二次根式单元测试及答案
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（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1） ；（2） ，
【分析】
（1）分别根据二次根式的除法法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算和化简各项，再合并同类二次根式即可；
（2）分别根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算各项，再把a的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】
（1）
；
（2）
,
当 时，原式 ．
本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
27．计算：
【答案】1
【分析】
先计算乘方，再化简二次根式求解即可．
【详解】
解：
=
=1．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，再合并即可．
28．已知x=2- ,y=2+ ，求代数式x²+2xy+y²的值.
26．（1）计算：
（2）已知 ， 是正数， ， ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题；
（2）先将所求式子化简，然后将a+b=4，ab=8代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：（1）原式
；
（2）原式
， 为正数，
原式
把 ， 代入，则
原式 ；
【点睛】
【点睛】
本题考查了整式的乘法和二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
25．观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1） _____________
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用 （ 为正整数）表示的等式：______________；
（3）利用上述规律计算： （仿照上式写出过程）
【分析】
（1）依据规律可写出第n个式子，然后判断被开方数的正负情况，从而可做出判断；
（2）将 代入，得出第16个式子为 ，再判断即可．
【详解】
解：（1） ，
该式子一定是二次根式，
因为 为正整数， ，所以该式子一定是二次根式
（2）
∵ ， ，
∴ .
∴ 在15和16之间．
【点睛】
本题考查的知识点是二次根式的定义以及估计无理数的大小，掌握用“逼近法”估算无理数的大小的方法是解此题的关键．
12．使函数 有意义的自变量x的取值范围为_____________
13．已知 ，则 ________．
14．观察下列等式：
第1个等式：a1= ，
第2个等式：a2= ，
第3个等式：a3= =2- ，
第4个等式：a4= ，
…
按上述规律,回答以下问题：
(1)请写出第n个等式：an=__________.
【答案】（1） ；（2） ；（3） ，过程见解析
【分析】
（1）仿照已知等式确定出所求即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）原式变形后，仿照上式得出结果即可．
【详解】
解：（1） ；
故答案为： ；
（2） ；
故答案为： ；
（3）
【点睛】
此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来．
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．若 ，则化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
9．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
10．x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．比较实数的大小:(1) ______ ；（2） _______
一、选择题
1．下列根式是最简二次根式的是（）
A． B． C． D．
2．计算： （ ）
A． B．
C． D．
3ຫໍສະໝຸດ Baidu下列运算正确的是（）
A． B．
C． D．
4．要使 有意义，x的取值范围是（）
A．x≥2020B．x≤2020C．x> 2020D．x< 2020
5．如果关于x的不等式组 的解集为 ，且式子 的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（）．
(2)a1+a2+a3+…+an=_________
15．化简 的结果为_________.
16．如果 ，化简 __________．
17．最简二次根式 与 是同类二次根式，则 ＝________．
18．观察分析下列数据：0， ， ，-3， ， ， ，…，根据数据排列的规律得到第10个数据应是__________．
23．先化简再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】
先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用非负数的性质得出x，y的值，继而将x、y的值代入计算可得答案．
【详解】
解：
∵
∴
当 时
原式
【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握非负数的性质和二次根式的混合运算顺序和法则．
24．（1）计算： ；
A．5B．4C．3D．2
6．设S= ，则不大于S的最大整数[S]等于()
A．98B．99C．100D．101
7．下面有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②0.1的算术平方根是0.01；③计算 ( ＋ )＝5；④如果点P（3－2n，1）到两坐标轴的距离相等，那么n＝1，其中假命题的有（）
19．下列各式：① ② ③ ④ 是最简二次根式的是:_____（填序号）
20．计算 · (a≥0)的结果是_________.
三、解答题
21．若x，y为实数，且y＝ ＋ ＋ ．求 － 的值．
【答案】
【分析】
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1﹣4x≥0且4x﹣1≥0，解得x= ，此时y= ．即可代入求解．
22．观察下列各式子，并回答下面问题．
第一个：
第二个：
第三个：
第四个： …
（1）试写出第 个式子（用含 的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？
（2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由．
【答案】（1） ，该式子一定是二次根式，理由见解析；（2） 在15和16之间．理由见解析．
【答案】16
【解析】
分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=（x+y）²，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：要使y有意义，必须 ，即 ∴x＝ ．当x＝ 时，y＝ ．
又∵ － ＝ －
＝| |－| |
∵x＝ ，y＝ ，∴ ＜ ．
∴原式＝ － ＝2
当x＝ ，y＝ 时，原式＝2 ＝ ．
【点睛】
主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【答案】（1） ；（2） ，
【分析】
（1）分别根据二次根式的除法法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算和化简各项，再合并同类二次根式即可；
（2）分别根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算各项，再把a的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】
（1）
；
（2）
,
当 时，原式 ．
本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
27．计算：
【答案】1
【分析】
先计算乘方，再化简二次根式求解即可．
【详解】
解：
=
=1．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，再合并即可．
28．已知x=2- ,y=2+ ，求代数式x²+2xy+y²的值.
26．（1）计算：
（2）已知 ， 是正数， ， ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题；
（2）先将所求式子化简，然后将a+b=4，ab=8代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：（1）原式
；
（2）原式
， 为正数，
原式
把 ， 代入，则
原式 ；
【点睛】
【点睛】
本题考查了整式的乘法和二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
25．观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1） _____________
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用 （ 为正整数）表示的等式：______________；
（3）利用上述规律计算： （仿照上式写出过程）
【分析】
（1）依据规律可写出第n个式子，然后判断被开方数的正负情况，从而可做出判断；
（2）将 代入，得出第16个式子为 ，再判断即可．
【详解】
解：（1） ，
该式子一定是二次根式，
因为 为正整数， ，所以该式子一定是二次根式
（2）
∵ ， ，
∴ .
∴ 在15和16之间．
【点睛】
本题考查的知识点是二次根式的定义以及估计无理数的大小，掌握用“逼近法”估算无理数的大小的方法是解此题的关键．
12．使函数 有意义的自变量x的取值范围为_____________
13．已知 ，则 ________．
14．观察下列等式：
第1个等式：a1= ，
第2个等式：a2= ，
第3个等式：a3= =2- ，
第4个等式：a4= ，
…
按上述规律,回答以下问题：
(1)请写出第n个等式：an=__________.
【答案】（1） ；（2） ；（3） ，过程见解析
【分析】
（1）仿照已知等式确定出所求即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）原式变形后，仿照上式得出结果即可．
【详解】
解：（1） ；
故答案为： ；
（2） ；
故答案为： ；
（3）
【点睛】
此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来．
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．若 ，则化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
9．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
10．x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．比较实数的大小:(1) ______ ；（2） _______
一、选择题
1．下列根式是最简二次根式的是（）
A． B． C． D．
2．计算： （ ）
A． B．
C． D．
3ຫໍສະໝຸດ Baidu下列运算正确的是（）
A． B．
C． D．
4．要使 有意义，x的取值范围是（）
A．x≥2020B．x≤2020C．x> 2020D．x< 2020
5．如果关于x的不等式组 的解集为 ，且式子 的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（）．
(2)a1+a2+a3+…+an=_________
15．化简 的结果为_________.
16．如果 ，化简 __________．
17．最简二次根式 与 是同类二次根式，则 ＝________．
18．观察分析下列数据：0， ， ，-3， ， ， ，…，根据数据排列的规律得到第10个数据应是__________．
23．先化简再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】
先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用非负数的性质得出x，y的值，继而将x、y的值代入计算可得答案．
【详解】
解：
∵
∴
当 时
原式
【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握非负数的性质和二次根式的混合运算顺序和法则．
24．（1）计算： ；
A．5B．4C．3D．2
6．设S= ，则不大于S的最大整数[S]等于()
A．98B．99C．100D．101
7．下面有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②0.1的算术平方根是0.01；③计算 ( ＋ )＝5；④如果点P（3－2n，1）到两坐标轴的距离相等，那么n＝1，其中假命题的有（）
19．下列各式：① ② ③ ④ 是最简二次根式的是:_____（填序号）
20．计算 · (a≥0)的结果是_________.
三、解答题
21．若x，y为实数，且y＝ ＋ ＋ ．求 － 的值．
【答案】
【分析】
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1﹣4x≥0且4x﹣1≥0，解得x= ，此时y= ．即可代入求解．
22．观察下列各式子，并回答下面问题．
第一个：
第二个：
第三个：
第四个： …
（1）试写出第 个式子（用含 的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？
（2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由．
【答案】（1） ，该式子一定是二次根式，理由见解析；（2） 在15和16之间．理由见解析．
【答案】16
【解析】
分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=（x+y）²，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：要使y有意义，必须 ，即 ∴x＝ ．当x＝ 时，y＝ ．
又∵ － ＝ －
＝| |－| |
∵x＝ ，y＝ ，∴ ＜ ．
∴原式＝ － ＝2
当x＝ ，y＝ 时，原式＝2 ＝ ．
【点睛】
主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．