(整理)中考数学例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题.
动点到两定点的距离最值
一动点到两定点得距离最值熊明军在学习三角形时，我们知道了三角形得三边之间有一个不等关系：“三角形得两边之与大于第三边”；“三角形得两边之差小于第三边”。
借助这个三角不等式，再结合典型例题，我们可以得到一个动点到两个定点距离最值问题得研究方法与相关结论。
一、典型例题得回顾E、两个村庄，如【例题】已知有一段河岸AB相互平行得一条河，在河岸得一侧有F下图。
现在政府为了让两个村庄用上自来水，决定出资在河岸边建一个自来水厂，并在村庄与水厂之间铺设输水管道输水，为了降低成本，就必须使铺设得管道总长度最短，那么自来水厂应该建在河岸得什么位置，用尺规作图在图中标出。
E、就是两个固定得点，此题得意思【解析】假设靠近村庄得河岸为线段AB，村庄F就就是问：在线段AB上有一个动点P，求P在线段AB上移动到什么位置才能使PE+最短。
PF结论：①直线上一动点P到两个定点距离之与最小问题，要根据点对称将两个定点转化到直线得两侧；②直线上一动点P到两个定点距离之差最大问题，要根据点对称将两个定点转化到直线得同侧。
二、研究问题得理论A、得距离之与有最小值，当且仅当P在线段法则一：平面上一动点P到两个定点BAB之间时取最小值。
A、得距离之差有最大值，当且仅当P在线段法则二：平面上一动点P到两个定点BAB得延长线上时取最大值。
*注意①：一动点P到两定点BA、距离最值得取得都就是使动点与定点转化到一条直线上；如若不在一条直线上，就必须借助题中得条件与相关结论转化之。
*注意②：平面上一动点P到两个定点BA、得距离之与有最小值；距离之差有最大值。
A、得距离之与有最大值；距离之差有最小值，就必须使之如若出现动点P到两个定点B转化为法则中得情况，即：距离之与⇔最小值；距离之差⇔最大值。
【证明】（法则一）已知平面上两个动点B A 、，P 就是平面上任意一个动点，如下图：①当动点P 与定点B A 、不共线时，根据三角形三边关系“两边之与大于第三边”可知AB PB PA >+； ②当动点P 与定点B A 、共线，且在线段AB 得延长线上时，显然有AB PB PA >+； ③当动点P 与定点B A 、共线，且在线段AB 之间时，显然有AB PB PA =+； 综上所述，AB PB PA ≥+，当且仅当动点P 在线段AB 之间时取最小值AB 。
关于定直线上的动点到两定点间距离和(差)的极值问题
关于定直线上的动点到两定点间距离和（差）的极值问题09年1月（08学年第一学期）的鄞州区初三数学期末试卷中最后一道题的第2小题：关于在一条直线上的动点到两定点间距离的和（或差）的极值问题，学生的得分率不高，大约为50%左右。
本着数学归类、归纳的理念，在这里把同一类问题作一整理、归纳、延展。
一、和的最小值问题例1、在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（一4,—1）和（-2,—5）;点P是y轴上的一个动点，求点P在何处时，PA + PB的和为最小？并求最小值。
解：（1）v点P在y轴上，.••以y轴为对称轴，作点B的对称点B i，连接AB i 与y轴交于点P，P点就是所求的点。
此时，PA + PB= PA + PB i =AB i;理由如下：取点P以外的点P i,可知，P i A + P i B = P i A + P i B i>AB = PA+ PB 所以P i A + P i B>PA^ PB即P为符合要求的点。
求点P的坐标，可用三角形相似或可以通过经过A、B i两点的直线解析式与y轴的交点坐标的方法。
点P为（0，-耳）3（2）求PA+ PB （AB i）的值，可用勾股定理来求。
即PA + PB = AB i =2 i3。
例2、已知菱形ABCD中，/ DAB = 60°; AB = 6，M为AB的中点，点P在对角线AC上，求点P在何处时，PM+ PB的和为最小？并求最小值。
解：（i）由上例可知，AC为对称轴，点B的对称点为点D，连接DM与AC的交点为点P，P点就是所求的点。
此时，PB+ PM = PD+ PM =DM。
（2）根据题意得，△ ABD为等边三角形，边长为i2，DM为边上的高线。
所以DM = 6 3，即PB+ PM = 6.3。
例3、在正方形ABCD中，AB = i2,点M在BC上，且BM = 5,点P在对角线BD上，求点P在何处时，PM + PC的和为最小？并求最小值。
动点到两定点的距离最值
浅析动点到两个定点的距离之和（差）的最值一、直线上的动点到直线外两个定点的距离之和（差）的最值．例1（1）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为，此时点P的坐标为；（2）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PB-PA的最大值为，此时点P的坐标为．解析：（1）如图1，当点P在x轴上运动时，PA+PB AB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)(PA+PB)min =AB=此时，点P的坐标为（2）如图2，当点P在x轴上运动时，PB- PA AB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)(PB-PA)max =AB=此时，点P的坐标为变题：（1）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为，此时点P的坐标为；解析：（1）如图3，作点B关于x轴的对称点Bˊ（3，-2），则有PB=PBˊ当点P在x轴上运动时，PA+PB=PA+PBˊ=ABˊ(当且仅当A，P，Bˊ三点共线时等号成立)(PA+PB)min =AB=此时，点P的坐标为（2）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PB-PA的最大值为，此时点P的坐标为．解析：（2）如图4，作点B关于x轴的对称点Bˊ，则有PB=PBˊ当点P在x轴上运动时，PB- PA= PBˊ-PA ﹦ABˊ(当且仅当A，P，Bˊ三点共线时等号成立)(PB-PA)max =ABˊ=此时，点P的坐标为归纳：①当两定点位于直线的异侧时可求得动点到两定点的距离之和的最小值；②当两定点位于直线的同侧时可求得动点到两定点的距离之和的绝对值的最大值．若不满足①②时，可利用对称性将两定点变换到直线的同（异）侧，再进行求解．如变题的方法．例2函数的值域为．解析：将函数进行化简得：即为动点P（x，0）到两定点A(1，1)、B（3，-2）的距离之和．由例1可知：该值域为二、圆锥曲线上的动点到两个定点的距离之和（差）的最值．（一）直接求解或利用椭圆（或双曲线）的定义进行适当转化后求解．例3（1）已知A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆上的动点，则MA-MB的范围是；解析：(1)如图5，在MAB中有MA-MB<AB，当M，A，B三点共线且MB>MA即点M位于M2处时，有MA-MB=AB，所以MA-MB AB；同理在MAB中有MB-MA AB，即MB-MA-AB(当点M位于M1处时等号成立)综上所述：-AB≦MA-MB≦AB。
(完整版)中考数学例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题
“将军饮马”老歌新唱——例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题王柏校古希腊有位将军要从A地出发到河边去饮马，然后再到B地军营视察，问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？图1A地B地这是著名的“将军饮马”问题，在河边饮马的地点有很多处，怎样找出使两条线段之和最短的那个点来，我们只要设L为河（如图1），作AO⊥L交L于O点，延长AO至A'，使A'O=AO；连结A'B，交L于C，则C点就是所要求的饮马地点。
再连结AC，则路程（AC+CB）为最短的路程。
为什么饮马地点选在C点能使路程最短？因为A＇是A点关于L的对称点，AC与A'C 是相等的。
而A'B是一条线段，所以A'B是连结A＇、B这两点间的所有线中，最短的一条，所以AC+CB=A'C+CB=A'B也是最短的一条路了。
这就是运用轴对称变换，找到的一种最巧妙的解题方法。
这一流传近2000年的名题至今还被命题者所喜爱，近年来许多省市中考中出现了以此故事为背景的试题，它们所考查的深度和广度也在不断演变、拓展，而且又常与其他的数学知识相联系，数形结合，突出了数学的思维价值和应用能力，能够有效地体现学生的数学学习能力，现从2009年中考试题中撷取与此相关的试题来分类说明，供广大读者参考。
一、演变成与正方形有关的试题例1（2009年抚顺）如图2所示，正方形ABCD的面积为12，ABE△是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD PE+的和最小，则这个最小值为（）A．B．C．3 D分析与解：正方形ABCD 是轴对称图形，对角线AC 所在直线是它的一条对称轴，相对的两个顶点B 、D 关于对角线AC 对称,在这个问题中D 和E 是定点，P 是动点。
我们可以找到一个定点D 的轴对称点B ，连结BE ，与对角线AC 交点处P 就是使距离和最小的点（如图3），而使PD+PE 的和的最小值恰好等于BE ,因为正方形ABCD 的面积为12，所以它的边长为23，即PD +PE 的最小值为23。
直线上一动点到两固定点之间距离的最值精编版
……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………直线上一动点到两固定点之间距离的最值【题型】P点为直线L上一动点，A点、B点不在直线上，且固定。
当P点移动到什么位置时，P点到A点的距离与P点到B点的距离之差的绝对值最大。
【引申】当P点移动到什么位置时，P点到A点的距离与P点到B 点的距离之和最小。
【思路】下面3条原理是解决此类问题的基础：1、所有此类问题都应纳入“三角形”中求解；（定理1）2、运用“在同一平面之中，两点之间，线段最短。
”（定理2）3、运用“在同一平面中，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
”（定理3）【几种不同情况的详细解答及相应证明】1、求直线上动点到直线外两固定点距离之差的绝对值的最大值（1）当两固定点在直线同侧时，如图1BALMP' ' P MP” 1图点，形成△点与A点，点与BP'假设直线上任意一点P'点，连接P' ；''A-PB|<ABBAP'，根据“定理3”，得知|P“定，根据形成△两点，P”BAAP当P'点移动到”点时，分别连接、B B|<AB；”””，得知|PA –P3理的交点时，连线的延长线与直线BAL点，即只有移动到P 。
|PA-PB|=AB1……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………结论：当直线上一动点，与直线一侧的两固定点之间距离之差的绝对值最大时，P点位于两点连线的延长线与直线的交点处。
计算：P点的位置（或坐标）以及最大值。
如图1，过A点做直线垂直与直线L，垂足为M，过B点做直线垂直于直线L，垂足为M'这样，AM∥BM'因此，在直角△PBM'中，AM/BM'=PM/PM'所以，PM'=PM+MM'最终得出：PM=（AM×MM'）÷|BM'-AM|，以此确定P点的位置（或坐标）。
关于平面内动点到两定点距离之和、差的最值问题
关于平面内动点到两定点距离之和、差的最值问题摘要：本文通过几道例题，探求了直线或圆锥曲线上一动点到平面内两定点(或一定点一定线)的距离和、差的最值问题，揭示了这一难点问题的本质及其共同解法。
关键词：动点；距离；最值在高三复习过程中经常碰到有关求某曲线上的一个动点到两定点的距离之和(差)的最值。
许多学生在面对此类问题时常常感到束手无策。
本文就此类最值问题及其常见题型作一初步探索。
一、动点在直线上时：即为动点P(x，0)到两定点A(1，1)、B(3，-2)的距离之和。
可知：该值域为总结反思：一般地，求距离之和的最小值应让两点处于直线的异侧，如在同侧则作其中一点关于直线的对称点，异侧两点的距离即为所求的最小值，两点连线与直线的交点即为取最小值时的动点，其依据是：三角形两边之和大于第三边；求距离之差的最大值应让两点处于直线的同侧，如在异侧则作其中一点关于直线的对称点，同侧两点的距离即为所求的最大值，两点连线的延长线与直线的交点即为取最大值时的动点，其依据是：三角形两边之差小于第三边二、动点在圆锥曲线上时1.动点在抛物线上时2.动点在双曲线上时反思感悟：一般地，动点在圆锥曲线上求这两种距离时，定点给的要相对特殊一些。
求距离之和的最小值仍然应让两点处于圆锥曲线的异侧，如在同侧则利用圆锥曲线的定义转化为异侧，异侧两点的距离即为所求的最小值，两点连线与圆锥曲线的交点即为取最小值时的动点，其依据是：三角形两边之和大于第三边；求距离之差的最大值应让两点处于圆锥曲线的同侧，如在异侧则利用圆锥曲线的定义转化为同侧，同侧两点的距离即为所求的最大值，两点连线的延长线与圆锥曲线的交点即为取最大值时的动点，其依据是：三角形两边之差小于第三边。
由此进一步体会圆锥曲线的定义在解题中的重要应用。
参考文献：[1]王朝银.创新设计[Ｍ].西安:陕西人民出版社,2009.作者单位：陕西省延安中学邮政编码：716000。
直线上一动点到两定点距离之和最小问题
直线上一动点到两定点距离之和最小问题．如何求直线上一动点p到（同侧）两定点距离之和的最小值所在直线的对称点与另一定p二、其中一定点关于动点点连结成的线段长即所求。
例题讲解）两点，3（3，），、平面直角坐标系内有A（2，-1B1 轴上一动点，求：是yP点B 距离之和最小时的坐标；P）到A、（1 距离之和的最小值；、BA2（）P到的周长的最小值。
PAB（3）三角形2，DM=2在CD上且MABCD例2、正方形的边长为8，点DN+MN的最小值是多少？在对角线动点NAC上，则3的A2009，深圳）如图，在直角坐标系中，点3例．（顺OOA绕原点0），连结OA，将线段，坐标为（－2 OB.时针旋转120°，得到线段B的坐标；（1）求点、、O三点的抛物线的解析式；A（2）求经过B，使△C2）中抛物线的对称轴上是否存在点3（）在（C的周长最小？若存在，求出点的坐标和BOC.的最小周长；若不存在，请说明理由△BOCyBOA x4巩固提高边的BC中，点Q为、在边长为12㎝的正方形ABCD PQAC上一动点，连接PB、，中点，点P为对角线周长的最小值为____________㎝。
则△PBQ是等边三12，2、如图所示，正方形的面积为ABCDABE △AD内，在对角线角形，点在正方形P ACABCDE E 的和最小，则这个最小值为，使上有一点PE PDP CB（）．B．AD．C 3 ．662325，⊥BCABCD中，AD∥BC，AB3、已知直角梯形PD取P=2，BC=DC=5，点在BC上移动，则当PA+AD）APD最小值时，△中边AP上的高为（3D A、BC、、、482171717171717的两条对角线分别，荆门）如图，菱形ABCD4、（2008 分别P是对角线AC上的一个动点，点M、N8长6和，点值，则PM+PN的最小BC 是边AB、的中点是。
O在，点AMN=25、（2009，南通）如图，MN是O的直径，0上的一BAMN=30，为弧AN的中点，P是直径MN上，∠个动点，则PA+PB的最小值是。
“在直线上找一点,使它到直线同侧两点的距离之和最小”的探讨
“在直线上找一点，使它到直线同侧两点的距离之和最小”的探讨最值型试题历年来是中考数学的热点，备受命题者的青睐。
这类试题贴近生活实际，创意新颖，设计巧妙能很好地考查学生综合运用能力。
而在几何最值基本模型中就有“在直线上找一点，使它到直线同侧两点的距离之和最小”的问题。
遇到这类问题时，部分学生很难在直线上准确找到这一点。
根据以往的教学经验，遇到这类题目时，我总结如下几句话：“求最值找对称点，动点所在的直线为对称轴”。
在具体的应用中，又可分为两种情况：已知两定点一动点求最小值和已知一定点两动点求最小值。
如一、已知两定点一动点求最小值这类题目的定点的对称点在多边形的对角顶点、邻边、同一圆弧上或坐标轴上，对称轴往往是对角线、直径或坐标轴所在的直线。
现举例如下：例一、正方形ABCD的边长为8，点M在CD上且DM=2，动点N在对角线AC上，则DN+MN的最小值是多少？分析：连结BD交AC于O，连结BM交AC于N，则DN+MN值最小。
因为四边形ABCD是正方形，所以B与D关于AC对称，所以BN=DN，所以DN+MN=BN+MN=BM值最小。
由勾股定理得BM=8+6=10例二、（2008，荆门）如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是多少？分析：在AD上取点E，使AE=AM，连结EN交AC于P，则PM+PN的值最小。
因为四边形ABCD是菱形，所以AC平分DAB，E、M关于直线AC对称，所以PM+PN=PM+PE》EN，当E、P、N在一条直线上时，PM+PN的最小值就等于EN的值。
因为M、N分别是菱形ABCD的边AB、BC的中点，所以AE平行且等于BM，四边形ABME是平行四边形，所以EN=AB。
而AC垂直于BD，AO=AC/2=4，BO=BD/2=3，由勾股定理得AB=5，所以PM+PN的最小值是5.例三、（2009，南通）如图，MN是O的直径，MN=2，点A在O上，AMN=30，B为弧AN的中点，P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值是多少？分析：作点A关于MN的对称点C连结CB，则PA+PB的最小值是CB的长。
探究直线上动点与两定点的距离和的最值问题
动点． 我们 可 以 找到 一 个 定 点 Ｄ 的 轴 对称 点 曰， 接 连 Ｂ 与对角线 Ａ Ｅ， Ｃ交点处 Ｐ就是 使距离 和最小 的点 （ 如 图３ ， ） 而使 Ｐ Ｄ＋Ｐ Ｅ的和 的最小值恰好等于 Ｂ 因为正 Ｅ，
方 形 Ａ Ｃ 的 面 积 为 １ ， 以它 的 边 长 为 ２ ． ＢＤ ２所 二 、 变 成 与 梯 形 有 关 的 试 题 演
一
Ｃ
Ｉ ，
Ｐ
ｃ
： ／
Ｅ
图 ４
ｙ 图５
、
演 变成 与 正 方 形 有 关 的试 题
分析与解
如 图 ， 作 出 Ａ点 关 于 曰 先 Ｃ的对 称 点 Ｅ，
例 １ 如 图 ２所 示 ， 方 形 Ａ Ｃ 的 面积 为 １ ， 正 ＢＤ ２ ＡＡ Ｅ是 等 边 三 角 形 ， Ｂ 点 在 正 方 形 Ａ Ｃ 内 ， 对 角 ＢＤ 在
三 、 变 成 与 圆 有 关 的 试 题 演
曰
例 ３ 如 图 ，Ｂ、Ｄ 是 半 径 为 ５的 ００ 的 两 条 弦 ， Ａ Ｃ
Ａ ８ Ｃ ＝ ， 是 直 径 ，Ｂ上ＭＮ 于 点 Ｅ，Ｄ上ＭＮ 于 Ｂ＝ ，Ｄ ６ ＭＮ Ａ Ｃ
尸
Ｉ ：
／
点 Ｆ， Ｐ为
的任 意 一 点 ， Ｐ 则 Ａ＋Ｐ Ｃ的最 小 值 为
又常与其他的数学 知识相 联系 ， 数形 结合 ， 出 了数 学 突
的 思 维 价 值 和 应 用 能 力 ， 够 有 效 地 体 现 学 生 的数 学 学 能 习 能 力 ， 从 近 年 中考 试 题 中撷 取 与 此 相 关 的试 题 来 分 现 类 说 明 ， 广 大 读者 参 考． 供
连接 Ｄ Ｅ交 ｃ于 Ｐ 点 ， 接 Ａ 再 过 点 Ｄ 作 Ｄ 连 Ｐ， Ｆ上曰 Ｃ 于 ，过点 Ｄ作 Ｄ ＧＬＡ Ｐ于 Ｇ 先 可 以根 据 梯 形 知识 和 勾 ．
动点到两定点的距离最值
浅析动点到两个定点得距离之与(差）得最值一、直线上得动点到直线外两个定点得距离之与(差)得最值。
例1(1)已知点A（1，1）,点B(3，—2)，P就是x轴上任意一点，则PA+ＰB得最小值为,此时点Ｐ得坐标为；（2）已知点A（１，1），点B(３，2）,P就是ｘ轴上任意一点，则PB-PA得最大值为，此时点P得坐标为。
解析:（1)如图1,当点Ｐ在x轴上运动时，ＰA＋PB?ＡB（当且仅当A，P，B三点共线时等号成立）∴(PA+ＰB)miｎ =ＡB＝此时，点P得坐标为(2）如图2，当点P在ｘ轴上运动时，PB— PA =AB(当且仅当Ａ,P，B三点共线时等号成立)∴(PB－PA）max =AB=此时，点Ｐ得坐标为变题：(１）已知点A（1，1),点B（３,2)，P就是x轴上任意一点，则PA＋PＢ得最小值为，此时点P得坐标为；解析:(1)如图3，作点B关于ｘ轴得对称点Ｂˊ（3，—2),则有PＢ=PBˊ当点P在ｘ轴上运动时,PA+PB＝ＰA+PＢˊ=ABˊ（当且仅当A，Ｐ,Bˊ三点共线时等号成立）∴(PA＋ＰＢ）ｍin =AB?= 此时，点P得坐标为（2）已知点A（1,1），点B(3,-２），P就是ｘ轴上任意一点,则PB—ＰA得最大值为，此时点P得坐标为.解析：（2）如图4，作点Ｂ关于x轴得对称点Bˊ,则有PB=PBˊ当点P在x轴上运动时，PＢ— PＡ= PＢˊ-PA ﹦ＡBˊ(当且仅当A，P，Bˊ三点共线时等号成立)∴（ＰB—PA）mａx =ＡBˊ=此时，点P得坐标为归纳:①当两定点位于直线得异侧时可求得动点到两定点得距离之与得最小值；②当两定点位于直线得同侧时可求得动点到两定点得距离之与得绝对值得最大值．若不满足①②时，可利用对称性将两定点变换到直线得同(异）侧，再进行求解。
如变题得方法．例２函数得值域为.解析:将函数进行化简得：即为动点Ｐ(x,0)到两定点A（1，1）、B（3,—２）得距离之与．由例1可知：该值域为二、圆锥曲线上得动点到两个定点得距离之与（差)得最值．（一)直接求解或利用椭圆(或双曲线)得定义进行适当转化后求解。
初中动点最值问题题型
初中动点最值问题题型1. 引言初中数学中的动点最值问题题型是一类常见且重要的题型。
在这类题目中，我们需要通过数学方法找到动点在某个过程中取得的最大值或最小值。
这类问题既考察了学生对函数、方程以及图形的理解与运用，也培养了学生解决实际问题的能力。
2. 常见类型初中动点最值问题题型主要包括以下几种类型：2.1 直线上的动点问题在直线上给定两个固定点A和B，求动点P到A、B两点距离之和的最小值或最大值。
这类问题需要运用到距离公式和函数极值的概念。
例题：已知直线上有两个固定点A(3, 0)和B(9, 0)，求动点P到A、B两点距离之和的最小值。
解答：设动点P的坐标为(x, 0)，则AP = |x - 3|，BP = |x - 9|。
所以P到A、B两点距离之和为：S = AP + BP = |x - 3| + |x - 9|。
对于任意实数x，有：- 当x ≤ 3时，S = (3 - x) + (9 - x) = 12 - 2x； - 当3 < x ≤ 9时，S = (x - 3) + (9 - x) = 6； - 当x > 9时，S = (x - 3) + (x - 9) = 2x - 12。
因此，当3 < x ≤ 9时，P到A、B两点距离之和的最小值为6。
2.2 平面内的动点问题在平面内给定两个固定点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，求动点P(x, y)到A、B两点距离之和的最小值或最大值。
这类问题需要运用到距离公式和函数极值的概念。
例题：已知平面上有两个固定点A(1, 2)和B(4, -1)，求动点P到A、B两点距离之和的最小值。
解答：设动点P的坐标为(x, y)，则AP = √((x - 1)² + (y - 2)²)，BP =√((x - 4)² + (y + 1)²)。
所以P到A、B两点距离之和为：S = AP + BP。
根据三角不等式可得：S ≥ |AP - BP|。
关于定直线上的动点到两定点间距离和(差)的极值问题
关于定直线上的动点到两定点间距离和(差)的极值问题
王波
【期刊名称】《陕西教育（教学）》
【年(卷),期】2010(000)004
【摘要】@@ 在初三数学试卷中经常出现"关于在一条直线上的动点到两定点间距离的和(或差)的极值问题",学生的得分率往往不高,大约为50%左右.本着数学归类、归纳的理念,笔者把此类问题作一整理、归纳、延展,以便与同行们交流商榷.【总页数】2页(P12,7)
【作者】王波
【作者单位】浙江省宁波市郑州区横溪镇中学
【正文语种】中文
【相关文献】
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关于定直线上的动点到两定点间距离和(差)的极值问题
关于定直线上的动点到两定点间距离和（差）的极值问题09年1月（08学年第一学期）的鄞州区初三数学期末试卷中最后一道题的第2小题：关于在一条直线上的动点到两定点间距离的和（或差）的极值问题，学生的得分率不高，大约为50﹪左右。
本着数学归类、归纳的理念，在这里把同一类问题作一整理、归纳、延展。
一、和的最小值问题例1、在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（－4，－1）和（－2，－5）；点P 是y 轴上的一个动点，求点P 在何处时，PA ＋PB 的 和为最小？并求最小值。
解：（1）∵点P 在y 轴上，∴以y 轴为对称轴，作点B 的对称点B 1， 连接AB 1与y 轴交于点P ，P 点就是所求的点。
此时，PA ＋PB ＝PA ＋PB 1 ＝AB 1；理由如下：取点P 以外的点P 1，可知，P 1A ＋P 1B ＝P 1A ＋P 1B 1＞AB 1＝ PA ＋PB ，所以P 1A ＋P 1B ＞PA ＋PB ，即P 为符合要求的点。
求点P 的坐标，可用三角形相似或可以通过经过A 、B 1两点的直线解析式与y 轴的交点坐标的方法。
点P 为（0，311） （2）求PA ＋PB （AB 1）的值，可用勾股定理来求。
即PA ＋PB ＝AB 1＝132。
例2、已知菱形ABCD 中，∠DAB ＝600；AB ＝6，M 为AB 的中点，点P 在对角线AC 上，求点P 在何处时，PM ＋PB 的和为最小？并求最 小值。
解：（1）由上例可知，AC 为对称轴，点B 的对称点为点D ，连接DM 与AC 的交点为点P ，P 点就是所求的点。
此时，PB ＋PM ＝PD ＋PM ＝DM 。
（2）根据题意得，△ABD 为等边三角形，边长为12，DM为边上的高线。
所以DM＝36，即PB ＋PM ＝36。
例3、在正方形ABCD 中，AB ＝12，点M 在BC 上，且BM ＝5，点P 在对角线BD 上，求点P 在何处时，PM ＋PC 的和为最小？并求最小值。
动点到两定点距离和最小(两定一动)
3.在平面直角坐标系xoy中，矩形ABOC的坐标分别为A（4，3）、B（4，0）、C（0，3）,点D是OB的中点，点P是y轴上一动点，连接PA、PD，当PA+PD的值最小时，求点P的坐标.
（提示：找到D点关于y轴的对称点E（-2，0），确定直线AE表达式，从而..........）
如图3，我们连接AB1交直线l于点C，根据对称性，CB＝CB1，即AC+BC＝AC+CB1＝AB1.根据线段公理，我们不难发现AB1＜PA+PB1，、AB1＜QA+QB1
即：连接AB1交直线l于点C，在C处加水，可以使司机所走过的总路程最短。
小结：上述过程中，我们首先找出B点（也可以是A点）关于直线l的对称点B1（或A1），然后连接AB1（或A1B），所连线段与l的交点C就是所求作的点。（如图4、图5）
例2. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝900，AD＝5，AB＝5，BC＝7；点P是边AB上一动点，连接PD、PC，求PC+PD的最小值，并求此时PA的长。
解析：解决此题关键是：找到两定点C、D，一动点P，一直线AB所在直线，找对称、连接，然后构造一直角三角形，使用勾股定理求出PC+PD的最小值；进而再使用三角形相似求出PA.（PC+PD的最小值为13）
（答案：PA+PB的最小值为 ）
下面再给出几题供大家练习：
1.如图，将矩形ABCD对折，点P是折痕上的一动点，已知AB＝6，BC＝8，连接PB、PC，求PB+PC的最小值。
（答案：PB+PC的最小值为10）
2.如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上任意一点，点E为AD边中点。若AC＝AD＝6，连接PA、PE，求PA+PE的最小值。
动点到两定点的距离最值
浅析动点到两个定点的距离之和（差）的最值一、直线上的动点到直线外两个定点的距离之和（差）的最值．例1（1）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为，此时点P的坐标为；（2）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PB-PA的最大值为，此时点P的坐标为．解析：（1）如图1，当点P在x轴上运动时，PA+PB?AB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)∴(PA+PB)min =AB=此时，点P的坐标为（2）如图2，当点P在x轴上运动时，PB- PA =AB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)∴(PB-PA)max =AB=此时，点P的坐标为变题：（1）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为，此时点P的坐标为；解析：（1）如图3，作点B关于x轴的对称点Bˊ（3，-2），则有PB=PBˊ当点P在x轴上运动时，PA+PB=PA+PBˊ=ABˊ(当且仅当A，P，Bˊ三点共线时等号成立)∴(PA+PB)min =AB?=此时，点P的坐标为（2）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PB-PA的最大值为，此时点P的坐标为．解析：（2）如图4，作点B关于x轴的对称点Bˊ，则有PB=PBˊ当点P在x轴上运动时，PB- PA= PBˊ-PA ﹦ABˊ(当且仅当A，P，Bˊ三点共线时等号成立)∴(PB-PA)max =ABˊ=此时，点P的坐标为归纳：①当两定点位于直线的异侧时可求得动点到两定点的距离之和的最小值；②当两定点位于直线的同侧时可求得动点到两定点的距离之和的绝对值的最大值．若不满足①②时，可利用对称性将两定点变换到直线的同（异）侧，再进行求解．如变题的方法．例2函数的值域为．解析：将函数进行化简得：即为动点P（x，0）到两定点A(1，1)、B（3，-2）的距离之和．由例1可知：该值域为二、圆锥曲线上的动点到两个定点的距离之和（差）的最值．（一）直接求解或利用椭圆（或双曲线）的定义进行适当转化后求解．例3（1）已知A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆上的动点，则MA-MB的范围是；解析：(1)如图5，在∆MAB中有MA-MB<AB，当M，A，B三点共线且MB>MA即点M位于M2处时，有MA-MB=AB，所以MA-MB=AB；同理在∆MAB中有MB-MA=AB，即MB-MA=-AB(当点M位于M1处时等号成立)综上所述：-AB≦MA-MB≦AB（2）已知A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆上的动点，则MA+MB的最大值是．解析：(2) 如图6，因为点A恰为椭圆的右焦点，所以由椭圆的定义可得MA+MB=10-MF+MB（F为椭圆的左焦点），同（1）可得MB-MF﹦BF(当且仅当点M位于点M4处时，等号成立)所以(MA+MB)max =(10-MF+MB)max=10+BF=10+点评：因为点A，B都在椭圆的内部（即两定点都在曲线的同侧），故可直接求出动点M到两定点A，B的距离之差的最值；若要求动点M到两定点A，B的距离之和的最值（其中A恰为焦点），需要利用椭圆的定义转化为动点M到两定点F，B的距离之差的最值（点F为另一焦点）．例4(1)已知F是双曲线的左焦点，A(4，1)，P是双曲线右支上的动点，则PA+PF的最小值为；解析：(1)如图7，在 PAB中有PA+PF>AB，当P，A，F三点共线即点P位于P1处时，有PA+PF=AF，所以(PA+PF)min=AF=．(2)已知F是双曲线的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则PA+PF 的最小值为．解析：(2)如图8，设F2是双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得PA+PF=PA+2a+PF2=8+ PA+PF2=8+AF2(当P，A，F2三点共线即点P位于P2处时等号成立)，所以(PA+PF)min=8+AF2=13．点评：本题需要特别关注点与双曲线的位置关系，两定点一定要在动点的轨迹（曲线）的异侧．（二）利用圆锥曲线的统一定义将圆锥曲线上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离进行互化后进行求解．例5（1）已知点A(2，2)，F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，则PF+PA的最小值是，此时，点的坐标为；解析：如图9，设点P到右准线的距离为PP ，由圆锥曲线的统一定义可知，即(当且仅当A，P，Pˊ三点共线，即点P位于点P1处时取等号)此时点P的坐标为P(，2).（2）已知点A(5，2)，F是双曲线的右焦点，P是双曲线上的动点，则PF+PA 的最小值是，此时点的坐标为．解析：如图10，设点P到右准线的距离为PP ，由圆锥曲线的统一定义可知，即(当且仅当A，P，P ˊ三点共线，即点P位于点P1处时取等号)此时点P的坐标为P(，2)点评：此类最显著的特征是动点与焦点距离前有系数，可以利用圆锥曲线的统一定义将动点到焦点的距离转化为到相应准线的距离．例6（1）抛物线的焦点为F，A(4，-2)为一定点，在抛物线上找一点M，当MA+MF为最小值时，点M的坐标为；解析：如图11，为抛物线的准线，MMˊ为点M到准线的距离．利用抛物线的定义：MF=MMˊ，可得MA+MF= MA+MMˊ﹦AMˊ（当且仅当A，M，Mˊ三点共线时等号成立，即当点M在Mˊ处时等号成立）此时点M的坐标为M(，-2)（2）P为抛物线上任一点，A(3，4)为一定点，过P作PPˊ垂直y轴于点P ˊ，则AP+ PPˊ的最小值为．解析：如图12，延长PPˊ交抛物线的准线于点P´´，由抛物线的定义：PP´=PF，所以AP+ PP´= AP+ PP´´-1= AP+PF-1 AF-1(当且仅当A，P，F三点共线时等号成立，即当点P位于P1处时等号成立)点评：本题需要注意两点：①定点所在位置是抛物线的内部还是外部；②利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化．。
动点求最值方法总结
动点求最值方法总结一、引言动点求最值是一类经典数学问题，在各个学科领域中都有广泛的应用。
它可以通过将问题转化为数学模型，通过解析方法或数值计算方法求解。
本文将对动点求最值的方法进行总结和探讨，深入探究这类问题的解决思路和技巧。
二、常见的动点求最值问题2.1 直线上的动点问题在一条直线上，给定两个固定点A和B，求动点P到A点和B点的距离之和的最小值或最大值。
这类问题可以通过求解P点的坐标来实现。
2.2 平面内的动点问题在平面内，给定固定点A、B和C，求动点P到点A、B、C的距离之和的最小值或最大值。
这类问题涉及到平面几何和三角函数的运用。
2.3 空间内的动点问题在三维空间中，给定固定点A、B和C，求动点P到点A、B、C的距离之和的最小值或最大值。
这类问题需要运用空间几何和向量的知识。
三、解决动点求最值问题的方法3.1 几何解法几何解法是通过绘制几何图形，利用几何性质和定理来解决问题。
在直线上的动点问题中，可以通过绘制线段和圆等图形来分析，确定最值点的位置。
在平面内和空间内的动点问题中，可以借助几何图形的相似性和对称性来求解。
3.2 代数解法代数解法是通过建立方程或运用代数方法来求解问题。
在直线上的动点问题中，可以通过设定P点的坐标，利用距离公式建立相应的方程，并通过求导或配方法求解。
在平面内和空间内的动点问题中，可以利用向量运算和三角函数关系建立方程，然后通过求解方程组来得到最值点的坐标。
3.3 数值计算方法如果问题比较复杂，无法通过几何或代数的方法得到解析解，可以使用数值计算方法进行近似求解。
常用的数值计算方法包括最优化算法、数值优化算法和遗传算法等。
这些方法通过迭代计算，逐步逼近最值点的位置。
四、案例分析4.1 直线上的动点问题案例假设直线上有两个点A(1, 2)和B(3, 4)，求动点P到A点和B点的距离之和的最小值。
通过建立P点的坐标(x, y)，利用距离公式可得：d=√(x−1)2+(y−2)2+√(x−3)2+(y−4)2通过求导可以得到最小值点的坐标：∂d=0∂x∂d=0∂y解得最小值点为P(2, 3)。
初中线段最值 经典题
初中线段最值经典题
在初中数学中，线段的最值问题是一个常见的考点。
这类问题通常涉及到线段长度的最大化或最小化。
下面提供一个线段最值的经典题型和解析，帮助学生理解和应用相关知识点。
1.经典题目：
在直线l上找一点P，使得点P到直线l外两点A 和B的距离之和最小。
2.解析：
①理解题意：
②点A和B都在直线l的同一侧。
③我们需要找到一个点P在直线l上，使得AP + BP的和最小。
④构造方法：
⑤首先，作点A关于直线l的对称点A'。
⑥连接A'和B，交直线l于点P。
⑦点P即为所求的点，因为AP + BP = A'P + BP = A'B（由于A和A'关于直线l对称，所以AP = A'P）。
⑧证明：
⑨假设存在直线l上的另一点Q，使得AQ + BQ < A'B。
⑩但是，由于A和A'关于直线l对称，我们有AQ = A'Q。
11 因此，A'Q + BQ < A'B，这与两点之间线段最短的原则相矛盾。
12 所以，我们的假设是错误的，P点是使AP +
BP最小的唯一点。
13 结论：
14 点P是直线l上使AP + BP之和最小的点。
这种类型的问题考察了学生的几何直观能力和对线段最值原理的理解。
通过作对称点和利用线段的性质，可以有效地解决这类问题。
在实际解题过程中，学生还需要
注意作图的准确性和逻辑的严密性。
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“将军饮马”老歌新唱——例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题王柏校古希腊有位将军要从A地出发到河边去饮马，然后再到B地军营视察，问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？图1河流A地B地这是著名的“将军饮马”问题，在河边饮马的地点有很多处，怎样找出使两条线段之和最短的那个点来，我们只要设L为河（如图1），作AO⊥L交L于O点，延长AO至A'，使A'O=AO；连结A'B，交L于C，则C点就是所要求的饮马地点。
再连结AC，则路程（AC+CB）为最短的路程。
为什么饮马地点选在C点能使路程最短？因为A＇是A点关于L的对称点，AC与A'C 是相等的。
而A'B是一条线段，所以A'B是连结A＇、B这两点间的所有线中，最短的一条，所以AC+CB=A'C+CB=A'B也是最短的一条路了。
这就是运用轴对称变换，找到的一种最巧妙的解题方法。
这一流传近2000年的名题至今还被命题者所喜爱，近年来许多省市中考中出现了以此故事为背景的试题，它们所考查的深度和广度也在不断演变、拓展，而且又常与其他的数学知识相联系，数形结合，突出了数学的思维价值和应用能力，能够有效地体现学生的数学学习能力，现从2009年中考试题中撷取与此相关的试题来分类说明，供广大读者参考。
一、演变成与正方形有关的试题例1（2009年抚顺）如图2所示，正方形ABCD的面积为12，ABE△是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD PE+的和最小，则这个最小值为（）A．B．C．3 D分析与解：正方形ABCD 是轴对称图形，对角线AC 所在直线是它的一条对称轴，相对的两个顶点B 、D 关于对角线AC 对称,在这个问题中D 和E 是定点，P 是动点。
我们可以找到一个定点D 的轴对称点B ，连结BE ，与对角线AC 交点处P 就是使距离和最小的点（如图3），而使PD+PE 的和的最小值恰好等于BE ,因为正方形ABCD 的面积为12，所以它的边长为23，即PD +PE 的最小值为23。
二、演变成与梯形有关的试题例2（2009鄂州）已知直角梯形ABCD 中A D ∥BC,AB ⊥BC ，AD =2,BC =DC =5,点P 在BC 上移动，则当PA +PD 取最小值时，⊿APD 中边AP 上的高为（ ） ABCD ．3分析与解：如图，先作出A 点关于BC 的对称点E ,连结DE 交BC 于P 点，连结AP ,再过点D 作D F ⊥BC 于F ,过点D 作DG ⊥AP 于G .先可以根据梯形知识和勾股定理可以求得DF =4,从而AB =4,再由AB =BE 且AD ∥BC,知道BP 是⊿ABE 的中位线，∴BP =21AD =1得AP =17.因为⊿ADP 的面积=21AD ∙DF =21AP ∙DG ,所以AP 边上的高DG 为AP DF AD ∙=17817,即正确答案是C .三、演变成与圆有关的试题例3（2009龙岩）如图，AB 、CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB = 8，CD = 6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则P A +PC 的最小值为 .图4分析与解：首先根据对称知识确定点P 的位置，连结BC 交MN 于点P ，根据垂径定理易知AE =4,CF =3,EF =7.再过C 作C G ⊥AB 于点G ,在Rt ⊿BCG 中，CG =EF =7,BG =BE +EG =3+4=7,所以PA +PC 的最小值为BC =72.四、演变成与直角坐标系有关的试题例4（2009孝感）在平面直角坐标系中，有A （3，－2），B （4，2）两点，现另取一点C （1，n ），当n = 时，AC + BC 的值最小．分析与解：点A 和B 在直角坐标系下的位置如图8，此问题中A,B 是定点，而点C （1，n ）在直线x=1上,可以找出A 点关于直线x=1的对称点A ˊ坐标是(–1,-2),经过点B 和A ˊ的直线解析式为y=54x-56，所以当x=1时n=-52。
这题与点的坐标和一次函数知识想结合，考查了学生的数形结合能力。
解题时要画出示意图，在直角坐标系中确定点的大致位置，就可以比较明确的看出利用将军饮马的背景，再利用坐标知识求出对称点的坐标，最后结合一次函数求出结果。
五、演变成与一次函数有关的试题例5（2009荆门）一次函数y =kx ＋b 的图象与x 、y 轴分别交于点A (2，0)，B (0，4)．如图9 (1)求该函数的解析式；(2)O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点的坐标．分析与解：利用待定系数法易求得函数解析式为：y ＝－2x ＋4；求 PC ＋PD 的最小值时 既可以用代数方法求解，也能用几何方法求出，关键还是正确找到能使PC +PD 的值最小的点的位置。
如图10，设点C 关于点O 的对称点为C '，连结P C '、C 'D ，则PC ＝PC ′． ∴PC ＋PD ＝PC ′＋PD ≥C ′D ，即C ′、P 、D 共线时，PC ＋PD 的最小值是C ′D ．连结CD ，在Rt △DCC ′中，C ′D＝；易得点P 的坐标为(0，1)．(亦可作Rt △AOB 关于y 轴对称的△)六、演变成与二次函数有关的试题例6（2009重庆）如图11，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A (1,0),B (- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.分析与解：(1)将A (1，0)，B (－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在理由如下：由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点， 此时△AQC 周长最小∵223y x x =--+ ∴C 的坐标为：(0，3) 直线BC 解析式为：3y x =+Q 点坐标即为13x y x =-⎧⎨=+⎩的解 ∴12x y =-⎧⎨=⎩∴Q (－1，2)七、演变成综合型试题例6（2009 衢州）如图12，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2y ax =上．(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标；(2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点． ① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式； ② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最图12图13分析与解： (1) （如图13）将点A (-4，8)的坐标代入2y ax =，解得12a =． 将点B (2，n )的坐标代入212y x =，求得点B 的坐标为(2，2)， 则点B 关于x 轴对称点P 的坐标为(2，-2)． 直线AP 的解析式是5433y x =-+．令y =0，得45x =．即所求点Q 的坐标是(45，0)．(2)① （如图14）解法1：CQ =︱-2-45︱=145，故将抛物线212y x =向左平移145个单位时，A ′C +CB ′最短， 此时抛物线的函数解析式为2114()25y x =+．解法2：设将抛物线212y x =向左平移m 个单位，则平移后A ′，B ′的坐标分别为A ′(-4-m ，8)和B ′(2-m ，2)，点A ′关于x 轴对称点的坐标为A ′′(-4-m ，-8)．直线A ′′B ′的解析式为554333y x m =+-．要使A ′C +CB ′最短，点C 应在直线A ′′B ′上，将点C (-2，0)代入直线A ′′B ′的解析式，解得145m = 故将抛物线212y x =向左平移145个单位时A ′C +CB ′最短，此时抛物线的函数解析式为2114()25y x =+．② （如图15）左右平移抛物线212y x =，因为线段A ′B ′和CD的长是定值，所以要使四边形A ′B ′CD 的周长最短，只要使A ′D +CB ′最短；第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A ′D +CB ′>AD +CB ，因此不存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短．第二种情况：设抛物线向左平移了b 个单位，则点A ′和点B ′的坐标分别为A ′(-4-b ，8)和B ′(2-b ，2)．因为CD =2，因此将点B ′向左平移2个单位得B ′′(-b ，2)，要使A ′D +CB ′最短，只要使A ′D +DB ′′最短．点A ′关于x 轴对称点的坐标为A ′′(-4-b ，-8)，直线A ′′B ′′的解析式为55222y x b =++．要使A ′D +DB ′′最短，点D 应在直线A ′′B ′′上，将点D (-4，0)代入直线A ′′B ′′的解析式，解得165b =．故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短，此时抛物线的函数解析式为2116()25y x =+．综上所述，很多数学问题都是由这个“将军饮马”问题发展和延伸而来的，解决这类试题要数形结合，往往先用“对称”的方法转化为两点之间的距离问题，利用两点之间线段最短，找出相应的位置及最值。
此类问题较为自然地考查了正方形、梯形、圆、坐标及函数的相关知识，同时也考查了化归思想、数形结合思想、分类讨论思想，较好地落实了新课标对应用能力的要求。