第3章学习指导
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F (s)
f (t ) 1
0
f (t ) e s t dt
j
j
2 j
F ( s) e s t ds
t 0
在本书中，积分下限定义为 t 0 。因此，单位冲激函数 (t ) 1 ，求解微分方程时，初 始条件取为 t 0 。 2．拉普拉斯变换收敛域： 使得拉普拉斯变换存在的 S 平面上 的取值范围称为拉普拉斯变换的收敛域。 f (t ) 是有限长时，收敛域整个 S 平面； f (t ) 是右边信号时，收敛域 0 的右边区域； f (t ) 是 左边信号时，收敛域 0 的左边区域； f (t ) 是双边信号时，收敛域是 S 平面上一条带状 区域。要说明的是，我们讨论单边拉普拉斯变换，只要 取得足够大总是满足绝对可积条 件，因此一般不写收敛域。 3．微分方程的拉普拉斯变换分析： 当线性时不变系统用线性常系数微分方程描述时，可用两种方法计算： （1）对方程取拉普拉斯变换，并代入初始条件，从而将时域方程转化为 S 域代数方 程，求出响应的象函数，再对其求反变换得到系统的响应。 （2）用时域分析方法求零输入响应，用系统函数的方法求零状态响应，可得系统响 应。 4．动态电路的拉普拉斯变换分析： 所谓动态电路的 S 域模型，就是拉普拉斯变换的等效电路。电容元件和电感元件的 S 域模型都有两种形式，即串联模型和并联模型。一般串联模型用得多些。在这些模型中， 初始条件都化成了初值电源。初值电源的值和方向对 S 域模型来说特别重要。由时域电路 模型能正确画出 S 域电路模型，是用拉普拉斯变换分析电路的基础。 5．引入复频域阻抗后，电路定律的复频域形式与其相量形式相似。因此，复频域法 与相量法或直流电路分析法完全相似。即直流电路应用的所有计算方法、定理、等效变换 等可以完全套用于复频域法来求解动态电路。 6．系统的零状态响应为 Y zs ( s) H ( s ) F ( s )
第 3 章学习指导
3.1 知识结构
系统的 S 域分析
拉普拉斯变换 正变换 3 个基本变换对 4 个重要性质 反变换 部分分式法 用变换性质
两个应用 解微分方程 两边取拉氏变换 利用系统函数 解动态电路 电路的 S 域模型 初值的处理 用电路理论解
系统特性与模拟 系统特性 零极点图 冲激响应 稳定性 3 种强迫响应 系统模拟 方框图 信号流图 梅森公式
3.5 思考题
1． 2． 3． 4． 5． 在什么情况下双边拉普拉斯变换与单边拉普拉斯变换一样？ 初值定理，终值定理应用条件是什么？ 如果 F ( s) 是假分式，如何利用部分分式法求原函数？ 如果 F ( s) 是无理函数，能否用部分分式法求原函数？ 系统的拉普拉斯变换分析方法的基本思想是什么？与时域分析方法比有什么优 点？ 6． 对于动态电路采用 S 域模型后，其分析方法有什么特点？ 7． 如何用 S 域模型求零输入响应、零状态响应、全响应？ 8． 什么是系统函数 H ( s ) ？试述系统函数 H ( s ) 与单位冲激响应 h ( t ) 的关系。 9． 系统函数 H ( s ) 的零极点与系统特性有何关系？ 10． 为什么说 H ( s ) 是由系统结构及参数所确定，而与外界激励无关？为什么说 H ( s ) 可以确定零状态响应？ 11． 在什么情况下，零状态响应就是强迫响应、也是稳态响应？自然响应是否就是零 输入响应？ 12． 系统函数 H ( s ) 的极点与零输入响应有什么关系？ 13． 判断系统稳定性的原理是什么？ 14． 可用哪些器件来实现系统模拟？实现系统模拟时梅森公式是如何应用的？ 15． 什么是信号流图？梅森公式在系统分析中有什么用途？ 16． 什么是波特图？如何绘制？ 17． 如何从波特图求系统函数？ 18． 什么是系统频率响应的几何作图方法？
来自百度文库
| h( ) | d
即冲激响应绝对可积。对于因果系统，系统函数的极点必须位于 s 左半平面。 内部稳定性：系统的稳定性与系统特征根（系统极点）有关，系统函数 H (s) 的极点 位于 s 左半平面，系统是稳定的。极点在虚轴上有单极点，系统是临界稳定。极点在 s 右 半平面或在虚轴上有重极点，系统不稳定。 11．系统框图和信号流图都是系统模型的表示形式。两者可以互换。系统模拟的方 法有直接、级联和并联三种。用梅森公式可以计算较复杂系统的信号流图的总增益。同时 也可以用梅森公式来画出信号流图。 12．系统频率响应可以从系统函数 H(s)当 s=j 时求得 H(j)。可以表示成 H ( j ) | H ( j ) | e j ( ) |H(j)|称为幅频特性，()称为相频特性。它表征了系统的滤波性能。 13．波特图是一种半对数坐标的频率响应图，它由许多渐近线构成。用波特图可以 方便地求出相应系统函数的频率响应。 14．系统函数的零极点在 s 平面上的分布直接影响系统的频率响应。通过在 s 平面 上用几何矢量作图的方法可以粗略的画出系统的幅频响应和相频响应。 用这种方法很容易 判别滤波器的类型。系统函数的零极点的配置是滤波器设计的方法之一。
频率响应 波特图 几何作图 滤波器类型 滤波器设计
3.2 重点与难点
1、单边拉普拉斯变换及其重要性质。 2、用于拉普拉斯反变换的部分分式展开法。 3、 动态电路元件的 S 域模型， 电路定律的 S 域形式。 拉普拉斯变换求解电路的分析方法。 4、微分方程的 S 域求解。 5、系统函数与冲激响应，系统稳定性的关系。 6、三种强迫响应的解法。 7、系统模拟的两种方法：方框图和信号流图。梅森公式的应用。 8、系统频率响应的两种方法：波特图和几何作图。
3.3 学习目标
讨论单边拉普拉斯变换的定义和性质以及拉普拉斯变换反变换。 运用拉普拉斯变换方法求解微分方程。 运用拉普拉斯变换方法求解动态电路。 讨论系统函数与及其零极点与系统冲激响应、零状态响应、强迫响应的关系。 理解系统的两种稳定性概念。 讨论系统的另外两种表示形式，即系统的方框图表示和信号流图表示。 运用梅森公式分析和构成系统。 运用波特图或矢量作图研究系统的频率响应。理解滤波器的概念。
y p (t ) H ( s) e s t
若输入信号是直流， f (t ) A (t ) ，则强迫响应为 y p (t ) H (0) A (t ) 若输入信号是指数函数， f (t ) A e a t (t ) ，则强迫响应为
y p (t ) H (a) A e a t (t )
若输入信号是正弦函数， f (t ) A cos t (t ) Re[ A e j t ] (t ) ，则强迫响应为
y p (t ) | H ( j ) | A cos[ t H ( j )] (t )
10．稳定性的概念分为两类： 外部稳定性：线性非时变系统 BIBO 稳定的充分必要条件是
3.4 本章小结
本章主要介绍了 LTI 系统的基本分析工具拉普拉斯变换， 以及拉普拉斯变换在求解微 分方程、动态电路中的应用。讨论了系统函数零极点的分布对系统时域响应和频率响应的 影响。介绍了系统稳定性的概念。对描述系统模型的另外两种形式系统框图和信号流图作
了详细的介绍。还重点叙述了系统的频率响应及波特图的画法。对滤波器的设计作了简单 的介绍。下面给出了本章的知识要点： 1．单边拉普拉斯变换的定义为
其中， h(t ) H (s) ， H (s) 是冲激响应的象函数，称为系统函数。对于任意输入信号作用于 系统的零状态响应，可用上式求解。系统函数定义为 Y (s) H ( s ) zs F (s)
7．线性非时变系统的响应可以写成零输入响应与零状态响应的和。其中前者是由系 统中的初始条件引起的；后者是在初始条件为零时仅由输入信号作用的结果。零输入响应 可以用时域方法求解（在第二章中的方法） ，也可以对微分方程拉普拉斯变换，并设输入 为零时求解。零状态响应用系统函数的方法求解。 8．线性非时变系统的响应也可以写成自由响应与强迫响应之和。其中，前者是系统 的固有响应由系统的极点决定； 后者是只与输入信号的形式有关， 由输入信号的极点决定。 这些响应可以分别看成微分方程的齐次解和特解。 9．对于系统的本征信号 e s t 作为输入信号，其强迫响应的一般形式为
f (t ) 1
0
f (t ) e s t dt
j
j
2 j
F ( s) e s t ds
t 0
在本书中，积分下限定义为 t 0 。因此，单位冲激函数 (t ) 1 ，求解微分方程时，初 始条件取为 t 0 。 2．拉普拉斯变换收敛域： 使得拉普拉斯变换存在的 S 平面上 的取值范围称为拉普拉斯变换的收敛域。 f (t ) 是有限长时，收敛域整个 S 平面； f (t ) 是右边信号时，收敛域 0 的右边区域； f (t ) 是 左边信号时，收敛域 0 的左边区域； f (t ) 是双边信号时，收敛域是 S 平面上一条带状 区域。要说明的是，我们讨论单边拉普拉斯变换，只要 取得足够大总是满足绝对可积条 件，因此一般不写收敛域。 3．微分方程的拉普拉斯变换分析： 当线性时不变系统用线性常系数微分方程描述时，可用两种方法计算： （1）对方程取拉普拉斯变换，并代入初始条件，从而将时域方程转化为 S 域代数方 程，求出响应的象函数，再对其求反变换得到系统的响应。 （2）用时域分析方法求零输入响应，用系统函数的方法求零状态响应，可得系统响 应。 4．动态电路的拉普拉斯变换分析： 所谓动态电路的 S 域模型，就是拉普拉斯变换的等效电路。电容元件和电感元件的 S 域模型都有两种形式，即串联模型和并联模型。一般串联模型用得多些。在这些模型中， 初始条件都化成了初值电源。初值电源的值和方向对 S 域模型来说特别重要。由时域电路 模型能正确画出 S 域电路模型，是用拉普拉斯变换分析电路的基础。 5．引入复频域阻抗后，电路定律的复频域形式与其相量形式相似。因此，复频域法 与相量法或直流电路分析法完全相似。即直流电路应用的所有计算方法、定理、等效变换 等可以完全套用于复频域法来求解动态电路。 6．系统的零状态响应为 Y zs ( s) H ( s ) F ( s )
第 3 章学习指导
3.1 知识结构
系统的 S 域分析
拉普拉斯变换 正变换 3 个基本变换对 4 个重要性质 反变换 部分分式法 用变换性质
两个应用 解微分方程 两边取拉氏变换 利用系统函数 解动态电路 电路的 S 域模型 初值的处理 用电路理论解
系统特性与模拟 系统特性 零极点图 冲激响应 稳定性 3 种强迫响应 系统模拟 方框图 信号流图 梅森公式
3.5 思考题
1． 2． 3． 4． 5． 在什么情况下双边拉普拉斯变换与单边拉普拉斯变换一样？ 初值定理，终值定理应用条件是什么？ 如果 F ( s) 是假分式，如何利用部分分式法求原函数？ 如果 F ( s) 是无理函数，能否用部分分式法求原函数？ 系统的拉普拉斯变换分析方法的基本思想是什么？与时域分析方法比有什么优 点？ 6． 对于动态电路采用 S 域模型后，其分析方法有什么特点？ 7． 如何用 S 域模型求零输入响应、零状态响应、全响应？ 8． 什么是系统函数 H ( s ) ？试述系统函数 H ( s ) 与单位冲激响应 h ( t ) 的关系。 9． 系统函数 H ( s ) 的零极点与系统特性有何关系？ 10． 为什么说 H ( s ) 是由系统结构及参数所确定，而与外界激励无关？为什么说 H ( s ) 可以确定零状态响应？ 11． 在什么情况下，零状态响应就是强迫响应、也是稳态响应？自然响应是否就是零 输入响应？ 12． 系统函数 H ( s ) 的极点与零输入响应有什么关系？ 13． 判断系统稳定性的原理是什么？ 14． 可用哪些器件来实现系统模拟？实现系统模拟时梅森公式是如何应用的？ 15． 什么是信号流图？梅森公式在系统分析中有什么用途？ 16． 什么是波特图？如何绘制？ 17． 如何从波特图求系统函数？ 18． 什么是系统频率响应的几何作图方法？
来自百度文库
| h( ) | d
即冲激响应绝对可积。对于因果系统，系统函数的极点必须位于 s 左半平面。 内部稳定性：系统的稳定性与系统特征根（系统极点）有关，系统函数 H (s) 的极点 位于 s 左半平面，系统是稳定的。极点在虚轴上有单极点，系统是临界稳定。极点在 s 右 半平面或在虚轴上有重极点，系统不稳定。 11．系统框图和信号流图都是系统模型的表示形式。两者可以互换。系统模拟的方 法有直接、级联和并联三种。用梅森公式可以计算较复杂系统的信号流图的总增益。同时 也可以用梅森公式来画出信号流图。 12．系统频率响应可以从系统函数 H(s)当 s=j 时求得 H(j)。可以表示成 H ( j ) | H ( j ) | e j ( ) |H(j)|称为幅频特性，()称为相频特性。它表征了系统的滤波性能。 13．波特图是一种半对数坐标的频率响应图，它由许多渐近线构成。用波特图可以 方便地求出相应系统函数的频率响应。 14．系统函数的零极点在 s 平面上的分布直接影响系统的频率响应。通过在 s 平面 上用几何矢量作图的方法可以粗略的画出系统的幅频响应和相频响应。 用这种方法很容易 判别滤波器的类型。系统函数的零极点的配置是滤波器设计的方法之一。
频率响应 波特图 几何作图 滤波器类型 滤波器设计
3.2 重点与难点
1、单边拉普拉斯变换及其重要性质。 2、用于拉普拉斯反变换的部分分式展开法。 3、 动态电路元件的 S 域模型， 电路定律的 S 域形式。 拉普拉斯变换求解电路的分析方法。 4、微分方程的 S 域求解。 5、系统函数与冲激响应，系统稳定性的关系。 6、三种强迫响应的解法。 7、系统模拟的两种方法：方框图和信号流图。梅森公式的应用。 8、系统频率响应的两种方法：波特图和几何作图。
3.3 学习目标
讨论单边拉普拉斯变换的定义和性质以及拉普拉斯变换反变换。 运用拉普拉斯变换方法求解微分方程。 运用拉普拉斯变换方法求解动态电路。 讨论系统函数与及其零极点与系统冲激响应、零状态响应、强迫响应的关系。 理解系统的两种稳定性概念。 讨论系统的另外两种表示形式，即系统的方框图表示和信号流图表示。 运用梅森公式分析和构成系统。 运用波特图或矢量作图研究系统的频率响应。理解滤波器的概念。
y p (t ) H ( s) e s t
若输入信号是直流， f (t ) A (t ) ，则强迫响应为 y p (t ) H (0) A (t ) 若输入信号是指数函数， f (t ) A e a t (t ) ，则强迫响应为
y p (t ) H (a) A e a t (t )
若输入信号是正弦函数， f (t ) A cos t (t ) Re[ A e j t ] (t ) ，则强迫响应为
y p (t ) | H ( j ) | A cos[ t H ( j )] (t )
10．稳定性的概念分为两类： 外部稳定性：线性非时变系统 BIBO 稳定的充分必要条件是
3.4 本章小结
本章主要介绍了 LTI 系统的基本分析工具拉普拉斯变换， 以及拉普拉斯变换在求解微 分方程、动态电路中的应用。讨论了系统函数零极点的分布对系统时域响应和频率响应的 影响。介绍了系统稳定性的概念。对描述系统模型的另外两种形式系统框图和信号流图作
了详细的介绍。还重点叙述了系统的频率响应及波特图的画法。对滤波器的设计作了简单 的介绍。下面给出了本章的知识要点： 1．单边拉普拉斯变换的定义为
其中， h(t ) H (s) ， H (s) 是冲激响应的象函数，称为系统函数。对于任意输入信号作用于 系统的零状态响应，可用上式求解。系统函数定义为 Y (s) H ( s ) zs F (s)
7．线性非时变系统的响应可以写成零输入响应与零状态响应的和。其中前者是由系 统中的初始条件引起的；后者是在初始条件为零时仅由输入信号作用的结果。零输入响应 可以用时域方法求解（在第二章中的方法） ，也可以对微分方程拉普拉斯变换，并设输入 为零时求解。零状态响应用系统函数的方法求解。 8．线性非时变系统的响应也可以写成自由响应与强迫响应之和。其中，前者是系统 的固有响应由系统的极点决定； 后者是只与输入信号的形式有关， 由输入信号的极点决定。 这些响应可以分别看成微分方程的齐次解和特解。 9．对于系统的本征信号 e s t 作为输入信号，其强迫响应的一般形式为