【新教材】数学人教B版必修第二册教学案：4.2.2 对数运算法则
新教材人教B版必修第二册 4.2.2 对数运算法则 课件(25张)
1．计算 log535＋2log2 2－log5510－log514 的值． [解析] log535＋2log2 2－log5510－log514 ＝log535＋2×12＋log550－log514 ＝log5351×450＋1＝3＋1＝4．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
规律方法：换底公式的应用 (1)一般利用常用对数或自然对数进行化简求值． (2)注意指数式与对数式的互化在求值中的应用．
(3)注意一些常见结论的应用，如对数的倒数公式log1ab＝logbA．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
知识点 二
换底公式
若a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0，则有__l_o_g_a_b_＝__lloo_gg_cc_ab____．
思考：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？
(2)你能用换底公式推导出结论 logNnMm＝mn logNM 吗？ 提示：(1)logab＝llgg ba，logab＝llnn ba． (2)logNnMm＝llggMNnm＝mnllgg NM＝mn ·llggNM＝mn logNM．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
思 考 ： 在 积 的 对 数 运 算 性 质 中 ， 三 项 的 乘 积 式 loga(MNQ) 是 否 适 用？你可以得到一个什么样的结论？
提示：适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性 质可以推广到n项的乘积．
4.2.2 对数运算法则(第1课时) 课件高一上学期数学人教B版必修第二册
4.2.2 对数运算法则(第1课时)
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数学人教B版 必修第二册
要点 1 对数的运算性质 如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，n∈R，那么： (1)loga(M·N)＝_________________； (2)logaMN ＝_______________； (3)logaMn＝______________．
D．logan M＝1nlogaM
2．若 a>0 且 a≠1，则 loga13＋loga3 等于( A )
A．0
B．1
C．－1
1 D.a
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数学人教B版 必修第二册
3．log618＋2log6 2的结果是( B )
A．－2
B．2
C. 2
D．log62
解析 原式＝log618＋log62＝log636＝2.
【解析】 lg 45＝12lg45＝12lg920 ＝12(lg9＋lg10－lg2)＝12(2lg3＋1－lg2) ＝lg3＋12－12lg2 ≈0.477 1＋0.5－0.150 5＝0.826 6.
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数学人教B版 必修第二册
探究 3 将 lg 45转化为用 lg2 与 lg3 表示的形式，是解决此 类问题的方法，其中 45＝9×210＝32×2 10的变形与准确应用对数 运算公式及有关性质是解决本类题目的关键．
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思考题 1 下列等式中 x>0，y>0，z>0，正确运用对数运算 性质的是( D )
A．lg(x2y z)＝(lgx)2＋lgy＋ lgz B．lg(x2y z)＝(lgx)2＋lgy＋2lgz C．lg(x2y z)＝2lgx＋lgy＋2lgz D．lg(x2y z)＝2lgx＋lgy＋12lgz
人教B版必修第二册 4.2.2对数运算法则 学案
4.2.2对数运算法则(教师独具内容)课程标准：1.掌握对数运算法则，并能运用对数运算法则进行对数式的化简、求值与证明.2.掌握换底公式，并能运用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数.教学重点：对数运算法则、换底公式.教学难点：对数运算法则及换底公式的应用.知识点一对数运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，那么，(1)□01log a(MN)＝log a M＋log a N；推广：□02log a(N1N2…N k)＝log a N1＋log a N2＋…＋log a N k(k∈N＋)；(2)□03log a Mα＝αlog a M；(3)□04log a M N＝log a M－log a N.知识点二对数的换底公式(1)log a b＝□01log c blog c a，其中a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1.(2)转换成自然对数或常用对数log a b＝□02ln b ln a＝□03lg b lg a.1．对数运算性质口诀积的对数变加法，商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前．2．换底公式的常用推论(1)log an b n＝log a b；(2)log am b n＝nm log a b；(3)log a b·log b a＝1；(4)log a b·log b c·log c d＝log a d.对于上述结论，都可采用换底公式证出，以(4)为例，证明如下：log a b·log b c·log c d＝lg blg a·lg clg b·lg dlg c＝lg dlg a＝log a d.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．()(2)log a(xy)＝log a x·log a y.()(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．()(4)由换底公式可得log a b＝log(－2)blog(－2)a.()答案(1)√(2)×(3)×(4)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)log325－log35＝________.(2)lg 8＋lg 53＝________.(3)若lg 5＝a，lg 7＝b，用a，b表示log75＝________.答案(1)log35(2)3(3)a b题型一对数运算法则的应用例1若a>0且a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式：①log a x·log a y＝log a(x＋y)；②log a x－log a y＝log a(x－y)；③log a(xy)＝log a x·log a y；④log a xlog a y＝log axy；⑤(log a x)n＝log a x n；⑥log a x＝－log a 1 x；⑦log a xn＝log anx；⑧log a x－yx＋y＝－log ax＋yx－y.其中式子成立的个数为() A．3 B．4 C．5 D．6[解析]对于①，取x＝4，y＝2，a＝2，则log24·log22＝2×1＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2，∴log a x·log a y＝log a(x＋y)不成立；对于②，取x＝8，y＝4，a＝2，则log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2，∴log a x －log a y＝log a(x－y)不成立；对于③，取x＝4，y＝2，a＝2，则log2(4×2)＝log28＝3，而log24·log22＝2×1＝2≠3，∴log a(xy)＝log a x·log a y不成立；对于④，取x＝4，y＝2，a＝2，则log24log22＝2≠log242＝1，∴log a xlog a y＝log a xy不成立；对于⑤，取x＝4，a＝2，n＝3，则(log24)3＝8≠log243＝6，∴(log a x)n＝log a x n不成立；⑥成立，由于－log a1x＝－log a x－1＝log a(x－1)－1＝log a x；⑧成立，由于log a x－yx＋y＝log a⎝⎛⎭⎪⎪⎫x＋yx－y－1＝－log ax＋yx－y.[答案] A例2化简：(1)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2；(3)log28＋43＋log28－4 3. [解]＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32.(2)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝5log32－(5log32－2)－3＝－1.(3)原式＝log 2(8＋43·8－43)＝log 24＝2.利用对数运算法则解决相关问题的思路(1)利用对数的运算法则解决问题的一般思路：①把复杂的真数化简；②正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的和、差、积、商再化简；③逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．(2)要注意一些常见的结论，如lg 2＋lg 5＝1，lg 1a＝－lg a 等．计算：(1)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2； (2)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8.解 (1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.(2)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2.题型二 换底公式的应用例3 (1)用log a b 表示log an b n 和log am b n (m ≠0，n ≠0)； (2)计算：(log 85＋log 25)(log 54＋log 258)；(3)已知lg 2＝a ，lg 7＝b ，用a ，b 表示log 89.8的值． [解] (1)log an b n＝lg b n lg a n ＝n lg b n lg a ＝lg blg a ＝log a b ；log am b n＝lg b n lg a m ＝n lg b m lg a ＝nm log a b .(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 5lg 8＋lg 5lg 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 4lg 5＋lg 8lg 25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 53lg 2＋lg 5lg 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2lg 2lg 5＋3lg 22lg 5 ＝23＋12＋2＋32＝143.(3)log 89.8＝lg 9.8lg 8＝lg 72×210lg 23＝2lg 7＋lg 2－13lg 2＝2b ＋a －13a.换底公式的作用换底公式的作用是将不同底数的对数式转化为同底数的对数式，将一般对数转化为自然对数或常用对数来运算，要注意换底公式的正用、逆用及变形使用．注意：在使用换底公式时，通常根据需要和从简的原则进行换底，一般换成以10或e 为底的常用对数或自然对数．(1)计算：(log 43＋log 83)lg 2lg 3； (2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645. 解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8·lg 2lg 3＝lg 32lg 2·lg 2lg 3＋lg 33lg 2·lg 2lg 3＝12＋13＝56.(2)解法一：∵18b ＝5，∴log 185＝b .又∵log 189＝a ， 于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b2－a. 解法二：∵18b ＝5，∴log 185＝b . 又∵log 189＝a ，于是log 3645＝log 18(9×5)log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a . 解法三：∵log 189＝a,18b ＝5， ∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18.∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.题型三 与对数有关的条件求值例4 (1)已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，试用a ，b 表示log 830； (2)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y 的值． [解] (1)∵lg 2＝a ，lg 3＝b ， ∴log 830＝lg 30lg 8＝lg 3＋lg 103lg 2＝b ＋13a .(2)对等式3x ＝4y ＝36各边都取以6为底的对数，得log 63x ＝log 64y ＝log 636， 即x log 63＝y log 64＝2，∴2x ＝log 63，1y ＝log 62， ∴2x ＋1y ＝log 63＋log 62＝log 66＝1，即2x ＋1y ＝1.与对数有关的条件求值问题的解题技巧(1)通过指数式化对数式求出x ，y ，再代入所求式子中进行对数运算． (2)对等式两边取对数，是一种常用的技巧，一般地给出的等式以指数形式出现时，常用此法，值得一提的是，在取对数时，要注意对底数的合理选取．已知a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z ＝0，求abc 的值． 解 解法一：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，∴x ＝log a t ，y ＝log b t ，z ＝log c t ， ∴1x ＋1y ＋1z ＝1log a t ＋1log b t ＋1log c t ＝log t a ＋log t b ＋log t c ＝log t (abc )＝0，∴abc ＝t 0＝1，即abc ＝1.解法二：∵a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ， ∴令a x ＝b y ＝c z ＝t >0， ∴x ＝lg t lg a ，y ＝lg t lg b ，z ＝lg tlg c ，∴1x ＋1y ＋1z ＝lg a lg t ＋lg b lg t ＋lg c lg t ＝lg a ＋lg b ＋lg c lg t.∵1 x ＋1y＋1z＝0，且lg t≠0，∴lg a＋lg b＋lg c＝lg (abc)＝0，∴abc＝1.1．若a>0且a≠1，x∈R，y∈R且xy>0，则下列各式不恒成立的是()①log a x2＝2log a x；②log a x2＝2log a|x|；③log a(xy)＝log a x＋log a y；④log a(xy)＝log a|x|＋log a|y|.A．②④B．①③C．①④D．②③答案 B解析∵xy>0，∴①中若x<0则不成立；③中若x<0，y<0也不成立，故选B.2．计算log916×log881的值为()A．18 B.118 C.83 D.38答案 C解析log916×log881＝lg 16lg 9×lg 81lg 8＝4lg 22lg 3×4lg 33lg 2＝83，故选C.3.已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36＝()A.a＋ba B.a＋bb C.aa＋bD.ba＋b答案 B解析log36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a＋bb，故选B.4．已知log a2＝m，log a3＝n，则log a18＝________(用m，n表示)．答案m＋2n解析log a18＝log a(2×32)＝log a2＋log a32＝log a2＋2log a3＝m＋2n. 5．(1)计算：2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1；(2)已知log35＝m,3n＝7，用m，n表示log3245.解(1)原式＝lg 2×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2－1)2＝lg 2×(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.(2)由3n＝7，得log37＝n，∴log3245＝log3(5×49)＝log35＋log372＝log35＋2log37＝m＋2n.。
03-4.2 对数与对数函数-4.2.1 对数运算 4.2.2 对数运算法则高中必修第二册人教B版
（2）［多选题］(2024·山东省淄博市期末)若,,都是正数，且 ,则( )
BCD
A. B. C. D.
【解析】设,则，， ，，，，所以 ,A错误，B正确.,因为，所以 ，则等号不成立，所以，则 ，C正确.因为，所以 ,D正确.
（3）已知,,,则 的值为___.
（2）(全国Ⅰ卷)设,则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】 因为，所以 ，
则有，所以 .
因为，所以，所以 ，所以 .
因为，所以，所以 ，两边同时平方得，所以 .
（1） ；
【解析】 .
（2） ;
【解析】 .
（3） .
【解析】 .
例1-3 将下列对数式改写成指数式：
（1） ;
【解析】 .
（2） ;
【解析】 .
（3） .
【解析】 .
例1-4 ［多选题］(2024·辽宁省大连八中期中)下列式子中正确的是( )
AB
A. B. C.若,则 D.若,则
知识点3 换底公式
例3-6 ［教材改编P24 T1］ 的值为__.
【解析】 .（【巧解】利用推论三求解： ）
例3-7 (2024·河北省唐山市期中)计算： ( )
B
A. B. C.1 D.2
【解析】原式 .
方法帮丨关键能力构建
题型1 对数的简单运算
例8 化简下列各式：
（1） ;
【解析】原式 .
B
A. B. C. D.
【解析】由对数运算法则可得 .
3.(2024·浙江省杭州市期中)若,则 ( )
C
A. B. C.1 D.
【解析】因为,所以,,所以, ,则 .
2020-2021学年新教材数学人教B版必修第二册 4.2.2 对数运算法则 学案
4.2.2 对数运算法则自主预习复习回顾问题1 对数的定义及性质有哪些?问题2 你能写出指数式与对数式的互化公式吗?问题3 指数的运算法则有哪些?课前自测1.用分数指数幂的形式表示下列各式. (1)√x 23= ;(2)1√a3= ;(3)√x√y 23= .2.用对数的形式表示x. (1)10x =25;(2)5x=6; 3.求值.(1)log 218;(2)log 48;(3)lg 1+lg 10+lg 100.4.解方程.(1)log 7(log 3x )=1;(2)(12)x 82x=4.课堂探究探究一 对数的运算法则 【证明运算法则一】log a (MN )=log a M+log a N ,a>0且a ≠1.请同学们写出探究结论: (1) (2) (3)探究二 运算法则的应用例1 用log a x ,log a y ,log a z 表示下列各式. (1)log a xy z;(2)log a (x 3y 5);(3)log a x 2√y√z3.例2 求(lg 2)2+lg 20×lg 5的值.探究三 证明、应用换底公式阅读课本第22~23页,讨论公式的证明并解决问题. 例3 求log 89×log 2732的值.变式训练求log 2125×log 38×log 519的值.课堂练习(1)已知3a=2,用a 表示log 34-log 36.(2)已知log 32=a ,3b=5,用a ,b 表示log 3√30.课堂小结(1) (2)核心素养专练【作业A 】基础练习 练习A 第4,5题. 练习B 第3,4,5题. 【作业B 】提升练习 限时20分钟完成. 1.化简求值.(1)-log 2log 2√√√2;(2)log 48-lo g 193-lo g √24;(3)log 43log 925log 58;(4)(log 25+log 415)(log 52+log 2512).2.已知log 189=a ,18b=5,则log 3645= .(用a ,b 表示) 3.设3a=4b=36,求2a +1b的值.参考★答案★自主预习复习回顾:略 课前自测: 1.(1)x 23(2)a -13(3)x 12y -232.(1)x=lg 25 (2)x=log 563.(1)-3 (2)32(3)3 4.(1)x=37(2)x=25课堂探究探究一:略例1 (1)log a x+log a y-log a z (2)3log a x+5log a y (3)2log a x+12log a y-13log a z例2 原式=(lg 2)2+(2lg 2+lg 5)·lg 5=(lg 2)2+2lg 2·lg 5+(lg 5)2=(lg 2+lg 5)2=1.例3 log 89×log 2732=lg9lg8×lg32lg27=2lg33lg2×5lg23lg3=109. 变式训练原式=12 课堂练习(1)a-1 (2)12a+b 2+12课堂小结 略核心素养专练作业A 略 作业B1.(1)3 (2)-2 (3)32(4)142.a+b2-a3.a=log 336=lg36lg3,b=log 436=lg36lg4,则2a +1b =2lg3lg36+lg4lg36=lg(32×4)lg36=1.学习目标1.通过对数运算法则的推导,培养逻辑推理的核心素养.2.通过对数运算法则的运用,培养数学运算的核心素养.自主预习认真阅读课本第20~23页,做好预习笔记. 1.积、商、幂的对数对于a>0且a ≠1,M>0,N>0, 积的对数log a (MN )=log a M+log a N. 真数为有限多个正因数相乘的情形,即 log a (N 1N 2…N k )=log a N 1+log a N 2+…+log a N k . 商的对数log a M N=log a M-log a N. 幂的对数log a M n=n log a M. 2.换底公式 log a b=log c blog c a,a>0且a ≠1,b>0,c>0且c ≠1.课堂探究一、积、商、幂的对数请同学们判断一下几组数是否相等? (1)lg 100+lg 0.1与lg (100×0.1); (2)log 28+log 24与log 232.1.你知道log 63与log 62的值吗?你能算出log 63+log 62的值吗?如果设x=log 63,y=log 62,则6x = ,6y= ,怎样由这两个式子得到x+y ?2.由指数运算的法则a αa β=a α+β能得出对数运算具有什么运算法则?一般地,设a α=M>0,a β=N>0,则有log a M=α,log a N=β.由a α+β=a αa β=MN.可知log a (MN )=α+β,代入α与β的值,有log a (MN )=log a M+log a N.(积的对数=对数的和)真数为有限多个正因数相乘的情形,即log a (N 1N 2…N k )=log a N 1+log a N 2+…+log a N k . 特别地,当正因数全部相等时,可得log a N k=k log a N (正数的k 次方的对数=正数的对数的k 倍),其中k 是正整数. 我们还可以由(a β)α=a β×α得出log a M α=αlog a M ,其中α为任意实数(证明留作练习).例如, lg 0.001=lg 10-3=-3lg 10=-3. 另外,由上面两个结论可知log a M N=log a (MN -1)=log a M+log a N -1=log a M-log a N.(商的对数=对数的差) 例1 log a x ,log a y ,log a z 表示下列各式. (1)log a xy z;(2)log a (x 3y 5);(3)log a x 2√y√z3.例2 计算下列各式的值. (1)lg 4+lg 25;(2)lg √1003;(3)log 2(47×25);(4)(lg 2)2+lg 20×lg 5.二、换底公式我们能不能借助lg 3和lg 5求出log 35的值呢?一般地,我们有 log a b=log c blog c a, 其中a>0且a ≠1,b>0,c>0且c ≠1.这一结果通常被称为换底公式. 换底公式及常用的推论 (1)log a b=log c blog c a(a>0且a ≠1,c>0且c ≠1,b>0)叫做换底公式.(2)由换底公式可得两个结论:①lo g a m b n=nm log a b ;②log a b=1log ba (或log ab ·log b a=1).例3 求log 89×log 2732的值.例4 求证lo g a t b s=s tlog a b ,其中a>0且a ≠1,b>0,s ∈R ,t ∈R 且t ≠0.三、对数式的化简求值 例5 计算下列各式的值. (1)12lg 3249-43lg √8+lg √245;(2)lg 52+23lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.对数式的化简求值这类问题一般有两种处理方法:一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂,然后化简求值.课堂练习一、积、商、幂的对数1.计算下列各式的值.;(1)log26-log23;(2)lg 5+lg 2;(3)log53-log513(4)log35-log315;(5)ln√e;(6)lg 100-2.2.已知3a=2,用a表示log34-log36.二、换底公式3.已知log32=a,3b=5,用a,b表示log3√30.4.已知lg 2≈0.301 0,求lg 5的近似值(精确到0.000 1).三、对数的运算法则5.计算:log54×log85.6.化简:√(log35)2-4log35+4.核心素养专练1.求下列各式的值.;(1)lg 0.001-log27181(2)log48+lo g14;23.(3)log7√492.(1)已知α∈R,a>0且a≠1.由(aβ)α=aβ×α,证明log a Mα=αlog a M;(2)由对数的定义证明换底公式log a b=log c blog c a.3.计算(lg5)2+lg 2×lg 50的值.4.求证log x y×log y z×log z x=1.5.比较log 62与log 63的大小.6.化简lg 5×lg 8 000+(lg2√3)2+lg 0.06-lg 6. 7.化简2lg2+lg31+12lg0.36+13lg8.参考★答案★自主预习略 课堂探究略课堂练习1.(1)1 (2)1 (3)2 log 53 (4)-1 (5)12(6)-42.由3a=2,可知a= log 32,因此原式=log 346=log 323= log 32-1=a-1. 3.log 3√30=12log 330=12(1+a+b ) 4.lg 5=1-lg 2≈1-0.301 0=0.699 0 5.236.2-log 35 核心素养专练 1.(1)-53 (2)-12 (3)232.(1)设a β=M ,则β=log a M ,所以 log a M α=log a (a β)α=log a aβ×α=α×β. 把β=log a M 代入,即可得log a M α=αlog a M.(2)设对数log a b=x ,则a x=b ,且a=√b x ,于是c log c a =√b x,则c xlog c a =b ,两边取以c 为底的对数得x log c a=log c b , 则x=log c blog c a,即log a b=log c blog c a. 3.1 4.左边=lgy lgx ×lgz lgy ×lgxlgz =1=右边 5.log 62<log 63 6.1 7.1感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
(新教材)人教B版数学必修二4.2.2对数运算法则
【内化·悟】 1.lg 2与lg 5之间有何关系? 提示:lg 2+lg 5=1,lg 2=1-lg 5,lg 5=1-lg 2. 2.应用对数运算性质求值时关键是什么? 提示:关键是对数的底数应该相同,才能利用性质合并 计算.
【类题·通】 利用对数运算求值的方法
(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对 数. (2)“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和 (差).
(2)lg xy2 =lg(xy2)-lg z=lg x+2lg y-lg z.
z
(3)lg xy3 =lg(xy3)-lg =lg x+3lg y- 1 lg z.
z
z
2
(4)lg x =lg -lg(y2z)= 1 lg x-2lg y-lg z.
y2z
x
2
【内化·悟】 利用对数运算法则化简的一般顺序是什么? 提示:先商,再积,最后幂.
()
【解析】选C.因为lg 2=m,lg 3=n, 所以 lg 12 2lg 2 lg 3 2m n 2m n .
lg 15 lg 3 lg 5 n 1 lg 2 n 1 m
2.化简
x2 y loga 3 z
.
【解析】因为 x2 y >0且x2>0, y >0,所以y>0,z>0.
【习练·破】 1.(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2=________. 【解析】原式=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2=lg 5+lg 2= lg 10=1. 答案:1
2.计算: log 27 +lg 4+lg 25. 3
【解析】原式= log ( 3
高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数对数运算法则学案新人教B版必修第二册
4．2.2 对数运算法则【课程标准】理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一 对数的运算性质若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)log a(MN)＝____________，(2)log a MN＝____________，(3)log a M n＝____________(n∈R).状元随笔 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．知识点二 对数换底公式log a b＝____________(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0).特别地：log a b·log b a＝________(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)．状元随笔 对数换底公式常见的两种变形(1)log a b·log b a＝1，即1logab＝log b a ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 .(2)log N n M m＝mnlog N M，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的mn倍．基础自测1．下列等式成立的是( ) A．log2(8－4)＝log28－log24B．log28log24＝log284C．log28＝3log22D．log2(8＋4)＝log28＋log24 2.log49log43的值为( )A．12 B．2 C．32 D．923．2log510＋log50.25＝( )A．0 B．1C．2 D．44．已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为________.课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 用已知对数表示其他对数[经典例题]例1 用lg x，lg y，lg z表示下列各式：(1)lg (xyz)；(2)lg x y2 z；(3)lg x y3z；(4)lg√xy2z.方法归纳用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：(1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；(3)注意一些派生公式的使用．跟踪训练1 如果lg2＝m，lg3＝n，则lg12lg15等于( )A．2m+n1+m+nB．m+2n1+m+nC．2m+n1−m+nD．m+2n1−m+n题型2 对数运算性质的应用[经典例题]逆用对数的运算法则合并求值．例2 (1)计算lg2＋lg5＋2log510－log520的值为( ) A．21 B．20 C．2 D．1(2)求值：log2√748＋log212－12log242.方法归纳(1)对于同底的对数的化简，常用方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).(2)对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg2＋lg5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪训练2 (1)计算：lg52＋2lg2－(12)−1＝________．利用对数运算性质化简求值．(2)求下列各式的值．①log53＋log51 3；②(lg5)2＋lg2·lg50；③lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.题型3 对数换底公式的应用[经典例题]例3 (1)已知2x＝3y＝a，1x＋1y＝2，则a的值为( )A ．36B ．6C ．2√6D ．√6(2)计算：log 89·log 2732.(3)已知log 189＝a ，18b ＝5，用a ，b 表示log 3645.状元随笔 (1)利用换底公式化简．(2)利用对数运算性质化简求值．方法归纳(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n 为底的换为a 为底．(2)换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ；log a n b m ＝mnlog a b .跟踪训练3 (1)式子log 916·log 881的值为( )A ．18 B ．118C ．83D ．38(2)已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg5＝________；(用p ，q 表示)(3)①已知log 147＝a ，14b ＝5，用a ，b 表示log 3528；②设3x＝4y＝36，求2x＋1y的值．状元随笔 (1)方法一 对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值．方法二 先求出a、b，再利用换底公式化简求值．(2)利用换底公式化简求值．4．2.2 对数运算法则新知初探·自主学习知识点一(1)log a M＋log a N (2)log a M－log a N (3)n log a M知识点二logcblog c a 1[基础自测]1．解析：由对数的运算性质易知C正确．答案：C2．解析：原式＝log39＝2.答案：B3．解析：原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.答案：C4．解析：log32＝ln2ln3＝ab.答案：a b课堂探究·素养提升例1 【解析】 (1)lg (xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.(2)lg xy2z＝lg (xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.xy3√lg (xy3)－lg√z＝lg x＋3lg y－12lg z.(4)lg √xy2z＝lg√x－lg (y2z)＝12lg x－2lg y－lg z.跟踪训练1 解析：因为lg2＝m，lg3＝n，所以lg12lg15＝2lg2+lg3lg3+lg5＝2m+nn+1−lg2＝2m+nn+1−m.答案：C例2 【解析】 (1)lg2＋lg5＋2log510－log520＝1＋log510020＝1＋1＝2.(2)原式＝12(log27－log248)＋log23＋2log22－12(log22＋log23＋log27)＝12log27－12log23－12log216＋12log23＋2－12log27－12＝－12.【答案】 (1)C (2)见解析跟踪训练2 解析：(1)lg52＋2lg2－(12)−1＝lg5－lg2＋2lg2－2＝(lg5＋lg2)－2＝1－2＝－1.(2)①log53＋log513＝log5(3×13)＝log51＝0.②(lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.③原式＝lg25＋lg823＋lg 102·lg (10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(lg10－lg2)(lg10＋lg2)＋(lg2)2＝lg100＋(lg10)2－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.答案：(1)－1 (2)见解析例3 【解析】 (1)因为2x＝3y＝a，所以x＝log2a，y＝log3a，所以1x+1y＝1log2a+1log3a＝log a2＋log a3＝log a6＝2，所以a2＝6，解得a＝±√6.又a＞0，所以a＝√6.(2)log89·log2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32 lg23·lg25lg33＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109.(3)方法一 因为log189＝a，所以9＝18a.又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818.又因为log2×1818＝1log18(18×2)＝11+log182＝11+log18189＝11+1−log189＝12−a，所以原式＝a+b 2−a.方法二 ∵18b＝5，∴log185＝b.∴log3645＝log1845log1836＝log18(5×9)log18(4×9)＝log185+log1892log182+log189＝a+b2log18189+log189＝a+b2−2log189+log189＝a+b2−a.【答案】 (1)D (2)(3)见解析跟踪训练3 解析：(1)原式＝log3224log2334＝2log32·43log23＝83.(2)lg5＝log65log610＝qlog62+log65＝qp+q.(3)①∵log147＝a，14b＝5，∴b＝log145.∴log3528＝log1428log1435＝log141427 log14(5×7)＝log14142−log147log145+log147＝2−aa+b.②∵3x＝36，4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，∴1 x ＝1log336＝1log3636log363＝log363，1 y ＝1log436＝1log3636log364＝log364，∴2x+1y＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1.答案：(1)C (2)qp+q (3)见解析。
人教B版(2019)数学必修(第二册)：4.2.2 对数运算法则 教案
对数运算法则【教学过程】一、新知初探探究1：具体数的化简求值例1：计算：（1）log 345－log 35；（2）log 2（23×45）；（3）lg 27＋lg8－lg 1 000lg1.2； （4）log 29·log 38．解：（1）log 345－log 35＝log 3455＝log 39＝log 332＝2log 33＝2．（2）log 2（23×45）＝log 2（23×210）＝log 2（213）＝13log 22＝13． （3）原式＝lg （27×8）－lg 1032lg 1210＝lg （332×23÷1032）lg 1210＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×41032lg 1210＝32lg 1210lg 1210＝32． （4）log 29·log 38＝log 2（32）·log 3（23）＝2log 23·3log 32＝6·log 23·1log 23＝6． 规律方法：具体数的化简求值主要遵循两个原则：（1）把数字化为质因数的幂、积、商的形式．（2）不同底化为同底．探究点2：代数式的化简命题角度一：代数式恒等变换例2：化简log a x 2y 3z． 解：因为x 2y 3z>0且x 2>0，y >0，所以y >0，z >0． log a x 2y 3z＝log a （x 2y ）－log a 3z ＝log a x 2＋log a y －log a 3z ＝2log a |x |＋12log a y －13log a z ． 规律方法：使用公式要注意成立条件，如lg x 2不一定等于2lg x ，反例：log 10（－10）2＝2log 10（－10）是不成立的．要特别注意log a （MN ）≠log a M ·log a N ，log a （M ±N ）≠log a M ±log a N ．命题角度二：用代数式表示对数例3：已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645．解：法一：因为log 189＝a ，18b ＝5，所以log 185＝b ，所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（9×5）log 18（18×2）＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a ．法二：因为log 189＝a ，18b ＝5，所以log 185＝b ，所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（9×5）log 18（18×2） ＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a． 法三：因为log 189＝a ，18b ＝5，所以lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18，所以log 3645＝lg 45lg 36＝lg （9×5）lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a ． 规律方法：用代数式表示对数问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元．二、课堂总结1．对数运算法则log a （MN ）＝log a M ＋log a N ，log a M α＝αlog a M ，log a M N ＝log a M －log a N ．（其中，a >0且a ≠1，M >0，N >0，α∈R ）2．换底公式log a b ＝log c b log c a ．（其中a >0且a ≠1，b >0，c >0且c ≠1） 三、课堂检测1．log 513＋log 53等于（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．log 5103答案：A2．（2019·广西南京市期中）在对数式b ＝log a －2（5－a ）中，实数a 的取值范围是（ ）A ．{a |a >5或a <2}B ．{a |2<a <5}C ．{a |2<a <3或3<a <5}D ．{a |3<a <4} 解析：选C ．由题意得⎩⎨⎧a －2>0，a －2≠1，5－a >0，解得2<a <3或3<a <5．3．log 29×log 34等于（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4答案：D4．log 327＋lg25＋lg4＋7log 72＋（－9.8）0＝________．解析：原式＝12log 333＋lg （25×4）＋2＋1＝32＋2＋3＝132． 答案：132。
人教B版(2019)数学必修(第二册)：4.2.1 4.2.2 对数运算法则 学案
对数运算法则【学习目标】1．掌握对数运算性质，理解其推导过程和成立条件。
2．掌握换底公式及其推论，能熟练运用对数的运算性质进行化简求值。
【学习重难点】1．对数运算法则。
2．换底公式。
【学习过程】问题导学预习教材P20－P23的内容，思考以下问题：1．对数运算法则是什么？2．换底公式是如何表述的？新知初探1．对数运算法则log a（MN）=log a M＋log a N，log a Mα=αlog a M，log a MN=log a M－log a N。
（其中，a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R）2．换底公式log a b=log c blog c a。
（其中a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1）■名师点拨对数的这三条运算法则，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立。
【自我检测】1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）积、商的对数可以化为对数的和、差。
（）（2）log a xy=log a x·log a y。
（）（3）log a（－2）3=3log a（－2）。
（）2．计算log916·log881的值为（）A ．18B ．118C ．83D ．383．若lg5=a ，lg7=b ，用a ，b 表示log 75等于（ ）A ．a ＋bB ．a －bC ．b aD ．a b4．lg20＋lg50的值为________。
【探究】一、具体数的化简求值1．计算：（1）log 345－log 35；（2）log 2（23×45）；（3）lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2； （4）log 29·log 38．[规律方法]具体数的化简求值主要遵循两个原则：（1）把数字化为质因数的幂、积、商的形式。
（2）不同底化为同底。
2．计算：（1）2log 63＋log 64；（2）⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 25－lg 14÷100－12； （3）log 43·log 98；（4）log 2．56．25＋ln e －0.06413。
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 对数运算法则
其中Nk>0,k∈N+.
4.对数运算法则与指数运算法则的联系(a>0且a≠1,M,N>0)
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)log93+log927=log9(3×27)=log981=2.( √ )
(2)log2(4+4)=log24+log24=4.( × )
lg10 000
2
1
3
×
+
= + =
lg (3×8)
lg3
=
5lg2
3lg3
lg3
3lg2
=
10
.
9
×
lg2
lg3
5
.
6
lg3 +3lg2
3
=1+ .
lg3
探究点三 利用对数式与指数式的互化解题
【例 3】(1)若 6 =5
x
1
=a,且
y
+
1
=1,求
a 的值.
(2)已知 a,b,c 是不等于 1 的正数,且 a =b =c
lo g 18 (9×5)
于是 log3645=
18 2
lo g 18
9
=
lo g 18 9+lo g 18 5
2lo g 18 18-lo g 18 9
=
+
.
2-
(方法三)∵log189=a,18b=5,
∴lg 9=alg 18,lg 5=blg 18.
lg45
∴log3645=lg36
=
lg (9×5)
3
2+ =3+2(lg
人教B版高中数学必修第二册 4.2 4.22 对数运算法则【课件】
8．已知 x，y，z 为正数，3x＝4y＝6z，2x＝py.
(1)求 p；
(2)求证：1z－1x＝21y.
解 (1)设 3x＝4y＝6z＝k(k>1)， 则 x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k， 由 2x＝py，得 2log3k＝plog4k＝p·lloogg334k， ∵log3k≠0，∴p＝2log34. (2)证明：1z－1x＝lo1g6k－lo1g3k＝logk6－logk3＝logk2＝12logk4＝21y， ∴1z－1x＝21y.
18
2
＝(log62)2＋(log63)2＋3log62×log63 9 ＝(log62)2＋(log63)2＋2log62×log63 ＝(log62＋log63)2 ＝1.
解
10．设 0<a<1，x，y 满足 logax＋3logxa－logxy＝3，若当 y＝ 42时，
logay 取得最小值，求 a 的值．
C．logam Mn＝
D．logaM＝lloogg((－－22))Ma
解析
由对数的运算性质知
A，B
错误；对于
C，logam
n
Mn＝logaMm
＝
mn logaM，
＝mn logaM，∴C 正确；D 中－2 不能做底数，∴D 错误．故
选 C.
2．给出下列式子： ①lg (3＋2 2)－lg (3－2 2)＝0； ②lg (10＋ 99)×lg (10－ 99)＝0；
)
A．13
B．3
C．－13
D．－3
解析 由 2.5x＝1000，0.25y＝1000 得 x＝log2.51000＝lg 32.5，y＝
log0.251000＝lg 03.25，∴1x－1y＝lg 32.5－lg 03.25＝13.
人教B版高中数学必修第二册精品课件 第四章 4.2.2 对数运算法则
3
13
= ×3=13.
3
探究三
换底公式与对数运算法则的综合应用
【例 3】 已知 3 =4
a
1
=c,且
b
+
1
=2(a,b≠0),求实数
c 的值.
1
1
1
1
解:由 3 =4 =c,得 a=log3c,b=log4c,所以 =
=logc3, =
=logc4.
log3
log4
a
b
1 1
loga =logaM-loaN其中,a>0且a≠1,M>0,N>0,α∈R.
3.求值:(1)lg 2+lg 5=
3
(2)log2 4=
答案:(1)1
;
.
2
(2)
3
二、换底公式
1.对数log32能否用lg 2和lg 3表示?能否用ln 2和ln 3表示?能否用loga2和
loga3表示?
lg2
log2 25 log2 5
log5 4
log5 8
解:(方法一)原式=(log2125+
+
)(log52+
+
)
log2 4
log2 8
log5 25 log5 125
2log2 5
log2 5
2log5 2 3log5 2
1
=(3log25+
+
)(log
+
)=
3
+
1
+
log
3log
52+
25·
52
4.2.2对数运算法则第2课时教学设计高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册
4.2.2 对数运算法则教学课时：第2课时教学目标：1.体验通过数字的乘、除运算发现对数的运算法则的过程，掌握对数的运算法则，并会简单应用；2.理解用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，掌握对数的综合运算；3.了解对数的发现历史以及对简化运算的作用，经历数学运算法则的发现、论证、提炼过程，提升数学运算、数学抽象的核心素养．教学重点：对数的运算性质，用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．教学难点：对数的运算法则和换底公式的熟练运用．教学过程：一、情境与问题回顾：根据所学的指数函数的知识完成下表：（上节课的表格）学生独立思考完成解答，教师组织学生讨论评析，进行归纳总结概括得出对数的运算法则，并引导学生类比、推导其他运算法则.由同底数的幂的指数和对数的互相转化关系可猜想：（设,a M a N αβ==,0,1a a >≠）组织学生论证猜想，具体要求：（1）请各组同学选一个猜想的命题，判断它的正确性，并给出证明 （2）各组派一名代表的同学汇报【设计意图】体验通过数字的乘、除运算发现对数的运算法则的过程，是学生经历数学运算法则的发现、论证、提炼的过程，提升数学运算、数学抽象的核心素养． 二、对数的运算法则探究一：0,1,0,0a a M N >≠>>已知且则()log log log a a a M N M N ⋅=+ 证明：设log ,a M p =log ,a N q =由对数的定义可以得： ,pM a =qN a =所以，M N ⋅=p q a a ⋅p qa +=()log a M N p q ⇒⋅=+即证得 ()log log log a a a M N M N ⋅=+性质一：0,1,0,0a a M N >≠>>已知且则()log log log a a a M N M N ⋅=+文字语言：积的对数等于对数的和，即同底的对数相加，底不变，真数相乘. 错误认识：“某同学认为：()log log log a a a M N M N ⋅=⋅”，请问错在哪里？证明：设log ,a M p =log ,a N q =由对数的定义可以得： ,pM a =q N a =文字语言：商的对数等于对数的差同底的对数相减，底不变，真数相除.探究三：0,1,0,a a M n R >≠>∈已知且则log log na a M n M =证明：设log ,a M p =由对数的定义可以得： ,pM a =所以，n np M a =log na M np ⇒=即证得 log log na a M n M =性质三：0,1,0,a a M n R >≠>∈已知且则log log na a M n M =文字语言：一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数的n 倍.错误认识：“某同学认为：log log n na a M M =（）”，请问错在哪里？总之，对数的运算法则：()0,100a a M N >≠>>，，)2loglog k a a N N N +++log log a a M N - 【设计意图】通过小组讨论、论证猜想、小组汇报等环节，使学生个科学的态度研究数学问题和数学法则，引导学生用自然语言叙述上面的三个运算法则，通过展示错误的运算，提醒学生正确掌握对数的运算性质． 三、课堂练习题型一 对数运算性质的应用练习：求下列各式的值（3）22(lg 5)2lg 2(lg 2)+-说明：（1）简易语言表达:”积的对数=对数的和”……；（2）有时可逆向运用公式； （3）真数的取值必须是(0,＋∞)；（4）注意正确理解对数的运算法则.【设计意图】在应用过程中进一步理解和掌握对数的运算法则，在练习中反馈学生对对数运算法则掌握的情况，巩固所学知识．思考2：（1）对数运算性质的实质是什么？（2）运用对数运算性质时应注意什么？对数运算性质的实质是可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘运算，从而降低了运算难度，加快了运算速度，简化了计算方法．运算性质只有当M ＞0，N ＞0，a ＞0且a ≠1时才有意义． 思考3：已知lg 2≈0.301，lg 3≈0.477，lg5≈0.699， 试计算：lg5lg 2=+lg5lg 2=- lg5lg 2=⨯ lg5lg 2=÷2log 5=问题：对数的运算法则仅适用于对数的底数相同的情形，若在解题过程中，遇到对数的底数不相同时怎么办？【设计意图】深入研究对数的运算法则，针对同底的对数运算与不同底的对数运算进行分类讨论，启发学生将不同底对数转化为同底的对数运算的想法，引出换底公式.四、换底公式证明：设log ,a N p =由对数的定义可以得： ,pN a =注意：（1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义；（2）换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的问题转化为同底数的问题进行计算、化简或证明；（3）换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底数，要由具体的已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数.重要公式：换底公式常见的两种变形：（1）log log 1a b b a ⋅=，表示真数与底数互换，所得对数值与原对数值互为倒数； （2）log log n m N N mM M n=，表示对数的底数变为原来的n 次方，真数变为原来的m 次方，所得的对数值等于原来对数的m n倍. 【设计意图】学生根据对数的定义推导对数的换底公式，了解换底公式的推导过程与思想方法，深刻理解指数与对数的关系． 五、强化练习题型二 换底公式的应用求值：()()3948log 2+log 2log 3+log 3⋅ 练习：求下列各式的值（2）248525125log 125log 25log 5)(log 2log 4log 8)++++（ 拓展：用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：（1）log a xyz ； （2）log a ．题型三 对数的综合应用求值：（1）2102,103,100;aba b-==已知求【设计意图】利用换底公式解题时常常换成常用对数，但有时还要根据具体题目确定底数． 六、课堂小结1. 对于底数相同的对数式的化简或求值，常用的方法是：（1）“收”，将同底的对数的和(差)收成积(商)的对数； （2）“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．对数的化简或求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理．选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． 2．log a 1＝0，log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1)在计算对数值时经常用到． 七、布置作业课本第23页练习A 第1.2.3题；B 第1—6题.。
4.2.2对数运算法则教学课件-高一数学人教B版必修第二册
＝lg3＋lg5 ≈ 0.477 1＋0.699 0 ≈ 1.176 1.
但是我们知道，对数的底可以是任意不等于1的正数，那么知道常用对数的
值，能不能求出任意对数的值呢？比如，能不能借助 lg3，lg5 的值算出 log35 的
5
lg 27 lg 8
lg 4 lg 25
1
1
lg 5 3lg 3 3lg 2 lg 5 9
，故 B 错误；对于 C， log 2 25 log3 log5
16
9
lg 9 2 lg 2 2 lg 5 2 lg 3 8
log 2 52 log 3 24 log 5 32
60
则 log z m 的值为_____________.
解析： log x m 24 ， log y m 40 ， log xyz m 12 ， log m x
log m xyz
1
1
， log m y
，
24
40
1
1
1
1
1
log
z
log
z
，
，解得 m
，故 log z m 60 .
log a b .
证明： log at b s
t
ln a
t ln a t ln a t
1.求值： 2 log 5 10 log 5 4 (
C)
A.1
B. log5 16
C.2
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4.2.2 对数运算法则自主预习复习回顾问题1 对数的定义及性质有哪些?问题2 你能写出指数式与对数式的互化公式吗?问题3 指数的运算法则有哪些?课前自测1.用分数指数幂的形式表示下列各式. (1)√x 23= ;(2)1a3= ;(3)√x√3= .2.用对数的形式表示x. (1)10x =25;(2)5x =6;3.求值. (1)log 218;(2)log 48;(3)lg 1+lg 10+lg 100.4.解方程. (1)log 7(log 3x )=1;(2)(12)x 82x =4.课堂探究探究一 对数的运算法则 【证明运算法则一】log a (MN )=log a M+log a N ,a>0且a ≠1.请同学们写出探究结论: (1) (2)(3)探究二 运算法则的应用例1 用log a x ,log a y ,log a z 表示下列各式. (1)log a xy z;(2)log a (x 3y 5);(3)log a 2√y√z3.例2 求(lg 2)2+lg 20×lg 5的值.探究三 证明、应用换底公式阅读课本第22~23页,讨论公式的证明并解决问题. 例3 求log 89×log 2732的值.变式训练 求log 2125×log 38×log 519的值.课堂练习(1)已知3a =2,用a 表示log 34-log 36.(2)已知log 32=a ,3b =5,用a ,b 表示log 3√30.课堂小结(1) (2)核心素养专练【作业A 】基础练习 练习A 第4,5题. 练习B 第3,4,5题. 【作业B 】提升练习 限时20分钟完成. 1.化简求值.(1)-log 2log 2√√√2;(2)log 48-lo g 193-lo g √24;(3)log 43log 925log 58;(4)(log 25+log 415)(log 52+log 2512).2.已知log 189=a ,18b =5,则log 3645= .(用a ,b 表示)3.设3a =4b =36,求2a +1b的值.参考答案自主预习复习回顾:略 课前自测:1.(1)x 23 (2)a -13 (3)x 12y -23 2.(1)x=lg 25 (2)x=log 56 3.(1)-3 (2)32(3)3 4.(1)x=37 (2)x=25课堂探究:略例1 (1)log a x+log a y-log a z (2)3log a x+5log a y(3)2log a x+12log a y-13log a z例2 原式=(lg 2)2+(2lg 2+lg 5)·lg 5=(lg 2)2+2lg 2·lg 5+(lg 5)2=(lg 2+lg 5)2=1. 例3 log 89×log 2732=lg9lg8×lg32lg27=2lg33lg2×5lg23lg3=109. 变式训练 12 课堂练习 1 (2)12a+b 2+12课堂小结核心素养专练作业B 1.(1)3 (2)-2 (3)32 (4)142.a+b2-a3.a=log 336=lg36lg3,b=log 436=lg36lg4,则2a +1b =2lg3lg36+lg4lg36=lg(32×4)lg36=1.学习目标1.通过对数运算法则的推导,培养逻辑推理的核心素养.2.通过对数运算法则的运用,培养数学运算的核心素养.自主预习认真阅读课本第20~23页,做好预习笔记. 1.积、商、幂的对数 对于a>0且a ≠1,M>0,N>0, 积的对数log a (MN )=log a M+log a N.真数为有限多个正因数相乘的情形,即log a (N 1N 2…N k )=log a N 1+log a N 2+…+log a N k . 商的对数log a M N=log a M-log a N. 幂的对数log a M n =n log a M. 2.换底公式 log a b=log c blog c a,a>0且a ≠1,b>0,c>0且c ≠1.课堂探究一、积、商、幂的对数请同学们判断一下几组数是否相等? (1)lg 100+lg 0.1与lg (100×0.1); (2)log 28+log 24与log 232.1.你知道log 63与log 62的值吗?你能算出log 63+log 62的值吗?如果设x=log 63,y=log 62,则6x = ,6y = ,怎样由这两个式子得到x+y ?2.由指数运算的法则a αa β=a α+β能得出对数运算具有什么运算法则?一般地,设a α=M>0,a β=N>0,则有log a M=α,log a N=β.由a α+β=a αa β=MN. 可知log a (MN )=α+β,代入α与β的值,有log a (MN )=log a M+log a N.(积的对数=对数的和)真数为有限多个正因数相乘的情形,即log a (N 1N 2…N k )=log a N 1+log a N 2+…+log a N k . 特别地,当正因数全部相等时,可得log a N k =k log a N (正数的k 次方的对数=正数的对数的k 倍),其中k 是正整数. 我们还可以由(a β)α=a β×α得出log a M α=αlog a M ,其中α为任意实数(证明留作练习).例如, lg 0.001=lg 10-3=-3lg 10=-3. 另外,由上面两个结论可知log a M N=log a (MN -1)=log a M+log a N -1=log a M-log a N.(商的对数=对数的差) 例1 log a x ,log a y ,log a z 表示下列各式. (1)log a xy z;(2)log a (x 3y 5);(3)log a 2√yz3.例2 计算下列各式的值. (1)lg 4+lg 25;(2)lg √1003;(3)log 2(47×25);(4)(lg 2)2+lg 20×lg 5.二、换底公式我们能不能借助lg 3和lg 5求出log 35的值呢?一般地,我们有 log a b=log c blog c a, 其中a>0且a ≠1,b>0,c>0且c ≠1.这一结果通常被称为换底公式. 换底公式及常用的推论 (1)log a b=log c blog c a (a>0且a ≠1,c>0且c ≠1,b>0)叫做换底公式.(2)由换底公式可得两个结论:①lo g a m b n =n m log a b ;②log a b=1log ba (或log ab ·log b a=1). 例3 求log 89×log 2732的值.例4 求证lo g a t b s =s tlog a b ,其中a>0且a≠1,b>0,s∈R,t∈R且t≠0.三、对数式的化简求值例5计算下列各式的值.(1)12lg 3249-43lg√8+lg√245;(2)lg 52+23lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.对数式的化简求值这类问题一般有两种处理方法:一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂,然后化简求值.课堂练习一、积、商、幂的对数1.计算下列各式的值.(1)log26-log23;(2)lg 5+lg 2;(3)log53-log513;(4)log35-log315;(5)ln√e;(6)lg 100-2.2.已知3a=2,用a表示log34-log36.二、换底公式3.已知log32=a,3b=5,用a,b表示log3√30.4.已知lg 2≈0.301 0,求lg 5的近似值(精确到0.000 1).三、对数的运算法则5.计算:log54×log85.6.化简:√(log35)2-4log35+4.核心素养专练1.求下列各式的值.;(1)lg 0.001-log271814;(2)log48+lo g123.(3)log7√492.(1)已知α∈R,a>0且a≠1.由(aβ)α=aβ×α,证明log a Mα=αlog a M;.(2)由对数的定义证明换底公式log a b=log c blog c a3.计算(lg5)2+lg 2×lg 50的值.4.求证log x y×log y z×log z x=1.5.比较log62与log63的大小.6.化简lg 5×lg 8 000+(lg2√3)2+lg 0.06-lg 6..7.化简2lg2+lg31+12lg0.36+13lg8参考答案自主预习课堂探究课堂练习(2)1 (3)2 log 53 (4)-1 (5)12(6)-42.由3a =2,可知a= log 32,因此原式=log 346=log 323= log 32-1=a-1. 3.log 3√30=12log 330=12(1+a+b ) 4.lg 5=1-lg 2≈1-0.301 0=0.699 0 5.236.2-log 35 核心素养专练1.(1)-53(2)-12(3)232.(1)设a β=M ,则β=log a M ,所以log a M α=log a (a β)α=log a a β×α=α×β.把β=log a M 代入,即可得log a M α=αlog a M.(2)设对数log a b=x ,则a x =b ,且a=√b x,于是c log c a =√b x,则c xlog c a =b ,两边取以c 为底的对数得x log c a=log c b , 则x=log c blog c a,即log a b=log c blog c a. 3.14.左边=lgy lgx ×lgz lgy ×lgxlgz=1=右边 5.log 62<log 636.17.1。