高一物理-机械能守恒题型总结(教师版)

机械能守恒定律的综合运用

【典型例题】

问题1、单一物体的机械能守恒问题：

例1. 是竖直平面内的四分之一圆弧形轨道，在下端B点与水平直轨道相切，如图所示，一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑，已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，不计各处摩擦，求：

（1）小球运动到B点时的动能；

（2）小球下滑到距水平轨道的高度为R时速度的大小和方向；

（3）小球经过圆弧形轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力各是多大。

解析：（1）小球从A滑到B的过程中，只有重力做功，机械能守恒，则

。

（2）由机械能守恒有

。

小球速度大小为，速度方向沿圆弧在该点的切线方向向下，如图所示，即图中角。由几何关系知，速度方向与竖直方向的夹角为。

（3）由机械能守恒得①

由牛顿第二定律得②

由①②式解得。

小球运动到C点，在竖直方向上受力平衡，。

答案：（1）。（2），与竖直方向夹角。（3）；mg。

变式、如图所示，O点离地面高度为H，以O点为圆心，制作四分之一光滑圆弧轨道，小球从与O点等高的圆弧最高点滚下后水平抛出，试求：

（1）小球落地点到O点的水平距离；

（2）要使这一距离最大，R应满足何条件？最大距离为多少？

解析：（1）小球在圆弧上滑下过程中受重力和轨道弹力作用，但轨道弹力不做功，即只有重力做功，机械能守恒，可求得小球平抛的初速度。

根据机械能守恒定律得

设水平距离为s，根据平抛运动规律可得

（2）因H为定值，则当时，即时，s最大，最大水平距离

。

问题2、双物体的机械能守恒问题：

例2. 如图所示，质量分别为2m、m的两个物体A、B可视为质点，用轻质细线连接跨过光滑圆柱体，B着地A恰好与圆心等高，若无初速度地释放，则B上升的最大高度为多少？

解析：释放后，系统加速运动，当A着地时B恰好达水平直径的左端，此时A、B速度均为，这一过程系统机械能守恒，此后B物体竖直上抛，求出最高点后即可得出结果，下面用机械能守恒定律的三种表达式来求解。

（1）用求解。

由

有，

得，B以竖直上抛，则上抛最大高度，故B上升的最大高度为。

（2）用△求解。

对A、B系统，△，△，

由△有，得。

同理可得。

（3）用△求解。

对A物体：△，对B物体：△。

由△有，则。

同理可得。

答案：。

变式1、如图所示，A物体用板托着，位于离地面处，轻质细绳通过光滑定滑轮与

A、B相连，绳子处于绷直状态，已知A物体质量，B物体质量，现将板抽走，A将拉动B上升，设A与地面碰后不反弹，B上升过程中不会碰到定滑轮，问：B 物体在上升过程中离地的最大高度为多大？（取）

解析：在A下降B上升的过程中，A、B组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律得

解得

代入数据有

A着地后，B做竖直上抛运动，竖直上抛能上升的高度为

代入数据有

B物体上升过程中离地面的最大高度为

。

答案：。

变式2、一轻绳通过无摩擦的定滑轮和在倾角为角的光滑斜面上的物体连接，另一端和套在光滑竖直杆上的物体连接，设定滑轮到竖直杆距离，又知物体由静止从AB连接为水平位置开始下滑时，和受力恰平衡，如上图所示，（）求：

（1）下滑过程中的最大速度；

（2）沿竖直杆能够向下滑的最大距离。

解析：（1）、与地组成的系统的机械能守恒，物体由静止开始先做加速度不断减小的加速运动，当加速度减小到0时，速度最大，此时受力平衡，随后，向下做加速度不断增大的减速运动，速度为0时下滑到最大距离，选取AB水平面为重力势能零势能面，设的最大速度为，对从B到C过程，设开始时斜面上绳长为，至C时斜面上绳长为，由机械能守恒定律：

①

设∠ACB=，则，，

则，②

又。③

再根据、此时受力平衡，可知绳子拉力：

，，

∴，④

将②、③、④代入①式，整理得：

。

（2）设沿竖直杆能够向下滑的最大距离为H，设此时斜面上绳长为，则由机械能守恒定律：

，

又，

代入上式解得。

问题3、机械能守恒与圆周运动的综合问题：

例3. 把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆（如图所示），摆长为l，最大偏角为，小球运动到最低位置时的速度是多大？

解析：小球摆动过程中受重力和细线的拉力作用，细线的拉力与小球的运动方向垂直，不做功，所以这个过程中只有重力做功，机械能守恒。

小球在最高点作为初状态，如果把最低点的重力势能定为0，在最高点的重力势能就是，而动能为零，即。

小球在最低点作为末状态，势能，而动能可以表示为

。

运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒，即

。

把各个状态下动能、势能的表达式代入，得

，

由此解出。

从得到的表达式可以看出，初状态的角越大，越小，就越大，v也就越大，也就是说，最初把小球拉得越高，它到达最下端时的速度也就越大，这与生活经验是一致的。答案：。

变式1、如图所示，用一根长为L的细绳，一端固定在天花板上的O点，另一端系一小球A，在O点的正下方钉一钉子B，当质量为m的小球由水平位置静止释放后，小球运动到最低点时，细线遇到钉子B，小球开始以B为圆心做圆周运动，恰能过B点正上方C，求OB 的距离。

解析：小球在整个运动过程中，仅受到重力和绳的拉力，而拉力对它不做功，所以在整个运动过程中机械能守恒，小球从释放位置运动到C点的过程中机械能守恒，以过C的水平面为零势能面，设小球在C点的速度为

则有：

而

所以

小球在竖直平面内以B为圆心做圆周运动，而且恰能经过C点，即在C点仅由重力提供向

心力，所以：

由以上各式可得：，则

变式2、如图所示，半径的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点A，一质量m=0.10kg的小球，以初速度在水平地面上向左做加速度的匀减速直线运动，运动后，冲上竖直半圆环，最后小球落在C点，求A、C间的距离（）

解析：匀减速运动过程中，有

。

恰好做圆周运动时物体在最高点B满足：

，得。

假设物体能到达圆环的最高点B，由机械能守恒有