力系的等效与简化

第2章　力系的等效与简化　

作用在实际物体上的力系各式各样，但是，都可用归纳为两大类：一类是力系中的所有力的作用线都位于同一平面内，这类力系称为平面力系；另一类是力系中的所有力的作用线位于不同的平面内，称为空间力系。这两类力系对物体所产生的运动效应是不同的。同一类力系，虽然其中所包含的力不会相同，却可能对同一物体产生相同的作用效应。在就是前一章中提到的力系等效的概念。

本章将在物理学的基础上，对力系的基本特征量加以扩展，引入力系主矢与主矩的概念；以此为基础，导出力系等效定理；进而应用力向一点平移定理以及力偶的概念对力系进行简化。力系简化理论与方法将作为分析所有静力学和动力学问题的基础。　

§2-1 力系等效定理　

２－１－１ 力系的主矢和主矩　

２－１－２ 力系等效定理　

§2-2 力偶与力偶系　

２－２－１ 力偶与力偶系　

２－２－２ 力偶的性质　

２－２－３ 力偶系的合成　

§2-3 力系的简化　

２－３－１ 力向一点平移定理　

２－３－２ 空间一般力系的简化　

２－３－３ 力系简化在固定端约束力分析中的应用　

§2-4 结论和讨论　

２－４－１ 关于力矢、主矢、力矩矢、力偶矩矢以及　主矩矢的矢量性质　

２－４－２ 关于合力之矩定理及其应用　

２－４－３ 关于力系简化的最后结果　

２－４－４ 关于实际约束的简化模型　

２－４－５ 关于力偶性质推论的应用限制　

习 题　

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第2章　力系的等效与简化　

§２－１ 力系等效定理　

物理学中，关于质点系运动特征量已有明确论述，这就是：质点系的线动量和对某一点的角动量。

物理学中还指明线动量对时间的变化率等于作用在质点系上的合外力；角动量对时间的变化率等于作用在质点系上外力对同一点的合力矩。这里的合外力，实际上只有大小和方向，并未涉及作用点或作用线。因而，需要将其中的合外力与外力的合力矩扩展为力系的主矢和主矩。

２－１－１　力系的主矢和主矩　

主矢：一般力系（F 1，F 2，…，F n ）中所有力的矢量和（图2—1），称为力系的主矢量，简称为主矢（principal vector ），即

∑=n

i i

1

R F

F ＝

(2－1)

图2－1力系的主矢

其中F R 为力系主矢；F i 为力系中的各个力。式（2－1）的分量表达式为

∑∑∑=====

=n i iy

y n

i iy

y n

i ix

x F F F

F F F 1

R 1R 1R (2－2)

主矩：力系中所有力对于同一点之矩的矢量和（图2－2），称为力系对这一点的主矩（principal moment ），即

()∑∑==×n

i i

i

n i i

O

O 1

1

F

r F M M ＝＝ (2－3)

主矩的分量式为

()

()()

∑∑∑===n i i Oz Oz n

i i

Oy

Oy n

i i Ox Ox M M M M M M 1

11F F F ＝＝

＝ (2－4)

力系的主矢不涉及作用点，为滑动矢；力系的主矩与所选的矩心有关，在是因为同一个力对于不同矩心之矩各不相同，主矩为定位矢。

２－１－２ 力系等效定理

前已指出，所谓力系等效是指不同的力系对于同一物体所产生的运动效应是相同的，即：不同的力系使物体所产生的线动量对时间的变化率以及角动量对时间的变化率分别对应相等。亦即：不同力系的主矢以及对于同一矩心的主矩对应相等。据此，得到如下的重要定理：

等效力系定理（theorem of equivalent force systems ）—不同的力系对刚体运动效应相同的条件是不同力系的主失以及对于同一点的主矩对应相等。

§２－２ 力偶与力偶系　

２－２－１ 力偶与力偶系　

大小相等、方向相反、作用线互相平行但不重合的两个力所组成的力系，称为力偶（couple ）。力偶是一种最基本的力系，但也是一种特殊力系。

力偶中两个力所组成的平面称为力偶作用面（acting plane of a couple ）。力偶中两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂（ａｒｍ　ｏｆ　ａ　ｃｏｕｐｌｅ）。　

工程中力偶的实例是很多的。

图2-2 力偶实例

驾驶汽车时，双手施加在方向盘上的两个力，若大小相等、方向相反、作用线互相平行，则二者组成一力偶。这一力偶通过传动机构，使前轮转向。

图2-2所示为专用拧紧汽车车轮上螺母的工具。加在其上的两个力1F 和2F ，方向相反、作用线互相平行，如果大小相等，则二者组成一力偶。这一力偶通过工具施加在螺母上，使螺母拧紧。

由两个或者两个以上的力偶所组成的力系，称为力偶系(system of the couples)。

２－２－２ 力偶的性质

作用在物体上的力偶将使物体产生什么样的效应？这些效应又如何量度？回答这些问

题，首先要看所研究的物体的性质，或物体的模型－刚体还是弹性体。本章仅研究作用在刚体上的力偶的基本性质。

性质Ｉ 力偶没有合力。

力偶虽然是由两个力所组成的力系，但这种力系没有合力。这是因为力偶的主矢F R ＝0。 因为力偶没有合力，所以力偶不能与单个力平衡，力偶只能与力偶平衡。

性质Ⅱ 力偶对刚体的作用效应，是使刚体转动。力偶矩矢量是力偶使刚体产生转动效应的量度。

图2-3 力偶矩矢量

考察图2-3所示之由F 和F ′组成的力偶（F ，F ′），其中F ′= —F 。O 点为空间的任意点。力偶（F ，F ′）对O 点之矩定义为

M O ∑

==

2

1

i M O （F i ）=r A ×F +r B ×F ′

=（r A - r B ）×F= r BA ×F （2－5）

其中r BA 为自B 至A 的矢径。 读者可以任取其它各点，也可以得到同样结果。这表明：力偶对点之矩与点的位置无关。于是，不失一般性，式（2-5）可写成

M =r BA ×F （2－6）

其中的M 称为力偶矩矢量（moment vector of a couple ）。

不难看出，力偶矩矢量只有大小和方向，与力矩中心O 点无关，故为自由矢。

根据力偶对刚体的转动效应，除了用两个力（F ,F ′）和力偶矩矢量M 表示外，还可以用力偶作用面内的旋转箭头表示，如图2－4所示。

图2-4 力偶在平面内的符号

根据力偶的基本性质，可以得到两个推论： 推论Ｉ 只要保持力偶矩矢量不变，力偶(图2－5a)可在其作用面内任意移动和转动(图2－5b 、c)，也可以连同其作用面一起、沿着力偶矩矢量作用线方向平行移动(图2－5d),而不会改变力偶对刚体的运动效应。