大学物理刚体力学课件

对匀变速转动的特殊情形 若 则有
t 1 t t 2 2
0

恒量
2
0
2
2
0
质点直线运动与刚体定轴转动运动规律比较
运动方程
速度
x xt
dx V dt dV a dt
运动方程
角速度
加速度
角加速度
其他关系式
V
2
V 0 at
第一节
刚体的两种基本运动形式
刚体的两种基本运动形式 一 平动
刚体
水平面
结论：刚体在平动运动中，连接体内的直线在空间的指向总保 持不变，各点具有相同的速度,相同加速度。可按质点力学的规律处 理。
F M a
i
c
F dt d MV
合外 c
二 定轴转动 特点：刚体上各点绕轴在 与轴垂直的平面内做圆周运动 。各质点的速度，加速度一般 不同,可按前面的质点运动学处 理.
平行转动轴的分力的力矩平行于转动轴，不会产生轴向力矩。
二 刚体定轴转动定律 研究力矩 M 与角加速度 间的定量关系。 在刚体上取一小块， 设一刚体定轴转动中， 质量为 mi ，到轴的垂直距离为 i。 内力 f i 外力 i 据牛二律
F
i

f m a
i i
F
r

f
r
i
F
i
i
i
i
m
为简单其见，设二力的作用线在与轴 垂直的平面内。 法向分量式： F in f in mi ain mi
it it i it i i
r 切向分量式： F f m a m r
2
i
1
2
由于本题的讨论中心是角加速度与力矩的关系，而第二式含 有 ，故仅讨论第二式。
x i y i
2 mi xi 2
i 2
y
2 i
i
则有
I I I
z x
y
结论： 转动惯量 1 与质量有关,
2 与质量的分布有关, 3 与轴的位置有关。
例 2---4求由杆与球组成的体系对轴的转动惯量。
M
O
解：转动惯量具有叠加性。
m
l
R o
1
I I I
o 杆
球
例 2—5 如图，半径为 R ，质量为 m的 均质圆盘可绕通过质 心的水平轴自由转动。盘上绕一段绳，绳的两端分别系二物体 A 和 B ，如图所示。求盘的角加速度 ，二物的加速度及绳内的张力。 m1 m2 设物体运动中，绳与轮间无相对运动，而且 。 解 ：解题思路：本题似曾相识。在高中阶 段如何求解此题?轮质量不计。仅研究 A和 B 二物体，绳仅为连接体。则有
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第二章
刚体定轴转动
本章将要介绍一种特殊的质点系—刚体—所遵 从的力学规律。刚体可以看成由许多质点组成。在 外力的作用下各质元之间的相对位置保持不变。因 此，刚体是固体物件的理想化模型。
音乐
名句赏析 花径不曾缘客扫， 蓬门今始为君开。
内 容 提 要
刚体定轴转动运动学 转动定律 刚体定轴转动能定理，功能关系 角动量原理 角动量守恒定律
V r
r
固定轴
a
切向加速度
t
dV d r a r dt dt dt
d r
r a a p
n
V
t
法向加速度
a aa
2 t
V r a r
2 n
2


2 n
例题
1
d d 12t 24t dt dt 48rad 48rad 2 t 2s 时 s s 2 V r 4.8m s 2 2 2
2 1 2
m来自百度文库
2
N
转动的 正方向
oR T T
mg
2
1
1
1
1
（2） （3） （4）
B
T mgma
2 2 2
x
a R
联立可得 T 1, T 2 ,
a
mg
2
T m
2
mg
1
T m a
1
1
y
A
, a （略）。
解： 1
2
t 2 t 2s 时， 0.1m 处的 an ， t r a
例 2—1 刚体定轴转动的运动方程为 2s 时的 和 ；
2 4t ，求:
3
和 a。
a r 2.310 m s
n
r 4.8m a
t
s
2
a
2 at2 an
3.310 s
1 该式具有瞬时性（解释）。
2 矢量式为
M M I
合外 i
具体用法是：规定一转动方向为正方向，当力矩与规定正方向 一致时，取正；反之取负；当角加速度与规定正方向同向时，取正； 反之取负；通常选择转动的方向（角速度方向）为规定正方向，这 样得到了转动定律的代数式。祥见后面例题分析。

三 角加速度 若 是变化的，同理得瞬时角加速度.
固定轴
d dt
单位 弧度 矢量式为
或
d dt
或
2
t
p
2
o
减速转动
秒
2
rad
d dt
s
2


加速转动

x
刚 体
同样，在定轴转动中，角加速度仅两个 方向，当角加速度与其同向时，取正； 反之取负，详见后面例题分析。 由运动方程 t 可得 , ， , 均为代数量。
2 0
其他关系式
t
0
t d dt d dt
V t 1 at s 2 V V 2as
2 0
2
2
t 1 t 2
0
2

2
0
四 角量和线量的关系 如图示，刚体上一点绕轴在与刚体的轴 相垂直的平面内做圆周运动，P半径为 。 该点速度为 加速度
1
T m
2
2
mg
2
mg
1
T m a
1
1
m B
m
2
1
A
，因 A 和 B 质量不等，二者会加速运动，它们 的加速度大小与轮的边缘处的切向加速度的大小同值，故按转动定 律，轮所受的合外力矩定不为零，故 T 1 T 2 。
投影式： 对轮，运用转动定律，则
轮
1 T R T R m R 2 （1） 对二物体A和 B ，运用牛二律，则 A mg T ma
m
F a m
m

I
由比较知，当合外力矩M 一定时，转动惯量 I 越大， 越小， 刚体的转动状态即角速度 越难以改变，即刚体维持原有运动状态 的能力强；反之则弱。因此，转动惯量是刚体转动惯性的量度。

2 计算 转动惯量
I m r
i 1 i
N
2 i
，如图所示。
其物理意义为：各质元的质量与到轴的垂直距离的平方之积 的和。 定轴
2
2
***矢量关系 矢量式

o
R

V
V r 大小 V r sin R 方向向内: 沿 r 方向.
刚体上一质点的加速度
刚体上一质点的速度

o

r
dV d d dr a r r dt dt dt dt r V
2 r 得
i
it
对整个刚体求和
N i 1 it
F r f r m r
2 i it i i i


F
m
it
F r f r
i i 1 2 it
N
i
r
i
f
it
m r
N
因
f r0
i 1 it i
N
i 1
i
i
解释原因
N
则 令
F r m r
固定轴
刚 体
三 刚体更复杂的运动形式：平面平行运动，定点转动，举例 说明（略讲)。
平动
定轴转动
第二节
刚体定轴转动运动学
固定轴
一 刚体定轴转动的运动方程 如图，一刚体定轴转动，如何确 定该刚体的位置。 在固定轴上固结 ox 轴。 设想在刚体上有一直线 op，在刚 op 体转动中， 与 ox的夹角 t 不断 变化，是时间 t 的函数， t 一定， 则刚体的位置确定（或曰刚体上的所 有质点的位置确定）， t 变化，说明 刚体的位置变化。 因而，用 t 可确定刚体的位置。
M rF
o
定轴
r
刚体
F
o
M
r r
F1
F

分解力 F ，力对水平轴o 的力矩 M rF 1
定轴
F2
，则力矩可记为
方向：沿轴，与 r 和 F 均垂直。
矢量式
M r F
M rF sin
若力的作用线不在与轴垂直的平面内，则把力沿轴与轴垂直的 方向分解：作用线沿轴的分力对轴不产生力矩；而作用线在与轴垂 直的平面内的力的力矩可用以上方法来分析与计算。
t
p


o
x
刚 体


t
为刚体定轴转动的运动方程。 如同质点一维运动时的
x xt
则
t t t t t t
二 角速度 设
t t t
固定轴
t
p
称为角位移，代数量。 平均角速度
a
mg
2
T m
2
2
mg
1
T m a
1
1
o
m B
m
2
1
A
T T
1
2
然而，此处要考虑轮（因给出了质量和半径）-----刚体。此为 一刚体和二质点组成的物体系。如何求解：用隔离体法，分析各物 体受力。
m
N
o T
2
mg
2
T
o
1
a
此处， T T
如图示，规定力F
2
的力矩方向为正方向时，则有
M 外 R F 2 R F1
N o R
F
1
mg , N
F mg
2
也为刚体受的外力，但对轴的力矩为零。
三 转动惯量 1 物理意义
牛二律知
在力F 一定时， 越大，则加速度 a 越小，表示物体维持原来运动 状态的能力越强；反之亦然。 称为物体平动惯性的量度。简言之， 质量越大，其状态越难以改变。 由转动定律 M
第二节 刚体定轴转动定律
F ，原因是 a m
问题的提出： a 当质点运动或刚体平动时， 是运动状态， 是运动状态的变化 V
即合力 F 是产生加速度 a
的原因。
在刚体定轴转动中， 转动状态， 转动状态变化，角加速度 产生的原因是什么呢?本节回答此问题。
一 力矩 力的作用线在轴垂直的平面内,力对水平轴 o的力矩为
o
1
考虑到刚体是质量分布的连续体，则
I r dm
2
1 2
m m r 2
r
r
m
i
i
o
例 2—2 1 求均质圆环对中心轴的转动惯量。
dm
2
解：
r
o
m
R
I r dm R dm mR
2 2
可见，转动惯量与质量的大小有关。 2 求均质圆盘对中心轴的转动惯量。 解： 利用上题的结果为基础，取一圆环。
m dI 2 2rdr r R 1 I dI mR 2
2
m
2
dr
ro
R
由上可知，转动惯量与质量的分布有关。 此结果也适合圆柱体。
例 2—3 求均匀直杆的转动惯量。 1 轴过端点。2 轴过质心。 解：1 轴过端点。
2m
o
l 2
r
dm
m
l
1 I dI r dr ml l 3
d:
二轴间的距离
I d I
c
l
2
例 均质杆
1 o d ml I 12 1 ml md I 12
c 2 2 0
m
*** 垂直轴定理简介
y
薄板
I I I z 证明
z x
y
z
x
薄板
o x
对oz 轴的转动惯量
y
y
i
m
z
x
i
i
I 对 轴的转动惯量 I m y ox 对oy轴的转动惯量 I m x
0
2 轴过质心。
r dm m o
l
可见，刚体的转动惯量与轴的位置有关。
1 ml I dI 2 r dr l 12
l 2 0
2m
2
（证明略） *** 平行轴定理简介
I I md
O C
2
解释
I : 对过质心轴的转动惯量
c
o
c m
O C
I : 对与过质心轴相平行轴的
o
转动惯量
N 2 i 1 it i
M
合外力矩
F r
i 1 it
i 1 N
i
i
i
N 2 mi ri i 1 N 2 I mi r i i 1

结论
M I
合外
式中 I 称为转动惯量。 合为刚体受外力矩的代数和。 M
上式表示的内容为转动定律。 说明：
o
瞬时角速度
t
x

刚 体
即
t lim t 0 t d 对运动方程求一阶导数。 dt
单位 弧度
秒
或
rad
s
矢量性 角速度 可以定义为矢量，以 表示， 它的方向规定为沿轴的方向。其指向用右 手法则确定。 在定轴转动中，因为角速度仅有两个方 向，故可用代数量来表示其矢量性。具体做 法是：规定一转动方向为正方向，当角速度 与其同向时，取正；反之取负，详见后面例 刚 题分析。 体