南通、扬州、泰州2017届高三第三次调研考试数学
【江苏省南通市、扬州市、泰州市】2017年高考三模数学试卷-答案
江苏省南通市、扬州市、泰州市2017年高考三模数学试卷答 案1．12-2．2|}0{x x ＜＜3．564．3 5．75006．110789．10．111．812．[46]-,13．214．3(,2)2- 15．解：（1）由条件，周期2πT =，即2π2πω=，所以1ω=，即πsin 3f x A x =+()()．因为f x ()的图象经过点π()32，所以2πsin 32A =． ∴1A =， ∴πsin 3f x x =+()()．（2）由12f παα+=()(-)，得πππsin 1323αα++=()(-)，即ππsin 133αα++=()()，可得：ππ2sin 133[]α=(+)-，即1sin 2α=． 因为0πα∈(,)，解得：π6α=或5π6． 16．证明：（1）因为M 、N 分别为PD 、PC 的中点， 所以//MN DC ，又因为底面ABCD 是矩形，所以//AB DC ．所以//MN AB ，又AB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB ．（2）因为AP AD =，P 为PD 的中点，所以AM PD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，又平面PAD 平面ABCD =AD ，CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，又AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥．因为CD 、PD ⊂平面PCD ，CDPD D =，∴AM ⊥平面PCD ．17．解：（1）由题意，10F (-,)，由焦点210F (,)，且经过31,2P ()， 由22PF PF a +=，即24a =，则2a =，2223b a c ==-， ∴椭圆的标准方程22143x y +=； （2）设直线AB 的方程为1y k x =+()．①若0k =时，24AB a ==，1FD FO +=， ∴4ABDF =．②若0k ≠时，11Ax y (,)，22B x y (,)，AB 的中点为00M x y (,)， 22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：22224384120k x k x k +++=()-， ∴2122834k x x k +=-+，则202434k x k =-+，则0023134k y k x k =+=+()． 则AB 的垂直平分线方程为2223143434k k y x k k k =+++--()， 由DA DB =，则点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点， ∴22034k D k +(-,)，∴22223313434k k DF k k +=-+=++， 由椭圆的左准线的方程为4x =-，离心率为12，由1142AF x =+，得11(4)2AF x =+， 同理21(4)2BF x =+， ∴212211212()4234k AB AF BF x x k +=+=++=+， ∴4ABDF = 则综上，得ABDF 的值为4．18．解：（1）设DQ 与半圆相切于点Q ，则由四边形CDEF 是等腰梯形知，OQ DE ⊥，以CF 所在直线为x 轴，OQ 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ．设EF 与圆切于G 点，连接OG ，过点E 作EH OF ⊥，垂足为H ．∵EH OG =，OFG EFH ∠=∠，GOF HEF ∠=∠，∴Rt EHF Rt OGF △≌△，∴12HF FG EF t ==-． ∴222111()2EF HF EF t =+=+-， 解得1024t EF t t=+(＜＜)． （2）设修建该参观线路的费用为y 万元． ①当103t <≤，由1325[2()]5()42t y t t t t =++=+．2325(02)y t '=-＜，可得y 在1(0,]3上单调递减， ∴13t =时，y 取得最小值为32.5． ②当123t <<时，2111632(8)[2()]1242t y t t t t t t=-++=+--． 22331624(1)(331)'12t t t y t t t -+-=-+=． ∵123t <<，∴23310t t +-＞． ∴1(,1)3t ∈时，0y '＜，函数y 此时单调递减；12t ∈(,)时，0y '＞，函数y 此时单调递增． ∴1t =时，函数y 取得最小值24.5．由 ①②知，1t =时，函数y 取得最小值为24.5．答：（1）1024t EF t t =+(＜＜)（百米）．（2）修建该参观线路的最低费用为24.5万元．19．解：（1）∵122331a b a b a b +=+=+，∴21111112a b q a d b q a d b +=++=++，化为：2210q q =--，1q ≠±． 解得12q =-． （2）m p p r r m a b a b a b +=+=+，即p m p r a a b b =--，∴p m r m m p m d b q q =--(-)(-)，同理可得：1r m m r p d b q =-(-)(-)．∵m ，p ，r 成等差数列，∴12p m r p r m ==--(-)，记p m q t =-，则2210t t =--， ∵1q ≠±，1t ≠±，解得12t =．即12p m q =-，∴10q -＜＜， 记p m α=-，α为奇函数，由公差大于1，∴3α≥． ∴11311()()22a q =≥，即131()2q ≤-， 当3α=时，q 取得最大值为131()2-． （3）满足题意的数组为23E m m m =++(,,)，此时通项公式为：1133()(1)288m n n a m -=---，*m N ∈． 例如134E =(,,)，31188n a n =-． 20．（1）证明：12a =时，21cos 2f x x x =+()， 故sin f x x x '=（）-，即sin g x x x =()-，1cos 0g x x '=≥()-， 故g x ()在R 递增；（2）解：∵2sin g x f x ax x ='=()()-，∴2cos g x a x '=()-， ①12a ≥时，1cos 0g x x '≥≥()-，函数f x '()在R 递增， 若0x ＞，则00f x f '=()＞()， 若0x ＜，则00f x f ''=()＜()，故函数f x ()在0+∞(,)递增，在0∞(-,)递减， 故f x ()在0x =处取极小值，符合题意； ②12a ≤-时，1cos 0g x x '≤≤()--，f x '()在R 递减， 若0x ＞，则00f x f ''=()＜()， 若0x ＜，则00f x f '=()＞()， 故f x ()在0+∞(,)递减，在0∞(-,)递增， 故f x ()在0x =处取极大值，不合题意； ③1122a -＜＜时，存在00x π∈(,)，使得0cos 2x a =，即00g x '=()， 但当00x x ∈(,)时，cos 2x a ＞，即0g x '()＜，f x '()在00x (,)递减， 故00f x f ''=()＜()，即f x ()在00x (,)递减，不合题意， 综上，a 的范围是1[2+∞,)； （3）解：记2cos ln 0h x ax x x x x =+-()(＞)，①0a ＞时，ln x x ＜，则1122ln x x <，即ln x <，当2x >时，112sin 1ln 2222022h x ax x x ax a a+'==()---＞--﹣﹣)＞，故存在21(2m a+=，函数h x ()在m +∞(,)递增； ②0a ≤时，1x ＞时，2sin 1ln sin 1ln 0h x ax x x x x '=()---＜---＜， 故存在1m =，函数h x ()在m +∞(,)递减；综上，函数ln y f x x x =()-在0+∞(,)上广义单调．21．解：连结PA 、PB 、CD 、BC ，因为PAB PCB ∠=∠，又点P 为弧AB 的中点，所以PAB PBA ∠=∠，所以PCB PBA ∠=∠，又DCB DPB ∠=∠，所以PFE PBA DPB PCB DCB PCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所E 、F 、D 、C 四点共圆．所以PE PC PF PD =．22．解：由题意，111115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1115a b -=-⎧⎨--=-⎩，解得2a =，4b =，所以矩阵1214M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． 所以矩阵M 的特征多项式为2125614f λλλλλ--==+-()-，令0f λ=()，得矩阵M 的特征值为2和3． 23．解：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 的极坐标方程为：cos a ρθ=，又因为点)4π在圆C 上，所以cos 4a π=，解得6a =， 所以圆C 的极坐标方程为：6cos ρθ=．24．证明：∵a ，b ，c ，d 是正实数，且1abcd =，∴54a b c d a +++≥=，同理可得：54a b c d b +++≥=，54a b c d c +++≥=，54a b c d d +++≥=，将上面四式相加得：555533334444a b c d a b c d a b c d +++++++≥+++，∴5555a b c d a b c d +++≥+++．25．解：（1）以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则000D (,,)，220B (,,)，010C (,,)，002S (,,) ∴(2,2,2)SB =-，(0,1,2)SC =-，(0,0,2)DS =设面SBC 的法向量为(,,)m x y z =由222020m SB x y z m SC y z ⎧=+-=⎪⎨=-=⎪⎩可取(1,2,1)m =-∵SD ⊥面ABC ，∴取面ABC 的法向量为(0,0,1)n = 6cos ,m n =∵二面角S BC A --为锐角．二面角S BC A --（2）由（1）知101E (,,)，则(2,1,0)CB =，(1,1,1)CE =-， 设CP CB λ=，01λ≤≤()．则(2,,0)CP λλ=，(12,1,1)PE CE CP λλ=-=---易知CD ⊥面SAD ，∴面SAD 的法向量可取(0,1,0)CD =cos ,13PE CD ==， 解得13λ=或119λ=（舍去）． 此时21(,,0)33CP =，∴5CP =∴线段CP26．解：（1）102()bc ad f x f x ax b -='=+()()， 2132[]2()()()bc ad ax b a bc ad f x f x ax b -+--='='=+()()； （2）猜想111(1)()!()n n n n a bc ad n f x ax b --+-++-++()=，*n N ∈， 证明：①当1n =时，由（1）知结论正确；②假设当n k =，*k N ∈时，结论正确， 即有111(1)()!()k k k k a bc ad k f x ax b --+-+-+=+() 11112(1)()1?1])[(k k k k k k a bc ad k a bc ad k ax b ax b -++-++-+=+++'=+---()(-)(-)()() 所以当10n k =+时结论成立，由①②得，对一切*n ∈N 结论正确．江苏省南通市、扬州市、泰州市2017年高考三模数学试卷解析1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵a+bi=（4+3i）i=﹣3+4i．∴a=﹣3，b=4．∴ab=﹣12．故答案为：﹣12．2．【考点】1F：补集及其运算．【分析】根据补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合U={x|x＞0}，A={x|x≥2}，则∁U A={x|0＜x＜2}．故答案为：{x|0＜x＜2}．3．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n==6，甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是甲、乙2首歌曲都没有被播放，由此能求出甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率．【解答】解：∵随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，∴基本事件总数n==6，甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是甲、乙2首歌曲都没有被播放，∴甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率：p=1﹣=．故答案为：．4．【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=1S=2，不满足条件S＞10，k=2，S=6不满足条件S＞10，k=3，S=15满足条件S＞10，退出循环，输出k的值为3．故答案为：3．5．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生3000人，即可求出该校学生总人数．【解答】解：由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是=7500．故答案为：7500．6．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列通项公式求出首项a1=2，由此利用等差数列前n项和公式能求出S10．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若公差d=2，a5=10，∴a5=a1+4×2=10，解得a1=2，∴S10=10×2+=110．故答案为：110．7．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．【解答】解：因为锐角△ABC的面积为3，且AB=3，AC=4，所以×3×4×sinA=3，所以sinA=，所以A=60°，所以cosA=，所以BC===．故答案为：．8．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，将其代入双曲线的方程可得a2的值，即可得双曲线的方程，计算可得c的值，由双曲线离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y2=8x，其焦点为（2，0），若双曲线﹣y2=1（a＞0）经过点（2，0），则有﹣0=1，解可得a2=4，即双曲线的方程为：﹣y2=1，则a=2，c==，则双曲线的离心率e==；故答案为：．9．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解得到圆锥的底面半径，然后利用勾股定理确定圆锥的高即可．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=，r=1；圆锥的高为： =2．故答案为：2．10．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设出切点坐标P（x0，e x0+x0），再利用导数的几何意义写出过P的切线方程，最后由直线是y=2x+b 是曲线y=e x+x的一条切线，求出实数b的值．【解答】解：∵y=e x+x，∴y′=e x+1，设切点为P（x0，e x0+x0），则过P的切线方程为y﹣e x0﹣x0=（e x0+1）（x﹣x0），整理，得y=（e x0+1）x﹣e x0•x0+e x0，∵直线是y=2x+b是曲线y=e x+x的一条切线，∴e x0+1=2，e x0=1，x0=0，∴b=1．故答案为1．11．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，将变形可得则=+=+﹣1=（x+y）（+）﹣1=（1+4++）﹣1=（+）+4，由基本不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，x，y满足x+y=1，则=+=+﹣1=（x+y）（+）﹣1=（1+4++）﹣1=（+）+4≥2+4=8，即的最小值是8；故答案为：8．12．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】依题意，设=λ（0≤λ≤），=μ（﹣1≤μ≤0），由=+， =+，可求得=（+）•（+）=λ+μ=9λ+4μ；再由0≤λ≤，﹣1≤μ≤0，即可求得﹣4≤9λ+4μ≤6，从而可得答案．【解答】解：∵AB∥DC，∠ABC=90°，AB=3，BC=DC=2，且E，F分别是线段DC和BC上的动点，∴=λ（0≤λ≤），=μ（﹣1≤μ≤0），又=+， =+，∴=（+）•（+）=（+）•（λ+μ）=λ+μ=9λ+4μ．∵0≤λ≤，∴0≤9λ≤6①，又﹣1≤μ≤0，∴﹣4≤4μ≤0②，①+②得：﹣4≤9λ+4μ≤6．即的取值范围是[﹣4，6]，故答案为：[﹣4，6]．13．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】设出=t，化简可得圆的方程，运用两圆相减得交线，考虑圆心到直线的距离不大于半径，即可得出结论．【解答】解：设P（x，y），=t，则（1﹣t2）x2+（1﹣t2）y2﹣2x+（2﹣4t2）y+2﹣4t2=0，圆x2+y2=2两边乘以（1﹣t2），两圆方程相减可得x﹣（1﹣2t2）y+2﹣3t2=0，（0，0）到直线的距离d=，∵t＞0，∴0＜t≤2，∴的最大值是2，故答案为2．14．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求出g（x）的解析式，计算g（x）的零点，讨论g（x）在区间[a，+∞）上的零点个数，得出g（x）在（﹣∞，a）上的零点个数，列出不等式解出a的范围．【解答】解：g（x）=，显然，当a=2时，g（x）有无穷多个零点，不符合题意；当x≥a时，令g（x）x=0得x=0，当x＜a时，令g（x）=0得x=0或x2=，（1）若a＞0且a≠2，则g（x）在[a，+∞）上无零点，在（﹣∞，a）上存在零点x=0和x=﹣，∴≥a，解得0＜a＜2，（2）若a=0，则g（x）在[0，+∞）上存在零点x=0，在（﹣∞，0）上存在零点x=﹣，符合题意；（3）若a＜0，则g（x）在[a，+∞）上存在零点x=0，∴g（x）在（﹣∞，a）上只有1个零点，∵0∉（﹣∞，a），∴g（x）在（﹣∞，a）上的零点为x=﹣，∴﹣＜a，解得﹣＜a＜0．综上，a的取值范围是（﹣，2）．故答案为（﹣，2）．15．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）由条件可求周期，利用周期公式可求ω=1，由f（x）的图象经过点（，），可求Asin =．解得A=1，即可得解函数解析式．（2）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得sin．结合范围α∈（0，π），即可得解α的值．16．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出MN∥DC，AB∥DC．从而MN∥AB，由此能证明MN∥平面PAB．（2）推导出AM⊥PD，CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，进而CD⊥AM，由此能证明AM⊥平面PCD．17．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）根据椭圆的定义，即可求得2a=4，由c=1，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆的标准方程；（2）分类讨论，当直线的斜率存在时，代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式求得M点坐标，求得直线AB垂直平分线方程，即可求得D点坐标，由椭圆的第二定义，求得丨AF丨=（x1+4），即丨BF丨=（x2+4），利用韦达定理即可求得丨AB丨，即可求得的值．18．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）设DQ与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF是等腰梯形知，OQ⊥DE，以CF所在直线为x 轴，OQ所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xoy．设EF与圆切于G点，连接OG，过点E作EH⊥OF，垂足为H．可得Rt△EHF≌Rt△OGF，HF=FG=EF﹣t．利用EF2=1+HF2=1+，解得EF．（2）设修建该参观线路的费用为y万元．①当，由y=5=5．利用y′，可得y在上单调递减，即可得出y的最小值．②当时，y==12t+﹣﹣．利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出．19．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】（1）由a1+b2=a2+b3=a3+b1，利用等差数列与等比数列的通项公式可得：a1+b1q==a1+2d+b1，化简解出即可得出．（2）a m+b p=a p+b r=a r+b m，即a p﹣a m=b p﹣b r，可得（p﹣m）d=b m（q p﹣m﹣q r﹣m），同理可得：（r﹣p）d=b m（q r ﹣m﹣1）．由m，p，r成等差数列，可得p﹣m=r﹣p=（r﹣m），记q p﹣m=t，解得t=．即q p﹣m=，由﹣1＜q＜0，记p﹣m=α，α为奇函数，由公差大于1，α≥3．可得|q|=≥，即q，即可得出．（3）满足题意的数组为E=（m，m+2，m+3），此时通项公式为：a n=，m∈N*．20．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，单调函数的极小值，从而确定a的具体范围即可；（3）记h（x）=ax2+cosx﹣xlnx（x＞0），求出函数的导数，通过讨论a的范围结合函数的单调性证明即可．21．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】连结PA、PB、CD、BC，推导出∠PFE=∠PBA+∠DPB=∠PCB+∠DCB=∠PCD，从而E、F、D、C四点共圆．由此能证明PE•PC=PF•PD．22．【考点】OV：特征值与特征向量的计算．【分析】设出矩阵，利用特征向量的定义，即二阶变换矩阵的概念，建立方程组，即可得到结论．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】因为圆心C在极轴上且过极点，所以设圆C的极坐标方程为：ρ=acosθ，又因为点（3，）在圆C上，代入解得ρ即可得出圆C的极坐标方程．[选修4-5：选修4-5：不等式选讲]24．【考点】R6：不等式的证明．【分析】由不等式的性质可得：a5+b+c+d≥4=4a，同理可得其他三个式子，将各式相加即可得出结论．解答题25．【考点】MI：直线与平面所成的角；MT：二面角的平面角及求法．【分析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，1，0），S（0，0，2），利用空间向量求解．26．【考点】RG：数学归纳法；63：导数的运算．【分析】（1）利用条件，分别代入直接求解；（2）先说明当n=1时成立，再假设n=K（K∈N*）时，猜想成立，证明n=K+1时，猜想也成立．从而得证．。
2017届南通、淮安三模(完整版)
南通市2017届高三第三次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 设复数i z a b =+（a b ∈，R ，i 为虚数单位）．若(43i)i z =+，则ab 的值是 ▲ ．【答案】12-2． 已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x ≥，则U A ð= ▲ ．【答案】{|02}x x <<3． 某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是 ▲ ． 【答案】564． 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．【答案】35． 为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本．其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生 3000人，则该校学生总人数是 ▲ ． 【答案】75006． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若公差2d =，510a =，则10S 的值是 ▲ ． 【答案】1107． 在锐角△ABC 中，3AB =，4AC =．若△ABC 的面积为BC 的长是 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221x y a-=（0a >）经过抛物线28y x =的焦点，则 该双曲线的离心率是 ▲ ．（第4题）9． 已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π3的扇形，则这个圆锥的高为 ▲ ．【答案】10．若直线2y x b =+为曲线e x y x =+的一条切线，则实数b 的值是 ▲ ． 【答案】111．若正实数x y ，满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 ▲ ． 【答案】812．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90ABC ∠=︒，3AB =，2BC DC ==．若E F ，分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC EF ⋅的取值范围是 ▲ ． 【答案】[]46-，13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)A -，，点(11)B -，，P 为圆222x y +=上一动点，则PBPA的最大值是 ▲ ． 【答案】214．已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】3(2)2-， 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()π()sin f x A x ω=+（00A ω>>，）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点π(3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若角α满足π()()12f αα-=，(0π)α∈，，求角α的值． 【解】（1）由条件，周期2πT =，即2π2πω=，所以1ω=，即()π()sin 3f x A x =+． …… 3分（第12题）（第16题）CDP M N因为()f x的图象经过点π(3，所以2πsin 3A =1A =，所以()π()sin 3f x x =+．…… 6分（2）由π()()12f αα-=，得()()πππsin 1332αα++-=， ……8分 即()()ππsin 133αα++=，所以()ππ2sin 1α⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，即1sin 2α=． …… 12分因为()0πα∈，，所以π6α=或5π6． …… 14分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AP =AD ， M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点． 求证：（1）MN ∥平面P AB ； （2）AM ⊥平面PCD ．【证】（1）因为M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点， 所以MN ∥DC ， …… 2分又因为底面ABCD 是矩形，所以AB ∥DC ，所以MN ∥AB ． …… 4分 又AB ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB ． …… 6分 （2）因为AP =AD ，M 为PD 的中点，所以AM ⊥PD ． …… 8分因为平面P AD ⊥平面ABCD ，又平面P AD ∩平面ABCD = AD ，CD ⊥AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ． …… 10分又AM ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AM ． …… 12分（第17题）因为CD ，PD ⊂平面PCD ，CD PD D =，所以AM ⊥平面PCD ． …… 14分17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的左焦点为(10)F -，，且经过点3(1)2，． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直．若D 为x 轴上的一点，DA DB =，求AB DF【解】（1）方法一：由题意，得2222211914c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，，，…… 3分解得2243.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的标准方程为22143y x +=．…… 5分方法二：由题意，知24a ，所以2a =． …… 2分 又1c =，222a b c =+，所以b =，所以椭圆的标准方程为22143y x +=． …… 5分（2）方法1：设直线AB 的方程为(1)y k x =+．① 若k =0时，AB =2a =4，FD =FO =1，所以4AB DF =； …… 6分② 若k ≠0时， 11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，代入椭圆方程，整理得2222(34)84120k x k x k +++-=，所以12x x ==，所以202434k x k=-+， …… 8分所以0023(1)34k y k x k =+=+， 所以AB 的垂直平分线方程为()2223143434k k y x k k k -=-+++． 因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以22(0)34k D k-+，， 所以22223313434k k DF k k +=-+=++． …… 10分 因为椭圆的左准线的方程为4x =-，离心率为12，由1142AF x =+，得11(4)2AF x =+，同理21(4)2BF x =+．所以2120211212()44234k AB AF BF x x x k +=+=++=+=+． …… 12分 所以4AB =．综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法2：设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =； …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，， 由22112222144144x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得22221212043x x y y --+=， 所以120120()()043x x x y y y -⋅-⋅+=， 所以直线AB 的斜率为01212034x y y x x y -=--， …… 8分 所以AB 的垂直平分线方程为00004()y y y x x -=-．因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以0(0)4x D ，，所以014x FD =+． …… 10分 同方法一，有04AB x =+， …… 12分所以4AB DF=． 综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法3：① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =． …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，， 则AB 的中点为1212()22x x y y M ++，， 所以AB 的垂直平分线方程为12121212()22y y x x x xy x y y +-+-=---． 8分 令y =0，得22121212D y y x x x -+=+22221212122()y y x x x x -+-=-2222121212113(1)3(1)442()x x x x x x -+-+-=-22121211442()x x x x -=-128x x +=．所以1218x x DF +=+． …… 10分 同方法一，有121()4AB x x =++， …… 12分所以4AB DF=．综上，得AB DF 的值为4． …… 14分18．（本小题满分16分）如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米． 为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C -D -E -F ，且CD ，DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE ＝t 百米，记修建每1百米参 观线路的费用为()f t 万元，经测算150()118 2.3t f t t t ⎧<⎪=⎨⎪-<<⎩，，≤，（1）用t 表示线段EF 的长； （2）求修建该参观线路的最低费用．【解】设DE 与半圆相切于点Q ，则由四边形是等腰梯形知OQ l ⊥，DQ ＝QE ，以直线为x 轴，OQ 所在直线为y 所示的平面直角坐标系xOy ． （1）方法一：由题意得，点E 的坐标为(1)2t ，， 设直线EF 的方程为1(2t y k x -=-（0k <），即1102kx y tk -+-=．因为直线EF 与半圆相切，所以圆心O 到直线EF 1|1|21tk -=，解得244t k t =-． …… 3分代入1()2t y k x -=-可得，点F 的坐标为1(0)t +，．…… 5分 所以14t tEF =+， 即14EF t t=+（02t <<）． …… 7分 O（第18题）方法二：设EF 切圆O 于G ，连结过点E 作EH AB ⊥，垂足为H ． 因为EH OG =，OFG EFH ∠=∠，GOF HEF ∠=∠，所以Rt △EHF ≌Rt △OGF ， …… 3分 所以12HF FG EF t ==-．由222111()2EF HF EF t =+=+-， …… 5分所以1t EF =+（02t <<）． …… 7分（2）设修建该参观线路的费用为y 万元．① 当103t <≤，122())355(t t y t ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦++，由235(22)0y t '=-<，则y 在(103⎤⎥⎦，上单调递减． 所以当13t =时，y 取最小值为32.5； …… 11分 ② 当123t <<时，2111632)2()(128t t t y t ⎡⎤=-=+⎢⎥⎣--⎦++，所以22334(1)(331)16241t t t t t t y '=+-+--=， …… 13分因为123t <<，所以23310t t +->，且当1(1)3t ∈，时，0y '<；当(12)t ∈，时，0y '>， 所以y 在1(1)，上单调递减；在(12)，上单调递增． 所以当1t =时，y 取最小值为24.5．由①②知，y 取最小值为24.5． …… 15分答：（1）EF 的长为1()4t t+百米；（2）修建该参观线路的最低费用为24.5万元． …… 16分19．（本小题满分16分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，1q ≠±，正整数组 ()E m p r =，，（m p r <<）．O（1）若122331a b a b a b +=+=+，求q 的值；（2）若数组E 中的三个数构成公差大于1的等差数列，且m p a b +=p r a b +=r m a b +，求q 的最大值；（3）若11()2n n b -=-，m m a b +=p p a b +=0r r a b +=，试写出满足条件的一个数组E和对应的通项公式n a ．（注：本小问不必写出解答过程）【解】（1）由条件，知21111211112a b q a d b q a d b q a d b ⎧+=++⎪⎨++=++⎪⎩，，即2121()(1).d b q q d b q ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以2210q q --=． …… 2分 因为1q ≠±，所以12q =-． …… 4分（2）由m p a b +=p r a b +，即p m p r a a b b -=-，所以()()p m r m m p m d b q q ---=-，同理可得，()(1)r m m r p d b q --=-． …… 6分 因为m p r ，，成等差数列， 所以1()2p m r p r m -=-=-．记p m q t -=，则有2210t t --=，因为1q ≠±，所以1t ≠±，故12t =-，即12p m q -=-． …… 8分所以10q -<<．记p m α-=，则α为奇数，又公差大于1，所以3α≥， …… 10分 所以1111||()()22q α=≥，即11()2q ≤-，当3α=时，q 取最大值为131()2-． …… 12分（3）满足题意的数组(23)E m m m =++，，， 此时通项公式为1133()(1)288m n a n m -=---，*m ∈N ． 例如：(134)E =，，，31188n a n =-． …… 16分20．（本小题满分16分）已知函数2()cos f x ax x =+（a ∈R ），记()f x 的导函数为()g x ． （1）证明：当12a =时，()g x 在R 上单调递增；（2）若()f x 在0x =处取得极小值，求a 的取值范围；（3）设函数()h x 的定义域为D ，区间(+)m D ∞⊆，，若()h x 在(+)m ∞，上是单调函数，则称()h x 在D 上广义单调．试证明函数()ln y f x x x =-在(0)+∞，上广义单调． 【解】（1）当12a =时，21()cos 2f x x x =+，所以()sin f x x x '=-，即()sin g x x x =-， …… 2分 所以()1cos 0g x x '=-≥，所以()g x 在R 上单调递增． …… 4分 （2）因为()i )2s n (g x x f ax x '=-=，所以2c (s )o a g x x -'=．① 当12a ≥时，()1cos 0g x x '-≥≥，所以函数()f x '在R 上单调递增． 若0x >，则()(0)0f x f ''>=；若0x <，则()(0)0f x f ''<=， 所以()f x 的单调增区间是(0)+∞，，单调减区间是(0)-∞，， 所以()f x 在0x =处取得极小值，符合题意． …… 6分 ② 当12a ≤-时，()1cos 0g x x '--≤≤，所以函数()f x '在R 上单调递减．若0x >，则()(0)0f x f ''<=；若0x <，则()(0)0f x f ''>=， 所以()f x 的单调减区间是(0)+∞，，单调增区间是(0)-∞，， 所以()f x 在0x =处取得极大值，不符合题意． …… 8分 ③ 当1122a -<<时，0(0)x ∃∈π，，使得0cos 2x a =，即0()0g x '=，但当0(0)x x ∈，时，cos 2x a >，即()0g x '<，所以函数()f x '在0(0)x ，上单调递减，所以()(0)0f x f ''<=， 即函数()f x 在0(0)x ，单调递减，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是)12⎡+∞⎢⎣，． …… 10分（3）记2()cos lnh x ax x x x=+-（0x>），①若0a>，注意到ln x x<，则1122ln x x<，即ln x<．……12分当2x>时，()2sin1ln22 h x ax x x ax'=--->-=>．所以2m∃=，函数()h x在()m+∞，上单调递增．……14分②若0a≤，当x>1时，()2sin1ln sin1lnh x ax x x x x'=---<---<0．所以1m∃=，函数()h x在(+)m∞，上单调递减，综上所述，函数()lny f x x x=-在区间(0)+∞，上广义单调．……16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知AB为圆O的一条弦，点P为弧AB的中点，过点P任作两条弦PC，PD，分别交AB于点E，F．求证：PE PC PF PD⋅=⋅．【证】连结P A，PB，CD，BC．因为∠P AB =∠PCB，又点P为弧AB的中点，所以∠P AB =∠PBA，所以∠PCB =∠PBA．……4分又∠DCB =∠DPB，所以∠PFE =∠PBA+∠DPB =∠PCB+∠DCB =∠PCD，所以E，F，D，C四点共圆．所以PE PC PF PD⋅=⋅．……10分（第21-A题）B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1=1a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ，点(11)-，在M 对应的变换作用下得到点(15)--，，求矩阵M的特征值．【解】由题意，111115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1115a b -=-⎧⎨--=-⎩，， 解得2a =，4b =，所以矩阵12=14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ． …… 5分 矩阵M 的特征多项式为212()5614f λλλλλ--==-+-． 令()0f λ=，得12λ=，23λ=，所以M 的特征值为2和3． …… 10分 C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C 的圆心在极轴上，且过极点和点π)4，，求圆C 的极坐标方程．【解】方法一：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 的极坐标方程为=cos a ρθ， …… 4分 又因为点π)4，在圆C 上，所以πcos a 4，解得6a =．所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分 方法二：点π)4，的直角坐标为(33)，， 因为圆C 过点(00)，，(33)，， 所以圆心C 在直线为30x y +-=上． 又圆心C 在极轴上，所以圆C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=． …… 6分D ACBSPE所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分 D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd =1，求证：5555a b c d a b c d ++++++≥． 【证】因为a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd =1，所以54a b c d a +++=≥． ① …… 4分 同理54b c d a b +++≥， ②54c d a b c +++≥， ③ 54d a b c d +++≥， ④将①②③④式相加并整理，即得5555a b c d a b c d ++++++≥． …… 10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，2SD AD AB ===，1DC =． （1）求二面角S BC A --的余弦值；（2）设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE与平面SADCP 的长．【解】（1）以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则(000)D ，，，(220)B ，，，(010)C ，，，(002)S ，，所以(222)SB =-，，，(012)SC =-，，，(00DS =设平面SBC 的法向量为1()x y z =，，n ， 由10SB ⋅=n ，10SC ⋅=n ， 得2220x y z +-=且20y z -=． 取1z =，得1x =-，2y =，所以1(121)=-，，n 是平面SBC 的一个法向量． …… 2分 因为SD ⊥平面ABC ，取平面ABC 的一个法向量2(001)=，，n ．设二面角S BC A --的大小为θ，所以1212cos |||θ⋅===n n |n n ，由图可知二面角S BC A --为锐二面角，所以二面角S BC A -- …… 5分（2）由（1）知(101)E ，，，则(210)CB =，，，(111)CE =-，，．设CP CB λ=（01λ≤≤），则(20(210))CP λλλ==，，，，， 所以(1211)PE CE CP λλ=-=---，，．易知CD ⊥平面SAD ，所以(010)CD =，，是平面SAD 的一个法向量． 设PE 与平面SAD 所成的角为α，所以sin cos 5PE CD PE CD PE CD α⋅===，， …… 8分，得13λ=或119λ=（舍）．所以21(0)33CP =，，，5CP =所以线段CP …… 10分23．（本小题满分10分）已知函数0()cx d f x ax b +=+（0a ≠，0ac bd -≠）．设()n f x 为1()n f x -的导数，*n ∈N ．（1）求1()f x ，2()f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论． 【解】（1）102()()()cx d bc ad f x f x ax b ax b '+-⎡⎤'===⎢⎥+⎣⎦+ ，21232()()()()()a bc ad cb ad f x f x ax b ax b '⎡⎤---'===⎢⎥++⎣⎦． …… 2分 （2）猜想111(1)()!()()n n n n a bc ad n f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+，*n ∈N ． …… 4分 证明：① 当1n =时，由（1）知结论正确， ② 假设当n k =，*k ∈N 时结论正确，即有111(1)()!()()k k k k a bc ad k f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+．当1n k =+时，1()()k k f x f x +'=111(1)()!()k k k a bc ad k ax b --+'⎡⎤-⋅⋅-⋅=⎢⎥+⎣⎦11(1)(1)()!()k k k a bc ad k ax b ---+'⎡⎤=-⋅⋅-⋅+⎣⎦2(1)()(1)!()k k k a bc ad k ax b +-⋅⋅-⋅+=+．所以当1n k =+时结论成立．由①②得，对一切*n ∈N 结论正确． …… 10分。
【江苏省南通、扬州、泰州】2017学年高考三模数学年试题
15．解：（1）设BAD ∠=，CAD ∠=， 由三角函数的定义得4cos 5α=，3sin 5α=，故1cos cos(60)cos 2βααα︒=-=+即cos CAD ∠． （2）设点(,)C x y ．由（1）知13sin sin(60)sin 2210βααα︒=-=-=， 因为5AC AB ==，所以5cos x β==5sin y β=-=，故点C ．16．证明：（1）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，11BC B C ∥． 因为BC ⊄平面11AB C ，11B C ⊂平面11AB C ， 所以BC ∥平面11AB C ．（2）因为平面11A ABB ⊥底面ABCD ，平面11A ABB 底面ABCD AB =，BC ⊂底面ABCD ，且由π2ABC ∠=知AB BC ⊥， 所以BC ⊥平面11A ABB ． 又11BC B C ∥，故11B C ⊥平面11A ABB ． 而11B C ⊂平面11AB C ， 所以平面11A ABB 平面11AB C ．17．（1）由题意知AC BC ⊥，AC x =，20AB =， 则22400BC x =-， 所以224(020)400ky x x x =+<<-．因为当x =0.065y =， 代入表达式解得9k =，所以224(020)400k y x x x =+<<-． （2）因为224(020)400ky x x x =+<<-，所以42232232289(2)188(400)(400)(400)x x x y x x x x ⨯---'=--=--． 令y '，得422188(400)x x =-，所以2160x =，即x =当0x <<0y '<，所以函数2249400y x x =+-为减函数；当20x <<时，0y '>，所以函数2249400y x x =+-为增函数．所以当x =C 到城A 的距离为km 时，函数224(020)400ky x x x =+<<-有最小值．18．（1）由题意知椭圆22:1113x y C m m+=， 所以2211,3a b m m==，故2a == 解得16m =， 所以椭圆C 的方程为22162x y +=．因为2c ，所以离心率c e a ==（2）设线段AP 的中点为D ．因为BA BP =，所以BD AP ⊥． 由题意知直线BD 的斜率存在， 设点P 的坐标为000(,)(0)x y y ≠， 则点的坐标为003(,)22x y +，直线AP 的斜率003AP yk x =-，所以直线BD 的斜率0031BD AP x k k y -=-=， 故直线BD 的方程为000033()22y x x y x y -+-=-． 令0x =，得2200092x y y y +-=，故220009(0,)2x y B y +-．由2200162x y +=，得220063x y =-，化简得20023(0,)2y B y --．因此，OAP OAB OPAB S S S =+△△四边形2000233(||||)22y y y --=+32≥⨯．当且仅当0032||2||y y =时，即0[y =时等号成立． 故四边形OPAB面积的最小值为19．解：（1）当0c =时，32()f x ax bx cx b a =-++-． ①若a b =，则32()f x ax ax =-， 从而2()32f x ax ax '=-，故曲线()y f x =在0x x =处的切线方程为32200000()(32)()y ax ax ax ax x x --=--．将点(1,0)代入上式并整理得200000(1)(1)(32)x x x x x -=--，解得00x =或01x =．②若a b >，则令2()320f x ax bx '=-=，解得0x =或213bx a=<． （ⅰ）若0b ≤，则当[0,1]x ∈时，()0f x '≥， 所以()f x 为区间[0,1]上的增函数， 从而()f x 的最大值为(1)0f =． （ii ）若0b >，列表：所以()f x 的最大值为(1)0f =． 综上，()f x 的最大值为0．（2）假设存在实数,,a b c ，使得11()f x x =与22()f x x =同时成立． 不妨设12x x <，则12()()f x f x <． 因为1x x =，1x x =为()f x 的两个极值点， 所以212()323()()f x ax bx c a x x x x '=-+=--．因为0a >，所以当12[,]x x x ∈时，()0f x '≤， 故()f x 为区间12[,]x x 上的减函数，从而12()()f x f x >，这与12()()f x f x <矛盾， 故假设不成立．既不存在实数,,a b c ，使得11()f x x =，22()f x x =同时成立． 20．（1）由题得数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为7． （2）设1a p =，其中0p ≠且1p ≠±． 由111nn na a a ++=-， 得211p a p +=-，31a p=-，411p a p -=+，5a p =，…． 所以15a a =，25a a =，…．因此集合A 中的所有数列都具有周期性，且周期为4． 所以数列{}n b 中，32a b -=，23a b -=-，112a b -=-，1()3a b k =∈*N ， 数列{}n c 中，33a c -=，22a c -=-，113a c -=-，1()2a c k =∈*N ，因为1111||||k ki i i i i b c b c +==-≥-∑∑，所以项数m 越大，数列{}n b 和{}n c 的距离越大． 因为17||3ki i i b c =-=∑， 所以34564845117||||86420163iiiii i b c b c ⨯⨯==-=-=⨯=∑∑，因此，当3456m <时，1||2016mi i i b c =-<∑．故m 的最大值为3 455．（3）假设T 中的元素个数大于或等于17． 因为数列{}n a 中，0n a =或1，所以仅由数列前三项组成的数组（1a ，2a ，3a ）有且只有8个：(0,0,0)，(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1,1)．那么这17个元素之中必有3个具有相同的1a ，2a ，3a ．设这3个元素分别为{}n c ：1c ，2c ，3c ，4c ，5c ，6c ，7c ；{}n d ：1d ，2d ，3d ，4d ，5d ，6d ，7d ；{}n f ：1f ，2f ，3f ，4f ，5f ，6f ，7f ，其中111c d f ==，222c d f ==，333c d f ==．因为这3个元素中每两个元素的距离大于或等于3， 所以在{}n c 与{}n d 中，(4,5,6,7)i i c d i ≠=至少有3个成立． 不妨设44c d ≠，55c d ≠，66c d ≠．由题意得4c ，4d 中一个等于0，另一个等于1．又因为40f =或1，所以44f c =和44f d =中必有一个成立．同理得：55f c =和55f d =中必有一个成立，66f c =和66f d =中必有一个成立，所以“(4,5,6)i i f c i ==中至少有两个成立”和“(4,5,6)i i f d i ==中至少有两个成立”中必有一个成立． 故71||2i i i f c =-≤∑和71||2i i i f d =-≤∑中必有一个成立，这与题意矛盾．所以T 中的元素个数小于或等于16．试题2（附加题）21．【选做题】A ．解：易得90ADO ACB ︒∠=∠=， 又A A ∠=∠，故Rt ADO Rt ACB △∽△， 所以BC ACOD AD=． 又2AC AD =， 故2BC OD =．B ．解：设将正方形ABCD 绕原点A 逆时针旋转90︒所对应的矩阵为A ，则01cos90sin9010sin90cos90A ︒︒︒︒-⎡⎤-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．设将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变所对应的矩阵为， 则，所以连续两次变换所对应的矩阵00101111010022M BA ⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． C ．解：依题意知cos 1sin x y αα=-⎧⎨=⎩（α为参数），因为22sin cos 1αα+=，所以22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=，化为极坐标方程得22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=， 所以曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=． D ．证明：因为0a >，0b > ， 所以要证3334()()a b a b +>+， 只要证2234()()()a b a ab b a b +-+>+， 即要证2224()()a ab b a b -+>+， 只需证23()0a b ->，而a b ≠，故23()0a b ->成立．【必做题】22．解：（1）由题意知基本事件数为39C ，而满足条件||2i j a a -≥，即取出的元素不相邻，则用插空法，有37C 种可能，故所求事件的概率3739512C P C ==．（2）分析123,,a a a 成等差数列的情况；1ξ=的情况有7种：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，{7,8,9}；2ξ=的情况有5种：{1,3,5}，{2,4,6}，{3,5,7}，{4,6,8}，{5,7,9}； 3ξ=的情况有3种：{1,4,7}，{2,5,8}，{3,6,9}； 4ξ=的情况有1种：{1,5,9}．故随机变量ξ的分布列如下：因此，()1234161616168E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=23．解：（1）213(1)122f S ==+=，4111113(2)S 23412f S =-=++=， 62111119(3)345620f S S =-=+++=． （2）由（1）知(1)1f >，(2)1f >． 下面用数学归纳法证明：当3n =时，()1f n <． （i ）由（1）知当3n =时，()1f n <．（ii ）假设当(3)n k k =≥时，()1f n <，即111()112f k k k k=+++<-…， 那么11111(1)1222122f k k k k k k +=+++++++++… 11111111111()1()()122212221222k k k k k k k k k k k=++++++-<+-+-++++++… 2(21)2(22)12(21)2(22)k k k k k k k k -+-+=++++ 11112(21)(22)k k k k =--<++．所以当1n k =+时，()1f n <也成立． 因此，当3n ≥时，()1f n <．综上，当1n =和2n =时，()1f n >；当时，()1f n <．江苏省南通市2017届高三高考全真模拟数学试卷（一）解析1．略．2．略．3．略．4．略．5．略．6．略．7．略．8．9．10．11．12．13．14．15．16．略．17．18．19．20．21．A．B．C．D．22．23．21 / 21。
江苏省南通市2017届高三第三次调研考试数学试题
南通市2017届高三第三次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设复数iz a b=+（a b∈，R，i为虚数单位）．若(43i)iz=+，则ab的值是▲．【答案】12-2．已知集合{|0}U x x=>，={|2}A x x≥，则U Að=▲．【答案】{|02}x x<<3．某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是▲．【答案】564．右图是一个算法流程图，则输出的k的值是▲．【答案】35．为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本．其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是▲．【答案】75006．设等差数列{}n a的前n项和为n S．若公差2d=，510a=，则10S的值是▲．【答案】1107．在锐角△ABC中，3AB=，4AC=．若△ABC的面积为，则BC的长是▲．8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221x ya-=（0a>）经过抛物线28y x=的焦点，则该双曲线的离心率是▲．（第4题）9． 已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π3的扇形，则这个圆锥的高为 ▲ ．【答案】10．若直线2y x b =+为曲线e x y x =+的一条切线，则实数b 的值是 ▲ ． 【答案】111．若正实数x y ，满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 ▲ ． 【答案】812．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90ABC ∠=︒，3AB =，2BC DC ==．若E F ，分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC EF ⋅的取值范围是 ▲ ．【答案】[]46-，13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)A -，，点(11)B -，，P 为圆222x y +=上一动点， 则PB的最大值是 ▲ ． 【答案】214．已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】3(2)-，二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()π()sin 3f x A x ω=+（00A ω>>，）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点π(3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若角α满足π()()12f αα-=，(0π)α∈，，求角α的值．（第12题）（第16题）BCDP M N【解】（1）由条件，周期2πT =，即2π2πω=，所以1ω=，即()π()sin 3f x A x =+． …… 3分因为()f x的图象经过点π(3，所以2πsin 3A 1A =，所以()π()sin 3f x x =+．…… 6分（2）由π()()12f αα-=，得()()πππsin 1332αα++-=，…… 8分 即()()ππsin 133αα++=，所以()ππ2sin 133α⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，即1sin 2α=． …… 12分因为()0πα∈，，所以π6α=或5π6． …… 14分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AP =AD ， M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点． 求证：（1）MN ∥平面P AB ； （2）AM ⊥平面PCD ．【证】（1）因为M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点， 所以MN ∥DC ， …… 2分又因为底面ABCD 是矩形，所以AB ∥DC ，所以MN ∥AB ． …… 4分 又AB ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB ． …… 6分 （2）因为AP =AD ，M 为PD 的中点，所以AM ⊥PD ． …… 8分因为平面P AD ⊥平面ABCD ，（第17题）又平面P AD ∩平面ABCD = AD ，CD ⊥AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ． …… 10分又AM ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AM ． …… 12分 因为CD ，PD ⊂平面PCD ，CD PD D = ，所以AM ⊥平面PCD ． …… 14分17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的左焦点为(10)F -，，且经过点3(12，． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直．若D 为x 轴上的一点，DA DB =，求AB DF的值．【解】（1）方法一：由题意，得2222211914c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，，，…… 3分解得2243.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的标准方程为22143y x +=． (5)分方法二：由题意，知24a =，所以2a =． …… 2分 又1c =，222a b c =+，所以b =所以椭圆的标准方程为221y x +=． …… 5分（2）方法1：设直线AB 的方程为(1)y k x =+．① 若k =0时，AB =2a =4，FD =FO =1，所以4AB DF =； …… 6分② 若k ≠0时， 11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，代入椭圆方程，整理得2222(34)84120k x k x k +++-=，所以12x x == 所以202434k x k=-+， …… 8分所以0023(1)34k y k x k =+=+， 所以AB 的垂直平分线方程为()2223143434k k y x k k k -=-+++．因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以22(0)34k D k -+，， 所以22223313434k k DF k k +=-+=++． …… 10分 因为椭圆的左准线的方程为4x =-，离心率为12，由1142AF x =+，得11(4)2AF x =+，同理21(4)2BF x =+．所以2120211212()44234k AB AF BF x x x k +=+=++=+=+． …… 12分 所以4AB DF=．综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法2：设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =； …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，， 由22112222144144x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得22221212043x x y y --+=，所以120120()()043x x x y y y -⋅-⋅+=， 所以直线AB 的斜率为01212034x y y x x y -=--， …… 8分 所以AB 的垂直平分线方程为00004()3y y y x x x -=-． 因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以0(0)x D ，，所以01x FD =+． …… 10分 同方法一，有04AB x =+， …… 12分所以4AB =． 综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法3：① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =． …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，， 则AB 的中点为1212()22x x y y M ++，， 所以AB 的垂直平分线方程为12121212()22y y x x x xy x y y +-+-=---． 8分 令y =0，得221212122()2D y y x x x x x -+=+-22221212122()y y x x x x -+-=-2222121212113(1)3(1)442()x x x x x x -+-+-=-22121211442()x x x x -=-128x x +=．所以1218x x DF +=+． …… 10分 同方法一，有121()42AB x x =++， …… 12分所以4AB DF=．综上，得AB DF 的值为4． …… 14分18．（本小题满分16分）如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米． 为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C -D -E -F ，且CD ， DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE ＝t 百米，记修建每1百米参 观线路的费用为()f t 万元，经测算150()118 2.3t f t t t ⎧<⎪=⎨⎪-<<⎩，≤，（1）用t 表示线段EF 的长； （2）求修建该参观线路的最低费用．【解】设DE 与半圆相切于点Q ，则由四边形是等腰梯形知OQ l ⊥，DQ ＝QE ，以直线为x 轴，OQ 所在直线为y 所示的平面直角坐标系xOy ． （1）方法一：由题意得，点E 的坐标为(1)2t ，， 设直线EF 的方程为1()2t y k x -=-（0k <），即1102kx y tk -+-=．因为直线EF 与半圆相切，所以圆心O 到直线EF 1|1|21tk -=，解得244t k t =-． …… 3分 O（第18题）代入1()2t y k x -=-可得，点F 的坐标为1(0)4t t+，． …… 5分所以14t tEF =+， 即14EF t t =+（02t <<）． …… 7分 方法二：设EF 切圆O 于G ，连结过点E 作EH AB ⊥，垂足为H ． 因为EH OG =，OFG EFH ∠=∠，GOF HEF ∠=∠，所以Rt △EHF ≌Rt △OGF ， …… 3分 所以12HF FG EF t ==-．由222111()2EF HF EF t =+=+-， …… 5分所以14t EF t =+（02t <<）． …… 7分（2）设修建该参观线路的费用为y 万元．① 当103t <≤，122())4355(2t t t y t t ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦++，由235(22)0y t '=-<，则y 在(103⎤⎥⎦，上单调递减． 所以当13t =时，y 取最小值为32.5； …… 11分 ② 当123t <<时，2111632)2()4(1228t t t t t t y t ⎡⎤=-=+⎢⎥⎣--⎦++，所以22334(1)(331)16241t t t t t t y '=+-+--=， …… 13分 因为123t <<，所以23310t t +->，且当1(1)3t ∈，时，0y '<；当(12)t ∈，时，0y '>， 所以y 在1(1)，上单调递减；在(12)，上单调递增． 所以当1t =时，y 取最小值为24.5．由①②知，y 取最小值为24.5． …… 15分O答：（1）EF 的长为1()4t t+百米；（2）修建该参观线路的最低费用为24.5万元． …… 16分19．（本小题满分16分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，1q ≠±，正整数组 ()E m p r =，，（m p r <<）．（1）若122331a b a b a b +=+=+，求q 的值；（2）若数组E 中的三个数构成公差大于1的等差数列，且m p a b +=p r a b +=r m a b +，求q 的最大值；（3）若11()n n b -=-，m m a b +=p p a b +=0r r a b +=，试写出满足条件的一个数组E和对应的通项公式n a ．（注：本小问不必写出解答过程）【解】（1）由条件，知21111211112a b q a d b q a d b q a d b ⎧+=++⎪⎨++=++⎪⎩，，即2121()(1).d b q q d b q ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以2210q q --=． …… 2分 因为1q ≠±，所以12q =-． …… 4分（2）由m p a b +=p r a b +，即p m p r a a b b -=-，所以()()p m r m m p m d b q q ---=-，同理可得，()(1)r m m r p d b q --=-． …… 6分 因为m p r ，，成等差数列， 所以1()p m r p r m -=-=-．记p m q t -=，则有2210t t --=，因为1q ≠±，所以1t ≠±，故12t =-，即12p m q -=-． …… 8分所以10q -<<．记p m α-=，则α为奇数，又公差大于1，所以3α≥， …… 10分 所以11311||()()22q α=≥，即131()2q ≤-，当3α=时，q 取最大值为11()2-． …… 12分（3）满足题意的数组(23)E m m m =++，，， 此时通项公式为1133()(1)288m n a n m -=---，*m ∈N ． 例如：(134)E =，，，31188n a n =-． …… 16分20．（本小题满分16分）已知函数2()cos f x ax x =+（a ∈R ），记()f x 的导函数为()g x ． （1）证明：当12a =时，()g x 在R 上单调递增；（2）若()f x 在0x =处取得极小值，求a 的取值范围；（3）设函数()h x 的定义域为D ，区间(+)m D ∞⊆，，若()h x 在(+)m ∞，上是单调函数， 则称()h x 在D 上广义单调．试证明函数()ln y f x x x =-在(0)+∞，上广义单调． 【解】（1）当12a =时，21()cos 2f x x x =+，所以()sin f x x x '=-，即()sin g x x x =-， …… 2分 所以()1cos 0g x x '=-≥，所以()g x 在R 上单调递增． …… 4分 （2）因为()i )2s n (g x x f ax x '=-=，所以2c (s )o a g x x -'=．① 当1a ≥时，()1cos 0g x x '-≥≥，所以函数()f x '在R 上单调递增． 若0x >，则()(0)0f x f ''>=；若0x <，则()(0)0f x f ''<=， 所以()f x 的单调增区间是(0)+∞，，单调减区间是(0)-∞，， 所以()f x 在0x =处取得极小值，符合题意． …… 6分 ② 当12a ≤-时，()1cos 0g x x '--≤≤，所以函数()f x '在R 上单调递减．若0x >，则()(0)0f x f ''<=；若0x <，则()(0)0f x f ''>=， 所以()f x 的单调减区间是(0)+∞，，单调增区间是(0)-∞，， 所以()f x 在0x =处取得极大值，不符合题意． …… 8分 ③ 当1122a -<<时，0(0)x ∃∈π，，使得0cos 2x a =，即0()0g x '=，但当0(0)x x ∈，时，cos 2x a >，即()0g x '<，所以函数()f x '在0(0)x ，上单调递减，所以()(0)0f x f ''<=， 即函数()f x 在0(0)x ，单调递减，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是)12⎡+∞⎢⎣，． …… 10分（3）记2()cos ln h x ax x x x =+-（0x >），① 若0a >，注意到ln x x <，则11ln x x <，即ln x < …… 12分当2x >时，()2sin 1ln 22h x ax x x ax '=--->-0=>．所以2m ∃=，函数()h x 在()m +∞，上单调递增．…… 14分 ② 若0a ≤，当x >1时，()2sin 1ln sin 1ln h x ax x x x x '=---<---<0．所以1m ∃=，函数()h x 在(+)m ∞，上单调递减， 综上所述，函数()ln y f x x x =-在区间(0)+∞，上广义单调． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知AB 为圆O 的一条弦，点P 为弧AB 的中点，过点P 任作两条弦PC ，PD ， 分别交AB 于点E ，F ． 求证：PE PC PF PD ⋅=⋅． 【证】连结P A ，PB ，CD ，BC ．因为∠P AB =∠PCB ，又点P 为弧AB 的中点，所以∠P AB =∠PBA ，（第21-A 题）所以∠PCB =∠PBA ． …… 4分 又∠DCB =∠DPB ，所以∠PFE =∠PBA+∠DPB =∠PCB+∠DCB =∠PCD ， 所以E ，F ，D ，C 四点共圆．所以PE PC PF PD ⋅=⋅． …… 10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1=1a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ，点(11)-，在M 对应的变换作用下得到点(15)--，，求矩阵M 的特征值．【解】由题意，111115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1115a b -=-⎧⎨--=-⎩，， 解得2a =，4b =，所以矩阵12=14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ． …… 5分 矩阵M 的特征多项式为212()5614f λλλλλ--==-+-． 令()0f λ=，得12λ=，23λ=，所以M 的特征值为2和3． …… 10分 C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C的圆心在极轴上，且过极点和点π)4，，求圆C 的极坐标方程．【解】方法一：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 的极坐标方程为=cos a ρθ， …… 4分又因为点π)4，在圆C 上，所以πcos a 4，解得6a =．所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分D ACBSPE 方法二：点π)4，的直角坐标为(33)，， 因为圆C 过点(00)，，(33)，， 所以圆心C 在直线为30x y +-=上． 又圆心C 在极轴上，所以圆C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=． …… 6分所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分 D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd =1，求证：5555a b c d a b c d ++++++≥． 【证】因为a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd =1，所以54a b c d a +++≥． ① …… 4分 同理54b c d a b +++≥， ②54c d a b c +++≥， ③ 54d a b c d +++≥， ④将①②③④式相加并整理，即得5555a b c d a b c d ++++++≥． …… 10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，2SD AD AB ===，1DC =． （1）求二面角S BC A --的余弦值；（2）设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE与平面SADCP 的长．【解】（1）以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则(000)D ，，，(220)B ，，，(010)C ，，，(002)S ，，，所以(222)SB =- ，，，(012)SC =- ，，，(002)DS = ，，． 设平面SBC 的法向量为1()x y z =，，n ，由10SB ⋅= n ，10SC ⋅=n ， 得2220x y z +-=且20y z -=． 取1z =，得1x =-，2y =，所以1(121)=-，，n 是平面SBC 的一个法向量． …… 2分 因为SD ⊥平面ABC ，取平面ABC 的一个法向量2(001)=，，n ． 设二面角S BC A --的大小为θ，所以1212cos |||θ⋅===n n |n n ，由图可知二面角S BC A --为锐二面角，所以二面角S BC A --…… 5分（2）由（1）知(101)E ，，，则(210)CB = ，，，(111)CE =-，，．设CP CB λ=（01λ≤≤），则(20(210))CP λλλ== ，，，，， 所以(1211)PE CE CP λλ=-=---，，．易知CD ⊥平面SAD ，所以(010)CD =，，是平面SAD 的一个法向量． 设PE 与平面SAD 所成的角为α，所以sin cos PE CD PE CD PE CD α⋅===，， …… 8分=，得13λ=或119λ=（舍）．所以21(0)33CP = ，，，CP所以线段CP． …… 10分23．（本小题满分10分）已知函数0()cx d f x ax b +=+（0a ≠，0ac bd -≠）．设()n f x 为1()n f x -的导数，*n ∈N ．（1）求1()f x ，2()f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论． 【解】（1）102()()()cx d bc ad f x f x ax b ax b '+-⎡⎤'===⎢⎥+⎣⎦+ ，21232()()()()()a bc ad cb ad f x f x ax b ax b '⎡⎤---'===⎢⎥++⎣⎦． …… 2分 （2）猜想111(1)()!()()n n n n a bc ad n f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+，*n ∈N ． …… 4分 证明：① 当1n =时，由（1）知结论正确， ② 假设当n k =，*k ∈N 时结论正确，即有111(1)()!()()k k k k a bc ad k f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+．当1n k =+时，1()()k k f x f x +'=111(1)()!()k k k a bc ad k ax b --+'⎡⎤-⋅⋅-⋅=⎢⎥+⎣⎦11(1)(1)()!()k k k a bc ad k ax b ---+'⎡⎤=-⋅⋅-⋅+⎣⎦2(1)()(1)!()k k k a bc ad k ax b +-⋅⋅-⋅+=+．所以当1n k =+时结论成立．由①②得，对一切*n ∈N 结论正确． …… 10分。
2017届南通市三模数学试卷与参考答案word版.docx
南通市 2017 届高三第三次调研测试数学学科参考答案一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．1．设复数z a bi （a，b R，i为虚数单位）．若z(43i)i ，则ab的值是▲．【答案】122．已知集合 U{ x | x0} ， A={ x | x ≥ 2} ，则 e U A = ▲．【答案】 { x | 0 x2}3．某人随机播放甲、乙、丙、丁 4 首歌曲中的 2 首，则甲、乙 2 首歌曲至少有 1 首被播放的概率是▲．开始【答案】5S 1， k164．右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是▲ ．S S k2k k 1【答案】 35．为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用S10N分层抽样的方法抽取一个容量为500 的样本．其中大一年级Y输出 k 抽取 200 人，大二年级抽取100 人．若其他年级共有学生3000 人，则该校学生总人数是▲ ．结束【答案】 7500（第 4题）6．设等差数列a n的前n项和为 S n．若公差d 2 ，a510，则 S10的值是▲．【答案】 1107．在锐角△ABC中，AB 3，AC 4 ．若△ ABC的面积为3 3 ，则BC的长是▲．【答案】138．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2y2 1 （a0 ）经过抛物线y28x的焦点，则a2该双曲线的离心率是▲．【答案】5 29．已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π的扇形，则这个圆锥的高为▲．3【答案】 2210． 若直 y2x b 曲 ye xx 的一条切 ， 数b 的 是【答案】 111． 若正 数 x ，y 足 x y1 ，y4的最小 是▲．x y【答案】 812． 如 ，在直角梯形 ABCD 中， AB ∥ DC ， ABC 90 ，AB 3， BCDC2．若 E ，F 分 是 段 DC 和 BC 上uuur uuur的 点， AC EF 的取 范 是▲ ．A4 ，6【答案】▲ ．D E CFB（第 12 题）13． 在平面直角坐 系 xOy 中，已知点 A(0 ， 2) ，点 B(1， 1) ， P x 2y 22 上一 点，PB的最大 是 ▲ ．PA 【答案】 214． 已知函数 f (x)x ，x ≥a ， 2 f ( x) ax 恰有 2 个不同的零点， 数3， 若函数 g (x)x3x x a .a 的取 范 是▲．【答案】 (3，2)2二、解答 ：本大 共6 小 ，共90 分．15．（本小 分 14 分）已知函数 f ( x) Asin xπ（ A0 ， 0 ） 象的相 两条 称 之 的距离π 3，且 点 ( π， 3 ) ．3 2（ 1）求函数 f ( x) 的解析式；（ 2）若角足 f ( )3 f (π ，(0 ，π) ，求角的 ．) 12【解】 周期T ，（1）由条件，2π即2π2π，所以 1，即 f ( x) A sin xπ．⋯⋯3分3因 f ( x) 的 象 点( π，3) ，所以 Asin2π 3，所以A 1，3 232所以f ( x)sin xπ⋯⋯6分3 ．（2）由 f ( )3 f (π) 1 ，2得 sinπ 3sinπ π 1 ， ⋯⋯ 8分33 2 即 sinπ 3cosπ1 ，33所以2sinπ π 1 ，即 sin1⋯⋯ 123 32．分因0 ，π ，所以 π 5π． ⋯⋯14分6或616．（本小 分14 分）如 ，在四棱P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，平面 PAD ⊥平面 ABCD ， AP =AD ，M ，N 分 棱 PD ， PC 的中点．P求 ：（ 1）MN ∥平面 PAB ；M N（ 2）AM ⊥平面 PCD ．DC【 】（1）因 M ， N 分 棱 PD ，PC 的中点，所以∥ ，⋯⋯2分ABMN DC（第 16又因 底面是矩形，所以∥，题）ABCDAB DC所以∥．⋯⋯4分MN AB又 AB 平面 PAB ， MN平面 PAB ，所以 MN ∥平面 PAB ．⋯⋯6分（2）因 AP =AD ， MPD 的中点，所以 AM ⊥ PD ．⋯⋯ 8 分因 平面 PAD ⊥平面 ABCD ，又平面 PAD ∩平面 ABCD = AD ， CD ⊥AD ， CD 平面 ABCD ，所以 CD ⊥平面 PAD ．⋯⋯10分又AM 平面 ，所以 ⊥ ．⋯⋯12分PADCD AM因 CD ， PD平面 PCD ， CD I PDD ，所以 AM ⊥平面 PCD ．⋯⋯14分17．（本小 分 14 分）x 22在平面直角坐 系xOy 中，已知y 1( ab 0) 的左焦点 F ( 1 ，0)，且a 2b 2y点 ，3) ．B2（1）求 的 准方程；（2）已知 的弦AB 点 F ，且与 x 不垂直．FxD O若 D x 上的一点，DADB ，求AB的 ．ADF，（第 17 题）c 1【解】（1）方法一：由 意，得1 9 ， ⋯⋯3分a 2 4b 2 1a 2b 2c 2，2，解得3.b 2所以 的 准方程x 2y 2 1．⋯⋯5分43方法二：由 意，知23 223 22a(11)( 2)(1 1)(2)4，所以 a 2．⋯⋯2分又 c 1 ， a 2 b 2c 2 ，所以 b3 ，2y 2所以 的 准方程x1 ．⋯⋯5分4 3（ 2）方法 1： 直 AB 的方程 y k( x 1) ．① 若 k =0 ，=2 =4，= =1，所以AB 4 ； ⋯⋯6分DF② 若 k ≠ 0 ，A( x 1， y 1) ， B(x 2， y 2 ) ，AB 的中点 M (x 0， y 0 ) ，代入 方程，整理得(3 4k 2 )x 28k 2x 4k 212 0，所以 x 14k26 k21， x 24k 2 6 k 2 1 ，3 4k 23 4k 2所以 x 03 4k 2，⋯⋯8分4k 2所以 y 0k( x 0 1)3k，34k 2所以 AB 的垂直平分 方程y3k1x 4k 2．3 4k 2k 3 4k 2因= ，所以点D的垂直平分 与x 的交点，DA DBAB所以 D ( k 2 2 ， ，3 4k 0)22所以 DFk1 3 3k．⋯⋯10分3 4k 23 4 k 2因 的左准 的方程x4 ，离心率1 ，2由 AF1，得 AF1 ( x 1 4) ，x 1 4 22同理 BF1( x 24) ．2所以 AB AFBF1 (x 1 x2 ) 4 x 0 4 12 12k 2．⋯⋯12分23 4k 2所以AB4 ．DF上，得AB的 4．⋯⋯14分DF方法 2： A( x 1， y 1) ， B( x 2， y 2 ) ， AB 的中点 M ( x 0， y 0 ) ，① 若直 AB 与 x 重合，AB4 ； ⋯⋯ 6 分DF② 若直 AB 不与 x 重合，A( x 1，y 1 ) ， B( x 2， y 2 ) ， AB 的中点 M (x 0，y 0 ) ，x 2y 211，由44得 x 1 x 2y 1y 2 0 ，x 22 y 22， 43441所以 (x 1 x 2 ) x 0 ( y 1 y 2 ) y 0 0 ，43所以直 AB 的斜率y 1y 23x 0 ， ⋯⋯8分x 1 x 24 y 0所以 AB 的垂直平分 方程yy4 y 0 ( xx ) ．3 x 0因 DA =DB ，所以点 D AB 的垂直平分 与 x 的交点，所以 D (x 0，0) ，所以 FDx 0 1．⋯⋯10分44同方法一，有 AB x 04 ，⋯⋯12分所以AB4．DF上，得AB的 4．⋯⋯14分DF方法 3：① 若直 AB 与 x 重合，AB4 ．⋯⋯6分DF② 若直 AB 不与 x 重合， A(x 1， y 1 ) ， B( x 2，y 2 ) ，AB 的中点x 1 x 2 y 1 y 2) ，M ( 2 ， 2所以 AB 的垂直平分 方程yy 1y 2x 1x2( xx 1x 2) ． 8 分2yy221y2y 2xx2令 y =0，得 x D1212( x 1 x 2 )2y 12 y 22x 12x 222( x 1x 2 )3(1 1 2 3(1 1 2224 x 1 ) 4 x 2 )x 1x 22( x 1 x 2 )1 x2 1 x 24 1 422( x 1 x 2 ) x 1 x 2 ．8 x 1 x 21 ．所以 DF8同方法一，有AB1( x 1x 2 ) 4 ，2⋯⋯ 10 分 ⋯⋯12 分所以AB4．DF上，得AB的 4．⋯⋯ 14 分DF18．（本小 分16 分）如 ，半AOB 是某 国主 教育基地一景点的平面示意 ，半径OA 的 1 百米．了保 景点，基地管理部 从道路l 上 取一点C ，修建参 路C -D -E -F ，且 CD ，DE ， EF 均与半 相切，四 形CDEF 是等腰梯形． DE ＝ t 百米， 修建每1 百米参，0 t≤ 1，53路的 用 f (t ) 万元， 算 f (t)1，18 t 2.t 3（ 1）用 t 表示 段 EF 的 ；（ 2）求修建 参 路的最低 用．D ElCAOB F（第 18 题）【解】 DE 与半 相切于点Q ， 由四 形 CDEFy是等腰梯形知 OQ l ， DQ ＝QE ，以 OF 所在DQE直 x ， OQ 所在直 y ，建立如所示的平面直角坐 系．xOy（1）方法一：由 意得，lAOB F x 点 E 的坐 ( t，1) ，C⋯⋯ 1 分2直 EF 的方程 y 1 k( xt) （ k0 ），2即 kx y 1 1tk0 ．2因 直 EF 与半 相切，所以 心 O 到直 EF 的距离|1 1tk |1 ，解得 k 4t⋯⋯3分2 ．k 2 1t 24代入 y 1k( xt) 可得，点 F 的坐 (t1，0) ．⋯⋯ 5分24 t所以t 1 t 2 t 1( 4 t2 )1 4t，EF即 EFt 14t （ 0t2）．⋯⋯ 7 分方法二： EF 切 O 于G ， OG ，DE点 E 作 EHAB ，垂足 H ．G因 EHOG ， OFGEFH ，GOFHEF ，lC AOH B F 所以 Rt △ EHF ≌Rt △ OGF ，⋯⋯ 3分所以 HFFGEF1t ．2由 EF 2 1 HF 21 (EF1 t )2 ， ⋯⋯5分2所以 EFt 1 （ 0t 2 ）．⋯⋯7分4 t（2） 修建 参 路的 用y 万元．① 当1t 13 20 t≤ 3 ， y 5 2( 4 t ) t 5( 2 t t ) ，由 y5( 3 2 0 ， y 在 0 1 上 减．2 t 2 )，3所以当 t13， y 取最小 32.5 ；⋯⋯11分② 当 11 t 116 3 23 t2 ， y (8 t)2( 4 t )t12t t2 t 2 ，所以 y1216 4 4( t 1)(3t 2 3t1)⋯⋯13分233，ttt因1t2 ，所以 3t 21 0 ，3t3且当 t( 1，1) ， y 0 ；当 t(1，2) ， y0 ，3所以y 在 ( 1 ， 上 减；在 (1，2) 上 增．3 1)所以当 t 1 ， y 取最小 24.5 ．由①②知，y 取最小24.5 ．⋯⋯15分答：（ 1）EF 的t1( 4t ) 百米；（ 2）修建 参 路的最低 用24.5万元．⋯⋯16分19．（本小 分16 分）已知 { a n } 是公差 d 的等差数列， { b n } 是公比 q 的等比数列， q 1 ，正整数E ( m ， p ， r ) （ mp r ）．（ 1）若 a 1b 2 a 2 b 3 a 3b 1 ，求 q 的 ；（ 2）若数 E 中的三个数构成公差大于1 的等差数列，且 a m b pa pb r a r b m ，求 q 的最大 ；（ 3）若 b n( 1) n 1 ， a m b m a p b p a rb r0 ， 写出 足条件的一个数E2和 的通 公式a n ．（注：本小 不必写出解答 程）【解】（1）由条件，知a 1b 1 q a 1 d b 1q 2 ，即 d b 1 ( q q 2 ) ，d b 1 q 2d b 1 ( q 2a 1 a 1 2db 1， 1).所以 2q 2 q 1 0 ．⋯⋯2分因 q1，所以q1．⋯⋯4分2（2）由 a m b p a p b r ，即 a p a m b p b r ，所以 ( p m)d b m (q p m q r m ) ，同理可得， ( rp) d b m (q rm1) ．⋯⋯ 6 分因 m ，p ，r 成等差数列，所以 pmrp1(r m) ．2q p m t ， 有 2t 2 t 1 0 ，因 q1，所以 t1，故 t1 ，即 q p m 1 ． ⋯⋯8分22所以 1 q 0 ．p m，奇数，又公差大于 1，所以≥ 3 ，⋯⋯10分111所以 | q | ( 1 ) ≥ ( 1 ) 3 ，即 q ≤ - ( 1)3， 2221当3 ， q 取最大 - ( 1) 3．⋯⋯ 12 分2（3） 足 意的数E (m ，m 2 ，m 3) ，此 通 公式a n( 1 )m1( 3 n 3m 1) ， mN * ．288例如： E (1，3，4 ) ， a n3 n 11 ． ⋯⋯ 16 分8820．（本小分16 分）已知函数 f ( x) ax2cos x （a R ）， f ( x)的函数g ( x)．（ 1）明：当 a12， g (x) 在R上增；（ 2）若 f ( x) 在x0 取得极小，求a的取范；（ 3）函数 h( x) 的定域D，区 (m，+) D ，若 h( x) 在 (m，+) 上是函数，称 h( x) 在D上广．明函数y f ( x)x ln x 在 (0 ，) 上广．【解】（1）当1122， f (x)2x cosx ，a所以 f ( x)x sin x ，即 g ( x)x sin x ，⋯⋯ 2分所以 g (x)1cos x≥ 0 ，所以 g ( x) 在R上增．⋯⋯ 4分（2）因 g (x)f( x)2ax si n x ，所以 g ( x) 2 a cos x ．①当 a≥1， g ( x)≥1cos x≥0 ，所以函数 f( x) 在R上增．2若 x 0， f(x)f(0)0 ；若x0， f ( x) f (0)0 ，所以 f (x) 的增区是(0 ，) ，减区是( ，0)，所以 f (x) 在x0 取得极小，符合意．⋯⋯ 6分②当 a≤ -11cos x ≤ 0 ，所以函数 f( x) 在R上减．2， g ( x) ≤若 x 0， f(x)f(0)0 ；若x0， f ( x) f (0)0 ，所以 f (x) 的减区是(0 ，) ，增区是( ，0)，所以 f (x) 在x0 取得极大，不符合意．⋯⋯8分③ 当1a 1 ，x0(0 ， ) ，使得 cos x02a ，即 g ( x0 )0 ，22但当 x(0 ， x0 ) ，cosx2a ，即g (x) 0，所以函数 f ( x) 在 (0 ， x0 ) 上减，所以 f ( x) f (0)0 ，即函数 f (x) 在 (0 ， x0 ) 减，不符合意．上所述， a 的取范是 1 ，．⋯⋯10分2（3） h( x)ax2cos x x ln x （x0 ），11①若 a0，注意到 ln x x ， ln x2x 2，即ln x 2 x．⋯⋯12分2当x 1 4a 1，2ah ( x)2ax sin x1ln x 2 ax2 x 22( x14a 1)( x14a 1 ) 0．2a2a1 4 a12所以m，函数 h( x) 在 (m ，) 上增．⋯⋯ 14分2a②若 a ≤ 0，当 x>1，h ( x) 2 ax sin x 1ln xsin x 1ln x <0．所以m 1 ，函数h( x)在( m，+) 上减，上所述，函数y f ( x)xln x 在区 (0 ， ) 上广．⋯⋯ 16分数学Ⅱ（附加题）21．【做】本包括 A、 B、 C、D 四小，定其中两，并在相的答区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，按作答的前两分．解答写出文字明、明程或演算步．A． [ 修 4- 1：几何明 ] （本小分10 分）如，已知 ABO的一条弦，点 P 弧 AB的中点，点 P 任作两条弦 PC， PD，分交于点，．PAB E F求： PE PC PF PD ．【】PA，PB， CD，BC．因∠ PAB =∠ PCB，又点 P 弧 AB的中点，所以∠PAB =∠PBA，所以∠PCB =∠．⋯⋯4分PBA又∠ DCB =∠ DPB，所以∠ PFE =∠ PBA+∠ DPB =∠PCB+∠ DCB=∠ PCD，所以，，，C 四点共．E F D所以 PE PC PF PD．⋯⋯10分B． [ 修 4 2：矩与 ] （本小分10 分）-AE FBOCD（第 21- A 题）PA B E FOCD已知矩1a，点 (1， 1) 在M的作用下得到点( 1， 5) ，求矩M M =b1的特征．【解】由意，1a11，即1a，11b151b，5解得 a 2 ， b 4 ，所以矩 M =12⋯⋯5分1．4矩 M 的特征多式 f (122．) 5 6 14令 f ( )0，得 1 2 ， 23 ，所以 M 的特征 2和3．⋯⋯10分C ． [ 修 4- 4：坐 系与参数方程 ] （本小 分 10 分）在极坐 系中，已知 C 的 心在极 上，且 极点和点π ，求 C 的极坐(3 2，)4方程．【解】方法一：因 心C 在极 上且 极点，所以 C 的极坐 方程=acos ，⋯⋯4分π 在 C 上，又因 点 (3 2，)4所以3 π，解得a 6 ．2= a cos 4所以 C 的极坐 方程=6cos ．⋯⋯10分π 方法二：点(3 2 ， ) 的直角坐 (3 ，3) ，4因 C 点 (0 ，0) ， (3 ，3) ，所以 心 C 在直 x y 30 上．又 心 C 在极 上，所以 C 的直角坐 方程( x 3)2 y 29 ．⋯⋯6分 所以 C 的极坐 方程 =6cos ． ⋯⋯ 10分D ． [ 修 4 5：不等式 ] （本小 分10 分）-已知 a ， b ，c ， d 是正 数，且 abcd1，求 ： a 5 b 5 c 5d 5 ≥ a b c d ．【 】因 a ， b ， c ， d 是正 数，且abcd 1，所以 a 5 b c d ≥ 4 4 a 5 bcd 4a ． ①⋯⋯ 4 分同理 b 5c da ≥ 4b ， ②c 5d a b ≥ 4c ， ③ d 5a bc ≥ 4d ，④将①②③④式相加并整理，即得5555b cd ． ⋯⋯ 10 分a b c d ≥ a 【必做 】第22、 23 ，每小 10 分，共 20 分． 在答 卡指定区域内作答，解答．．．．．．．写出文字明、明程或演算步．22．（本小分 10 分）如，在四棱S ABCD 中，SD平面，四形ABCD是直角梯形，ABCDADCDAB 90， SD AD AB 2，DC 1．S（1）求二面角 S BC A 的余弦；（2） P 是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面 SAD所成角的正弦2 26 ，求段E13CP 的．D CAPB （第 22 题）【解】（1）以D坐原点，建立如所示空直角坐系 D xyz，zD (0 ，0，0) ， B(2 ，2，0) ， C (0 ，1，0) ， S(0 ，0，2) ，Suur uuur uuur(0 ，0 ，2) ．所以 SB(2，2， 2) ， SC(0 ，1， 2) ， DS平面 SBC的法向量n1( x，y，z)，Euur uuur由 n1 SB0 ， n1SC 0，得 2x 2 y 2 z0 且 y 2 z 0 ．D取 z 1 ，得 x1，y 2，A x所以 n1( 1，2 ，1)是平面 SBC的一个法向量．因SD 平面，取平面的一个法向量n2(0，0 ，1)．ABC ABC二面角 S BC A的大小，所以 cosn1n21 | n1|| n 2|6由可知二面角S BC A二面角，CyPB ⋯⋯ 2 分6，6所以二面角S BC A的余弦 6 ．⋯⋯5分6 uuur(2 ，1，0)uuur(1， 1 ，1) ．（2）由（ 1）知 E (1，0，1) ， CB， CEuuur uuur uuur(2 ，1，0)(2，，0)，CP CB（0≤≤1），CPuuur uuur uuur(12，1，1) ．所以 PE CE CP易知 CDuuur(0 ，1，0) 是平面SAD的一个法向量．平面 SAD ，所以CDPE 与平面 SAD 所成的角，uuur uuur uuur uuur所以 sinPE CD1cos PE ，CD，⋯⋯8分uuur uuur5 22PE CD3即51226 ，得 1 或11 （舍）．2231339所以uuur21uuur5，CP(，，，CP333所以段 CP 的 5 ．⋯⋯10分323．（本小分10 分）已知函数f0(x)cxax db（ a0 ， acbd0 ）． f n ( x) f n 1 (x) 的数，n N *．（1）求 f 1( x) ， f 2 ( x) ；（2）猜想 f n ( x) 的表达式，并明你的．【解】（1） f1 (x) f 0( x)cx d bc ad2，ax b(ax b)f2 ( x) f1 ( x)cb ad 2 a(bc ad)．⋯⋯ 2分(ax b)2(ax b)3（2）猜想 f n ( x)(1)n1a n 1(bc ad )n!， n N*．⋯⋯ 4分(ax b) n1明：①当 n1，由（ 1）知正确，② 假当n k ，k N*正确，即有 f k ( x)(1)k 1a k 1(bc ad)k! ．(ax b)k1当 n k1，f k 1 (x) f k( x)(1)k 1a k1(bc ad )k!( ax b) k1(1)k1a k 1(bc ad )k!(ax b) (k 1)(1)k a k(bc ad )(k1)!．(ax b) k 2所以当 n k1成立．由①②得，一切n N *正确．⋯⋯10分。
高三数学第三次调研试卷南通扬州泰州附答案
江苏省泰州市2017届高三第三次调研测试数学Ⅰ 2017.5一、填空题：（本大题共14小题，每题 5 分，共 70分）设复数，为虚数单位），若，则的值是 . 1. 已知会合，则 . 3. 某人随机播放甲、乙、丙、丁 4 首歌曲中的2 首，则甲、乙 2 两首歌曲最罕有 1 首播放的概率是 . 4. 右图是一个算法的流程图，则输出的的值是. 5．为检查某高校学生对“一带一路”政策的认识情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500 的样本 .其中大一年级抽取 200 人，大二年级抽取 100人， . 若其余年级共有学生 3000人，则该校学生总人数是 . 6.设等差数列的前项和为，若公差，则的值是. 7.在中， . 若的面积为，则的长是 .8．在平面直角坐标系中，若双曲线经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率是. 9.已知圆锥的侧面张开图是半径为 3 ，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高为. 10.若直线为曲线的一条切线，则实数的值为. 11.若正数知足，则的最小值是 . 12. 如图，在直角梯形中， , 若分别是线段和上的动点，则的取值范围为 . 13. 在平面直角坐标系中，已知点，为圆上一个动点，则的最大值为 . 14. 已知函数，若函数恰有2 个不同样的零点，则实数的取值范围为.二、解答题：本大题共 6 小题，共 90分 . 解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15.（此题满分 14分）已知函数图象的两条对称轴之间的距离为，且经过点（ 1 ）求函数的剖析式；（2）若角知足，求的值 .16. （此题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，分别为棱的中点.（ 1）平面；（ 2 ）平面 .17.（此题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且经过点（ 1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦AB过点F,且与轴不垂直，若D为轴上的一点，,求的值 .18.（此题满分16分）如图，半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面表示图.半径OA的长为 1百米，为了保护景点，基底管理部门从道路上采纳一点C,修建参观线路C-D-E-F，且CD,DE,EF 均与半圆. 相切，四边形CDEF为等腰梯形，设DE=t 百米，记修建每1百米参观线路的费用为万元，经测算（ 1）用表示线段的长；（2）求修建该参观线路的最低花销.19.（此题满分16分）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，正整数组 .（ 1）若，求的值；（ 2）若数组E中的三个数组成公差大于1的等差数列，且，求的最大值；（3）若，试写出知足条件的一个数字E和对应的通项公式.（注：本问不用写出解答过程）20.（此题满分16分）已知函数，记的导函数为（1）证明：当时，在R上单一递增；（ 2）若在处获取极小值，求的取值范围；（ 3）设函数的定义域为D,区间，若在上是单一函数，则称在 D上广义单调，试证明函数在上广义单调.江苏省泰州市2017届高三第三次调研测试数学Ⅱ21.【选做题】在A,B,C,D四个小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答题纸的指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .A.选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB为圆O的一条弦，点P为弧AB的中点，过点P任作两条弦PC,PD,分别交AB于点E,F.求证：.B.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，点在M对应的变换作用下获取点，求矩阵M的特征值 .C. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C的圆心在极轴上，且过极点和点，求圆 C 的极坐标方程.D. 选修4-5：不等式选讲已知是正实数，且，求证：【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. （本小题满分 10分）如图，在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，（ 1）求二面角的余弦值；（2）设是棱上一点，是的中点，若与平面所成角的正弦值为，求线段的长 .23.（本小题满分10分）已知函数，设是的导数（ 1）求；（ 2）猜想的表达式，并证明你的结论 .。
2017年江苏省泰州市高考数学三模试卷
2017年江苏省泰州市高考数学三模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.设复数z=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），若z=（4+3i）i，则ab的值是______ ．【答案】-12【解析】解：∵a+bi=（4+3i）i=-3+4i．∴a=-3，b=4．∴ab=-12．故答案为：-12．利用复数的运算法则、复数相等即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知集合U={x|x＞0}，A={x|x≥2}，则∁U A= ______ ．【答案】{x|0＜x＜2}【解析】解：集合U={x|x＞0}，A={x|x≥2}，则∁U A={x|0＜x＜2}．故答案为：{x|0＜x＜2}．根据补集的定义写出运算结果即可．本题考查了补集的定义与运算问题，是基础题．3.某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是______ ．【答案】【解析】解：∵随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，∴基本事件总数n==6，甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是甲、乙2首歌曲都没有被播放，∴甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率：p=1-=．故答案为：．先求出基本事件总数n==6，甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是甲、乙2首歌曲都没有被播放，由此能求出甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．4.如图是一个算法流程图，则输出的k的值是______ ．【答案】3【解析】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=1S=2，不满足条件S＞10，k=2，S=6不满足条件S＞10，k=3，S=15满足条件S＞10，退出循环，输出k的值为3．故答案为：3．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．本题给出程序框图，要我们求出最后输出值，着重考查了算法语句的理解和循环结构等知识，属于基础题．5.为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是______ ．【答案】7500【解析】解：由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是=7500．故答案为：7500．由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生3000人，即可求出该校学生总人数．本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．6.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若公差d=2，a5=10，则S10的值是______ ．【答案】110【解析】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若公差d=2，a5=10，∴a5=a1+4×2=10，解得a1=2，∴S10=10×2+=110．故答案为：110．利用等差数列通项公式求出首项a1=2，由此利用等差数列前n项和公式能求出S10．本题考查等差数列的前10项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．7.在锐角△ABC中，AB=3，AC=4，若△ABC的面积为3，则BC的长是______ ．【答案】【解析】解：因为锐角△ABC的面积为3，且AB=3，AC=4，所以×3×4×sin A=3，所以sin A=，所以A=60°，所以cos A=，所以BC===．故答案为：．利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，比较基础．8.在平面直角坐标系x O y中，若双曲线-y2=1（a＞0）经过抛物线y2=8x的焦点，则该双曲线的离心率是______ ．【答案】【解析】解：根据题意，抛物线的方程为y2=8x，其焦点为（2，0），若双曲线-y2=1（a＞0）经过点（2，0），则有-0=1，解可得a2=4，即双曲线的方程为：-y2=1，则a=2，c==，则双曲线的离心率e==；故答案为：．根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，将其代入双曲线的方程可得a2的值，即可得双曲线的方程，计算可得c的值，由双曲线离心率公式计算可得答案．本题考查双曲线、抛物线的几何性质，注意由抛物线的几何性质求出其焦点坐标．9.圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高是______ ．【答案】2【解析】解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=，r=1；圆锥的高为：=2．故答案为：2．利用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解得到圆锥的底面半径，然后利用勾股定理确定圆锥的高即可．主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．10.若直线y=2x+b为曲线y=e x+x的一条切线，则实数b的值是______ ．【答案】1【解析】解：∵y=e x+x，∴y′=e x+1，设切点为P（x0，e x0+x0），则过P的切线方程为y-e x0-x0=（e x0+1）（x-x0），整理，得y=（e x0+1）x-e x0•x0+e x0，∵直线是y=2x+b是曲线y=e x+x的一条切线，∴e x0+1=2，e x0=1，x0=0，∴b=1．故答案为1．先设出切点坐标P（x0，e x0+x0），再利用导数的几何意义写出过P的切线方程，最后由直线是y=2x+b是曲线y=e x+x的一条切线，求出实数b的值．本题考查导数的几何意义，解题时要注意发现隐含条件，辨别切线的类型，分别采用不同策略解决问题．11.若正实数x，y满足x+y=1，则的最小值是______ ．【答案】8【解析】解：根据题意，x，y满足x+y=1，则=+=+-1=（x+y）（+）-1=（1+4++）-1=（+）+4≥2+4=8，即的最小值是8；故答案为：8．根据题意，将变形可得则=+=+-1=（x+y）（+）-1=（1+4++）-1=（+）+4，由基本不等式分析可得答案．本题考查基本不等式的应用，关键是将变形为（+）+4．12.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=3，BC=DC=2，若E，F分别是线段DC和BC上的动点，则的取值范围是______ ．【答案】[-4，6]【解析】解：∵AB∥DC，∠ABC=90°，AB=3，BC=DC=2，且E，F分别是线段DC和BC上的动点，∴=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），又=+，=+，∴=（+）•（+）=（+）•（λ+μ）=λ+μ=9λ+4μ．∵0≤λ≤，∴0≤9λ≤6①，又-1≤μ≤0，∴-4≤4μ≤0②，①+②得：-4≤9λ+4μ≤6．即的取值范围是[-4，6]，故答案为：[-4，6]．依题意，设=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），由=+，=+，可求得=（+）•（+）=λ+μ=9λ+4μ；再由0≤λ≤，-1≤μ≤0，即可求得-4≤9λ+4μ≤6，从而可得答案．本题考查平面向量数量积的坐标运算，设=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），并求得=9λ+4μ是关键，考查平面向量加法的三角形法与共线向量基本定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．13.在平面直角坐标系x O y中，已知点A（0，-2），点B（1，-1），P为圆x2+y2=2上一动点，则的最大值是______ ．【答案】2【解析】解：设P（x，y），=t，则（1-t2）x2+（1-t2）y2-2x+（2-4t2）y+2-4t2=0，圆x2+y2=2两边乘以（1-t2），两圆方程相减可得x-（1-2t2）y+2-3t2=0，（0，0）到直线的距离d=，∵t＞0，∴0＜t≤2，∴的最大值是2，故答案为2．设出=t，化简可得圆的方程，运用两圆相减得交线，考虑圆心到直线的距离不大于半径，即可得出结论．本题考查圆的方程，考查圆与圆位置关系的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14.已知函数f（x）=若函数g（x）=2f（x）-ax恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围是______ ．【答案】（-，2）【解析】解：g（x）=，显然，当a=2时，g（x）有无穷多个零点，不符合题意；当x≥a时，令g（x）x=0得x=0，当x＜a时，令g（x）=0得x=0或x2=，（1）若a＞0且a≠2，则g（x）在[a，+∞）上无零点，在（-∞，a）上存在零点x=0和x=-，∴≥a，解得0＜a＜2，（2）若a=0，则g（x）在[0，+∞）上存在零点x=0，在（-∞，0）上存在零点x=-，符合题意；（3）若a＜0，则g（x）在[a，+∞）上存在零点x=0，∴g（x）在（-∞，a）上只有1个零点，∵0∉（-∞，a），∴g（x）在（-∞，a）上的零点为x=-，∴-＜a，解得-＜a＜0．综上，a的取值范围是（-，2）．故答案为（-，2）．求出g（x）的解析式，计算g（x）的零点，讨论g（x）在区间[a，+∞）上的零点个数，得出g（x）在（-∞，a）上的零点个数，列出不等式解出a的范围．本题考查了函数零点的个数判断，分类讨论思想，属于中档题．二、解答题(本大题共8小题，共110.0分)15.已知函数f（x）=A sin（ωx+）（A＞0，ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点（，）（1）求函数f（x）的解析式；（2）若角α满足f（α）+f（α-）=1，α∈（0，π），求α值．【答案】解：（1）由条件，周期T=2π，即=2π，所以ω=1，即f（x）=A sin（x+）．因为f（x）的图象经过点（，），所以A sin=．∴A=1，∴f（x）=sin（x+）．（2）由f（α）+f（α-）=1，得sin（α+）+sin（α-+）=1，即sin（α+）-cos（α+）=1，可得：2sin[（）-]=1，即sin．因为α∈（0，π），解得：α=或．【解析】（1）由条件可求周期，利用周期公式可求ω=1，由f（x）的图象经过点（，），可求A sin=．解得A=1，即可得解函数解析式．（2）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得sin．结合范围α∈（0，π），即可得解α的值．本题主要考查了由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数恒等变换的应用及正弦函数的图象和性质，属于基础题．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP=AD，M，N分别为棱PD，PC的中点．求证：（1）MN∥平面PAB（2）AM⊥平面PCD．【答案】证明：（1）因为M、N分别为PD、PC的中点，所以MN∥DC，又因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC．所以MN∥AB，又AB⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB．（2）因为AP=AD，P为PD的中点，所以AM⊥PD．因为平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，又AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM．因为CD、PD⊂平面PCD，CD∩PD=D，∴AM⊥平面PCD．【解析】（1）推导出MN∥DC，AB∥DC．从而MN∥AB，由此能证明MN∥平面PAB．（2）推导出AM⊥PD，CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，进而CD⊥AM，由此能证明AM⊥平面PCD．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．17.在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-1，0），且经过点（1，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦AB过点F，且与x轴不垂直．若D为x轴上的一点，DA=DB，求的值．【答案】解：（1）由题意，F（-1，0），由焦点F2（1，0），且经过P（1，），由丨PF丨+丨PF2丨=2a，即2a=4，则a=2，b2=a2-c2=3，∴椭圆的标准方程；（2）设直线AB的方程为y=k（x+1）．①若k =0时，丨AB 丨=2a =4，丨FD 丨+丨FO 丨=1， ∴丨 丨丨 丨=4．②若k ≠0时，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点为M （x 0，y 0），，整理得：（4k 2+3）x 2+8k 2x +4k 2-12=0，∴x 1+x 2=-，则x 0=-，则y 0=k （x 0+1）=． 则AB 的垂直平分线方程为y -=-（x +），由丨DA 丨=丨DB 丨，则点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点， ∴D （-，0），∴丨DF 丨=-+1=，由椭圆的左准线的方程为x =-4，离心率为，由丨 丨= ，得丨AF 丨=（x 1+4），同理丨BF 丨=（x 2+4），∴丨AB 丨=丨AF 丨+丨BF 丨= （x 1+x 2）+4=，∴丨 丨丨 丨=4则综上，得丨 丨丨 丨的值为4．【解析】（1）根据椭圆的定义，即可求得2a =4，由c =1，b 2=a 2-c 2=3，即可求得椭圆的标准方程；（2）分类讨论，当直线的斜率存在时，代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式求得M 点坐标，求得直线AB 垂直平分线方程，即可求得D 点坐标，由椭圆的第二定义，求得丨AF 丨=（x 1+4），即丨BF 丨=（x 2+4），利用韦达定理即可求得丨AB 丨，即可求得丨 丨丨 丨的值．本题考查椭圆方程、韦达定理、向量知识、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．18.如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C-D-E-F ，且CD ，DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形，设DE=t 百米，记修建每1百米参观线路的费用为f （t ）万元，经测算f （t ）= ， ＜，＜ ＜（1）用t表示线段EF的长；（2）求修建参观线路的最低费用．【答案】解：（1）设DQ与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF是等腰梯形知，OQ⊥DE，以CF所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xoy．设EF与圆切于G点，连接OG，过点E作EH⊥OF，垂足为H．∵EH=OG，∠OFG=∠EFH，∠GOF=∠HEF，∴R t△EHF≌R t△OGF，∴HF=FG=EF-t．∴EF2=1+HF2=1+，解得EF=+（0＜t＜2）．（2）设修建该参观线路的费用为y万元．①当＜，由y=5=5．y′=＜0，可得y在，上单调递减，∴t=时，y取得最小值为32.5．②当＜＜时，y==12t+--．y′=12-+=．∵＜＜，∴3t2+3t-1＞0．∴t∈，时，y′＜0，函数y此时单调递减；t∈（1，2）时，y′＞0，函数y此时单调递增．∴t=1时，函数y取得最小值24.5．由①②知，t=1时，函数y取得最小值为24.5．答：（1）EF=+（0＜t＜2）（百米）．（2）修建该参观线路的最低费用为24.5万元．【解析】（1）设DQ与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF是等腰梯形知，OQ⊥DE，以CF所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xoy．设EF与圆切于G点，连接OG，过点E作EH⊥OF，垂足为H．可得R t△EHF≌R t△OGF，HF=FG=EF-t．利用EF2=1+HF2=1+，解得EF．（2）设修建该参观线路的费用为y万元．①当＜，由y=5=5．利用y′，可得y在，上单调递减，即可得出y的最小值．②当＜＜时，y==12t+--．利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的极值与最值、不等式的性质、直线与圆相切的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.已知{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，q≠±1，正整数组E=（m，p，r）（m＜p＜r）（1）若a1+b2=a2+b3=a3+b1，求q的值；（2）若数组E中的三个数构成公差大于1的等差数列，且a m+b p=a p+b r=a r+b m，求q 的最大值．（3）若b n=（-）n-1，a m+b m=a p+b p=a r+b r=0，试写出满足条件的一个数组E和对应的通项公式a n．（注：本小问不必写出解答过程）【答案】（1）∵a1+b2=a2+b3=a3+b1，∴a1+b1q==a1+2d+b1，化为：2q2-q-1=0，解：q≠±1．解得q=-．（2）a m+b p=a p+b r=a r+b m，即a p-a m=b p-b r，∴（p-m）d=b m（q p-m-q r-m），同理可得：（r-p）d=b m（q r-m-1）．∵m，p，r成等差数列，∴p-m=r-p=（r-m），记q p-m=t，则2t2-t-1=0，∵q≠±1，t≠±1，解得t=．即q p-m=，∴-1＜q＜0，记p-m=α，α为奇数，由公差大于1，∴α≥3．∴|q|=≥，即q，当α=3时，q取得最大值为-．（3）满足题意的数组为E=（m，m+2，m+3），此时通项公式为：a n=，m∈N*．例如E=（1，3，4），a n=．【解析】（1）由a1+b2=a2+b3=a3+b1，利用等差数列与等比数列的通项公式可得：a1+b1q= =a1+2d+b1，化简解出即可得出．（2）a m+b p=a p+b r=a r+b m，即a p-a m=b p-b r，可得（p-m）d=b m（q p-m-q r-m），同理可得：（r-p）d=b m（q r-m-1）．由m，p，r成等差数列，可得p-m=r-p=（r-m），记q p-m=t，解得t=．即q p-m=，由-1＜q＜0，记p-m=α，α为奇数，由公差大于1，α≥3．可得|q|=≥，即q，即可得出．（3）满足题意的数组为E=（m，m+2，m+3），此时通项公式为：a n=，m∈N*．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.已知函数f（x）=ax2+cosx（a∈R）记f（x）的导函数为g（x）（1）证明：当a=时，g（x）在R上的单调函数；（2）若f（x）在x=0处取得极小值，求a的取值范围；（3）设函数h（x）的定义域为D，区间（m，+∞）⊆D．若h（x）在（m，+∞）上是单调函数，则称h（x）在D上广义单调．试证明函数y=f（x）-xlnx在0，+∞）上广义单调．【答案】（1）证明：a=时，f（x）=x2+cosx，故f′（x）=x-sinx，即g（x）=x-sinx，g′（x）=1-cosx≥0，故g（x）在R递增；（2）解：∵g（x）=f′（x）=2ax-sinx，∴g′（x）=2a-cosx，①a≥时，g′（x）≥1-cosx≥0，函数f′（x）在R递增，若x＞0，则f′（x）＞f（0）=0，若x＜0，则f′（x）＜f′（0）=0，故函数f（x）在（0，+∞）递增，在（-∞，0）递减，故f（x）在x=0处取极小值，符合题意；②a≤-时，g′（x）≤-1-cosx≤0，f′（x）在R递减，若x＞0，则f′（x）＜f′（0）=0，若x＜0，则f′（x）＞f′（0）=0，故f（x）在（0，+∞）递减，在（-∞，0）递增，故f（x）在x=0处取极大值，不合题意；③-＜a＜时，存在x0∈（0，π），使得cosx0=2a，即g′（x0）=0，但当x∈（0，x0）时，cosx＞2a，即g′（x）＜0，f′（x）在（0，x0）递减，故f′（x）＜f′（0）=0，即f（x）在（0，x0）递减，不合题意，综上，a的范围是[，+∞）；（3）解：记h（x）=ax2+cosx-xlnx（x＞0），①a＞0时，lnx＜x，则ln＜，即lnx＜2，当x＞时，h′（x）=2ax-sinx-1-lnx＞2ax-2-2=2（-）（-）＞0，故存在m=，函数h（x）在（m，+∞）递增；②a≤0时，x＞1时，h′（x）=2ax-sinx-1-lnx＜-sinx-1-lnx＜0，故存在m=1，函数h（x）在（m，+∞）递减；综上，函数y=f（x）-xlnx在（0，+∞）上广义单调．【解析】（1）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，单调函数的极小值，从而确定a的具体范围即可；（3）记h（x）=ax2+cosx-xlnx（x＞0），求出函数的导数，通过讨论a的范围结合函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．21.如图，已知AB为圆O的一条弦，点P为弧的中点，过点P任作两条弦PC，PD分别交AB于点E，F求证：PE•PC=PF•PD．【答案】解：连结PA、PB、CD、BC，因为∠PAB=∠PCB，又点P为弧AB的中点，所以∠PAB=∠PBA，所以∠PCB=∠PBA，又∠DCB=∠DPB，所以∠PFE=∠PBA+∠DPB=∠PCB+∠DCB=∠PCD，所E、F、D、C四点共圆．所以PE•PC=PF•PD．【解析】连结PA、PB、CD、BC，推导出∠PFE=∠PBA+∠DPB=∠PCB+∠DCB=∠PCD，从而E、F、D、C四点共圆．由此能证明PE•PC=PF•PD．本题考查两组线段乘积相等的证明，考查弦切角、切割线定理、圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．22.已知矩阵M=，点（1，-1）在M对应的变换作用下得到点（-1，5），求矩阵M的特征值．【答案】解：由题意，=，即，解得a=2，b=4，所以矩阵M=．所以矩阵M的特征多项式为f（λ）==λ2-5λ+6，令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为2和3．【解析】设出矩阵，利用特征向量的定义，即二阶变换矩阵的概念，建立方程组，即可得到结论．本题考查特征值，考查二阶变换矩阵，考查学生的计算能力，属于中档题．三、填空题(本大题共2小题，共10.0分)23.在坐标系中，圆C的圆心在极轴上，且过极点和点（3，），求圆C的极坐标方程．【答案】解：因为圆心C在极轴上且过极点，所以设圆C的极坐标方程为：ρ=acosθ，又因为点（3，）在圆C上，所以=acos，解得a=6，所以圆C的极坐标方程为：ρ=6cosθ．【解析】因为圆心C在极轴上且过极点，所以设圆C的极坐标方程为：ρ=acosθ，又因为点（3，）在圆C上，代入解得ρ即可得出圆C的极坐标方程．本题考查了圆的极坐标方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．24.知a，b，c，d是正实数，且abcd=1，求证：a5+b5+c5+d5≥a+b+c+d．【答案】证明：∵a，b，c，d是正实数，且abcd=1，∴a5+b+c+d≥4=4a，同理可得：a+b5+c+d≥4=4b，a+b+c5+d≥4=4c，a+b+c+d5≥4=4d，将上面四式相加得：a5+b5+c5+d5+3a+3b+3c+3d≥4a+4b+4c+4d，∴a5+b5+c5+d5≥a+b+c+d．【解析】由不等式的性质可得：a5+b+c+d≥4=4a，同理可得其他三个式子，将各式相加即可得出结论．本题考查了不等式的证明，属于中档题．四、解答题(本大题共2小题，共20.0分)25.如图，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC=∠DAB=90°，SD=AD=AB=2，DC=1（1）求二面角S-BC-A的余弦值；（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长．【答案】解：（1）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，1，0），S（0，0，2）∴，，，，，，，，设面SBC的法向量为，，由可取，，∵SD⊥面ABC，∴取面ABC的法向量为，，|cos＜，＞|=，∵二面角S-BC-A为锐角．二面角S-BC-A的余弦值为（2）由（1）知E（1，0，1），则，，，，，，设，（0≤λ≤1）．则，，，，，易知CD⊥面SAD，∴面SAD的法向量可取，，|cos＜，＞|=，解得λ=或λ=（舍去）．此时，，，∴||=，∴线段CP的长为【解析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），B（2，2，0），C （0，1，0），S（0，0，2），利用空间向量求解．本题考查了空间向量求解面面角，线面角，解题时要仔细运算，合理转化，属于中档题．26.已知函数f0（x）=（a≠0，ac-bd≠0），设f n（x）为f n-1（x）的导数，n∈N*．（1）求f1（x），f2（x）（2）猜想f n（x）的表达式，并证明你的结论．【答案】解：（1）f1（x）=f0′（x）=，f2（x）=f1′（x）=[]′=；（2）猜想f n（x）=！，n∈N*，证明：①当n=1时，由（1）知结论正确；②假设当n=k，k∈N*时，结论正确，即有f k（x）=！=（-1）k-1a k-1（bc-ad）•（k+1）![（ax+b）-（k+1）]′=所以当n=k+1时结论成立，由①②得，对一切n∈N*结论正确．【解析】（1）利用条件，分别代入直接求解；（2）先说明当n=1时成立，再假设n=K（K∈N*）时，猜想成立，证明n=K+1时，猜想也成立．从而得证．本题主要考查数学归纳法证明猜想，应注意证题的完整性．。
2017届南通市三模数学试卷与参考答案word版
南通市2017届高三第三次调研测试数学学科参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 设复数i z a b =+（a b ∈，R ，i 为虚数单位）．若(43i)i z =+，则ab 的值是 ▲ ．【答案】12-2． 已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x ≥，则U A ð= ▲ ．【答案】{|02}x x <<3． 某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是 ▲ ． 【答案】564． 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．【答案】35． 为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本．其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生 3000人，则该校学生总人数是 ▲ ． 【答案】75006． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若公差2d =，510a =，则10S 的值是 ▲ ． 【答案】1107． 在锐角△ABC 中，3AB =，4AC =．若△ABC 的面积为BC 的长是 ▲ ． 8． 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221x y a-=（0a >）经过抛物线28y x =的焦点，则 该双曲线的离心率是 ▲ ．9． 已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π3的扇形，则这个圆锥的高为 ▲ ．（第4题）【答案】10．若直线2y x b =+为曲线e x y x =+的一条切线，则实数b 的值是 ▲ ． 【答案】111．若正实数x y ，满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 ▲ ． 【答案】812．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90ABC ∠=︒，3AB =，2BC DC ==．若E F ，分别是线段DC 和BC 上 的动点，则AC EF ⋅u u u r u u u r的取值范围是 ▲ ． 【答案】[]46-，13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)A -，，点(11)B -，，P 为圆222x y +=上一动点， 则PBPA的最大值是 ▲ ． 【答案】214．已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】3(2)2-， 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()π()sin 3f x A x ω=+（00A ω>>，）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点π(3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若角α满足π()()12f αα+-=，(0π)α∈，，求角α的值．【解】（1）由条件，周期2πT =，即2π2πω=，所以1ω=，即()π()sin 3f x A x =+． …… 3分（第12题）（第16题）ABCDP M N因为()f x的图象经过点π(3，所以2πsin 3A ，所以1A =，所以()π()sin 3fx x =+． …… 6分（2）由π()()12f αα+-=，得()()πππsin 1332αα+++-=， …… 8分 即()()ππsin 133αα++=，所以()ππ2sin 133α⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，即1sin 2α=． …… 12分因为()0πα∈，，所以π6α=或5π6． …… 14分 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，AP =AD ，M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点．求证：（1）MN ∥平面PAB ； （2）AM ⊥平面PCD ．【证】（1）因为M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点， 所以MN ∥DC ， …… 2分又因为底面ABCD 是矩形，所以AB ∥DC ，所以MN ∥AB ． …… 4分 又AB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB ． …… 6分 （2）因为AP =AD ，M 为PD 的中点，所以AM ⊥PD ． …… 8分因为平面PAD ⊥平面ABCD ，又平面PAD ∩平面ABCD = AD ，CD ⊥AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ． …… 10分又AM ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AM ． …… 12分 因为CD ，PD ⊂平面PCD ，CD PD D =I ，（第17题）所以AM ⊥平面PCD ． …… 14分17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的左焦点为(10)F -，，且经过点3(1)2，． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直．若D 为x 轴上的一点，DA DB =，求AB DF【解】（1）方法一：由题意，得2222211914c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，，，…… 3分解得2243.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的标准方程为22143y x +=． …… 5分方法二：由题意，知24a =，所以2a =． …… 2分 又1c =，222a b c =+，所以b =，所以椭圆的标准方程为22143y x +=． …… 5分（2）方法1：设直线AB 的方程为(1)y k x =+．① 若k =0时，AB =2a =4，FD =FO =1，所以4AB DF =； …… 6分② 若k ≠0时， 11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，代入椭圆方程，整理得2222(34)84120k x k x k+++-=，所以12x x ==，所以202434k x k=-+， …… 8分所以0023(1)34k y k x k =+=+， 所以AB 的垂直平分线方程为()2223143434k k y x k k k -=-+++． 因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以22(0)34k D k-+，， 所以22223313434k k DF k k +=-+=++． …… 10分 因为椭圆的左准线的方程为4x =-，离心率为12，由1142AF x =+，得11(4)2AF x =+，同理21(4)2BF x =+．所以2120211212()44234k AB AF BF x x x k +=+=++=+=+． …… 12分 所以4AB DF=．综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法2：设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =； …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，由22112222144144x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得22221212043x x y y --+=，所以120120()()043x x x y y y -⋅-⋅+=， 所以直线AB 的斜率为01212034x y y x x y -=--， …… 8分 所以AB 的垂直平分线方程为00004()3y y y x x x -=-．因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以0(0)4x D ，，所以014x FD =+． …… 10分同方法一，有04AB x =+， …… 12分所以4AB DF=．综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法3：① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =． …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，， 则AB 的中点为1212()22x x y y M ++，， 所以AB 的垂直平分线方程为12121212()22y y x x x xy x y y +-+-=---． 8分 令y =0，得221212122()2D y y x x x x x -+=+- 22221212122()y y x x x x -+-=-2222121212113(1)3(1)442()x x x x x x -+-+-=-22121211442()x x x x -=- 128x x +=．所以1218x x DF +=+． …… 10分 同方法一，有121()42AB x x =++， …… 12分所以4AB DF=．综上，得AB DF 的值为4． …… 14分18．（本小题满分16分）如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米． 为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C -D -E -F ，且CD ，O AC B DlEF Qx yDE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE ＝t 百米，记修建每1百米参观线路的费用为()f t 万元，经测算1503()118 2.3t f t t t ⎧<⎪=⎨⎪-<<⎩，，≤， （1）用t 表示线段EF 的长；（2）求修建该参观线路的最低费用．【解】设DE 与半圆相切于点Q ，则由四边形CDEF是等腰梯形知OQ l ⊥，DQ ＝QE ，以OF 所在 直线为x 轴，OQ 所在直线为y 轴，建立如图 所示的平面直角坐标系xOy ． （1）方法一：由题意得，点E 的坐标为(1)2t ，， …… 1分 设直线EF 的方程为1()2t y k x -=-（0k <），即1102kx y tk -+-=．因为直线EF 与半圆相切，所以圆心O 到直线EF 21|1|211tk k -=+，解得244t k t =-． …… 3分代入1()2t y k x -=-可得，点F 的坐标为1(0)4t t +，． …… 5分 所以211()1424t t tEF t t =+-++，即14EF t t=+（02t <<）． …… 7分 ODl E（第18题）方法二：设EF 切圆O 于G ，连结过点E 作EH AB ⊥，垂足为H ． 因为EH OG =，OFG EFH ∠=∠，GOF HEF ∠=∠，所以Rt △EHF ≌Rt △OGF ， …… 3分 所以12HF FG EF t ==-．由222111()2EF HF EF t =+=+-， …… 5分所以14t EF t=+（02t <<）． …… 7分（2）设修建该参观线路的费用为y 万元．① 当103t <≤，122())4355(2t t t y t t ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦++，由235(22)0y t '=-<，则y 在(103⎤⎥⎦，上单调递减． 所以当13t =时，y 取最小值为32.5； …… 11分② 当123t <<时，2111632)2()4(1228t t t t t t y t ⎡⎤=-=+⎢⎥⎣--⎦++， 所以22334(1)(331)16241t t t t t t y '=+-+--=， …… 13分因为123t <<，所以23310t t +->，且当1(1)3t ∈，时，0y '<；当(12)t ∈，时，0y '>， 所以y 在1(1)3，上单调递减；在(12)，上单调递增． 所以当1t =时，y 取最小值为24.5．由①②知，y 取最小值为24.5． …… 15分答：（1）EF 的长为1()4t t+百米；（2）修建该参观线路的最低费用为24.5万元． …… 16分19．（本小题满分16分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，1q ≠±，正整数组 ()E m p r =，，（m p r <<）． OC（1）若122331a b a b a b +=+=+，求q 的值；（2）若数组E 中的三个数构成公差大于1的等差数列，且m p a b +=p r a b +=r m a b +，求q 的最大值；（3）若11()2n n b -=-，m m a b +=p p a b +=0r r a b +=，试写出满足条件的一个数组E和对应的通项公式n a ．（注：本小问不必写出解答过程）【解】（1）由条件，知21111211112a b q a d b q a d b q a d b ⎧+=++⎪⎨++=++⎪⎩，，即2121()(1).d b q q d b q ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以2210q q --=． …… 2分 因为1q ≠±，所以12q =-． …… 4分（2）由m p a b +=p r a b +，即p m p r a a b b -=-，所以()()p m r m m p m d b q q ---=-，同理可得，()(1)r m m r p d b q --=-． …… 6分 因为m p r ，，成等差数列， 所以1()2p m r p r m -=-=-．记p m q t -=，则有2210t t --=，因为1q ≠±，所以1t ≠±，故12t =-，即12p m q -=-． …… 8分所以10q -<<．记p m α-=，则α为奇数，又公差大于1，所以3α≥， …… 10分 所以11311||()()22q α=≥，即131()2q ≤-，当3α=时，q 取最大值为131()2-． …… 12分（3）满足题意的数组(23)E m m m =++，，，此时通项公式为1133()(1)288m n a n m -=---，*m ∈N ．例如：(134)E =，，，31188n a n =-． …… 16分20．（本小题满分16分）已知函数2()cos f x ax x =+（a ∈R ），记()f x 的导函数为()g x ． （1）证明：当12a =时，()g x 在R 上单调递增；（2）若()f x 在0x =处取得极小值，求a 的取值范围；（3）设函数()h x 的定义域为D ，区间(+)m D ∞⊆，，若()h x 在(+)m ∞，上是单调函数，则称()h x 在D 上广义单调．试证明函数()ln y f x x x =-在(0)+∞，上广义单调．【解】（1）当12a =时，21()cos 2f x x x =+，所以()sin f x x x '=-，即()sin g x x x =-， …… 2分 所以()1cos 0g x x '=-≥，所以()g x 在R 上单调递增． …… 4分 （2）因为()i )2s n (g x x f ax x '=-=，所以2c (s )o a g x x -'=．① 当12a ≥时，()1cos 0g x x '-≥≥，所以函数()f x '在R 上单调递增． 若0x >，则()(0)0f x f ''>=；若0x <，则()(0)0f x f ''<=， 所以()f x 的单调增区间是(0)+∞，，单调减区间是(0)-∞，，所以()f x 在0x =处取得极小值，符合题意． …… 6分 ② 当12a ≤-时，()1cos 0g x x '--≤≤，所以函数()f x '在R 上单调递减．若0x >，则()(0)0f x f ''<=；若0x <，则()(0)0f x f ''>=， 所以()f x 的单调减区间是(0)+∞，，单调增区间是(0)-∞，，所以()f x 在0x =处取得极大值，不符合题意． …… 8分 ③ 当1122a -<<时，0(0)x ∃∈π，，使得0cos 2x a =，即0()0g x '=，但当0(0)x x ∈，时，cos 2x a >，即()0g x '<，所以函数()f x '在0(0)x ，上单调递减，所以()(0)0f x f ''<=， 即函数()f x 在0(0)x ，单调递减，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是)12⎡+∞⎢⎣，． …… 10分（3）记2()cos ln h x ax x x x =+-（0x >），① 若0a >，注意到ln x x <，则1122ln x x <，即ln x <． …… 12分当2x >时，()2sin 1ln 22h x ax x x ax '=--->-0=>．所以2m ∃=，函数()h x 在()m +∞，上单调递增．…… 14分 ② 若0a ≤，当x >1时，()2sin 1ln sin 1ln h x ax x x x x '=---<---<0．所以1m ∃=，函数()h x 在(+)m ∞，上单调递减，综上所述，函数()ln y f x x x =-在区间(0)+∞，上广义单调． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知AB 为圆O 的一条弦，点P 为弧AB 的中点，过点P 任作两条弦PC ，PD ， 分别交AB 于点E ，F ． 求证：PE PC PF PD ⋅=⋅． 【证】连结PA ，PB ，CD ，BC ．因为∠PAB =∠PCB ，又点P 为弧AB 的中点，所以∠PAB =∠PBA ，所以∠PCB =∠PBA ． …… 4分 又∠DCB =∠DPB ，所以∠PFE =∠PBA+∠DPB =∠PCB+∠DCB =∠PCD ， 所以E ，F ，D ，C 四点共圆．所以PE PC PF PD ⋅=⋅． …… 10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1=1a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ，点(11)-，在M 对应的变换作用下得到点(15)--，，求矩阵M 的特征值．【解】由题意，111115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1115a b -=-⎧⎨--=-⎩，， 解得2a =，4b =，所以矩阵12=14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ． …… 5分 矩阵M 的特征多项式为212()5614f λλλλλ--==-+-．（第21-A 题）令()0f λ=，得12λ=，23λ=，所以M 的特征值为2和3． …… 10分 C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C 的圆心在极轴上，且过极点和点π(32)4，，求圆C 的极坐标方程．【解】方法一：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 的极坐标方程为=cos a ρθ， …… 4分 又因为点π(32)4，在圆C 上， 所以π32=cos a 4，解得6a =．所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分 方法二：点π(32)4，的直角坐标为(33)，， 因为圆C 过点(00)，，(33)，， 所以圆心C 在直线为30x y +-=上． 又圆心C 在极轴上，所以圆C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=． …… 6分所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分 D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd 1，求证：5555a b c d a b c d ++++++≥． 【证】因为a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd 1，所以45544a b c d a bcd a +++=≥． ① …… 4分 同理54b c d a b +++≥， ②54c d a b c +++≥， ③ 54d a b c d +++≥， ④将①②③④式相加并整理，即得5555a b c d a b c d ++++++≥． …… 10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应D ACBSPE （第22题）写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，2SD AD AB ===，1DC =．（1）求二面角S BC A --的余弦值；（2）设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE与平面SADCP 的长．【解】（1）以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则(000)D ，，，(220)B ，，，(010)C ，，，(002)S ，，所以(222)SB =-u u r ，，，(012)SC =-u u u r ，，，(00DS =u u u r，设平面SBC 的法向量为1()x y z =，，n ， 由10SB ⋅=u u r n ，10SC ⋅=u u u rn ，得2220x y z +-=且20y z -=． 取1z =，得1x =-，2y =，所以1(121)=-，，n 是平面SBC 的一个法向量． …… 2分 因为SD ⊥平面ABC ，取平面ABC 的一个法向量2(001)=，，n ． 设二面角S BC A --的大小为θ，所以1212cos |||θ⋅===n n |n n由图可知二面角S BC A --为锐二面角，所以二面角S BC A --…… 5分（2）由（1）知(101)E ，，，则(210)CB =u u u r ，，，(111)CE =-u u u r，，． 设CP CB λ=u u u r u u u r（01λ≤≤），则(20(210))CP λλλ==u u u r ，，，，， 所以(1211)PE CE CP λλ=-=---u u u r u u u r u u u r，，． 易知CD ⊥平面SAD ，所以(010)CD =u u u r，，是平面SAD 的一个法向量． 设PE 与平面SAD 所成的角为α，所以sin cos PE CD PE CD PE CD α⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，， …… 8分=，得13λ=或119λ=（舍）． 所以21(0)33CP =u u u r ，，，CP u u u r ， 所以线段CP． …… 10分23．（本小题满分10分）已知函数0()cx d f x ax b +=+（0a ≠，0ac bd -≠）．设()n f x 为1()n f x -的导数，*n ∈N ．（1）求1()f x ，2()f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论． 【解】（1）102()()()cx d bc ad f x f x ax b ax b '+-⎡⎤'===⎢⎥+⎣⎦+ ，21232()()()()()a bc ad cb ad f x f x ax b ax b '⎡⎤---'===⎢⎥++⎣⎦． …… 2分 （2）猜想111(1)()!()()n n n n a bc ad n f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+，*n ∈N ． …… 4分 证明：① 当1n =时，由（1）知结论正确， ② 假设当n k =，*k ∈N 时结论正确，即有111(1)()!()()k k k k a bc ad k f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+．当1n k =+时，1()()k k f x f x +'=111(1)()!()k k k a bc ad k ax b --+'⎡⎤-⋅⋅-⋅=⎢⎥+⎣⎦11(1)(1)()!()k k k a bc ad k ax b ---+'⎡⎤=-⋅⋅-⋅+⎣⎦2(1)()(1)!()k k k a bc ad k ax b +-⋅⋅-⋅+=+．所以当1n k =+时结论成立．由①②得，对一切*n ∈N 结论正确． …… 10分。
【江苏省南通、扬州、泰州】2017学年高考三模数学年试题答案
江苏省南通市2017届高三高考全真模拟数学试卷（一）一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．1．已知集合{0,1,2}A =，则的子集个数为________．2．已知复数12z 2,2i ai z =+=-，（其中0a >，i 为虚数单位）．若12|z ||z |=，则a 的值为________． 3．执行如图所示的流程图，则输出的结果S =________．4．若直线1y x b =+（e 是自然对数的底数）是曲线ln y x =的一条切线，则实数b 的值是________．9．已知函数21,0()(1),0x x f x f x x -⎧-+≤=⎨->⎩，若方程()log (2)(01)a f x x a =+<<有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围为________．O 到正六角星12个顶点的向量都写成15．在平面直角坐标系中，已知点(0,0)A ，(4,3)B ，若,,A B C 三点按顺时针方向排列构成等边三角形ABC ，且直线BC 与x 轴交于点．（1）求cos CAD ∠的值；（2）求点C 的坐标．16．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11A ABB ⊥底面ABCD ，且π2ABC ∠=．（1）求证：BC ∥平面11AB C ；（2）求证：平面11A ABB ⊥平面11AB C ．17．已知城A 和城相距20 km ，现计划以AB 为直径的半圆上选择一点C （不与点A ，B 重合）建造垃圾处理厂．垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与城B 的影响度之和．记点到C 城A 的距离为km x ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ．统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比例关系，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比例关系，比例系数为k ．当垃圾处理厂建在AB 的中点时，对城和城的总影响度为0．065．（1）将y 表示x 成的函数．（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断在AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，请说明理由．18．已知椭圆22:31(0)C mxmy m +=>的长轴长为O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的方程和离心率．（2）设点(3,0)A ，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且点P 在y 轴的右侧．若BA BP =，求四边形OPAB 面积的最小值．19．已知函数32()(0)f x ax bx cx b a a =-++=>．（1）设0c =．①若a b =，曲线()y f x =在0x x =处的切线过点(1,0)，求0x 的值；②若a b >，求()f x 在区间[0,1]上的最大值．（2）设()f x 在1x x =，2x x =两处取得极值，求证：11()f x x =，22()f x x =不同时成立．20．若数列{}n a 和{}n b 的项数均为m ，则将数列{}n a 和{}n b 的距离定义为111||mi a b =-∑．（1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离．（2）记A 为满足递推关系111n n na a a ++=-的所有数列{}n a 的集合，数列{}nb 和{}nc 为A 中的两个元素，且项数均为m ．若12b =，13c =，数列{}n b 和{}n c 的距离小于2 016，求m 的最大值．（3）记S 是所有7项数列{}n a （其中17n ≤≤，0n a =或1）的集合，T S ⊆，且T 中的任何两个元素的距离大于或等于3．求证：T 中的元素个数小于或等于16．（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．如图，,AB BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且2AC AD =，求证：2BC OD =．B ．在平面直角坐标系中，已知点(0,0)A ，(2,0)B ，(2,2)C ，(0,2)D ，先将正方形ABCD 绕原点A 逆时针旋转90︒，再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半、横坐标不变，求连续两次变换所对应的矩阵M ．C ．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．现以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．D ．已知,a b 为互不相等的正实数，求证：3334()()a b a b +>+．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}M =中，抽取三个不同的元素构成子集123{,,}a a a ．（1）求对任意的i j ≠满足||2i j a a -≥的概率；（2）若125,,a a a 成等差数列，设其公差为(0)ξξ>，求随机变量ξ的分布列与数学期望．23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为1n a n =，且221,1(),2n nn S n f n S S n -=⎧=⎨-≥⎩． （1）计算(1),(2),(3)f f f 的值；（2）比较()f n 与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．。
江苏省南通市、扬州市、泰州市高考三模数学试卷有答案
江苏省南通市、扬州市、泰州市2017年高考三模数学试卷一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1．设复数z a bi =+（a ，b R ∈，i 为虚数单位），若43z i i =+()，则ab 的值是_________． 2．已知集合{|0}U x x =＞，{|2}A x x =≥，则U A =ð__________．3．某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是________． 4．如图是一个算法流程图，则输出的k 的值是___________．5．为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是_________．6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差2d =，510a =，则10S 的值是_________．7．在锐角ABC △中，3AB =，4AC =，若ABC △的面积为BC 的长是__________．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(a 0)x y a-=>经过抛物线28y x =的焦点，则该双曲线的离心率是__________．9．圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π3的扇形，则这个圆锥的高是___________． 10．若直线2y x b =+为曲线x y e x =+的一条切线，则实数b 的值是___________． 11．若正实数x ，y 满足1x y +=，则4y x y+的最小值是__________． 12．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90ABC ∠=︒，3AB =，2BC DC ==，若E ，F 分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC EF 的取值范围是__________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点02A (,-)，点11B (,-)，P 为圆222x y +=上一动点，则PBPA的最大值是__________．14．已知函数3,3,x x a f x x x x a≥⎧=⎨-<⎩()若函数2g x f x ax =()()-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是____________．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知函数πsin 003f x A x A ωω=+()()(＞,＞)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点π(3 （1）求函数f x ()的解析式；（2）若角α满足π12f αα+-=()()，0πα∈(,)，求α值． 16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，AP AD =，M ，N分别为棱PD ，PC 的中点．求证： （1）//MN 平面PAB （2）AM ⊥平面PCD ．17．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为10F (-,)，且经过点31,2()．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直．若D 为x 轴上的一点，DA DB =，求ABDF的值．18．如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C D E F ---，且CD ，DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形，设DE t =百米，记修建每1百米参观线路的费用为f t ()万元，经测算15,03118,23t f t t t ⎧<≤⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩()=（1）用t 表示线段EF 的长； （2）求修建参观线路的最低费用．19．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，1q ≠±，正整数组E m p r m p r=(,,)(＜＜) （1）若122331a b a b a b +=+=+，求q 的值；（2）若数组E 中的三个数构成公差大于1的等差数列，且m p p r r m a b a b a b +=+=+，求q 的最大值． （3）若112n n b =-(-)，0m m p p r r a b a b a b +=+=+=，试写出满足条件的一个数组E 和对应的通项公式n a ．（注：本小问不必写出解答过程）20．已知函数2cos ()f x ax x a R =+∈()记f x ()的导函数为g x ()（1）证明：当12a =时，g x ()在R 上的单调函数； （2）若f x ()在0x =处取得极小值，求a 的取值范围；（3）设函数h x ()的定义域为D ，区间m D +∞⊆(,)．若h x ()在m +∞(,)上是单调函数，则称h x ()在D 上广义单调．试证明函数ln y f x x x =()-在0+∞(，）上广义单调． [选修4-1：几何证明选讲]21．如图，已知AB 为圆O 的一条弦，点P 为弧AB 的中点，过点P 任作两条弦PC ，PD 分别交AB 于点E ，F求证：PE PC PF PD =．[选修4-2：距阵与变换] 22．已知矩阵11a M b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，点11(,-)在M 对应的变换作用下得到点15(-,)，求矩阵M 的特征值． [选修4-4：坐标系与参数方程]23．在坐标系中，圆C 的圆心在极轴上，且过极点和点π)4，求圆C 的极坐标方程． [选修4-5：选修4-5：不等式选讲]24．知a ，b ，c ，d 是正实数，且1abcd =，求证：5555a b c d a b c d +++≥+++． 解答题25．如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，2SD AD AB ===，1DC =（1）求二面角S BC A --的余弦值；（2）设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE 与平面SAD ，求线段CP 的长．26．已知函数000cx df x a ac bd ax b+=≠≠+()(,-)，设n f x ()为1n f x -()的导数，*n N ∈． （1）求1f x ()，2f x ()（2）猜想n f x ()的表达式，并证明你的结论．江苏省南通市、扬州市、泰州市2017年高考三模数学试卷答 案1．12- 2．2|}0{x x ＜＜3．56 4．35．7500 6．110789．10．1 11．812．[46]-,13．2 14．3(,2)2-15．解：（1）由条件，周期2πT =，即2π2πω=，所以1ω=，即πsin 3f x A x =+()()．因为f x ()的图象经过点π(3，所以2πsin 3A =． ∴1A =，∴πsin 3f x x =+()()．（2）由12f παα=()(-)，得πππsin 1323αα++=()(-)，即ππsin 133αα++=()()，可得：ππ2sin 133[]α=(+)-，即1sin 2α=．因为0πα∈(,)，解得：π6α=或5π6．16．证明：（1）因为M 、N 分别为PD 、PC 的中点，所以//MN DC ，又因为底面ABCD 是矩形， 所以//AB DC ．所以//MN AB ， 又AB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ， 所以//MN 平面PAB ．（2）因为AP AD =，P 为PD 的中点，所以AM PD ⊥． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 又平面PAD平面ABCD =AD ，CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，又AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥． 因为CD 、PD ⊂平面PCD ，CD PD D =，∴AM ⊥平面PCD ．17．解：（1）由题意，10F (-,)，由焦点210F (,)，且经过31,2P ()， 由22PF PF a +=，即24a =，则2a =，2223b a c ==-，∴椭圆的标准方程22143x y +=；（2）设直线AB 的方程为1y k x =+()． ①若0k =时，24AB a ==，1FD FO +=，∴4AB DF=．②若0k ≠时，11Ax y (,)，22B x y (,)，AB 的中点为00M x y (,)， 22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：22224384120k x k x k +++=()-， ∴2122834k x x k +=-+，则22434k x k =-+，则0023134k y k x k =+=+()． 则AB 的垂直平分线方程为2223143434k k y x k k k =+++--()，由DA DB =，则点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，∴22034k D k +(-,)，∴22223313434k k DF k k +=-+=++， 由椭圆的左准线的方程为4x =-，离心率为12，由1142AF x =+，得11(4)2AF x =+， 同理21(4)2BF x =+， ∴212211212()4234k AB AF BF x x k +=+=++=+，∴4AB DF=则综上，得AB DF的值为4．18．解：（1）设DQ 与半圆相切于点Q ，则由四边形CDEF 是等腰梯形知，OQ DE ⊥， 以CF 所在直线为x 轴，OQ 所在直线为y 轴， 建立平面直角坐标系xOy ．设EF 与圆切于G 点，连接OG ，过点E 作EH OF ⊥，垂足为H ． ∵EH OG =，OFG EFH ∠=∠，GOF HEF ∠=∠， ∴Rt EHF Rt OGF △≌△，∴12HF FG EF t ==-． ∴222111()2EF HF EF t =+=+-，解得1024t EF t t=+(＜＜)． （2）设修建该参观线路的费用为y 万元．①当103t <≤，由1325[2()]5()42t y t t t t =++=+．2325(02)y t '=-＜，可得y 在1(0,]3上单调递减， ∴13t =时，y 取得最小值为32.5． ②当123t <<时，2111632(8)[2()]1242t y t t t t t t=-++=+--．22331624(1)(331)'12t t t y t t t -+-=-+=． ∵123t <<，∴23310t t +-＞． ∴1(,1)3t ∈时，0y '＜，函数y 此时单调递减；12t ∈(,)时，0y '＞，函数y 此时单调递增． ∴1t =时，函数y 取得最小值24.5．由 ①②知，1t =时，函数y 取得最小值为24.5．答：（1）1024t EF t t=+(＜＜)（百米）．（2）修建该参观线路的最低费用为24.5万元．19．解：（1）∵122331a b a b a b +=+=+，∴21111112a b q a d b q a d b +=++=++，化为：2210q q =--，1q ≠±． 解得12q =-．（2）m p p r r m a b a b a b +=+=+，即p m p r a a b b =--，∴p m r mm p m d b q q =--(-)(-)，同理可得：1r mm r p d b q =-(-)(-)．∵m ，p ，r 成等差数列，∴12p m r p r m ==--(-)，记p mqt =-，则2210t t =--， ∵1q ≠±，1t ≠±，解得12t =．即12p m q =-，∴10q -＜＜， 记p m α=-，α为奇函数，由公差大于1，∴3α≥．∴11311()()22a q =≥，即131()2q ≤-，当3α=时，q 取得最大值为131()2-．（3）满足题意的数组为23E m m m =++(,,)，此时通项公式为：1133()(1)288m n n a m -=---，*m N ∈．例如134E =(,,)，31188n a n =-． 20．（1）证明：12a =时，21cos 2f x x x =+()，故sin f x x x '=（）-，即sin g x x x =()-，1cos 0g x x '=≥()-， 故g x ()在R 递增；（2）解：∵2sin g x f x ax x ='=()()-，∴2cos g x a x '=()-， ①12a ≥时，1cos 0g x x '≥≥()-，函数f x '()在R 递增， 若0x ＞，则00f x f '=()＞()， 若0x ＜，则00f x f ''=()＜()，故函数f x ()在0+∞(,)递增，在0∞(-,)递减， 故f x ()在0x =处取极小值，符合题意； ②12a ≤-时，1cos 0g x x '≤≤()--，f x '()在R 递减， 若0x ＞，则00f x f ''=()＜()， 若0x ＜，则00f x f '=()＞()， 故f x ()在0+∞(,)递减，在0∞(-,)递增， 故f x ()在0x =处取极大值，不合题意；③1122a -＜＜时，存在00x π∈(,)，使得0cos 2x a =，即00g x '=()， 但当00x x ∈(,)时，cos 2x a ＞，即0g x '()＜，f x '()在00x (,)递减， 故00f x f ''=()＜()，即f x ()在00x (,)递减，不合题意， 综上，a 的范围是1[2+∞,)；（3）解：记2cos ln 0h x ax x x x x =+-()(＞)，①0a ＞时，ln x x ＜，则1122ln x x <，即ln x <，当2x >时，2sin 1ln 22220h x ax x x ax '==()---＞--＞，故存在21(2m a+=，函数h x ()在m +∞(,)递增；②0a ≤时，1x ＞时，2sin 1ln sin 1ln 0h x ax x x x x '=()---＜---＜， 故存在1m =，函数h x ()在m +∞(,)递减； 综上，函数ln y f x x x =()-在0+∞(,)上广义单调． 21．解：连结PA 、PB 、CD 、BC ， 因为PAB PCB ∠=∠，又点P 为弧AB 的中点， 所以PAB PBA ∠=∠， 所以PCB PBA ∠=∠， 又DCB DPB ∠=∠，所以PFE PBA DPB PCB DCB PCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 所E 、F 、D 、C 四点共圆．所以PE PC PF PD =．22．解：由题意，111115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1115a b -=-⎧⎨--=-⎩，解得2a =，4b =，所以矩阵1214M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． 所以矩阵M 的特征多项式为2125614f λλλλλ--==+-()-，令0f λ=()，得矩阵M 的特征值为2和3． 23．解：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 的极坐标方程为：cos a ρθ=，又因为点)4π在圆C 上，所以cos4a π，解得6a =， 所以圆C 的极坐标方程为：6cos ρθ=． 24．证明：∵a ，b ，c ，d 是正实数，且1abcd =，∴54a b c d a +++≥=，同理可得：54a b c d b +++≥=，54a b c d c +++≥=，54a b c d d +++≥=，将上面四式相加得：555533334444a b c d a b c d a b c d +++++++≥+++， ∴5555a b c d a b c d +++≥+++．25．解：（1）以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则000D(,,)，220B (,,)，010C (,,)，002S (,,) ∴(2,2,2)SB =-，(0,1,2)SC =-，(0,0,2)DS = 设面SBC 的法向量为(,,)m x y z =由222020m SB x y z m SC y z ⎧=+-=⎪⎨=-=⎪⎩可取(1,2,1)m =-∵SD ⊥面ABC ，∴取面ABC 的法向量为(0,0,1)n =6cos ,m n =∵二面角S BC A --为锐角．二面角S BC A --（2）由（1）知101E (,,)，则(2,1,0)CB =，(1,1,1)CE =-， 设CP CB λ=，01λ≤≤()．则(2,,0)CP λλ=，(12,1,1)PE CE CP λλ=-=--- 易知CD ⊥面SAD ，∴面SAD 的法向量可取(0,1,0)CD =cos ,PE CD ==， 解得13λ=或119λ=（舍去）． 此时21(,,0)33CP =，∴53CP =，∴线段CP26．解：（1）102()bc adf x f x ax b -='=+()()，2132[]2()()()bc ad ax b a bc ad f x f x ax b -+--='='=+()()；（2）猜想111(1)()!()n n n n a bc ad n f x ax b --+-++-++()=，*n N ∈， 证明：①当1n =时，由（1）知结论正确；②假设当n k =，*k N ∈时，结论正确，即有111(1)()!()k k k k a bc ad k f x ax b --+-+-+=+()11112(1)()1?1])[(k k k k k k a bc ad k a bc ad k ax b ax b -++-++-+=+++'=+---()(-)(-)()()所以当10n k =+时结论成立， 由①②得，对一切*n ∈N 结论正确．江苏省南通市、扬州市、泰州市2017年高考三模数学试卷解析1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵a+bi=（4+3i）i=﹣3+4i．∴a=﹣3，b=4．∴ab=﹣12．故答案为：﹣12．2．【考点】1F：补集及其运算．【分析】根据补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合U={x|x＞0}，A={x|x≥2}，则∁U A={x|0＜x＜2}．故答案为：{x|0＜x＜2}．3．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n==6，甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是甲、乙2首歌曲都没有被播放，由此能求出甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率．【解答】解：∵随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，∴基本事件总数n==6，甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是甲、乙2首歌曲都没有被播放，∴甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率：p=1﹣=．故答案为：．4．【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=1S=2，不满足条件S＞10，k=2，S=6不满足条件S＞10，k=3，S=15满足条件S＞10，退出循环，输出k的值为3．故答案为：3．5．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生3000人，即可求出该校学生总人数．【解答】解：由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是=7500．故答案为：7500．6．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列通项公式求出首项a1=2，由此利用等差数列前n项和公式能求出S10．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若公差d=2，a5=10，∴a5=a1+4×2=10，解得a1=2，∴S10=10×2+=110．故答案为：110．7．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．【解答】解：因为锐角△ABC的面积为3，且AB=3，AC=4，所以×3×4×sinA=3，所以sinA=，所以A=60°，所以cosA=，所以BC===．故答案为：．8．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，将其代入双曲线的方程可得a2的值，即可得双曲线的方程，计算可得c的值，由双曲线离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y2=8x，其焦点为（2，0），若双曲线﹣y2=1（a＞0）经过点（2，0），则有﹣0=1，解可得a2=4，即双曲线的方程为：﹣y2=1，则a=2，c==，则双曲线的离心率e==；故答案为：．9．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解得到圆锥的底面半径，然后利用勾股定理确定圆锥的高即可．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=，r=1；圆锥的高为： =2．故答案为：2．10．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设出切点坐标P（x0，e x0+x0），再利用导数的几何意义写出过P的切线方程，最后由直线是y=2x+b 是曲线y=e x+x的一条切线，求出实数b的值．【解答】解：∵y=e x+x，∴y′=e x+1，设切点为P（x0，e x0+x0），则过P的切线方程为y﹣e x0﹣x0=（e x0+1）（x﹣x0），整理，得y=（e x0+1）x﹣e x0•x0+e x0，∵直线是y=2x+b是曲线y=e x+x的一条切线，∴e x0+1=2，e x0=1，x0=0，∴b=1．故答案为1．11．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，将变形可得则=+=+﹣1=（x+y）（+）﹣1=（1+4++）﹣1=（+）+4，由基本不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，x，y满足x+y=1，则=+=+﹣1=（x+y）（+）﹣1=（1+4++）﹣1=（+）+4≥2+4=8，即的最小值是8；故答案为：8．12．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】依题意，设=λ（0≤λ≤），=μ（﹣1≤μ≤0），由=+， =+，可求得=（+）•（+）=λ+μ=9λ+4μ；再由0≤λ≤，﹣1≤μ≤0，即可求得﹣4≤9λ+4μ≤6，从而可得答案．【解答】解：∵AB∥DC，∠ABC=90°，AB=3，BC=DC=2，且E，F分别是线段DC和BC上的动点，∴=λ（0≤λ≤），=μ（﹣1≤μ≤0），又=+， =+，∴=（+）•（+）=（+）•（λ+μ）=λ+μ=9λ+4μ．∵0≤λ≤，∴0≤9λ≤6①，又﹣1≤μ≤0，∴﹣4≤4μ≤0②，①+②得：﹣4≤9λ+4μ≤6．即的取值范围是[﹣4，6]，故答案为：[﹣4，6]．13．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】设出=t，化简可得圆的方程，运用两圆相减得交线，考虑圆心到直线的距离不大于半径，即可得出结论．【解答】解：设P（x，y），=t，则（1﹣t2）x2+（1﹣t2）y2﹣2x+（2﹣4t2）y+2﹣4t2=0，圆x2+y2=2两边乘以（1﹣t2），两圆方程相减可得x﹣（1﹣2t2）y+2﹣3t2=0，（0，0）到直线的距离d=，∵t＞0，∴0＜t≤2，∴的最大值是2，故答案为2．14．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求出g（x）的解析式，计算g（x）的零点，讨论g（x）在区间[a，+∞）上的零点个数，得出g （x）在（﹣∞，a）上的零点个数，列出不等式解出a的范围．【解答】解：g（x）=，显然，当a=2时，g（x）有无穷多个零点，不符合题意；当x≥a时，令g（x）x=0得x=0，当x＜a时，令g（x）=0得x=0或x2=，（1）若a＞0且a≠2，则g（x）在[a，+∞）上无零点，在（﹣∞，a）上存在零点x=0和x=﹣，∴≥a，解得0＜a＜2，（2）若a=0，则g（x）在[0，+∞）上存在零点x=0，在（﹣∞，0）上存在零点x=﹣，符合题意；（3）若a＜0，则g（x）在[a，+∞）上存在零点x=0，∴g（x）在（﹣∞，a）上只有1个零点，∵0∉（﹣∞，a），∴g（x）在（﹣∞，a）上的零点为x=﹣，∴﹣＜a，解得﹣＜a＜0．综上，a的取值范围是（﹣，2）．故答案为（﹣，2）．15．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）由条件可求周期，利用周期公式可求ω=1，由f（x）的图象经过点（，），可求Asin =．解得A=1，即可得解函数解析式．（2）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得sin．结合范围α∈（0，π），即可得解α的值．16．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出MN∥DC，AB∥DC．从而MN∥AB，由此能证明MN∥平面PAB．（2）推导出AM⊥PD，CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，进而CD⊥AM，由此能证明AM⊥平面PCD．17．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）根据椭圆的定义，即可求得2a=4，由c=1，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆的标准方程；（2）分类讨论，当直线的斜率存在时，代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式求得M点坐标，求得直线AB垂直平分线方程，即可求得D点坐标，由椭圆的第二定义，求得丨AF丨=（x1+4），即丨BF丨=（x2+4），利用韦达定理即可求得丨AB丨，即可求得的值．18．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）设DQ与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF是等腰梯形知，OQ⊥DE，以CF所在直线为x 轴，OQ所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xoy．设EF与圆切于G点，连接OG，过点E作EH⊥OF，垂足为H．可得Rt△EHF≌Rt△OGF，HF=FG=EF﹣t．利用EF2=1+HF2=1+，解得EF．（2）设修建该参观线路的费用为y万元．①当，由y=5=5．利用y′，可得y在上单调递减，即可得出y的最小值．②当时，y==12t+﹣﹣．利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出．19．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】（1）由a1+b2=a2+b3=a3+b1，利用等差数列与等比数列的通项公式可得：a1+b1q==a1+2d+b1，化简解出即可得出．（2）a m+b p=a p+b r=a r+b m，即a p﹣a m=b p﹣b r，可得（p﹣m）d=b m（q p﹣m﹣q r﹣m），同理可得：（r﹣p）d=b m（q r ﹣m﹣1）．由m，p，r成等差数列，可得p﹣m=r﹣p=（r﹣m），记q p﹣m=t，解得t=．即q p﹣m=，由﹣1＜q＜0，记p﹣m=α，α为奇函数，由公差大于1，α≥3．可得|q|=≥，即q，即可得出．（3）满足题意的数组为E=（m，m+2，m+3），此时通项公式为：a n=，m∈N*．20．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，单调函数的极小值，从而确定a的具体范围即可；（3）记h（x）=ax2+cosx﹣xlnx（x＞0），求出函数的导数，通过讨论a的范围结合函数的单调性证明即可．21．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】连结PA、PB、CD、BC，推导出∠PFE=∠PBA+∠DPB=∠PCB+∠DCB=∠PCD，从而E、F、D、C四点共圆．由此能证明PE•PC=PF•PD．22．【考点】OV：特征值与特征向量的计算．【分析】设出矩阵，利用特征向量的定义，即二阶变换矩阵的概念，建立方程组，即可得到结论．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】因为圆心C在极轴上且过极点，所以设圆C的极坐标方程为：ρ=acosθ，又因为点（3，）在圆C上，代入解得ρ即可得出圆C的极坐标方程．[选修4-5：选修4-5：不等式选讲]24．【考点】R6：不等式的证明．【分析】由不等式的性质可得：a5+b+c+d≥4=4a，同理可得其他三个式子，将各式相加即可得出结论．解答题25．【考点】MI：直线与平面所成的角；MT：二面角的平面角及求法．【分析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，1，0），S（0，0，2），利用空间向量求解．26．【考点】RG：数学归纳法；63：导数的运算．【分析】（1）利用条件，分别代入直接求解；（2）先说明当n=1时成立，再假设n=K（K∈N*）时，猜想成立，证明n=K+1时，猜想也成立．从而得证．。
2017届南通市三模数学试卷与参考答案word版
市2017届高三第三次调研测试数学学科参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 设复数i z a b =+（a b ∈，R ，i 为虚数单位）．若(43i)i z =+，则ab 的值是 ▲ ．【答案】12-2． 已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x ≥，则U A ð= ▲ ．【答案】{|02}x x <<3． 某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是 ▲ ． 【答案】564． 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．【答案】35． 为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本．其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生 3000人，则该校学生总人数是 ▲ ． 【答案】75006． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若公差2d =，510a =，则10S 的值是 ▲ ． 【答案】1107． 在锐角△ABC 中，3AB =，4AC =．若△ABC 的面积为BC 的长是 ▲ ． 8． 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221x y a-=（0a >）经过抛物线28y x =的焦点，则 该双曲线的离心率是 ▲ ．9． 已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π3的扇形，则这个圆锥的高为 ▲ ．（第4题）【答案】10．若直线2y x b =+为曲线e x y x =+的一条切线，则实数b 的值是 ▲ ． 【答案】111．若正实数x y ，满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 ▲ ． 【答案】812．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90ABC ∠=︒，3AB =，2BC DC ==．若E F ，分别是线段DC 和BC 上 的动点，则AC EF ⋅u u u r u u u r的取值围是 ▲ ． 【答案】[]46-，13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)A -，，点(11)B -，，P 为圆222x y +=上一动点， 则PBPA的最大值是 ▲ ． 【答案】214．已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值围是 ▲ ．【答案】3(2)2-， 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()π()sin 3f x A x ω=+（00A ω>>，）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点π(3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若角α满足π()()12f αα+-=，(0π)α∈，，求角α的值．【解】（1）由条件，周期2πT =，即2π2πω=，所以1ω=，即()π()sin 3f x A x =+． …… 3分（第12题）（第16题）ABCDP M N因为()f x的图象经过点π(3，所以2πsin 3A ，所以1A =，所以()π()sin 3fx x =+． …… 6分（2）由π()()12f αα+-=，得()()πππsin 1332αα+++-=， …… 8分 即()()ππsin 133αα++=，所以()ππ2sin 133α⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，即1sin 2α=． …… 12分因为()0πα∈，，所以π6α=或5π6． …… 14分 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，AP =AD ，M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点．求证：（1）MN ∥平面PAB ； （2）AM ⊥平面PCD ．【证】（1）因为M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点， 所以MN ∥DC ， …… 2分又因为底面ABCD 是矩形，所以AB ∥DC ，所以MN ∥AB ． …… 4分 又AB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB ． …… 6分 （2）因为AP =AD ，M 为PD 的中点，所以AM ⊥PD ． …… 8分因为平面PAD ⊥平面ABCD ，又平面PAD ∩平面ABCD = AD ，CD ⊥AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ． …… 10分又AM ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AM ． …… 12分 因为CD ，PD ⊂平面PCD ，CD PD D =I ，（第17题）所以AM ⊥平面PCD ． …… 14分17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的左焦点为(10)F -，，且经过点3(1)2，． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直．若D 为x 轴上的一点，DA DB =，求AB DF【解】（1）方法一：由题意，得2222211914c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，，，…… 3分解得2243.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的标准方程为22143y x +=． …… 5分方法二：由题意，知24a =，所以2a =． …… 2分 又1c =，222a b c =+，所以b =，所以椭圆的标准方程为22143y x +=． …… 5分（2）方法1：设直线AB 的方程为(1)y k x =+．① 若k =0时，AB =2a =4，FD =FO =1，所以4AB DF =； …… 6分② 若k ≠0时， 11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，代入椭圆方程，整理得2222(34)84120k x k x k+++-=，所以12x x ==，所以202434k x k=-+， …… 8分所以0023(1)34k y k x k =+=+， 所以AB 的垂直平分线方程为()2223143434k k y x k k k -=-+++． 因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以22(0)34k D k-+，， 所以22223313434k k DF k k +=-+=++． …… 10分 因为椭圆的左准线的方程为4x =-，离心率为12，由1142AF x =+，得11(4)2AF x =+，同理21(4)2BF x =+．所以2120211212()44234k AB AF BF x x x k +=+=++=+=+． …… 12分 所以4AB DF=．综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法2：设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =； …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，由22112222144144x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得22221212043x x y y --+=，所以120120()()043x x x y y y -⋅-⋅+=， 所以直线AB 的斜率为01212034x y y x x y -=--， …… 8分 所以AB 的垂直平分线方程为00004()3y y y x x x -=-．因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以0(0)4x D ，，所以014x FD =+． …… 10分同方法一，有04AB x =+， …… 12分所以4AB DF=．综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法3：① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =． …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，， 则AB 的中点为1212()22x x y y M ++，， 所以AB 的垂直平分线方程为12121212()22y y x x x xy x y y +-+-=---． 8分 令y =0，得221212122()2D y y x x x x x -+=+- 22221212122()y y x x x x -+-=-2222121212113(1)3(1)442()x x x x x x -+-+-=-22121211442()x x x x -=- 128x x +=．所以1218x x DF +=+． …… 10分 同方法一，有121()42AB x x =++， …… 12分所以4AB DF=．综上，得AB DF 的值为4． …… 14分18．（本小题满分16分）如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米． 为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C -D -E -F ，且CD ，O AC B DlEF Qx yDE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE ＝t 百米，记修建每1百米参观线路的费用为()f t 万元，经测算1503()118 2.3t f t t t ⎧<⎪=⎨⎪-<<⎩，，≤， （1）用t 表示线段EF 的长；（2）求修建该参观线路的最低费用．【解】设DE 与半圆相切于点Q ，则由四边形CDEF是等腰梯形知OQ l ⊥，DQ ＝QE ，以OF 所在 直线为x 轴，OQ 所在直线为y 轴，建立如图 所示的平面直角坐标系xOy ． （1）方法一：由题意得，点E 的坐标为(1)2t ，， …… 1分 设直线EF 的方程为1()2t y k x -=-（0k <），即1102kx y tk -+-=．因为直线EF 与半圆相切，所以圆心O 到直线EF 21|1|211tk k -=+，解得244t k t =-． …… 3分代入1()2t y k x -=-可得，点F 的坐标为1(0)4t t +，． …… 5分 所以211()1424t t tEF t t =+-++，即14EF t t=+（02t <<）． …… 7分 ODl E（第18题）方法二：设EF 切圆O 于G ，连结过点E 作EH AB ⊥，垂足为H ． 因为EH OG =，OFG EFH ∠=∠，GOF HEF ∠=∠，所以Rt △EHF ≌Rt △OGF ， …… 3分 所以12HF FG EF t ==-．由222111()2EF HF EF t =+=+-， …… 5分所以14t EF t=+（02t <<）． …… 7分（2）设修建该参观线路的费用为y 万元．① 当103t <≤，122())4355(2t t t y t t ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦++，由235(22)0y t '=-<，则y 在(103⎤⎥⎦，上单调递减． 所以当13t =时，y 取最小值为32.5； …… 11分② 当123t <<时，2111632)2()4(1228t t t t t t y t ⎡⎤=-=+⎢⎥⎣--⎦++， 所以22334(1)(331)16241t t t t t t y '=+-+--=， …… 13分因为123t <<，所以23310t t +->，且当1(1)3t ∈，时，0y '<；当(12)t ∈，时，0y '>， 所以y 在1(1)3，上单调递减；在(12)，上单调递增． 所以当1t =时，y 取最小值为24.5．由①②知，y 取最小值为24.5． …… 15分答：（1）EF 的长为1()4t t+百米；（2）修建该参观线路的最低费用为24.5万元． …… 16分19．（本小题满分16分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，1q ≠±，正整数组 ()E m p r =，，（m p r <<）． OC（1）若122331a b a b a b +=+=+，求q 的值；（2）若数组E 中的三个数构成公差大于1的等差数列，且m p a b +=p r a b +=r m a b +，求q 的最大值；（3）若11()2n n b -=-，m m a b +=p p a b +=0r r a b +=，试写出满足条件的一个数组E和对应的通项公式n a ．（注：本小问不必写出解答过程）【解】（1）由条件，知21111211112a b q a d b q a d b q a d b ⎧+=++⎪⎨++=++⎪⎩，，即2121()(1).d b q q d b q ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以2210q q --=． …… 2分 因为1q ≠±，所以12q =-． …… 4分（2）由m p a b +=p r a b +，即p m p r a a b b -=-，所以()()p m r m m p m d b q q ---=-，同理可得，()(1)r m m r p d b q --=-． …… 6分 因为m p r ，，成等差数列， 所以1()2p m r p r m -=-=-．记p m q t -=，则有2210t t --=，因为1q ≠±，所以1t ≠±，故12t =-，即12p m q -=-． …… 8分所以10q -<<．记p m α-=，则α为奇数，又公差大于1，所以3α≥， …… 10分 所以11311||()()22q α=≥，即131()2q ≤-，当3α=时，q 取最大值为131()2-． …… 12分（3）满足题意的数组(23)E m m m =++，，，此时通项公式为1133()(1)288m n a n m -=---，*m ∈N ．例如：(134)E =，，，31188n a n =-． …… 16分20．（本小题满分16分）已知函数2()cos f x ax x =+（a ∈R ），记()f x 的导函数为()g x ． （1）证明：当12a =时，()g x 在R 上单调递增；（2）若()f x 在0x =处取得极小值，求a 的取值围；（3）设函数()h x 的定义域为D ，区间(+)m D ∞⊆，，若()h x 在(+)m ∞，上是单调函数，则称()h x 在D 上广义单调．试证明函数()ln y f x x x =-在(0)+∞，上广义单调．【解】（1）当12a =时，21()cos 2f x x x =+，所以()sin f x x x '=-，即()sin g x x x =-， …… 2分 所以()1cos 0g x x '=-≥，所以()g x 在R 上单调递增． …… 4分 （2）因为()i )2s n (g x x f ax x '=-=，所以2c (s )o a g x x -'=．① 当12a ≥时，()1cos 0g x x '-≥≥，所以函数()f x '在R 上单调递增． 若0x >，则()(0)0f x f ''>=；若0x <，则()(0)0f x f ''<=， 所以()f x 的单调增区间是(0)+∞，，单调减区间是(0)-∞，，所以()f x 在0x =处取得极小值，符合题意． …… 6分 ② 当12a ≤-时，()1cos 0g x x '--≤≤，所以函数()f x '在R 上单调递减．若0x >，则()(0)0f x f ''<=；若0x <，则()(0)0f x f ''>=， 所以()f x 的单调减区间是(0)+∞，，单调增区间是(0)-∞，，所以()f x 在0x =处取得极大值，不符合题意． …… 8分 ③ 当1122a -<<时，0(0)x ∃∈π，，使得0cos 2x a =，即0()0g x '=，但当0(0)x x ∈，时，cos 2x a >，即()0g x '<，所以函数()f x '在0(0)x ，上单调递减，所以()(0)0f x f ''<=， 即函数()f x 在0(0)x ，单调递减，不符合题意．综上所述，a 的取值围是)12⎡+∞⎢⎣，． …… 10分（3）记2()cos ln h x ax x x x =+-（0x >），① 若0a >，注意到ln x x <，则1122ln x x <，即ln x <． …… 12分当2x >时，()2sin 1ln 22h x ax x x ax '=--->-0=>．所以2m ∃=，函数()h x 在()m +∞，上单调递增．…… 14分 ② 若0a ≤，当x >1时，()2sin 1ln sin 1ln h x ax x x x x '=---<---<0．所以1m ∃=，函数()h x 在(+)m ∞，上单调递减，综上所述，函数()ln y f x x x =-在区间(0)+∞，上广义单调． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知AB 为圆O 的一条弦，点P 为弧AB 的中点，过点P 任作两条弦PC ，PD ， 分别交AB 于点E ，F ． 求证：PE PC PF PD ⋅=⋅． 【证】连结PA ，PB ，CD ，BC ．因为∠PAB =∠PCB ，又点P 为弧AB 的中点，所以∠PAB =∠PBA ，所以∠PCB =∠PBA ． …… 4分 又∠DCB =∠DPB ，所以∠PFE =∠PBA+∠DPB =∠PCB+∠DCB =∠PCD ， 所以E ，F ，D ，C 四点共圆．所以PE PC PF PD ⋅=⋅． …… 10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1=1a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ，点(11)-，在M 对应的变换作用下得到点(15)--，，求矩阵M 的特征值．【解】由题意，111115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1115a b -=-⎧⎨--=-⎩，， 解得2a =，4b =，所以矩阵12=14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ． …… 5分 矩阵M 的特征多项式为212()5614f λλλλλ--==-+-．（第21-A 题）令()0f λ=，得12λ=，23λ=，所以M 的特征值为2和3． …… 10分 C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C 的圆心在极轴上，且过极点和点π(32)4，，求圆C 的极坐标方程．【解】方法一：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 的极坐标方程为=cos a ρθ， …… 4分 又因为点π(32)4，在圆C 上， 所以π32=cos a 4，解得6a =．所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分 方法二：点π(32)4，的直角坐标为(33)，， 因为圆C 过点(00)，，(33)，， 所以圆心C 在直线为30x y +-=上． 又圆心C 在极轴上，所以圆C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=． …… 6分所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分 D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd 1，求证：5555a b c d a b c d ++++++≥． 【证】因为a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd 1，所以45544a b c d a bcd a +++=≥． ① …… 4分 同理54b c d a b +++≥， ②54c d a b c +++≥， ③ 54d a b c d +++≥， ④将①②③④式相加并整理，即得5555a b c d a b c d ++++++≥． …… 10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．作答，解答时应D ACBSPE （第22题）写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，2SD AD AB ===，1DC =．（1）求二面角S BC A --的余弦值；（2）设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE与平面SADCP 的长．【解】（1）以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则(000)D ，，，(220)B ，，，(010)C ，，，(002)S ，，所以(222)SB =-u u r ，，，(012)SC =-u u u r ，，，(00DS =u u u r，设平面SBC 的法向量为1()x y z =，，n ， 由10SB ⋅=u u r n ，10SC ⋅=u u u rn ，得2220x y z +-=且20y z -=． 取1z =，得1x =-，2y =，所以1(121)=-，，n 是平面SBC 的一个法向量． …… 2分 因为SD ⊥平面ABC ，取平面ABC 的一个法向量2(001)=，，n ． 设二面角S BC A --的大小为θ，所以1212cos |||θ⋅===n n |n n由图可知二面角S BC A --为锐二面角，所以二面角S BC A --…… 5分（2）由（1）知(101)E ，，，则(210)CB =u u u r ，，，(111)CE =-u u u r，，． 设CP CB λ=u u u r u u u r（01λ≤≤），则(20(210))CP λλλ==u u u r ，，，，， 所以(1211)PE CE CP λλ=-=---u u u r u u u r u u u r，，． 易知CD ⊥平面SAD ，所以(010)CD =u u u r，，是平面SAD 的一个法向量． 设PE 与平面SAD 所成的角为α，所以sin cos PE CD PE CD PE CD α⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，， …… 8分=，得13λ=或119λ=（舍）． 所以21(0)33CP =u u u r ，，，CP u u u r ， 所以线段CP． …… 10分23．（本小题满分10分）已知函数0()cx d f x ax b +=+（0a ≠，0ac bd -≠）．设()n f x 为1()n f x -的导数，*n ∈N ．（1）求1()f x ，2()f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论． 【解】（1）102()()()cx d bc ad f x f x ax b ax b '+-⎡⎤'===⎢⎥+⎣⎦+ ，21232()()()()()a bc ad cb ad f x f x ax b ax b '⎡⎤---'===⎢⎥++⎣⎦． …… 2分 （2）猜想111(1)()!()()n n n n a bc ad n f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+，*n ∈N ． …… 4分 证明：① 当1n =时，由（1）知结论正确， ② 假设当n k =，*k ∈N 时结论正确，即有111(1)()!()()k k k k a bc ad k f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+．当1n k =+时，1()()k k f x f x +'=111(1)()!()k k k a bc ad k ax b --+'⎡⎤-⋅⋅-⋅=⎢⎥+⎣⎦11(1)(1)()!()k k k a bc ad k ax b ---+'⎡⎤=-⋅⋅-⋅+⎣⎦2(1)()(1)!()k k k a bc ad k ax b +-⋅⋅-⋅+=+．所以当1n k =+时结论成立．由①②得，对一切*n ∈N 结论正确． …… 10分。
扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港七市2017-2018学年度高三第三次调研测试数学试题
扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港七市2017-2018学年度高三第三次调研测试数学试题数学I参考公式：柱体的体积公式V S h =柱体，其中S 为柱体的底面积，h 为高．锥体的体积公式13V Sh =锥体，其中S 为锥体的底面积，h 为高． 样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差212)(1x x n s n i i -=∑=，其中∑==n i i x n x 11．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合{} 1035 A =-，，，，{} 20 B x x =->，则A B = ▲ ．2． 已知(13i)(i)10i a b ++=，其中i 为虚数单位，a b ∈，R ，则ab 的值为 ▲ ． 3． 已知一组数据8291898890，，，，，则这组数据的方差为 ▲ ． 4． 根据如图所示的伪代码，已知输出值y 为3，则输入值x 为 ▲ ．5． 函数2lg(43)yx x =--的定义域为 ▲ ．6． 袋中有若干只红、黄、蓝三种颜色的球，这些球除颜色外完全相同．现从中随机摸出1只球，若摸出的球不是红球的概率为0.8，不是黄球的概率为0.5，则摸出的球为蓝球的概率为 ▲ ． 7． 在△ABC 中，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，则cos C 的值为 ▲．8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2221(0)12x y b b-=>的焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为 ▲ ．（第4题）9． 已知{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．若32a =，1264S S =，则9a 的值为 ▲ ．10．现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的8倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件（不计材料损耗）．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为1S ,2S ,则12S S 的值 为 ▲ ．11．已知实数a b c ，，成等比数列，621a b c +++，，成等差数列，则b 的最大值为 ▲ ．12．如图，在平面四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，∠60DAB =°，3AC BC =，则边CD 长的最小值为 ▲ ．13．如图，已知2AC =，B 为AC 的中点，分别以 AB,AC 为直径在AC 的同侧作半圆， M,N 分别为两半圆上的动点（不含端点A B C ，，），且BM BN ⊥，则AM CN ⋅的最大值为 ▲ ． 14．已知函数310() 2 0ax x f x x ax x x -≤⎧⎪=⎨-+->⎪⎩， ，，的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为 平行四边形，11C BC D =．求证：（1）11B D ∥平面1C BD ；（2）平面1C BD ⊥平面11AAC C ．16．（本小题满分14分）如图是函数π()sin()(0>0 )2f x A x A ωϕωϕ=+>≤，，在一个周期内的图象．已知 点P (6 0)-，，(2 3)Q --，是图象上的最低点，R 是图象上的最高点． （1）求函数()f x 的解析式；（2）记RPO α∠=，(QPO βαβ∠=，均为锐角)，求tan(2)αβ+的值．17．（本小题满分14分）如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD ，AB ∥CD ，AB BC ⊥，3AB =百米，2CD =百米．该区域内原有道路AC ，现新修一条直道DP （宽度忽略不计），点P 在道路AC 上（异于A C ，两点），π6BAC DPA θ∠=∠=，． （1）用θ表示直道DP 的长度；（2）计划在△ADP 区域内种植观赏植物，在△CDP 区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元， 新建道路DP 的成本为每百米1万元，求以上三项费用总和的最小值． 18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，P 为右准线上一点．点Q 在椭圆上，且FQ FP ⊥． （1）若椭圆的离心率为12，短轴长为① 求椭圆的方程；② 若直线OQ PQ ，的斜率分别为12k k ，， 求12k k ⋅的值．（2）若在x 轴上方存在P Q ，两点，使O F P Q ，，， 四点共圆，求椭圆离心率的取值范围． 19．（本小题满分16分）（第18题）已知数列{}n a 满足15(1)()2nn n n aa n *+++-=∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求13a a +的值； （2）若1532a a a +=．① 求证：数列{}2n a 为等差数列；② 求满足224()pm S S p m *=∈N ，的所有数对()p m ，．20．（本小题满分16分）对于定义在区间D 上的函数()f x ，若存在正整数k ，使不等式1()f x k k<<恒成立， 则称()f x 为()D k 型函数． （1）设函数()f x a x=，定义域[][]3113D =--，，．若()f x 是(3)D 型函数，求实数a 的取值范围； （2）设函数2()xg x e x x =--，定义域(02)D =，．判断()g x 是否为(2)D 型函数，并给出证明．（参考数据：278e <<）扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港七市2017-2018学年度高三第三次调研测试数学试题数 学 II （附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．相应的答题区域．．．．．．．内作．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，△ABC 中，已知3AB =，6BC =，4AC =，D 是边BC 上一点，AC 与过点A B D ，，的圆O 相切，求AD 的长．B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1011⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，1203⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，=C AB ．（1）求矩阵C ；（2）若直线1:0l x y +=在矩阵C 对应的变换作用下得到另一直线2l ，求2l 的方程．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为3314x t y t =+⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数，0r >），若直线l 被圆C 截得的弦长为4，求r 的值．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a b c ，，是正实数，且5a b c ++=，求证：222210a b c ++≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）将4本不同的书随机放入如图所示的编号为1234，，，的四个抽屉中． （1）求4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率；（2）随机变量X 表示放在2号抽屉中书的本数，求X 的分布列和数学期望()E X ．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，直线l 过点F 与抛物线相交于A B ，两点（点A 在第一象限）． （1）若直线l 的方程为4233y x =-，求直线OA 的斜率； （2）已知点C 在直线x p =-上，△ABC 是边长为23p +的正三角形，求抛物线的方程．扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港七市2017-2018学年度高三第三次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：1．{}35， 2．3 3．10 4． 5．(41)-，6．0.3 7．1889．2或6 10．25 11．34 12．32 13．1414．0a <或2a >二、解答题：数学学科参考答案及评分建议数学Ⅱ（附加题）。