忽略，求当小球 m滑到槽底时， M滑槽在水平方向 移动的距离。
如果
A F dr 0
即某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关， 而与路径无关。这种力称为保守力。 典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力
与保守力相对应的是耗散力
典型的耗散力： 摩擦力
① 、重力的功
m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.
AG
b
a
mg dr
t1 x t2 t1 y t2 t1 z
t2
2x
mv1 x mv1 y mv1z
2y
2z
动量定理可用于求碰撞问题的冲力 二、质点系的动量定理
n1 第i个质点受到的合外力为 Fi外 f ji j 1
对第i个质点 运用动量定理有：
t2
t1
n1 Fi外 f ji dt mi vi 2 mi vi1 j 1
力指物体间的相互作用。 研究物体在力作用下的运动规律称为动力学。 动力学包括二种效应： 瞬时效应——用牛顿定律描述； 力在时空中的积累效应——用守恒定律描述。 经典力学只适用于低速、宏观领域。
2-1 牛顿运动定律
一、惯性定律 惯性参考系
1、惯性定律（Newton first law）
一弧立质点将永远保持静止或匀速直线运动的状
ra
可见万有引力是保守力。
③ 、弹力的功
F kx
1 1 2 2 AS kxdx ( kxb kxa ) xa 2 2 1 1 2 2 kxa kxb 2 2
xb
初态量
末态量
弹簧振子
可见，弹性力是保守力。
[例2.8]:在离水平面高为H岸上，有人用大小不变的 力F拉绳使船靠岸，求船从离岸x1处移到x2处的过 程中，力F对船所作的功。
b
a
( mg )k ( dxi dyj dzk )
zb za
mgdz
末态量
Z
a
O
mgz a mgz b
初态量
dr
mg
b
Y
可见，重力是保守力。
X
② 、引力的功 两个质点之间在引力作用下相对运动时 ，以 M所在处为原点,M指向m的方向为矢径的正方向。 m受的引力方向与矢径方向相反。
态，直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。
(1). 包含两个重要概念：惯性和力
固有特性
(2). 定义了惯性参考系：什么是惯性参考系呢？
2、惯性系与非惯性系 问 题
以车为参考系，a=0时人和小球的状态符合牛顿定律；
a≠0时人和小球的状态为什麽不符合牛顿定律？ 结论：牛顿定律成立的参照系称为惯性系。相对惯性 系作加速运动的参照系是非惯性系。而相对惯性系作 匀速直线运动的参照系也是惯性系。
dv z Fz ma z m dt
dv 自然坐标系中： F m dt
F
n
m
v2
4、定量的量度了惯性
1 a m
即质量大的其运动状态难以改变
惯性质量：牛顿第二定律中的质量常被称为惯性质量
m m 1 2 引力质量： F G r0 2 r 式中 m1、m2 被称为引力质量
[分析]： 对多质点系统，要采用隔离 T1 T2 体法—分别画出每物体的受力图； a 用牛顿第二定律列出每物体的方程； 找出物体间的关联关系；联立求解。
T’
a
T1 T2
T1 m1a m1a m2 g T2 m2 a T1 T2 T T1 T2
m1g
m2g
[例2.2]：升降机内有一光滑斜面，固定在底板上，斜面 倾角为θ。当升降机以匀加速度a1上升时，质量为m的物 体开始下滑，已知斜面长为L，求物体对斜面的压力及 物体由斜面顶点滑到底部所需时间。 y a1 [分析]： 牛顿定律只在惯性系中成 N 立，而升降机为非惯性系，地球才 是惯性系。在列动力学方程时须以 a2 地球为参考系。 x mg 物对地的加速度: a a1 a2 于是对m应用牛顿定律可列方程: mg sin m(a2 a1 sin ), N mg cos ma1 cos
r dr r dr cos rdr
rb 1 A f f dr GMm 3 r dr a ra r rb 1 GMm 2 dr ra r 1 1 GMm (GMm ) M ra rb
b
b
rb r F
a
dr
dr m
x n
2mv cos fn fx 20 N t
[例2.6]: 如图（见书），一辆装矿砂的车厢以v=4ms-1的 速率从漏斗下通过，每秒落入车厢的砂为k=200kg/s， 如欲使车厢的速率下变，须施与车厢多大的牵引力（忽 略车厢与地面的摩擦）。
[分析]：系统的质量m在变化。设t时该已落入车厢 的砂为m，经dt后又有dm=kdt的砂落入车厢。以m 和dm为研究对象。在水平方向的动量定理为：
经典力学中不区分引力质量和惯性质量
三、第三定律（Newton third law）
两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等
的，而且指向相反的方向。
F1 F2
作用力与反作用力：
1、它们总是成对出现，它们之间一一对应。
2、它们分别作用在两个物体上，绝不是平衡力。 3、它们一定是属于同一性质的力。
根据天文观察，以太阳系作为参照系研究行星运动时发现 行星运动遵守牛顿定律，所以太阳系是一个惯性系。
二、牛顿第二定律（Newton second law）
在受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小 与外力成正比，与物体的质量成反比；加速度的方向 与外力的矢量和的方向相同。 特点：
F ma
[分析]：力F大小不变但方向在变，是变力作功
dA F dx F cos (dx) x H x2 xdx A F x1 x2 H 2
2 2
F α x
F 0
-F
x
dx
x1
x
x2
F
x H
2 1
2
x H
2 2
2
2 2 [例2.9]：作用在质点上的力为 F ( y x )i 3xy j 求质点由点(0, 0)运动到点(2, 4)的过程中力 F 所作的功：
t2
1
n
n 1
f ij 0
n n n F dt mi vi 2 mi vi1 t i外 i 1 i 1 i 1 质点系动量增量等于该系统上合外力的冲量
三、动量守恒定律
若 Fi外 0 则有
i 1 n m i v i 2 m i v i1 0 n i 1
动量守恒定律
动能转换与守恒定律
角动量守恒定律
p mv mv
dp 一、质点的动量定理 由F ma 可得： F dt
作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量 ——质点的动量定理
分量表示式
F dt mv F dt mv F dt mv
一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或合 外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换，但 系统的总动量保持不变。即：动量守恒定律。
关于动量守恒定律应注意：
1 若 Fi外 0, 则质点在任一方向均满足动量守恒；
2 若 Fi外 0, 但某一方向的分量为0， 则质点在 该方向上的动量守恒；
(kg) 、电流(A) 、温度(K) 、物质量(mol) 、发光
强度(cad) 。而其它物理量为导出物理量，相应的 单位为导出单位。 如给每个基本物理量一个符号(L、T、M、I、Θ、 H、J)，则导出物理量可用符号的组合表示。称这些符 号与符号的组合为物理量的量纲。
2-3
三大 守恒定律
动量
动量守恒定律
2、功率 指力在单位时间内所作的功
W 平均功率： P t
W dW 瞬时功率：P lim t 0 t dt dr 由于, dW F dr 则 P F F v dt
瞬时功率等与力与物体速度的标积 单位：瓦特 W
3、保守力的功 问：何谓保守力？
B
Fi
先求元功 dA F dr F cosds B B B 再求变力作功 A A dA A F dr A F cos dr B F ds F 是F在dr 方向的投影 A b 直角坐 A a Fx dx Fy dy Fz dz x y z 标系中 x0 Fx dx y0 Fy d y z0 Fz d z
解得a2 （g a1 ) sin , N m( g a1 ) cos 2l ( g a1 ) sin 1 而l a2t 2， 则t 2
五、国际单位与量纲
物理量必须有单位，常用的是国际单位制(SI). 14届国际计量会议上选择了7个基本物理量，定 义了相应的基本单位：长度(m)、时间(s) 、质量
[分析]：以m和M为研究系统，系统在水平方向不受 外力作用，则水平方向动量守恒。
x
设m相对M在水平方向的速度为vx，M对地的 速度为V，则在水平方向有：
m(v x V ) MV 0 mM vx V m
设m在环形滑槽上运动的时间为t，则：
R v x dt
0
t
而同时Байду номын сангаасM滑动的距离为：
3 动量是相对量，运用动量守恒定律时，须将各质点 的动量统一到同一惯性系中；
4 动量守恒定律比牛顿定律适应范围更广泛。
[例2.5]：一弹性球，质量m=0.20kg，速
度v=5m/s，与墙碰撞后弹回，设弹回时
速度大小不变，碰撞前后的运动方向与
v2 α
墙法线的夹角都是α，设球与墙碰撞的时
间为Δt=0.05s， α =60o，求在撞击时间 内，球和墙的平均相互作用力。 [分析]：取球为研究对象，设墙对球
四、牛顿定律的应用 注 意
d r F ma m 2 dt
2
1、在具体运用时要先选取合适的坐标系，如直角坐 标系、自然坐标系，然后写成分量形式。
2、牛顿定律只适用于质点，只在惯性系中成立。
[例2.1]：一细绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分 别悬有质量为m1和m2的物体，设滑轮和绳的质量可忽略 不计，绳不能伸长，试求物体的加速度及绳的张力。
t2
t1
n n t 2 n n 1 n Fi外 dt f ij dt mi vi 2 mi vi1 t1 i 1 i 1 i 1 i 1 j 1
因为内力总成对出现即：
i 1 j 1
α
v1
n
平均作用力为f，球在碰撞前后的的速
度为v1与v2。则由动量定律有： ft mv 2 mv1 mv
取坐标系，将上式投影，有：
f y t mv2 sin mv1 sin 0
y
O
v2 α α v1
f x t mv2 cos (mv1 cos ) 2mv cos
m S Vdt 0 mM
t
m 0 v x dt m M R
t
2-4
功、动能、势能、机械能守恒
一、功、功率
1、功——力的空间积累（单位J） 恒力作功是： A F r cos F r A 可见功是标量，也是相对量。变力沿曲线作功如何计算？
ri
瞬时性；迭加性；矢量性；定量的量度了惯性 F、a 之间一一对应 1、瞬时性：
i 2、迭加性：F F1 F2 FN Fi N 1
3、矢量性：具体运算时应写成分量式
dv x Fx ma x m dt dv y 直角坐标系中： Fy ma y m dt
Fdt (m dm)v (mv dm 0) vdm vkdt 于是， F kv 200 4 800 N
[例2.7]：如图，一质量为m的球在 质量为M的1/4园弧形滑槽中从静 止滑下。设园弧形滑槽半径为R， 如所有的摩擦都可忽略，求当小球 m滑到槽底时， M滑槽在水平方向 移动的距离。
如果
A F dr 0
即某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关， 而与路径无关。这种力称为保守力。 典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力
与保守力相对应的是耗散力
典型的耗散力： 摩擦力
① 、重力的功
m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.
AG
b
a
mg dr
t1 x t2 t1 y t2 t1 z
t2
2x
mv1 x mv1 y mv1z
2y
2z
动量定理可用于求碰撞问题的冲力 二、质点系的动量定理
n1 第i个质点受到的合外力为 Fi外 f ji j 1
对第i个质点 运用动量定理有：
t2
t1
n1 Fi外 f ji dt mi vi 2 mi vi1 j 1
力指物体间的相互作用。 研究物体在力作用下的运动规律称为动力学。 动力学包括二种效应： 瞬时效应——用牛顿定律描述； 力在时空中的积累效应——用守恒定律描述。 经典力学只适用于低速、宏观领域。
2-1 牛顿运动定律
一、惯性定律 惯性参考系
1、惯性定律（Newton first law）
一弧立质点将永远保持静止或匀速直线运动的状
ra
可见万有引力是保守力。
③ 、弹力的功
F kx
1 1 2 2 AS kxdx ( kxb kxa ) xa 2 2 1 1 2 2 kxa kxb 2 2
xb
初态量
末态量
弹簧振子
可见，弹性力是保守力。
[例2.8]:在离水平面高为H岸上，有人用大小不变的 力F拉绳使船靠岸，求船从离岸x1处移到x2处的过 程中，力F对船所作的功。
b
a
( mg )k ( dxi dyj dzk )
zb za
mgdz
末态量
Z
a
O
mgz a mgz b
初态量
dr
mg
b
Y
可见，重力是保守力。
X
② 、引力的功 两个质点之间在引力作用下相对运动时 ，以 M所在处为原点,M指向m的方向为矢径的正方向。 m受的引力方向与矢径方向相反。
态，直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。
(1). 包含两个重要概念：惯性和力
固有特性
(2). 定义了惯性参考系：什么是惯性参考系呢？
2、惯性系与非惯性系 问 题
以车为参考系，a=0时人和小球的状态符合牛顿定律；
a≠0时人和小球的状态为什麽不符合牛顿定律？ 结论：牛顿定律成立的参照系称为惯性系。相对惯性 系作加速运动的参照系是非惯性系。而相对惯性系作 匀速直线运动的参照系也是惯性系。
dv z Fz ma z m dt
dv 自然坐标系中： F m dt
F
n
m
v2
4、定量的量度了惯性
1 a m
即质量大的其运动状态难以改变
惯性质量：牛顿第二定律中的质量常被称为惯性质量
m m 1 2 引力质量： F G r0 2 r 式中 m1、m2 被称为引力质量
[分析]： 对多质点系统，要采用隔离 T1 T2 体法—分别画出每物体的受力图； a 用牛顿第二定律列出每物体的方程； 找出物体间的关联关系；联立求解。
T’
a
T1 T2
T1 m1a m1a m2 g T2 m2 a T1 T2 T T1 T2
m1g
m2g
[例2.2]：升降机内有一光滑斜面，固定在底板上，斜面 倾角为θ。当升降机以匀加速度a1上升时，质量为m的物 体开始下滑，已知斜面长为L，求物体对斜面的压力及 物体由斜面顶点滑到底部所需时间。 y a1 [分析]： 牛顿定律只在惯性系中成 N 立，而升降机为非惯性系，地球才 是惯性系。在列动力学方程时须以 a2 地球为参考系。 x mg 物对地的加速度: a a1 a2 于是对m应用牛顿定律可列方程: mg sin m(a2 a1 sin ), N mg cos ma1 cos
r dr r dr cos rdr
rb 1 A f f dr GMm 3 r dr a ra r rb 1 GMm 2 dr ra r 1 1 GMm (GMm ) M ra rb
b
b
rb r F
a
dr
dr m
x n
2mv cos fn fx 20 N t
[例2.6]: 如图（见书），一辆装矿砂的车厢以v=4ms-1的 速率从漏斗下通过，每秒落入车厢的砂为k=200kg/s， 如欲使车厢的速率下变，须施与车厢多大的牵引力（忽 略车厢与地面的摩擦）。
[分析]：系统的质量m在变化。设t时该已落入车厢 的砂为m，经dt后又有dm=kdt的砂落入车厢。以m 和dm为研究对象。在水平方向的动量定理为：
经典力学中不区分引力质量和惯性质量
三、第三定律（Newton third law）
两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等
的，而且指向相反的方向。
F1 F2
作用力与反作用力：
1、它们总是成对出现，它们之间一一对应。
2、它们分别作用在两个物体上，绝不是平衡力。 3、它们一定是属于同一性质的力。
根据天文观察，以太阳系作为参照系研究行星运动时发现 行星运动遵守牛顿定律，所以太阳系是一个惯性系。
二、牛顿第二定律（Newton second law）
在受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小 与外力成正比，与物体的质量成反比；加速度的方向 与外力的矢量和的方向相同。 特点：
F ma
[分析]：力F大小不变但方向在变，是变力作功
dA F dx F cos (dx) x H x2 xdx A F x1 x2 H 2
2 2
F α x
F 0
-F
x
dx
x1
x
x2
F
x H
2 1
2
x H
2 2
2
2 2 [例2.9]：作用在质点上的力为 F ( y x )i 3xy j 求质点由点(0, 0)运动到点(2, 4)的过程中力 F 所作的功：
t2
1
n
n 1
f ij 0
n n n F dt mi vi 2 mi vi1 t i外 i 1 i 1 i 1 质点系动量增量等于该系统上合外力的冲量
三、动量守恒定律
若 Fi外 0 则有
i 1 n m i v i 2 m i v i1 0 n i 1