2.2矩阵的运算
2.2矩阵的运算
2). 矩阵乘法不满足消去律
AB = AC ⇒ B = C
1 0 0 0 0 0 如 A= , B = 0 1 , C = 0 0 . AB = AC , 但B ≠ C 0 0
3).两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵 3).两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵 AB=0时 一般不能得出A 若 AB=0时,一般不能得出A、B中至少有一个为零矩阵的 结论. 结论.
b1 b2 例 3 设矩阵 A = (a1 , a 2 , L,a n ) , B = , 求AB，BA . M b n
解 A1×n Bn×1 = a1b1 + a2b2 + L anbn = ∑ ai bi
n
Bn×1 A1× n
b1a1 b2 a1 = M b a n 1
k =1 i =1 i =1 k =1 i =1
n
n
n
n
n
故 AB 与 BA 的主对角线上的元素之 和相等 .
例6 用矩阵方程表示下式线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 LLLLLLLLLLLLL am1 x1 + am1 x2 + L + amn xn = bm
(1)
( 3)
(λ µ ) A = λ ( µ A)
λ ( A + B) = λ A + λ B
矩阵相加与数乘矩阵合 起来 ,统称为矩阵的线性运算 . 统称为矩阵的线性运算
二 、矩阵与矩阵的乘法
2.2矩阵的运算
定义矩阵的差为：A - B = A + (-B) .
例如，C
=
9 4
53.
C 的负矩阵为:
C
=
9 4
35 .
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二、数与矩阵相乘（数乘）
定义4.4 设A=(aij)为mn矩阵 a11 a12 a1n
A= a21 a22 a2n ， am1 am2 amn
… am2 ……
。
am1 am2 … amn
a1n a2n … amn
例如，设x=(x1 x2 xn)，y=(y1 y2 yn)，则
x1
x1y1 x1y2 … x1yn
xTy =
x2
(y1 y2 yn ) =
x2y1 x2y2 … x2yn … … ……
。
xn
xny1 xny2 … xnyn
(AB)C=C(AB)。
(4) k(AB)=(kA)B=A(kB)。
证：因为CA=AC，CB=BC，
所以有
应注意的问题：
(1) ABBA ；
(AB)C =ACBC
(2) AC=BC / A=B。 (3) AB=O / A=O或B=O。
=CACB =C(AB)， (AB)C =A(BC) =A(CB) =(AC)B =(CA)B =C(AB)。
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23 例5．设 A= 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB及BA。
2 1 0 31
23
8 7 6
解： AB= 1 2 1 2 3 = 3 0 3 ；
2.2矩阵的运算及其性质
2.2矩阵的运算及其性质1. 矩阵的加法矩阵的加法是指对应位置上的元素相加，即对两个相同大小的矩阵进行加法运算。
对于两个矩阵A和B，它们的加法运算可以表示为A + B，结果矩阵C的每个元素是A和B对应位置上元素的和。
矩阵的加法满足以下性质： - 交换律：A + B = B + A - 结合律：(A + B) + C = A + (B + C) - 零元素：存在一个零元素0，满足A + 0 = A - 负元素：对于任意矩阵A，存在一个负元素-A，满足A + (-A) = 02. 矩阵的减法矩阵的减法是指对应位置上的元素相减，即对两个相同大小的矩阵进行减法运算。
对于两个矩阵A和B，它们的减法运算可以表示为A - B，结果矩阵C的每个元素是A和B对应位置上元素的差。
矩阵的减法满足以下性质： - A - B = A + (-B)3. 矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素都乘以一个数。
对于一个矩阵A和一个数k，它们的数乘运算可以表示为k * A，结果矩阵B的每个元素都是A对应位置上的元素乘以k。
矩阵的数乘满足以下性质： - 结合律：(k1 * k2) * A = k1 * (k2 * A) - 分配律：(k1 + k2) * A = k1 * A + k2 * A - 分配律：k * (A + B) = k * A + k * B - 1 * A = A4. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指矩阵和矩阵之间的一种运算。
对于两个矩阵A和B，它们的乘法运算可以表示为A * B，结果矩阵C的元素是A的行向量与B的列向量进行内积后得到的。
矩阵的乘法满足以下性质： - 结合律：(A * B) * C = A * (B * C) - 分配律：A * (B + C) = A * B + A * C - 分配律：(B + C) * A = B * A + C * A - 乘法不满足交换律，即A *B ≠ B * A5. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
第二章矩阵的运算及与矩阵的秩
第1页，共80页。
一、矩阵的线性运算
§2.1 矩阵的基本运算
A=(aij ) m×n ，B=(bij ) m×n ，l为给定的数． （1）加法：C=(aij+bij)为矩阵A与B相加的和，记作A+B
（2）数乘：C=l(aij)为数 l与矩阵A相乘的积，记作lA
l 0 0
§2.1 矩阵的基本运算 ➢ 推论：若m×n矩阵A与B等价，则存在若干个m×m初等矩阵Pi(i=1,2-----,s)和若干个n×n初等矩阵Qj(j=1,2-----,t)使得
P 1 P 2 P sA Q 1 Q 2 Q tB
第26页，共80页。
三、矩阵的转置 定义2.3：把m×n矩阵A的行和列依次互换得到的一个n×m 矩阵，称为A的转置，记作AT或A’.
001 a 31a 32a 33a 3 4 a 31 a 32 a 33 a 34
100 a 11 a 12 a 13 a 1 4a 11 a 12 a 13 a 14 E ( 2 ,3 ( k )A ) 01k a 21 a 22 a 23 a 2 4 a 2 1 k3a 1 a 2 2 k3a 2 a 2 3 k3a 3 a 2 4 k3 a 4
上述过程也可以等同于：
a11 a12 a13 a14
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24 r 2 r3 a31 a32 a33 a34
a31 a32 a33 a34
a21 a22 a23 a24
第20页，共80页。
§2.1 矩阵的基本运算
100 a 11a 12a 13a 1 4 a 11 a 12 a 13 a 14 E (2 (k)A ) 0k0 a 21a 22a 23a 2 4 k2a 1k2a 2k2a 3k2a 4
2[1].1及2.2矩阵的概念和矩阵的运算
![2[1].1及2.2矩阵的概念和矩阵的运算](https://img.taocdn.com/s3/m/4885e82ccfc789eb172dc889.png)
( 2 )有无解及有解时如何求解显然不能再利用克莱姆法则， 此时我们也希望通过未知量系数和常数项构成的矩形数表 来进行研究,即
3 −2 1 5 2 1 − 4 − 1
3
把矩形数表用一括号括起来以表 示它的整体性，这样的矩形数表 在众多问题中经常出现，为此我 们抽象出矩阵的概念.
简记为A = a ij
( )
m ×n
或 Am ×n
5
实矩阵: 实矩阵 元素是实数 复矩阵： 复矩阵： 元素是复数
1 0 3 5 例如： 例如： 是一个 2 × 4 实矩阵 实矩阵, − 9 6 4 3
13 6 2i 是一个 3 × 3 复矩阵 复矩阵, 2 2 2 2 2 2
第 二 章
1
§2.1
2
一、引例
例 求解下列线性方程组
3 x1 − 2 x 2 + x 3 = 5 3 x1 − 2 x 2 = 5 ( 1 ) ;( 2 ) 2 x1 + x 2 = − 1 2 x1 + x 2 − 4 x 3 = − 1
用克莱姆法则易求出 1 )的解，其解由方程组的未知量系数 ( 和常数项构成的行列式确定,与未知量的记号无关. ,与未知量的记号无关
23
例3：
4 − 2 4 2 C = = 1 − 2 2× 2 − 3 − 6 2× 2
例4：
− 16 − 32 ? 16 2 × 2 8
a12 M ai 2 M am 2
L a1 s b11 L b1 j M b21 L b2 j L a is M M M bs1 L bsj L a ms
L b1n L b2 n × s× n M L bsn
《线性代数》矩阵的运算与概念
负矩阵
称矩阵
零矩阵
-a11 -a12 -a1n -a21 -a22 -a2n -am1 -am2 -amn
为A的负矩阵,记作 –A.
所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O.
行矩阵与列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小 写黑体字母 a，b，x，y 等表示.例如
反例．设 A 0 10 1 1 21 5
则 AB 0 10 1 1 21 5
， B = 1 2 3 . 2 1 0
1 2 3 无意义. 2 1 0
23 例3．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB及BA .
2 1 0 31
23 解： AB 1 2
31
1 2 3 2 1 0
8 7 6
（1）先行后列法
3. 矩阵的乘法
某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品.
产品 甲 乙 丙 丁
单价(元/箱)20 50 30 25 重量(Kg/箱)16 20 16 16
数量(箱) 产品 A B C
甲 200 180 190 乙 100 120 100 丙 150 160 140 丁 180 150 150
ABC 总价(元) 18000 18150 16750 总重(Kg)
2 1 0 31
23
8 7 6
解：AB 1 2 1 2 3 3 0 3 ；
3 1 2 1 0
5 7 9
BA 1 2 3 2 1 0
23 1 2 9 4
38 31
通常采用：先行后列法
23 例3．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB及BA .
第2章 2.2矩阵的运算
解
X 1 (B A) 2
1 2
4 4 1
6 4 2
4 2
7
4 2 2
2
3 2
2
2 2 1 1
X 1B1A 22
1 2
1
7 2
1
二、矩阵的乘法
引例 某电子集团生产三种型号的彩电，第一季
度各40万台, 20万台, 30万台, 第二季度各30万台, 10 万台, 50万台, 每万台的利润分别是400万元, 300万 元, 500万元, 第一,二季度各类产品的利润是多少 ?
对应⑴可以用矩阵形式表示为 AX B ，称为矩阵
方程。其中
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
am1 am2 amn
，X
x1 x2
xn
，
b1
B
b2
。
bm
A称为系数矩阵，A ( A | B) 称为方程组的增广矩阵 对应齐次方程组⑵可用矩阵形式表示为 AX O
-18-
例4：计算下列矩阵的乘积.
1 1 1 1
1 1
0 0
0 0
-21-
比较：
Ø在数的乘法中，若 ab = 0 a = 0 或 b = 0
在矩阵乘法中,若 AB = O A = O 或 B = O 两个非零矩阵乘积可能为O。
Ø在数的乘法中，若 ac = ad，且 a 0 c = d (消去律成立)
在矩阵乘法中, 若 AC = AD, 且 A O C = D (消去律不成立)
例1
A
1 2
0 1
2 3
,
B
1 1
3 0
4 5,
求 3A 2B
2.2高等数学矩阵的运算
x1 a12x1+a22x2+a32x3 a13x1+a23x2+a33x3） x2 x3
2 × 2 2 4 2 × 2 = 2 4 . 3 6 3×2 a13 x1 x a 23 2 把矩阵A 的行列互换, 所得到的新矩阵, 定义 把矩阵 的行列互换 所得到的新矩阵 叫 矩阵A 的转置矩阵, 记作A 做矩阵 的转置矩阵 记作 T. 1 4 1 2 2 , AT = 2 5 ; 例如: 例如 A = 4 5 8 2 8 B T = (18 6). B = 18 , 6 转置矩阵的运算性质 (1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT + BT; (3) (λA)T = λAT; (4) (AB)T = BTAT;
二、数与矩阵相乘
定义: 与矩阵A=(aij)的乘积定义为 λaij), 记作 的乘积定义为( 定义 数λ与矩阵 的乘积定义为 λA 或Aλ, 简称为数乘 即 简称为数乘 数乘. λa11 λa12 L λa1n λa λa 22 L λa 2 n . λA = Aλ = 21 L L L L λa m 1 λa m 1 L λa mn 数乘矩阵的运算规律 为同型的m× 矩阵, 为数: 设A, B为同型的 ×n 矩阵 λ, µ为数 为同型的 (1) (λµ)A = λ(µA). (2) (λ+µ)A = λA+µA. (3) λ(A+B) = λA+λB. 矩阵的加法与数乘运算, 统称为矩阵的线性运算 线性运算. 矩阵的加法与数乘运算 统称为矩阵的线性运算
2.1 矩阵的概念 2.2矩阵的运算
a11 b11 a 21 b21 a b m1 m1
a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2
a1n b1n a 2 n b2 n a mn bmn
简记为：A B (aij ) (bij ) (aij bij )
三、矩阵与矩阵的乘法
定义2· 5
B 设矩阵 A (aij ) ms ， (bij ) sn，由元素
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj
k 1
s
构成的矩阵 C (cij ) mn称为矩阵A与矩阵B的乘积。 记为 即:
a11 a i1 a m1
a12 a 22 am2
a1n a2n a mn
•
1.
矩阵概念与行列式概念的区别：
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n 一个行列式 D a n1 a n 2 a nn
代表一个数
（*）
把方程组中系数aij及常数项 bi 按原来次序取出， 作一个矩阵
a11 a 21 a m1 a12 a 22 a1n a2n b1 b2 bm m×(n+1)
=A
增广矩阵
a m 2 a mn
则线性方程组（*）与 A 之间的关系是1-1对应的
则称矩阵A与矩阵B相等。记为：A=B
1 a c 1 1 例如：若 A B 且A=B 2 b 3 0 d
则有c=0; a=-1; b=2; d=3
一、矩阵的加法
线性代数第二章 矩阵代数 S2矩阵的代数运算
(1) h( A) f ( A) g( A), s( A) f ( A)g( A).
(2) f ( A)g( A) g( A) f ( A).
24
4、n阶矩阵乘积的行列式
方阵对应着行列式，于是有如下定理：
定理：若 A，B是n阶方阵，则 |AB| = |A| |B|.
(此定理可以推广到有限个同阶矩阵的情况)
或 Al .
la11
lA
Al
la21
la12
la22
la1n
la2n
.
lam1 lam1 lamn
特别的，lE 称为数量矩阵.
6
2、线性运算的运算性质
矩阵的加（减）法和数乘统称为矩阵的线性 运算，这些运算都归结为数（元）的加法与乘法.
运算性质
设A, B为同型矩阵，l, m为数，则 ➢ l(A + B) = l A + l B ➢ (l + m)A = l A+ m A ➢ l (m A) = (lm) A
0 bn2
bnn
29
a11 a12 a21 a22
A 0 an1 an2 E B 1 0
0 1
a1n c11 c12
c1n
a2n
c21
Cc22
c2n
ann cn1 cn2
cnn
0 00
0
0 00
0
00
1 0 0
0
AC
E 0
再利用拉普拉斯定 理按后n行展开
E (1)[(n1)(n2) 2n](12 n) C
(2) 由AB＝O不能得出A、B至少有一个零矩阵.
如前面的A, B矩阵
A 1 1 ≠O, B 1 1 ≠ O,
2.2矩阵的运算
b1n c11
b2n
bsn
c21
cm1
c12 c22
c1n c2n
cm2
cmn
其中：
b1 j
cij ai1
ai 2
ais
b2 j
ai1b1 j ai2b2 j aisbsj
s
bsj aikbkj (i 1,2,m; j 1,2,n)
B可交换，简称A与B可换。
a11
例：已知 A a21
a12 a22
a13 1 0 a23 I 0 1
0 0
，求AI和IA。
a31
a32
a33
0 0 1
特别地：Em Amn Amn 简写成：EA=A
Amn En Amn
AE=A
注：单位矩阵E在矩阵的乘法中的作用类似于数1。Leabharlann (5)矩阵乘法一般不满足消去律
AC 10 3210 10 10 10 但 AB
BC 10
0 4
10
10 10
10
四、矩阵的转置
1、定义5：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，
a11
A
a21
am1
称为A的转置矩阵，记为AT或A/。
a12 a22
a1n a2n
am2
amn
a11
AT
a12
a1n
矩阵相加与矩阵的数 乘这两种运算统称为 矩阵的线性运算。
三、矩阵与矩阵相乘
1.引例：设甲乙两厂生产产品日产量如表一，这些
产品的单位价格和单位利润如表二，求甲乙两厂的
日总收入、总利润。
表一 单位:台
表二 单位:千元
产品 厂家
Ⅰ
第四讲矩阵的运算与逆矩阵
§2.2 矩阵的运算1.矩阵的加法定义：设有两个n m ⨯矩阵)(),(ij ij b B a A ==,那么矩阵A 与B 的和记作A +B ,规定为n m ij ij b a B A ⨯+=+)(设矩阵)(),(ij ij a A a A -=-=记,A -称为矩阵A 的负矩阵.显然有 0)(=-+A A . 规定矩阵的减法为)(B A B A -+=-.2.数与矩阵相乘定义:数λ与矩阵)(ij a A =的乘积记作A λ，规定为n m ij a A ⨯=)(λλ 由数λ与矩阵A 的每一个元素相乘。
数乘矩阵满足下列运算规律（设B A ,为同型矩阵，μλ,为数）： )(i )()(A A μλλμ=)(ii A A A μλμλ+=+)()(iii B A B A λλλ+=+)(3.矩阵与矩阵相乘定义:设)(ij a A =是一个s m ⨯矩阵,)(ij b B =是一个n s ⨯矩 那么规定矩阵A 与矩阵B 的乘积是一个n m ⨯矩阵)(ij c C =,其中),,2,1;,,2,1(,12211n j m i b a b a b a b a c kj sk ik sj is j i j i ij ===+++=∑=并把此乘积记作AB C =，两矩阵相乘，要求左边距阵的列等于右边矩阵的行，乘积的矩阵的行与左边的行相同，列与右边的列相同。
例3：求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=043211,012301B A 的乘积BA AB 及. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1204638311,50113BA AB 从本例可以看出AB 不一定等于BA ,即矩阵乘法不满足交换律 注:若有两个矩阵B A 、满足0=AB ,不能得出00==B A 或的结论,即矩阵乘法不满足消去律.矩阵的乘法满足下列结合律与分配律)(i )()(BC A C AB =)(ii 为数）其中λλλλ(),()()(B A B A AB == )(iii CA BA A C B AC AB C B A +=++=+)(,)(对单位矩阵E ,易知n m n n m n m n m m A E A A A E ⨯⨯⨯⨯=⋅=,可简记为 A AE EA ==4.矩阵的转置的定义：把矩阵A 的行列交换得到一个新矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作T A矩阵的转置运算满足下述运算规律(假设运算都是可行的) )(i A A T T =)()(ii T T T B A B A +=+)()(iii T T A A λλ=)()(iv T T T A B AB =)(5.对称矩阵与反对称矩阵的定义：设A 是n 阶方阵,如果满足A A T =,即),,2,1,(,n j i a a ji ij ==则称A 是对称矩阵.对称矩阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴对应相等. 如果满足A A T-=,即⎩⎨⎧=≠-=0)(ii ji ij a j i a a 则称A 是反对称矩阵.反对称矩阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴对应相反6.方阵的行列式：由n 阶矩阵A 的元素构成的行列式（各元素位置不变），称为矩阵A 的行列式，记作A 或A det设A ，B 为n 阶方阵，λ为数，则有下列等式成立：B A AB A A A A n T ===;;λλ例4：设A 是n 阶反对称矩阵，B 是n 阶对称矩阵，证明：BA AB +是n 阶反对称矩阵证明：)()()()()()(,BA AB B A A B B A A B BA AB BA AB BB A A T T T T T T T T T +-=-+-=+=+=+∴=-=所以结论成立例5：设A 是n 阶方阵，满足E AA T =,且1-=A ，求E A + 解：由于A E A E A E A A E A AA A E A T T T T +-=+-=+=+=+=+)( 所以02=+E A ，即E A +=0§2.3矩阵的逆7.逆矩阵：对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ，使E BA AB ==，则称矩阵A 是可逆的，并把B 称为A 的逆矩阵。
矩阵的运算
a11x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21
x1 a22 x2 a2n xn
b2
,
am1x1 am2 x2 amn xn bm .
令
a11
A
a 21
a m1
a12 a 22
a m1
a1n
a2n
a mn
,
x1
X
x2
xn
,
b1
称矩阵C是A与B的乘积,记作C=AB.
注意：只有当左乘矩阵A的列数等于 右乘矩阵B的行数时,乘积AB才有意义.
，
乘积矩阵AB的行数等于左乘矩阵A的行 ， 数,AB的列数等于右乘矩阵B的列数.
例2.2.2 设
1 2 3
1 1
，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A 1 1 5 , B 2 2
1
2 1
0 1
， 计算AB.
a2b2
a1bn a2bn
an
anb1 anb2 anbn
a1
BA b1 ,
b2 ,
,
bn
a2
an
b1 a1
b2 a2
bn an
n
bt at .
t 1
，
注意： 在这个例子中,AB是n阶矩阵,
，
而BA则是1阶矩阵.
例2.2.4 设
A
1 1
11,
B
1 1
11,
: :::
:
:::
， | A || B | an1 an2 ... ann a b nk k1 a b nk k 2 ... a b nk kn .
1 0 ... 0
0
线性代数 2-2矩阵的加、乘运算
a1 x a0是x的k次多
k 1
项式，Ａ是n阶矩阵，则
f ( A) ak A ak 1 A
称为矩阵Ａ的k次多项式
Байду номын сангаас
a1 A a0 In .
若 f ( x ), g( x ) 为多项式， Ａ，Ｂ皆为n阶矩阵，则
f ( A) g( A) g( A) f ( A).
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
x1 x2 , x xn
b1 b2 b bm
则线性方程组可以表示为矩阵形式
Ax b .
2.2.5
a1n a 2 n . amn
2、数乘矩阵的运算规律
（设 A、B为 m n 矩阵， , 为数）
1 A A; 2 A A A; 3 A B A B.
2.2 矩阵的加法 数量乘法 乘法
•
• • • • •
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6
矩阵的加法 数与矩阵的乘法 矩阵与矩阵的乘法 几种特殊类型的矩阵 方阵乘积的行列式 方阵的幂和方阵的多项式
2.2.1 矩阵的加法
１、定义
设有两个 m n矩阵 A a ij , B bij , 矩阵 A 与 B 的和记作 A B，规定为
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算.
B 1.定义 设 A a ij 是一个m s 矩阵， bij 是一个
2.2.3 矩阵与矩阵相乘
s n 矩阵，那末规定矩阵 A与矩阵 B 的乘积 是一个m n 矩阵 C c ij ，其中 s cij ai 1b1 j ai 2 b2 j ais bsj aik bkj
线性代数：2.2 矩阵的运算
2.两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵
例 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
则 AB 0 0, BA 2 2 ,
0 0
2 2
故 AB BA.
特别的，当AB=BA时，则称A与B可交换。
3.矩阵乘法不满足消去律，
例 设 A 12 42
2
2
2.2.5 方阵的行列式
定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det A.
例 A 2 6
3 8
则A2
3 2.
68
运算性质 1 AT A; 2 kA kn A;
3 AB A B; AB BA .
证明: a11 a1n
例 证明任一 n 阶矩阵 A 都可表示成对称阵
与反对称阵之和.
证明 设C 1 ( A AT ),
2
则CT 1
A AT
T
1
( AT
A)
C,
所以C为对称阵.
2
2
设B 1 ( A AT ), 则BT 1
2
2
A AT
T 1 (AT A) B,
2
所以B为反对称阵.
A 1 (A AT ) 1 (A AT ) C B, 命题得证.
求 ABT .
1
解法1
AB 2 1
0 3
21
1 4 2
7 2 0
1 3
AB T
0 14
1
3
17 13. 10
0 14 3, 17 13 10
解法2
ABT BT AT
A 2 0 1, 1 3 2
1 7 1 B 4 2 3 ,
矩阵的运算
§2.2 矩阵的运算一、矩阵的加法定义1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a B A 221122222221211112121111设有两个矩阵那么矩阵与的和记作，规定为n m ⨯()(),,ij ij b B a A ==A B B A +说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.把矩阵中各元素变号得到的矩阵，称为A 的负矩阵，记作–A ，即n m ij )(a A ⨯=nm ij )a (A ⨯−=−矩阵加法的运算规律()A;B B A 1+=+()()().C B A C B A 2++=++()0.A A (4)=−+矩阵的减法可定义为Ａ−B =Ａ+ (−B )A 0A (3)=+矩阵0在矩阵加法运算中与数0在数的加法运算中有同样的性质。
定义2.ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA mn m1m12n 22211n 1211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 规定为的乘积记作与矩阵数,kA A k nm ij n m ij n m )(ka )k(a kA ⨯⨯⨯==二、数与矩阵相乘()()();1A A μλλμ=()();2A A A μλμλ+=+()().3B A B A λλλ+=+数乘矩阵的运算规律矩阵加法与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）μλ,n m ⨯B A 、数乘关于数因子的结合律数乘关于数的加法的分配律数乘关于矩阵加法的分配律A1A =(4)三、矩阵与矩阵相乘例 根据下面的学生成绩表计算每个同学的总评成绩。
姓 名 平时(占35%) 期中测验(占25%) 期末考试(占40%) 总评刘 涛 79 85 88李 红 91 87 90叶 军 93 95 97计算总评成绩的公式是:总评成绩 = 平时35.0⨯+期中25.0⨯+期末40.0⨯.根据成绩表填写下面括号中的数字，计算以后就可 以得到：刘涛的总评成绩= ( 79 )×0.35 + ( 85 )×0.25 + ( 88 )×0.40 = 84.1 .( 79 )×0.35 + ( 85 )×0.25 + ( 88 )×0.40 ( 91 )×0.35 + ( 87 )×0.25 + ( 90 )×0.40( 93 )×0.35 + ( 95 )×0.25 + ( 97 )×0.40能不能用矩阵把它们表示出来？怎样表示？以上各式中的数，一部分是同学们的成绩，取出来可以得到矩阵A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=979593908791888579A另一部分是各种成绩所占百分比，取出来可以得到矩⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0.400.250.35B .例题中总评成绩算法格式相同，算式如下：以上算法可以总结为：用矩阵A 每一行的各个数分别和矩阵B 的各个数对应相乘再相加。
《线性代数与空间解析几何》哈工大版课件幻灯和习题.ppt
3 1
10.
1
2、
3
2
1
1
2
3 1 3 2 3 2 1 2 2
11 12
33 23
3 2
13 1
6 4 2
9
6 3
3、
b1
b2
b3
a11 a21
a12 a22
a13 b1 a23 b2
a31 a32 a33 b3
=( a11b1 a21b2 a31b3
a12b1 a22b2 a32b3
例3 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
则 AB 0 0, BA 2 2 ,
0 0
2 2
故 AB BA.
但也有例外，比如设
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2 2
2 2 AB BA. 此时称矩阵A、B可交换。
An2 A
aann11Ana1n2 an2 Aann2n A1n aAnn2nAnn AAnn
A
O
O
A
A
, A
故 AA A E.
同理可得
A
A
n k 1
Aki akj
A E.
五、小结
加法
数与矩阵相乘
矩 阵
矩阵与矩阵相乘
运 转置矩阵
算 方阵的行列式
对称阵与伴随矩阵 共轭矩阵
与反对称阵之和.
证明 设C A AT
则CT
A AT
T
AT
A
C,
所以C为对称矩阵.
设B A AT , 则BT A AT T AT A B,
所以B为反对称矩阵.
矩阵的运算与逆矩阵
矩阵的运算与逆矩阵矩阵是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，包括数学、物理、计算机科学和经济学等。
本文将介绍矩阵的运算以及逆矩阵的概念与计算方法。
一、矩阵的基本概念矩阵是一个按照矩形排列的数或者变量的集合。
矩阵的行数与列数分别称为其维数。
二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法将两个矩阵的相应元素进行相加，得到的结果矩阵即为它们的和。
2.2 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个矩阵的行与另一个矩阵的列进行对应元素相乘再相加的运算。
注意乘法只有当第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时才能进行。
2.3 矩阵的转置将矩阵的行与列进行交换得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
转置矩阵的行数与原矩阵的列数相等，列数与原矩阵的行数相等。
三、逆矩阵的定义与性质3.1 逆矩阵的定义对于一个n阶实矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。
3.2 逆矩阵的存在性一个n阶矩阵A存在逆矩阵的充要条件是A是一个可逆矩阵，即其行列式不为零。
当A存在逆矩阵时，逆矩阵是唯一的。
3.3 逆矩阵的性质逆矩阵的转置等于逆矩阵的逆矩阵，即(A^-1)^T = (A^T)^-1。
两个矩阵的乘积的逆矩阵等于逆矩阵的乘积，即(AB)^-1 = B^-1 *A^-1。
四、计算逆矩阵的方法4.1 初等行变换法通过初等行变换将矩阵A通过一系列矩阵的乘法变为单位矩阵I，同时对单位矩阵进行相同操作所得的矩阵即为矩阵A的逆矩阵。
4.2 行列式法对于一个n阶矩阵A，如果其行列式不为零，则通过求解伴随矩阵所得的矩阵即为A的逆矩阵。
4.3 元素法通过增广矩阵[A, E]（其中E为n阶单位矩阵）进行行变换将矩阵A变换为单位矩阵I，此时增广矩阵的右半部分即为A的逆矩阵。
五、矩阵与线性方程组利用矩阵与线性方程组的关系可以方便地求解线性方程组。
对于一个n个未知数和m个方程的线性方程组，可以将其写成矩阵形式AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵。
22矩阵运算解读
2
0
1 2 2 . 2 0 1 1 0 3 3 2 3 3 2 3 2 0 1 0 3 0 0 0 0 2
0 1 ,
求 Ak .
矩阵的乘法虽不满足交 换律，但仍满足下列结 合 律与分配律（假设运算 都是可行的）：
（ 1 ）（AB）C A（BC）；
（其中 为数） （2）（AB） （A）B A（B），
（A B）C AC BC . （3）A（B C） AB AC，
（4）设A (aij)mn , 则 Em A A , AEn A。
（ 3 ）
若想求出从t1、t2到y1、y2的线性变换, 可将(4)代入( 3)，
便得(5) y1 (a11b11 a12b21 a13b31 )t1 (a11b12 a12b22 a13b32 )t2 y2 (a21b11 a22b21 a23b31 )t1 (a21b12 a22b22 a23b32 )t2
例1
求矩阵
4 1 0 1 1 3 1 0 3 1 A 的乘积 AB . 与B 2 0 1 2 1 0 2 1 3 4 解 因为 A是 2 4矩阵，B是 4 3矩阵，
A的列数等于 B的行数， 所以矩阵 A与B 可以相乘，
在例1 中，A是 2 4 矩阵， B是 4 3 矩阵， 乘积 AB 有意义而 BA却没有意义.
由此可知 : 在矩阵的乘 法中必须注意相乘的顺 序.
AB有意义时, BA可以没有意义.
又若A是 m n 矩阵，B是 n m 矩阵， 则 AB 和 BA 都有意义， 但 AB 是 m 阶方阵，BA 是 n阶方阵，
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2 ( 3) 5 2 1 3 A B 1 4 0 ( 5) 5 5 . 3 3 7 9 0 16
若令
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A , a a a mn m1 m 2
x1 x2 X , x n
b1 b2 b , b m
ka1n ka2 n kamn
为数 k 与矩阵 A 的数量乘积, 简称数乘, 记为 kA.
根据矩阵数乘运算的定义，显然
A 就是-1与A的数乘积.
数量矩阵就是数与单位矩阵的数乘积.
kA O k 0 或 A O
2. 运算规律
设 A, B 为同型矩阵, k, l 为常数，则
7 2 0
1 3 , 1
两端乘以
1 3
得
1 8 X 3 . 3 2 0
三、矩阵与矩阵相乘
定义 4 设矩阵 A = (aij)m×p , B = (bij)p×n ,
矩阵 A 与 B 的乘积 C = AB=(cij)m×n , 其中 cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ aipbpj
的乘积 AB 及 BA.
解 由定义有
16 2 4 2 4 AB 1 2 3 6 8 0 4 2 4 2 BA 3 6 1 2 0
BA
3. 运算规律
(1) Ok×mAm×p= Ok×p , Am×pOp×n= Om×n ;
(2) 设 A 是 m × n 矩阵, Em 是 m 阶单位矩 阵, En 是 n 阶单位矩阵, 则
EmA = A,
(4) (5) (6)
AEn = A ;
(3) (AB)C = A(BC); A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA; (kE)A=kA = A(kE).
aik bkj , i = 1, 2, · · ·, m; j = 1, 2, · · ·, n ,
k 1
p
注意:
只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第
二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘.
例 3 已知
A 1, 2,3 ,
3 B 2 1
数量矩阵与任何方阵都 是可交换的。
k(AB) = (kA)B = A(kB).
四、方阵的幂
１. 定义
AA A 如果 A 是 n 阶方阵, 那么, AA 有意义,
m 个A
也有意义, 因此有下述定义:
定义
设 A 是 n 阶方阵, m 是正整数, m 个
Ａ相乘称为 Ａ 的 m 次幂，记为 Ａm , 即
例如
2 4 ,即如果 2 (3) 矩阵的乘法不满足消去律
的乘积 AB 及 BA.
4
由定义有 1 1 1 1 解 2 0 A , C 16 2 3 ,B 1 4 2 4 2 1 4 5 AB 1 2 3 6 8 2 2 AB CB 1 1 ,B O , 但 A C . 2 0 4 2 4
则上述线性方程组可写成如下矩阵形式:
AX = b.
关于矩阵的乘法运算, 需要注意以下几点:
(1) 矩阵的乘法运算不满足交换律.
AB 有定义, BA不一定有定义. 如 例 4
已知
即使AB与BA 都有定义, 它们也不一定相等. 如例 5 求矩 1 0 3 所以, 在作乘法时,应指明它们相乘的次序. A 2 1A 0 如 AB 读作 “A左乘 B”或“B 右乘 A”. 的乘积 AB 及 求 AB .
32 , 16
0 . 0
定义了矩阵的乘法运算后, 对于线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm ,
定义矩阵的差为
A A O
A - B = A + (-B) .
2. 运算规律
设 A, B, C 为同型矩阵, 则 (1) A + B = B + A ( 加法交换律) ; (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (加法结合律); (3) A + O = O + A = A, 其中 O 与 A 是同型矩阵; (4) A + ( -A ) = O .
即 A＋B = (aij + bij)m×n
比如
2 3 1 1 0 2 A , B 1 3 2 3 4 5 3 3 1 A B 2 1 3
设矩阵 A (aij ) ，记 - A = ( -aij)
称为A 的负矩阵，显然有
(3) (kA)T = kAT;
(4) (AB)T = BTAT ; (5)
(A1A2…Ak)T = AkT · · ·A2TA1T ; 若 A 为 n 阶矩阵, 则 (Am)T = (AT)m ,m Nhomakorabea为正整数;
例 7 已知
2 A 1
求 (AB)T .
0 3
1 1 , B 4 2 2
2 5 5 3 3 2 2 2 9 5 5 9 A 1 1 0 0 , , B B 4 4 5 5 , , C . C . A 4 3 4 3 3 7 3 9 3 7 3 9 (1) (1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算 问三个矩阵中哪些能进行加法运算, , 并求 并求 其和 其和, , 哪些不能进行加法运算 哪些不能进行加法运算, , 说明原因 说明原因; ;
4 1 0 3 1 1 C AB 2 1 0 2 2 1 9 2 1 9 9 11
1 1 0 3
0 3 1 4
例 5 求矩阵
2 4 2 4 A 1 2 , B 3 6
例 4 已知
1 A 2 0 1 3 0 4 1 1 ,B 2 2 1 1 1 0 3 0 3 , 1 4
讨论AB及BA是否有意义，如果有并计算其结果。
解 因为 A 是 2×4 矩阵, B 是 4×3 矩阵, A
的列数等于 B 的行数, 所以矩阵 A 与 B 可以相乘, 其乘积 AB = C 是一个 2×3 矩阵, 由矩阵乘积的 定义有
(2)
C 的负矩阵为:
9 5 C . 4 3
二、数与矩阵相乘
1. 定义 定义 3
称矩阵 设 A = ( aij )m×n , k 是一个数, 则
ka11 ka21 （kaij） mn ka m1
ka12 ka22 kam 2
1 2 = 计算 2 , 3 , n .
例 设
n
五、矩阵的转置
1. 定义
定义 5 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到
一个新矩阵, 叫做 A 的转置矩阵, 记作 AT 或 A′. 例如矩阵
1 3 2 8 A 5 2 1 0
是 解 因为 解 A 由定
2 的列数等于 B 的行 AB
(2) 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.
例如 中 A O, B O, 但 BA = O. 本节 例 5 求矩阵
A 1 2 , B 3 C. AB = CB, B O, 不一定能推出 A=
(2) (2) 求 求C C 的负矩阵 的负矩阵. .
例 设 例1 设
解 (1) A 与 B 能进行加法运算; 而 A 与 C,
B 与 C 不能进行加法运算, 因为它们不是同型矩 阵, A 和 B 都是 3×2 矩阵, C 是 2×2 矩阵.
解 (1) A 与 B 能进行加法运算; 而 A 与 C,
讨论AB及BA是否有意义，如果有并计算其结果。
解 AB 1 3 2 2 3 1 10.
3 1 3 2 3 3 3 6 9 BA 2 1 2 2 2 3 2 4 6 1 1 1 2 1 3 1 2 3
A
另外还规定，
m
AA A.
m 个A
Ａ0 = E.
2. 运算规律
设 A 为方阵, k, l 为正整数, 则
AkAl = Ak+l , (Ak)l = Akl . 又因矩阵乘法一般不满足交换律, 所以对于两个 n 阶方阵 A 与 B , 一般来说 (AB)k AkBk .
5 2 . 1 0
1 3 T 的转置矩阵为 A 2 8
2. 运算规律
设 A，B，C，A1，A2， · · ·，Ak 是矩阵，且 它们的行数与列数使相应运算有意义， k 是数，则 (1) (AT)T = A ;
(2) (B + C)T = BT + CT ;
0 2 0 2 , B , B 1 2 1 2