沪教版(上海)八年级上册数学 第十九章 几何证明 全章复习 教案
沪教版(上海)初中数学八年级第一学期 19
19．2几何证明—————倍长中线法教学设计说明：本节课是学习几何证明的第七节课，我围绕“倍长中线法”这个主题设计了教学内容。
几何证明没有固定的方法可循，只能在证明的训练中积累常用的思维方法。
本课设计在教学中重视培养学生收集处理信息的能力、分析和解决问题的能力、推理论证的能力。
通过对例1和的研究，使学生理解利用三角形的中线构造全等三角形。
例2有一定的难度，能帮助学生理解利用倍长中线法构造出的全等三角形有哪些性质，并利用全等三角形的性质来解题。
教学中不应只满足于能证出结论，应鼓励学生从不同的角度进行思考，获得不同的证法。
通过变式训练使学生在渐变中加深对几何证明的理解，看清不同题目之间的内在联系，促进思维的灵活性和深刻性。
所以在学生的练习中，我采取把“已知”和“求证”互换的变式方式，有助于培养学生的逆向思维能力。
另外，通过要求学生将已知条件标记在图形上，培养学生收集处理信息的能力，为解决问题、推理论证做好准备。
教学目标:1、知道并理解利用三角形的中线构造全等三角形，主要是利用倍长中线法。
2、理解利用倍长中线法构造出的全等三角形有哪些性质。
会熟练运用倍长中线法构造出的全等三角形，并利用全等三角形的性质来解题。
3、进一步获得探究证题思路的经历，了解已知与未知的辨证关系，体会在图形运动思想的指导下添置辅助线的方法和构造基本图形的方法。
教学重点与难点:会熟练运用倍长中线法构造出的全等三角形，并利用全等三角形的性质来解题。
教学过程:一、复习[操作]：1、画任意△ABC。
2、在△ABC中，请画出BC边上的中线AD。
3、延长AD到E，使DE=AD，连结CE。
二．引入新课[思考]1、在所画的三角形中，有哪些线段的长是相等的？哪些角是相等的？你是如何得到的？这时必有结论：△ABD≌△ECD，∠1=∠E，∠B=∠2，EC=AB，CE∥AB。
2、若△ABC的形状发生变化，上述结论是否仍然成立？[引出]21EDBCA 21D C B EA EDCAB将三角形的中线“倍长”后来构造全等三角形， 这种添辅助线的方法叫倍长中线法。
秋上海教育版数学八上19.1《几何证明》word教案
课题几何证明会证明直角三角形的全等；HL ；角均分线的性质与判断；线段垂直均分线的性质与判断；教课目的勾股定理与逆定理的应用。
要点、难点线段垂直均分线与角均分线，直角三角形，勾股定理的综合应用考点及考试要求线段垂直均分线与角均分线，直角三角形，勾股定理的综合应用教课内容【一、知识点回首】：1．一个命题是由2．正确的命题称为和构成。
命题，错误的命题称为命题。
【二、针对练习】（一）填空题1．把以下命题改写成“假如,, ，那么 ,, ”的形式，并判断其真假：（1）同位角相等，两直线平行。
（2）同角的余角相等。
（3）平角都相等。
（4）等腰三角形顶角的均分线是底边上的高。
2.举反例证明以下命题是假命题：（ 1）两个互余的角不相等。
（ 2）素数都是奇数。
（ 3）同位角相等。
2 2（ 4）假如 x =y ，那么 x=y 。
3．如图，把定理“三角形的三个内角和等于180 °”，改写成已知：， A A 求证：。
4．如图，“求证：等腰三角形两腰上的高相等”B C改写成已知：， E D 求证：。
5．全等三角形的对应相等，对应相等。
BCCD6．等腰三角形的角相等。
等腰三角形的相互重合。
E F 7．如图，已知△ ABF≌△ DCE，则∠ C= ，BF∥. A B8．如图，点E、 F 在 AD上， AE=DF， AB∥ CD，要使△ ABF≌△ DCE，还需要增添条件（ A.S.A ），(A.A.S).（二）证明题1．如图，已知 AB=AC,AD=AE, ∠ 1=∠ 2. B求证：∠ B=∠ C.C2．如图， D、 E 在ABC 的边BC上，AB=AC，（1） BD=CE，求证： AD=AE．（2） AD=AE，求证： BD=CE．3．求证：等腰三角形两腰上的中线相等. B【线段的垂直均分线与角的均分线】【一、知识点回顾】1.线段垂直均分线的定理：线段垂直均分线上的到的距离相等. 2．线段垂直均分线的逆定理：和一条线段相等的点，在这条线段的上. 3．线段的垂直均分线能够看作是的点的会合. 4．角的均分线的定理：在角的均分线上的点到的距离相等 . 5．角的均分线的逆定理：在一个角的且距离相等的点，在这个角的6．角的均分线能够看作是的点的会合. 7．我们把切合的全部点的会合叫做点的轨迹.8． (1)的点的轨迹是这条线段的垂直均分线.(2)的点的轨迹是这个角的均分线.(3)的点的轨迹是以为圆心、【二、针对练习】（一）填空题1．把以下命题改成抗命题并判断抗命题的真假.第 7、 8题图A12DEAD E C上 .为半径的圆.(1)对顶角相等 .(2)全都三角形对应角相等 .(3)等腰三角形的两个底角相等 .(4) 直角三角形的两个锐角互余.A E2．如图，在ABC 中，AB=AC,∠A=50°,DE为AB的垂直均分线，那么∠ DBC= °B ABC 中，∠C=90°,∠CAB的均分线AD交BC于D,BC=10,BD=7,那么点D到3．如图，在AB的距离是DC4. 平面内与点 A 的距离等于 3 厘米的点的轨迹是.5．底边给定等腰三角形极点的轨迹.（二）解答题和证明题1. 如图，在ABC 中，AB5cm, AC 4cm, 边BC 的中垂线交AB 于点 D ，交BC 于点 E．求ACD 的周长ADBE 2.已知：如图，在 ABC 中，∠ABC的均分线与∠ACB均分线交于点I.求证：点 I 在∠ BAC的均分线上 .（三）作图题 B1.已知：如图，∠ AOB及边 OB上一点 C.求作：点 P，使 PO=PC且点 P 到 OA、 OB的距离相等 .O2. 如图，在ABC 内求作一点O， 3 如图，在 ABC一点 I，使点 O到 A、 B、 C 三点的距离相等 . 使点 I 到三边的距离相等 .CDACAICACBB内求作【直角三角形】A【一、知识点回首】A1. 直 角三角形全等的判断定假如两个直角三角形的相等，那么这两个直角三角形全BC2.直角三角形的性质：定理 1：直角三角形的两个 。
沪教版(上海)初中数学八年级第一学期 19.2 证 明 举 例(5) 教案
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯课题：证明举例（5）教学目标：1、继续学习几何证明过程的分析方法，进一步学习证明角相等、线段相等的常用方法。
2、初步学会添加一条辅助线来进行几何证明。
3、继续引导学生正确、规范地书写证明过程。
4、掌握几何证明的推理步骤和推理过程、以及几何证明中有关演绎推理的思想方法。
5、培养学生一题多解的灵活的解题思路，在自主学习、小组讨论和交流中提高学生分析问题、解决问题的能力。
教学重点、难点：重点：通过添加辅助线构造有效的基本图形，证明角度或线段相等。
难点：辅助线怎么添，添在哪里教学过程：一、问题引入：你知道的证明角度相等或线段相等的方法有哪些？其中用得较多的有哪些？二、新课：（一）问题：如图，AB=AC，DB=DC。
求证∠B=∠C，1、前面所回忆的方法在此似乎都用不上，如何解决这样的问题？①添加辅助线的必要性②如何添？添在哪里呢？为什么这样添线？③如果这样添加的话，用的是什么方法证明角度相等？这里投影出整个过程，尤其辅助线的叙述要引导学生说准确。
2、能否换一种思路添加辅助线？如何添？那样添加的话，又是利用什么解决问题？小结：为什么会产生这样不同的添线的方法？不同的方法形成不同的证明思路，C A BCA 学会比较，尽量选择更为直接、简便的方法。
（二）1、例8已知 ：如图 AD 与BC 相交于O ，AB=CD ，AD=BC求证： ∠A = ∠C这里学生比较容易先想到△ABO 和△CDO 全等，通过分析发现AD=BC 这个条件用不上，如何构造全等三角形？①连接BD ②连接AC 两种办法均一起书写论证过程，进行比较，选择更好的解决办法，体会好在哪里？2、例9的引入：已知，如下图，点D 、E 在BC 上，BD=EC ，AD=AE 。
则图中相等的线段还有哪些？对前面学过的例题进行复习例9 已知：如上图，点D 、E 在BC 上， AB=AC ，AD=AE ，求证：BD=EC学生首先想到的多数还是全等，利用全等可以怎么证明？哪些三角形能证得全等？等腰三角形的性质除了两个底角相等之外，还有什么？三线合一的用法复习：如图AB=AC ，AH ⊥BC能得到什么？证明：∵AB=AC （已知），AH ⊥BC （作图）∴BH=CH （或AH 平分∠BAC ）（等腰三角形三线合一）回到例9，还可以如何证明？如何添加辅助线？证明：过A 作AH ⊥BC ，垂足为H∵AB=AC （已知），AH ⊥BC （作图）∴BH=CH（等腰三角形三线合一）同理DH=EH∴BH-DH=CH-EH（等式性质）即BD=CE比较全等和利用等腰三角形三线合一的证明方法，显然后者证明更为巧妙些。
沪教版(上海)初中数学八年级第一学期 19.9 勾股定理 教案
§19.9勾股定理（1）§19.9勾股定理（1）【教学目标】1、理解用面积割补方法证明勾股定理的思路。
2、初步掌握勾股定理，并能进行简单运用。
3、感受人类文明的力量，了解中国古代在勾股定理方面的成就，知道勾股定理在人类重大科技发现中的地位。
【教学重难点】教学重点：面积割补法证明勾股定理。
教学难点：勾股定理的灵活应用。
【教学过程】一、复习引入复习关于直角三角形的性质。
二、新课探索探究：1、小组合作，利用这四个全等的直角三角形拼成以斜边为边长的正方形。
（允许中间有空隙） 由正方形和三角形的面积公式可得：22）a -b （ab 214c +⨯= 整理可得：222b a c +=2、将四个直角三角形沿着斜边翻折，得到新图形请同学们自行完成新的面积公式推导由正方形和三角形的面积公式可得：22ab 214b)(a c +⨯=+ 整理可得：222b a c +=【设计说明】小组学习，互相交流，共同分享，由特殊到一般对直角三角形进行探索，利用几何画板的动态功能达到了其他教学手段所不能达到的效果，使直角三角形数与形的关系展示得更为直观，更易被学生接受，从而顺利地突破难点，为学生接下来归纳结论打下基础，让学生体会到观察、猜想、操作、归纳、验证的数学过程，使学生分析问题和解决问题的能力得到提高，符合学生的认知规律。
3、加菲尔德证法。
加菲尔德在证出此结论5年后，成为美国总统，所以人们又叫它总统证法。
【设计说明】通过介绍勾股定理的有关研究历史，感受数学文化，鼓励学生善于观察，大胆猜想，勇于探索数学知识，从而体会到祖国数学历史的悠久，增强民族自豪感。
勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
在Rt⊿ABC中，∠C=90°AB2=BC2+AC2或者c2=a2+b2课堂练习：在Rt△ABC中，∠A=90°，设a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边。
（1）b=4，c=5，求a（2）a=13，b=12，求c例题：求边长为1的等边三角形的面积。
几何证明(4个概念2个性质3个判定2个定理2个应用2种思想方法1个轨迹)八年级数学上册沪教版
2 个性质3个判定
考点05 线段的垂直平分线
7.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
(D )
8.已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
(2)区别：定义、公理、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其
他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据；而命题不一定是真
命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的依据．
考点04 互逆定理
6. [2022·江苏无锡宜兴市二模]下列命题的逆命题成立的是
①同旁内角互补，两直线平行
①④ .
②等边三角形是锐角三角形
证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C，
故∠QCA=∠QCB=90°.
在Rt△QCA 和Rt△QCB中，
∵QA=QB，QC=QC，
∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）.
∴AC=BC.
∴点Q在线段AB的垂直平分线上．
你能根据分析
中后一种添加辅
助线的方法，写
出它的证明过程
吗？
考点06 角 平 分 线
AB=CB，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）.
15.如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，
AB=DC，BE=CF.试判断AB与CD的位置关系，并证明.
A
解：AB//CD，理由如下：
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°
B
F
∵在Rt△ABE和Rt△DCF中， AB=DC，
沪教版数学八年级上册19.1《几何证明》教学设计
沪教版数学八年级上册19.1《几何证明》教学设计一. 教材分析《几何证明》是沪教版数学八年级上册第19.1节的内容，主要包括几何证明的基本概念、方法和步骤。
本节内容是学生学习几何证明的起点，对于培养学生逻辑思维能力和空间想象能力具有重要意义。
教材通过具体的例子引导学生了解几何证明的过程，掌握几何证明的基本方法，如综合法、分析法、反证法等。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了基本的平面几何知识，如点的性质、线的性质、角的性质等。
但学生对于几何证明的概念和方法可能还不够熟悉，需要通过实例来加深理解。
此外，学生可能对于证明的过程和方法存在疑惑，需要教师进行引导和解答。
三. 教学目标1.了解几何证明的基本概念和方法。
2.能够运用综合法、分析法、反证法等方法进行简单的几何证明。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
四. 教学重难点1.几何证明的基本概念和方法。
2.如何运用综合法、分析法、反证法等进行几何证明。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考和探索；通过具体实例，让学生了解几何证明的过程和方法；通过小组合作学习，培养学生的合作意识和团队精神。
六. 教学准备1.准备相关的几何图形和证明实例。
2.准备几何证明的PPT课件。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生思考什么是几何证明，为什么要进行几何证明。
例如：在实际生活中，我们是如何证明两条直线平行或两个三角形相似的？2.呈现（15分钟）呈现相关的几何图形和证明实例，让学生了解几何证明的过程和方法。
例如：通过PPT展示一个几何证明的实例，让学生了解综合法、分析法、反证法等证明方法。
3.操练（15分钟）让学生分组进行合作学习，每组选择一个证明实例，运用综合法、分析法、反证法等进行证明。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生进行练习，巩固所学的几何证明方法。
例如：让学生独立完成教材中的几个证明题目，教师进行点评和讲解。
沪教版初二上册《几何证明》全章复习与巩固—知识讲解(基础)
沪教版初二数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《几何证明》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解命题、逆命题、定理、逆定理等的含义；2.掌握证明真命题正确性的方法步骤，会举反例说明假命题的错误；掌握证明线段相等角度相等的基本方法和思路；3.理解轨迹的定义，掌握三种基本轨迹；4.能判断直角三角形全等，能应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、几何证明1．命题和证明（1）命题定义：判断一件事情的句子.判断为正确的命题，叫做真命题；判断为错误的命题，叫做假命题.（2）演绎证明（简称证明）从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程. 要点诠释：命题通常由题设、结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项，可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论.2.公理和定理（1）公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始依据.（2）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并能进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.3.逆命题与逆定理（1）在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，则这两个命题叫互逆命题. 其中一个命题叫原命题；另一个命题叫它的逆命题.（2）如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，则这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫另一个的逆定理.4.证明真命题的一般步骤（1）理解题意，分清命题的条件（已知）、结论（求证）（2）根据题意，画出图形，并在图中标出必要的字母或符号（3）结合图形，用符号语言写出“已知”和“求证”（4）分析题意，探索证明思路（由“因”导“果”，执“果”索“因”）（5）依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰的写出证明过程（6）检查表达过程是否正确、完善要点诠释：（1）一个命题（定理）的逆命题（逆定理）并不是唯一的，这是因为一个命题的题设中可能有两个或多个条件，结论也可能不止一个；（2）逆命题的真假与原命题的真假没有关系.要点二、线段的垂直平分线和角的平分线1.线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的定义垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.（2）线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.如图：∵MN 垂直平分线段AB∴PA=PB（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点诠释：线段的垂直平分线定理与逆定理往往与边相等、角相等的证明密切相关，它提供了证明边、角相等 的又一种重要的方法，在以后的学习中还会与直角三角形、角平分线、勾股定理等连在一起综合应用.2.角的平分线（1）角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.（2）角的平分线有下面的性质定理：①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.如图：∵OP 平分∠AOB ， PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PD=PE.3.垂线的性质性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.要点诠释：（1）当题目中的条件涉及到角平分线上的点与角的两边的垂直关系时，利用角的平分线性质可直接得到垂线段相等，而不必用全等三角形来证，但是在书写过程中，不要漏掉垂直关系；A B O D E P（2）已知角的平分线，有两种常用的添加辅助线的方法：一是把角沿着角平分线翻折，在这个角的两边截取相等线段，从而创设两个全等的三角形；二是过角平分线上的点向角两边做垂线段，利用角平分线的性质定理及其逆定理来解题.要点三、轨迹1.轨迹的定义把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹.要点诠释：轨迹定义包含以下两层含义：其一、轨迹图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都符合条件（也称图形的纯粹性）；其二、轨迹图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上（也称图形的完备性）；所谓轨迹问题的证明就是用论证的方法证明得到的轨迹符合上述两层含义.2.三条基本轨迹轨迹1：和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；轨迹2：到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；轨迹3：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心、以定长为半径的圆.3.交轨法作图利用轨迹相交进行作图的方法叫做交轨法.如果要求作的点（图形）同时要满足两个条件时，我们通常先作出满足条件A的轨迹，然后再作出满足条件B的轨迹，两轨迹的交点则同时满足条件A和条件B.交轨法是常用的作图方法，我们在利用尺规作三角形、线段的垂直平分线、角平分线时，都运用了交轨法.要点诠释：“尺规作图”是指限用无刻度直尺和圆规来作几何图形，基本的尺规作图有如下几种：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）经过一点作已知直线的垂线；（5）作线段的垂直平分线.要点四、直角三角形1. 直角三角形全等的判定（1）直角三角形全等一般判定定理：直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形，即(SAS、ASA、SSS、AAS)（2）直角三角形全等的HL判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为：HL）综上：直角三角形全等的判定方法有SAS、ASA、SSS、AAS、HL.2.直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 3.勾股定理定理：在直角三角形中，斜边大于直角边；勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；勾股定理证明思路：面积分割法（勾股定理逆定理证明思路：三角形全等）勾股数组：如果正整数满足，那么叫做勾股数组，常见的勾股数组有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17.4.两点之间的距离公式如果直角坐标平面内有两点，那么A、B两点的距离为：.两种特殊情况：（1）在直角坐标平面内，轴或平行于轴的直线上的两点的距离为：（2）在直角坐标平面内，轴或平行于轴的直线上的两点的距离为：要点诠释：几何证明的分析思路：（1）从结论出发，即：根据所要证明的结论→去寻找条件.例如：要证线段相等，则需先证：①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到线段相等；②角相等，然后利用等角对等边（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用线段的垂直平分线定理或角平分线定理来得出结论；要证角相等，则需先证：①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到角相等；②线段相等，然后利用等边对等角（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用角平分线逆定理来得出结论；要证垂直，则需先证：①两条直线所夹的角为90°；②先证等腰三角形，然后利用“三线合一”来得出结论（前提：在同一个三角形中）；要证三角形全等，则需先要从已知找条件，看要判定全等还却什么条件，然后再去寻找.（2）从已知出发，即：根据所给条件、利用相关定理→直接可得的结论.例如：已知线段的垂直平分线→线段相等；已知角平分线→到角的两边距离相等或角相等；已知直线平行→角相等；已知边相等→角相等（前提：在同一三角形中）.【典型例题】类型一、命题与证明1.下列语句不是命题的是（）A、两点之间线段最短B、不平行的两条直线有一个交点C、x与y的和等于0吗？D、对顶角不相等。
沪教版数学八年级上册19.1《证明举例》教学设计
沪教版数学八年级上册19.1《证明举例》教学设计一. 教材分析《证明举例》是沪教版数学八年级上册第19.1节的内容，主要介绍了几何证明的基本方法和技巧。
本节课的内容是学生学习几何证明的重要阶段，它不仅巩固了学生对几何图形的认识，而且为后续几何证明的学习打下了基础。
教材通过丰富的举例，使学生了解证明的过程和方法，培养学生逻辑思维能力和空间想象力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何图形基础知识，对几何证明有初步的接触。
但学生在证明过程中，往往对证明的逻辑结构和证明方法掌握不牢固，证明过程混乱，不能准确地表达证明思路。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生理解证明的方法和逻辑结构，提高学生的几何证明能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解几何证明的基本方法和技巧，能够阅读和理解几何证明题。
2.过程与方法：培养学生逻辑思维能力和空间想象力，提高学生解决几何证明问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习几何证明的兴趣，培养学生勇于探索和坚持真理的精神。
四. 教学重难点1.重点：几何证明的基本方法和技巧。
2.难点：证明过程中的逻辑结构和证明方法的运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过问题引导学生思考，案例分析使学生掌握证明方法，小组合作学习促进学生之间的交流和合作。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含几何证明案例的PPT，以便于呈现和讲解。
2.教学素材：准备一些几何证明题目，用于课堂练习和巩固。
3.教学工具：直尺、圆规等绘图工具，以便于学生在课堂上绘制图形。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的几何证明题目，引导学生回顾已学的几何知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）利用PPT展示几何证明的基本方法和技巧，通过具体的案例分析，使学生了解证明的过程和方法。
3.操练（15分钟）学生分组讨论，每组解决一个几何证明题目。
教师巡回指导，解答学生遇到的问题，帮助学生掌握证明方法。
沪教版(五四学制)数学八上 第19章《证明举例》复习课一等奖创新教案(表格式)
沪教版（五四学制）数学八上第19章《证明举例》复习课一等奖创新教案（表格式）_ 月_ _日星期__ 第__周课题十九章证明举例课型复习教时2教学目标1. 掌握平行线、全等三角形、等腰三角形的判定与性质证明有关线段和角相等及线段平行的简单问题。
2. 通过分解基本图形，掌握添置辅助线的方法。
3. 进一步学会演绎推理的方法和规范表达，体会理性思维的精神，发展逻辑思维能力。
重点平行线、全等三角形、等腰三角形的判定与性质的正确运用。
难点几种常见辅助线的添置。
教具准备多媒体课件教学过程教师活动学生活动一、建立知识结构：前阶段我们已经学习了证明线段平行、相等以及角相等的有关定理和基本图形，这节课我们一起来复习、梳理这些知识:1、一个三角形中证明线段和角相等常用的定理和基本图形，常添的辅助线．（等边对等角）（等角对等边）（底边上的高或中线或顶角的平分线）2、在两个三角形中证明线段和角相等，常要证明三角形全等．三角形全等的判定与基本图形：①_________②____________ （S、A、S）___(A、S、A)___③_________④_________(A、A、S)___(S、S、S)___师：联结两点得到线段，构造全等三角形3、有线段中点的条件，常添的辅助线：___ ______ 师：如果有中线，则往往将中线延长一倍，构造成中心对称的三角形；当有角平分线，常添的辅助线有以下几种：4、当有角平分线，常添的辅助线有以下几种在ON上截取OA＝OB, 延长BP交ON于点A ，构造全等三角形___ 构造等腰三角形二、例题分析：例1、已知，如图BD=CE，∠1=∠2，求证：（1）AB=AC．（2）联结ED，试判断BC与ED的位置关系，并证明你的判断．分析：问1、通过对题意分析，你能看出哪些基本图形？问2、证明哪两个三角形全等？问3、能证明△BCE与△CBD全等吗？问4、BC与ED有怎样的位置关系？如何证明？（学生口述证明过程）证明：（1）∵∠1=∠2（已知），∴∠AEC=∠ADB（等角的补角相等）在△ABD与△ACE中∠AEC=∠ADB（已证）∠A=∠A（公共角）BD=CE（已知）∴△ABD≌△ACE （AAS）∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）（2）答：AB ∥ED．证明：∵△ABD≌△ACE（已证）∴AE=AD（全等三角形的对应边相等）∴∠3=∠4（等边对等角）同理：∠ABC=∠ACB∵∠A+∠3+∠4=180°∠A+∠ABC +∠ACB =180°（三角形的内角和为180°）∴∠3+∠4=∠ABC +∠ACB（等式性质）∴2∠3=2∠ABC∴∠3 =∠ABC（等式性质）∴BC∥ED．（同位角相等，两直线平行）适时小结：本例中既有证明线段相等、平行又有证明角相等．既要运用三角形全等，又要运用等腰三角形的性质等定理．因而分解基本图形，选择恰当的方法非常重要．例2 已知：如图,在△ABC中, AD⊥BC于D，AD=BD，点H为AD上一点，AC=BH．求证：∠ABC=∠BCH．分析：问1：从组合图形中能看出有哪些基本图形？问2：由图1可得什么？为什么？问3：图2中的两个三角形是什么三角形？（学生口述证明过程）证明：∵AD⊥BC（已知），∴∠ADB=∠ADC=90 (垂直的意义)．在Rt△BDH和Rt△ADC．∴Rt△BDH和Rt△ADC（H.L）．∴DH=DC（全等三角形的对应边相等），∴∠DCH=∠1（等边对等角），∴∠DCH=45 （三角形内角和为180 ）同理：∠ABC=45 ∴∠ABC=∠BCH（等量代换）．反馈练习：1、已知，如图，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，AD=BC，CE=DF，求证AO=BO．分析：问1、由题意，你找到基本图形吗？问2、由这个基本图形你能得到什么结论？例3：已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点,且AB=5，AC=3，求AD 的取值范围．分析：问1、需要添置辅助线吗？如何添？问2、构造△BED的目的是什么？问3、AD的取值范围如何确定呢？解：设AD=x， 2 x＞2 解得：1＜x＜4 2 x＜8∴AD的取值范围是大于1且小于4．变式：已知，如图，D是BC的中点,且AB=m，AC=n，求AD的取值范围．分析：根据变式的解题方法，进行思考，得出结论．适时小结：如果有线段中点的条件，可以以中点为旋转中心，构造成中心对称的三角形；如果有中线，则往往将中线延长一倍，构造成中心对称的三角形.反馈练习：已知，如图，D是BC的中点,若∠BED=∠CAD，求证:BE=AC；分析：问1、由题意，能直接证明BE=AC吗？问2、如何添置辅助线？问3、添置这个三角形的目的是什么？问4、还有其它的添置方法吗？完整的证明过程学生课后完成．例题4 已知：如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，BC=AC+AD．求证：∠A=2∠B．分析：1．条件BC=AC+AD 使我们想到把线段AD、AC转化到线段BC上，怎样转化呢？．2．“角平分线”的条件，为实现上述转化提供了条件. 怎样翻折呢？怎样添置辅助线呢？基本图形：证明：在CB上截取CE=CA,联结DE．∵CD 是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2.在△ACD与△ECD中AC=CE ∠1=∠2 CD=CD∴△ACD≌△ECD （S.A.S）∴DE=AD, ∠A=∠DEC(全等三角形的对应边，对应角相等).∵BC=CE+BE=AC+AD∴BE=AD(等式性质) ∴DE=BE,∴∠B=∠BDE(等边对等角).∵∠DEC=∠B+∠BDE=2∠B(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和).∴∠A=2∠B．适时小结：注意到CD是△ABC的角平分线，BC=AC+AD．利用图形运动，沿CD将△ABD向下翻折或将△BCD 向上翻折，得到点A或点B的对称点．从而得到添置辅助线的两种常见方法：“截长法“和”补短法”，这是两种不同的添线方法，“截长”和“补短”都可以，一般用“截长法”，在以后的学习中我们可继续体会．例5：求证：等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.分析：根据命题画出图形？（师生一起分析并画图）1）画一个等腰△ABC.2）再画出腰上的高BD.问：（1）高与底边的夹角是哪个角？（2）分析命题的题设和结论，结合图形写出“已知”和“求证”.问1：已知什么？问2：求证什么？已知: 如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D.求证：∠A=2∠DBC问：如何找到∠A的一半？证明：作AE⊥BC，垂足为点E.∵AB=AC , AE⊥BC.∴∠BAC=2∠1(等腰三角形的三线合一).∵AE⊥BC.(已知)∴∠C+∠1=900（直角三角形的两个锐角互余）.同理∠C+∠2=900。
沪教版初中数学第十九章-几何证明
反证法证明命题的一般步骤：
（1）假设：先假设命题的结论不成立。
（2）归谬：从这个假设出发，运用正确的推理方法，得出定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果。
（3)结论：由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。
【典型例题】
【例1】 证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
【分析】 已知等腰三角形两底角的平分线,如何证明两底角的平分线相等。利用两三角形全等的方法进行证明。证明过程中每一步推理都要有依据,依据作为推理的理由，可写在每一步后的括号里。
【解答】（2)、（4)不是命题;（1）、（3）是命题,其中（1）为假命题,（3）为真命题.
【注】真假命题的判别,主要是根据真假命题的定义,如实反映事物情况的命题是真命题，没有如实反映事物情况的命题是假命题。
【例2】 指出下列命题的题设与结论,并改写成如果 ，那么 ”的形式
（1）全等三角形的对应边相等;
【解答】 延长 至 ,使 ，连接 。
(全等三角形对应角相等）
图3
（等角对等边）
（等量代换）
【例4】如图4，在四边形 中, 试证明线段 能构成直角三角形。
【分析】本题的关键是要将 三条线段放到一个三角形中，然后才能判断其形状,其中的60°角又是构造等边三角形的必不可少的条件，因此,通过旋转60°，既保证了图形的不变性，又构造了等边三角形.
图1
即
在 和 中
【例2】 如图2，已知在 中， 是中线， 交 于点 , .
求证： .
【分析】本例通过添加辅助线，把要证明的两条线段“移”到同一个三角形内,构造等腰三角形证得.
【解答】 延长 到点 ,使 ，连接 .
在 和 中
（已知）
（对顶角相等)
沪教版(上海)初中数学八年级第一学期 19.8(2)直角三角形的性质 教案
教学设计表进行线段转化，试着想一想，还有没有别的方法？3、几何画板演示辅助线添法，引导学生进行证明5、小总结：根据之前的学习，我们知道当遇到线段的倍分问题时，可以使用线段的转化来解决，那么推论1给我们提供了什么新思路？题还可以使用特殊角转化（推论1）（板书）例题讲解，巩固运用（1）13’30”-19’40”掌握例题11、让我们来看看这道例题能不能使用我们学习的新思路去解决？题目（板书）：已知：AB=AC，∠B=30°，AD⊥AC求证：1=2BD DC请学生在导学单上先标出已知条件（一位同学上台标记），并思考如何证明3、讲解例题（板2、一位学生用粉笔标出已知条件，效果图：全体学生思考如何证明书）深化理解，变式训练19’40”-27’30”完成导学单上练习部分第1题1、通过用特殊角转化线段的倍分关系，我们已经解决了一道例题，现在请你们自主完成练习部分第一题：3、巡场进行个别辅导（①指出这题是例题1的变式②提示学生将已知在图上进行标记），请完成得快的同学上台分享思路2、完成导学单上练习部分第一题4、一位学生上台讲练习1（通过垂直平分线的定义得到BD=AD，得∠B=∠BAD=30°，从而∠DAC=∠BAC-∠BAD=120°-30°=90°，于是CD=2AD=2BD）几何画板操作简单、绘图精准直观，可以很好地辅助几何题的讲解。
辅以电子白板取代传统黑板，ActivInspire电子白板笔取代粉笔，如虎添翼。
自主梳理，证明推论227’30”-32’00”由推论1的逆命题得到推论2，理解推论2的证明1、回忆之前我们学习的垂直平分线定理和角平分线定理都有逆定理，那请一位同学用文字语言试着说说看推论1的逆命题？3、转化为几何语言？5、思考这个命题2、一位同学回答：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°4、学生回答：已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，12BC AB，求运用几何画板演示定理的推理过程，清晰直观，大大提升了课堂教学的效率。
沪教版(上海)八年级上册数学 19.7-19.8 直角三角形全等的判定 直角三角形的性质 教案
19.7-19.8 直角三角形全等的判定直角三角形的性质教案【学习目标】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.3. 能应用直角三角形的性质解题.【要点梳理】要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。
这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.要点三、直角三角形的性质定理1：直角三角形的两个锐角互余.定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”例1、如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC．证明：∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ，∴DE=DF；∵DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ．∴在Rt△DBE 和Rt△DCF 中，∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL ）；∴EB=FC．总结 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、HL （在直角三角形中）．例2、已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF.求证：AB ∥DC.证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴在Rt △ADE 与Rt △CBF 中.AD BC DE BF ⎧⎨⎩＝，＝∴Rt △ADE ≌Rt △CBF （HL ）∴AE ＝CF ，DE ＝BF∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE在Rt △CDE 与Rt △ABF 中，DE BF DEC BFA EC FA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △CDE ≌Rt △ABF （SAS ）∴∠DCE ＝∠BAF∴AB ∥DC.总结 从已知条件只能先证出Rt △ADE ≌Rt △CBF ，从结论又需证Rt △CDE ≌Rt △ABF.我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目.例3、如图 AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 相交于F ．求证：AF 平分∠BAC ．证明：在Rt△ABD与Rt△ACE中∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)∴AD＝AE(全等三角形对应边相等)在Rt△ADF与Rt△AEF中∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)∴∠DAF＝∠EAF(全等三角形对应角相等)∴AF平分∠BAC(角平分线的定义)总结条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论.举一反三：【变式】如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°AC=BD，BC=BC，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形，∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB=∠DCB，∴OB=OC，∴△OBC是等腰三角形.类型二、直角三角形性质的应用例4、如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥C E，点G为垂足．（1）求证：DC=BE；（2）若∠AEC=66°，求∠BCE的度数．解：（1）∵点G是CE的中点，DG⊥C E，∴DG是CE的垂直平分线，∴DE=DC，∵AD是高，CE是中线，∴DE=BE=12 AB，∴DC=BE；（2）∵DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，∴∠E DB=∠DC E+∠D E C=2∠DC E，∵DE=BE∴∠B=∠EDB，∴∠B=2∠DC E，∴∠AEC=3∠DCE=66°，则∠BCE=22°．。
沪教版(上海)八年级上册数学 19.1 命题与证明 教案
19.1 命题与证明教案【学习目标】1．了解命题、定义、公理、定理的含义，会区分命题的题设（条件）和结论，会在简单情况下判断一个命题的真假；2．理解逆命题、逆定理的概念，会识别互逆命题与互逆定理，并知道原命题成立时其逆命题不一定成立；3．能用基本的逻辑术语、几何证明的步骤、格式和规范进行演绎证明；４．了解证明的含义，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据．【要点梳理】要点一、演绎证明、演绎推理演绎证明从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程．演绎推理演绎推理是数学证明一种常用的、完全可靠的方法．演绎证明是一个严格的数学证明，是我们将要学习的证明方法，演绎证明也称为证明．要点诠释：演绎推理的过程就是演绎证明，并不是所有的真理都可以进行演绎证明．要点二、命题、公理、定理定义能界定某个对象含义的句子叫做定义．命题判断一件事情的句子叫命题．其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题．命题通常由题设、结论两个部分组成，通常可以写成“如果……那么……”的形式. 要点诠释：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以．公理人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始依据．定理从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的原始依据．要点诠释：也就是说同时满足以下两个条件的真命题称为定理：（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.要点三、逆命题和逆定理互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题.互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理.【典型例题】类型一、命题例题1. 判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？做出判断的哪些是正确的？哪些是错误的？(1)对顶角相等； (2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等； (4)a ，b 两条直线平行吗?(5)鸟是动物； (6)若24a =，求a 的值；(7)若22a b =，则a =b ．【答案与解析】句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，其中 (1)(3)(5)判断是正确的，（7）判断是错误的． 句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断．其中(2)属于操作性语句，(4)属于问句，都不是判断性语句.举一反三：【变式】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?(1)若a b ＜，则＜-b a -；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在ΔABC 中，若AB ＞AC ，则∠C ＞∠B 吗?(4)两点之间线段最短；(5)解方程2230x x --=；(6)1＋2≠3．【答案】（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．例题2.根据命题“两直线平行，内错角相等．”解决下列问题：（1）写出逆命题；（2）判断逆命题是真命题还是假命题；（3）根据逆命题画出图形，写出已知，求证．【答案与解析】解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行；（2）是真命题；（3）已知：如图，∠AMN=∠DNM，求证：AB∥CD．举一反三：【变式】下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若a=b，则|a|=|b|；它们的逆命题一定成立的有（）A．①②③B．①③C．②③D．②【答案】D例题3.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：(1)三条边对应相等的两个三角形全等；(2)在同一个三角形中，等角对等边；(3)对顶角相等；(4)同角的余角相等；【答案与解析】（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”．可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”．（2）“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。
沪教版(上海)初中数学八年级第一学期 19.2 几何证明—三课融合 教案
教学
反思
本节课主要围绕如何添加辅助线解题，在解题的过程中主要构造全等三角形解题，主要利用全等三角形的判定定理来证明，关键在于如何添加辅助线，所以要考虑到题目中所缺乏的是什么条件，所拥有的是什么条件，需要补充什么条件，所以就需要做什么样的辅助线。在提问题的过程中，沿用题目出现的方式，又简到难，逐层铺垫，有序进行，让学生能够有想象力，有思考的方向，学生也有了很大的收获。
几何证明—三课融合
教 师
年 级
八年级
授课
时间
科 目
数学
班 级
课 题
几何证明—三课融合
教学
目标
知识与
技能
1、通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，初步掌握规范表达的格式，知道分析证明思路的方法。
过程与
方法
2、会利用关于平行线、全等三角形、等腰三角形的判定和性质，并通过添加辅助线构造全等来证明有关问题。
已知BD=CD，∠1=∠2，求证：:AB=AC
1.已知CD=BD，∠1=∠2，求证:BE=AC
2.已知CD=BD,AF=EF,求证：BE=AC
3. 已知CD=BD，∠1=∠2，∠E=∠BAD, 求证：AB=CE
4.已知CD=BD,BE=CF,求证：AE=AF
5. 已知∠ACB=90°,AC=BC,CD=BD,AD⊥CF交AD于点E，连接DF,求证: ∠FDB=∠ADC
学生自主回顾总结已学习例题，总结解题思路。
同学通过思考从特殊图形到一般图形解决实际问题
通过图形的变化，学生能够根据题意添加适合的辅助线解题。
学生通过练习
灵活运用添加合适的辅助线解题，选择最适合的方法。
沪教版数学八年级上册19.1《几何证明》教学设计
沪教版数学八年级上册19.1《几何证明》教学设计一. 教材分析《几何证明》是沪教版数学八年级上册第19.1节的内容，主要包括几何证明的概念、意义和基本方法。
本节内容是学生学习几何证明的起点，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力具有重要意义。
教材通过生动的实例引入几何证明的概念，接着引导学生通过观察、分析、推理等方法，掌握几何证明的基本方法，如全等证明、相似证明、平行线证明等。
教材还配有丰富的练习题，帮助学生巩固所学知识。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了平面几何的基本知识，如点、线、面的基本概念，以及一些基本的几何性质和定理。
但是，对于几何证明这一概念和方法，学生可能较为陌生。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、实践、推理等方法，逐步理解和掌握几何证明的基本方法。
三. 教学目标1.理解几何证明的概念和意义，知道几何证明的目的和作用。
2.掌握几何证明的基本方法，如全等证明、相似证明、平行线证明等。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
4.培养学生合作交流、自主探究的学习习惯。
四. 教学重难点1.几何证明的概念和意义。
2.几何证明的基本方法。
3.如何在实际问题中运用几何证明。
五. 教学方法1.启发式教学：通过提问、引导、讨论等方式，激发学生的思考，培养学生的逻辑思维能力。
2.实践性教学：让学生通过观察、操作、推理等方法，亲身体验和理解几何证明的过程和方法。
3.合作学习：鼓励学生之间相互讨论、交流，培养学生的合作意识和团队精神。
4.归纳总结：在教学过程中，引导学生总结几何证明的方法和技巧，提高学生的自主学习能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.准备一些实际问题，用于引导学生运用几何证明解决实际问题。
3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何用几何知识来解决这个问题，从而引出几何证明的概念。
2.呈现（10分钟）介绍几何证明的概念和意义，通过图示和实例，让学生理解几何证明的目的和作用。
沪教版(上海)八年级数学第一学期-第十九章 几何证明 复习课件-
知识梳理： 定义
概念
几 何 证 明
命题 真命题 假命题 基本事实 定理 互逆命题
几何证明
证明步骤
平行线 三角形内角和 全等三角形 等腰三角形 等边三角形 角平分线 垂直平分线 直角三角形
知识回顾
定义：用来说明一个名词含义的语句叫做定义。 命题：判断一件事情的句子，叫做命题。
轴对称图形，有三条对称轴
知识梳理： 等边三角形的判定：
名称
图形
判定
等
边
三条边都相等的三角形
三
角
A
三个角都等于60°的三角形
形
B
C 有一个角等于60°的等腰
三角形
知识梳理： 角平分线
定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。 逆定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等
的点，在这个角的平分线上。 定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这
精讲点拨
例 已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边
AC上一点，延长BC到D，连接DE。
D 2
求证：∠1>∠2。 C
证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知），
∴∠1>∠3（
）。
E5
3
∵∠3是△CDE的一个外角，
4
∴∠3>∠2（
）。 A
1 BF
∴∠1>∠2（
）。
把你所悟到的证明真命题的方法，步骤，书写格
）。
），
）， ）。
谢谢
一点到三边的距离相等（这个交点叫做三角形的内 心）。 三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线 交于一点，这个的点到三边所在直线的距离相等。 这样点有三个。
沪教版(上海)初中数学八年级第一学期 19
证明举例——“倍长中线法”的应用教学目标：1．经历添加辅助线解决几何问题的过程，掌握倍长中线的方法；2．经历证明线段之间的等量关系问题，理解添加辅助线的本质，感受图形运动的数学思想；3．在交流学习的过程中，体验问题解决的思维过程和方法，提高解决几何问题的能力。
教学重点：运用全等三角形、等腰三角形等知识解决有关线段之间的等量关系问题。
教学难点：不同图形背景下辅助线的添法。
教学过程：教师活动学生活动教学设计意图【活动一】复习旧知，例题引入问：证明线段相等的方法有哪些？例题1已知：如图，D是BC上的一点，BD=CD，∠1=∠2．求证：AB=AC．问：1、本题要证明的是？2、需要添加辅助线吗？3、这样添加辅助线，实质上是利用了图形的哪种运动？【归纳】等角对等边；全等；等量代换、等式性质.先独立思考，再合作交流1、线段相等.2、需要.讨论添加辅助线线的方法.3、图形的旋转把△ABD绕点D旋转180°后得到△ECD，可得两个全等的证明如图的两条线段相等，图形看似简单，但无法直接运用全等三角形的判定和性质来进行证明.经历倍长中线法添利用图形的旋转，看到线段中点可以采用倍长的方法；证明两条线段相等，今后当有三角形的中点的条件时，它是常添辅助线之一．【活动二】变式训练，深化理解变式1 已知：如图，△BDE和△ACD中，CD=BD，∠1=∠2．求证：BE=AC．【归纳】图形虽然改变了，但条件不变，方法相同. 三角形，使∠1与∠2转化到同一个三角形中解决问题.证明:延长AD到点E，使DE=AD，联结BE.在△ACD与△EBD中,，已作），对顶角相等）（已知），⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=((EDADEDBADCBDCD∴△ACD≌△EBD(S.A.S).得AC=BE，∠2=∠E(全等三角形的对应边相等、对应角相等).又∵∠1=∠2(已知),∴∠E=∠1(等量代换).得BE=BA（等角对等边).∴AB=AC(等量代换).将方法内化，举一反三，自主解决问题.预设：倍长AD、倍长ED思考，并交流思路加辅助线解决几何问题的过程，从运动的角度理解倍长中线法的本质特征，体验问题解决的思维过程和问题转化的方法.改变图形，相同的条件，在使用刚学习的方法添加辅助线构造全等三角形的过程中，内化巩固所获得的相关方法.改变部分条件，增变式2 已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC，延长BE 交AC 于 F.求证：AF=EF【归纳小结】变式3 如图，已知AD 是△ABC 中BC 边上的中线，AE 是△ABD 中BD 边上的中线，且AB=BD.求证：AC=2AE【归纳小结】【活动三】课堂小结谈谈这节课你有什么收获或想法.【活动四】布置作业练习册预设：倍长AD、倍长ED小组合作探究预设：倍长AE、倍长AD等自主归纳小结加图形的复杂程度，进一步尝试倍长中线法添加辅助线解决几何问题，能够进行数学方法的迁移，加深理解.证明一条线段是另一条线段的2倍，化归为等量关系的证明，在解决较难的问题的过程中体会倍长中线添加辅助线的本质，体会数学的化归思想.21D CB A证明举例——“倍长中线法”的应用 学习单班级 姓名学习目标：1.掌握“倍长中线法”添加辅助线；2.在添加辅助线的过程中，理解添辅助线的本质，感受图形运动的数学思想.【活动一】复习旧知，例题引入例题1 已知：如图，D 是BC 上的一点，BD=CD ，∠1=∠2．求证：AB=AC ．21D CB A【活动二】变式训练，深化理解变式1 已知：如图，△BDE 和△ACD 中，CD=BD ，∠1=∠2．求证：BE=AC ．变式2 已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC，延长BE 交AC 于 F.求证：AF=EF.变式3 如图，已知AD 是△ABC 中BC 边上的中线，AE 是△ABD 中BD 边上的中线，且AB=BD.求证：AC=2AE.【活动三】课堂小结这节课你有什么收获或想法？。
沪教版数学八年级上册19.1《证明举例》教学设计
沪教版数学八年级上册19.1《证明举例》教学设计一. 教材分析沪教版数学八年级上册19.1《证明举例》是学生在学习了平面几何基本概念和性质之后的内容，本节通过具体的证明举例，让学生了解证明的方法和步骤，培养学生逻辑思维能力和证明能力。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握证明的基本方法，为后续学习更复杂的几何证明打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了平面几何基本概念和性质，具备一定的逻辑思维能力。
但是，学生在证明方面还缺乏方法和技巧，证明过程往往不够规范，对证明中的逻辑推理和证明步骤还不够清晰。
因此，在教学本节内容时，需要引导学生理解证明的方法和步骤，培养学生逻辑思维能力和证明能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解证明的方法和步骤，培养学生逻辑思维能力和证明能力。
2.过程与方法：通过具体的证明举例，让学生学会如何有条理地表述证明过程，提高学生的逻辑推理能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习几何证明的兴趣，培养学生的耐心和细心。
四. 教学重难点1.重点：证明的方法和步骤。
2.难点：如何准确、规范地进行证明。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考；通过分析案例，让学生理解证明的方法和步骤；通过小组合作学习，让学生互相交流、讨论，提高学生的合作能力和证明能力。
六. 教学准备1.教材和教辅。
2.课件和教学素材。
3.练习题和答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的几何问题，引导学生思考证明的方法和步骤，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）呈现教材中的例题，引导学生分析题目，明确证明的目标。
然后，逐步展示证明的过程，让学生理解证明的方法和步骤。
3.操练（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生分组合作，共同完成一个较复杂的证明问题。
教师引导学生交流、讨论，确保学生能够准确、规范地进行证明。
沪教版(上海)初中数学八年级第一学期 19.9 勾股定理 教案
教学设计模板
活动三活动任务
问题引领练习
主要步骤
（三）练习
1、在Rt⊿ABC中，∠C=90°
（1）已知a=3，b=4，求c
（2）已知a=8，c=10，求b
（3）已知a=3/2，b=2求c
（4）已知a=5，b=12，求c
（5）已知c=25，b=24，求a
（6）已知a=1，c=2，求b
（7）已知a=b=1，求c
（8）已知a=b=2，求c
2、在Rt⊿BCA中，∠A=90°
（1）已知b=4，c=5，求a=____
（2）已知a=13，b=5，求c=____
3、在等腰Rt⊿ABC中，∠C=90°，c=4，求a，b
4、求边长为1的等边三角形的面积.
学习成
果（作
业）
练习册19.9(1)
后续教
学预习
（非必须填写）
教学反思
本节课开始是利用了多媒体介绍了在北京召开的2002年国际数学家大会的会标，其图案为“弦图”，激发学生的兴趣。
导入新课，是课堂教学的重要一环。
“好的开始是成功的一半”，在课的起始阶段，迅速集中学生的注意力，把他们思绪带进特定的学习情境中，激发起学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲，对这堂课教学的成败与否起着至关重要的作用。
运用多媒体展示这一有意义的图案，可有效地开启学生思维的闸门，激发联想，激励探究，使学生的学习状态由被动变为主动，使学生在轻松愉悦的氛围中学到知识。
向学生介绍了勾股定理的证明方法：以赵爽的“弦图”为代表，用几何图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系；让学生了解中国古代在勾股定理方面的成就。
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第十九章几何证明全章复习教案【学习目标】1.理解命题、逆命题、定理、逆定理等的含义；2.掌握证明真命题正确性的方法步骤，会举反例说明假命题的错误；掌握证明线段相等角度相等的基本方法和思路；3.理解轨迹的定义，掌握三种基本轨迹；4.能判断直角三角形全等，能应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、几何证明1．命题和证明（1）命题定义：判断一件事情的句子.判断为正确的命题，叫做真命题；判断为错误的命题，叫做假命题.（2）演绎证明（简称证明）从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程. 要点诠释：命题通常由题设、结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项，可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论.2.公理和定理（1）公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始依据.（2）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并能进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.3.逆命题与逆定理（1）在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，则这两个命题叫互逆命题. 其中一个命题叫原命题；另一个命题叫它的逆命题.（2）如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，则这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫另一个的逆定理.4.证明真命题的一般步骤（1）理解题意，分清命题的条件（已知）、结论（求证）（2）根据题意，画出图形，并在图中标出必要的字母或符号（3）结合图形，用符号语言写出“已知”和“求证”（4）分析题意，探索证明思路（由“因”导“果”，执“果”索“因”）（5）依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰的写出证明过程（6）检查表达过程是否正确、完善要点诠释：（1）一个命题（定理）的逆命题（逆定理）并不是唯一的，这是因为一个命题的题设中可能有两个或多个条件，结论也可能不止一个；（2）逆命题的真假与原命题的真假没有关系.要点二、线段的垂直平分线和角的平分线1.线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的定义垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.（2）线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.如图：∵MN 垂直平分线段AB ∴PA=PB（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点诠释：线段的垂直平分线定理与逆定理往往与边相等、角相等的证明密切相关，它提供了证明边、角相等 的又一种重要的方法，在以后的学习中还会与直角三角形、角平分线、勾股定理等连在一起综合应用.2.角的平分线（1）角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.（2）角的平分线有下面的性质定理：①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.如图：∵OP 平分∠AOB ， PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PD=PE.3.垂线的性质性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.MN BA P AB O D E P要点诠释：（1）当题目中的条件涉及到角平分线上的点与角的两边的垂直关系时，利用角的平分线性质可直接得到垂线段相等，而不必用全等三角形来证，但是在书写过程中，不要漏掉垂直关系；（2）已知角的平分线，有两种常用的添加辅助线的方法：一是把角沿着角平分线翻折，在这个角的两边截取相等线段，从而创设两个全等的三角形；二是过角平分线上的点向角两边做垂线段，利用角平分线的性质定理及其逆定理来解题.要点三、轨迹1.轨迹的定义把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹.要点诠释：轨迹定义包含以下两层含义：其一、轨迹图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都符合条件（也称图形的纯粹性）；其二、轨迹图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上（也称图形的完备性）；所谓轨迹问题的证明就是用论证的方法证明得到的轨迹符合上述两层含义.2.三条基本轨迹轨迹1：和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；轨迹2：到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；轨迹3：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心、以定长为半径的圆.3.交轨法作图利用轨迹相交进行作图的方法叫做交轨法.如果要求作的点（图形）同时要满足两个条件时，我们通常先作出满足条件A的轨迹，然后再作出满足条件B的轨迹，两轨迹的交点则同时满足条件A和条件B.交轨法是常用的作图方法，我们在利用尺规作三角形、线段的垂直平分线、角平分线时，都运用了交轨法.要点诠释：“尺规作图”是指限用无刻度直尺和圆规来作几何图形，基本的尺规作图有如下几种：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）经过一点作已知直线的垂线；（5）作线段的垂直平分线.要点四、直角三角形1. 直角三角形全等的判定（1）直角三角形全等一般判定定理：直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形，即(SAS、ASA、SSS、AAS)（2）直角三角形全等的HL判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为：HL）综上：直角三角形全等的判定方法有SAS 、ASA 、SSS 、AAS 、HL.2.直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.3.勾股定理定理：在直角三角形中，斜边大于直角边；勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；勾股定理证明思路：面积分割法（勾股定理逆定理证明思路：三角形全等）勾股数组：如果正整数c b a 、、满足222c b a =+，那么c b a 、、叫做勾股数组，常见的勾股数组有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17.4.两点之间的距离公式如果直角坐标平面内有两点()()2211,,y x B y x A 、，那么A 、B 两点的距离为： ()()221221y y x x AB -+-=.两种特殊情况：（1）在直角坐标平面内，x 轴或平行于x 轴的直线上的两点()()y x B y x A ,,21、的距离为： ()()()212212221x x x x y y x x AB -=-=-+-=（2）在直角坐标平面内，y 轴或平行于y 轴的直线上的两点()()21,,y x B y x A 、的距离为： ()()()212212212y y y y y y x x AB -=-=-+-=要点诠释：几何证明的分析思路：（1）从结论出发，即：根据所要证明的结论→去寻找条件.例如：要证线段相等，则需先证：①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到线段相等；②角相等，然后利用等角对等边（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用线段的垂直平分线定理或角平分线定理来得出结论；要证角相等，则需先证：①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到角相等；②线段相等，然后利用等边对等角（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用角平分线逆定理来得出结论；要证垂直，则需先证：①两条直线所夹的角为90°；②先证等腰三角形，然后利用“三线合一”来得出结论（前提：在同一个三角形中）；要证三角形全等，则需先要从已知找条件，看要判定全等还却什么条件，然后再去寻找.（2）从已知出发，即：根据所给条件、利用相关定理→直接可得的结论.例如：已知线段的垂直平分线→线段相等；已知角平分线→到角的两边距离相等或角相等；已知直线平行→角相等；已知边相等→角相等（前提：在同一三角形中）.【典型例题】类型一、命题与证明例题1.下列语句不是命题的是（）A、两点之间线段最短B、不平行的两条直线有一个交点C、x与y的和等于0吗？D、对顶角不相等。
【答案】C；【解析】答案A、B、D都是命题，答案C不符合命题的定义.故选C举一反三：【变式】写出下列假命题的反例：（1）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形. ；（2）相等的角是对顶角. .【答案】（1）直角三角形有两个锐角；（2）两直线平行，同位角相等（等等）.类型二、线段的垂直平分线例题2．如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，BC边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN 相交于点F（1）若△CMN的周长为20cm，求AB的长；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．解：（1）∵DM是AC边的垂直平分线，∴MA=MC，∵EN是BC边的垂直平分线，∴NB=NC，AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC=△CMN的周长=20cm；（2）∵MD⊥AC，NE⊥BC，∴∠ACB=180°﹣∠∠MFN=110°，∴∠A+∠B=70°，∵MA=MC，NB=NC ，∴∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，∴∠MCN=40°．举一反三：【变式】如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ， 则∠CBE 等于（ ）A 、80°B 、70°C 、60°D 、50°【答案】C.类型三、角平分线例题3．如图，直线123l ,l ,l 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它的三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A ．一处B ．二处C ．三处D ．四处【答案】D ；解：作直线123l ,l ,l 所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点123P ,P ,P ，内角平分线相交于点P 4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．举一反三：【变式】如图，有一腰长为5cm ，底边长为4cm 的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有个不同的凸四边形．【答案】让三条相等的边互相重合各得到一个平行四边形；让斜边颠倒重合还可以得到一个一般的平行四边形．那么能拼出的四边形的个数是4个．类型四、直角三角形例题4．如图△ABC中，AB=AC=13，BC=24，AD、BE是高，求AD，BE的长。