5.3解析函数在无穷远点的性质

(3)f(z)在 z 的某去心邻域N-{∞}内有界.
定理5.4/ (对应于定理5.4)f(z)的孤立奇点z=∞为m级 极点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:
(1) f(z)在 z=∞的主要部分为
b1z b2 z 2 bm z m (bm 0);
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1
(z 1)( z 2)
g(z) (z 1)( z 2) z 2 1 1 1 2 z z
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补充例 2：求出下列函数的 奇点，并确定他们的类 型（对于极点，要指出它们的 级），对于无穷远点 也要加以讨论。
(1)
f
(z)

z6 z(z2
例4
问函数
1 sec
z 1
在z＝1的去心邻域内能否展开为洛朗级数.
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例5 设f(z)在0<|z-a|<R内解析，且不恒为零；又 若f(z)有一列异于a但却以a为聚点的零点。试证 a必为f(z)的本性奇点。
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定理5.6’(对应于定理5.6) f(z)的孤立奇点∞为本 性奇点的充要条件是下列任何一条成立: (1)f(z)在z=∞的主要部分有无穷多项正幂
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不等于零; (2) lim f (z) 广义不存在(即当z趋向于∞
z
时f(z)不趋向于任何(有限或无穷)极限).
例1 f (z)
5.3解析函数在无穷远点的性质
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定义5.4 设函数f(z)在无穷远点(去心)邻域 N-{∞}:+∞>|z|>r≥0
内解析,则称点∞为f(z)的一个孤立奇点.
如果点∞是f(z)的奇点的聚点，就是非孤立奇点.
设点∞为f(z)的孤立奇点,利用变换z/=1/z,
于是 (z') f ( 1 ) f (z)
z'
(5.12)
在去心邻域:
K {0}: 0 | z'| 1 (如r 0规定1 )内解析
r
r
z 0就为(z)之一孤立点.我们还看出:
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(1)对于扩充z平面上无穷远点的去心邻域 N-{∞},有扩充z/平面上的原点的去心邻域;
(2)在对应点z与z/上,函数 f (z) (z')
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(2)f(z)在z=∞的某去心邻域N-{∞}内能表成
f (z) zm (z),
其中(z) 在z=∞的邻域N内解析,且 ( 0);
(3)g(z)=1/f(z)以z=∞为m级零点(只要令g(z)=0).
定理5.5’(对应于定理5.5) f(z)的孤立奇点∞为
极点的充要条件是 lim f (z) . z
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令z/=1/z,根据(5.12),则有 (z') f ( 1 ) f (z)


z'
(z) cnzn f (z) bn z n (5.13)
n
n
其中 bn cn (n 0,1,).
(5.13)为f(z)在无穷远点去心邻域N-{∞}: 0≤r<|z|<+∞内的罗朗展式.对应 (z')在z’=0

的主要部分,我们称 bn z n 为f(z)在z=∞ n
的主要部分.
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定理5.3/ (对应于定理5.3)f(z)的孤立奇点z=∞为可去奇 点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:
(1)f(z)在 z 的主要部分为零;
(2) lim f (z) b( ); z
(3) lim f (z) lim(z'), 或两个极限都不存在.
z
z0
定义5.5 若z/=0为 (z') 的可去奇点(解析点),
m级极点或本性奇点,则我们相应地称z=∞为 f(z)的可去奇点(解析点),m级极点或本性奇点.
设在去心邻域K-{0}:0<|z’|<1/r内将 ( z ' ) 展成罗朗级数: (z') cn z'n n
1 1) 2
; (2)
f
(z)

z5 (1 z)2
(3) f (z) 1 1 ;(4) f (z) sin z z ;
z2 z3
z3
(5)
f
(z)

e
z
1
1
.
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例3 求出函数
f (z) tan(z 1) z 1
的全部奇点(含∞点),并判断其类型.