第13章辐射传递方程

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传输原理-第13章质量传输的基本概念和传质微分方程-1

数学表达式： Ci f x, y, z,
稳定传质
无质量蓄积
定态传质
浓
稳定浓度场：Ci f (x, y, z ) ，Ci 0
度按时间
场
不稳定浓度场：Ci f (x, y, z, ) ，Ci 0
不稳定传质有质量蓄积
不定态传质
13.1 浓度、速度、扩散通量密度
在1333K温度下Al扩散进入MgO陶瓷的试样断面图（电镜照片）
第13章质量传输的基本概念和传质微分方程
传质有两种基本方式：
1. 分子传质:由分子运动引起的传质。
从本质来说，它是依赖微观粒子的随机的分子运动所引起的，当体系存在浓度差时，浓度大的分子破坏了均衡态而导致了分子的定向运动，促进浓度大的区域的分子向浓度小的区域,从而达到浓度一致，完成质量传输的过程。
一维浓度场
浓
空间
二维浓度场
度
三维浓度场
场
物理量性质数量场
一维稳定浓度场：Ci f (x ) 一维不稳定浓度场：Ci f (x, )
13.1 浓度、速度、扩散通量密度
浓度梯度：
传质方向上单位距离上的浓度变化量（最大浓度变率）。
表达式：
gradCi

Ci n
方向：低浓度
高浓度为正
菲克第一定律
对浓度较为方便，即：
JA=－DAB C（dxA/dy）
mol/㎡s
jA=－DAB （dA/dy）
kg/㎡s
– DAB：组分A在组分B的扩散系数，叫互扩散系数
– DA、DB 叫A、B的扩散系数
13.2 扩散系数
1.扩散系数Di 单位: m2/s
Di

Ji

节能技术——平行板间各向异性散射介质辐射传递方程求解

ｆｓｒｉｇｐｌｏｒｅ［，中］何小平ａｔｓｕｓｓｕｃ刊ｎｉｅ／
吸作用，建立了全面描述土壤中水、、热盐耦合运移的数学模型并进行相应的数值研究，获得土壤中水、热、盐的动态迁移特性，探讨了土壤质地对盐分运移的影响，以期为土壤次生盐渍的防治提供有效的理论指导．模拟结果表明：盐分运移受土壤质地与结构的影响较大，并与土壤水分运移密切相关．图６参８关键词：土壤；盐渍化：吸附与解吸；温度效应
０１０９６４７８４０・２８０
状交错层理、爬升层理、槽模、炭化植物茎干及砾石．这些沉积构造指示柴西中生代古流格局比较复杂：在月牙山一带，中生代古流自北东流向南西，表明其物源区在北东方向，极有可能是以阿拉巴斯套为主体的古阿尔金山；在犬牙沟与采石岭一带，中生代的古流主要来自于南东方向和北东方向．前者可能与昆仑山和芒崖坳陷腹地的古隆起有关；后者可能与中部的砾石梁一带在中生代某些时期隆升形成 “ 陆桥 ”而接通了来自北东方向阿拉巴斯套的水系有关．在砾石梁一带，中生代的古流格局则非常紊乱，表明其可能具有多个物源区．在阿拉巴斯套与昆仑山之间中生代发育了个大的沉积坳陷（古泛芒崖坳陷），这个坳陷呈近东西向，坳陷中心在砾石梁
ｔｎｏｓｔｓｅｆｅｔｍｏｓｕｅａｄｇｓａｅｕａｆｒｈａ，ｒｎｏｉｔｒａｎ

人教版九年级物理重点知识第13章内能知识点

第十三章《热和能》复习提纲第1节分子热运动：1、常见的物质是由分子、原子构成的。

它们的大小通常以10-10m为单位来度量。

2、分子热运动：一切物体的分子都在不停地做无规则的运动，由于分子的运动与温度有关，所以这种无规则运动叫做分子的热运动。

温度越高扩散越快。

温度越高，分子无规则运动的速度越大。

①扩散现象：不同物质在相互接触时，彼此进入对方的现象。

②扩散现象说明：A分子之间有间隙。

B分子在做不停的无规则的运动。

③课本中的装置下面放二氧化氮这样做的目的是：防止二氧化氮扩散被误认为是重力作用的结果。

实验现象：两瓶气体混合在一起颜色变得均匀，结论：气体分子在不停地运动。

④固、液、气都可扩散，一般来讲，气体间扩散最快，液体次之，固体最慢。

⑤扩散速度与温度有关。

温度越高，分子运动越剧烈，扩散进行得越快；温度越低扩散进行得越慢。

⑥分子运动与物体运动要区分开：分子热运动是自发形成的，而不是在外力作用下的运动。

分子热运动最终结果是使物质越来越均匀。

扩散、蒸发等是分子运动的结果，而飞扬的灰尘，液、气体对流是物体运动的结果，尘土飞扬最终是尘埃落定，空气变得清新。

3、分子间存在着引力和斥力，它们是同时存在的。

①当分子间的距离ｄ＝分子间平衡距离 r ，引力＝斥力。

②ｄ＜ｒ时，引力＜斥力，斥力起主要作用，固体和液体很难被压缩是因为：分子之间的斥力起主要作用。

③ｄ＞ｒ时，引力＞斥力，引力起主要作用。

固体很难被拉断，钢笔写字，胶水粘东西都是因为分子之间引力起主要作用。

④当ｄ＞10ｒ时，分子之间作用力十分微弱，可忽略不计。

破镜不能重圆的原因是：镜块间的距离远大于分子之间的作用力的作用范围，镜子不能因分子间作用力而结合在一起。

4、固态、液态、气态的微观模型:①固体中分子之间的距离小，相互作用力很大，分子只能在一定的位置附近振动，所以既有一定的体积，亦有一定的形状。

②液体中分子之间的距离较小，相互作用力较大，以分子群的形态存在，分子可在某个位置附近振动，分子群却可以相互滑过，所以液体有一定的体积，但有流动性，形状随容器而变化。

《传热学》第四版课后习题答案解析

《传热学》第一章思考题1．试用简练的语言说明导热、对流换热及辐射换热三种热传递方式之间的联系和区别。

答：导热和对流的区别在于：物体内部依靠微观粒子的热运动而产生的热量传递现象，称为导热；对流则是流体各部分之间发生宏观相对位移及冷热流体的相互掺混。

联系是：在发生对流换热的同时必然伴生有导热。

导热、对流这两种热量传递方式，只有在物质存在的条件下才能实现，而辐射可以在真空中传播，辐射换热时不仅有能量的转移还伴有能量形式的转换。

2．以热流密度表示的傅立叶定律、牛顿冷却公式及斯忒藩－玻耳兹曼定律是应当熟记的传热学公式。

试写出这三个公式并说明其中每一个符号及其意义。

答：① 傅立叶定律：dx dt q λ-=，其中，q －热流密度；λ－导热系数；dx dt －沿x 方向的温度变化率，“－”表示热量传递的方向是沿着温度降低的方向。

② 牛顿冷却公式：)(f w t t h q -=，其中，q －热流密度；h －表面传热系数；w t －固体表面温度；f t －流体的温度。

③ 斯忒藩－玻耳兹曼定律：4T q σ=，其中，q －热流密度；σ－斯忒藩－玻耳兹曼常数；T －辐射物体的热力学温度。

3．导热系数、表面传热系数及传热系数的单位各是什么？哪些是物性参数，哪些与过程有关？答：① 导热系数的单位是：W/(m.K)；② 表面传热系数的单位是：W/(m 2.K)；③ 传热系数的单位是：W/(m 2.K)。

这三个参数中，只有导热系数是物性参数，其它均与过程有关。

4．当热量从壁面一侧的流体穿过壁面传给另一侧的流体时，冷、热流体之间的换热量可以通过其中任何一个环节来计算（过程是稳态的），但本章中又引入了传热方程式，并说它是“换热器热工计算的基本公式”。

试分析引入传热方程式的工程实用意义。

答：因为在许多工业换热设备中，进行热量交换的冷、热流体也常处于固体壁面的两侧，是工程技术中经常遇到的一种典型热量传递过程。

5．用铝制的水壶烧开水时，尽管炉火很旺，但水壶仍然安然无恙。

传热学——精选推荐

第一章、基本内容：一、热量传递的三种基本方式⒈导热掌握导热系数λ是一物性参数，其单位为w ／(m·K)；它取决于物质的热力状态，如压力、温度等。

⒉对流掌握对流换热的表面传热系数h 为一过程量，而不像导热系数λ那样是物性参数。

⒊热辐射掌握黑体辐射的斯蒂藩—玻耳兹曼定律。

二、传热过程与传热系数⒈传热过程理解传热系数K 是表征传热过程强弱的标尺。

⒉热阻分析1、试分析室内暖气片的散热过程，各环节有哪些热量传递方式？以暖气片管内走热水为例。

答：有以下换热环节及热传递方式(1)由热水到暖气片管到内壁，热传递方式是对流换热(强制对流)；(2)由暖气片管道内壁至外壁，热传递方式为导热；(3)由暖气片外壁至室内环境和空气，热传递方式有辐射换热和对流换热。

二、定量计算本节的定量计算主要是利用热量传递的三种基本方式所对应的定律，即导热的傅里叶定律，对流换热的牛顿冷却公式，热辐射的斯蒂藩—玻耳兹曼定律进行简单的计算。

另外，传热过程、热阻综合分析法及能量守恒定律也是较重要的内容。

1、一双层玻璃窗，宽1.1m ，高1.2m ，厚3mm ，导热系数为1.05W/(m·K)；中间空气层厚5MM ，设空气隙仅起导热作用，导热系数为0.026W/(m·K)。

室内空气温度为25℃。

表面传热系数为20W/(m 2·K)；室外空气温度为-10℃，表面传热系数为15W/(m 2·K)。

试计算通过双层玻璃窗的散热量，并与单层玻璃窗相比较。

假定在两种情况下室内、外空气温度及表面传热系数相同。

解：(1)双层玻璃窗情形，由传热过程计算式：(2)单层玻璃窗情形：显然，单层玻璃窃的散热量是双层玻璃窗的2.6倍。

因此，北方的冬天常常采用双层玻璃窗使室内保温。

2、一外径为0.3m ，壁厚为5mm 的圆管，长为5m ，外表面平均温度为80℃。

200℃的空气在管外横向掠过，表面传热系数为80W/(m 2·K)。

传热

第三章
第一节
传热
概述
导热
一、热量传递的三种基本方式
根据传热的机理不同，热量传递的基本方式分为三种：对流热辐射
1、热传导（又称导热）
当物体内部或两个直接接触的物体存在着温差时，由于分子、原子和自由电子等微观粒子的热运动而引起热量的传递。热量由高温部分传到低温部分，或从高温物体传到与之相接触的低温物体，直到各部分温度相等为止，这种热量传递过程称为导热。
ΔT=T1 –Tn+1
5、保温层的临界半径
t1----保温层内表面温度；tf----环境温度 r1、r2----分别为保温层内外壁半径； λ---为保温材料的导热系数 α---为对流传热系数；L---为管长
t1 t2
r1 r2
t1 t f r2 1 1 R1 R2 ln 2L r1 2Lr2
2、导热系数

dT A dx
（1）、固体的导热系数
大多数固体的导热系数与温度大致呈线性关系。 λ=λ0（1+αλt）
αλ-------温度系数
（2）液体的导热系数
液态金属：液态金属导热系数比一般液体高液态金属导热系数随温度升高而降低。其他液体：水的导热系数最大，除水和甘油等几种液体外，大多数液体λ随温度升高略有减少，纯液体λ比混合液体一般要大一些。
第二节
一、热传导方程 1、傅立叶定律
热传导
T φ T2 x
dT A dx dT q dx
dT dx
T1
T
T+dT
dx
δ
温度梯度，表示热流方向温度变化的强度，温度梯度越大，说明热流方向单位长度上的温差越大。
负号表示热流方向与温度梯度方向相反,热量是沿温度降低的方向传递.

Chebyshev配置点谱方法直接求解离散坐标辐射传递方程

摘要：针对三维长方形炉内具有吸收一射介质的辐射换热，基于Ｃｅｙｈｖ配置点谱方法和Ｓｈｒ解开发了发ｈｂｓｅｅｕ分直接求解辐射离散坐标方程的求解器。针对离散后所得到的三维矩阵方程，分别用两种方法进行求解，一种是用张量积将三维转变成二维然后直接用Ｓｈｒ解求解；另一种是自行开发三维Ｓｈｒ解直接求解。数值实验ｅｕ分ｅｕ分表明，在相同的输入参数下，新求解器具有很好的精度，尤其相比于标准离散坐标法，新求解器能节省大量计
最近作者将chebyshev配置点谱方法成功应用于求解一维具有各向异性散射的辐射问题25一维梯度折射率辐射问题26半透明梯度折射率内辐射与导热耦合问题27一维瞬态各向异性散射梯度折射率介质内辐射与导热耦合问题28以及同心球内具有参与介质时辐射与导热耦合问题24作为chebyshev配置点谱方法计算辐射换2428的多维扩展本文开发了直接求解三维长方体炉内具有吸收发射介质情况下的离散坐标辐射方程组
算时间。特别是基于三维Ｓｈｒ解的直接求解器，在相同的输人参数下，计算时间只有标准离散坐标法的ｃｕ分
１Ｏ～１。
关键词：辐射换热；离散坐标法；Ｃｅｙｈｖ配置点谱方法；Ｓｈｒ解ｈｂｓｅｃｕ分
ＡｂｔａｔＢａｅｎｔｓｒｃ：ｓｄｏｈｅＣｈｅｓｅｏｌｃｔｏｐｅｔａｅｈｎｄＳｃｂｙｈｖｃｌｏａｉｎｓｃｒｌｍｔｏｄａｈｕｒｄｃｍｐｏｉｉｎ，ｔｉｅｔｓｌｅｓｅｏｓｔｏＷＯｄｒｃｏｖｒｆｒａａｉｅｉｃｅｅｏｒｄｉｔｖｄｓｒｔｏｒｉａｅｅａｉｓｏａｈｒｅｄｍｅｉａｒｃａｇｕａｆｒｃｗｉｈｂｓｒｎ — ｄｎｔｓｑｕｔｏｎｆｒｔｅ — ｉｎｓｏｎｌｅｔｎｌｒｕｎａｅｔａｏｂｉｇｅｉｔｎｇｍｔｉｍｅｉｍａｅｅｅｏｅ．ｒｈｅｈｒｅｄｉｅｉｎａｍａｒｘｑｕｔｏｎｒｍｄｓｒｔｚｔｏｏｔｅｄｕｒｄｖｌｐｄＦｏｔｔｅ — ｍｎｓｏｌｔｉｅａｉｆｏｉｃｅｉａｉｎｆｈｒｄａｉｅｔａｆｒｅｕａｉｎ，ｏｅｓｖｒｉａｅｎｔ — ｍｅｓｏｌＳｈｕｅｏｐｉｉｎａｔｒｔｒｎｓｏｒａｉｔｖｒｎｓｅｑｔｏｎｏｌｅｓｂｓｄｏｗｏｄｉｎｉｎａｃｒｄｃｍｏｓｔｏｆｅｈｅｔａｆｍｏｈｒｅｄｉｅｉｎａａｒｘｅｕｔｏｎｔｗｏｄｉｎｉｎａｎｅｕｓｎｇｔｎｓｒｐｏｕｃ，ａｈｈｅｓｂｓｄｆｔｅ — ｍｎｓｏｌｍｔｉｑａｉｏｔ～ｍｅｓｏｌｏｉｅｏｒｄｔｎｄｔｅｏｔｒｉａｅ

第13章内能(原卷版)

中考一轮复习知识点梳理与针对性分层训练第13章《内能》【知识点1、分子热运动】一、物质的构成常见的物质是由极其微小的粒子——______、______构成的。

☆人们通常用______m为单位来量度分子。

___________可以帮助我们观察到分子。

二、分子的热运动1．不同的物质在互相接触时彼此进入对方的现象，叫___________。

2．扩散现象可以发生在______、______、______之间。

3．由于分子的运动跟_______有关，_______越高，分子运动越剧烈。

所以这种无规则运动叫_____________。

4．扩散现象等大量事实表明：☆（1）___________________________________。

（2）____________________________。

三、分子间的作用力1．分子之间的______使得固体、液体分子不至于散开，因而固体和液体能保持一定的______。

2．压缩固体和液体很困难，是因为分子之间还存在着______。

3．分子间既有______又有______。

当分子之间的距离变小时，作用力表现为______；当分子之间的距离变大时，作用力又表现为______。

如果分子之间的距离过大，作用力变得十分微弱，可以忽略。

4．分子间距决定了分子间的作用力，从而决定了固体、液体和气体的特征。

【经典例题考查】1．如图所示，是我们学习分子动理论时做过的一些实验。

（1）图甲中硫酸铜溶液与清水放置几天之后，两种液体混合均匀了，这是现象。

（2）图乙玻璃板的下表面接触水面，向上拉动时会发现弹簧测力计示数玻璃板的重力。

（选填“大于”、“等于”或“小于”）（3）图丙中水和酒精充分混合后的总体积混合前水和酒精的总体积。

（选填“大于”、“等于”或“小于”）（4）图丁中所示的实验现象说明分子在做。

2．学习了分子动理论之后，欣欣同学总结了很多生活中与分子动理论有关的现象，下列总结中不正确的是（）A．腌制鸭蛋就是通过扩散使盐进入蛋中B．人造木板粘接剂中的甲醛扩散到空气中造成环境污染C．用透明胶带揭下纸上写错的字，是因为胶带与纸之间有相互的斥力D．“破镜不能重圆”是分子间的距离太大，作用力变得十分微弱3．夏季来临，瓶装水迎来销售旺季，大量废弃的塑料瓶污染环境。

热设计基础知识及规范

目录第一章概述 ------------------ 2第二章热设计基础知识--------- 3第三章自然对流换热------------ 6第四章强迫对流换热-风扇冷却--- 9第五章单板元器件安全性热分析- 15第六章通信产品热设计步骤----- 20第一章概述1.1 热设计的目的采用适当可靠的方法控制产品内部所有电子元器件的温度，使其在所处的工作环境条件下不超过稳定运行要求的最高温度，以保证产品正常运行的安全性，长期运行的可靠性。

1.2 热设计的基本问题1.2.1 耗散的热量决定了温升，因此也决定了任一给定结构的温度；1.2.2 热量以导热、对流及辐射传递出去，每种形式传递的热量与其热阻成反比；1.2.3 热量、热阻和温度是热设计中的重要参数；1.2.4 所有的冷却系统应是最简单又最经济的，并适合于特定的电气和机械、环境条件，同时满足可靠性要求；1.2.5 热设计应与电气设计、结构设计、可靠性设计同时进行，当出现矛盾时，应进行权衡分析，折衷解决；1.2.6 热设计中允许有较大的误差；1.2.7 热设计应考虑的因素：包括结构与尺寸功耗产品的经济性与所要求的元器件的失效率相应的温度极限电路布局工作环境1.3 遵循的原则1.3.1热设计应与电气设计、结构设计同时进行，使热设计、结构设计、电气设计相互兼顾;1.3.2 热设计应遵循相应的国际、国内标准、行业标准;1.3.3 热设计应满足产品的可靠性要求，以保证设备内的元器件均能在设定的热环境中长期正常工作。

1.3.4 每个元器件的参数选择及安装位置及方式必须符合散热要求；1.3.5 在规定的使用期限内，冷却系统(如风扇等)的故障率应比组件的故障率低；1.3.6 在进行热设计时，应考虑相应的设计余量，以避免使用过程中因工况发生变化而引起的热耗散及流动阻力的增加。

1.3.7 热设计不能盲目加大散热余量，尽量使用自然对流或低转速风扇等可靠性高的冷却方式。

《传热学》第五版名词解释总结(沈阳建筑大学09级考试重点)

t tw t 0, ( )0 x x t w t f
u 0, v 0, u f (r )径向分速度为零 x
2）层流紊流判别 Re=2300，Re 中的 u 为断面平均流速，定性尺寸为管径 3）管内流体平均温度：管断面流体平均温度；全管长流体平均温度（常热流： (t1+t2)/2，t (t ' t ' ' ) / 2 常壁温：
传热学概念总结 ————————————第一章———————————————— 1）热量传递的动力：温差 2）热量传递的三种基本传递方式：导热，热对流，热辐射 3）导热：单纯的导热发生在密实的固体中 4）对流换热：导热+热对流 5）辐射换热：概念：物体间靠热辐射进行的热量传递过程称为辐射换热；特点：伴随能量形式的转换（内能-电磁波能-内能），不需要直接接触，不需要介质，只要大于 0k 就会不停的发射电磁波能进行能量传递（温度高的大）。 6）温度场：是指某一时刻空间所有各点的温度的总称 7）等温面：同一时刻，温度场中所有温度相同的点连接所构成的面等温线：不同的等温线与同一平面相交，则在此平面上构成一簇曲线称（注：不会相交不会中断） 8）温度梯度：自等温面上一点到另一个等温面，以该点的法线温度变化率最大。以该点的法线方向为方向，数值也正好等于这个最大温度变化率的矢量称为温度梯度 gradt(正方向朝着温度增加的方向) 9）热流密度：单位时间单位面积上所传递的热量称为热流密度 10）热流矢量：等温面上某点，已通过该点最大的热流密度的方向为方向，数值上也正好等于沿该方向热流密度的矢量称为热流密度矢量（正方向高温指向低温）
4
3）
边界层：当具有粘性且能润湿壁面的流体流过壁面时粘滞力将制动流体运动形成边界层

2.2辐射传输方程

1 2π
2π
∫ g l (Ω l ) Ω l ⋅ Ω' f (Ω' → Ω, Ω l )dΩ l
−
−
如果再假定 g l (Ω l ) = 1 （取球面型）
58
则 Γ ( Ω' → Ω ) =
t ω [sin β − β cos β ] + l cos β 3π π
其中
β = cos −1 (Ω, Ω' ) ω = rl + t l
其中 θ s = sin
−1
sin θ ' n
尔镜面反射公式
n 为叶子的光学折射系数，F 为菲
∫ f (Ω φπ
'
→ Ω , Ω l )dΩ = rl+ + rl− + t l+ + t l− + K ( k , µ ' ) F ( n, µ ' )
2.2.4．连续植被的辐射传输方程一般水平均匀，垂直分层介质中的辐射传输方程可表达为
其中 τ = u l ( z ) dz ，即 dτ ( z ) = ul ( z )dz
∂
∫
z
如果单片叶子的单次散射反照率是一个常数，那么辐射传输方程可变换为另一种形式。
Q
1
π
1
Γ ( Ω' → Ω ) =
1 2π
2π
∫ g l (Ω l ) | Ω l ⋅ Ω' | f (Ω' → Ω, Ω l )dΩ l
与一般辐射传输方程等式右边项相比，则
σ s ( z , Ω' → Ω ) =
− − ul ( z ) g l ( z, Ω l ) | Ω l ⋅ Ω | f (Ω' → Ω, Ω l )dΩ l ∫ 2π 2π

辐射传方程

辐射传方程
辐射传方程是描述辐射传热过程的数学方程。

在自然界和工程领域中，物体间的热传递往往通过辐射传热来进行。

辐射传方程可以用来计算物体的辐射传热速率以及各个表面的辐射传热通量。

辐射传热是指在没有接触的情况下，物体通过电磁波的传播来传递热量。

辐射传热与物体的表面温度、表面性质以及周围环境的温度有关。

辐射传方程的一般形式可以写为：
Q = εAσ(T^4 - T_0^4)
其中，Q表示单位时间内物体所辐射的热量，ε表示物体的发射率，A表示物体的表面积，σ表示斯特藩-玻尔兹曼常数，T 表示物体的表面温度，T_0表示周围环境的温度。

辐射传方程的推导基于热辐射的特性和能量守恒定律。

根据热辐射的本质，物体在任何温度下都会发出辐射，而且发射的辐射功率与物体表面积成正比。

同时，根据能量守恒定律，物体通过辐射传热失去的热量必须等于它从周围环境吸收的热量。

辐射传方程的应用非常广泛。

在工程领域中，可以用于计算太阳能电池板的辐射吸收能力，也可以用于计算燃烧炉内的辐射传热。

在地球科学中，可以用于分析地球表面的能量平衡以及气候变化。

在生物医学中，可以用于计算人体皮肤的热辐射损失。

需要注意的是，辐射传方程只适用于热传导不显著的情况。

对于热传导显著的情况，还需要考虑传导传热和对流传热的影响。

总之，辐射传方程是描述辐射传热过程的重要工具，可以用于计算物体的辐射传热速率和各个表面的辐射传热通量。

它在自然界和工程领域中具有广泛的应用，对科学研究和工程设计都有重要意义。

能量传递

2 1 3 e 2 c 3 6 f B 6 A R 4m

1 辐射衰减速率 OA 辐射衰减速率非辐射衰减速率 1 A
其中，ε是量子效率，τOA为供体A的辐射寿命（radiative lifetime）,τA为供体A的有效寿命（effective lifetime）， fB是受体Ｂ吸收峰的阵子强度。
引入扩散后的方程
扩散方程：
C ( R, t ) 2 D C ( R, t ) t
带入可得：
d ( R, t ) dt
NA 1 2 D WDA ( Ri R j ) ( R, t ) D j 1
（2）扩散受限能量传递供体间的能量扩散很慢，但是与供体固有的衰减速率可比。定性的结果：
tWDA ( R )
R dR
2
NA
其中，RV是最大球体积的半径，即有：
4 3 V RV 3
如果知道了相互作用的类型，就可以带入WDA的具体形式。对于多级相互作用，假设其中某一种相互作用占主导地位，则： n
带入可得：
1 R0 WDA ( R ) D R
共振能量传递（resonant energy transfer）
• 多极相互作用（multipolar interaction）
– 偶极-偶极相互作用（dipole-dipole interaction） – 偶极-四极相互作用（dipole-quadrupole interaction) – 四极-四极相互作用（quadrupole-quadrupole interaction)
a' b H ab
e2 e2 b' (1)a(2) a(1)b' (2) a' (1)b(2) ab' a' (1)b(2) r12 r12

热量传递的三种基本方式导热(热传导)、对流(热对流)和热辐射。

[ W m2 ]
: 热导率（导热系数）（Thermal conductivity） W (m C) 直角坐标系中： t t t q q x i q y j q z k i j k x y z
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
Nu C Rem
)/ 2; 式中：定性温度为 tr (tw tf特征长度为管外径 d，数中的流速采用整个管束中最窄截面处的流速。 Re 实验验证范围：
C和m的值见下表。
Ref 2000 ~ 40000。
§6-5 自然对流换热及实验关联式
自然对流：不依靠泵或风机等外力推动，由流体自身温度场的不均匀所引起的流动。一般地，不均匀温度场仅发生在靠近换热壁面的薄层之内。自然对流的自模化现象：紊流时换热系数与特征尺度无关。
Nu f (Re, Pr)； Nu x f ( x ' , Re, Pr)
自然对流换热：
Nu f (Gr , Pr)
混合对流换热： Nu f (Re, Gr , Pr) 试验数据的整理形式：
Nu c Re n Nu c Re n Pr m Nu c(Gr Pr)n
2. 入口段的热边界层薄，表面传热系数高。层流入口段长度: l / d 0.05 Re Pr 湍流时:
4-2 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。
而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题，就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才能求解。

第13章-质量传输概念与第14章分子传质

∂c A ∂ρ A 2 2 或 = DAB∇ c A = DAB ∇ ρ A ∂t ∂t
定解条件（自学）第四节定解条件（自学）
一、初始条件 t=0, cA=cA(x,y,x) 二、边界条件（1）边界上的浓度 c=c0, cA=0 （2）边界上的质量通量密度 ∂cA/∂n=0 （3）边界上的摩尔通量密度 (NA)w=kc(cAw - cA∝) （4）边界上的化学反应速率 k1为一级反应速率 (NA)w=－k1cAw， k1为一级反应速率
浓度、速度、第一节浓度、速度、扩散通量密度
同样，定义相对于平均速度的组分A 同样，定义相对于平均速度的组分A的摩尔通量平均速度的组分密度（或摩尔扩散通量密度）密度（或摩尔扩散通量密度）为：
J A = c A (v A − v m )
J A = N A − c Av m
cA －组分A的物质的量浓度（mol/m3 ）组分A的物质的量浓度（相对于平均速度的组分A JA －相对于平均速度的组分A的摩尔通量密度（ s)）密度（mol/ (m2⋅ s)）双组分混合物相对于静止坐标静止坐标的双组分混合物相对于静止坐标的总摩尔通量密度 N （mol/ (m2⋅ s)）为： s)）
DAB JA =− dc A / dz
通常气体的扩散系数为：通常气体的扩散系数为： 10-5 m2/s 液体的扩散系数为：液体的扩散系数为：10-9 ～10-10 m2/s 固体的扩散系数为：固体的扩散系数为：10-10～10-15 m2/s
第二节扩散系数
有很大的影响，温度对固体扩散系数 D 有很大的影响，两者关系可用下式表示：两者关系可用下式表示：
j A = ρ A (v A − v )
所以：所以： nA =

遥感数字图像处理习题与标准答案

《遥感数字图像处理》习题与答案第一部分1.什么是图像？并说明遥感图像与遥感数字图像的区别。

答：图像（image）是对客观对象的一种相似性的描述或写真。

图像包含了这个客观对象的信息。

是人们最主要的信息源。

按图像的明暗程度和空间坐标的连续性划分，图像可分为模拟图像和数字图像。

模拟图像（又称光学图像）是指空间坐标和明暗程度都连续变化的、计算机无法直接处理的图像，它属于可见图像。

数字图像是指被计算机储存，处理和使用的图像，是一种空间坐标和灰度都不连续的、用离散数字表示的图像，它属于不可见图像。

2.怎样获取遥感图像？答：遥感图像的获取是通过遥感平台搭载的传感器成像来获取的。

根据传感器基本构造和成像原理不同。

大致可分为摄影成像、扫描成像和雷达成像三类。

3.说明遥感模拟图像数字化的过程。

灰度等级一般都取2m（m是正整数），说明m = 8时的灰度情况。

答：遥感模拟图像数字化包括采样和量化两个过程。

①采样：将空间上连续的图像变换成离散点的操作称为采样。

空间采样可以将模拟图像具有的连续灰度（或色彩）信息转换成为每行有N个像元、每列有M个像元的数字图像。

②量化：遥感模拟图像经离散采样后，可得到有MXN个像元点组合表示的图像，但其灰度（或色彩）仍是连续的，不能用计算机处理。

应进一步离散、归并到各个区间，分别用有限个整数来表示，称为量化。

当m = 8时，则得256个灰度级。

若一幅遥感数字图像的量化灰度级数g=256级，则灰度级别有256个。

用0—255的整数表示。

这里0表示黑，255表示白，其他值居中渐变。

由于8bit就能表示灰度图像像元的灰度值，因此称8bit量化。

彩色图像可采用24bit量化，分别给红，绿，蓝三原色8bit,每个颜色层面数据为0—255级。

4.什么是遥感数字图像处理？它包括那些内容？答：利用计算机对遥感数字图像进行一系列的操作，以求达到预期结果的技术，称作遥感数字图像处理。

其内容有：①图像转换。

包括模数（A/D）转换和数模（D/A）转换。

海洋科学导论思考题

《海洋科学导论》思考题第一章：1、如何理解地球科学是一个复杂的科学体系？2、海洋科学的研究对象和特点是什么？3、海洋科学研究有哪些特点？4、回顾海洋科学发展历史，从中你能够得到哪些启示？5、中国海洋科学发展的前景如何？第二章：1、简述地球运动的主要形式及其产生的重要自然现象。

2、地球外部圈层与内部圈层是怎样划分的？说明它们之间的内在联系和区别。

3、说明全球海陆分布特点以及海洋的划分。

4、什么是海岸带？说明其组成部分是如何界定的。

5、大陆边缘分为几种主要来源？说明各自的构成及其主要特点。

6、什么是大洋中脊体系，它有哪些主要特点？7、简述大陆漂移、海底扩张与板块构造的内在联系与主要区别。

8、根据板块构造原理说明大洋盆地和边缘海盆地的形成与演化。

9、滨海沉积物主要有哪些？说明各自趁机作用的控制因素及沉积特点。

10、大陆架沉积作用过程有哪些？说明现代陆架沉积物的主要来源类型及分布规律。

11、按照大洋沉积物的成因将其分为哪几种主要类型，请归纳它们的分布规律、12、按照矿产资源形成的海洋环境和分布特征，海洋矿产资源有哪些主要类型？如何认识海洋是巨大的资源宝库？第三章：1、简述海水组成与纯水的异同点。

何谓海水盐度？2. 简述海水的主要热学与力学性质，它们与温度、盐度和压力的关系如何?3. 何谓海水的位温？有何实用价值？4. 简述海水密度的表示方法（历史上和现在的）。

何谓海水状态方程？5. 海水结冰与淡水结冰的过程有何不同？为什么？6. 海冰的主要物理性质是什么？海冰对海况有何影响？7. 海洋热平衡方程中各项的物理含义是什么？它们是怎样对海洋的热状况产生作用的？8. 世界大洋热平衡的分布与变化规律如何？9. 简述世界大洋中温度、盐度和密度的空间分布基本特征。

10. 大洋温度和盐度的平面分布与铅直分布有什么异同点？11. 何谓大洋主温跃层和极峰？何谓季节性温跃层？12. 为什么大洋热带海域盐度的最大与最小值总是出现在表层以下？13. 何谓海洋水团？它和水型、水系有什么关系？14. 何谓海洋混合？引起混合的主要原因有哪些？15. 涡动混合与对流混合效应有何异同之处？在不同纬度的海域中和不同季节中它们对海况的影响有什么变化与不同？16. 海洋中温度、盐度与密度细微结构的基本特征如何？第四章：1、海水的组成为什么有恒定性？2、海水中的常量元素主要有哪些？3、海水的pH值一般是多少?海水的缓冲能力主要由哪种作用控制？4、海水中营养盐有哪些？有哪些主要形式？5、海洋污染如何防治？第五章：1、简述海流的定义、形成原因及表示方法。

求解辐射传输方程的多松弛格子-Boltzmann模型

第41卷第1期东北电力大学学报Vol.41，H 2021年2月Journal Of Northeast Electric Power University Feb,2021D O I： 10. 19718/j.issn. 1005-2992.2021-01-0048-08求解辐射传输方程的多松弛格子-Boltzmann模型刘晓川\王存海2,黄勇、朱克勇1(1.北京航空航天大学航空科学与工程学院，北京100191,2.北京科技大学能源与环境工程学院，北京100083)摘要：针对福射传输方程，文中提出了一种多松弛格子-B o l t z m a n n模型（m u l t i p l e-r e l a x a t i o n-t i m el a t t i c e B o ltz m a n n m o d e l).基于扩散尺度下的M a x w e l l迭代，辐射传输方程可以严格地从格子B o l t z m a n n方程推导得出•一些数值案例用来验证本文提出的多松弛（M R T)格子-B o l t z m a n n模型的数值特性.结果表明本文提出的多松弛格子-B o l t z m a n n模型可以稳定及精确地求解参与性介质中的瞬态及稳态辐射传输问题.并且，该模型具有二阶精度.关键词：辐射传输方程;格子-B o l t z m a n n方法;多松弛模型中图分类号：T K121 文献标识码：A辐射传输方程描述了辐射能量在介质中的传递，在许多科学和工程领域具有重要作用，例如大气辐射传输[1]、光学层析成像[2]、天体物理学[3]及核工程[4]等.辐射传输方程是一个高维、复杂的积分微分方程，辐射强度涉及波长、时间、空间和角度等,求其解析解十分困难.学者们提出发展了很多种数值方法来求解辐射传输方程,如蒙特卡洛法[5]，离散坐标法[6]，有限体积法[7]，有限元法[8]等.近年来，利用格子-Boltzmann方法（L B M)来求解辐射传输方程吸引了许多学者的兴趣.L B M起源于格子气自动机，已经发展成为了一种计算流体力学的有力数值工具[9].并且,L B M已经被拓展到求解许多线性和非线性系统问题，例如声子输运[1°],波传播[11]，反应扩散,对流扩散等.相比于其他的求解辐射传输方程的数值方法，L B M不需要计算大量的光线轨迹，也不需要离散复杂的偏微分方程. L B M具有容易实现，高并行效率等优点•目前，对于利用L B M来求解辐射方程还不完善，发展完善的 L B M用于求解辐射传输方程是必要的.1^3111^等[14]假定了可调节的虚拟光速和辐射平衡条件，将L B M推广到分析参与性介质中的辐射问题.M a等[~基于辐射流体力学，提出了一维辐射的格子-Boltzmann模型.Zhang等[16]通过采用全隐式后项差分格式处理辐射方程中的瞬态项，将L B M扩展到求解参与性介质中的一维瞬态辐射传输. Mink等[171在将P1近似应用辐射传输方程的基础上提出了一种三维的格子-Boltzmann模型，然而此模型仅适用于光学厚介质.Y i等[18]通过引入虚拟的扩散项，将辐射传输方程视为一种特殊的对流扩散方程，从而提出了一种二维稳态射传输方程的格子-Boltzmann模型.W a n g等[19_将瞬态辐射传输方程处理为双曲守恒方程，然后提出了一■种求解瞬态辅射和中子输运的格子-Boltzm ann模型.目前，求解辐射方程的多松他的格子-Boltzmann模型还未见报道.本文提出了一种多松她格子-Boltzmann 模型（multiple-relaxation-time l a t t i c e Boltzmann mode丨）■基于扩散尺度下的 Maxwell 迭代，福射传收稿日期：2020-11-09基金项目：国家自然科学基金（s is M o o w g c te o i4)第一作者：刘晓川（1992-),男，在读博士研究生，主要研究方向：航空科学与工程通讯作者：黄勇（1974-),男，博士，教授，主要研究方向：航空科学与工程电子邮箱：liuxiaochuan@(刘晓川），wangcunhai@ustb_(王存海），huangy@(黄勇），zhukeyong@buaa.edu_cn(朱克勇）第1期刘晓川等：求解辐射传输方程的多松弛格子-Bohmiami模型 49输方程可以严格地从格子Boltzmann方程推导得出，并且不引人任何限制和近似.本文发展的多松弛格子-Boltzmann模型可以精确地求解参与性介质内的多维瞬态及稳态辐射传输问题.数值结果表明该模型具有二阶精度和收敛速率.并且，相比于单松弛模型，多松弛模型具有更好的稳定性.该模型可以进一步推广到求解参与性介质内的辐射传输问题.1福射传输方程的多松她格子-B o l t z m a n n模型1-1辐射传输方程考虑吸收、发射和散射介质内的辐射传输方程，其离散坐标形式可以写为[2°]dl(r,rr,t) +f f, v/(r；i T^)+/3(r)l(r,f r,t)=S(r,n r,t)，(1)cLdt公式中心为介质内的光速;/为辐射强度;r为位置坐标冶+屹为衰减系数;/r + V")+ 为离散方向，源项S可以表示为s(r,n r,t)^kaib(r,{T,t)+^J j i{r,i r')(p(n r\n n)w m',(2)47T m，=1公式中A为总的离散方向，=1,2,…，八^' = 1,2,…，yv;M；m'为对应方向的权重.考虑漫发射和反射壁面，边界条件可以写为I(rw,{r,t)^e wIb(rw,t)+^-^I(rw ,f T') \nw -HT'\w m' + (\ - p j r\rw J F",t) ,(3)17 <Q公式中:&为发射率;Pu，为反射率;广‘为外部人射辐射强度.1.2 多松弛格子-Boltzm ann模型瞬态辐射常常发生于极短的时间内，在瞬态辐射的模拟中，通常引入无量纲时间来避免过小的时间步长.将无量纲时间T心代人方程（1)中，得到时间无量纲形式的辐射传递方程[21]di(r,n",t) +L f f. v/(r)/2m,r)= F(r,/r,f*),⑷dt'公式中F{r,n r,r) = i R s{r,{r,r)-L^i(r,f r,r),(5)公式中:心为介质的参考长度.本文提出的时间无量纲形式的辐射传输方程的格子Boltzmann方程如下/(r + c^*,t*+A t')-/(r,t*)=--^(r.t*)] + A t'X),j(6)公式中:/(r，〇为分布函数;M为变换矩阵;S = 士叫U a,…人）为松弛参数矩阵，平衡函数的表达式为r i(r,n r x)•跑-改2c?辐射强度可以由平衡函数给出，关系如下/(r，/r，〇=-(7)(8)50东北电力大学学报第41卷L B M方法中采用D m Q n格子模型，对于一维和二维问题，本文分别采用D1Q3和D2Q9模型.对于 D1Q3模型,其格子信息为[c〇,c, ,c2] =e；c = [0 1 -l]c,c [2/3,i =0c s=—,(0： = \ll/6,i = 1,2(9)(10)M0 12 一：-1对于D2Q9模型，其格子信息为(11)M C6,C7，C8] y =.0100 1-1-111-11-1l-l- i.c, (12)「4/9，/ =:0ccs = — 〇jt=,1/9,i =]，2,3,4(13).1/36,i=5,6,7,8111111111)-4-1- 1--122224-2- 2-2- 21111010-01—1一 110-20201-1-11•(14) 00 10-111-1-100 - 20211-1-101- 11-1000000 0001-11-h13从格子Boltzm ann方程到辐射传输方程本节基于扩散尺度=7(4幻2下的Maxwell迭代，不引入任何限制和假设，从多松弛格子- Boltzmarm模型严格推导得出辐射传输方程.这种扩散尺度是针对模型中的无量纲时间步长和空间步长的尺度.首先，令/8U，r))f，w =(叫,叫，…，叫）'时间无量纲形式的辐射传递方程(6)可以写成矢量形式f(r + ciA t，,r+A t f)-/e9(r,〇] + A t'wF(r,t m),(15)方程（15)左边应用Taylor展开，其中微分算子D' 矩阵/(r + e,A%,«* +y{Ax)2)~^ (A x)*£)s/(r,t*),s = 1〇,=y(E,dx+ E yd y)p(ydt'),P*^s p\q\’A s d i a M e o y e m…，e8,J…，e^)，(16)(17)(18)第1期刘晓川等：求解辐射传输方程的多松弛格子-Bohzmami 模型51公式中和g 均为非负整数.令m = M •/>〃 = M •/%，将Taylor展开形式代入方程（15)并整理得到00工(A x )sDsm =- S [m - me tf] + y (A x )2FMco ,s= 1其中D ^-M D ^-y CE,SX +E ,3y V (y s r yI'*^sp \ q \E t =ME M'E y =M E M '1 .(21)**jJ、’c o定义算子A = X (4幻]5\方程（19)可重新写为s= 1m =m e " -S 'Lm + y (A x )2FS~'Mu , (22)基于扩散尺度下的Maxwell1221迭代，从m° = m 〜开始，方程（19)经过三次迭代得到：m = m" -S ~'[A x D ' + (A x )2D2 + (A x )3D ,]me ，1 + [A x S ^D 1 + (A x )2S ^,Lf2]2ma ,-+7(4.«)2厂5_|财如 + 0((4x )4) ,(23)根据矢量方程(23)的第零项及各算子作用结果，可以得到辐射传递方程a /(r ,/7",f } +L r H" • V /(r ,/T ,<*) = F (r ,/T ,t *) +0((A x )2) ,(24)dt *至此，我们从多松弛格子-Boltzmann模型出发，基于扩散尺度下的Maxwell迭代，严格推导得出了辐射传输方程，并且可以从方程(24)理论上得出该模型具有二阶的精度.一般而言，对于对流扩散问题，计算流体力学等问题的L B 模型，其中的松弛系数与宏观方程中的扩散系数，流体黏性系数等有定量关系. 需要指出的是，根据从多松弛格子-Boltzmann模型严格推导得出辐射传输方程可知，本文提出的多松弛格子-Boltzmann模型中的松弛参数均是自由的，与其他参数无关.对于一维和二维L B 模型，我们取如下的松弛参数矩阵(19)(20)S = diag( 1 ,ir,l ) ,(25)S = diag(l,l,l,ir,l,5r,1,1,1) ,(26)对流扩散方程的多松弛L B 模型也采用了同样的处理方法，其中一维模型中的松弛参数，二维模型中的松弛参数h 和s 5与扩散系数有关，而其他的松弛参数均取1.由于松弛矩阵中的松弛参数有无限种组合方式，因此出于通用性考虑，我们选择了这种处理方法.同时需要指出的是当松弛参数矩阵中的松弛系数相同时，多松弛模型退化到单松弛模型，即松弛矩阵中的松弛参数均为V2 结果及分析2.1 具有高斯型发射场的一维无限大平板考虑一充满吸收发射性介质的一维无限大平板内的辐射传递问题，平板内具有一高斯型发射场，该问题由如下方程控制^+/3l ^e -u -b )2/a 2,z,b e [0,1] ,(27)考虑如下边界条件52东北电力大学学报第41卷I (〇,〇 =f 3-]e -b 2/a \ ^>0,(28)该问题存在解析解形式，其表达式如下/(2〇 =/(0，f )e x p ( —,)| 2 - (^ + 6)}X [erf (|+^)-erf (f +a )l ^>0, (29)考虑方向f = 1. 〇，a =〇• 02,6 = 0. 5，采用L B M 来模拟衰减系数为/3 = 1，10和50 时介质内辐射强度的分布，取1〇〇个格子，无量纲时间步长取土‘ =0.000 1，单松弛模型得到的结果和解析解对比，如图1所示,L B M 得到的辐射强度分布和解析解得到的辐射强度分布吻合地很好.接下来，我们进一步研究一维多松弛模型的稳〇.〇4定性和精度.为了研究稳定性，我们考虑衰减系数为 10 nT1的情况，取100个格子，研究不同松弛参数下|所允许的最大时间步长.数值解和解析解的相对误| 〇.〇2 差定乂为Er = ^-------------(30)丨稳定性标准为数值解和解析解的相对误差小于 10'表1给出了不同松弛参数下所允许的最大时间步长，不同参数的最大时间步长得到是根据我们定义的稳定性标准，然后通过数值实验得到的，可以发现多松弛模型允许的最大时间步长可以随松弛参数调整，尤其当松弛参数小于1时，所允许的时间步长大于单松弛模型，结果表明相比单松弛模型，多松弛模型可以在更大的时间步长内保持稳定，具有更好的稳定性•多松弛模型的碰撞过程发生在矩空间，与多个速度分布函数相关联，相比单松弛模型发生在速度空间的碰撞，多松弛模型本身在稳定性方面展现了很大的优势,数值结果证明了多松弛模型在稳定性上的优势.此外，表2给出了不同格子数下单松弛和多松弛模型的相对误差，可以看出多松弛模型相比单松弛模型具有更高的精度.图1衰减系数为卢=1,丨〇和501^时LBM 得到的辐射强度分布和解析解对比表1衰减系数/3 = 1〇 n T 1,100个格子下，单松弛（B G K )和多松她（M R T )模型允许的最大时间步长sr =0• 6sr =0. 8 sr =l.O(BGK)sr = 1 • 2sr = l • 4y m a x 22.618.413.28.2 4.1W ax2.26 e-31 • 84 e-31.32 e-30. 82 e-30.41e-3表2衰减系数/3 = 10n不同格子数下,单松弛（B G K )和多松弛（M R T )模型的相对误差格子数sr =0. 65r =0. 85r = l .2sr = 1.4BGK MRT BGKMRT BGK MRT BGK MRT 100 4.24 e-27.72 e-3 1. 14 e -2 3.09 e-3 4. 14 e-3 1.71 e-3 5.79 e-3 3.02 e-3150 1.82 e-2 3.24 e-3 4.84 e-3 1.25 e-3 1.85 e-37.77 e-4 2.54 e-3 1.35 e-32001.01 e-21.79 e-32.68 e~36.83 e—41.04 e-34. 40 e-41.42 e-37.57 e -42.2受高斯型脉冲照射的一维纯散射介质考虑厚度为1 m 的一维半透明平板介质内的瞬态辐射传输问题.介质为各向同性散射，壁面和介质温度均为〇K，无发射.介质边界为透明边界，环境为真空.平板介质的衰减系数为1 nT1，右侧边界无照射，左侧边界受到如下法向平行光人射辐射的照射：第1期刘晓川等：求解辐射传输方程的多松弛格子-Boltoimmi 模型53lp(0,t ) = /〇exp [//(〇 ,(31)公式中:/。

炉内辐射换热过程的有限体积法

本文首先简要分析含吸收散射性介质的三维空腔内辐射传递过程的有限体积法求解过程, 并着重讨论不规则边界的处理。然后应用该方法对四角切圆炉膛内的辐射换热过程进行模拟计算, 并将计算结果与实测值进行比较。
1 辐射传递方程的有限体积法
为了得到计算区域中不同位置、不同方向上的辐射强度离散表达式, 需要进行空间离散和角度离散。空间离散: 将计算域离散为不重叠的控制体积, 每个控制体积包含一个位于控制体积内部的节点, 角度离散: 将 4Π立体角空间离散为不重叠的立体角 Ξm。用方向矢量 sm 定义每个立体角的中心, Η、Υ分别表示笛卡尔坐标系下的极角和水
s·nw < 0
·
d8 ′
(13)
方程 (13) 的离散形式为
(8)
bmP =
(ϑa + ϑs)
(1 -
Ξ0 )
ΡT
4 P
Π
+
∫ Ξ0
l′ l′ld8m ′
< 8 I V p Π 4 8 ′= 4Π
m P
(9)
式中 Ξ0= ϑs (ϑa+ ϑs) ——消光系数
N ——组成控制体表面的平面数
本文取外法线与 x 轴正向平行的表平面为
收稿日期: 1999202201 基金项目: 国家自然科学基金资助项目作者简介: 贺志宏 (1973～ ) , 女, 哈尔滨工业大学工程热物理
专业博士研究生。
平角; 则立体角方向矢量可用 (Ηm , Υm ) 表示。sm 方向立体角的大小为
∫ ∫ ∫ ∃8m =
m+
m- d8m =
Υm + ∃Υ Υm + ∃Η
为下一节点的上游界面强度,
逐点推进。当D

第十三章课后习题答案

第十三章热力学基础13 －1 如图所示，bca 为理想气体绝热过程，b1a 和b2a 是任意过程，则上述两过程中气体作功与吸收热量的情况是( )(A) b1a 过程放热，作负功；b2a 过程放热，作负功(B) b1a 过程吸热，作负功；b2a 过程放热，作负功(C) b1a 过程吸热，作正功；b2a 过程吸热，作负功(D) b1a 过程放热，作正功；b2a 过程吸热，作正功分析与解 bca ，b1a 和b2a 均是外界压缩系统，由⎰=V p W d 知系统经这三个过程均作负功，因而(C)、(D)不对.理想气体的内能是温度的单值函数，因此三个过程初末态内能变化相等，设为ΔE .对绝热过程bca ，由热力学第一定律知ΔE ＝－W bca .另外，由图可知：｜W b2a ｜＞｜W bca ｜＞｜W b1a ｜，则W b2a ＜W bca ＜W b1a .对b1a 过程：Q ＝ΔE ＋W b1a ＞ΔE ＋W bca ＝0 是吸热过程.而对b2a 过程：Q ＝ΔE ＋W b2a ＜ΔE ＋W bca ＝0 是放热过程.可见(A)不对，正确的是(B).13 －2 如图，一定量的理想气体，由平衡态A 变到平衡态B ，且它们的压强相等，即p A ＝p B ,请问在状态A 和状态B 之间，气体无论经过的是什么过程，气体必然( )(A) 对外作正功 (B) 内能增加(C) 从外界吸热 (D) 向外界放热分析与解由p －V 图可知，p A V A ＜p B V B ，即知T A ＜T B ，则对一定量理想气体必有E B ＞E A .即气体由状态A 变化到状态B,内能必增加.而作功、热传递是过程量，将与具体过程有关.所以(A)、(C)、(D)不是必然结果，只有(B)正确.13 －3 两个相同的刚性容器，一个盛有氢气，一个盛氦气(均视为刚性分子理想气体).开始时它们的压强和温度都相同，现将3J 热量传给氦气，使之升高到一定的温度.若使氢气也升高同样的温度，则应向氢气传递热量为( )(A) 6J (B) 3 J (C) 5 J (D) 10 J分析与解当容器体积不变，即为等体过程时系统不作功，根据热力学第一定律Q ＝ΔE ＋W ，有Q ＝ΔE .而由理想气体内能公式T R i M m E Δ2Δ=，可知欲使氢气和氦气升高相同温度，须传递的热量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e e 222e 2H H H H H H H H /:i M m i M m Q Q .再由理想气体物态方程pV ＝mM RT ，初始时，氢气和氦气是具有相同的温度、压强和体积，因而物质的量相同，则3/5/:e 2e 2H H H H ==i i Q Q .因此正确答案为(C).13 －4 有人想像了四个理想气体的循环过程，则在理论上可以实现的为( )分析与解由绝热过程方程pVγ＝常量，以及等温过程方程pV＝常量，可知绝热线比等温线要陡，所以(A)过程不对，(B)、(C)过程中都有两条绝热线相交于一点，这是不可能的.而且(B)过程的循环表明系统从单一热源吸热且不引起外界变化，使之全部变成有用功，违反了热力学第二定律.因此只有(D)正确.13 －5一台工作于温度分别为327 ℃和27 ℃的高温热源与低温源之间的卡诺热机，每经历一个循环吸热2 000 J，则对外作功()(A) 2 000J(B) 1 000J(C) 4 000J(D) 500J分析与解热机循环效率η＝W/Q吸，对卡诺机，其循环效率又可表为：η＝1－T2 /T1，则由W /Q吸＝1 －T2 /T1可求答案.正确答案为(B).13 －6根据热力学第二定律()(A) 自然界中的一切自发过程都是不可逆的(B) 不可逆过程就是不能向相反方向进行的过程(C) 热量可以从高温物体传到低温物体，但不能从低温物体传到高温物体(D) 任何过程总是沿着熵增加的方向进行分析与解对选项(B)：不可逆过程应是指在不引起其他变化的条件下，不能使逆过程重复正过程的每一状态，或者虽然重复但必然会引起其他变化的过程.对选项(C)：应是热量不可能从低温物体自动传到高温物体而不引起外界的变化.对选项(D)：缺少了在孤立系统中这一前提条件.只有选项(A)正确. 13 －7 位于委内瑞拉的安赫尔瀑布是世界上落差最大的瀑布，它高979m.如果在水下落的过程中，重力对它所作的功中有50％转换为热量使水温升高，求水由瀑布顶部落到底部而产生的温差.( 水的比热容c 为4.18×103 J·kg －1·K －1 ) 分析取质量为m 的水作为研究对象，水从瀑布顶部下落到底部过程中重力作功W ＝mgh ，按题意，被水吸收的热量Q ＝0.5W ，则水吸收热量后升高的温度可由Q ＝mc ΔT 求得.解由上述分析得mc ΔT ＝0.5mgh水下落后升高的温度ΔT ＝0.5gh /c ＝1.15K13 －8 如图所示，一定量的空气，开始在状态A ，其压强为2.0×105Pa ，体积为2.0 ×10－3m 3 ，沿直线AB 变化到状态B 后，压强变为1.0 ×105Pa ，体积变为3.0 ×10－3m 3 ，求此过程中气体所作的功.分析理想气体作功的表达式为()⎰=V V p W d .功的数值就等于p －V 图中过程曲线下所对应的面积.解 S ABCD ＝1/2(BC ＋AD)×CD故 W ＝150 J13 －9 汽缸内储有2.0mol 的空气，温度为27 ℃，若维持压强不变，而使空气的体积膨胀到原体积的3s 倍，求空气膨胀时所作的功.分析本题是等压膨胀过程，气体作功()1221d V V p V p W V V -==⎰，其中压强p 可通过物态方程求得.解根据物态方程11RT pV v =,汽缸内气体的压强11/V RT p v = ，则作功为 ()()J 1097.92/31112112⨯==-=-=RT V V V RT V V p W v v 13 －10 一定量的空气，吸收了1.71×103J 的热量，并保持在1.0 ×105Pa 下膨胀，体积从1.0×10－2m 3 增加到1.5×10－2m 3 ，问空气对外作了多少功？它的内能改变了多少？分析由于气体作等压膨胀，气体作功可直接由W ＝p (V 2 －V 1 )求得.取该空气为系统，根据热力学第一定律Q ＝ΔE ＋W 可确定它的内能变化.在计算过程中要注意热量、功、内能的正负取值.解该空气等压膨胀，对外作功为W ＝p (V 2－V 1 )＝5.0 ×102J其内能的改变为Q ＝ΔE ＋W ＝1.21 ×103J13 －11 0.1kg 的水蒸气自120 ℃加热升温到140℃，问(1) 在等体过程中；(2) 在等压过程中，各吸收了多少热量？根据实验测定，已知水蒸气的摩尔定压热容C p,m ＝36.21J·mol -1·K -1，摩尔定容热容C V,m ＝27.82J·mol -1·K -1. 分析由量热学知热量的计算公式为T C Q m Δv =.按热力学第一定律，在等体过程中，T C E Q ΔΔm V ,V v ==；在等压过程中， T C E V p Q ΔΔd m p,p v =+=⎰.解 (1) 在等体过程中吸收的热量为J 101.3ΔΔ3m V,V ⨯===T C Mm E Q (2) 在等压过程中吸收的热量为 ()J 100.4Δd 312m p,p ⨯=-=+=⎰T T C M m E V p Q 13 －12 如图所示，在绝热壁的汽缸内盛有1mol 的氮气，活塞外为大气，氮气的压强为1.51 ×105 Pa ，活塞面积为0.02m 2 .从汽缸底部加热，使活塞缓慢上升了0.5m.问(1) 气体经历了什么过程？ (2) 汽缸中的气体吸收了多少热量？ (根据实验测定，已知氮气的摩尔定压热容C p ，m ＝29.12J·mol －1·K －1，摩尔定容热容C V,m ＝20.80J·mol -1·K -1 )分析因活塞可以自由移动，活塞对气体的作用力始终为大气压力和活塞重力之和.容器内气体压强将保持不变.对等压过程，吸热T C Q Δm p,p v =.ΔT 可由理想气体物态方程求出.解 (1) 由分析可知气体经历了等压膨胀过程.(2) 吸热T C Q Δm p,p v =.其中ν ＝1 mol ，C p,m ＝29.12Ｊ·mol －1·Ｋ－1.由理想气体物态方程pV ＝νRT ，得ΔT ＝(p 2V 2 －p 1 V 1 )/R ＝p(V 2 －V 1 )/R ＝p· S· Δl /R则 J 105.293m p,p ⨯==pS ΔSΔl C Q13 －13 一压强为1.0 ×105Pa,体积为1.0×10－3m 3的氧气自0℃加热到100 ℃.问：(1) 当压强不变时，需要多少热量?当体积不变时，需要多少热量?(2) 在等压或等体过程中各作了多少功?分析 (1) 求Q p 和Q V 的方法与题13-11相同.(2) 求过程的作功通常有两个途径.① 利用公式()V V p W d ⎰=；② 利用热力学第一定律去求解.在本题中，热量Q 已求出，而内能变化可由()12m V ,V ΔT T C E Q -==v 得到.从而可求得功W .解根据题给初态条件得氧气的物质的量为mol 1041.4/2111-⨯===RT V p Mm v 氧气的摩尔定压热容R C 27m p,=，摩尔定容热容R C 25m V,=. (1) 求Q p 、Q V等压过程氧气(系统)吸热()J 1.128Δd 12m p,p =-=+=⎰T T C E V p Q v等体过程氧气(系统)吸热()J 5.91Δ12m V ,V =-==T T C E Q v(2) 按分析中的两种方法求作功值解1 ① 利用公式()V V p W d ⎰=求解.在等压过程中，T R Mm V p W d d d ==，则得 J 6.36d d 21p ===⎰⎰T T T R Mm W W 而在等体过程中，因气体的体积不变，故作功为()0d V ==⎰V V p W② 利用热力学第一定律Q ＝ΔE ＋W 求解.氧气的内能变化为()J 5.91Δ12m V,V =-==T T C Mm E Q 由于在(1) 中已求出Q p 与Q V ，则由热力学第一定律可得在等压过程、等体过程中所作的功分别为J 6.36Δp p =-=E Q W0ΔV V =-=E Q W13 －14 如图所示，系统从状态A 沿ABC 变化到状态C 的过程中，外界有326J 的热量传递给系统，同时系统对外作功126J.当系统从状态C 沿另一曲线CA 返回到状态A 时，外界对系统作功为52J ，则此过程中系统是吸热还是放热？传递热量是多少？分析已知系统从状态C 到状态A ，外界对系统作功为W CA ，如果再能知道此过程中内能的变化ΔE AC ，则由热力学第一定律即可求得该过程中系统传递的热量Q CA .由于理想气体的内能是状态(温度)的函数，利用题中给出的ABC 过程吸热、作功的情况，由热力学第一定律即可求得由A 至C 过程中系统内能的变化ΔE AC ，而ΔE AC ＝－ΔE AC ，故可求得Q CA .解系统经ABC 过程所吸收的热量及对外所作的功分别为Q ABC ＝326J ， W ABC ＝126J则由热力学第一定律可得由A 到C 过程中系统内能的增量ΔE AC ＝Q ABC －W ABC ＝200J由此可得从C 到A ，系统内能的增量为ΔE CA ＝－200J从C 到A ，系统所吸收的热量为Q CA ＝ΔE CA ＋W CA ＝－252J式中负号表示系统向外界放热252 J.这里要说明的是由于CA 是一未知过程，上述求出的放热是过程的总效果，而对其中每一微小过程来讲并不一定都是放热.13 －15 如图所示，一定量的理想气体经历ACB 过程时吸热700J ，则经历ACBDA 过程时吸热又为多少？分析从图中可见ACBDA 过程是一个循环过程.由于理想气体系统经历一个循环的内能变化为零，故根据热力学第一定律，循环系统净吸热即为外界对系统所作的净功.为了求得该循环过程中所作的功，可将ACBDA 循环过程分成ACB 、BD 及DA 三个过程讨论.其中BD 及DA 分别为等体和等压过程，过程中所作的功按定义很容易求得；而ACB 过程中所作的功可根据上题同样的方法利用热力学第一定律去求.解由图中数据有p A V A ＝p B V B ,则A 、B 两状态温度相同，故ACB 过程内能的变化ΔE CAB ＝0，由热力学第一定律可得系统对外界作功W CAB ＝Q CAB －ΔE CAB ＝Q CAB ＝700J在等体过程BD 及等压过程DA 中气体作功分别为()⎰==0d BD V V p W()⎰-=-==J 1200d 12A DA V V P V p W则在循环过程ACBDA 中系统所作的总功为J 500D A BD A CB -=++=W W W W负号表示外界对系统作功.由热力学第一定律可得，系统在循环中吸收的总热量为J 500-==W Q负号表示在此过程中，热量传递的总效果为放热.13 －16 在温度不是很低的情况下，许多物质的摩尔定压热容都可以用下式表示2m p,2--+=cT bT a C式中a 、b 和c 是常量，T 是热力学温度.求：(1) 在恒定压强下，1 mol 物质的温度从T 1升高到T 2时需要的热量；(2) 在温度T 1 和T 2 之间的平均摩尔热容；(3) 对镁这种物质来说，若C p ，m 的单位为J·mol －1·K －1，则a ＝25.7J·mol -1·Ｋ-1 ，b ＝3.13 ×10-3J·mol -1·Ｋ-2，c ＝3.27 ×105J·mol －1·K.计算镁在300Ｋ时的摩尔定压热容C p,m ，以及在200Ｋ和400Ｋ之间C p,m 的平均值. 分析由题目知摩尔定压热容C p,m 随温度变化的函数关系，则根据积分式⎰=21d m p,p T T T C Q 即可求得在恒定压强下，1mol 物质从T 1 升高到T 2所吸收的热量Qp .故温度在T 1 至T 2之间的平均摩尔热容()12p m p,/T T Q C -=. 解 (1) 11 mol 物质从T 1 升高到T 2时吸热为()()()()11122122122m p,p d 2d 21----+-+-=-+==⎰⎰T T c T T b T T a T cT bT a T C Q T T (2) 在T 1 和T 2 间的平均摩尔热容为()()21212p m p,//T T c T T a T T Q C -+=-=(3) 镁在T ＝300 K 时的摩尔定压热容为-1-12m p,K mol J 9.232⋅⋅=-+=-cT bT a C镁在200 K 和400 K 之间C p ，m 的平均值为()-1-12112m p,K mol J 5.23/⋅⋅=-+=T T c T T a C13 －17 空气由压强为1.52×105 Pa ，体积为5.0×10－3m 3 ，等温膨胀到压强为1.01×105 Pa ，然后再经等压压缩到原来的体积.试计算空气所作的功. 解空气在等温膨胀过程中所作的功为()()2111121T /ln /ln p p V p V V RT Mm W == 空气在等压压缩过程中所作的功为()⎰-==12d V V p V p W 利用等温过程关系p 1 V 1 ＝p 2 V 2 ，则空气在整个过程中所作的功为()J 7.55/ln 11122111=-+=+=V p V p p p V p W W W T p13 －18 如图所示，使1mol 氧气(1) 由A 等温地变到B ；(2) 由A 等体地变到C ，再由C 等压地变到B.试分别计算氧气所作的功和吸收的热量.分析从p －V 图(也称示功图)上可以看出，氧气在AB 与ACB 两个过程中所作的功是不同的，其大小可通过()V V p W d ⎰=求出.考虑到内能是状态的函数，其变化值与过程无关，所以这两个不同过程的内能变化是相同的，而且因初、末状态温度相同T A ＝T B ，故ΔE ＝0，利用热力学第一定律Q ＝W ＋ΔE ，可求出每一过程所吸收的热量.解 (1) 沿AB 作等温膨胀的过程中，系统作功()()J 1077.2/ln /ln 31⨯===A B B A A B AB V V V p V V RT Mm W 由分析可知在等温过程中，氧气吸收的热量为Q AB ＝W AB ＝2.77 ×103Ｊ (2) 沿A 到C 再到B 的过程中系统作功和吸热分别为W ACB ＝W AC ＋W CB ＝W CB ＝p C (V B －V C )＝2.0×103ＪQ ACB ＝W A CB ＝2.0×103 Ｊ13 －19 将体积为1.0 ×10-4m 3 、压强为1.01×105Pa 的氢气绝热压缩，使其体积变为2.0 ×10-5 m 3 ，求压缩过程中气体所作的功.(氢气的摩尔定压热容与摩尔定容热容比值γ＝1.41)分析可采用题13－13 中气体作功的两种计算方法.(1) 气体作功可由积分V p W d ⎰=求解，其中函数p (V )可通过绝热过程方程pV C γ= 得出.(2)因为过程是绝热的，故Q ＝0，因此，有W ＝－ΔE ；而系统内能的变化可由系统的始末状态求出.解根据上述分析，这里采用方法(1)求解,方法(2)留给读者试解.设p 、V 分别为绝热过程中任一状态的压强和体积，则由γγpV V p =11得 γγV V p p -=11氢气绝热压缩作功为J 0.231d d 121211121-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-===⎰⎰-V V V V γp V V V p V p W V V γγ 13 －20 试验用的火炮炮筒长为3.66 m ，内膛直径为0.152 m ，炮弹质量为45.4kg ，击发后火药爆燃完全时炮弹已被推行0.98 m ，速度为311 m·s -1 ，这时膛内气体压强为2.43×108Pa.设此后膛内气体做绝热膨胀，直到炮弹出口.求(1) 在这一绝热膨胀过程中气体对炮弹作功多少？设摩尔定压热容与摩尔定容热容比值为 1.2γ=.(2) 炮弹的出口速度(忽略摩擦).分析 (1) 气体绝热膨胀作功可由公式1d 2211--==⎰γV p V p V p W 计算.由题中条件可知绝热膨胀前后气体的体积V 1和V 2，因此只要通过绝热过程方程γγV p V p 2211=求出绝热膨胀后气体的压强就可求出作功值.(2) 在忽略摩擦的情况下，可认为气体所作的功全部用来增加炮弹的动能.由此可得到炮弹速度.解由题设l ＝3.66 m,D ＝0.152 m ，m ＝45.4 kg ，l 1＝0.98 m ，v 1＝311 m·s -1 ，p 1 ＝2.43×108Pa ，γ＝1.2.(1) 炮弹出口时气体压强为()()Pa 1000.5//7112112⨯===γγl l p V V p p 气体作功J 1000.54π11d 6222112211⨯=--=--==⎰D γl p l p γV p V p V p W (2) 根据分析2122121v v m m W -=，则 -121s m 563⋅=+=v 2W/m v13 －21 1mol 氢气在温度为300Ｋ，体积为0.025m 3 的状态下，经过(1)等压膨胀，(2)等温膨胀，(3)绝热膨胀.气体的体积都变为原来的两倍.试分别计算这三种过程中氢气对外作的功以及吸收的热量.分析这三个过程是教材中重点讨论的过程.在p －V 图上，它们的过程曲线如图所示.由图可知过程(1 ) 作功最多，过程( 3 ) 作功最少.温度T B ＞T C ＞T D ，而过程(3) 是绝热过程，因此过程(1)和(2)均吸热，且过程(1)吸热多.具体计算时只需直接代有关公式即可.解 (1) 等压膨胀()()J 1049.23⨯==-=-=A A B AA AB A p RT V V V RT V V p W v()J 1073.8273,,⨯===-=+=A A m p A B m p p p T R T C T T C E ΔW Q v v (2) 等温膨胀 J 1073.12ln /3⨯===A A RT V W C T vRTlnV对等温过程ΔE ＝0，所以J 1073.13⨯==T T W Q(3) 绝热膨胀T D ＝T A (V A ／V D )γ－1＝300 ×(0.5)0.4＝227.4Ｋ对绝热过程a 0Q =，则有 ()()J 1051.125Δ3,⨯=-=-=-=D A D A m V a T T R T T C E W v 13 －22 绝热汽缸被一不导热的隔板均分成体积相等的A 、B 两室，隔板可无摩擦地平移，如图所示.A 、B 中各有1mol 氮气，它们的温度都是T0 ，体积都是V0 .现用A 室中的电热丝对气体加热，平衡后A 室体积为B 室的两倍，试求(1) 此时A 、B 两室气体的温度；(2) A 中气体吸收的热量.分析 (1) B 室中气体经历的是一个绝热压缩过程，遵循绝热方程TVγ－1 ＝常数，由此可求出B 中气体的末态温度TB .又由于A 、B 两室中隔板可无摩擦平移，故A 、B 两室等压.则由物态方程pV A ＝νRT A 和pV B ＝νRT B 可知T A ＝2T B .(2) 欲求A 室中气体吸收的热量，我们可以有两种方法.方法一：视A 、B 为整体，那么系统(汽缸)对外不作功，吸收的热量等于系统内能的增量.即QA ＝ΔE A ＋ΔE B .方法二：A 室吸热一方面提高其内能ΔE A ，另外对“外界”B 室作功WA.而对B 室而言，由于是绝热的，“外界” 对它作的功就全部用于提高系统的内能ΔEB .因而在数值上W A ＝ΔE B .同样得到Q A ＝ΔE A ＋ΔE B . 解设平衡后A 、B 中气体的温度、体积分别为T A ，T B 和V A ，V B .而由分析知压强p A ＝p B ＝p .由题已知⎩⎨⎧=+=022V V V V V B A B A ，得⎩⎨⎧==3/23/400V V V V BA (1) 根据分析，对B 室有B γB γT V T V 1010--=得 ()0010176.1/T T V V T γB B ==-；0353.2T T T B A == (2) ()()0007.312525ΔΔT T T R T T R E E Q B A A A A =-+-=+= 13－23 0.32 kg 的氧气作如图所示的ABCDA 循环，V 2 ＝2V 1 ,T 1＝300Ｋ，T 2＝200Ｋ,求循环效率.分析该循环是正循环.循环效率可根据定义式η＝W /Q 来求出，其中W 表示一个循环过程系统作的净功，Q 为循环过程系统吸收的总热量. 解根据分析，因AB 、CD 为等温过程，循环过程中系统作的净功为()()()J 1076.5/ln /ln 32121211⨯=-==+=V V T T R M m V V RT Mm W W W CD AB由于吸热过程仅在等温膨胀(对应于AB 段)和等体升压(对应于DA 段)中发生,而等温过程中ΔE ＝0,则AB AB W Q =.等体升压过程中W ＝0，则DA DA E Q Δ=,所以，循环过程中系统吸热的总量为()()()()J 1081.325/ln /ln Δ42112121,121⨯=-+=-+=+=+=T T R M m V V RT Mm T T C M m V V RT Mm E W Q Q Q m V DAAB DA AB 由此得到该循环的效率为 %15/==Q W η13 －24 图(ａ)是某单原子理想气体循环过程的V －T 图，图中V C ＝2V A .试问：(1) 图中所示循环是代表制冷机还是热机？ (2) 如是正循环(热机循环)，求出其循环效率.分析以正、逆循环来区分热机和制冷机是针对p －V 图中循环曲线行进方向而言的.因此，对图(ａ)中的循环进行分析时，一般要先将其转换为p －V 图.转换方法主要是通过找每一过程的特殊点，并利用理想气体物态方程来完成.由图(ａ)可以看出，BC 为等体降温过程，CA 为等温压缩过程；而对AB 过程的分析，可以依据图中直线过原点来判别.其直线方程为V ＝CT ，C 为常数.将其与理想气体物态方程pV ＝m/MRT 比较可知该过程为等压膨胀过程(注意：如果直线不过原点，就不是等压过程).这样，就可得出p －V 图中的过程曲线，并可判别是正循环(热机循环)还是逆循环(制冷机循环)，再参考题13－23的方法求出循环效率.解 (1) 根据分析，将V －T 图转换为相应的p －V 图，如图(ｂ)所示.图中曲线行进方向是正循环，即为热机循环.(2) 根据得到的p －V 图可知，AB 为等压膨胀过程，为吸热过程.BC 为等体降压过程，CA 为等温压缩过程，均为放热过程.故系统在循环过程中吸收和放出的热量分别为()A B m p T T C M m Q -=,1 ()()A C A A B m V V V RT Mm T T C M m Q /ln ,2+-= CA 为等温线，有T A ＝T C ；AB 为等压线，且因V C ＝2V A ，则有T A ＝T B /2.对单原子理想气体，其摩尔定压热容C p ，m ＝5R/2，摩尔定容热容C V ，m ＝3R/2.故循环效率为()()3/125/2ln 2312/5/2ln 321/112=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=A A A T T T Q Q η 13 －25 一卡诺热机的低温热源温度为7℃，效率为40％，若要将其效率提高到50％，问高温热源的温度需提高多少？解设高温热源的温度分别为1T '、1T '',则有12/1T T η'-='， 12/1T T η''-=''其中T 2 为低温热源温度.由上述两式可得高温热源需提高的温度为K 3.931111Δ211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'--''-='-''=T ηηT T T 13 －26 一定量的理想气体，经历如图所示的循环过程.其中AB 和CD 是等压过程，BC 和DA 是绝热过程.已知B 点温度T B ＝T 1,C 点温度T C ＝T 2.(1) 证明该热机的效率η＝1－T 2/T 1 ，(2) 这个循环是卡诺循环吗？分析首先分析判断循环中各过程的吸热、放热情况.BC 和DA 是绝热过程，故Q BC 、Q DA 均为零；而AB 为等压膨胀过程(吸热)、CD 为等压压缩过程(放热)，这两个过程所吸收和放出的热量均可由相关的温度表示.再利用绝热和等压的过程方程，建立四点温度之间的联系，最终可得到求证的形式. 证 (1) 根据分析可知 ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---=---=-=B A C D B C A B D CA B m p C D m p AB CD T T T T T T T T T T T T C MT T C M m Q Q η1/11111,, (1) 与求证的结果比较，只需证得BA C D T T T T = .为此，对AB 、CD 、BC 、DA 分别列出过程方程如下V A /T A ＝V B /T B (2)V C /T C ＝V D /T D (3) C γC B γB T V T V 11--= (4)A γA D γD T V T V 11--= (5)联立求解上述各式，可证得η＝1－T C /T B ＝1－T 2/T 1(2) 虽然该循环效率的表达式与卡诺循环相似，但并不是卡诺循环.其原因是：① 卡诺循环是由两条绝热线和两条等温线构成,而这个循环则与卡诺循环不同；② 式中T 1、T 2的含意不同，本题中T 1、T 2只是温度变化中两特定点的温度，不是两等温热源的恒定温度.13 －27 一小型热电厂内，一台利用地热发电的热机工作于温度为227℃的地下热源和温度为27℃的地表之间.假定该热机每小时能从地下热源获取1.8 ×1011Ｊ的热量.试从理论上计算其最大功率为多少？分析热机必须工作在最高的循环效率时，才能获取最大的功率.由卡诺定理可知，在高温热源T 1和低温热源T 2之间工作的可逆卡诺热机的效率最高，其效率为η＝1－T 2/T 1 .由于已知热机在确定的时间内吸取的热量，故由效率与功率的关系式Q pt Q W η//==，可得此条件下的最大功率.解根据分析，热机获得的最大功率为()-1712s J 100.2//1/⋅⨯=-==t Q T T t Q ηp13 －28 有一以理想气体为工作物质的热机，其循环如图所示，试证明热()()1/1/12121---=p p V V γη 分析该热机由三个过程组成，图中AB 是绝热过程，BC 是等压压缩过程，CA 是等体升压过程.其中CA 过程系统吸热，BC 过程系统放热.本题可从效率定义CA BC Q Q Q Q η/1/112-=-=出发,利用热力学第一定律和等体、等压方程以及γ＝C p,m 桙C V,m 的关系来证明.证该热机循环的效率为CA BC Q Q Q Q η/1/112-=-=其中Q BC ＝m /M C p,m (T C －T B )，Q CA ＝m/M C V,m (T A －T C )，则上式可写为1/1/11---=---=C A CB C A B C T T T T γT T T T γη 在等压过程BC 和等体过程CA 中分别有T B /V 1 ＝T C /V 2,T A /P 1 ＝T C /P 2,代入上式得()()1/1/12121---=p p V V γη 13 －29 如图所示为理想的狄赛尔(Diesel)内燃机循环过程,它由两绝热线AB 、CD 和等压线BC 及等体线DA 组成.试证此内燃机的效率为()()()1//1/12312123---=-V V V V γV V ηγγ证求证方法与题13－28相似.由于该循环仅在DA 过程中放热、BC 过程中吸热，则热机效率为 ()()B C AD B C m p A D m V BCDA T T T T γT T C M T T C M m Q Q η---=---=-=111/1,, (1) 在绝热过程AB 中，有1211--=γB γA V T V T ，即()121//-=γA B V V T T (2)在等压过程BC 中，有23//V T V T B C =，即23//V V T T B C = (3)再利用绝热过程CD,得1311--=γC γD V T V T (4)解上述各式，可证得()()()1//1/12312123---=-V V V V γV V ηγγ 13 －30 如图所示，将两部卡诺热机连接起来，使从一个热机输出的热量，输入到另一个热机中去.设第一个热机工作在温度为T 1和T 2的两热源之间，其效率为η1 ，而第二个热机工作在温度为T 2 和T 3 的两热源之间，其效率为η2.如组合热机的总效率以η＝(W 1 ＋W 2 )/Q 1 表示.试证总效率表达式为η＝(1 －η1 )η2 ＋η1 或 η＝1 －T 3/T 1分析按效率定义，两热机单独的效率分别为η1＝W 1 /Q 1和η2＝W 2 /Q 2，其中W 1 ＝Q 1－Q 2 ，W 2 ＝Q 2－Q 3 .第一个等式的证明可采用两种方法：(1) 从等式右侧出发，将η1 、η2 的上述表达式代入，即可得证.读者可以一试.(2) 从等式左侧的组合热机效率η＝(W 1 ＋W 2 )/Q 1出发，利用η1、η2的表达式，即可证明.由于卡诺热机的效率只取决于两热源的温度，故只需分别将两个卡诺热机的效率表达式η1＝1－T 2 /T 1 和η2＝1－T 3 /T 2 代入第一个等式，即可得到第二个等式.证按分析中所述方法(2) 求证.因η1＝W 1 /Q 1 、η2＝W 2 /Q 2 ，则组合热机效率12211211121Q Q ηηQ W Q W Q W W η+=+=+= (1) 以Q 2 ＝Q 1－W 1 代入式(1) ，可证得η＝η1 ＋η2 (1－η1 ) (2) 将η1＝1－T 2 /T 1 和η2＝1－T 3 /T 2代入式(2)，亦可证得η＝1－T 2 /T 1 ＋(1－T 3 /T 2 )T 2 /T 1 ＝1－T 3 /T 113 －31 在夏季，假定室外温度恒定为37℃，启动空调使室内温度始终保持在17 ℃.如果每天有2.51 ×108 J 的热量通过热传导等方式自室外流入室内，则空调一天耗电多少？ (设该空调制冷机的制冷系数为同条件下的卡诺制冷机制冷系数的60％)分析耗电量的单位为kW·h ，1kW·h ＝3.6 ×106J.图示是空调的工作过程示意图.因为卡诺制冷机的制冷系数为212T T T e k -=，其中T 1为高温热源温度(室外环境温度)，T 2为低温热源温度(室内温度).所以，空调的制冷系数为e ＝e k · 60％＝0.6 T 2/( T 1 －T 2 )另一方面，由制冷系数的定义，有e ＝Q 2 /(Q 1 －Q 2 )其中Q 1为空调传递给高温热源的热量，即空调向室外排放的总热量；Q 2是空调从房间内吸取的总热量.若Q ′为室外传进室内的热量，则在热平衡时Q 2＝Q ′.由此，就可以求出空调的耗电作功总值W ＝Q 1－Q 2 .解根据上述分析，空调的制冷系数为7.8%60212=-=T T T e在室内温度恒定时，有Q 2＝Q ′.由e ＝Q 2 /(Q 1－Q 2 )可得空调运行一天所耗电功W ＝Q 1－Q 2＝Q 2/e ＝Q ′/e ＝2.89×107＝8.0 kW·h13 －32 一定量的理想气体进行如图所示的逆向斯特林循环(回热式制冷机中的工作循环)，其中1→2为等温(T 1 )压缩过程，3→4为等温(T 2 )膨胀过程，其他两过程为等体过程.求证此循环的制冷系数和逆向卡诺循环制冷系数相等.(这一循环是回热式制冷机中的工作循环，具有较好的制冷效果.4→1过程从热库吸收的热量在2→3过程中又放回给了热库，故均不计入循环系数计算.)证明 1→2 过程气体放热2111lnV V RT Q v = 3→4 过程气体吸热 2122lnV V RT Q v = 则制冷系数 e ＝Q 2 /(Q 1－Q 2 )= T 2/( T 1－T 2 ).与逆向卡诺循环的制冷系数相同.13 －33 物质的量为ν的理想气体，其摩尔定容热容C V,m ＝3R/2，从状态A(p A ，V A ，T A )分别经如图所示的ADB 过程和ACB 过程，到达状态B(p B ，V B ，T B ).试问在这两个过程中气体的熵变各为多少？图中AD 为等温线.分析熵是热力学的状态函数，状态A 与B 之间的熵变ΔSAB 不会因路径的不同而改变.此外，ADB 与ACB 过程均由两个子过程组成.总的熵变应等于各子过程熵变之和，即DB AD AB S S S ΔΔΔ+=或CB AC AB S S S ΔΔΔ+=. 解 (1) ADB 过程的熵变为()()D B p,m A D B D D A T BD P D A T DBAD AB T T C V V T T C T W T Q T Q S S S /ln /ln /d /d /d /d ΔΔΔm p,v vR v +=+=+=+=⎰⎰⎰⎰ (1)在等温过程AD 中，有T D ＝T A ；等压过程DB 中，有V B /T B ＝V D /T D ；而C p ，m ＝C V ，m ＋R ，故式(1)可改写为()()()()A B A B A B p,m A B B D ADB V T V V V T C V T V T S /ln 23/ln /ln /ln ΔvR vR v vR +=+=(2) ACB 过程的熵变为()()C B V,m A C p,m CB AC BA ACB T TC V T C S S Q/T S /ln /ln ΔΔd Δv v +=+==⎰ (2)利用V C ＝V B 、p C ＝p A 、T C /V C ＝T A /V A 及T B /p B ＝T C /p C ，则式(2)可写为()()()()()()()A B A B A A B B V,m A B A B A B V,m ACB V T V V V p V p C V V p p V V R C S /ln 23/ln /ln /ln /ln /ln ΔvR vR v vR v v +=+=++=通过上述计算可看出，虽然ADB 及ACB 两过程不同，但熵变相同.因此，在计算熵变时，可选取比较容易计算的途径进行.13 －34 有一体积为2.0 ×10-2m 3的绝热容器，用一隔板将其分为两部分，如图所示.开始时在左边(体积V 1 ＝5.0 ×10-3m 3)一侧充有1mol 理想气体，右边一侧为真空.现打开隔板让气体自由膨胀而充满整个容器，求熵变.分析在求解本题时，要注意⎰=BA T Q S d Δ 的适用条件.在绝热自由膨胀过程中，d Q ＝0，若仍运用上式计算熵变，必然有ΔS ＝0.显然，这是错误的结果.由于熵是状态的单值函数，当初态与末态不同时，熵变不应为零.出现上述错误的原因就是忽视了公式的适用条件. ⎰=BA T Q S d Δ 只适用于可逆过程，而自由膨胀过程是不可逆的.因此，在求解不可逆过程的熵变时，通常需要在初态与末态之间设计一个可逆过程，然后再按可逆过程熵变的积分式进行计算.在选取可逆过程时，尽量使其积分便于计算.解根据上述分析，在本题中因初末态时气体的体积V 1 、V 2 均已知，且温度相同，故可选一可逆等温过程.在等温过程中，d Q ＝d W ＝p d V ，而VRT M m p =，则熵变为 ()1-12K J 52.11/ln d 1d d Δ12⋅=====⎰⎰⎰V V R M m V V R M m T V p T Q S V V。