第3.4讲 复变函数 解析函数
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(9) ln z 1 , (z 0) z
(10) [sin z] cos z ；
(11) cos z sin z ；
(12) [tan z] 1 ； cos2 z
(13) [sh z] ch z ； (14) [ch z] sh z .
例 2.2.2 研究函数w 1 的解析性. z
f
(z0
z) z
f
(z0 )
如果函数 w f (z) 在区域 D 中处处可导，则称 f (z) 在 D 内可 导，f (z) 称为 f (z) 在 D 内的导函
数，简称为导数.
2. 求复变函数导数实例
例 2.1.1 用导数的定义证明公式：
(zn ) nzn1 （n 为正整数）
如果 f (z) 在 z0点不解析，那么称 z0 点为 f (z) 的奇点。
注意：复变函数的可导、连续与解析之间的关系
我们知道：若复变函数在某点连续，则该函数在该点极 限一定存在，反之不一定成立.那么可导与连续有何关系？ 若函数在某点可导，必在该点连续．但反之不一定成立.
如上例 f (z) z ，显然在复平面上处处连续．但在复平面
ux 1, v y 1, uy 0, v x 0
即 ux v y ，显然在复平面处处不满足C-R条件，故 原函数在复平面处处不可导。
说明：上述例题告诉我们，用C-R条件来判断函数不可导是方 便的．但当满足C-R条件时，函数就一定可导吗？
P27. 有另解
注意： C-R条件只是复变函数可导的必要条件， 而非充分条件。
(4) {f [g(z)]} f (w)g(z); 其中w g(z) ；
(5) 若 z (w ) 是函数w f (z) 的反函数，且 f (z) 0, 则
dz (w ) 1 ；
dw
f [(w )]
(6) (c) 0 ，其中 c 为复常数； (7) (zn ) nzn1 ，其中 n 为正整数； (8) [ez ] ez ；
y 0
iy
= 1 u v i u v i y y y y
两者应该相等，故有
u i v i u v x x y y
u v , x y
v u x y
可以简写为： ux v y , vx uy
定理3.1 若函数 w f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域D内有定 义，于点 z x iy 可导的充要条件是
u 2x x
v x y
v y
u 0
x
y
容易看出，这四个偏导数处处连续，但是仅当 x y 0
时， 它们才满足柯西-黎曼方程，因而函数 w z Re(z)
仅在 z 0 可导， 但在复平面内任何地方都不解析.
3.3 初等解析函数
可以将复变数的初等函数作为实变数的初等函数在复数 域中的自然推广. 但当复数退化为实数时，要满足实数的性质， 而取复数时，复变函数可以具有与实变函数不同的性质. 我们 知道，实数域中的正弦、余弦函数是有界函数，但我们即将看 到复变函数的正弦、余弦函数却不再有界；实数域中负数无对 数，但在复数域中，对数函数不再受此限制.事实上，我们也希 望能找到定义域更加广阔的，且不受任何限制的数域及其与之 对应的函数. 复数域及其对应的初等解析函数（或称为初等复 变函数）为我们提供了方便.
如果函数 f (z) 在 z0 及其邻域内处处可导，那么称 f (z)在 z0 点处解析。如果 f (z) 在区域D内每一点解析，那么称 f (z) 在 D
内解析，或称 f (z) 是 D 内的一个解析函数
（又称为全纯函数或正则函数）。
解析函数这一重要概念是与区域密切联系的．我们说函 数 f (z) 在某点 z0 解析， 其意义是指 f (z在 ) z0 点及其邻域内可 导.
小量，而 f (z0)z是函数 w f (z) 的改变量w 的线性
部分. 我们称 f (z0)z 为函数 w f (z) 在点z0 的微分，
记作
dw f (z0)z
如果函数在 z0 的微分存在，则称函数在该点可微。
3.1解析函数的概念
1.解析函数概念 定义 2.2.1 解析函数 奇点
第三讲 解析函数
解析函数：将微积分的理论用于复变量的函数， 就形成了所谓的解析函数论---它是实数变量的 函数的推广。
本质：是两个复数集合之间的一种对应关系，它 是复变函数研究的主要对象。
3.1 复变函数的导数与微分 1.复变函数导数概念 定义 2.1.1 复变函数的导数
设函数w f (z)定义于区域 D，z0为D 内一点，且点
去分母为零的点）在 D 内解析.
3. 判断函数解析的实例 例 2.2.4 判定下列函数在何处可导， 在何处解析:
(1) w z Re(z) 2) 练 习
（2 f (z) ex (cos y isin y) .
【解】 (1) 由 w z Re(z) x2 i xy ，得 u x2,v xy ，所以
来定义指数函数． ez exi y ex (cos y i sin y)
（1） u(x, y), v(x, y)在点（x, y)处可微
（2）在点 (x, y) 满足 柯西(Cauchy)－黎曼(Riemann)
方程，或柯西－黎曼条件（简称为C-R条件）：
u v , x y
v u x y
➢ 定理：函数 w f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域D内解析的充要 条件是 （x, y)和（x, y) 在D内可微，并且满足C—R 条件
z0 z D如, 果极限
lim f (z0 z) f (z0)
z0
z
存在，则称函数w f (z) 在点 z0 可导，此极限值称 为 f (z) 在点 z0 的导数，记为
f (z0 ) 或
dw dz
|z z0
即
dw dz
| zz0
f
(
z0
)
lim
z z0
【证明】设 f (z) zn ，故
f (z z) f (z) (z z)n zn
z[nzn1 n(n 1) zn2z (z)n1] 2
lim f (z z) f (z) nzn1
z 0
z
例 2.1.2 讨论函数 f (z) z 在复平面上的可导性.
x0
x
= u i v x x
（2）沿平行于虚轴的方向趋于零 (x 0, z iy 0 )
f (z) lim f (z z) f (z)
z 0
z
lim u(x, y y) u(x, y) i[v(x, y y) v(x, y)]
(1) [ f (z) g(z)] f (z) g(z);
(2) [ f (z) g(z)] f (z)g(z) f (z)g(z);
(3) [ f (z)] f (z)g(z) f (z)g(z) , (Hale Waihona Puke Baidug(z) 0 );
g(z)
g 2 (z)
处处不可导.
思考题：
f (z)在D内解析 f (z)在D内可导 f (z)在 z0 内解析 f (z)在 zo 内可导
f (z)在 zo 连续
函数解析与可导、连续、极限的关系
由解析函数定义可知，函数在区域内解析与在区域内 可导是等价的. 但是，函数在一点处解析和在一点处可导是 不等价的两个概念. 就是说，函数在一点处可导，不一定在 该点处解析. 但函数在一点解析，则一定在该点可导（而且 在该点及其邻域均可导）. 函数在一点处解析比在该点处可 导的要求要严格得多.
➢ 推论：设 w f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域D内有定义， 如果在D内 （x, y)和（x, y) 的偏导数都存在 并且连续，同时又满足C—R条件，则 f (z) 在D内解析 （因为二元实函数的偏导数的连续性蕴含着函数的可微性）
3．柯西—黎曼条件的应用
例2.1.3 讨论函数 f (z) z 在复平面上的可导性。 【解】 注意到 u x, v y ，判断 C-R条件是否成立
1. 柯西—黎曼条件
即已知一个函数可导，得出其必须满足的条件.
设 w f (z) u(x, y) iv (x, y) 在区域 D 内可导，则
由函数可导的定义，使用直角坐标，考察沿两个不同的方
向 z 0 ，得到的极限值应该相等.
注意到：
f (z z) f (z) z
u(x x, y y) iv (x x, y y) [u(x, y) x iy
推论 2.1.1 若 f (z) 可导，则 f (z) 的导数可
写成以下四种形式
f (z) ux iv x v y iuy
(2.1.9)
ux iuy v y iv x
2.1.5.求导法则 当 f (z), g(z) 都是复变数的可导函数时，可以证明下列求导公
式与法则成立：
3.1 复变函数的微分概念
定义：复变函数的微分
复变函数的微分概念在形式上与一元实变函数的微分
概念类似。
设函数 w f (z)在 z0可导，则可得
w f (z0 z) f (z0) f (z0)z (z)z
其中lim (z。) 0 因此，(z)z 是 z 的高阶无穷 z0
如同初等实变函数是高等数学的主 要研究对象一样，初等复变函数是复变函 数论的主要研究对象. 初等复变函数虽 然是初等实变函数的自然推广，但在性质 上却有许多本质的区别. 我们在学习中 既要注意彼此间的联系，也要特别注意它 们之间的本质区别.
3.3.1 指数函数（单值函数）
1．定义2.3.1 指数函数 对于任何复数 z x i，y 我们用关系式
【解】 因为w 在复平面内除点 z 0 外处处可导，
且
dw 1
dz z2 所以在除 z 0 外的复平面内，函数 w 1 处处解析，
z 而 z 0 是它的奇点.
2.2.2 解析函数的法则 定理 2.2.1 在区域 D 内解析的两 个函数 f (z) 与 g(z) 的和、差、积、商（除
【解】由
f (z z) f (z)
lim
z 0
z
(x x) i( y y) (x iy)
lim
z 0
z
x iy lim
z0 x iy
设z沿着平行于x轴的方向趋向于零，因而 y 0， z x
，这时极限
lim f (z z) f (z) lim x 1
区域解析区域可导 在某点解析该点可导该点连续该点
极限存在，反之均不一定成立。
复变函数在某点解析 某点极限存在
某点可导 某点连续
2.1.3 函数解析的一个充分必要条件
思考：如何判别一个复变函数是否解析？ 方法：根据解析函数的定义是可以判断的，但比 较困难。因此，我们需要寻找判定函数解析的简 便方法，哪就是考察其实部与虚部
u(x x, y y) u(x, y) i[v (x x, y y) x iy
（1）沿平行于实轴的方向趋于零 ( ) y 0, z x 0
f (z) lim f (z z) f (z)
z 0
z
lim u(x x, y) u(x, y) i[v(x x, y) v(x, y)]
z 0
z
x x0
设z沿着平行于y轴的方向趋向于零，因而 x ， 0 z iy
，这时极限
f (z z) f (z) iy
lim
lim 1
z 0
z
y0 iy
因此 f (z) z导数不存在，原函数在复平面上处处不可导。
证明 f (z) Re z 在复平面处处不可导.
(10) [sin z] cos z ；
(11) cos z sin z ；
(12) [tan z] 1 ； cos2 z
(13) [sh z] ch z ； (14) [ch z] sh z .
例 2.2.2 研究函数w 1 的解析性. z
f
(z0
z) z
f
(z0 )
如果函数 w f (z) 在区域 D 中处处可导，则称 f (z) 在 D 内可 导，f (z) 称为 f (z) 在 D 内的导函
数，简称为导数.
2. 求复变函数导数实例
例 2.1.1 用导数的定义证明公式：
(zn ) nzn1 （n 为正整数）
如果 f (z) 在 z0点不解析，那么称 z0 点为 f (z) 的奇点。
注意：复变函数的可导、连续与解析之间的关系
我们知道：若复变函数在某点连续，则该函数在该点极 限一定存在，反之不一定成立.那么可导与连续有何关系？ 若函数在某点可导，必在该点连续．但反之不一定成立.
如上例 f (z) z ，显然在复平面上处处连续．但在复平面
ux 1, v y 1, uy 0, v x 0
即 ux v y ，显然在复平面处处不满足C-R条件，故 原函数在复平面处处不可导。
说明：上述例题告诉我们，用C-R条件来判断函数不可导是方 便的．但当满足C-R条件时，函数就一定可导吗？
P27. 有另解
注意： C-R条件只是复变函数可导的必要条件， 而非充分条件。
(4) {f [g(z)]} f (w)g(z); 其中w g(z) ；
(5) 若 z (w ) 是函数w f (z) 的反函数，且 f (z) 0, 则
dz (w ) 1 ；
dw
f [(w )]
(6) (c) 0 ，其中 c 为复常数； (7) (zn ) nzn1 ，其中 n 为正整数； (8) [ez ] ez ；
y 0
iy
= 1 u v i u v i y y y y
两者应该相等，故有
u i v i u v x x y y
u v , x y
v u x y
可以简写为： ux v y , vx uy
定理3.1 若函数 w f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域D内有定 义，于点 z x iy 可导的充要条件是
u 2x x
v x y
v y
u 0
x
y
容易看出，这四个偏导数处处连续，但是仅当 x y 0
时， 它们才满足柯西-黎曼方程，因而函数 w z Re(z)
仅在 z 0 可导， 但在复平面内任何地方都不解析.
3.3 初等解析函数
可以将复变数的初等函数作为实变数的初等函数在复数 域中的自然推广. 但当复数退化为实数时，要满足实数的性质， 而取复数时，复变函数可以具有与实变函数不同的性质. 我们 知道，实数域中的正弦、余弦函数是有界函数，但我们即将看 到复变函数的正弦、余弦函数却不再有界；实数域中负数无对 数，但在复数域中，对数函数不再受此限制.事实上，我们也希 望能找到定义域更加广阔的，且不受任何限制的数域及其与之 对应的函数. 复数域及其对应的初等解析函数（或称为初等复 变函数）为我们提供了方便.
如果函数 f (z) 在 z0 及其邻域内处处可导，那么称 f (z)在 z0 点处解析。如果 f (z) 在区域D内每一点解析，那么称 f (z) 在 D
内解析，或称 f (z) 是 D 内的一个解析函数
（又称为全纯函数或正则函数）。
解析函数这一重要概念是与区域密切联系的．我们说函 数 f (z) 在某点 z0 解析， 其意义是指 f (z在 ) z0 点及其邻域内可 导.
小量，而 f (z0)z是函数 w f (z) 的改变量w 的线性
部分. 我们称 f (z0)z 为函数 w f (z) 在点z0 的微分，
记作
dw f (z0)z
如果函数在 z0 的微分存在，则称函数在该点可微。
3.1解析函数的概念
1.解析函数概念 定义 2.2.1 解析函数 奇点
第三讲 解析函数
解析函数：将微积分的理论用于复变量的函数， 就形成了所谓的解析函数论---它是实数变量的 函数的推广。
本质：是两个复数集合之间的一种对应关系，它 是复变函数研究的主要对象。
3.1 复变函数的导数与微分 1.复变函数导数概念 定义 2.1.1 复变函数的导数
设函数w f (z)定义于区域 D，z0为D 内一点，且点
去分母为零的点）在 D 内解析.
3. 判断函数解析的实例 例 2.2.4 判定下列函数在何处可导， 在何处解析:
(1) w z Re(z) 2) 练 习
（2 f (z) ex (cos y isin y) .
【解】 (1) 由 w z Re(z) x2 i xy ，得 u x2,v xy ，所以
来定义指数函数． ez exi y ex (cos y i sin y)
（1） u(x, y), v(x, y)在点（x, y)处可微
（2）在点 (x, y) 满足 柯西(Cauchy)－黎曼(Riemann)
方程，或柯西－黎曼条件（简称为C-R条件）：
u v , x y
v u x y
➢ 定理：函数 w f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域D内解析的充要 条件是 （x, y)和（x, y) 在D内可微，并且满足C—R 条件
z0 z D如, 果极限
lim f (z0 z) f (z0)
z0
z
存在，则称函数w f (z) 在点 z0 可导，此极限值称 为 f (z) 在点 z0 的导数，记为
f (z0 ) 或
dw dz
|z z0
即
dw dz
| zz0
f
(
z0
)
lim
z z0
【证明】设 f (z) zn ，故
f (z z) f (z) (z z)n zn
z[nzn1 n(n 1) zn2z (z)n1] 2
lim f (z z) f (z) nzn1
z 0
z
例 2.1.2 讨论函数 f (z) z 在复平面上的可导性.
x0
x
= u i v x x
（2）沿平行于虚轴的方向趋于零 (x 0, z iy 0 )
f (z) lim f (z z) f (z)
z 0
z
lim u(x, y y) u(x, y) i[v(x, y y) v(x, y)]
(1) [ f (z) g(z)] f (z) g(z);
(2) [ f (z) g(z)] f (z)g(z) f (z)g(z);
(3) [ f (z)] f (z)g(z) f (z)g(z) , (Hale Waihona Puke Baidug(z) 0 );
g(z)
g 2 (z)
处处不可导.
思考题：
f (z)在D内解析 f (z)在D内可导 f (z)在 z0 内解析 f (z)在 zo 内可导
f (z)在 zo 连续
函数解析与可导、连续、极限的关系
由解析函数定义可知，函数在区域内解析与在区域内 可导是等价的. 但是，函数在一点处解析和在一点处可导是 不等价的两个概念. 就是说，函数在一点处可导，不一定在 该点处解析. 但函数在一点解析，则一定在该点可导（而且 在该点及其邻域均可导）. 函数在一点处解析比在该点处可 导的要求要严格得多.
➢ 推论：设 w f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域D内有定义， 如果在D内 （x, y)和（x, y) 的偏导数都存在 并且连续，同时又满足C—R条件，则 f (z) 在D内解析 （因为二元实函数的偏导数的连续性蕴含着函数的可微性）
3．柯西—黎曼条件的应用
例2.1.3 讨论函数 f (z) z 在复平面上的可导性。 【解】 注意到 u x, v y ，判断 C-R条件是否成立
1. 柯西—黎曼条件
即已知一个函数可导，得出其必须满足的条件.
设 w f (z) u(x, y) iv (x, y) 在区域 D 内可导，则
由函数可导的定义，使用直角坐标，考察沿两个不同的方
向 z 0 ，得到的极限值应该相等.
注意到：
f (z z) f (z) z
u(x x, y y) iv (x x, y y) [u(x, y) x iy
推论 2.1.1 若 f (z) 可导，则 f (z) 的导数可
写成以下四种形式
f (z) ux iv x v y iuy
(2.1.9)
ux iuy v y iv x
2.1.5.求导法则 当 f (z), g(z) 都是复变数的可导函数时，可以证明下列求导公
式与法则成立：
3.1 复变函数的微分概念
定义：复变函数的微分
复变函数的微分概念在形式上与一元实变函数的微分
概念类似。
设函数 w f (z)在 z0可导，则可得
w f (z0 z) f (z0) f (z0)z (z)z
其中lim (z。) 0 因此，(z)z 是 z 的高阶无穷 z0
如同初等实变函数是高等数学的主 要研究对象一样，初等复变函数是复变函 数论的主要研究对象. 初等复变函数虽 然是初等实变函数的自然推广，但在性质 上却有许多本质的区别. 我们在学习中 既要注意彼此间的联系，也要特别注意它 们之间的本质区别.
3.3.1 指数函数（单值函数）
1．定义2.3.1 指数函数 对于任何复数 z x i，y 我们用关系式
【解】 因为w 在复平面内除点 z 0 外处处可导，
且
dw 1
dz z2 所以在除 z 0 外的复平面内，函数 w 1 处处解析，
z 而 z 0 是它的奇点.
2.2.2 解析函数的法则 定理 2.2.1 在区域 D 内解析的两 个函数 f (z) 与 g(z) 的和、差、积、商（除
【解】由
f (z z) f (z)
lim
z 0
z
(x x) i( y y) (x iy)
lim
z 0
z
x iy lim
z0 x iy
设z沿着平行于x轴的方向趋向于零，因而 y 0， z x
，这时极限
lim f (z z) f (z) lim x 1
区域解析区域可导 在某点解析该点可导该点连续该点
极限存在，反之均不一定成立。
复变函数在某点解析 某点极限存在
某点可导 某点连续
2.1.3 函数解析的一个充分必要条件
思考：如何判别一个复变函数是否解析？ 方法：根据解析函数的定义是可以判断的，但比 较困难。因此，我们需要寻找判定函数解析的简 便方法，哪就是考察其实部与虚部
u(x x, y y) u(x, y) i[v (x x, y y) x iy
（1）沿平行于实轴的方向趋于零 ( ) y 0, z x 0
f (z) lim f (z z) f (z)
z 0
z
lim u(x x, y) u(x, y) i[v(x x, y) v(x, y)]
z 0
z
x x0
设z沿着平行于y轴的方向趋向于零，因而 x ， 0 z iy
，这时极限
f (z z) f (z) iy
lim
lim 1
z 0
z
y0 iy
因此 f (z) z导数不存在，原函数在复平面上处处不可导。
证明 f (z) Re z 在复平面处处不可导.