(整理)中考数学例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题.
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“将军饮马”老歌新唱
——例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题
王柏校
古希腊有位将军要从A地出发到河边去饮马,然后再到B地军营视察,问怎样选择饮马地点,才能使路程最短?
图1河流
A地
B地
这是著名的“将军饮马”问题,在河边饮马的地点有很多处,怎样找出使两条线段之和最短的那个点来,我们只要设L为河(如图1),作AO⊥L交L于O点,延长AO至A',使A'O=AO;连结A'B,交L于C,则C点就是所要求的饮马地点。再连结AC,则
路程(AC+CB)为最短的路程。
为什么饮马地点选在C点能使路程最短?因为A'是A点关于L的对称点,AC与A'C 是相等的。而A'B是一条线段,所以A'B是连结A'、B这两点间的所有线中,最短的一条,所以AC+CB=A'C+CB=A'B也是最短的一条路了。这就是运用轴对称变换,找到的一种最巧妙的解题方法。
这一流传近2000年的名题至今还被命题者所喜爱,近年来许多省市中考中出现了以此故事为背景的试题,它们所考查的深度和广度也在不断演变、拓展,而且又常与其他的数学知识相联系,数形结合,突出了数学的思维价值和应用能力,能够有效地体现学生的数学学习能力,现从2009年中考试题中撷取与此相关的试题来分类说明,供广大读者参考。
一、演变成与正方形有关的试题
例1(2009年抚顺)如图2
所示,正方形ABCD的面积为12,ABE
△是等边三角形,
点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P
,使PD PE
+的和最小,则这个最小
值为()
A.
B.C.3 D
分析与解:正方形ABCD 是轴对称图形,对角线AC 所在直线是它的一条对称轴,相对的两个顶点B 、D 关于对角线AC 对称,在这个问题中D 和E 是定点,P 是动点。我们可以找到一个定点D 的轴对称点B ,连结BE ,与对角线AC 交点处P 就是使距离和最小的点(如图3),而使PD+PE 的和的最小值恰好等于BE ,因为正方形ABCD 的面积为12,所以它的边长为23,即PD +PE 的最小值为23。
二、演变成与梯形有关的试题
例2(2009鄂州)已知直角梯形ABCD 中A D ∥BC,AB ⊥BC ,AD =2,BC =DC =5,点P 在BC 上移动,则当PA +PD 取最小值时,⊿APD 中边AP 上的高为( ) A
B
C
D .3
分析与解:如图,先作出A 点关于BC 的对称点E ,连结DE 交BC 于P 点,连结AP ,再过点D 作D F ⊥BC 于F ,过点D 作DG ⊥AP 于G .先可以根据梯形知识和勾股定理可以求得DF =4,从
而AB =4,再由AB =BE 且AD ∥BC,知道BP 是⊿ABE 的中位线,∴BP =2
1
AD =1得AP =17.因为⊿ADP 的面积=21AD ∙DF =21AP ∙DG ,所以AP 边上的高DG 为AP DF AD ∙=
17
8
17,即正确答案是C .
三、演变成与圆有关的试题
例3(2009龙岩)如图,AB 、CD 是半径为5的⊙O 的两条弦,AB = 8,CD = 6,MN 是直径,AB ⊥MN 于点E ,CD ⊥MN 于点F ,P 为EF 上的任意一点,则P A +PC 的最小值为 .
图
4
分析与解:首先根据对称知识确定点P 的位置,连结BC 交MN 于点P ,根据垂径定理易知AE =4,CF =3,EF =7.再过C 作C G ⊥AB 于点G ,在Rt ⊿BCG 中,CG =EF =7,BG =BE +EG =3+4=7,所以
PA +PC 的最小值为BC =72.
四、演变成与直角坐标系有关的试题
例4(2009孝感)在平面直角坐标系中,有A (3,-2),B (4,2)两点,现另取一点C (1,n ),当n = 时,AC + BC 的值最小.
分析与解:点A 和B 在直角坐标系下的位置如图8,此问题中A,B 是定点,而点C (1,n )在直线x=1上,可以找出A 点关于直线x=1的对称点A ˊ坐标是(–1,-2),经过点B 和A ˊ的直线解析式为y=54x-5
6
,所以当x=1时n=-
5
2
。这题与点的坐标和一次函数知识想结合,考查了学生的数形结合能力。解题时要画出示意图,在直角坐标系中确定点的大致位置,就可以比较明确的看出利用将军饮马的背景,再利用坐标知识求出对称点的坐标,最后结合一次函数求出结果。
五、演变成与一次函数有关的试题
例5(2009荆门)一次函数y =kx +b 的图象与x 、y 轴分别交于点A (2,0),B (0,4).如图9 (1)求该函数的解析式;
(2)O 为坐标原点,设OA 、AB 的中点分别为C 、D ,P 为OB 上一动点,求PC +PD 的最小值,并求取得最小值时P 点的坐标.
分析与解:利用待定系数法易求得函数解析式为:y =-2x +4;求 PC +PD 的最小值时 既可以用代数方法求解,也能用几何方法求出,关键还是正确找到能使PC +PD 的值最小的点的位置。如图10,设点C 关于点O 的对称点为C ',连结P C '、C 'D ,则PC =PC ′. ∴PC +PD =PC ′+PD ≥C ′D ,即C ′、P 、D 共线时,PC +PD 的最小值是C ′D .
连结CD ,在Rt △DCC ′中,C ′D
=
;
易得点P 的坐标为(0,1).
(亦可作Rt △AOB 关于y 轴对称的△)
六、演变成与二次函数有关的试题
例6(2009重庆)如图11,抛物线c bx x y ++-=2
与x 轴交与A (1,0),B (- 3,0)两点, (1)求该抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线交y 轴与C 点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使得△QAC 的周长最小?若存在,求出Q 点的坐标;若不存在,请说明理由.
分析与解:(1)将A (1,0),B (-3,0)代2
y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩=∴23b c =-⎧⎨=⎩
∴抛物线解析式为:2
23y x x =--+
(2)存在
理由如下:由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称
∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点, 此时△AQC 周长最小
∵2
23y x x =--+ ∴C 的坐标为:(0,3) 直线BC 解析式为:3y x =+
Q 点坐标即为13x y x =-⎧⎨
=+⎩的解 ∴1
2
x y =-⎧⎨=⎩
∴Q (-1,2)
七、演变成综合型试题
例6(2009 衢州)如图12,已知点A (-4,8)和点B (2,n )在抛物线2y ax =上.
(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标,并在x 轴上找一点Q ,使得AQ +QB 最短,求出点Q 的坐标;
(2) 平移抛物线2y ax =,记平移后点A 的对应点为A ′,点B 的对应点为B ′,点C (-2,
0)和点D (-4,0)是x 轴上的两个定点. ① 当抛物线向左平移到某个位置时,A ′C +CB ′ 最短,求此时抛物线的函数解析式; ② 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A ′B ′CD 的周长最
图12
图
13