一元高次方程的求解

一元高次方程

一元三次方程求解

320x ax bx c +++= 其中,,a b c 是任意复数 ② 若令3

a x y =-，则三次方程简化为 30y py q ++= ③ 其中33a p

b =-，3

2327

ab a q c =-+， 设123,,y y y 表示简化方程③的根，则据根与方程系数的关系，得1230y y y ++=。

若令3242712u p q v ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩，2112322123z y v y vy z y vy v y ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩。

对于适当确定的立方根，卡当公式是1z =

，2z = 求解线性方程组12321231212320y y y y v y vy z y vy v y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，得到11221212123121()

31()31()3y z z y v z v z y v z v z ----⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩

，

于是，原三次方程的三个根为1y =

2y ω=

，3y ω= 其中23

427

q p ∆=+

，122ω=-+

（i = C 、一元四次方程求解

3. x 4＋bx 3+cx 2+dx+e ＝0．

设方程为x 4＋bx 3+cx 2

+dx+e ＝0． (4)

移项，得x 4＋bx 3=-cx 2-dx -e ，

右边为x 的二次三项式，若判别式为0，则可配成x 的完全平方．

解这个三次方程，设它的一个根为y 0，代入(5)，由于两边都是x 的完全平方形式，取平方根，即得

解这两个关于x 的二次方程，便可得到(4)的四个根．显然，若把(6)的其他根代入(5)，会得出不同的方程，但结果是一样的．

高中阶段对于三次四次方程的求解很少涉及，我们遇到的一般是比较有规律的高次方程。当高次不等式

数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题。有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？

n 次方程的一般表达式是

101100,0,n n n n a x a x a x a a --++⋅⋅⋅++=≠

而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++称为n 次多项式，其中00a ≠。当系数01,,a a

1,,n n a a -⋅⋅⋅都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x

为n 次复系数多项式。如果存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一

个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根。

怎样得到高次方程的近似根 盛松柏

伽罗华找到了一个一元高次方程能否根式求解的判别方法，但是他还是没有给出高次程的具体求解方法。那么，如何求得高次方程的根呢？

在一般情况下，求出精确根是很困难的，而且科学研究、工程技术季实际应用中，也没有必要求出精确根，只要求出根的近似值。那么，又如何求得高次方程的根的近似值呢？

设*x 是()f x 的一个精确根，即*

()0f x =，假设问题所要求的精确度为ε，也就是 满足*

x x ε-<的x ，或满足*

*x x x ε-<的x ，称为*x 的一个近似根。 下面我们介绍一下求近似根的几个常用方法：

方法一：牛顿切线法

取一个初始值0x x =，然后使用下述迭代公式

1'()()k k k k f x x x f x +=-

，0,1,2,,k =⋅⋅⋅ 其中'()f x 是()f x 的一阶导数。

牛顿切线法有明显的几何意义，如右图，

因为()f x 的根*x 满足*()0f x =，在直角 坐标平面中，点*(,0)x 恰是()y f x =

的曲线与O x 轴的交点，于是每次迭代所得

的点k x 正好是曲线上点(,())k k x f x 的横坐

标。牛顿切线法其实就是过曲线上的一列

点所作曲线的切线与O x 轴的交点。

方法二：牛顿割线法

在方法一中，只要给定一个初始点0x 。而方法二中，我们给定两个初始点01,x x 。然后 在每次迭代时，把1,k k x x -作为下一次迭代的始值。 111(),1,2,3,()()

k k k k k k k x x x x f x k f x f x -+--=-=⋅⋅⋅- 这类方法都是从已知的点通过相同的计算公式，求得下一个新点。数学上称为迭代法。迭代法很适合于计算。只要初始值选取得好，以上两种方法产生的无穷数列。

01{,,,,}n x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

均能收敛于()f x 的根*x 。

方法三：二分法

先将[,]a b 分成N 等份，得到N 个等长的小区间，显然每个小区间的长度b a h N -=。记第一个小区间为11[,]a b ，其中1a a =，1b a h =+，第i 个小区间为[,]i i a b ，则i a = (1)a i h +-，1i i b a ih a +=+=，1,2,,.i N =⋅⋅⋅

若对其中某些i ，有()()0i i f a f b ⋅<，则在(,)i i a b 中必有()f x 的一个根。然后对这些 (,)i i a b 再分别用二分法，便能求出()f x 的一个近似根。

二分法很简便，是工程师们喜欢的一种求全部相异近似单实根的方法。问题在于如何合适地确定N ，因为N 太大，则工作量也会太大，而N 太小时，会出现某个小区间内包含多个根，从而二分法会将这个小区间的根漏掉。

方法四：劈因子法

先用求单实根的方法，求出()f x 的一个根1x ，利用因式分解有11()()()f x x x f x =-， 其中1()f x 是（1n -）次多项式。然后求1()f x 的一个根2x ，依次计算下去就有可能求出 ()f x 的所有实根。这里所说的有可能求出()f x 的所有实根，而不是一定，是因为在一般情况下，我们只能求得12,x x 等的近似值，所以有可能会影响到后面所得根的精确性。 方法五：林士谔—赵访熊法

林士谔与赵访熊是我国两位著名的数学家，在计算数学方面都有卓越的贡献。林士谔—赵访熊法是求()f x 的复数根的一种好方法。