力系的等效与简化

第2章　力系的等效与简化　作用在实际物体上的力系各式各样，但是，都可用归纳为两大类：一类是力系中的所有力的作用线都位于同一平面内，这类力系称为平面力系；另一类是力系中的所有力的作用线位于不同的平面内，称为空间力系。

这两类力系对物体所产生的运动效应是不同的。

同一类力系，虽然其中所包含的力不会相同，却可能对同一物体产生相同的作用效应。

在就是前一章中提到的力系等效的概念。

本章将在物理学的基础上，对力系的基本特征量加以扩展，引入力系主矢与主矩的概念；以此为基础，导出力系等效定理；进而应用力向一点平移定理以及力偶的概念对力系进行简化。

力系简化理论与方法将作为分析所有静力学和动力学问题的基础。

　§2-1 力系等效定理　２－１－１ 力系的主矢和主矩　２－１－２ 力系等效定理　§2-2 力偶与力偶系　２－２－１ 力偶与力偶系　２－２－２ 力偶的性质　２－２－３ 力偶系的合成　§2-3 力系的简化　２－３－１ 力向一点平移定理　２－３－２ 空间一般力系的简化　２－３－３ 力系简化在固定端约束力分析中的应用　§2-4 结论和讨论　２－４－１ 关于力矢、主矢、力矩矢、力偶矩矢以及　主矩矢的矢量性质　２－４－２ 关于合力之矩定理及其应用　２－４－３ 关于力系简化的最后结果　２－４－４ 关于实际约束的简化模型　２－４－５ 关于力偶性质推论的应用限制　习 题　本章正文 返回总目录第2章　力系的等效与简化　§２－１ 力系等效定理　物理学中，关于质点系运动特征量已有明确论述，这就是：质点系的线动量和对某一点的角动量。

物理学中还指明线动量对时间的变化率等于作用在质点系上的合外力；角动量对时间的变化率等于作用在质点系上外力对同一点的合力矩。

这里的合外力，实际上只有大小和方向，并未涉及作用点或作用线。

因而，需要将其中的合外力与外力的合力矩扩展为力系的主矢和主矩。

２－１－１　力系的主矢和主矩　主矢：一般力系（F 1，F 2，…，F n ）中所有力的矢量和（图2—1），称为力系的主矢量，简称为主矢（principal vector ），即∑=ni i1R FF ＝(2－1)图2－1力系的主矢其中F R 为力系主矢；F i 为力系中的各个力。

式（2－1）的分量表达式为∑∑∑======n i iyy ni iyy ni ixx F F FF F F 1R 1R 1R (2－2)主矩：力系中所有力对于同一点之矩的矢量和（图2－2），称为力系对这一点的主矩（principal moment ），即()∑∑==×ni iin i iOO 11Fr F M M ＝＝ (2－3)主矩的分量式为()()()∑∑∑===n i i Oz Oz ni iOyOy ni i Ox Ox M M M M M M 111F F F ＝＝＝ (2－4)力系的主矢不涉及作用点，为滑动矢；力系的主矩与所选的矩心有关，在是因为同一个力对于不同矩心之矩各不相同，主矩为定位矢。

２－１－２ 力系等效定理 前已指出，所谓力系等效是指不同的力系对于同一物体所产生的运动效应是相同的，即：不同的力系使物体所产生的线动量对时间的变化率以及角动量对时间的变化率分别对应相等。

亦即：不同力系的主矢以及对于同一矩心的主矩对应相等。

据此，得到如下的重要定理：等效力系定理（theorem of equivalent force systems ）—不同的力系对刚体运动效应相同的条件是不同力系的主失以及对于同一点的主矩对应相等。

§２－２ 力偶与力偶系　２－２－１ 力偶与力偶系　大小相等、方向相反、作用线互相平行但不重合的两个力所组成的力系，称为力偶（couple ）。

力偶是一种最基本的力系，但也是一种特殊力系。

力偶中两个力所组成的平面称为力偶作用面（acting plane of a couple ）。

力偶中两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂（ａｒｍ　ｏｆ　ａ　ｃｏｕｐｌｅ）。

　工程中力偶的实例是很多的。

图2-2 力偶实例驾驶汽车时，双手施加在方向盘上的两个力，若大小相等、方向相反、作用线互相平行，则二者组成一力偶。

这一力偶通过传动机构，使前轮转向。

图2-2所示为专用拧紧汽车车轮上螺母的工具。

加在其上的两个力1F 和2F ，方向相反、作用线互相平行，如果大小相等，则二者组成一力偶。

这一力偶通过工具施加在螺母上，使螺母拧紧。

由两个或者两个以上的力偶所组成的力系，称为力偶系(system of the couples)。

２－２－２ 力偶的性质 作用在物体上的力偶将使物体产生什么样的效应？这些效应又如何量度？回答这些问题，首先要看所研究的物体的性质，或物体的模型－刚体还是弹性体。

本章仅研究作用在刚体上的力偶的基本性质。

性质Ｉ 力偶没有合力。

力偶虽然是由两个力所组成的力系，但这种力系没有合力。

这是因为力偶的主矢F R ＝0。

因为力偶没有合力，所以力偶不能与单个力平衡，力偶只能与力偶平衡。

性质Ⅱ 力偶对刚体的作用效应，是使刚体转动。

力偶矩矢量是力偶使刚体产生转动效应的量度。

图2-3 力偶矩矢量考察图2-3所示之由F 和F ′组成的力偶（F ，F ′），其中F ′= —F 。

O 点为空间的任意点。

力偶（F ，F ′）对O 点之矩定义为M O ∑==21i M O （F i ）=r A ×F +r B ×F ′=（r A - r B ）×F= r BA ×F （2－5）其中r BA 为自B 至A 的矢径。

读者可以任取其它各点，也可以得到同样结果。

这表明：力偶对点之矩与点的位置无关。

于是，不失一般性，式（2-5）可写成M =r BA ×F （2－6）其中的M 称为力偶矩矢量（moment vector of a couple ）。

不难看出，力偶矩矢量只有大小和方向，与力矩中心O 点无关，故为自由矢。

根据力偶对刚体的转动效应，除了用两个力（F ,F ′）和力偶矩矢量M 表示外，还可以用力偶作用面内的旋转箭头表示，如图2－4所示。

图2-4 力偶在平面内的符号根据力偶的基本性质，可以得到两个推论： 推论Ｉ 只要保持力偶矩矢量不变，力偶(图2－5a)可在其作用面内任意移动和转动(图2－5b 、c)，也可以连同其作用面一起、沿着力偶矩矢量作用线方向平行移动(图2－5d),而不会改变力偶对刚体的运动效应。

图２－５　由力偶基本性质得到的推论推论Ⅱ　只要保持力偶矩矢量不变，可以同时改变组成力偶的力和力偶臂的大小，而不会改变力偶对刚体的作用效应(图2－5e)。

有兴趣的读者，可以应用力偶的基本性质，对这两个推论加以证明。

２－２－３　力偶系的合成 由于对刚体而言，力偶矩矢为自由矢量，因此对于力偶系中每个力偶矩矢，总可以平移至空间某一点。

从而形成一共点矢量系，对该共点矢量系利用矢量的平行四边形法则，两两合成，最终得一矢量，此即该力偶系的合力偶矩矢，用矢量式表示为M R = M 1 + M 2 +…+ M n ∑==ni 1M i（2－7）§２－３ 力系的简化　所谓力系的简化，就是将由若干力和力偶所组成的一般力系，变为一个力，或一个力偶，或者一个力和一个力偶的简单的、但是等效的情形。

这一过程称为力系的简化（ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ａ　ｆｏｒｃｅ　ｓｙｓｔｅｍ）。

力系简化的基础是力向一点平移定理。

　２－３－１ 力向一点平移定理 作用在刚体上的力如果沿其作用线移动，并不会改变力对刚体的作用效应。

但是，如果将作用在刚体上的力从其作用点平行移动到另一点，对刚体的运动效应将会发生改变。

能不能使作用在刚体上的力从一点平移至另一点，而使其对刚体的运动效应保持不变？　答案是肯定的。

图2-6 力向一点平移定理考察图2-6a 所示之作用在刚体上A 点的力F A ，为使这一力等效地从A 点平移至B 点，先在B 点施加平行于力F A 的一对大小相等、方向相反、沿同一直线作用的平衡力A F ′′和AF ′，如图2-6b 所示。

根据加减平衡力系原理，由F A 、A F ′、A F ′′三个力组成的力系与原来作用在A 点的一个力F A 等效。

图2-6b 中所示之作用在A 点的力F A 与作用在B 点的力A F ′′组成一力偶，其力偶矩矢量为M =r BA ×F A ，如图2-6c 所示。

于是，作用在B 点的力AF ′和力偶M 与原来作用在A 点的一个力F A 等效。

读者不难发现，这一力偶的力偶矩等于原来作用在A 点的力F A 对B 点之矩。

上述分析结果表明：作用在刚体上的力可以向任意点平移，平移后应为平移后的这一力与一力偶所替代，这一力偶的力偶矩等于平移前的力对平移点之矩。

这一结论称为力向一点平移定理（theorem of translation of a force ）。

２－３－２　空间一般力系的简化　考察作用在刚体上的空间任意力系（,,21F F …n F ,）（three dimensional forces system ），如图2-7a 所示。

现在刚体上任取一点，例如O 点，这一点称为简化中心(reduction center)。

应用力向一点平移定理，将力系中所有的力,,21F F …n F ,逐个向简化中心平移，最后得到汇交于O 点的，由,,21F F …n F ,组成的汇交力系，以及由所有附加力偶,,21M M …,n M 组成的力偶系，如图2-7b 所示。

图2-7 任意力系简化平移后得到的汇交力系和力偶系，可以分别合成一个作用于O 点的合力F R ，以及合力偶O M ，如图2-7c 所示。

其中 F R =∑=ni 1F iO M =∑=ni 1 M i=∑=ni 1OM（F i ）其中O M （F i ）为平移前力F i 对简化中心O 点之矩。

上述结果表明：空间任意力系向任－－点简化，得到一个力和一个力偶。

简化所得到力通过简化中心，其力矢称为力系的主矢，它等于力系中诸力的矢量和并与简化中心的选择无关；简化所得到的力偶的力偶矩矢，即为力系对简化中心的主矩，它等于力系中所有的力对简化中心之矩的矢量和，且与简化中心的选择有关。

有兴趣的读者可以证明，力系对不同点（例如图2－8中的O 点和A 点）的主矩存在下列关系：()()F F r FA B AB M M =+× （2－9）（2－8）图2-8 力系对不同点的主矩关系的证明【例2-1】图2-9中所示为F 1、F 2组成的空间力系，试求力系的主矢F R 以及力系对O 、A 、E 三点的主矩。

图2-9 例2-2图解：令i 、j 、k 为 x 、y 、z 方向的单位矢量，则力系中的二力可写成 j i F 431+= ，j i F 432−= 于是，力系的主矢为 F R ∑==+==21621i i F F Fi这是沿x 轴正方向，数值为6的矢量。