第五讲中值定理的证明分析

第四讲 中值定理的证明技巧一、 考试要求1、 理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并会应用这些性质。

2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值定理。

掌握这四个定理的简单应用（经济）。

3、 了解定积分中值定理。

二、 内容提要1、 介值定理（根的存在性定理）（1）介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值m 之间的任何值.（2）零点定理设f(x)在[a 、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c ∈(a 、b)，使得f(c)=02、 罗尔定理若函数)(x f 满足：（1）)(x f 在[]b a ,上连续（2）)(x f 在),(b a 内可导（3）)()(b f a f =则一定存在),(b a ∈ξ使得0)('=ξf3、 拉格朗日中值定理若函数)(x f 满足：（1）)(x f 在[]b a ,上连续（2）)(x f 在),(b a 内可导则一定存在),(b a ∈ξ，使得))((')()(a b f a f b f -=-ξ4、 柯西中值定理若函数)(),(x g x f 满足:（1）在[]b a ,上连续（2）在),(b a 内可导（3）0)('≠x g则至少有一点),(b a ∈ξ使得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =--5、 泰勒公式如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间),(b a 内具有直到1+n 阶导数, 则当x 在),(b a 内时, )(x f 可以表示为0x x -的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之和，即 )())((!1 ))((!21))(()()(00)(200000x R x x x f n x x x f x x x f x f x f n n n +-+⋅⋅⋅+-''+-'+= 其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ (ξ介于0x 与x 之间).在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：1．展开的基点；2．展开的阶数；3．余项的形式．其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．6、 积分中值定理若f(x)在[a 、b]上连续，则至少存在一点c ∈[a 、b]，使得ba ⎰f(x)dx=f(c)(b-a)三、 典型题型与例题题型一 、与连续函数相关的问题（证明存在ξ使0)(=ξf 或方程f(x)=0有根）例1、设)(x f 在[a,b]上连续，),,2,1(0,21n i c b x x x a i n ΛΛ=><<<<<，证明存在],[b a ∈ξ ，使得nn n c c c x f c x f c x f c f ++++++=ΛΛ212211)()()()(ξ例2、设)(,0x f a b >>在[a,b]上连续、单调递增，且0)(>x f ，证明存在),(b a ∈ξ使得 )(2)()(222ξξf a f b b f a =+例3、设)(x f 在[a,b]上连续且0)(>x f ，证明存在),(b a ∈ξ使得⎰⎰⎰==b b a a dx x f dx x f dx x f ξξ)(21)()(。

例4、设)(),(x g x f 在[a,b]上连续，证明存在),(b a ∈ξ使得⎰⎰=b a dx x g f dx x f g ξξξξ)()()()(例5、 设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)<1. 证明：210x f t dt x-=⎰()在(0,1)内有且仅有一个实根。

例6、设实数n a a a ,,,21Λ满足关系式012)1(3121=--++--n a a a n n Λ，证明方程 0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n Λ，在)2,0(π内至少有一实根。

例7、（0234，6分）设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点],[b a ∈ξ使得⎰⎰=ba ba dx x g f dx x g x f )()()()(ξ题型二、 验证满足某中值定理例8、验证函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤-=1,11,23)(2x xx x x f ，在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并求满足定理的ξ题型三、 证明存在ξ, 使fn ()()ξ=0(n=1,2,…)例9、设)(x f 在[a,b]上可导且0)()(<''-+b f a f ，证明至少存在一个),(b a ∈ξ使得0)(='ξf例10、设)(x f 在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且1)3(,3)2()1()0(==++f f f f ，证明存在一个)3,0(∈ξ使得0)(='ξf例11、设)(x f 在[0,2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数且12112()lim 0,2()(2)cos x f x f x dx f x π→==⎰，证明存在)2,0(∈ξ使得0)(=''ξf题型四、 证明存在ξ, 使G f f (,(),())ξξξ'=0(1) 用罗尔定理1) 原函数法:例12、设)(),(x g x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且)),((0)(b a x x g ∈≠'，求证存在),(b a ∈ξ使得)()()()()()(ξξξξg f b g g f a f ''=--例13、（0134）设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且⎰>=-k x k dx x f xe k f 1011,)()1(证明：在(0,1)内至少存在一点ξ, 使 ).()1()(1ξξξf f --='例14、 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)>0,f(a)⋅+<f a b (),20 g(x)在[a,b]上连续，试证对∃∈'=ξξξξ(,),()()().a b f g f 使得.*例15、 设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内一阶可导，且⎰⎰==10100)(,0)(dx x xf dx x f . 试证：),1,0(∈∃ξ使得 )()1()(1ξξξf f -+='.2) 常微分方程法:例16、设)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且λ==)()(b f a f ，证明存在),(b a ∈ξ使得λξξ=+')()(f f例17、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0, f(1)=1, 证明：对任意实数λξ,)必存在（，∈01 , 使得'--=f f ()[()]ξλξξ1(2) 直接用拉格朗日或柯西中值定理例18、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，求证存在ξ∈(,)a b ，使得bf b af a b af f ()()()()--='+ξξξ例19、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，求证存在ξ∈(,)a b ，使得1)],()([)()(11≥'+=--n f nf b f a f a b a b n n n ξξξξ例20、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导)0(b a <<，求证存在ξ∈(,)a b ，使得 f b f a b af ()()ln ()-='ξξ例21、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导)0(b a <<，求证存在ξ∈(,)a b ，使得 f b f a b a a ab b f ()()()()--=++'2223ξξ题型5、 含有''f ()ξ(或更高阶导数)的介值问题例22、 设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1), 试证至少存在一个ξ∈(,)01, 使''='-f f ()()ξξξ21例23、（012，8分）设)(x f 在)0](,[>-a a a 上具有二阶连续导数，f(0)=0(1) 写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。

(2) 证明在],[a a -上至少存在一个η使得⎰-=''aa dx x f f a )(3)(3η例24、 设f(x)在[－1, 1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0, f(1)=1, f '(0)=0, 证明: 在(-1,1)内存在一点ξ，使得'''=f ().ξ3题型6、 双介值问题F (,,)ξηΛ=0例25、例1、设)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，b a <<0，求证存在),(,b a ∈ηξ使得)(2)()(b a f f +'='ηηξ例26、（051，12分）已知函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1)1(,0)0(==f f证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得ξξ-=1)(f（2）存在两个不同的点)1,0(,∈ςη使得1)()(=''ςηf f题型7、 综合题例27、（011，7分）设函数)(x f 在（-1,1）内具有二阶连续导数，且0)(≠''x f ，试证（1） 对于(-1,1)内的任意0≠x ,存在唯一的)1,0()(∈x θ使得 ()(0)(())f x f xf x x θ'=+成立（2）21)(lim 0=→x x θ例28、试证明若)(x f 在[a,b]上存在二阶导数，且0)()(='='b f a f ，则存在),(b a ∈ξ使得)()()(4)(2a f b f a b f --≥''ξ*例29、设e<a<b, 求证：在(a,b)内存在唯一的点ξ，使得ae a b e b e a b ----=ln ln 110ξξ。