第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题(九年级)
初三数学竞赛选拔试题(含答案)
初三数学竞赛选拔试题一、选择题: (每题5分,共 35分)1 .2022减去它的21,再减去剩余的,31再减去剩余的,41……依次类推,一直减去剩余的,20031那么最后剩下的数是〔 B 〕 〔A 〕20031 〔B 〕1 〔C 〕20021〔D 〕无法计算2. 假设 x 3+ax 2+bx+8有两个因式x+1和x+2,那么a+b 的值是 ( D ) 〔A 〕 7 〔B 〕 8 〔C 〕 15 〔D 〕213. ΔABC 的周长是24,M 是AB 的中点,MC=MA=5,那么ΔABC 的面积是〔 C 〕〔A 〕 12 〔B 〕 16 〔C 〕 24 〔D 〕304. DE 为∆ABC 中平行于AC 的中位线,F 为DE 中点,延长AF 交BC 于G ,那么∆ABG 与∆ACG 的面积比为 ( A )〔A 〕1：2〔B 〕2：3〔C 〕3：5〔D 〕4：75. 三角形三条高线的长为3,4,5,那么这三角形是〔 C 〕〔A 〕锐角三角形〔B 〕直角三角形〔C 〕钝角三角形〔D 〕形状不能确定6. 关于x 的方程022=+++m mx x 有不同的实数根,其中m 为整数,且仅有一个实根的整数局部是2,那么m 的值 为〔 A 〕 〔A 〕–2〔B 〕–3〔C 〕–2或–3〔D 〕不存在7. 在凸四边形ABCD 中,DA=DB=DC=BC ,那么这个四边形中最大角的度数是〔 A 〕〔A 〕 120º 〔B 〕 135º 〔C 〕 150º 〔D 〕 165ºC二、填空题: (每题5分,共 35分)1. 假设在方程 y(y+x)=z+120 中, x,y,z 都是质数,而z 是奇数,那么x= 2 .y= 11 .z= 23 .2. 将 2022x 2-(20222-1)x-2022 因式分解得 (x-2022)(2022x+1) .3.正三角形ABC 所在平面内有一点P,使得⊿PAB 、⊿PBC 、⊿PCA 都是等腰三角形,那么这样的P 点有 10 个4.直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB ＝BC,∠A ＝o 90,∠D ＝o 45,CD 的垂直平分线交CD_________________学区 ___________________中学 姓名_________________ 准考证号_________________………………………………装………………………………订………………………………线………………………………于E,交BA于的延长线于F,假设AD＝9cm,那么BF＝9 cm；5.四边形的四个顶点为A〔8,8〕,B〔－4,3〕,C〔－2,－5〕,D〔10,－2〕,那么856四边形在第一象限内的局部的面积是156.小明和小刚在长９０米的游泳池的对边上同时开始游泳,小明每秒游３米,小刚每秒游２米,他们往返游了１２分钟,假设不计转向的时间,那么他们交汇的次数是20.7.一副扑克牌有54张,最少抽取16 张,方能使其中至少有2张牌有相同的点数？三、(此题总分值15分)下表是某学校参加一次数学竞赛中参赛同学做对题目的情况记录表,第一行的值表示做对的题目的题数,第二行的值表示做对相应题目的同学人数.对此次竞赛的情况有如下统计：〔１〕本次竞赛共有１２道题目；〔２〕做对３题和３题以上的同学每人平均做对６题；〔３〕做对１０题和１０题以下的同学每人平均做对５题；问：参加本次竞赛的同学共有多少人？解：设共有x名同学参加了本次竞赛.做对3题和3题以上的人数为x-(1+3)=x-4, 那么,所有同学做对6(x-4)+1⨯1+2⨯3=6x-17题；做对10题和10题以下的人数为x-(1+1)=x-2, 那么,所有同学做对5(x-2)+11⨯1+12⨯1=5x+13题.又做对的总题数相等,所以6x-17=5x+13.解这个方程得 x=30.答：共有30名同学参加了本次竞赛.如图：菱形PQRS 内接于矩形ABCD,使得P 、Q 、R 、S 为AB 、BC 、CD 、DA 上的内点.PB=15、BQ=20、PR=30、QS=40、假设既约分数n m为矩形ABCD 的周长,求m ＋n.设AS=x 、AP=y ……(2分),由菱形性质知PR SQ,且互相平分,这样得到8个直角三角形,易知PR 与SQ 的交点是矩形ABCD 的中央.由可得其中6个三角形的边长分别为15、20、25.由对称性知CQ 、CR 的长为x 、y .那么Rt △ASP 和Rt △CQR 的三边长分别为x 、y 、25,矩形面积等于8个Rt △的面积之和.那么有：(20+x )(15+y )=6×21×20×15+2×21xy 〔8分〕那么有 3x +4y =120 (1)又 x 2+y 2=625 (2) (2分)得 x 1=20 x 2=544y 1=15 y 2=5117(5分) 当x=20时 BC=x +BQ=40 这与PR=30不合 故 x =544 y =5117 (2分) ∴矩形周长为2(15+20+x +y )= 5672(5分)即：m+n=677 (1分)1、试设计一种方法,把一个正方形不重复不遗漏地分割成8个正方形(分得的正方形大小可以不相同)；又问如何把正方形按上要求分成31个正方形？2、试设计一种方法,把一个立方体分割成55个立方体(要求：不重复不遗漏,分得的立方体大小可以不相同).1、容易把一个正方形分成42=16个正方形,再把其中位于一角的9个拼成一个正方形,共得：16-9+1=8个正方形 . (6分)分成16个正方形后,把其中任意5个分成4个小正方形,共有16-5+5×4=31个正方形. (6分)2、把立方体分割成33=27个立方体,再把其中4个各分成23=8个立方体,共27-4+4×23=55个立方体. 〔8分〕。
第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题(八年级)
第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题（八年级）题 号 一 二 三总 分 1～6 7～12 13 14 15 16 得 分一、选择题（本大题有6小题，每小题5分，共30分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内．） 1．三角形的三边长分别为6，1－3a ，10，则a 的取值范围是（ ） A ．－6＜a ＜－3B ．5＜a ＜1C ．－5＜a ＜－1D ．a ＞－1或a ＜－52．使分式xx y z x 5201520152016201620152014--+有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ≠0B ．x ≠0且x ≠±403C ．x ≠0且x ≠403D ．x ≠0且x ≠－403 3．如图，将纸片△ABC 沿着DE 折叠压平，且∠1＋∠2＝72°，则∠A 等于（ ） A ．72° B ．24° C ．36° D ．18° 4．如图钢架中，10A ∠=︒，焊上等长的钢条来加固钢架，若112P A PP =，则这样的钢条至．多．需要（ ） A ．5根 B ．6根 C ．7根 D ．85．若22310x x -+=，则代数式2015642+-x x 的值是（ ）A ．2013B ．2014C ．2015D ．2016 6．三角形三边的长分别为,,a b c ，且a abc b c b c a++=+-，则三角形是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．以a 为腰的等腰三角形 D ．以a 为底的等腰三角形 二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分．） 7．分解顺式=+-153143x x ． 8．如图，在ABC ∆中，AC AB =，40ABC ∠=︒， BD 是ABC ∠的平分线，延长BD 至E ，使DE AD =， 连结CE ，则ECA ∠的度数为 ．第3题图第4题图21ABDDBCAE第8题图9．⊿ABC 中，三个内角的度数均为整数，且A C C B A ∠=∠∠<∠<∠74,，则B ∠ 的度数为__________．10．若()(1)(2)(3)x a x x x ++++展开式中含3x 项的系数是17，则a 的值是__________． 11．若关于x 的分式方程()15321m x m x +-=-+无解，则m =__________．12．若20132=+x a ，20142=+x b ，20152=+x c ，且abc ＝24，则cb a abc ac b bc a 111---++的值为_________． 三、解答题(本大题有4小题，每小题15分共60分．）13．已知，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，CD ⊥AB 交AB 于点E ，且CD =AC ，DF ∥BC ，分别与AB 、AC 交于点G 、F ． （1）求证：GE =G F ； （2）若BD =1，求DF 的长．第13题图14．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120 °的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60 °．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．第14题图15． 已知,,a b c为有理数，证明222a b c a b c ++++为整数．16．为迎接外国使节来访，仪仗队某小组进行队列造型设计，首先组长让全体队员排成一个方阵（即行与列的人数一样多的队形），人数正好够，然后组长又继续组织了几个队形的变化，最后一个造型需要5人一组，手拿鲜花变换队形．在讨论分组方案时，一组员说现在的队员人数按“5人一组”分将多出3人．同学们，你们说一说这可能吗？为什么？第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题八年级参考答案一、选择题1．C 2．B 3．C 4． D 5．A 6．C 二、填空题7．)52)(3)(12(-+-x x x 8．40° 9．59° 10．11 11． 6，10 12．81三、解答题13．（1）∵DF ∥BC ，∠ACB =90°，∴∠CFD =90°． ∵CD ⊥AB ， ∴∠AEC =90°．在 Rt △AEC 和Rt △DFC 中，∠AEC =∠CFD =90°，∠ACE =∠DCF ，DC =AC ，∴Rt △AEC ≌Rt △DF C ． ∴CE=CF ． ∴DE =AF ．而 ∠AGF =∠DGE ，∠AFG =∠DEG =90°， ∴Rt △AFG ≌Rt △DEG ．∴G F=GE ．（2）∵CD ⊥AB ，∠A =30°， ∴CE =21AC =21CD ． ∴CE =ED ． ∴BC =BD =1．又 ∵∠ECB +∠ACE =90°，∠A +∠ACE =90°， ∴∠ECB =∠A =30°，∠CEB =90°， ∴BE =21BC =21BD =21． 在直角三角形 ABC 中，∠A =30°， 则 AB =2BC =2． 则 AE =AB －BE =23． ∵Rt △AEC ≌Rt △DFC ，第13题图∴DF =AE =23． 14．CN =MN +BM证明：在CN 上截取点E ，使CE =BM ，连接DE ， ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ACB =∠ABC =60°，又△BDC 为等腰三角形，且∠BDC =120°， ∴BD =DC ，∠DBC =∠BCD =30°，∴∠ABD =∠ABC +∠DBC =∠ACB +∠BCD =∠ECD =90°， 在△MBD 和△ECD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EC BM ECD MBD DC BD ， ∴△MBD ≌△ECD （SAS ）， ∴MD =DE ，∠MDB =∠EDC ， 又∠MDN =60°，∠BDC =120°，∴∠EDN=∠BDC ﹣（∠BDN +∠EDC ）=∠BDC ﹣（∠BDN +∠MDB ）=∠BDC ﹣∠MDN =120°﹣60°=60°， ∴∠MDN =∠EDN ， 在△MND 与△END 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DE MD EDN MDN ND ND ， ∴△MND ≌△END （SAS ）， ∴MN =NE ，∴CN =N E+CE =MN +BM ． 15． 因3是无理数，则30b c -≠，而223(3)(3)33a b a b b c b c b c++-=-+ 22233()3ab bc b ac b c -+-=-为有理数，所以20b ac -=，于是222222()2()()2()a b c a b c ab bc ac a b c ab bc b ++=++-++=++-++ 2()2()()()a b c b a c b a b c a b c =++-++=++-+，第14题图因此，222a b c a b c a b c++=-+++为整数． 16．不可能因为全体队员可排成一个方阵，所以总人数是一个完全平方数，设每行m 人，则总人数为2m 人，根据变化队形时按5人分组，可考虑m 为5n ，51n +，52n +，53n +，54n +中的某种情形，这里n 为正整数，从而全体人数2m 可能是22(5)5(5)n n =⨯；222(51)251015(52)1n n n n n +=++=++； 222(52)252045(54)4n n n n n +=++=++； 222(53)253095(561)4n n n n n +=++=+++． 222(54)2540165(583)1n n n n n +=++=+++．由此可见，不论哪一种情形，总人数按每组5人分组所多出的人数只可能是1或4，不可能多3人．。
九年级数学竞赛初赛试卷【含答案】
九年级数学竞赛初赛试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）。
A. a/2B. a√2C. 2aD. a²2. 下列哪个数是无理数？（）A. √9B. √16C. √3D. √13. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(-1)的值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 54. 下列哪个图形不是正多边形？（）A. 等边三角形B. 等腰梯形C. 正方形D. 正五边形5. 若一个圆的半径为r，则它的周长为（）。
A. 2rB. 2πrC. πr²D. r²/2二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个负数相乘的结果一定是正数。
（）2. 任何数乘以0都等于0。
（）3. 对角线相等的四边形一定是矩形。
（）4. 一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0）的解可以用公式x = [-b ± √(b² 4ac)] / 2a求得。
（）5. 任何数都有倒数。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若一个三角形的两个内角分别为30°和60°，则第三个内角的度数为______°。
2. 若2x 5 = 0，则x的值为______。
3. 若一个圆的直径为10cm，则它的面积为______cm²。
4. 若一个等差数列的首项为3，公差为2，则第5项的值为______。
5. 若sinθ = 1/2，且θ是锐角，则θ的度数为______°。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简述勾股定理的内容。
2. 请简述一元一次方程的求解方法。
3. 请简述等差数列的定义及通项公式。
4. 请简述平行四边形的性质。
5. 请简述圆的周长和面积的计算公式。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知一个长方形的长是宽的2倍，且长方形的周长是24cm，求长方形的长和宽。
九年级数学竞赛题(提前招生考试模拟卷)(含答案) (19)
九年级数学竞赛试题一、选择题（每小题4分，共40分）1、若y ＜1是不等式a －3(a －y ) ＜y －4的解集，则a 的取值为（ ） A ．a ＞3 B 、a =3 C 、a ＜3 D 、a =4 2①()220x x x -->的值随着x 的增大越来越小； ②()20x x ->的值有可能等于1；③()220x x x -->的值随着x 的增大越来越接近于1；④()220x x x-->的值最大值是3．则推测正确的有（ ）A. 1个B. 2个 C ．3个 D. 4个3、如图，已知A 点坐标为（5，0），直线y =x +b (b ＞0)与y 轴交于点B ，连接AB ，∠α=75°，则b 的值为（ ） A 、3 B 、335 C 、4 D 、4354、如图，在⊙O 中，CD DA AB ==，给出下列三个结论：（1）DC =AB ；（2）AO ⊥BD ；（3）当∠BDC =30°时，∠DAB =80°．其中正确的个数是( )A 、0B 、1C 、2D 、3 5、已知非零实数a ，b 满足 2312-=-+++-a a b a ，则a b +等于（ ）A 、－1B 、0C 、1D 、6、已知二次函数2y a x b x c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤7、如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的，矩形ABCD 沿EF 对折后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么=ABAD（ ）AC 、3D 、2(第10题)ABCD A 1B 1C 1D 1第6题 第7题8、已知函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞，则使y =k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．39、如图，三个半径为3的圆两两外切，且△ABC 的每一边都与其 中的两个圆相切，则△ABC 的周长是（ ）A 、12+63B 、18+63C 、18+123D 、12+12310、如图，设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从A 点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→……，白甲壳虫爬行的路线是AB →BB 1→……，并且都遵循如下规则：所爬行的第n n 与第2+条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n 是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2013条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 二、填空题（每小题5分，共40分） 11、若关于x ，y 的二元一次方程组3133x y ax y +=+⎧⎨+=⎩的解满足2x y +＜，则a 的取值范围为______．12、设15-=a ，则代数式142323+-+a a a 的值为13、 如图，正方形ABCD 和正方形CGEF 的边长分别是2和3，且点B 、C 、G 在同一直线上，M 是线段AE 的中点，连结MF ，则MF 的长为_________________ 14、在直角坐标系中，点A 是抛物线y =x 2在第二象限上的点，连接OA ，过点O 作OB ⊥OA ，交抛物线于点B ，以OA 、OB 为边构造矩形AOBC 。
初三数学竞赛考试试题及答案
初三数学竞赛考试试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14159B. 0.333...C. πD. √22. 如果一个直角三角形的两个直角边分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 83. 一个数的立方根是2，这个数是多少？A. 2B. 4C. 8D. 164. 一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π5. 一个数的相反数是-3，这个数是多少？A. 3B. -3C. 6D. -66. 一个数的绝对值是5，这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 07. 如果一个二次方程的解是x1=2和x2=3，那么这个方程可以表示为？A. x^2 - 5x + 6 = 0B. x^2 - 5x + 4 = 0C. x^2 + 5x - 6 = 0D. x^2 + 5x + 4 = 08. 一个数列的前三项是2, 4, 6，这是一个什么数列？A. 等差数列B. 等比数列C. 等比数列D. 既不是等差也不是等比数列9. 一个长方体的长、宽、高分别是2, 3, 4，那么它的体积是多少？A. 24B. 26C. 28D. 3210. 一个分数的分子是3，分母是6，化简后是多少？A. 1/2B. 2/3C. 3/6D. 1/3二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的平方根是4，这个数是_________。
12. 一个数的平方是16，这个数是_________。
13. 一个数的立方是27，这个数是_________。
14. 一个数的倒数是2/3，这个数是_________。
15. 一个数的对数（以10为底）是2，这个数是_________。
三、解答题（每题10分，共50分）16. 解一个一元二次方程：x^2 - 7x + 10 = 0。
17. 证明：对于任意实数a和b，(a + b)^2 ≤ 2(a^2 + b^2)。
第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题(七年级)
第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题（七年级）一、选择题（每小题5分，共30分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的．） 1．以下四个论断中不正确的是( )A ．在数轴上，关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数B ．两个有理数互为相反数，则它们在数轴上对应的两个点关于原点对称C ．两个有理数不等，则它们的绝对值不等D ．两个有理数的绝对值不等，则这两个有理数不等2．我们从不同的方向观察同一物体时，可能看到不同的图形.则从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形的是( )3．在代数式2xy 中，x 与y 的值各减少25％，则该代数式的值减少了( ) A ．50％ B ．75％ C ．6437 D ．64274．如果0=++c b a ，且c b a >>.则下列说法中可能成立的是( )A ．a 、b 为正数，c 为负数B ．a 、c 为正数，b 为负数C ．b 、c 为正数，a 为负数D ．a 、c 为负数，b 为正数5．如图，若AB ∥CD ，︒=∠︒=∠︒=∠︒=∠50,30,90,30CNP HMN FGH EFA ，则GHM ∠等于（ ） A ．50° B ．40° C ．30° D ．20°6．商家获得的利润按以下公式计算：利润=售价－进价－售价×税率.若税率由b %调为c %，且商品的进价和利润都未改变，则商品的售价是原来的( )A ．%1%1c b --倍 B ．c b --11倍 C ．%1%c b -倍 D ．%%1c b -倍二、填空题（每小题5分，共30分。
）7． 计算：2325212)75.0(19121257⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--÷÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-= ． A ． B ． C ． D ． 50°30°30°F NA B CDG MP EH 第5题图8．关于x 的方程18241=--+x x 的解是 ． 9．方程|2015x －2015|=2015的根是 ． 10．若0=-+p n m ，则的值等于 ．11．若P 是质数，且P +3整除5P ，则2015P 的末位数是 ． 12．时钟的分针和时针在下午4点至5点成45°角的时刻是 ． 三、解答题（每小题15分，共60分，写出推理、运算的过程及最后结果．） 13．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：“当式子21-++x x 取最小值．．．时，相应的x 的取值范围是 ，最小值．．．是 ”．小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了。
初三数学竞赛试题及参考答案
全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填得零分）1、方程组⎩⎨⎧=+=+6||12||y x y x 的解的个数为（ ）A 、1B 、 2C 、3D 、4答案：A解析：若0≥x ，则⎩⎨⎧=+=+6||12y x y x ，于是6||-=-y y ，显然不可能若0 x ，则⎩⎨⎧=+=+-6||12y x y x于是18||=+y y ，解得9=y ，进而求得3-=x 所以，原方程组的解为⎩⎨⎧=-=93y x ，只有1个解． 故选（A ）．2、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）A 、 14B 、 16C 、18D 、20答案：B解析：用枚举法：红球个数 白球个数 黑球个数 种 数5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4 所以，共16种． 故选（B ）．3、已知ABC ∆为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过ABC ∆的（ ）A 、内心B 、外心C 、重心D 、垂心 答案：B解析： 如图，连接BE∵ABC ∆为锐角三角形 ∴BAC ∠，ABE ∠均为锐角又∵⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦 ∴ABE BAC ∠=∠∴BAC ABE BAC BEC ∠=∠+∠=∠2 若ABC ∆的外心为1O 则BAC C BO ∠=∠21∴⊙O 一定过ABC ∆的外心 故选（B ）． 4、已知三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰有一个公共实数根，则abc ca b bc a 222++的值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 答案：D解析：设0x 是它们的一个公共实数根，则02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx把上面三个式子相加，并整理得()()01020=++++x x c b a因为0432112002+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x所以0=++c b a于是()()33333333222=+-=+-+=++=++abcb a ab abc b a b a abc c b a ab c ca b bc a 故选（D ）．5、方程256323+-=++y y x x x 的整数解（x ，y ）的个数是（ ）A 、0B 、1C 、3D 、无穷多 答案：A解析：原方程可化为()()()()()2113212++-=++++y y y x x x x x因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的。
初三数学竞赛试题及答案
初三数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2.5B. πC. 0.33333...D. -12. 若a、b、c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定3. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 以上都不是4. 某工厂生产的产品数量y与时间x（小时）成正比，已知2小时生产了40个产品，那么4小时生产的产品数量是：A. 80B. 100B. 120D. 1605. 一个圆的半径是5，那么这个圆的面积是：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π6. 下列哪个是二次根式的化简结果？A. \(\sqrt{48}\)B. \(\sqrt{64}\)C. \(\sqrt{81}\)D. \(\sqrt{144}\)二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的立方根是2，这个数是________。
2. 若一个等差数列的第3项是10，第5项是14，那么这个等差数列的公差是________。
3. 一个长方体的长、宽、高分别是2cm、3cm、4cm，那么这个长方体的体积是________cm³。
4. 一个多项式\(ax^2 + bx + c\)的系数a、b、c满足\(a + b + c = 6\)，且\(a - b + c = 0\)，那么\(2a - 2b + 2c\)的值是________。
5. 若一个二次方程\(x^2 - 4x + 4 = 0\)，那么这个方程的判别式Δ是________。
三、解答题（每题15分，共50分）1. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求这个直角三角形的斜边长。
2. 一个水池的底部有一个排水口，水池的容积是100立方米。
如果打开排水口，水池的水在2小时内可以排完。
现在同时打开排水口和进水口，进水口每小时可以注入20立方米的水。
2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题(含答案)
M（第2题图）中国教育学会中学数学教学专业委员会20XX 年全国初中数学竞赛九年级预赛试题（本卷满分120分，考试时间120 分钟）一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分．1. 从长度是2cm ，2cm ，4cm ，4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ） A ．41 B ．31C ．21D ．12．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，AN =15，MN =3，则△ABC 的周长为（ ） A ．38B ．39C ．40D . 413．已知1≠xy ，且有09201152=++x x ，05201192=++y y ，则yx的值等于（ ） A ．95 B ．59C ．52011-D ．92011- 4．已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ） A ．6B . 7C ．8D ．95．设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2ba cx xb a y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形6．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取 出按照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2个连续存储单元 已依次存入数据b ，a ，取出数据的顺序是a ，b ；堆栈（2）的3个 连续存储单元已依次存入数据e ，d ，c ，取出数据的顺序是c ，d ，e ，现在要从这两个堆栈中取出5个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（ ） A ．5种B ．6种C ．10种D ．12种二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7．若04122=---x x ，则满足该方程的所有根之和为 .8．（人教版考生做）如图AABCD 中，过A，B ，C 三点的圆交AD 于E ，且与CD相切，若AB =4，BE =5，则DE 的长为 ．8．（北师大版考生做）如图B ，等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的两个动点，且总使AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则FGAF=． 9．已知012=--a a ，且3222322324-=-++-axa a xa a ，则=x ． 10．元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件．11．如图，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成o 45，∠A =o 60，CD =4m ，BC =)2264(-m ，则电线杆AB 的长为 _______m ．12．实数x 与y ，使得y x +，y x -，xy ，yx四个数中的三个有相同的数值，则所有具有这样性质的数对),(y x 为 ．（1） （2）（第5题图）(第11题图)ABCD（第8题图A ）GFECBA（第8题图B ）D三、解答题（本大题共3个小题，每小题20分，共60分） 13.（本题满分20分）已知：))(())(())((a x c x c x b x b x a x ++++++++是完全平方式． 求证： c b a ==．14.（本题满分20分）如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，动点M ，N 以每秒１个单位的速度分别从点A ，C 同时出发，其中点M 沿AO 向终点O 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作NP ⊥BC ，交OB 于点P ，连接MP ．（1）点B 的坐标为 ；用含t 的式子表示点P 的坐标为 ； （2）记△OMP 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（0 < t < 6）；并求t 为何值时，S 有最大值？（3）试探究：当S 有最大值时，在y 轴上是否存在点T ，使直线MT 把△ONC 分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC 面积的31？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．（备用图）(第14题图)15.（本题满分20分）对于给定的抛物线b ax x y ++=2，使实数p ，q 适合于)(2q b ap +=. （1）证明：抛物线q px x y ++=2通过定点；（2）证明：下列两个二次方程，02=++b ax x 与02=++q px x 中至少有一个方程有实数根.参考答案一、选择题（每小题5分，共30分） 1—6 C D B A D C二、填空题（每小题5分，共30分）： 7. 62-； 8. A ：516；B ：12； 9. 4； 10. 12； 11. 26； 12. )1,21(-)1,21(--. 三、解答题：（每题20分，共60分）13. 证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a +b +c )x +ab +ac +bc ∵它是完全平方式， ∴△＝0. 即4(a +b +c )2－12(ab +ac +bc )=0. ∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca =0,(a －b )2+(b －c )2+(c －a )2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c cb b a解这个方程组，得c b a ==.14. 解：（1）（6，4）；（2,3t t ）.（其中写对B 点得1分）………………………………3分（2）∵S △OMP =12×OM ×23t ， ∴S =12×（6 -t ）×23t =213t -+2t ＝21(3)33t --+（0 < t <6）．∴当3t =时，S 有最大值．…………………………………………8分（3）存在．由（2）得：当S 有最大值时，点M 、N 的坐标分别为：M （3，0），N （3，4）， 则直线ON 的函数关系式为：43y x =． 设点T 的坐标为（0，b ），则直线MT 的函数关系式为：3b y x b =-+，解方程组433y x b y x b⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得3444b x b b y b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ ∴直线ON 与MT 的交点R 的坐标为34(,)44b bb b++． ∵S △OCN ＝12×4×3＝6，∴S △ORT ＝13 S △OCN ＝2． ················· …………………10分当点T 在点O 、C 之间时，分割出的三角形是△OR 1T 1， 如图，作R 1D 1⊥y 轴，D 1为垂足，则S △OR 1T 1＝12••••RD 1•OT ＝12•34b b +•b ＝2.∴234160b b --=， b.∴b 1b 2此时点T 1的坐标为（0）. ········· ……………………………………………15分 ② 当点T 在OC 的延长线上时，分割出的三角形是△R 2NE ，如图，设MT 交CN 于点E ， ∵点E 的纵坐标为4，∴由①得点E 的横坐标为312b b-， 作R 2D 2⊥CN 交CN 于点D 2，则 S △R 2NE ＝12•EN •D 2 =12•312(3)b b --•4(4)4b b -+96(4)b b =+＝2. ∴24480b b +-=，b2=±.∴b 1＝2，b 2＝2-（不合题意，舍去）． ∴此时点T 2的坐标为（0，2）． 综上所述，在y 轴上存在点T 1（0，23+），T 2（0，2）符合条件．…20分 15. 证明：（1）∵)(2q b ap +=∴b ap q -=2代入抛物线q px x y ++=2中，得0)2(2=++-+-ax p b x y 得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+-0202a x b x y 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=4422ba y a x ， 故抛物线q px x y ++=2通过定点)44,2(2b a a --……………………10分（2）∵b ap q 22-=，∴)2(2224222b ap p q p q p --=⋅-=-（备用图）=b ap p 422+-=b a a ap p 42222+-+- =)4()(22b a a p ---∴0)()4()4(222≥-=-+-a p b a q p ∴q p 42-与b a 42-中至少有一个非负.∴02=++b ax x 与02=++q px x 中至少有一个方程有实数根.…………20分。
2023年初三数学竞赛试卷
九年级数学竞赛考试卷考号姓名一、选择题（每题3分, 共24分）每题只有一种答案是对旳旳, 请在答题卡上对应题目旳答题区域内作答, 答对旳得4分, 答错、不答或答案超过一种旳一律得0分.1. 下列计算对旳旳是（）A. B. C. D.2．用配措施解一元二次方程, 下列配方对旳旳是（）A. B. C. D.3.如图，用放大镜将图形放大，应当属于.. ）A. 相似变换B. 平移变换C. 对称变换D. 旋转变换4.在抛掷一枚均匀硬币旳试验中，假如没有硬币，则下列可作试验替代物旳是....）A.一颗骰子B.一种啤酒瓶盖.C.两张扑克牌（一张黑桃, 一张红桃.. D.一颗图钉5．如图, 在平面直角坐标系中, 已知点, 点,则=cos（）∠OABA. B. C. D.6．如图, 在□中, , , 是对角线上旳任意一点, 过点作∥ , 与□旳两条边分别交于点, ．设, , 则下面能大体反应与之间关系旳图像为（）B. C. D.A. B. C. D.7.如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB＝90°, CD⊥AB于点D.已知AC= , BC=2, 那么sin∠ACD＝（）A. B. C. D.8.已知函数y=x2-2x-2旳图象如图所示，根据其中提供旳信息，可求得使y≥1成立旳x旳取值范围是...）A. -1≤x≤3B. -3≤x≤1C. x≥-3D. x≤-1或x≥3二、填空题（每题3分, 共36分）在答题卡上对应题目旳答题区域内作答。
9. 化简: ；10. 一元二次方程旳二次项系数、一次项系数、常数项旳和为；11. 要使式子故意义, 旳取值范围是；12．某一种“爱心小组”有3名女生和2名男生, 现从中任选1人去参与学校组织旳“献爱心”志愿者活动, 则选中女生旳概率为____________；13. 顺次连结等腰梯形各边旳中点所得旳四边形是____________；14. 如图, 在坡度为1:2旳山坡上种树, 规定株距（相邻两树间旳水平距离）是米, 斜坡上相邻两树间旳坡面距离是米；15. 设是方程旳两个实数根, 则旳值为___________；16. 已知: 如图, 旳面积为, 中位线, 则边上旳高为；17. 在一次初三学生数学交流会上, 每两名学生握手一次, 记录共握手253次。
年初三数学竞赛试题及答案
年初三数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -12. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，其体积是多少立方厘米？A. 240B. 180C. 120D. 1003. 一个数的60%加上它的40%等于这个数的：A. 100%B. 80%C. 60%D. 40%4. 下列哪个分数是最接近1的？A. 1/2B. 3/4C. 4/5D. 9/105. 一个数除以3的商是15，这个数是多少？A. 45B. 54C. 60D. 406. 一个正方形的面积是64平方厘米，它的周长是多少厘米？A. 32B. 48C. 64D. 167. 一个班级有21个男生和9个女生，男生人数占全班的百分比是多少？A. 70%B. 75%C. 80%D. 85%8. 一本书的价格是35元，如果打8折，那么现价是多少元？A. 28B. 30C. 35D. 429. 一个数的1/3加上它的1/4等于7/12，这个数是多少？A. 12B. 3C. 4D. 910. 一个长方体的长是15cm，宽是10cm，如果高增加5cm，体积将增加多少立方厘米？A. 750B. 500C. 375D. 250二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的1/2与它的1/3的和是5/6，这个数是_________。
12. 一本书的原价是x元，打7折后售价为0.7x元，如果售价是21元，那么原价是_________元。
13. 一个长方形的长是14cm，宽是长的1/2，这个长方形的面积是_________平方厘米。
14. 一个数的3倍加上这个数的2倍等于36，这个数是_________。
15. 一个数的75%是45，那么这个数的50%是_________。
三、解答题（共两题，每题25分）16. 一个长方体的长、宽、高分别是12cm、10cm和8cm，求这个长方体的表面积和体积。
初三全国数学竞赛题及答案
全国初中数学竞赛 试题参考答案及评分标准一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分） （1）设x =，则代数式(1)(2)(3)x x x x +++的值为( ). （A ）0 （B ）1 （C ）﹣1 （D ）2【答】C ．解：由已知得2310x x ++=， 于是2222(1)(2)(3)(3)(32)(31)1 1.x x x x x x x x x x +++=+++=++-=-（2）已知x y z ，，为实数，且满足253x y z +-=，25x y z --=-，则222x y z ++的最小值为( ).（A ）111（B ）0 （C ）5 （D ）5411【答】D ．解：由 25325x y z x y z +-=⎧⎨--=-⎩，， 可得 312.x z y z =-⎧⎨=+⎩，于是 22221125x y z z z ++=-+．因此，当111z =时，222x y z ++的最小值为5411． （3）若1x >，0y >，且满足3y y xxy x x y==，，则x y +的值为( ).（A ）1 （B ）2 （C ）92（D ）112【答】C ．解：由题设可知1y y x -=，于是 341y y x yx x -==，所以411y -=．故12y =，从而4=x ．于是92x y +=．（4）设333311111232011S =++++，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7【答】A ．解：当2 3 2011k =，，，，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以333111111511123201122201120124S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭． 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．（5）点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( ).（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 【答】C ．解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=， 则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S SSS >．二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）（6）两条直角边长分别是整数a b ，（其中2011b <），斜边长是1b +的直角三角形的个数为 .【答】31．解：由勾股定理,得 12)1(222+=-+=b b b a ．因为b 是整数，2011<b ，所以2a 是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即2223 5 63，，，．因此a 一定是3，5，…，63，故满足条件的直角三角形的个数为31．（7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是 .【答】16．解： 在36对可能出现的结果中，有6对：（1，6）， （2，5）， （2，5）， （3，4），（3，4），（4，3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7的概率是61366=.（8）若y =的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .【答】32．解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．21122y =+=+ 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故2b =．所以，2232a b +=．（9）如图，双曲线xy 2=（x ＞0）与矩形OABC 的边CB ， BA 分别交于点E ，F ，且AF=BF ，连接EF ，则△OEF 的面积为 .【答】32．解：如图，设点B 的坐标为a b （,）,则点F 的坐标为2ba （，）.因为点F 在双曲线2y x=上，所以 4.ab = 又点E 在双曲线上，且纵坐标为b ，所以点E 的坐标为2(,)b b.于是11212222221312.22OEF OEC FBEOFBC S S S S b b b a b a b b ab ∆∆∆=--=+-⨯⨯-⨯⨯-=+-=梯形（）（）（） （10）如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .【答】84．解：如图，设BC ＝a，AC ＝b ， 则22235a b +=＝1225． ① 又Rt △AFE ∽Rt △ACB ， 所以FE AF CB AC =，即1212b a b-=， 故12()a b ab +=． ②由①②得 2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（），解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以 493584a b c ++=+=．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）（11）已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，， ………………………………5分两式相加，得2210αβαβ+++=，即 (2)(2)3αβ++=， 所以，2123αβ+=⎧⎨+=⎩，；或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，………………………………10分 解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（）， 所以012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，， 故3a b c ++=-，或29. ………………………………………………20分（12）如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ， 连接 AH BD QB QC QH ，，，，.因为AB 为⊙1O 的直径，所以∠ADB =∠90=︒BDQ ．…………5分 故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，. ……………………………………………………10分又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ， 四边形ACQH为平行四边形. ………………………………………………15分所以点P 为CH 的中点. ………………………………………………20分（13） 如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223y x =于P ，Q 两点. （Ⅰ）求证：∠ABP =∠ABQ ； （Ⅱ）若点A 的坐标为（0，1）， 且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的 直线PQ 的函数解析式.解：（Ⅰ）如图，分别过点P Q ， 作y. 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，， 得2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.于是，222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- …………5分又因为P Q x PC QD x =-，所以BC PCBD QD=. 因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ . 故∠ABP =∠ABQ . …………………………………………………………10分（Ⅱ）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0， 由（Ⅰ）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC，BD， 所以 AC2-，AD=2. 因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ . 于是PC ACDQ AD=，即a b．所以a b +=． 由（Ⅰ）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以322ab a b =+=，于是，可求得2==a b将2b =代入223y x =，得到点Q 的坐标，12）. …………………15分再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得=k .所以直线PQ 的函数解析式为13y x =-+. 根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为1y =+，或1y x =+. ………………20分解法二 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（Ⅰ）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 2Q x =将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =. 又由（Ⅰ），得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=.若2Q x =代入上式得 P x = 从而 2()3P Q k x x =+=.同理，若Q x = 可得2P x =-从而 2()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解析式为1y x =+，或1y x =+. ………………………………………20分（14）已知0122011i a i >=，， ， ， ，且122011a a a <<<，证明：122011a a a ，，，中一定存在两个数i j a a i j <，（），使得(1)(1)2010i j j i a a a a ++-<．证明：令20101 2 20111i ix i a ==+，，，，， ……………………………………5分则20112010102010x x x <<<<<. …………………………………10分故一定存在1≤k ≤2010， 使得11k k x x +-<，从而120102010111k k a a +-<++． …………………………………15分即11(1)(1)2010k k k k a a a a ++++-<． …………………………………………20分。
第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛(九年级)试题(含答案)
第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题（九年级）一、选择题（共6小题，每小题5分，共30分.）1．设a 、b 是方程0132=++x x 的两实根，则代数式2211a b+的值为（ ）A ． 5B ． 7C ． 9D ． 112．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）A ．0pB ．1pC ．2pD ．3p 3． 若整数a ，m ，n 满足n m a -=-242，则这样的a ，m ，n 的取值（ ）A ．有一组B ．有两组C ．多于两组D ．不存在 4．若质数a ，b 满足2940a b --=，则数据a ，b ，2，3的中位数是（ ） A ．4 B ．7 C ．4或7 D ．4.5或6.55． 已知321、y 、y y 分别表示二次函数、反比例函数和一次函数的三个函数值，它们的交点分别是A （-1，-2）、B （2，1）和C （32，3），规定M =｛321、y 、y y 中最小的函数值｝ 则下列结论错误的是( )A ．当1-<x 时，M =y 1B ．当0≤x ≤2时，M 的最大值是1，无最小值C ．当01<<-x 时，y 2< y 3< y 1D ．当x ≥2时，M 最大值是1，无最小值6．如图，ABC ∆中，D 、E 是BC 边上的点，1:2:3::=EC DE BD ，M 在AC 边上，2:1:=MA CM ，BM 交AD 、AE 于H 、G ，则GM HG BH ::等于（ ） A ．1:2:3 B ．1:3:5 C ．5:12:25 D ．10:24:51第5题图 第6题图二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.）7．若抛物线12--=x x y 与x 轴的交点坐标为)0,(m ，则代数式20152+-m m 的值为 ．8．已知：定点A （3，2），动点M 在函数y x =的图象上运动，动点N 在x 轴上运动，则AMN ∆ 的周长的最小值为 ．9． 如图，△ABC 内接于⊙O ，BC = a ，CA = b ，∠A －∠B = 90°，则⊙O 的半径为 ． 10．在⊿ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 边上的高AD ＝12，能完全覆盖⊿ABC 的圆的半径 R 的最小值为_________．11．如图，E 、F 分别是□ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD 15=2cm ，S △BQC 25=2cm ，则阴影部分的面积为 2cm ．12．已知m m Q m P 158,11572-=-=（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为_________． 三、解答题（共4小题，共60分.）13．(15分) 已知关于x 的一元二次方程).(0)1()2(2为实数其中m m x m x m =+--- (1)若此方程的一个非零实数根为k ， ①的值求时当m ，m k =；②若记的关系式与求为m y y ，k kk m 52)1(+-+； (2)当41<m<2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由．第11题图第9题图14．(15分) 在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ． （1）在图1中证明CE CF =；（2）若90ABC ∠=︒，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数； （3）若120ABC ∠=︒，FG ∥CE ，FG CE =，分别连结DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数．15．(15分) 如图，五边形DEFGH 是正五边形，⊙O 是正五边形DEFGH 的外接圆，过点D 作⊙O 的切线，与GH 、FE 的延长线交分别于点B 和C ，延长HG 、EF 相交于点A ．(1)求证：∆AGF 是等腰三角形；(2)求证：点G ，F 分别是线段AB 、AC 的中点；（3）若正五边形DEFGH 周长是10cm ，求∆ABC 的周长．图1 图2 图3 第15题图16．(15分) 已知抛物线2y ax bx c =++ 经过点（1，2）．（1）若a ＝1，抛物线顶点为A ，它与x 轴交于两点B 、C ，且⊿ABC 为等边三角形，求b 的值；（2）若abc ＝4，且a ≥b ≥c ，求 c b a ++ 的最小值． ．第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题九年级参考答案一、选择题：1．B 2．D 3．B 4．C 5．C 6．D 二、填空题：7．2016 8． 26 9． 2221b a + 10．86511．40 12．Q >P三、解答题：13． ∵k 为方程.0)1()2(2=+---m x m x m 的实根， ∴).(0)1()2(2I =+---m k m k m ① ，m k 时当= ∵k 为非零实数根，∴0≠m ，方程（I ）两边都除以m ，得.01)1()2(=+---m m m 整理，得0232=+-m m ， 解得 2,121==m m∵0)1()2(2=+---m x m x m 是关于x 的一元二次方程， ∴2≠m ∴1=m②k 为方程非零实数根，∴ 将方程（I ）两边都除以k ，得 0)1()2(=+---kmm k m 整理，得 12)1(-=-+m k kk m ∴452)1(+=+-+=m k kk m y .（2）解法一：[]1)2(3163)2(4)1(22+--=++-=----=∆m m m m m m m当41<m<2时，m>0 ， m －2<0. ∴－3m(m －2)>0 ， －3m(m －2)+1>1>0∴当41<m<2时，此方程有两个不相等的实数根. 解法二：直接分析当41<m<2时，函数m x m x m y +---=)1()2(2的图象，∵该函数图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交， ∴该抛物线必与x 轴有两个不同的交点， ∴当41<m<2时，此方程有两个不相等的实数根. 解法三：[]4)1(3163)2(4)1(222+--=++-=----=∆m m m m m m结合4)1(32+--=∆m 关于m 图象可知（如图）当41<m<2时，1637<4≤∆ 当1<m<2时，1<4≤∆， ∴当41<m<2时，△>0∴当41<m<2时，此方程有两个不相等的实数根.14．(1) 证明：如图1.∵ AF 平分∠BAD ，∴∠BAF =∠DAF ， ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD //BC ，AB //CD 。
全国初中数学竞赛预赛试题
年全国初中数学竞赛预赛试卷（荆州市） （年月日上午：〜：，满分分 ）特别说明：试卷前标有“八年级”的为八年级学生试卷，九年级的学生做不给分；试卷前标有“九年 级”的为九年级的学生试卷，八年级学生做不给分；没有特别标注的，为公共试卷，八、九年级学生都要 做. 一、单项选择题（每小题分，共分）• 一个正数的两个平方根分别是与―，则值为（ ）依此类推，则a 2009..（八年级）已知关于的方程（一）（）（）有无穷多个解，则•（九年级）已知方程x 2，mx-m *1=0 （是整数）有两个不等的正整数根，则 三、解答题（本大题共小题，每小题分，共分 ）.如图，若，，O，则/度数为（OO.已知丄―aa1=1，则一+ a 的值为（._、、5.如图，已知为的中点，设△、△、3 .S 2 = 2 S S 31.S 2 S S 32 △的面积分别为、、，则、、之间的关系式是（1.S 2 = 2 $ - S 13.S 2 S 3 S 12.已知一次函数y =ax b 的图象经过一、二、三象限，且与轴交于点（一，），则不等式 ＞的解集为（.对于任意实数、、、规定了=ad - =25 时，x ..如图，已知：△.正方形的对角线为边的等边三角形，丄. ，交延长线于，则/度数为 .如图①，直角梯形中，动点从点出发，由 -------- 沿梯形的边运动，设点运动的路程为，数图象如图②所示，则△面积为 .做数字游戏:第一步：取一个自然数，计算..第二步：算出△的面积为，函第三步：算出a 1的各位数字之和得，计算B图①a 2的各位数字之和得，计算2n 3 1 得 a 3;> —二、填空题（每小题分,AD4yD.在底面积为、高为 20cm 的长方体水槽内放人一个圆柱形烧杯(烧杯本身的质量、体积忽略不计 ).如图所示•向烧杯中注入流量一定的水•注满烧杯后。
继续注水。
直至注满槽为止 (烧杯在大水槽中的位置始终不(九年级)如图，在△中，z°,它的内切圆分别与边、、相切于点、、，连接与内切圆相交于另一点， 连接、、、， 且丨. 求证：()△ "△;EP PD () DE DC.点分别在一次函数 y = x 与y =8x 的图象上，其横坐标分别为，(>, >)，若直线为一次函数 y = kx • m 的图象，当b 是整数时？求满足条件的整数的值.a.已知函数x —2 + x —4 ()求的最小值；()若对任何实数、都有》m \-y 2 2y 成立，求实数的最大值改变)。
初三数学竞赛选拔试题(含答案)
初三数学竞赛选拔试题(含答案)初三数学竞赛选拔试题(含答案)一、选择题1. 若 3x + 2 = 17，则 x 的值是A. 5B. 7C. 9D. 112. 在一个几何图形中，有一个正方形，边长为 x 厘米，另有一个等腰直角三角形，直角边的长为 y 厘米。
已知正方形的面积是等腰直角三角形面积的 20 倍，下列等式成立的是A. x² = 20y²B. x² + y² = 20C. 20x² = y²D. x + y = 203. 若 a² - b² = 15 且 a + b = 5，则 a 的值是A. 10B. 5C. 3D. -104. 某校参加比赛的男女生比例为 5:3 ，男生比女生多 48 人，那么该校一共有多少学生？A. 320B. 480C. 800D. 9605. 以下各数中，最小的是A. -0.5B. -1/2C. -50%D. 1/-2二、填空题6. 将 120 分钟化为小时的形式，填入空白：____小时。
7. 三个角相加是 180°，如果有两个角是 50°和 80°，那么第三个角的度数是____°。
8. 分数 7/10 是小数____。
9. 甲、乙两地相距 150 公里，有两辆车同时相向而行，如果两车速度一样，则若干小时后两车相遇，填入空白：____小时。
10. （-a） ×（-a） ×（-a） ×（-a） ×（-a） ×（-a）表示的结果是____。
三、解答题11. 某衣服打对折后价格为 420 元，原价是多少元？12. 小丽拥有一些小球，其中有红球、蓝球和绿球。
红球比蓝球的 3 倍多 2 个，蓝球比绿球的 2 倍少 4 个。
如果小丽总共有 51 个球，求小丽拥有的绿球数量。
13. 若 a + b = 5 ，a - b = 3 ，求 a 和 b 的值。
初三数学竞赛试题及答案精选
全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［ ]A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜bA．1 B．2 C．3 D．43．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［ ]A．62πB．63π C．64πD．65π5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S △CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则[ ]A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0二、填空题1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。
4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠CAB＝______．第二试一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。
二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数理由。
三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。
初中数学联赛参考答案第一试一、选择题1．讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有c＝(53)11＝12511＜24311＝(35)11＝a＜25611＝(44)11＝b。
选C。
利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。
2．讲解：这类方程是熟知的。
先由第二个方程确定z＝1,进而可求出两个解：(2，21，1)、(20，3，1)．也可以不解方程组直接判断：因为x≠y(否则不是正整数)，故方程组①或无解或有两个解，对照选择支，选B。
全国初三数学竞赛试题含答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”20XX 年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足24242a b a -+++=，则a b +等于（ ）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）22．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．（A）12 （B（C ）1 （D ）2 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩， 只有正数解的概率为（ ）． （A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）36134．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点 B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）325．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（ ）．（A ）2组 （B ）3组 （C ）4组 （D ）无穷多组二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AH AB 的值为 ． 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于 ．10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11．函数22(21)y x k x k =+-+的图象与x 轴的两个交点是否都在直线1x =的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线1x =的右侧时k 的取值范围．12．在平面直角坐标系xOy 中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求二次函数2(90)4907y x =--的图象上所有“好点”的坐标．13．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．14．n个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<=；且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．答案1.【答】C ．解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为20b +=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2.【答】A ．解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BC AB AC =，即 11a a a =+， 所以， 210a a --=．由0a >，解得a =3.【答】D ．解：当20a b -=时，方程组无解．当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a b a y a b -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a 由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况． 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613． 4.【答】B ．解：根据图像可得BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，进而求得AB ＝8，故 S △ABC ＝12×8×4＝16. 5.【答】C ．解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，则判别式∆≥0，且是完全平方数．由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0， 解得 2y ≤11616.57≈．于是 显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求．当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-；当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x ==．所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩ 223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩ 6.【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k .又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kx ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相加，得()()250003000k x y k x y k +++=， 则 237501150003000x y +==+． 7.解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ． 由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EF A 中， 90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EF A ， AH AF AF AE =.而AF AB =，所以AH AB 13=. 8.【答】 10． 解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9.． 解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ．故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且90ACB ∠=︒．作EF ⊥BC ，垂足为F ．设EF ＝x ，由1452ECF ACB ∠=∠=︒，得CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以E F B F A C B C=， 即 201520x x -=， 解得607x =．所以7CE ==． 10.【答】2-．解：设报3的人心里想的数是x ，则报5的人心里想的数应是8x -．于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9的人心里想的数是 16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+，报3的人心里想的数是4(8)4x x -+=--．所以4x x =--，解得2x =-．11.解：不一定，例如，当k ＝0时，函数的图象与x 轴的交点为（0，0）和 （1，0），不都在直线1x =的右侧． ………………5分设函数与x 轴的两交点的横坐标为12,x x ，则21212(21),x x k xx k +=--=，当且仅当满足如下条件12120,(1)(1)0,(1)(1)0x x x x ∆⎧⎪-+->⎨⎪-->⎩≥ ………………10分时，抛物线与x 轴的两交点都在直线1x =的右侧．由 222(21)40,210,20,k k k k k ⎧--⎪-->⎨⎪+>⎩≥解之，得 1,41,220.k k k k ⎧⎪⎪⎪<-⎨⎪<->⎪⎪⎩≤或 ………………15分 所以当2k <-时，抛物线与x 轴的两交点在直线1x =的右侧．………………20分12.解：设2,y m =22(90)x k -=，m ，k 都是非负整数，则22770114907k m -=⨯=⨯，即 ()()7701149k m k m -+=⨯=⨯． ……………10分 则有 701,49077; 1.k m k m k m km +=+=⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩ 解得 1212354,2454,347;2453.k k m m ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 所以 312412342544,444,264,2364,120409;120409;6017209;6017209.x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩ 故“好点”共有4个，它们的坐标是：4441204092641204092544601720923646017209--（，），（，），（，），（，）. ………………20分13.解法1：结论是DF EG =．下面给出证明． ………………5分因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得CD DF BE AB=⋅． 同理可得 CE EG AD AB =⋅． ………………10分 又因为tan AD BE ACB CD CE ∠==，所以有BE CD AD CE ⋅=⋅DF EG =． ………………20分解法2：结论是DF EG =．下面给出证明．……………… 5分连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=︒，所以A ，B ，D ，E四点共圆，故 CED ABC ∠=∠． ………………10分又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠． ………………15分 所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．………………20分14.解：设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n =，，，．即 12()1n i i a a a a b n +++-=-． 于是，对于任意的1≤i j <≤n ，都有1j ii j a a b b n --=-，从而 1()j i n a a --． ………………5分由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数，故 312251n -⨯． ………………10分 由于 ()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++- ≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=-，所以，2(1)n -≤2008，于是n ≤45.结合312251n -⨯，所以，n ≤9． ………………15分另一方面，令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+，…，8871a =⨯+，982511a =⨯+，则这9个数满足题设要求．综上所述，n 的最大值为9. ………………20分（第13题）。
全国初中数学竞赛预选赛试题(湖北赛区)
20XX 年全国初中数学竞赛预选赛试题(湖北赛区)一、填空题(每小题4分，共32分)1.已知：|x|=3，|y|=2，且xy ＜0，则x+y 的值等于______.2.设，则a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac 的值为______.3.已知实数x 1，x 2满足21x -6x 1+2=0和22x -6x 2+2=0，求2112x x x x +的值为______. 4.如果一次函数y=mx+n 与反比例函数3n x y x -=的图象相交于点(12,2)，那么该直线与双曲线的另一个交点为______.5.如图1，要把边长为6的正三角纸板剪去三个三角形，得到正六边形，则它的边长为___.6.如图2，直角梯形ABCD 的中位线EF 的长为a ，垂直于底的腰AB 的长为b ，则图中阴影部分的面积为______.7.如图3，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 的中点，CM 的延长线交AB 于N ，则AN:AB 的值为______.8.如图4，BC 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 交⊙O 于点D ，若AD:DB=2:3，AC=10，sinB 的值为_____. 二、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知|a+b|+|a-b|-2b=0，在数轴上给出关于a ，b 的四种位置关系如图所示，则可能成立的有( )(A)1种 (B)2种 (C)3种 (D)4种2.已知a 、b 、c 均为正数，方程ax 2+bx+c=0有实根，则方程acx 2+b 2x+ac=0( ) (A)有两个不相等的正根 (B)有一个正根，一个负根(C)不一定有实根 (D)有两个不相等的负根3.当k 取任何实数时，抛物线y=45(x-k)2+k 2的顶点所在曲线是( ) (A)y=x 2(B)y=-x 2(C)y=x 2(x ＞0) (D)y=-x 2(x ＞0) 4.如图5，已知AB⊥CD，△ABD、△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=8，BE=3，则AC 等于( ) (A)8 (B)5 (C)35.如图6，ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 上的一点，下列条件中，不能推出△ABP 与△ECP 相似的有( )①∠APB=∠EPC ②∠APE=90° ③P 是BC 的中点 ④BP:BC=2:3 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个6.如图7，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B，已知两圆的半径r1=10，r2=17，圆心距O1O2=21，则公共弦等于( )(B)16 (D)17三、解答题1.(12分)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根.甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某项系数的符号，误求得两根为-1和4，求23 b ca的值.2.(12分)如图8，正方形表示一张纸片，根据要求需多次分割，把它分割成若干个直角三角形.操作过程如下：第一次分割，将正方形纸片分成4个全等的直角三角形，第二次分割将上次得到的直角三角形中一个再分成4个全等的直角三角形；以后按第二次分割的作法进行下去.(1)请你设计出两种符合题意的分割方案图;(2)设正方形的边长为a，请你就其中一种方案通过操作和观察将第二、第三(3)在条件(2)下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S与分割次数n有什么关系？用数学表达式表示出来.3.(17分)某中学预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定减少10个，总金额多用29元.又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元.(1)求x、y的关系式；(2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x，y的值.4.(17分)如图9，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1.(1)求△AOD和△BCD的面积；(2)若F是线段BE上任一点，FG⊥AG，G是垂足，设线段CG和OF的长分别是x和y，试写出y与x之间的关系式.(不要求写出x的取值范围).参考答案一、1.1或-1 2.15 3.16，2 4.(-1,-52) 5.2 6.12ab7.1:3 8.5二、1.B 2.D 3.A 4.D 5.A 6.B三、1.甲看错了二次项系数，设他所解的方程为a′x 2+bx+c=0，于是有： 2+4=-'b a ，2×4='c a， ∴. ①设乙看错了一次项系数的符号，则他所解的方程为ax 2-bx+c=0. 于是-1+4=ba. ② 由①，②知， △=b 2-4ac=b 2-4·3b ·(-43b)=259b 2≥0，与题设矛盾. 故乙看错的只是常数项，即他所解的方程为ax 2+bx-c=0，则 -1+4=-ba. ③ 由①，③可知：.2.(1)(2)，.(3)(n≥1，且n 为整数)3.(1)设预计购买甲、乙商品的单价分别为a 元和b 元，则原计划是： ax+by=1500， ①由甲商品单价上涨1.5元，乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个情形，得： (a+1.5)(x-10)+(b+1)y=1529. ② 再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形得： (a+1)(x-5)+(b+1)y=1563.5. ③由①，②，③得：④-⑤×2并化简，得x+2y=186.(2)依题意有：205＜2x+y＜210及x+2y=186.得54＜y＜2 553.由于y是整数，得y=55，从而得x=76. 答：略.4.(1)由切割线定理，得AE·AB=AD2.∴1×(1+2OE)=22，解得EO=32.∵D为切点，∴AD⊥OD.∵S△AOD=12AD·OD=12AD·OE=32.又由切线长定理，CD=CB.在Rt△ABC中，AB2+BC2=(AD+CD)2.∵AB=2EO+AE=4，∴42+CD2=(2+CD)2.解得：CD=3.∴AC=AD+CD=5.过点D作DM∥AB交BC于M.∵，∴，∴S△BCD=12BC·DM=12×3×125=185.(2)当AO≤AF≤AB时，∵△AFG∽△ACB，∴，..当AE≤AF＜AO时，同时有：，化简得：.。
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第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题（九年级）一、选择题（共6小题，每小题5分，共30分.）1．设a 、b 是方程0132=++x x 的两实根，则代数式2211a b+的值为（ ）A ． 5B ． 7C ． 9D ． 112．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）A ．0pB ．1pC ．2pD ．3p 3． 若整数a ，m ，n 满足n m a -=-242，则这样的a ，m ，n 的取值（ ）A ．有一组B ．有两组C ．多于两组D ．不存在 4．若质数a ，b 满足2940a b --=，则数据a ，b ，2，3的中位数是（ ） A ．4 B ．7 C ．4或7 D ．4.5或6.55． 已知321、y 、y y 分别表示二次函数、反比例函数和一次函数的三个函数值，它们的交点分别是A （-1，-2）、B （2，1）和C （32，3），规定M =｛321、y 、y y 中最小的函数值｝ 则下列结论错误的是( )A ．当1-<x 时，M =y 1B ．当0≤x ≤2时，M 的最大值是1，无最小值C ．当01<<-x 时，y 2< y 3< y 1D ．当x ≥2时，M 最大值是1，无最小值6．如图，ABC ∆中，D 、E 是BC 边上的点，1:2:3::=EC DE BD ，M 在AC 边上，2:1:=MA CM ，BM 交AD 、AE 于H 、G ，则GM HG BH ::等于（ ） A ．1:2:3 B ．1:3:5 C ．5:12:25 D ．10:24:51第5题图 第6题图二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.）7．若抛物线12--=x x y与x 轴的交点坐标为)0,(m ，则代数式20152+-m m 的值为．8．已知：定点A （3，2），动点M 在函数y x =的图象上运动，动点N 在x 轴上运动，则AMN ∆ 的周长的最小值为 ．9． 如图，△ABC 内接于⊙O ，BC = a ，CA = b ，∠A －∠B = 90°，则⊙O 的半径为 ． 10．在⊿ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 边上的高AD ＝12，能完全覆盖⊿ABC 的圆的半径 R 的最小值为_________．11．如图，E 、F 分别是□ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD 15=2cm ，S △BQC 25=2cm ，则阴影部分的面积为 2cm ．12．已知m m Q m P 158,11572-=-=（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为_________． 三、解答题（共4小题，共60分.）13．(15分) 已知关于x 的一元二次方程).(0)1()2(2为实数其中m m x m x m =+--- (1)若此方程的一个非零实数根为k ， ①的值求时当m ，m k =；②若记的关系式与求为m y y ，k kk m 52)1(+-+； (2)当41<m<2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由．14．(15分) 在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ． （1）在图1中证明CE CF =；（2）若90ABC ∠=︒，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数； （3）若120ABC ∠=︒，FG ∥CE ，FG CE =，分别连结DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数．第11题图第9题图15．(15分) 如图，五边形DEFGH 是正五边形，⊙O 是正五边形DEFGH 的外接圆，过点D 作⊙O 的切线，与GH 、FE 的延长线交分别于点B 和C ，延长HG 、EF 相交于点A ．(1)求证：∆AGF 是等腰三角形；(2)求证：点G ，F 分别是线段AB 、AC 的中点；（3）若正五边形DEFGH 周长是10cm ，求∆ABC 的周长．16．(15分) 已知抛物线2y ax bx c =++ 经过点（1，2）．（1）若a ＝1，抛物线顶点为A ，它与x 轴交于两点B 、C ，且⊿ABC 为等边三角形，求b 的值；（2）若abc ＝4，且a ≥b ≥c ，求 c b a ++ 的最小值． ．第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题第15题图九年级参考答案一、选择题：1．B 2．D 3．B 4．C 5．C 6．D 二、填空题：7．2016 8． 26 9． 2221b a + 10．86511．40 12．Q >P三、解答题：13． ∵k 为方程.0)1()2(2=+---m x m x m 的实根， ∴).(0)1()2(2I =+---m k m k m ① ，m k 时当= ∵k 为非零实数根，∴0≠m ，方程（I ）两边都除以m ，得.01)1()2(=+---m m m 整理，得0232=+-m m ， 解得 2,121==m m∵0)1()2(2=+---m x m x m 是关于x 的一元二次方程， ∴2≠m ∴1=m②k 为方程非零实数根，∴ 将方程（I ）两边都除以k ，得 0)1()2(=+---kmm k m 整理，得 12)1(-=-+m k kk m ∴452)1(+=+-+=m k kk m y .（2）解法一：[]1)2(3163)2(4)1(22+--=++-=----=∆m m m m m m m当41<m<2时，m>0 ， m －2<0. ∴－3m(m －2)>0 ， －3m(m －2)+1>1>0∴当41<m<2时，此方程有两个不相等的实数根. 解法二：直接分析当41<m<2时，函数m x m x m y +---=)1()2(2的图象，∵该函数图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交， ∴该抛物线必与x 轴有两个不同的交点，∴当41<m<2时，此方程有两个不相等的实数根. 解法三：[]4)1(3163)2(4)1(222+--=++-=----=∆m m m m m m结合4)1(32+--=∆m 关于m 图象可知（如图）当41<m<2时，1637<4≤∆ 当1<m<2时，1<4≤∆， ∴当41<m<2时，△>0∴当41<m<2时，此方程有两个不相等的实数根.14．(1) 证明：如图1.∵ AF 平分∠BAD ，∴∠BAF =∠DAF ， ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD //BC ，AB //CD 。
∴ ∠DA F=∠CE F ，∠BAF =∠F ， ∴ ∠CEF =∠F ，∴ CE =CF ．(2) ∠BDG =45︒．(3) 分别连结GB 、GE 、GC (如图2). ∵ AB //DC ，∠ABC =120︒， ∴ ∠ECF =∠ABC =120︒， ∵ FG //CE 且FG =CE ,∴ 四边形CEGF 是平行四边形． 由(1)得CE =CF , ∴□CEGF 是菱形, ∴ EG =EC ，∠GC F=∠GCE =21∠ECF =60︒． ∴ △ ECG 是等边三角形. ∴ EG =CG ,∠GEC =∠EGC =60︒, ∴∠GEC =∠GCF , ∴∠BEG =∠DCG ,由AD //BC 及AF 平分∠BAD 可得∠BAE =∠AEB ， ∴AB =BE .在□ABCD 中，AB =DC . ∴BE =DC ,∴△BEG ≅ △DCG . ∴ BG =DG ，∠1=∠2,∴ ∠BGD =∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC =60︒.∴ ∠BDG =21(180︒-∠BGD )=60︒． 15．（1）∵五边形DEFGH 是正五边形∴︒=∠=∠=∠=∠=∠108GHD FGH EFG DEF HDE∴︒=∠=∠=∠=∠72AFG AGF CED BHD ∴AG =AF∴∆AGF 是等腰三角形 4分 （2）连接OD 、OE 、OH 、DG ， ∵BC 是⊙O 的切线， ∴BC OD ⊥∴︒=∠=∠90CFO BFO 6分 又在OHD ∆与OED ∆中 有 OH =OE =OD ，HD =HE ∴OHD ∆≌OED ∆∴︒==∠54ODE ODH∴︒=∠=∠36EDC HDB 8分 ∴︒=∠=∠72C B ∴BD =DH =DE =DC ∴GBD ∆≌AGF ∆ ∴GB =AG ，∴点G 是线段AB 的中点，同理点F 是线段AC 的中点． 10分 另：证得︒=∠=∠72C B 后，可证GD ∥AC ，可得GABGDC BD =，又BD=DC ， ∴GB =AG ， ∴点G 是线段AB 的中点，同理点F 是线段AC 的中点．（3）∵五边形DEFGH 周长是10cm ，由（1）知BD =DH =GH =2cm 设xcm GB =，由（2）知，DHB ∆∽GBD ∆- 12分 ∴BD BHGB DH = 即：222-=x x ∴0422=--x x 解得：51+=x （负值舍去） 14分 由（1）和（2）知∆ABC 的周长=4GB +2BD =54822)51(4+=⨯++ ∴∆ABC 的周长是（548+）cm ． 15分 16．⑴由题意，a ＋b ＋c ＝2，∵a ＝1，∴b ＋c ＝1 抛物线顶点为A （－b 2，c －b 24）设B （x 1，0），C （x 2，0），∵x 1＋x 2＝－b ，x 1x 2＝c ，△＝b 2－4c ＞0 ∴|BC |＝| x 1－x 2|＝| x 1－x 2|2＝（x 1＋x 2）2－4 x 1x 2＝b 2－4c第15题图∵△ABC 为等边三角形，∴b 24 －c ＝ 32b 2－4c即b 2－4c ＝23·b 2－4c ，∵b 2－4c ＞0，∴b 2－4c ＝2 3∵c ＝1－b ， ∴b 2＋4b －16＝0， b ＝－2±2 5 所求b 值为－2±2 5 ⑵∵a ≥b ≥c ，若a ＜0，则b ＜0，c ＜0，a ＋b ＋c ＜0，与a ＋b ＋c ＝2矛盾.∴a ＞0． ∵b ＋c ＝2－a ，bc ＝4a ∴b 、c 是一元二次方程x 2－(2－a )x ＋4a ＝0的两实根．∴△＝（2－a ）2－4×4a ≥0， ∴a 3－4a 2＋4a －16≥0, 即（a 2＋4）(a －4)≥0，故a ≥4.∵abc ＞0，∴a 、b 、c 为全大于０或一正二负．①若a 、b 、c 均大于０，∵a ≥4，与a ＋b ＋c ＝2矛盾； ②若a 、b 、c 为一正二负，则a ＞0，b ＜0，c ＜0,则|a |＋|b |＋|c |＝a －b －c ＝a －(2－a )＝2a －2，∵ a ≥4，故2a －2≥6 当a ＝4，b ＝c ＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立． 故|a |＋|b |＋|c |的最小值为6．。