刘胜新-第三章点群、空间群和晶体结构PPT课件

群中除了恒等元素外，没有其它共有元素，两个群的元素间相乘有 交换律，即
ai bj bj ai
两个群的直接积G以 GGAGB 表示：
G G A G B { a 1 b 1 , a 1 b 2 ,a . 1 b m , .a . 2 b m . ,a . n b m . } .
G是n×m阶群。 群的直接积是扩大群的一种最简单的方法。
5种点群中(e) 是该晶系的全对称点群。从这5种点群可以看到立 方晶系不一定有4次轴，例如点群(a) 和(b) 就没有4次轴。另外，立方 晶系并不一定总是具有最高的对称性，例如四方晶系的点群D4h- 4／ mmm(16阶)和六方晶系的点群D6h-6／mmm(24阶)就比立方晶系的点 群T-23(12阶)的对群中都有主导生殖对称元 素，群内其它对称元素可以由主导生殖对称元素组合增殖生成。如 果由一组矩阵表示点群，则生殖对称元素的变换矩阵就是点群的生
成矩阵。
三斜晶系
三斜晶系单胞的棱长及其夹角不受任何限制。它可能的对称操作 是1(C1)或1(i)。这晶系可以有2个点群。
1) 如果物体只有一个1(C1)恒等操作，它所属的点群是1阶的{C1)或
{1}。其熊夫利斯符号是C1，国际简略符号是l，即点群符号是C1-1。
这种点群符号和其对称操作符号相同。因为C1-1 点群只有一种单 一对称操作，所以，尽管点群符号和对称操作符号相同也不会引起混
乱。这种点群的生殖对称元素就是C1(E)，生殖矩阵就是恒等操作的
变换矩阵。这种点群的极射投影图如附图1(a)所示。
上述的两种导出方法有一个共同的缺点，就是导出点群后， 还要再确定每一种点群分属于哪一种晶系。
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C)用推导7种晶系的方法也可以推导出32种点群。对每一种晶系在保 证晶系的对称性不变的前提卞，加入可能的对称操作，这种导出方法 的优点在于使点群与晶系的关系十分明确。
下面将用这种方法导出32种点群。
在极射投影时，点群中所有对称操作都是经过投影基圆中心。1
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3.3点群的推导方法
对晶体外形的研究，人们发现共有32种晶态，每一种晶态对应 着一种点群。可以用不同方法导出32种点群。
A)从五种循环群1(C1)、2(C2)、3(C3)、4(C4)、6(C6)开始，再在每 种循环群上加进各种新的对称操作，最终导出32种点群。 例如
一组变换矩阵表示 点群 极射投影
该点群所有元素的极射投影以及一般位置点的正规点系 (Regular Plint System,RPS)的极射投影。
一般位置点指不处在对称元素上的点；正规点系是指某一点 经过点群所有对称操作导出的全部点的集合。
一般位置点的正规点系的总点数（又称等效位置点数）和点 群的阶数相等。
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群中所有元素都遵循组合律，但组合次序不能变. 有唯一的单位元素（E）。它和群中任何一个元素的组合是元素 本身。
群中每一个元素，必有一个相应的逆元素（Inverse Element）使 得两者相乘为其本身。
以一个4次对称轴C4的全部操作所构成的群G来说明4个基本性 质。
两个独立群的直接积 设有两个独立群GA和GB，其中GA是n阶群，GB 是m阶群。两个
讨论点对称操作有哪些可能的组合方式，并对晶体做进一步 划分。
3.1 群的概念和基本性质
群是某些具有相互联系规律的一些元素的组合，群的元素可 以是字母、数字、对称操作、点阵等。
任何一个群都应具有以下4个基本性质：
封闭性（Closure）
群G的n个不等效元素中，任两个元素组合或一个同类元素自 身组合都是群中的一个元素。
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子群、母群及生殖元素
子群：若群GA的全部元素是群G中的元素，并且两者的结合律 相同，称GA是群G的子群，而G是群GA的母群。如果对称元素GA和 GB能够得到G的全部对称元素，则称这两个对称元素为群G中的两 个生殖元素(Generating Element).
3.2点群的描述及图示
的全2对020/称10/点9 群。
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从上述两种点群的极射投影再一次说明在投影图上一般位置的 正规点系的数目和点群具有对称操作的数目相同，即与点群的阶数 相同。
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立方系各晶类的投影图
在(e)所示：在投影面上{111)位置4个3轴，单胞3个轴为4次轴， 过单胞3个轴两两构成3个镜面及6个{110}的镜面。一般位置点的等效 点系共有48个点。
材料结构与性能
授课教师：刘胜新 （18课时）
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第三章点群、空间群和晶体结构
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引言
群(Group）是某些具有相互联系规律的元素的组合，晶体对 称 操 作 符 合 一 定 规 律 的 组 合 ， 这 种 群 即 是 对 称 群 （ Symmetry Group）。晶体外形是一个有限对称图象，对其进行对称操作时， 至少保持一点不动，即这些操作是点对称操作，它们组成点对称 群，称为点群（Point Group）。
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在图中没有标出对称元素的投影，因为
任何方向都可以是1次轴，故不能标出它的位
置。投影图中的一般位置点的等效点只有一
个点，因为经对称操作后这个点仍在原来位
置。 2)如果物体有1(E)和1(i)对称操作，这个点
群是2阶的：{E，i}或{1，1}。点群的熊夫利
斯符号是Ci，国际简略符号是1，即点群的符
在垂直于循环群对称轴的方向加上2次对称轴；在垂直于循环 轴的方向或包含循环轴加上镜面；用非真旋转轴代替真旋转轴等。 用这些操作或者这些操作的某一种组合可能会得出一些新的点群。
B) 首先找出仅由真旋转构成的所有群，这种纯旋转结晶学点群 共有11种。然后在这11种点群的基础上，把每一种都加上反演对 称操作，又获得11种点群。由这11种中心对称点群，又可以找出 与11种纯旋转点群不同的10种非中心对称子群，最后导出了32种 点群。是一种最快和最好的方法。
号是Ci-1。这个点群的生殖对称元素是1，生殖 矩阵就是反演操作的变换矩阵。这种点群的极
射投影图如附图l(b)所示：在图的心标出对称
中心。一般位置点的等效点系是一个在上半球
(用●表示)，另一个在下半球(用○表示)的2个
等效点。
除了上述两种点群，我们不可能再增加任何对称操作而使物体仍
属于三斜晶系，所以，属于三斜晶系的晶类只有两种。 Ci-1点群的对 称操作最多(不严格地说它具有最高的对称性)，称这种点群为该晶系