2.2二次函数的再认识
二次函数基础知识
二次函数基础知识二次函数是高中数学中的重要内容，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的定义、性质和常见的应用，并通过例题帮助读者理解和掌握二次函数的基础知识。
1. 二次函数的定义二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
其中，a 决定了二次函数的开口方向和形状，b 决定了二次函数的位置，c 决定了二次函数的平移。
2. 二次函数的图像二次函数的图像一般为抛物线，其开口方向由 a 的正负决定，当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
b 和 c 的值会使抛物线上下移动或左右平移。
3. 二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，可以通过求解 y =ax^2 + bx + c 的导数为零的 x 值来确定。
顶点有坐标 (h, k)，其中 h = -b/2a，k = f(h)。
根据 a 的正负，顶点是最小值点或最大值点。
4. 二次函数的对称性二次函数具有关于顶点对称的性质。
对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，其对称轴为直线 x = h，其中 h = -b/2a。
对于任意一点 (x, y) 在对称轴上，有 f(h + (x - h)) = f(h - (x - h)) = f(x)，即 (h + (x - h), y) 和 (h - (x - h), y)位于对称轴的两侧，且具有相同的函数值。
5. 二次函数的零点二次函数的零点是使函数等于零的 x 值，可以通过解一元二次方程ax^2 + bx + c = 0 求得。
一元二次方程的解可以是实数，也可以是复数。
当方程有两个不相等实数解时，抛物线与 x 轴有两个交点；当方程有两个相等实数解时，抛物线与x 轴有一个重合点；当方程无实数解时，抛物线与 x 轴没有交点。
6. 二次函数的应用二次函数在数学和实际问题中有广泛的应用。
在数学方面，二次函数是解析几何和微积分等领域的基础。
课件2：2.2.2 二次函数的性质与图象
（4） 函数f(x)在(－∞, －4]上是减函数， 在[－4, + ∞)上是增函数.
（5）函数f(x)在x=－4时，取得最小值－2， 记为ymin=－2. 它的图象顶点为(－4，－2)
对于任意一个特殊的二次函数y=ax2， 当x的绝对值无限地逐渐变小时，函数值的 绝对值也随着无限地变得越来越小，其图象 就从x轴的上方（或下方）无限地逼近x轴。
在同一坐标系中，对于函数y=ax2图像的 开口程度是怎样变化的？
当a的绝对值逐渐变大时，抛物线的开口逐渐 变小.
例1.研究函数 f (x) 1 x2 4x 6 的图像与性质.
第二章 函数 2.2 一次函数和二次函数 2.2.2 二次函数的性质与图像
函数y=ax2+bx+c (a≠0) 叫做二次函数，它 的定义域是R.
特别地，当b=c=0时，则二次函数变为 y=ax2(a≠0). 它的图象是顶点为原点的抛物 线，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 这个函数为偶函数，y轴为图象的对称轴。
A.-6
B.11
C.
1 4
1
D. 4
3、二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),又 f(x)在(0,2)上是增函数，且f(a) ≥f(0),
那么a的取值范围是（ ）
C
A.a ≥ 0
B.a≤0
C. 0≤ a ≤4
D.a ≤0或 a ≥4
4、函数y=ax2+bx+c(a<0)的最大值小于0，则b2-4ac是( B )
3
[－ 1 ,+∞)上是增函数。 3
二次函数的知识点总结
二次函数的知识点总结一、二次函数的定义二次函数是指一个形如 $y = ax^2 + bx + c$ 的函数，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，且 $a \neq 0$。
在这个表达式中，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量，$a$、$b$ 和 $c$ 是系数，其中 $a$ 称为二次项系数，$b$ 称为一次项系数，$c$ 称为常数项。
二、二次函数的性质1. 抛物线形状：二次函数的图像是一个向上或向下开口的抛物线。
2. 开口方向：当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
3. 对称轴：二次函数图像关于直线 $x = -\frac{b}{2a}$ 对称，这条直线称为抛物线的对称轴。
4. 顶点：抛物线的顶点坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$。
5. 与 X 轴的交点：二次函数与 X 轴的交点称为根，可以通过解方程$ax^2 + bx + c = 0$ 来找到。
三、二次函数的图像1. 顶点式：$y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是顶点坐标。
2. 交点式：$y = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是与 X 轴的交点坐标。
3. 标准式：$y = ax^2 + bx + c$。
四、求解二次方程1. 因式分解法：当能够找到两个数，它们的和等于 $b$，积等于$c$ 时，可以使用因式分解法。
2. 完全平方法：通过配方将二次方程转化为完全平方的形式。
3. 公式法：使用二次公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$ 来求解。
五、二次函数的应用1. 物理运动：描述物体在重力作用下的自由落体运动和抛体运动。
2. 优化问题：在商业和工程中，用于寻找最大利润或最小成本。
3. 数据拟合：在统计学中，用于拟合数据点，找到最佳曲线。
二次函数所有知识点
二次函数所有知识点二次函数是高中数学中的重要概念之一，它在数学和实际应用中具有广泛的应用。
本文将全面介绍二次函数的所有知识点，包括定义、性质、图像特征、方程求解和应用等方面。
1. 二次函数的定义与性质二次函数是指具有形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的定义域为所有实数集，因为平方项对于任何实数都有定义。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线，抛物线的开口方向取决于a的正负。
2. 二次函数的图像特征二次函数的图像特征包括顶点坐标、对称轴以及开口方向。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax² + bx + c，顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
对称轴为经过顶点的直线，方程为x = -b/2a。
开口方向取决于a的正负，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的方程求解解二次函数的方程常常涉及求根和因式分解两种方法。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax² + bx + c，求根可以使用求根公式x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)。
需要注意的是，判别式b²-4ac的值决定了方程的解的性质。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数解；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数解；当判别式小于0时，方程没有实数解。
此外，对于特殊形式的二次函数，如完全平方式、提公因式法等求根方法也很常见。
4. 二次函数的应用二次函数在实际应用中有着广泛的应用价值。
例如，抛物线的运动轨迹可以用二次函数来描述，如抛射物的运动、物体的自由落体等。
此外，二次函数还可以用于最优化问题，如求解二次函数的最值问题，例如求取抛物线上点的最大高度、最大飞行距离等问题。
二次函数还可以用于建模和预测，如财务分析中的收益和成本曲线、市场需求曲线的形成等。
初中数学知识归纳二次函数的概念和性质
初中数学知识归纳二次函数的概念和性质二次函数是初中数学中重要的数学概念之一。
它是指函数的表达式中存在一个二次项，且其图像为开口朝上或开口朝下的抛物线。
本文将逐步介绍二次函数的概念和性质，以帮助读者更好地理解和应用该知识。
1. 二次函数的定义二次函数的定义是f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
a 决定抛物线的开口方向，正值表示开口朝上，负值表示开口朝下。
常数b和c则分别决定了抛物线的位置和纵坐标的平移。
2. 二次函数的图像二次函数的图像为抛物线，其对称轴为直线x=-b/2a。
若a>0，抛物线开口朝上，最低点的纵坐标为-c+b^2/4a；若a<0，抛物线开口朝下，最高点的纵坐标为-c+b^2/4a。
3. 二次函数的零点零点是指函数取值为0的横坐标。
对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，可以通过求解方程ax^2+bx+c=0来确定其零点。
根据判别式Δ=b^2-4ac 的值，可以判断二次函数的零点个数和形式：(1) 当Δ>0时，二次函数有两个不同的实数根；(2) 当Δ=0时，二次函数有一个重根；(3) 当Δ<0时，二次函数无实数根，但可能存在虚数根。
4. 二次函数的顶点顶点是指二次函数抛物线的最高点或最低点。
对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，其顶点的横坐标为-xv=b/2a，纵坐标为-f(xv)=-Δ/4a。
顶点是抛物线的对称中心，对称轴经过顶点。
5. 二次函数的增减性和极值对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，当a>0时，函数在对称轴左侧呈减少趋势，在对称轴右侧呈增长趋势；当a<0时，则相反。
当抛物线开口朝上时，最低点为函数的最小值；当抛物线开口朝下时，最高点为函数的最大值。
6. 平移与二次函数对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，平移是指将抛物线沿横轴或纵轴方向移动。
平移的规律如下：(1) 向左平移：f(x+a)的图像沿x轴正方向移动a个单位；(2) 向右平移：f(x-a)的图像沿x轴负方向移动a个单位；(3) 向上平移：f(x)+a的图像沿y轴正方向移动a个单位；(4) 向下平移：f(x)-a的图像沿y轴负方向移动a个单位。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是一种基本的数学函数，也是高中数学中重要的一部分。
下面是关于二次函数的知识点总结。
一、函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素都映射到另一个集合的元素上。
函数有定义域、值域和对应关系，可以用图像、表格和公式的形式来表示。
二、二次函数的定义二次函数是一个具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线，可以是开口向上的“U”型或开口向下的“∩”型。
三、二次函数的图像特点1.对称性：二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。
2.初中线：二次函数的图像在抛物线的顶点上与对称轴相交，这个点称为抛物线的顶点。
3.开口方向：二次函数的图像开口方向由a的正负决定，当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下。
4.顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
5. 零点：二次函数的零点是使得f(x) = 0的x值，可以用求根公式(-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来求解。
四、二次函数的性质1.定义域和值域：二次函数的定义域为实数集，值域根据二次函数开口的方向来确定。
2.单调性：当a>0时，二次函数在定义域上是递增的；当a<0时，二次函数在定义域上是递减的。
3.最值：当a>0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。
4.轴对称性：二次函数是轴对称的，对称轴为x=-b/2a。
5.单调区间：当a>0时，二次函数在对称轴两侧是递增的；当a<0时，二次函数在对称轴两侧是递减的。
6.零点个数：二次函数的零点个数最多为2个。
五、二次函数的标准形式和一般形式1.标准形式：二次函数的标准形式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。
2. 一般形式：二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c。
2024九年级数学上册“第二十二章 二次函数”必背知识点
2024九年级数学上册“第二十二章二次函数”必背知识点一、二次函数的定义与表达式定义：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y = ax² + bx + c（a, b, c为常数，a ≠ 0）。
这样的函数称为二次函数，其中a决定函数的开口方向，b和a共同决定对称轴的位置，c决定抛物线与y轴的交点。
三种表达式：1. 一般式：y = ax² + bx + c （a, b, c为常数，a ≠ 0）。
2. 顶点式：y = a(x - h)² + k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标。
3. 交点式：y = a(x - x₁)(x - x₂)，仅限于与x轴有交点A(x₁, 0)和B(x₂, 0)的抛物线。
二、二次函数的图像与性质图像：二次函数的图像是一条抛物线。
开口方向与大小：由二次项系数a决定。
当a > 0时，开口向上；当a < 0时，开口向下。
|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。
对称轴：1. 一般式：对称轴为直线x = -b/2a。
2. 顶点式：对称轴为直线x = h。
3. 交点式：对称轴为直线x = (x₁ + x₂)/2。
顶点坐标：1. 顶点式直接给出为(h, k)。
2. 一般式可通过公式计算得到(-b/2a, (4ac - b²)/4a)。
最值：1. 当a > 0时，函数有最小值，最小值为(4ac - b²)/4a，此时x = -b/2a。
2. 当a < 0时，函数有最大值，最大值为(4ac - b²)/4a，此时x = -b/2a。
三、二次函数与一元二次方程当二次函数y = ax² + bx + c中y = 0时，即转化为一元二次方程ax² + bx + c = 0。
函数图像与x轴的交点即为该方程的根。
根据判别式Δ = b² - 4ac的值，可以判断抛物线与x轴的交点个数：1. Δ > 0时，抛物线与x轴有两个交点。
二次函数知识点总结(详细)
2.已知二次函数 的图象如图所示, 有以下结论: ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②B. ①③④C. ①②③⑤D. ①②③④⑤3.二次函数 的图象如图所示, 则下列关系式中错误的是（ ） A. a ＜0 B. c ＞0 C. ＞0 4、D. ＞0图12为二次函数 的图象, 给出下列说法:① ；②方程 的根为 ；③ ；④当 时, y 随x 值的增大而增大；⑤当 时, . 其中, 正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）5.已知=次函数y ＝ax +bx+c 的图象如图. 则下列5个代数式: ac, a+b+c, 4a －2b+c, 2a+b, 2a －b 中, 其值大于0的个数为（ ） A. 2B 3C 、4D 、5四、二次函数解析式的确定 例4.求二次函数解析式:（1）抛物线过（0, 2）, （1, 1）, （3, 5）；（2）顶点M （-1, 2）, 且过N （2, 1）；（3）已知抛物线过A （1, 0）和B （4, 0）两点, 交y 轴于C 点且BC ＝5, 求该二次函数的解析式。
（1） 练习: 根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 当x=3时, y 最小值=－1, 且图象过（0, 7）图象过点（0, －2）（1, 2）且对称轴为直线x=图象经过（0, 1）（1, 0）（3, 0）五、二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）11 1 Oxy已知抛物线y＝x2-2x-8,（1）求证: 该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B, 且它的顶点为P, 求△ABP的面积。
2、1.二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为如图所示, 二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C,则△ABC的面积为( )A.6B.4C.3D.13.若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方, 则m 的取值范围是六、直线与二次函数的问题例6 已知: 二次函数为y=x2－x+m, （1）写出它的图像的开口方向, 对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时, 顶点在x轴上方, （3）若抛物线与y轴交于A, 过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B, 当S△AOB=4时, 求此二次函数的解析式.1.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。
二次函数的再认识
二次函数的再认识二次函数2(,,0)y ax bx c a b c a =++≠为常数，且是初中数学的主要内容，也是高中数学学习的重要基础。
在初中阶段我们已经学习了二次函数的图像和有关性质。
本节我们将进一步深入学习二次函数的有关性质和应用。
二次函数的图像和性质；为了研究这一问题我们可以先画出2221222y x y x y x ===-⋅⋅⋅⋅⋅⋅、、几个特殊的图像，推导出22y ax y x ==与的图像之间的关系。
下面用列表法先画出222y x y x ==,的图像（如图①）.x⋅⋅⋅-3 -2 -1 0 1 2 3⋅⋅⋅2y x =⋅⋅⋅9 4 1 0 1 4 9⋅⋅⋅22y x =⋅⋅⋅18 8 2 02 8 18⋅⋅⋅从上表和图中发现函数22y x =的图像可以由函数2y x =的图像各点的从坐标变为原来的两倍得到。
问题；函数2()y a x h k =++与2y ax =的图像间又存在怎样的关系？同样的，我们可以利用几个特殊的函数图像的关系来研究它们之间的关系。
同学们可以做出函数22(1)1y x =++与22y x =的图像（如图②），从函数的图像我们不难发现，只要把函数22y x =的图像向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数22(1)1y x =++的图像。
这两个函数图像之间具有“形状相同，位置不同”的特点。
类似地，还可以通过画函数图像223,3(1)1y x y x =-=--+的图像，研究它们图像之间的相互关系。
通过上面的研究，可以得出以下结论：1.二次函数2y ax =(0)a ≠的图像可以由2y x =的图像各点的纵坐标变为原来的a 倍得到。
在二次函数2y ax =(0)a ≠中，二次项系数a 决定了图像的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小。
2.二次函数2()y a x h k =++(0)a ≠中，a 决定了二次函数图像的开口大小及方向；h 决定了二次函数图像的左右平移，而“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图像的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是数学中一种重要的函数形式，具有较广泛的应用。
本文将详细介绍二次函数的定义、性质、图像与变换、解析式、根与判别式、与其他函数的关系以及应用等知识点。
一、定义与性质：二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
二次函数的定义域为全体实数集R，值域根据a的正负值有所不同。
二次函数的图像为抛物线，开口向上或向下。
性质1：二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的导数为f'(x) = 2ax + b。
性质2：当二次函数的对称轴为x=h时，最高/最低点的横坐标为x=h，纵坐标为f(h)。
性质3：如果a>0，则抛物线开口向上，最低点为最小值；如果a<0，则抛物线开口向下，最高点为最大值。
二、图像与变换：二次函数的图像为一条抛物线，关键要素有顶点、对称轴、开口方向以及最高/最低点等。
1.顶点：二次函数的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中-b/2a为对称轴的横坐标，f(-b/2a)为对称轴上的纵坐标。
2.对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的一条线，其方程为x=-b/2a。
3.开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
若a>0，开口向上；若a<0，开口向下。
4.最高/最低点：顶点即为最高或最低点，纵坐标为二次函数的最值。
变换1：平移变换二次函数f(x) = ax^2 + bx + c关于横轴上下平移h个单位的函数为f(x) = a(x-h)^2 + bx + c。
变换2：垂直伸缩与翻转二次函数f(x) = ax^2 + bx + c关于纵轴上下压缩k倍且翻转ξ度的函数为f(x) = a(k(x-ξ))^2 + bx + c。
三、解析式：二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
根据实际问题的要求，可以确定二次函数的具体形式。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是高中数学中重要的一章知识点，它是一种以二次方程为模型的函数。
在学习二次函数时，我们需要了解二次函数的定义、性质、图像以及与实际问题的应用等方面的知识。
本文将对二次函数的相关知识点进行总结，帮助读者更好地理解和掌握二次函数。
一、二次函数的定义及一般式二次函数是指具有形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
其中，a决定了二次函数的开口方向（正负号决定开口的方向），b决定了二次函数的对称轴，c则表示二次函数的纵坐标的平移。
二、二次函数的图像二次函数的图像通常是抛物线形状的。
开口向上的抛物线表示a>0，则最低点为顶点；开口向下的抛物线表示a<0，则最高点为顶点。
顶点的坐标可通过求解二次函数的顶点公式得到：x=-b/2a，y=f(-b/2a)。
对于一般式的二次函数，纵坐标平移c对于顶点的影响为纵坐标上下平移。
三、二次函数的性质1. 定义域和值域：定义域是函数可以取到的所有实数，对于二次函数来说，定义域是整个实数集；而值域则取决于a的正负号，开口向上的二次函数值域的下界为顶点的纵坐标，开口向下的二次函数值域的上界为顶点的纵坐标。
2. 对称性：二次函数关于对称轴对称，其中对称轴的方程为x=-b/2a。
对称性使得我们可以通过研究对称轴两侧的取值来推导出整个函数的形态。
3. 零点与判别式：一般二次函数的零点是指使得f(x)=0的x值，可以通过求解二次方程ax²+bx+c=0的根公式求得。
判别式可以通过b²-4ac的计算获得，判别式的正负可以判断二次函数的零点个数与开口方向。
4. 单调性：当a>0时，二次函数在对称轴两侧单调递增，而当a<0时，二次函数在对称轴两侧单调递减。
5. 极值点：二次函数的最小值或最大值即为极值点，对于开口向上的二次函数，极小值为顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，极大值为顶点的纵坐标。
初三数学二次函数知识点总结分析
二次函数知识点总结一、二次函数概念：21 .二次函数的概念：一般地，形如y ax bx c （a, b, c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。
强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0,而b, c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.22 .二次函数y ax bx c的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.⑵a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质:a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
22. y ax c的性质:上加下减。
23. y a x h的性质:左加右减。
4. y a x h 2 …… 一a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质a 0向上h, kX=hx h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随 x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值k .a 0问卜 h, k X=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随 x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值k .三、二次函数图象的平移1 .平移步骤：2万法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ,确定其顶点坐标 h, k ; ⑵保持抛物线y ax 2的形状不变，将其顶点平移到h, k 处，具体平移方法如下：2 .平移规律在原有函数的基础上 ’h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移概括成八个字“左加右减，上加下减”.方法二：⑴y ax 2 bx c 沿y 轴平移：向上（下）平移 m 个单位，y ax 2 bx c 变成yax 2 bxc m （或 yax 2 bx c m ）⑵y ax 2 bx c 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位，y ax 2 bx c 变成ya （x m ）2b （x m ） c（或 y a （x m ）2b （x m ）c ）24ac b ------ ,其中h 4a者，即y a x —2a24ac b 4ay=ax 2向右（h>0）【或左（h<0）】y=a(x-h)2从解析式上看,四、 二次函数ax 2 bx c 的比较ax 2 bxc 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前 向上(k>0) 向上（k>0）【或下（k<0）向右（h>0）【或左（h<0）】 平移|k|个单位【或下（k<0）】平移|k|个单位~~片y =a （x-h ）+k向右（h>0）［或左（h<0）】 平移|k|个单位向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|个单位 ----------A y=ax 2+k五、二次函数y ax 2 bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax 2 bx c 化为顶点式y a （x h ）2 k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴 的交点0, c 、以及0, c 关于对称轴对称的点 2h, c 、与x 轴的交点x i, 0 , x 2, 0 （若与x 轴 没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）^画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数y ax 2 bx c 的性质2x 的增大而增大；当x 旦时，y 随x 的增大而减小；当x上■时，y 有最大值4ac b2a 2a 4a七、二次函数解析式的表示方法1 . 一般式：y ax2 bx c （a, b, c 为常数，a 0）； 2 .顶点式：y a （x h ）2 k （a, h , k 为常数，a 0）；3 .交点式：y a （x xj （x x 2） （a 0 , ', x 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与x 轴有交点，即b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三 种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1 .二次项系数a二次函数y ax 2 bx c 中，a 作为二次项系数，显然 a 0 . ⑴ 当a 0时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当a 0时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大.总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向，|a 的大小决定开口的大小.2 . 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴. ⑴在a 0的前提下，当b 0时， — 0,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；2a 当b 0时，-b- 0,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2a 当b 0时，_b_ 0,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧.2a1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为 xb一,顶点坐标为 2a b 4ac b 2—, ------2a 4a当x 2时，y 随x 的增大而减小；当x2a2值 4ac b .4a 2.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为x-b ■时，y 随x 的增大而增大；当x 上 时，y 有最小 2a2a—,顶点坐标为 2a2b 4ac b 2a 4a当x ~b ■时，y 随2a⑵ 在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0时，_b_ 0,即抛物线的对称轴在y轴右侧；2a当b 0时，_b_ 0,即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b 0时，_b_ 0,即抛物线对称轴在y轴的左侧.2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.bab的符号的判定：对称轴x ——在y轴左边则ab 0,在y轴的右侧则ab 0 ,概括的说就是2a“左同右异”总结：3 .常数项c⑴ 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;⑶ 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之，只要a, b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1 .已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2 .已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3 .已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4 .已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1 .关于x轴对称2 2 _y ax bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y ax bx c ；2y a x h k关于x轴对称后，得到的解析式是2 .关于y轴对称2 2 .y ax bx c关于y轴对称后，得到的解析式是y ax bx c ；4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180。
对高中阶段二次函数的再认识
数 的概念 的认 识 ． 次 函数 是 从 一 个 集 合 Ａ（ 义 一 定 域 ） 集合 日（ 域 ） 的映 射 厂Ａ ＋ 使 得 集 合 Ｂ 到 值 上 ：． ， 中 的元素 Ｙ＝ ＋ （ ≠Ｏ 与集 合 Ａ的元 素 对应 ， ６ａ ）
记为厂 （ ）＝ａ ６ ａ ） ｘ＋ （ ≠Ｏ 这里 ａ ｂ表 示对 应 法 则 ， ｘ＋ 又表 示定 义域 中 的元 素 在 值 域 中 的象 ， 而 使 学 从
因此对 二次 函数 的学 习要再 深入 ．
单调性， 需用定 义 进行严格的沧证， 使它的成立建立在严密 的理论基础 Ｅ与此同时 ， ， 进—步充分乖用函数图象的直观 【 Ｊ
性， 蜘 给学． 以适当的练习， 倭 ： 自笕浏猁 用图象学 逐步 习二次 函数有关的—些函数 调性
题 型 ３ 画 出下 列 函 数 的 图象 ， 通 过 图象 研 并 究其 单 调性．
（ ） － ＋ １ Ｙ－ ＇ Ｘ ２ ｘ一１ 一１ Ｉ ｌ ； （） ２ ｙ＝Ｉ 一１ ； Ｉ （ ） ＋ ＩＩ ． ３ ｙ＝ ２ ｘ 一１
１ 函 数 概 念 的再 认 识
初 中阶段 函数 的定 义 与高 中 阶段 函数 的定 义 有
所不同 ， 进人高 中后 ， 函数是在集 合 的基 础上定 义
以再 给学 生补 充一 些练 习．
３ 二次 函数知 识 可 以准 确 反 映学 生 的数 学
思 维
题型 ５ 设二次函数 ） 僦 ｂ ＋ （ ＞ ） ＝ ＋ ｘ ｃ口 Ｏ 方
程厂 ）一 ０的两个根 ， 满足 Ｏ＜ ， ＜１ 求 ： （ ＝ ＜
．
般 有 两种 方 法 ： 种 是 把 所 给 表 达 式 表 示 成 一
题型 １ 已知 厂 ）＝ ｘ ＋ ， （ ２ ＋ ２ 求 分 析 ： 里 不能把 这 ＋１ ． ） ＋１ 理 解 为 等 ＋１时 的 ）
二次函数的知识点归纳
二次函数的知识点归纳二次函数是高中数学中的一个重要的内容，大致包括以下几个方面的知识点：一、二次函数的定义及性质：1.二次函数的定义：二次函数是指一个自变量的平方是唯一的函数表达式。
2. 二次函数的普通形式：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
3.二次函数的图象特点：二次函数的图象为开口向上或向下的抛物线，其顶点是最低点或最高点，对称轴为x=-b/2a。
4.二次函数的对称性：二次函数关于对称轴对称。
5.二次函数的奇偶性：若a=0，则二次函数为一次函数，是奇函数；若a≠0，则二次函数既有奇偶函数性质，对于a>0是偶函数，对于a<0是奇函数。
二、二次函数的图象及相关概念：1.抛物线的几何性质：对称性、顶点、准线、焦点等。
2.顶点坐标的求法：通过对称轴的坐标可以求得顶点的坐标。
3.准线与焦点：对于横轴为x轴的抛物线，准线为y=c-b^2/(4a)，焦点为(a,c-1/(4a))；对于纵轴为y轴的抛物线，准线为x=c-b^2/(4a)，焦点为(c-1/(4a),a)。
4. 与坐标轴的交点：抛物线与$x=0$相交的点为$a$；与$y=0$相交的点为$x_1、x_2$，可以通过求根公式(-b±√(b^2-4ac))/2a求得。
三、二次函数的性质与求值：1.单调性：对于抛物线开口向上，那么在对称轴左侧，函数递减；在对称轴右侧，函数递增。
2.极值与最值：对于抛物线开口向上，函数的最小值为顶点的纵坐标；对于抛物线开口向下，函数的最大值为顶点的纵坐标。
3.零点：二次函数与$x$轴的交点为零点或根，可以通过求根公式得到。
4.方程的解：二次函数与$y$轴的交点称为方程的解，可以通过将函数的等于0进行求解得到。
四、二次函数的拟合与应用：1.拟合抛物线：根据已知的点坐标，可以通过构造方程组来确定二次函数，从而拟合出抛物线。
2.抛物线在生活中的应用：抛物线的形状在现实生活中有很多应用，如建筑设计中的拱门、喷泉的喷水形状等。
二次函数的知识点总结
二次函数的知识点总结各位同学们，大家好哦，小编为大家带来了二次函数的知识点总结哦，一起看看吧！二次函数的知识点总结I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x)(x-x)[仅限于与x轴有交点A（x，0）和B（x，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x,x=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是高中数学中的一个重要内容，其知识点涉及函数的定义、性质、图象、解析式、应用等。
下面是对二次函数知识点的总结。
一、函数的定义和基本性质：二次函数是形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c 为实数，a称为二次函数的系数。
①定义域：二次函数的定义域是任意实数集R。
②值域：对于二次函数y=ax^2+bx+c，当a>0时，函数的值域是[0,+∞)，当a<0时，函数的值域是(-∞，0]，当a=0时，函数的值域是{c}。
③对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的直线x=-b/2a。
④顶点：二次函数的顶点是对称轴上的点(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c。
⑤开口方向：当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
二、图象和性质：①图象特点：二次函数在平面直角坐标系内的图象是一个抛物线。
②定点：二次函数开口向上时，顶点是最小点；二次函数开口向下时，顶点是最大点。
③与坐标轴的交点：二次函数与x轴的交点叫做零点，是方程ax^2+bx+c=0的解；与y轴的交点是函数的常数项c。
④单调性：二次函数的单调性受其系数a的符号影响。
当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。
⑤零点与解析式：对于二次函数y=ax^2+bx+c，其零点可以通过求解方程ax^2+bx+c=0得到，其中的判别式Δ=b^2-4ac可以判断二次方程的解的情况。
三、解析式和变形：①标准形式：二次函数的标准形式是y=ax^2+bx+c。
②顶点式：二次函数的顶点式是y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。
③因式分解式：当二次函数可因式分解时，可以表示成y=a(x-p)(x-q)的形式。
四、一些常见问题和解法：①如何确定二次函数的开口方向和顶点：若a>0，则开口向上，顶点为抛物线的最小值；若a<0，则开口向下，顶点为抛物线的最大值。
2.2二次函数的图像与性质2
１.顶点坐标与对称轴 ２.图像位置与开口方向 ３.增减性与最值
二次函数y=2x2+1的图象是什么形状?它与二次函数y=2x2的图象有 什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=2x2+1的 图象形状与y=2x2 一样,仍是抛物线.
顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1).
最值 当x=0时,最小值为c. 当x=0时,最大值为c.
例3、如图，函数y ax2与y ax a在同一坐标系中的图像大致是
二次函数y=ax²+c与y=ax²的关系
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
y=ax²+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象沿y轴整体平 移|c|个单位得到的. (c>0时向上平移;c<0时,向下平移).
y=2x2+1 y=2x2
位置不同; 最小值不同: 分别是1和0.
二次项系数均为2,开口向上; 开口大小相同;对称轴都是
y轴;增减性与也相同.
在同一坐标系中作二次 函数y=-2x2+1和y=-2x2 的图象,会是什么样?
二次函数y=-2x2+1的图象是什么形状?它与二次函数y=-2x2的图象 有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
y=ax2 +c(a<0)
顶点坐标
（0，c）
（0，c）
对称轴
y轴
y轴
图像位置
当c>0时,在x轴的上方 当c<0时,与x轴相交.
当c<0时,在x轴的下方 当c>0时,与x轴相交
开口方向
向上
向下
x<0时,y随着x的增大而减小. x<0时,y随着x的增大而增大.
二次函数的性质知识点总结
二次函数的性质知识点总结二次函数在数学中是一个非常重要的概念，它在解决实际问题和数学理论研究中都有着广泛的应用。
下面就来详细总结一下二次函数的性质知识点。
一、二次函数的定义一般地，形如\（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）（＼（a\）、＼（b\）、＼（c\）是常数，＼（a ≠ 0\））的函数，叫做二次函数。
其中\（x\）是自变量，＼（a\）叫做二次项系数，＼（b\）叫做一次项系数，＼（c\）叫做常数项。
需要注意的是，当\（a ＝ 0\）时，函数就不再是二次函数，而是一次函数了。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。
1、抛物线的开口方向由二次项系数\（a\）的正负决定。
当\（a ＞ 0\）时，抛物线开口向上；当\（a ＜ 0\）时，抛物线开口向下。
2、抛物线的对称轴对称轴的方程为\（x ＝＼frac{b}｛2a}＼）。
3、抛物线的顶点坐标顶点坐标为\（（＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}）＼）。
4、抛物线与\（x\）轴的交点通过求解方程\（ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0\）的根，可以得到抛物线与\（x\）轴的交点。
当\（＼Delta ＝ b^2 4ac ＞ 0\）时，抛物线与\（x\）轴有两个不同的交点；当\（＼Delta ＝ b^2 4ac ＝ 0\）时，抛物线与\（x\）轴有一个交点（即相切）；当\（＼Delta ＝ b^2 4ac ＜ 0\）时，抛物线与\（x\）轴没有交点。
三、二次函数的最值1、当\（a ＞ 0\）时，抛物线开口向上，函数有最小值。
最小值为\（y ＝＼frac{4ac b^2}｛4a}＼），在\（x ＝＼frac{b}｛2a}＼）处取得。
2、当\（a ＜ 0\）时，抛物线开口向下，函数有最大值。
最大值为\（y ＝＼frac{4ac b^2}｛4a}＼），在\（x ＝＼frac{b}｛2a}＼）处取得。
四、二次函数的平移对于二次函数\（y ＝ a(x h)＾2 ＋ k\）的图像，向左平移\（m\）个单位，得到\（y ＝ a(x h ＋ m)＾2 ＋ k\）；向右平移\（m\）个单位，得到\（y ＝ a(x h m)＾2 ＋ k\）；向上平移\（n\）个单位，得到\（y ＝ a(x h)＾2 ＋ k ＋ n\）；向下平移\（n\）个单位，得到\（y ＝ a(x h)＾2 ＋ k n\）。
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教 案 201 年
课
题
2.2二次函数的再认识
上课时间 第 周星期 第 节 课
时
教学目的 1.了解二次函数系数与图像之间的联系，能准确的画出二次函数的图像.
2.通过二次函数的图像，掌握二次函数的性质.
教学重点 二次函数的图像和性质 教学难点 二次函数的图像和性质 教具准备 教学方法
课型
课时分配
导入新课 讲授新课 课堂小结 课堂练习 合
计
分钟
教 学 过 程
问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？
问题2 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．
1.二次函数的图像
（1）2x y = 纵a ⨯，横不变 2ax y =
（2）2ax y = 左（右）平移h 个单位（左加右减） )0()(2>±=h h x a y （3）2)(h x a y ±= 上（下）平移k 个单位 )0)(2>±±=k k h x a y （
例1 怎么由2x y =的图像变成1422++=x x y 的图像？
练习：把二次函数c bx x y ++=2的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数2x y =的图像，求c b ,的值．
2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的性质：
0>a 0<a 图
像
对称
轴 2b x a =-
2b x a =-
顶点坐标 2
4(,)24b ac b a a --
24(,)24b ac b a a
-- 最值 当2b x a =-时，有最小值y ＝244ac b a -
当2b x a =-时，有最大值y ＝2
44ac b a
-
例2 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
例3 已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．
3.二次函数的三种表示方式
（1）．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
（2）．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．
（3）．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．
例4 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．
练习已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
作业布置：
课后小结：。