一元高次方程的求解
一元高次方程解法穿针引线
一元高次方程解法穿针引线穿针引线是一种古老的手工艺技巧，通过将线穿过针眼来完成。
在解一元高次方程时，我们也可以借用这个比喻，通过巧妙的变换和运算，找到方程的解。
下面我们将介绍一种常用的解法，帮助大家更好地理解和掌握解一元高次方程的方法。
我们来看一个简单的一元二次方程的例子：x^2 + 5x + 6 = 0。
对于这个方程，我们需要找到它的解x的值。
为了解方程，我们可以使用因式分解法或配方法。
我们尝试使用因式分解法。
我们可以将方程写成(x + 2)(x + 3) = 0的形式。
根据乘法法则，当一个方程的两个因子的乘积等于0时，至少有一个因子等于0。
因此，我们可以得到两个方程：x + 2 = 0和x + 3 = 0。
解这两个方程，我们得到x的解分别为-2和-3。
接下来，我们尝试使用配方法。
我们可以将方程x^2 + 5x + 6 = 0写成(x + a)(x + b) = 0的形式。
根据配方法的原理，我们可以通过选取合适的a和b的值，使得方程等号两边的多项式相等。
根据配方法的步骤，我们可以得到a + b = 5和ab = 6。
通过求解这个二元一次方程组，我们可以得到 a = 2和b = 3。
因此，方程的解为x = -2和x = -3。
接下来，我们来看一个一元三次方程的例子：x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0。
对于这个方程，我们同样需要找到它的解x的值。
为了解方程，我们可以使用因式分解法、配方法或牛顿迭代法等多种方法。
我们尝试使用因式分解法。
通过观察方程，我们可以发现当x = 1时，方程等号两边的多项式为0。
因此，我们可以将方程写成(x - 1)(x^2 + 3x + 2) = 0的形式。
根据乘法法则，我们可以得到两个方程：x - 1 = 0和x^2 + 3x + 2 = 0。
解这两个方程，我们得到x的解分别为1和-1、-2。
接下来，我们尝试使用配方法。
我们可以将方程x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0写成(x + a)(x + b)(x + c) = 0的形式。
习题范例解一元高次方程的方法总结
习题范例解一元高次方程的方法总结一元高次方程是数学中常见的问题，解决这类方程可以采用多种方法。
本文将总结并介绍解一元高次方程的几种常见方法。
1. 因式分解法因式分解法适用于一元高次方程可以被因式分解的情况。
具体步骤如下：（1）将方程转化为标准形式，确保方程左边等于零；（2）对方程进行因式分解；（3）令每个因式等于零，求解得到方程的根；（4）将得到的根代入方程进行验证。
例如，解方程 x^2 + 6x + 8 = 0：（1）转化为标准形式：x^2 + 6x + 8 = 0；（2）因式分解：(x + 2)(x + 4) = 0；（3）令(x + 2) = 0 和 (x + 4) = 0，解得 x = -2 和 x = -4；（4）代入原方程验证，左边等于右边（0 = 0），所以解正确。
2. 全平方公式全平方公式适用于一元二次方程。
具体步骤如下：（1）将方程转化为标准形式，确保方程左边等于零；（2）根据公式 x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2，将方程进行变形；（3）令变形后的方程等于零，解出未知数；（4）代入原方程验证。
例如，解方程 x^2 + 4x + 4 = 0：（1）转化为标准形式：x^2 + 4x + 4 = 0；（2）根据公式 (x + 2)^2 = 0，得到变形方程 (x + 2)^2 = 0；（3）令 (x + 2) = 0，解得 x = -2；（4）代入原方程验证，左边等于右边（0 = 0），所以解正确。
3. 二次根式法二次根式法适用于一元二次方程的平方项系数为奇数的情况。
具体步骤如下：（1）将方程转化为标准形式，确保方程左边等于零；（2）对方程的平方项系数进行修正，使其变为偶数；（3）引入一个新的未知数，利用完全平方公式将方程转化为新未知数的平方；（4）令新未知数的平方等于一个已知数，解出新未知数；（5）代入原方程验证，并求解得到方程的根。
例如，解方程 3x^2 + 10x + 7 = 0：（1）转化为标准形式：3x^2 + 10x + 7 = 0；（2）对平方项系数进行修正，将方程变为 3(x^2 + (10/3)x + 7/3) = 0；（3）引入新的未知数，令 x + t = 0，其中 t = 10/6；（4）利用完全平方公式 (x + t)^2 = x^2 + 2xt + t^2，将方程转化为：3(x + t)^2 - 10(x + t) - 7 = 0；（5）令方程右侧的数值等于一个已知数，解得 x + t = 7/3 或 x + t= -1；（6）代入原方程验证，并解得 x = 1/3 或 x = -11/3。
方程的解的判断和求解
方程的解的判断和求解方程是数学中常见的问题求解形式之一，它描述了一种等式关系，其中包含未知数和已知数。
解方程的过程包括判断方程是否有解，并且在有解的情况下求解未知数的取值。
在本文中，我们将介绍判断方程解的条件以及求解方程的方法。
一、一元一元方程是指只含有一个未知数的方程，例如：ax + b = 0。
对于一元方程而言，我们需要判断方程是否有解，即是否存在满足方程的未知数取值。
具体的解决方法如下：1. 判断方程是否有解：- 当系数a等于0时，我们需要判断方程中的常数b是否等于0。
若b也为0，则方程有无数解；若b不为0，则方程无解。
- 当系数a不等于0时，方程有且仅有一个解。
2. 求解方程的根：若方程有解，则可以通过移项和除法等运算，将未知数表示出来。
以一元一次方程(ax + b = 0)为例，求解过程如下：- 移项：将方程中的常数项b移至等式另一边，得到ax = -b。
- 除以系数a：对方程两边同时除以系数a，得到x = -b/a。
二、二元二元方程是指含有两个未知数的方程，例如：ax + by = c。
对于二元方程而言，我们同样需要判断方程是否有解，并且求解出两个未知数的取值。
具体的解决方法如下：1. 判断方程是否有解：为了判断方程是否有解，我们可以对方程进行消元的操作。
若得到一个恒等式（如0 = 0）或者矛盾的等式（如1 = 0），则方程无解；若未出现矛盾则方程有解。
2. 求解方程的根：若方程有解，则可以通过消元的方法求解两个未知数的取值。
以二元一次方程(ax + by = c)为例，求解过程如下：- 将方程转化为斜率截距形式：y = (-a/b)x + (c/b)。
- 可以选择一个特定的x值，计算对应的y值，得到一组解。
三、高次高次方程是指次数超过一次的方程，例如：ax^n + bx^(n-1) + ... + c = 0。
对于高次方程而言，判断方程是否有解以及求解根的方法较为复杂，常用的方法有以下几种：1. 因式分解法：通过因式分解将方程转化为一次或二次方程的形式，再进行求解。
高次方程的求解方法
高次方程的求解方法在数学中，高次方程是指其最高次数大于等于2的多项式方程。
对于高次方程的求解是数学中的重要课题之一。
本文将介绍几种常见的高次方程求解方法。
一、一元高次方程的求解方法一元高次方程是指只含有一个未知数的高次方程。
下面将介绍二次方程和三次方程的求解方法。
1. 二次方程的求解方法二次方程是指最高次数为2的一元方程。
一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x为未知数。
求解二次方程的一种常见方法是使用求根公式。
根据二次方程的解法，可以得到求根公式为：x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)。
当求根公式中的判别式(b^2-4ac)大于零时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于零时，方程有两个共轭复数根。
2. 三次方程的求解方法三次方程是指最高次数为3的一元方程。
一般形式为：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0。
求解三次方程的一种常见方法是使用牛顿迭代法。
该方法通过不断逼近，寻找多项式的根。
牛顿迭代法的迭代公式为：x(n+1) = x(n) - f(x(n))/f'(x(n))，其中x(n+1)为下一个近似解，x(n)为当前的近似解，f(x(n))为方程的多项式函数值，f'(x(n))为多项式函数的导数值。
二、多元高次方程的求解方法多元高次方程是指含有多个未知数的高次方程。
下面将介绍二元高次方程和三元高次方程的求解方法。
1. 二元高次方程的求解方法二元高次方程是指含有两个未知数的高次方程。
一般形式为：f(x, y) = 0。
求解二元高次方程可以采用消元法或者代入法。
消元法是通过将一个未知数用另一个未知数表示，从而减少方程的未知数个数。
代入法是将一个未知数的表达式代入到另一个方程中，从而求解方程的解。
2. 三元高次方程的求解方法三元高次方程是指含有三个未知数的高次方程。
卡西欧计算器解高次方程
卡西欧计算器解高次方程作为一种经典的科学计算工具，卡西欧计算器在解高次方程方面有着独特的优势。
无论是一元高次方程还是多元高次方程，卡西欧计算器都能提供简便、准确的解题方法，为数学学习者提供了很大的便利。
本文将以“卡西欧计算器解高次方程”为中心，介绍卡西欧计算器在解高次方程中的功能和应用。
一、卡西欧计算器解一元高次方程在解一元高次方程时，卡西欧计算器可以使用求根功能来快速计算方程的解。
具体步骤如下：1.输入方程首先，在卡西欧计算器上输入方程，确保使用正确的语法。
例如，对于一元二次方程ax²+bx+c=0，可以输入“solve(ax²+bx+c,x)”来表示求解方程。
2.求解方程根据输入的方程，卡西欧计算器会自动计算出方程的根。
如果方程有实根或复根，计算器会给出根的精确值或近似值。
在一元方程的解中，卡西欧计算器提供了多种表示方式，如小数形式、分数形式或根号形式，方便学习者根据需要选择合适的表达方式。
3.检验解为了验证计算结果的准确性，卡西欧计算器还可以提供方程的图像以及方程的解集。
通过观察图像和解集，学习者可以更直观地理解方程的性质和解的特点，有助于加深对高次方程的理解。
二、卡西欧计算器解多元高次方程对于多元高次方程，卡西欧计算器也提供了强大的求解功能，可以帮助学习者更轻松地解决复杂的数学问题。
具体步骤如下：1.输入方程组首先，在卡西欧计算器上输入多元高次方程组，确保使用正确的语法。
例如，对于二元二次方程组{ax²+by²+cx+dy+e=0{fx²+gy²+hx+iy+j=0可以输入“solve({ax²+by²+cx+dy+e,fx²+gy²+hx+iy+j},{x,y})”来表示求解方程组。
2.求解方程组根据输入的方程组，卡西欧计算器会自动计算出方程组的解。
与一元方程类似，计算器会给出根的精确值或近似值，并提供多种表达方式。
一元高次方程求解方法
一元高次方程的漫漫求解路若有人问你：“你会解一元二次方程吗？”你会很轻松地告诉他：会的，而且非常熟练！任给一个一元二次方程20,0,ax bx c a ++=≠ ①由韦达定理，①的根可以表示为2b x a-±=。
若进一步问你，会解一元三次方程或更高次数的方程吗？你可能要犹豫一会儿说，只会一些简单的方程。
于是你就会想：一元三次方程或更高次数的方程，是否也像一元二次方程的情形一样，有一个公式，它可以用方程的系数，经过反复使用加减乘除和开方运算，把方程的根表示出来？数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题。
有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？n 次方程的一般表达式是101100,0,n n n n a x a x a x a a --++⋅⋅⋅++=≠而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++称为n 次多项式，其中00a ≠。
当系数01,,a a1,,n n a a -⋅⋅⋅都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x 为n 次复系数多项式。
如果存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一 个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根。
1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根。
根据代数基本定理可以推出：复数域上n 次多项式恰有n 个复数根，其中k 重根以k 个根计算。
这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何n 次多项式都可以分解成n 个一次式的乘积。
”代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法。
要求得n 次方程的根，一般是希望得到n 次方程1011()0n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++= ②的求解公式，如二次方程①的求根公式那样。
一元高次方程求根公式
⎨ 1 2 一元高次方程求根公式A 、一元二次方程求解1. ax 2+ bx + c = 0, a ≠ 0,⇒ xB 、一元三次方程求解2. x 3+ ax 2+ bx + c = 0a其中 a ,b ,c 是任意复数③ 若令 x = y − ，则三次方程简化为 3 y 3+ py + q = 0④a 3ab2a 3其中 p = b − ， q = c − + ，3 3 27设 y 1 , y 2 , y 3 表示简化方程④的根，则据根与方程系数的关系，得 y 1 + y 2 + y 3 = 0 。
⎧u = −4 p 3 − 27q 2 ⎪⎧ = + 2 +若令 ⎪ ， ⎨z 1 y 1 v y 2 vy 3 。
⎪v = − ⎪z = y + vy + v 2 y ⎩ 2 ⎩ 2 1 2 3对于适当确定的立方根，卡当公式是 z 1 z 2⎧ y = 1 (z + z ) ⎪ 1 1 2 ⎧ y 1 + y 2 + y 3 = 0 ⎪3 求解线性方程组 ⎪ y + v 2 y + vy = z ，得到 ⎪ y1 −2 −1= (v z + v z ) ，⎨ 1 2 3 1⎨ 2 1 2⎪ y + vy + v 2 y = z ⎪ 3 ⎩ 1 2 3 2⎪ ⎪ y 3 ⎩= 1(v −1z + v −2 z ) 3于是，原三次方程的三个根为 y 1y = ω y = ω 2 3q 2 p 3 1 其中 ∆ =+ ，ω = − +（ i 。
4 27 2 C 、一元四次方程求解3. x4＋b x3+cx2+d x+e＝0．设方程为x4＋b x3+cx2+d x+e＝0．(4) 移项，得 x4＋b x3=-cx2-d x-e，右边为 x 的二次三项式，若判别式为0，则可配成x 的完全平方．解这个三次方程，设它的一个根为 y0，代入(5)，由于两边都是 x 的完全平方形式，取平方根，即得解这两个关于 x 的二次方程，便可得到(4)的四个根．显然，若把(6)的其他根代入(5)，会得出不同的方程，但结果是一样的．附：一元三次方程ax 3 +bx 2 +cx +d = 0的解法先把方程ax 3 +bx 2 +cx +d = 0化为x3 + px +q = 0的形式：2 3 2 2 3 23 2 2 2 令 x = y − b，则原式变成3aa ( y −b ) 3 + b ( y − b ) 2 +c ( y − b) + d = 03a 3a 3aa ( y 3− by b 2 y + − b ) + b ( y 2− 2by + b ) + c ( y − b ) + d = 0 a 3a 2 27a 3 3a 9a 2 3aay 3− by 2+ b y − b + by 2 − 2b y + b + cy − bc + d = 0 3a 27a 2 3a 9a 2 3aay 3+ (c − b ) y + (d + 2b 3 − bc ) = 0 3a 27a 2 3ay 3+ ( c − b ) y + ( d + 2b 3 − bc) = 0 a 3a 2 a 27a 33a 2如此一来二次项就不見了，化成 y 3 + py + q = 0 ，其中 p = c b 2− ，a 3a 2q = d + a 2b 3 27a 3 −bc 。
论一元高次方程的近似求解
论一元高次方程的近似求解作者：姜海馨姜玉秋来源：《文存阅刊》2017年第01期摘要：学习过一元一次方程和一元二次方程的基础知识，掌握了求解精确解的基本方法，研究一元高次方程的近似解问题成为现代高等数学的主要内容之一。
求解一元高次方程的近似解方法主要有二分法、牛顿切线法、牛顿割线法、林士谔—赵访熊法等方法。
面对不同的一元高次方程，选择恰当的方法将高次转为低次进行求解，是求一元高次方程解的重要思想。
关键词：一元高次方程；近似解；二分法；牛顿切线法中图分类号：G634.6如果一个整式方程只含有一个未知数，并且其最高次数大于2，那么，这样的方程称为一元高次方程，其一般形式为。
在根存在的前提下，将一元高次方程转化为次数较低的方程求解是解法思路，简单的一元高次方程可以运用韦达定理，因式分解法，倒数方程求根法[1]，卡丹公式法[2]等方法求解。
面对一元四次方程根式可解的突破，当时许多的数学家都相信任意的五次方程也可以由根式求解，但是所做的尝试都没有成功。
直到鲁非尼证明这种方法是行不通的。
19世纪，伽罗华避开了拉格朗日的预解式而巧妙地应用置换群，证明了一般的代数方程时不可能用根号求解，并在数学系数代数方程的基础上建立了根号求解的判别准则。
虽然伽罗华给出了能否根式求解的判别方法，但是并没有给出具体的求解方法。
通常情况下，精确解的求解方法比较困难，所以在生活和应用中只要求得近似解即可。
一、方程根的近似计算方程实根的近似计算在实际应用中具有重要的意义，计算机的广泛应用也使得方程实根的近似计算更加重要。
对于方程的根的近似计算，连续函数的零点存在定理具有基础的地位。
所谓的零点存在定理是指若在区间上连续，且，则在区间上至少存在一点，使得。
如果知道方程存在根，该怎样寻找和计算方程的根呢？一般地，求精确解比较困难，工程上只需要求解近似解便可。
常用的求解近似解的方法有二分法，牛顿切线法，牛顿割线法，林士谔—赵访熊法等。
（一）二分法对于区间上的连续函数，如果与异号，那么在上一定有根[3]。
数学方程解答技巧整理方法
数学方程解答技巧整理方法数学是一门需要逻辑思维和解题技巧的学科，而方程解答则是数学中最基础也是最重要的一部分。
解方程的过程可以锻炼我们的思维能力和逻辑思维能力，培养我们的分析和解决问题的能力。
在这篇文章中，我将整理几种常见的数学方程解答技巧，希望能对广大学生有所帮助。
一、一元一次方程一元一次方程是最简单的方程形式，通常可以表示为ax + b = 0。
解这类方程的基本思路是将未知数移项，使得方程变为x = c的形式。
具体的解题步骤如下：1. 将方程中的常数项移到等号右边，得到ax = -b；2. 将方程两边同时除以a，得到x = -b/a。
需要注意的是，如果方程中的系数a为0，则方程无解或有无穷多解。
二、一元二次方程一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数且a ≠ 0。
解这类方程的方法有多种，下面介绍两种常用的解法。
1. 因式分解法如果一元二次方程可以因式分解，那么解方程就变得相对简单。
假设方程为(x - m)(x - n) = 0，其中m、n为已知常数，那么方程的解为x = m或x = n。
2. 公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式来求解。
求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
需要注意的是，根的个数和判别式Δ = b^2 - 4ac的正负有关。
如果Δ > 0，则有两个不相等的实根；如果Δ = 0，则有两个相等的实根；如果Δ < 0，则无实根，但有两个共轭复根。
三、一元高次方程一元高次方程是指次数大于2的方程，如三次方程、四次方程等。
解这类方程的方法有很多，下面介绍两种常用的解法。
1. 因式分解法如果一元高次方程可以因式分解，那么解方程就变得相对简单。
通过观察方程中的因式，将方程分解为若干个一元一次方程，然后分别解这些一元一次方程，最后得到方程的解。
2. 代换法对于一元高次方程，有时候可以通过代换的方法将其转化为一元一次方程。
一元高次方程因式分解
一元高次方程因式分解一元高次方程因式分解是代数学中的一项重要技能。
通过因式分解，我们可以将高次方程简化为一些更简单的式子，从而更容易地解决问题。
在这篇文章中，我们将介绍一些关于一元高次方程因式分解的基本概念和方法。
首先，我们需要了解什么是一元高次方程。
一元高次方程是指只含有一个未知数的方程，其中未知数的最高次数为大于等于2的整数。
例如，x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0 就是一个一元高次方程。
接下来，我们需要学习如何因式分解一元高次方程。
因式分解的目的是将一个多项式表示成两个或多个因式的积的形式。
例如，x^2 + 2x + 1可以分解为(x + 1)^2，即(x + 1)的平方。
因式分解可以帮助我们更轻松地求解问题，因为我们可以将复杂的式子简化为更简单的形式。
一元高次方程的因式分解方法有很多，这里我们介绍一些常见的方法。
1. 公因式法：如果一个多项式中的每一项都可以被一个相同的因数整除，那么这个因数就是公因式。
例如，x^2 + 2x可以因式分解为x(x + 2)，其中x是公因式。
2. 配方法：当一个二次多项式无法使用公因式法因式分解时，我们可以使用配方法。
例如，x^2 + 6x + 8可以通过配方法转化为(x+2)(x+4)的形式。
3. 因式定理：当一个一元高次方程的最高次数为2时，我们可以使用因式定理进行因式分解。
例如，x^2 + 5x + 6可以因式分解为(x + 2)(x + 3)。
4. 分组法：当一个一元高次方程的次数大于2时，我们可以使用分组法进行因式分解。
这个方法通常需要一些技巧和推理，但是可以处理很多高次方程。
例如，x^3 + 3x^2 + 3x + 1可以因式分解为(x + 1)^3。
总之，一元高次方程因式分解是代数学中的一个重要技能，可以帮助我们更轻松地解决问题。
希望这篇文章可以帮助你更好地理解一元高次方程因式分解的基本概念和方法。
高次方程及其解法
高次方程及其解法2009-12-06 11:35:27| 分类：学生园地| 标签：|字号大中小订阅1.一元n次方程：（1）标准形式： a0x n+a1x n-1+a2x n-2+…+a n-1x+a n=0(a0≠0)，当n≥3时叫做高次方程.（2）解法思想：高次方程解法的基本思想是降次，降次的方法有因式分解法和换元法.2.高次方程根的存在定理设多项式f(x)=a0x n+a1x n-1+a2x n-2+…+a n-1x+a n(a0≠0)（1）因式定理：多项式f(x)含有因式x-a的充要条件是f(a)=0.（2）实系数方程虚根成对定理：如果方程f(x)=0的系数都是实数，且方程有一个虚根a+bi(a，b∈R且≠0)，那么它必定还有另一个根a-bi.（3）有理系数方程无理根或虚根存在定理：如果方程f(x)=0的系数都是有理数，①若a+√b是方程的根，那么a-√b 必也是它的根（其中，a是有理数、√b是无理数）；②若√a+√b是方程的根，那么√a-√b，-√a+√b，-√a-√b必也是它的根（其中，√a、√b都是无数）；③若方程有一个虚根√a+√bi(a，b∈R且b≠0)，那么√a-bi，-√a+√bi，-√a-√bi必也是它的根（其中，√a、√b都是无理数）.（4）整系数方程有理根存在定理：①如果方程f(x)=0的系数都是整数，那么方程有理根仅能是这样的分数p/q，其分子p是方程常数项的约数，分母q是方程最高次项的约数；②在整系数方程f(x)=0中，如果α是方程的整数根，那么二比值f(1)/(α-1)和f(-1)/(α+1)都是整数；③在整系数方程f(x)=0中，如果f(0)与f(1)都是奇数，那么该方程无整数根；④最高次项的系数为1的整系数方程f(x)=0的有理根都是整数.如果方程没有整数根，那么它也没有有理根.3. 一元n次方程的解法：（1）一元n次方程a0x n+a1x n-1+a2x n-2+…+a n-1x+a n=0(a0≠0)的解法通常用验根法、因式分解法和换元法. （2）特殊的高次方程的解法：①二项方程ax n+b=0(a≠0)可用复数开n次方的方法求解；②三项方程ax2n+bx n+c=0(a≠0)可用换元法求解，先令x n=y,解二次方程ay2+by+c=0(a≠0),然后求x；③倒数方程ax n+bx n-1+c x-2+…+cx2+bx+a=0(其特点是距首末两项等远的项系数相等，a≠0)通常用换元法降次后求解.注：倒数方程具有性质：①倒数方程没有x=0的根；②如果α是倒数方程的根，那么α的倒数1/α也是该方程的根；③奇次倒数方程必有x=-1的根.例题解答：。
一元多次方程式的解法
一元多次方程式的解法
因数分解法：
对于一些特定的一元多次方程式，可以通过因数分解来求解其根。
例
如某^2–某=0，即某(某-1)=0，因此其解为某=0或某=1。
求根公式法：
对于一元二次方程式（a某^2+b某+c=0），可以使用求根公式法求解。
其求根公式为：
某 = (-b±√(b^2-4ac))/2a。
其中，b^2-4ac称为判别式，可通过判别式的值来推断根的情况。
当
判别式>0时，方程式有两个不相等的实数根；当判别式=0时，方程式有
一个重根（两个实数根相等）；当判别式<0时，方程式有两个共轭虚数根。
对于一元三次方程式（a某^3+b某^2+c某+d=0），也存在求根公式，但其求解过程相对复杂，不便于手算。
因此一般采用其他方法进行求解，
如牛顿迭代法、试位法等。
对于高于三次的一元多次方程式，一般也无法用解析式求解其根。
因此，常采用数值方法进行求解，如牛顿迭代法、截弦法、二分法等。
这些
方法都是基于不断逼近解的思想，可以通过计算机程序来实现。
总之，解一元多次方程式需要综合运用因数分解、求根公式、数值方
法等不同的数学思想和工具，具有一定的挑战性和实用性。
高中数学方程求解
高中数学方程求解在高中数学中，方程求解是一个重要的内容。
方程是数学中常见的问题表示形式，通过求解方程，我们可以得到未知数的值，从而解决实际问题。
本文将从一元一次方程、一元二次方程和一元高次方程三个方面进行讲解和举例，帮助高中学生掌握方程求解的方法和技巧。
一、一元一次方程的求解一元一次方程是最简单的方程形式，表示为ax + b = 0，其中a和b是已知数，x是未知数。
求解一元一次方程的基本思路是将未知数从方程中分离出来，并求得其值。
例如，解方程2x + 3 = 7。
我们可以通过逆运算的方式将未知数x从方程中分离出来。
首先，我们将方程两边减去3，得到2x = 4。
然后，再将方程两边除以2，得到x = 2。
因此，方程2x + 3 = 7的解是x = 2。
对于一元一次方程的求解，关键在于运用逆运算的原理，将未知数从方程中分离出来，并进行计算。
在实际问题中，一元一次方程可以用来表示线性关系，如速度、距离和时间之间的关系等。
二、一元二次方程的求解一元二次方程是高中数学中较为复杂的方程形式，表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是已知数，x是未知数。
求解一元二次方程需要运用二次根式的概念和配方法等技巧。
例如，解方程x^2 - 5x + 6 = 0。
我们可以通过配方法将方程转化为两个一元一次方程的组合。
首先，我们找到一个数m，使得m^2 - 5m = 0。
显然，m = 0是一个解。
然后，我们将方程中的x^2 - 5x替换为(m + x)^2 - m^2 - 5x，得到(m + x)^2 - m^2 - 5x + 6 = 0。
进一步化简，得到(m + x)^2 - (m^2 + 5x - 6) = 0。
因此，我们可以将方程化为(m + x)^2 - (m^2 + 5x - 6) = 0，即(m + x)^2 - (m^2 + 5x - 6) = 0。
接下来，我们可以将方程拆分为两个一元一次方程，分别求解。
高中数学解题技巧之一元多次方程
高中数学解题技巧之一元多次方程一、引言在高中数学中，一元多次方程是一个重要的内容。
解一元多次方程需要运用多种技巧和方法，本文将介绍一些解题技巧，帮助高中学生更好地应对一元多次方程的解题。
二、基本概念一元多次方程是指含有一个未知数的多次方程，一般形式为ax^n + bx^(n-1) + cx^(n-2) + ... + k = 0。
其中，a、b、c、...、k为已知系数，n为非负整数。
三、解题技巧1. 因式分解法因式分解法是解一元多次方程的常用方法。
通过将方程进行因式分解，找出方程的根。
例如，考虑方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2或x = 3两个解。
2. 二次方程求根公式对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用求根公式来求解。
求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
例如，考虑方程x^2 - 4x + 3 = 0，我们可以使用求根公式得到x = 1或x = 3两个解。
3. 完全平方公式对于形如x^2 + bx + c = 0的二次方程，如果其可以写成(x + p)^2 = q的形式，那么我们可以使用完全平方公式来求解。
完全平方公式为(x + p)^2 = x^2 + 2px +p^2。
例如，考虑方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将其写成(x + 3)^2 = 0，从而得到x = -3为唯一解。
四、举一反三以上介绍的解题技巧可以应用于不同类型的一元多次方程。
下面通过具体题目来进一步说明。
例题1：解方程x^2 + 5x + 6 = 0。
解法：我们可以使用因式分解法，将方程分解为(x + 2)(x + 3) = 0。
从而得到x = -2或x = -3两个解。
例题2：解方程2x^2 - 5x + 2 = 0。
解法：我们可以使用二次方程求根公式，代入a = 2，b = -5，c = 2，得到x = 1/2或x = 2两个解。
文章如何解决带有根号的一元高次方程
文章如何解决带有根号的一元高次方程方程是数学中常见的问题，其中一种类型是一元高次方程，而其中可能带有根号。
解决这种带有根号的一元高次方程并不复杂，只需要运用一些基本的数学知识和技巧。
本文将介绍几种常见的方法来解决这类问题。
一、利用平方根消去根号项对于形如√(ax^2+bx+c)=d的一元高次方程，我们可以通过平方根来消去根号项，具体步骤如下：1. 将方程两边平方，得到ax^2+bx+c=d^2；2. 将方程移项，得到ax^2+bx+(c-d^2)=0；3. 利用一元高次方程的求解公式，求出方程的解。
举个例子来说明这个方法。
假设我们要解决方程√(3x^2+2x-1)=4，按照上述步骤，我们可以进行如下计算：1. 平方根消去根号项，得到3x^2+2x-1=16；2. 移项，得到3x^2+2x-17=0；3. 利用一元高次方程的求解公式，求出方程的解。
二、利用代换法解决在一元高次方程中，我们可以通过合适的代换将带有根号的方程转化为无根号的方程，然后再求解无根号方程。
以下是一种常见的代换方法：1. 假设√(ax^2+bx+c)=d；2. 令y=√(ax^2+bx+c)，则方程可以表示为y=d；3. 平方两边，得到y^2=d^2；4. 将y^2替换为ax^2+bx+c，得到ax^2+bx+c=d^2；5. 将方程移项，得到ax^2+bx+(c-d^2)=0；6. 利用一元高次方程的求解公式，求出方程的解。
例如，若要解决方程√(2x^2+x-1)=3，按照上述方法，我们可以进行如下计算：1. 令y=√(2x^2+x-1)，则方程可以表示为y=3；2. 平方两边，得到y^2=9；3. 将y^2替换为2x^2+x-1，得到2x^2+x-1=9；4. 移项，得到2x^2+x-10=0；5. 利用一元高次方程的求解公式，求出方程的解。
三、利用二次方程的解法根据二次方程的求解公式，我们可以将带有根号的一元高次方程转化为二次方程，并求解得出方程的解。
高次方程及解法
高次方程及解法一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。
由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。
对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。
对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。
一、1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。
求出方程的1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（某-1）或者（某+1）,降低方程次数后依次求根。
“1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。
例1解方程某4+2某3-9某2-2某+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(某-1),(某4+2某3-9某2-2某+8)(某-1)=某3+3某2-6某-8观察方程某3+3某2-6某-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（某+1），（某3+3某2-6某-8）(某+1)=某2+2某-8，对一元二次方程某2+2某-8=0有（某+4）（某-2）=0,原高次方程某4+2某3-9某2-2某+8=0可分解因式为：(某-1)(某+1)(某-2)(某+4)=0,即:当(某-1)=0时,有某1=1;当(某+1)＝０时，有某2=-1;当(某-2)=0时，有某3=2;当(某+4)=0时，有某4=-4点拨提醒：在运用“1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。
二、常数项约数求根法根据定理:“如果整系数多项式an某n＋an-1某n-1++a1某+a0可分解出因式P某-Q,即方程an某n＋an-1某n-1++a1某+a0=0有有理数根（Ｐ、Q是江苏省通州高级中学徐嘉伟互质整数），那么，Ｐ一定是首项系数an的约数，Q一定是常数项a0的约数”，我们用“常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法。
配方法解高次方程
配方法解高次方程高次方程是数学中常见的一类方程，解高次方程的方法有很多种，其中一种常用的方法是配方法。
配方法可以将高次方程转化为一次方程或二次方程，从而求得方程的解。
一、一元高次方程的配方法对于一元高次方程，可以通过配方法将其转化为一次方程或二次方程，从而求解。
1. 一次项系数为1的情况对于一次项系数为1的一元高次方程，例如x^2 + px + q = 0，可以通过配方法将其转化为(x+a)(x+b) = 0的形式，进而求解出方程的解x。
首先，我们可以根据方程的一次项系数p和常数项q，构造两个数a和b，满足a+b=p且ab=q。
然后，将方程x^2 + px + q = 0转化为(x+a)(x+b) = 0，再利用零乘性质得到x = -a或x = -b，即可以求解出方程的解。
2. 一次项系数不为1的情况对于一次项系数不为1的一元高次方程，例如ax^2 + bx + c = 0，可以通过配方法将其转化为(x+a)(x+b) = 0的形式，进而求解出方程的解x。
首先，我们可以将方程ax^2 + bx + c = 0除以a得到x^2 + (b/a)x +c/a = 0。
然后，根据方程的一次项系数b/a和常数项c/a，构造两个数a和b，满足a+b=b/a且ab=c/a。
然后，将方程x^2 + (b/a)x + c/a = 0转化为(x+a)(x+b) = 0，再利用零乘性质得到x = -a或x = -b，即可以求解出方程的解。
二、多元高次方程的配方法对于多元高次方程，可以通过配方法来求解。
配方法的目标是通过变量的代换，将高次方程转化为一次方程或二次方程，再求解出方程的解。
以二元高次方程为例，例如x^2+y^2+p(x+y)+q=0，可以通过配方法将其转化为(u+a)(u+b) = 0的形式。
首先，我们可以进行变量代换，令u=x+y，得到方程x^2+y^2+p(x+y)+q=0变为u^2+p(u)+q=0。
计算机辅助求解一元高次方程
计算机辅助求解一元高次方程计算机辅助求解一元高次方程高次方程是代数学中的一种常见类型，如二次方程、三次方程、四次方程等，其中最高次数通常不超过四次。
一元高次方程是指只包含一个未知数，并且最高次数为n的代数方程式。
由于高次方程的求解过程比较繁琐，直接使用手算难以完成，因此需要计算机辅助来进行求解，大大提高了求解效率。
本文将介绍一元高次方程的求解过程，以及计算机辅助求解高次方程的方法。
一、一元高次方程的求解过程一元高次方程一般写为：$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0=0$，其中$a_n,a_{n-1},…,a_1,a_0,n$均为已知常数，$n\geqslant 2$。
求解一元高次方程的基本思路是：先通过代数变形将高次项的系数化为1，然后使用某些特定的求根方法求解方程。
1. 代数变形(1) 高次项系数化为1有时为求解方便，可以通过约定高次项系数为1来化简原方程，即：$x^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0=0$。
这时我们把此方程称为首项系数为1的一元高次方程。
(2) 特殊公式变形对于特殊的一元高次方程，可以通过特殊公式的变形来简化求解过程。
例如：$x^2-2x+1=0$，可以变形为$(x-1)^2=0$，从而得到$x=1$。
$x^2+2x+1=0$，可以变形为$(x+1)^2=0$，从而得到$x=-1$。
(x+1)(x+2)=0，可以得到$x=-1~或~x=-2$。
(3) 用辅助方程消去高次项一元高次方程的求解还可以通过使用辅助方程进行变形求解。
例如对于二次方程：$ax^2+bx+c=0$，可以通过配方法将其变形为：$(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a^2}=0$，其中$\Delta=b^2-4ac$。
同样的方法，对于三次方程、四次方程等，也可以通过辅助方程简化求解。
2. 求根方法(1) 利用求根公式进行求解对于二次方程，可以通过求根公式：$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$进行求解。
高次方程的解法和因式分解
高次方程的解法和因式分解高次方程是指次数大于等于2的方程。
解高次方程的方法有多种，其中两种常见的方法是因式分解和求根公式。
一、因式分解因式分解是将一个多项式拆分成多个乘积的过程。
对于高次方程，如果能够将其因式分解，就可以得到方程的解。
下面以一元高次方程为例进行讲解。
1. 确定方程的次数首先，我们需要确定方程的次数。
例如，对于一个二次方程，其形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数。
2. 判断是否可因式分解接下来，我们需要判断方程是否可以因式分解。
对于低次方程（次数小于等于4），可以通过观察系数是否有共同因子或使用配方法进行因式分解。
对于高次方程，则可能需要使用其他方法求解。
3. 使用求根公式如果方程无法直接因式分解，我们可以通过求根公式来解方程。
对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中，±表示取正负两个解。
对于三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，求根公式比较复杂，可以通过将方程转化为标准形式（取代变量）后，再使用求根公式求解。
对于四次方程ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其求根公式比较繁琐，可以通过先将方程转化为标准形式，再使用求根公式求解。
4. 通过因式分解求解高次方程对于高次方程，如果无法直接使用求根公式求解，我们可以尝试通过因式分解将方程拆解成低次方程。
例如，对于二次方程，我们可以将其因式分解为(x - p)(x - q) = 0的形式，从而得到解x = p和x = q。
二、求根公式求根公式是一种通过特定的公式来求解高次方程的方法。
在前面的讲解中，已经提到了二次方程、三次方程和四次方程的求根公式。
对于高次方程，一般情况下，没有通用的求根公式。
因此，对于高次方程，我们需要根据具体的情况，根据该方程的特点和形式来选择适合的求解方法。
《数书九章》,表述了一种求解一元高次多项式方程的数值解的算法——正负开方术
《数书九章》——正负开方术
《数书九章》是中国古代数学著作之一，其中详细阐述了一种求解一元高次多项式方程的数值解的算法——正负开方术。
正负开方术是一种基于数值逼近的方法，通过对方程的系数进行估算和迭代，逐步逼近方程的根。
具体来说，正负开方术采用以下步骤：
1.对于给定的一元高次多项式方程，首先确定一个初始的猜测值
x0。
2.将多项式方程展开，得到一个关于x的表达式。
3.对于表达式中的每一项，根据猜测值x0计算其值。
4.将所有项的值相加，得到一个新的猜测值x1。
5.重复步骤2-4，直到得到满足精度要求的解。
正负开方术的核心思想是利用多项式方程的对称性和正负根的存在性，通过迭代过程逐步逼近方程的真实根。
这种方法在当时是一种创新性的算法，具有较高的计算效率和精度。
在实际应用中，正负开方术可以用于求解各种类型的一元高次多项式方程，包括整数系数、有理数系数、实数系数等。
同时，该算法也可以与其他数值方法结合使用，以进一步提高计算精度和效率。
总之，《数书九章》中的正负开方术是一种具有重要历史意义和实用价值的算法，为后来的数学家提供了求解一元高次多项式方程的数值解的有效方法。
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一元高次方程
一元三次方程求解
320x ax bx c +++= 其中,,a b c 是任意复数 ② 若令3
a x y =-，则三次方程简化为 30y py q ++= ③ 其中33a p
b =-，3
2327
ab a q c =-+， 设123,,y y y 表示简化方程③的根，则据根与方程系数的关系，得1230y y y ++=。
若令3242712u p q v ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩，2112322123z y v y vy z y vy v y ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩。
对于适当确定的立方根，卡当公式是1z =
，2z = 求解线性方程组12321231212320y y y y v y vy z y vy v y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，得到11221212123121()
31()31()3y z z y v z v z y v z v z ----⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩
，
于是，原三次方程的三个根为1y =
2y ω=
，3y ω= 其中23
427
q p ∆=+
，122ω=-+
（i = C 、一元四次方程求解
3. x 4＋bx 3+cx 2+dx+e ＝0．
设方程为x 4＋bx 3+cx 2
+dx+e ＝0． (4)
移项，得x 4＋bx 3=-cx 2-dx -e ，
右边为x 的二次三项式，若判别式为0，则可配成x 的完全平方．
解这个三次方程，设它的一个根为y 0，代入(5)，由于两边都是x 的完全平方形式，取平方根，即得
解这两个关于x 的二次方程，便可得到(4)的四个根．显然，若把(6)的其他根代入(5)，会得出不同的方程，但结果是一样的．
高中阶段对于三次四次方程的求解很少涉及，我们遇到的一般是比较有规律的高次方程。
当高次不等式
数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题。
有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？
n 次方程的一般表达式是
101100,0,n n n n a x a x a x a a --++⋅⋅⋅++=≠
而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++称为n 次多项式，其中00a ≠。
当系数01,,a a
1,,n n a a -⋅⋅⋅都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x
为n 次复系数多项式。
如果存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一
个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根。
怎样得到高次方程的近似根 盛松柏
伽罗华找到了一个一元高次方程能否根式求解的判别方法，但是他还是没有给出高次程的具体求解方法。
那么，如何求得高次方程的根呢？
在一般情况下，求出精确根是很困难的，而且科学研究、工程技术季实际应用中，也没有必要求出精确根，只要求出根的近似值。
那么，又如何求得高次方程的根的近似值呢？
设*x 是()f x 的一个精确根，即*
()0f x =，假设问题所要求的精确度为ε，也就是 满足*
x x ε-<的x ，或满足*
*x x x ε-<的x ，称为*x 的一个近似根。
下面我们介绍一下求近似根的几个常用方法：
方法一：牛顿切线法
取一个初始值0x x =，然后使用下述迭代公式
1'()()k k k k f x x x f x +=-
，0,1,2,,k =⋅⋅⋅ 其中'()f x 是()f x 的一阶导数。
牛顿切线法有明显的几何意义，如右图，
因为()f x 的根*x 满足*()0f x =，在直角 坐标平面中，点*(,0)x 恰是()y f x =
的曲线与O x 轴的交点，于是每次迭代所得
的点k x 正好是曲线上点(,())k k x f x 的横坐
标。
牛顿切线法其实就是过曲线上的一列
点所作曲线的切线与O x 轴的交点。
方法二：牛顿割线法
在方法一中，只要给定一个初始点0x 。
而方法二中，我们给定两个初始点01,x x 。
然后 在每次迭代时，把1,k k x x -作为下一次迭代的始值。
111(),1,2,3,()()
k k k k k k k x x x x f x k f x f x -+--=-=⋅⋅⋅- 这类方法都是从已知的点通过相同的计算公式，求得下一个新点。
数学上称为迭代法。
迭代法很适合于计算。
只要初始值选取得好，以上两种方法产生的无穷数列。
01{,,,,}n x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
均能收敛于()f x 的根*x 。
方法三：二分法
先将[,]a b 分成N 等份，得到N 个等长的小区间，显然每个小区间的长度b a h N -=。
记第一个小区间为11[,]a b ，其中1a a =，1b a h =+，第i 个小区间为[,]i i a b ，则i a = (1)a i h +-，1i i b a ih a +=+=，1,2,,.i N =⋅⋅⋅
若对其中某些i ，有()()0i i f a f b ⋅<，则在(,)i i a b 中必有()f x 的一个根。
然后对这些 (,)i i a b 再分别用二分法，便能求出()f x 的一个近似根。
二分法很简便，是工程师们喜欢的一种求全部相异近似单实根的方法。
问题在于如何合适地确定N ，因为N 太大，则工作量也会太大，而N 太小时，会出现某个小区间内包含多个根，从而二分法会将这个小区间的根漏掉。
方法四：劈因子法
先用求单实根的方法，求出()f x 的一个根1x ，利用因式分解有11()()()f x x x f x =-， 其中1()f x 是（1n -）次多项式。
然后求1()f x 的一个根2x ，依次计算下去就有可能求出 ()f x 的所有实根。
这里所说的有可能求出()f x 的所有实根，而不是一定，是因为在一般情况下，我们只能求得12,x x 等的近似值，所以有可能会影响到后面所得根的精确性。
方法五：林士谔—赵访熊法
林士谔与赵访熊是我国两位著名的数学家，在计算数学方面都有卓越的贡献。
林士谔—赵访熊法是求()f x 的复数根的一种好方法。
我们知道，二次多项式2
0,0,ax bx c a ++=≠的根由x =给出，林士谔—赵访熊法就是求()f x 的二次因式2()u x x px q =++的方法。
该方法建立了一套求p 和q 的迭代方法，且可以避免复数运算。
一旦求得p 和q 之后，就得到了()f x 的两个根，且当2
40p q -<时，可得到()f x 的一对共轭复根，然后再利用
21()()()f x x px q f x =++， 其中1()f x 是（2n -）次多项式，继续用同样的方法求1()f x 的实根或复根。
该法也是一种劈因子法。
求高次方程的根的近似值，除了以上几种方法外，还有施斗姆（Stome ）法等，这里不再详说。
这些方法各有优点，又不是万能的。
另外，牛顿法和二分法可以用来求超越方程的根，牛顿法及其改进可以用来求非线性方程组的根。