高数易错题

五、解答下列各题
(本大题6分)
设 具有连续偏导数， ，试证明：
五、解答下列各题
(本大题6分)
（4分）
故 （6分）
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六、解答下列各题
(本大题4分)
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求方程 的通解。
5分 （10分）
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因为级数
， ， ，
……2分
均收敛，所以有
……6分
……10分
（4分）
代入方程得
由此求得
（7分）
方程有特解：
（8分）
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四、解答下列各题
(本大题6分)
求级数 的和
四、解答下列各题
(本大题6分)
。……6分
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（3）（3分）
解（3）得
（4）（8分）
由初始条件（2）得
故（1），（2）问题的解为
（10分）
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已知二阶齐次线性方程的一个基本解组为： ，写出此方程。
3、(本小题5分)
解法一：
（1）（2分）
（2）
（3）（4分）
求微分方程 的一个特解。
特征方程 的根为 2分
设特解为 4分
代入方程得 10分
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求微分方程 的通解。
解： ，3分
。10分
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解法一
原式= 2分
=2 4分
=2 6分
解法二
于是： 1分
两式相减得：
=
因此 5分
故而 ， 6分
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设 ，求 。
（6分）
（10分）
（注：答案为 者扣3分）
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令 4分
由
得驻点 8分
由于实际问题必定存在最大值，因此满足条件圆柱体的底圆半径为 ，高为 。
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证明：不存在函数 满足 。
设存在函数 ，则由 知
与 无关）（4分）
而
故 矛盾。（10分）
所以 ，故原级数发散。（10分）
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3、设 ，则 =。
3、1（10分）
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试确定级数 ，使它的和为 ，且满足
余项
或 为所求方程。（10分）
解法二：设所作二阶齐次线性方程为
（1）（2分）
以 代入（1）得
解得
（8分）
所求方程为
（10分）
解法三：由
（1）（2分）
（2）
（3）（4分）
是任意常数，(1)，(2)，(3)相容（6分）
（8分）
即
（10分）
==============================================
即 （10分）
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如果幂级数 在 处条件收敛，那么该
级数的收敛半径是多少试证之.
5、(本小题6分)由题意,知:
当 时,级数绝对收敛；……4分
当 时,级数不可能收敛. ……8分
故收敛半径是2.……10分
并问它是绝对收敛还是条件收敛。
由 ，得
（3分）
即所求级数是一个公比为 的等比级数（5分）
又由 ，得
（7分）
故级数为 （9分）
该级数绝对收敛。（10分）
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求方程 的通解。
原方程化为 1分
解二：
因 与 处处连续，故 处处成立，矛盾。
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4、幂级数 的收敛区间为。
4、
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计算二重积分 其中D：0≤x≤1,0≤y≤1.
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4、若 ，则 =
(A) (B)
(C) (D)
答（）
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判别级数 的敛散性。
六、解答下列各题
(本大题4分)
记 (2分)
而 收敛（3分）
故 收敛。（4分）
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解一：原方程化为
（3分）
（6分）
积分得： 即为所求方程，或
（10分）
解二：方程（1）化为
令 代入（1）得 4分
积分得 ，通解为 。（10分）
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试确定出定义在 的正实值函数，使它对于每一正数 ，函数 在闭区间 上的积分平均值等于 =1与 的几何平均值。
依题意得
（Βιβλιοθήκη Baidu分）
两边关于 求导，并记 ，得方程
解得
（8分）
求函数 展开成 的幂级数，并
计算 的值。
由于 ……2分
所以 ……6分
……10分
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求微分方程初值问题 的解。
（4分）
（8分）
由初始条件得：
解为： （10分）
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9、(本小题6分)
求微分方程 的通解。
9、(本小题6分)
（3分）
（6分）
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11、(本小题8分)
求微分方程 的一个特解。
11、(本小题8分)
特征方程： 的根为：
故可设特解为
求微分方程 的通解。
解：令 2分
原方程化为： ， 6分
积分得： ，即 ，
所以通解为 。10分
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将 展开为x的幂级数。
： ，2分
，
8分
所以 =
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设 有连续偏导数， ，求 。
（10分）
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证明级数 绝对收敛。
（6分）
而 收敛。（8分）
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设 ，试判别级数 的敛散性。
因 （4分）
而 （8分）
设 由方程 所确定，其中 具有一阶连续偏导数，
证明： =1。
： ， ，4分
， 8分
所以 (10分)
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试讨论函数 的连续性。
解：由于 是初等函数，所以除 以外的点都连续，但在 上的点处不连续。
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判别级数 的敛散性。
设 ，于是
（6分）
故 发散。（10分）
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设 ，问 与 是否存在？若存在，求其值。
不存在
即 不存在（5分）
即 （10分）
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求级数1+3x+5 在 内的和函数。
判别级数 的敛散性。
记
（3分）
，故
因而 （8分）
由此得 ，故所论级数发散。（10分）
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求内接于半径为R的球且具有最大体积的圆柱体的尺寸。
设圆柱体的底圆半径为 米，高为 米
则圆柱体体积 ，且