b6由递推公式求数列通项中的数学思想
由递推关系求数列的通项公式的几种策略
递推关系是一个数列的一种形式，它描述的是每一项的值是上一项的值的函数。
当一
个数列的递推关系被给出时，一般情况下，我们可以使用几种策略来求该数列的通项公式。
首先，我们可以使用“递推法”来求数列的通项公式。
也就是说，根据给定的递推关系，我们可以从第一项开始，一步步推导出后续项，最终求出该数列的通项公式。
这种方法适
用于简单的递推关系，但是当递推关系变得复杂时，这种方法就不适用了。
其次，我们可以使用“变量替换法”来求数列的通项公式。
这种方法是先把递推关系式
中的变量替换成一个新的变量，比如$x$，然后将递推关系式化为一个多项式，最后求出
该多项式的通项公式。
这种方法适用于复杂的递推关系，但是它可能在求解过程中出现不可解的情况。
最后，我们可以使用“数学归纳法”来求数列的通项公式。
这种方法是从第一项开始，
通过数学归纳法，逐步证明每一项与前面项满足递推关系，最终求出数列的通项公式。
这
种方法适用于简单的递推关系，但是当递推关系变得复杂时，这种方法也可能不适用。
总之，当一个数列的递推关系被给出时，我们可以使用“递推法”、“变量替换法”和“数
学归纳法”等几种策略来求该数列的通项公式。
然而，这几种策略并不总是适用，我们还
需要根据实际情况选择合适的策略。
数列递推公式求通项公式的方法
数列递推公式求通项公式的方法数列是指按照一定规律排列的一组数。
而数列递推公式是指通过前一项或几项的数值，推导出数列中后一项的数值的公式。
而求解数列通项公式，即通过已知的数列的部分项求得数列的通项公式的方法，可以分为以下几种：1.列表法：通过列出数列的前几项进行观察和总结，找到数列的规律，从而推导出数列的通项公式。
这种方法常用于找出简单数列的通项公式，如等差数列和等比数列。
2.递推法：利用数列递推的性质，通过对数列进行递推推导出通项公式。
递推法常用于复杂的数列，需要将数列的前几项与后几项进行比较，找到规律并推导出通项公式。
3.数学归纳法：数学归纳法是一种利用已知的数学命题，在该命题的基础上证明该命题对任意自然数（或整数）都成立的方法。
对于数列来说，可以利用已知的数列部分项的性质，通过数学归纳法证明该数列的通项公式的正确性。
4.差分法：差分法是一种通过对数列进行差分操作，将数列变为新的数列，新数列有可能是个数列递推公式/规律更简单的数列。
然后，根据新数列的通项公式，再通过反差分操作推导出原数列的通项公式。
差分法常用于较为复杂的数列，特别适合于数列中的递推关系较为难以发现的情况。
5.比率法：比率法是一种通过比较数列的相邻项之间的比率或比值的变化规律，推导出数列的通项公式的方法。
比率法常用于等比数列或存在比率规律的数列。
需要注意的是，求解数列通项公式并不是一种机械性的计算过程，而是需要灵活运用数学知识、观察和总结数列的规律，并进行推理和证明的过程。
在实际应用中，也可能需要结合上述多种方法进行综合分析来求解数列的通项公式。
数列的递推公式与通项公式知识点总结
数列的递推公式与通项公式知识点总结数列是数学中常见的概念，它指的是按照一定规律排列的一系列数字。
而数列的递推公式与通项公式是研究数列的重要工具。
本文将对数列的递推公式与通项公式进行知识点总结，并探讨其应用。
一、数列的递推公式数列的递推公式，又称为递归公式，是一种用前一项或前几项表示后一项的规律。
递推公式能够方便地求解数列中任意一项的值，同时也能够帮助我们寻找数列的规律。
1.1 等差数列的递推公式等差数列是最简单且常见的一种数列，它的每一项与前一项之差都是一个常数d，称为公差。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则等差数列的递推公式可以表示为：an = an-1 + d，其中n为项数，n>1。
例如，首项为3，公差为2的等差数列的递推公式为：an = an-1 + 2。
1.2 等比数列的递推公式等比数列是指数列中每一项与前一项之比都是一个常数q，称为公比。
设等比数列的首项为a1，公比为q，则等比数列的递推公式可以表示为：an = an-1 * q，其中n为项数，n>1。
例如，首项为2，公比为3的等比数列的递推公式为：an = an-1 * 3。
二、数列的通项公式数列的通项公式是一种用项数n表示第n项的公式。
通项公式能够直接求解数列中任意一项的值，不需要通过递推公式逐项计算。
通项公式的推导需要对数列的规律进行观察和总结。
2.1 等差数列的通项公式对于等差数列，它的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1) * d，其中n为项数。
例如，首项为3，公差为2的等差数列的通项公式为：an = 3 + (n-1) * 2。
2.2 等比数列的通项公式对于等比数列，它的通项公式可以表示为：an = a1 * q^(n-1)，其中n为项数。
例如，首项为2，公比为3的等比数列的通项公式为：an = 2 * 3^(n-1)。
三、递推公式与通项公式的应用递推公式和通项公式在数列相关问题中有广泛的应用，它们能够帮助我们求解数列中任意一项的值，推导数列的规律以及解决实际问题。
由数列的递推公式求通项公式课件
2
⇒ +1 = +
3
3
3
设 =
，则
3
+1 =
即
+1
+1
，有
3+1
+1 = +
+1 − =
2 − 1 =
2 +1
3
2 +1
3
（可用累加法求出通项公式）
3 − 2 =
2 2
3
2 3
3
……,
− −1=
⇒ − 1 =
+1 + = ( + ) ⟹
+1 +
+
= ，
所以{ + }是等比数列，公比为，首项为1 +
（2）是用作差法直接构造： 由已知得 +1 = + , = −1 + ， 两式相减有
+1 − = ( − −1 )
所以+1 − 是公比为的等比数列
由数列的递推公式求通项公式
递推公式：
如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，
那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
例如：等差数列递推公式：+1 = + 或 −1 + +1 = 2
+1
等比数列递推公式：
=
已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具
例3. 在数列{ }中，1 = 1，当 ≥ 2时，有 = 3−1 + 2，求{ }的通项公式。
解法1：设 + = 3(−1 + )，即有 = 3−1 + 2
利用递推关系式求数列的通项公式(有答案绝对好精品)
利用递推关系式求数列的通项公式数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。
而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。
本文给出了求数列通项公式的常用方法。
◆一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。
例1. 根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式：1、1,3,7,15,31,………2、2,6,12,20,30,………3、21212,1,,,,3253………4、1,-1,1,-1………5、1、0、1、0……… ◆二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项)例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.②已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项公式。
◆三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。
也可以猜想出规律，然后正面证明。
例3.（2002年北京春季高考）已知点的序列*),0,(N n x A n n ∈，其中01=x ，)0(2>=a a x ，3A 是线段21A A 的中点，4A 是线段32A A 的中点，…，n A 是线段12--n n A A 的中点，…（1） 写出n x 与21,--n n x x 之间的关系式（3≥n ）。
（2） 设n n n x x a -=+1，计算321,,a a a ，由此推测{}n a 的通项公式，并加以证明。
数列的通项公式与递推公式
数列的通项公式与递推公式数列是数学中的重要概念，在各个领域中都有广泛的应用。
数列由一系列有序的数字组成，可以通过通项公式和递推公式来进行描述和计算。
本文将着重介绍数列的通项公式和递推公式，并探讨它们在数学中的应用。
一、数列的概念和表示方法数列是按照一定顺序排列的一系列数字的集合。
数列中的每个数字称为数列的项，数列的第一个数字称为首项，数列的最后一个数字称为末项。
数列可以用一般项表示为{a₁，a₂，a₃，…}，其中a₁表示数列的首项，a₂表示数列的第二项，以此类推。
二、数列的通项公式数列的通项公式是指通过一个整数n，可以直接求得数列的第n项的公式。
数列的通项公式的形式可以根据数列的性质来确定。
1.等差数列的通项公式等差数列是指数列中后一项与前一项之差都相等的数列。
如果等差为d，首项为a₁，则等差数列的通项公式为an = a₁ + (n-1)d。
2.等比数列的通项公式等比数列是指数列中后一项与前一项之比都相等的数列。
如果公比为q，首项为a₁，则等比数列的通项公式为an = a₁ * q^(n-1)。
3.斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之和的数列。
斐波那契数列的通项公式为an = (φ^n - (1-φ)^n) / √5，其中φ=(1+√5)/2。
三、数列的递推公式数列的递推公式是指通过前面的项来求解下一项的公式。
递推公式可以帮助我们从已知的项推导出其他的项。
1.等差数列的递推公式对于等差数列an，其递推公式为an = an-1 + d，其中an-1表示数列的前一项，d为等差。
2.等比数列的递推公式对于等比数列an，其递推公式为an = an-1 * q，其中an-1表示数列的前一项，q为公比。
3.斐波那契数列的递推公式斐波那契数列的递推公式为an = an-1 + an-2，其中an-1和an-2分别表示数列的前两项。
四、数列的应用数列的通项公式和递推公式在数学中有着广泛的应用。
关于巧用数学思想妙解数列问题
关于巧用数学思想妙解数列问题数列是数学中非常重要的概念，数学中的数列问题也是如此，数学思想在解决数列问题中扮演着重要的角色。
这篇文章将主要讨论数学思想在解决数列问题中的妙用。
一、巧用数学公式数学公式在解决数列问题中是不可缺少的。
我们可以应用数学公式计算数列的通项公式，推导递推公式等等。
例如，对于一些等差数列，可以利用公式“通项公式=首项+（项数-1）×公差”来计算通项公式。
例如：对于等差数列{1，3，5，7，9…}，我们可以先找到公差d是2，而首项为1。
使用公式，通项公式 = 1 + (n-1)×2。
其中n是项数。
这样我们就可以计算出通项公式是2n-1。
又例如，对于一些等比数列，可以利用公式“通项公式=首项×公比的（项数-1）”来计算通项公式。
例如：对于等比数列{2，6，18，54…}，我们可以先找到公比r是3，而首项为2。
使用公式，通项公式= 2 × 3^(n-1) 。
其中n是项数。
这样我们可以计算出通项公式是2×3^(n-1)。
二、逆向思维当我们遇到一个数列问题时，可以采用逆向思维（倒练思维）的方法来得到答案。
特别是在数列中，当我们有固定的项数时，推导问题通常较为困难。
因此，在这种情况下倒着推导往往会更加容易，例如以下两个问题。
例1：有一个等差数列，前5项和为15，前10项和为55，求这个数列的公差和首项值。
我们通常可以想到使用代数运算来解决这个问题。
但也可以逆向推导，从后往前找到答案。
因为前5项和为15，相当于中间一项的数等于3，而前10项和为55，相当于中间一项的数等于6。
因此，公差就是3，而首项就是-7。
例2：在以下数列中，找到第21项的值：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...我们可以尝试使用代数公式来解决这个问题，但其实我们可以倒着推，从第21项开始向前推导。
我们知道第20项是13，因此我们可以得出第19项是8；第18项是5；第17项是3；第16项是2；第15项是1；第14项是1；第13项是0。
数列的递推公式与通项公式的关系
数列的递推公式与通项公式的关系随着数学学科的日益深入和发展，数列递推公式及通项公式的研究也成为了数学学术研究的重要内容。
数列作为一种独特的数学对象，其递推公式和通项公式的研究不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以引领我们更深入地探究数学奥秘。
本文便从数列递推公式与通项公式的关系入手，探讨这两类公式之间的联系和联系背后的数学原理。
一. 数列递推公式的定义和作用数列递推公式，简单来说就是通过已知的数列中前n项的值来推导出数列中第n+1项的值的公式。
数列递推公式的定义可以用下述的数列来阐述：$a_1=1, a_2=2$$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ 可以得到：$a_3=a_2+a_1=3,a_4=a_3+a_2=5,a_5=a_4+a_3=8......$由此可见，数列递推公式是通过前n项数据计算出数列中第n+1项数据的算法。
而在实际应用中，数列递推公式有着广泛的应用。
例如在自然科学、金融管理、统计学等多个领域都有着重要的地位。
例如Fibonacci数列，卡特兰数列都是具有重要的数学意义的递推数列，它们在自然界和金融市场上也有着重要的应用。
二. 数列通项公式的定义和作用到了数列的通项公式部分，通项公式是根据前n项数据，导出数列中第n项数据的公式、表达式。
用经典的等差数列来讲解，$a_n=a_1+(n-1)d$ （n为项数，$a_1$ 为首项，d为公差）从递推公式到通项公式的计算，通常可以利用数学归纳法来推导。
通项公式具有简明利于计算的特点，而且通项公式也可以应用到更广泛的领域之中。
例如生态学、计算机科学等等领域中，通项公式都扮演者重要的角色。
三. 数列递推公式与通项公式的关系数列递推公式和通项公式，其实是一种递进关系。
对于一个递推公式来说，通项公式就是其实际存在的根据。
通项公式是在递推公式的基础上发展而来的。
在实际的运用中，我们通常使用通项公式的方式来计算数列中的各个项的数值。
在此，我们可以举一个简单的例子来说明两者的关系。
根据递推关系求数列通项公式的几种方法
根据递推关系求数列通项公式的几种方法要求根据递推关系求解数列的通项公式，其实是要求找到一个能将数列的每一项都表示为n（项数）的函数的公式。
在数学中，有几种方法可以求解这类问题。
一、代数方法：对于一些简单的递推关系，可以尝试使用代数方法来求解数列的通项公式。
这种方法通过观察数列中的模式，尝试将递推关系转化为代数方程，然后解方程得到通项公式。
例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1我们假设通项公式为Fn=k1a^n+k2b^n，其中k1、k2为常数，a、b为待定数。
k1a^n+k2b^n=k1a^(n-1)+k2b^(n-1)+k1a^(n-2)+k2b^(n-2)整理得：k1a^2-k1a-k2=0。
解这个方程，可以得到a和b的值，然后将a和b的值代入通项公式中，即可求解斐波那契数列的通项公式。
二、特征根法：特征根法是求解一阶线性递推关系（如Fn=aFn-1+b）的通项公式的常用方法。
该方法的基本思想是，将递推关系转化为一个一阶线性常微分方程，然后解方程得到通项公式。
例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列满足的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1将递推关系转化为一阶线性常微分方程得到：y''-y'-y=0其中y=Fn。
解这个方程得到的特征根为α1=(1+√5)/2，α2=(1-√5)/2通项公式可以表示为：Fn=k1(α1)^n+k2(α2)^n其中k1、k2为常数。
利用初始条件F1=1，F2=1，可以求解出k1和k2的值，进而求解出斐波那契数列的通项公式。
三、母函数法：母函数法是一种求解递推关系的高效方法，尤其适用于求解求和问题。
该方法的基本思想是，将数列视为一个幂级数的系数列，通过构造母函数来解决递推关系。
例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1我们假设母函数为F(x)=F0+F1x+F2x^2+F3x^3+...F(x)=x(F(x)-F0)+x^2F(x)整理得：F(x)=F0+xF(x)+x^2F(x)移项得：F(x)=F0/(1-x-x^2)。
由递推公式求数列通项
例1.已知数列{an}满足a1=1, 而且an+1=an+1，求 an 。
基本，a1=1，a2=5， an+2=an+1-an ，则a1994= 。
分析：可求得各项依次为1，5，4，-1，-5，4，1，5，……，每6项是一个周期，而19946 得商为332余2，即a1994=5. 点评：求出前几项，再归纳其规律 从而求an。
在用递推公式求数列通项的以上所有 例题中，使用了大量的数学思想方法， 如逻辑方法中的归纳与演绎，类比、分 析与综合，非逻辑方法中的反思维定势 等。通过此归纳，希望大家不仅关注一 类题的解法（通法），也要在归纳中反 思数学思想方法，从而让数学思想方法 能更广泛、深入地运用于数学学习之中。
2013.4.1
例13. 数列{an}中，a1=a2=1，且an+2=2an+1-an+2n， 求通项an。
分析：可设法转化为一阶递推数列，将已知递推关系变 形为：an+2-an+1-2n+1=an+1-an-2n。这表明数列{ an+2-an+1-2n+1} 是常数列，递推可得，an+1-an-2n=…=a2-a1-2=-2，即有 an+1=an+2n-2，利用题型二方法解出an。 点评：此例的解题思路为降阶。一般地，若数列满 足a1=a,a2=b，且an+2=pan+1+qan+f(n)，可转化为一阶 递推式。设常数α、β，使an+2-αan+1=β(an+1-αan)+f(n) 与an+2=pan+1+qan+f(n)比较得：p=α+β,q=-α· β。令 bn=an+1-αan，则bn+1=βbn+f(n)。
数列递推公式求通项公式的方法与技巧
通项公式求解方法简介肖永钦解决“给出数列的递推公式，要求分析数列相关性质”这一类型的题目中，如果能够求解数列的通项公式，则求解、分析数列变得相当简单。
下面就高中常见的递推公式其通项公式一般解法作简要介绍。
高中常见的递推公式一般经过构造（例如：同时减去一个数或者移项）都可以转化成等比数列、等差数列类型。
（一）已知1a 及q pa a n n +=+1………………（1），求通项公式分析上述递推公式，显然，当0=p 时，数列}{n a 是常数列，通项公式是q a n =；当1=p 时，数列}{n a 是等比数列，通项公式是q a n a a n )(1-+=。
当时且10≠≠p p ，我们不妨设(1)式可以写成)(1x a p x a n n -=-+…………（2），若设x a b n n -=，则数列}{n b 为等比数列，即（1）式可以转化成等比数列。
我们整理(2)式，即px x pa a n n -+=+1，我们发现，如果令q px x =- (3)，则(1)式便可以转化为(2)式，从而此类型的数列的通项公式能够求解。
我们整理（3）式有q px x +=，发现q px x +=方程与（1）式有着显著的关系，即形式上的一致性。
例1：已知数列{}n a 中有111,32n n a a a +==+且，求该数列的通项公式。
分析：由132n n a a +=+有32,1x x x =+=-解得，故由递推公式可以有113(1)n n a a ++=+，即数列}1{+n a 为等比数列，所以有1113(1)n n a a -+=+，把11a =代入，并整理得1231n n a -=⋅-，即求出数列{}n a 的通项公式。
上述右边是加个常数，如果右边加一个与n 相关的变量，则需要再作一定的调整，接下来请看例2例2：已知数列{}n a 中有23,111++==+n a a a n n 且，求该数列的通项公式。
分析：显然本题与【例1】显著的差别就在于后面不是常数了，而是变量，这里我们仍然可以通过待定系统数，把2+n 分配到两边，并构造等比数列。
(易错题)高中数学选修二第一单元《数列》检测(含答案解析)
一、选择题1．已知数列{}n a 中，12a =，111(2)n n a n a -=-≥，则2021a 等于（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．22．我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.问：齐去长安多少里？（ ） A ．1125B ．1250C ．2250D ．25003．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．数列{}n a 满足1n n a a n +=+，且11a =，则8a =（ ）． A ．29B ．28C ．27D ．265．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a >B ．01q <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为7T6．设数列{}n a 满足122,6,a a ==且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则121024102410241024a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦（ ） A ．1022 B ．1023 C ．1024 D ．10257．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且675S S S >>，有下面4个结论： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ， 其中正确结论的序号为（ ） A ．②③B ．①②C ．①③D ．①④8．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A ．2072B ．2073C ．2074D ．20759．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，那么它的通项公式是（ ）A ．21n a n =-B ．21n a n =+C ．41n a n =-D ．41n a n =+10．已知数列{}n a 是等比数列，11a >，且前n 项和n S 满足11lim n n S a →∞=，那么1a 的取值范围是（ ） A．(B ．()1,4C ．()1,2D ．()1,+∞11．等比数列{} n a 的前n 项和为n S ，若63:3:1S S =，则93:S S =（ ） A ．4:1B ．6:1C ．7:1D ．9:112．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510315S S ==，，则20S =（ ） A ．255B ．375C ．250D ．200二、填空题13．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为13-，其前n 项和记为n S ，若对任意的*n N ∈，均有13n nA SB S ≤-≤恒成立，则B A -的最小值为______. 14．已知递增数列{}n a 共有2020项，且各项和均不为零，20202a =，如果从{}n a 中任取两项i a 、j a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2020S =______．15．将数列{2}n 与{32}n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前n 项和n S =___.16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若()112nn n nS a =-+，则129S S S +++=________.17．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足318S =，3180n S -=，270n S =，则n =________.18．已知数列{}n a 满足112a =，121n n a a n n +=++，则n a =__________.19．已知数列{}n a 满足11a = 132n n a a +=+，则{}n a 的通项公式为__________________． 20．等差数列{}n a 满足：123202012320201111a a a a a a a a ++++=-+-+-+⋯+-12320201111a a a a =++++++++，则其公差d 的取值范围为______.三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+，数列{}n b 的通项公式为1n n b x -=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ； （3）设()44n n d n a =+，12n n H d d d =+++()*n N ∈，求使得对任意*n N ∈，均有9n mH >成立的最大整数m 22．数列{}n a 满足()1121nn n a a n ++-=-，n *∈N 且1a a =（a 为常数）. （1）（i ）当n 为偶数时，求4n n a a +-的值； （ii ）求{}n a 的通顶公式；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求证：48411114n S S S ++⋅⋅⋅+< 23．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*12n n a S n N =-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式， （2）设函数13()log f x x =，()()()12n n b f a f a f a =+++，1231111n nT b b b b =+++求证：2n T <． 24．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且满足112a b ==，35730a a a ++=，2316b b a =.（1）求数列{}n a 与和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .①是否存在正整数k ，使得132k k k T T b +=++成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；②解关于n 的不等式n n S b ≥.25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()()31n n n S a n a -=-． （1）求n a ； （2）若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1n T <． 26．已知数列}{n a 满足11a =，)(121n n a a n N *+=+∈.（1）求数列}{na 的通项公式.（2）设n b n =，求数列1n n b a ⎧⎫⎪⎨⎬+⎪⎭⎩的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先计算出{}n a 的前几项，然后分析{}n a 的周期性，根据周期可将2021a 转化为2a ，结合12a =求解出结果.【详解】因为12a =，所以23412311111,11,12,......2a a a a a a =-==-=-=-= 所以3211111111111111111111n n nn n n n na a a a a a a a +++-=-=-=-=-=-=------， 所以{}n a 是周期为3的周期数列，所以20213673+2212a a a ⨯===， 故选：C. 【点睛】思路点睛：根据递推公式证明数列{}n a 为周期数列的步骤：（1）先根据已知条件写出数列{}n a 的前几项，直至出现数列中项循环，判断循环的项包含的项数A ；（2）证明()*n A n a a A N+=∈，则可说明数列{}na 是周期为A 的数列.2．A解析：A 【分析】由题意可知，良马每日行的距离{}n a 以及驽马每日行的距离{}n b 均为等差数列，确定这两个数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得结果. 【详解】由题意可知，良马每日行的距离成等差数列，记为{}n a ，其中1103a =，公差113d =. 驽马每日行的距离成等差数列，记为{}n b ，其中197b =，公差20.5d =-. 设长安至齐为x 里，则1291292a a a b b b x +++++++=，即9813980.521039979225022x ⨯⨯⨯⨯=⨯++⨯-=，解得1125x =.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于得出长安至齐的距离等于良马和驽马九日所行的距离之和的 2倍，并结合题意得知两匹马所行的距离成等差数列，解题时要充分抓住题中信息进行分析，将实际问题转化为数学问题来求解.3．B解析：B 【分析】 由题意可得221114n n a a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n na a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列， 所以2114(1)43nn n a =+-=-， 因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==，所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求n a =，14nb ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题4．A【分析】由已知得11n n n a a -=--，运用叠加法可得选项. 【详解】 解：由题意知：1n n a a n +=+，11n n a a n -∴-=-，即：211a a -=，322a a -=，，11n n n a a -=--，把上述所有式子左右叠加一起得：(1)12n n n a -=+， 88(81)1292a ⨯-∴=+=. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a ，是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第n −1项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法； （5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第n −1项商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且k ≠1，k ≠0）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()11b b k m m k =-=-，， 可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于112(),n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，m ≠0），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b -=+的式子；（7）1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用（6）中的方法求解即可.5．B解析：B 【分析】根据11a >，667711,01a a a a -><-，分0q < ，1q ≥，01q <<讨论确定q 的范围，然后再逐项判断. 【详解】若0q <，因为11a >，所以670,0a a <>，则670a a ⋅<与671a a ⋅>矛盾，若1q ≥，因为11a >，所以671,1a a >>，则67101a a ->-，与67101a a -<-矛盾， 所以01q <<，故B 正确；因为67101a a -<-，则6710a a >>>，所以()26870,1a a a =∈，故A 错误； 因为0n a >，01q <<，所以111n n a q a S q q=---单调递增，故C 错误； 因为7n ≥时，()0,1n a ∈，16n ≤≤时，1n a >，所以n T 的最大值为6T ，故D 错误； 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过穷举法确定01q <<.6．B解析：B 【分析】由2122n n n a a a ++-+=变形得()2112n n n n a a a a +++---=，令1n n n b a a +=-，可得n b 为等差数列，求得{}n b 通项进而求得{}n a 通项， 结合裂项公式求1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和，再由最大整数定义即可求解 【详解】由()12121222n n n n n n n a a a a a a a +++++--=-+⇒=-，设1n n n b a a +=-，则12n nb b ，{}n b 为等差数列，1214b a a =-=，公差为2d =，故22=+n b n ，112n n n b n a a --==-，()1221n n a a n ---=-，，2122a a -=⨯，叠加得()()121n a a n n -=+-，化简得2n a n n =+，故()111111n a n n n n ==-++，所以1210241024102410241111111024110241223102410251025a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++=⨯-+-++-=⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1024102410231025⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查构造数列的使用，等差通项的求解，叠加法求前n 项和，裂项公式求前n 项和，新定义的理解，综合性强，常用以下方法： （1）形如()1n n a a f n --=的数列，常采用叠加法求解；（2）常见裂项公式有：()11111n n n n =-++，()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭7．B解析：B 【分析】利用等差数列的前n 项和的性质可得正确的选项． 【详解】由675S S S >>得760S S -<，750S S ->，则70a <，670a a +>， 所以60a >，所以0d <，①正确； 111116111102a a S a +=⨯=>，故②正确； 1126712126()02a a S a a +=⨯=+>，故③错误； 因为60a >，70a <，故数列{}n S 中的最大项为6S ，故④错误． 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的性质， 考查等差数列前n 项和的性质.8．C解析：C 【分析】由于数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯共有2025项，其中有45个平方数，12个立方数，有3个既是平方数，又是立方数的数，所以还剩余20254512+31971--=项，所以去掉平方数和立方数后，第2020项是在2025后的第()20201971=49-个数，从而求得结果. 【详解】∵2452025=，2462116=，20202025<，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉45个平方数，因为331217282025132197=<<=，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉12个立方数，又66320254<<，所以在从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中有3个数即是平方数， 又是立方数的数，重复去掉了3个即是平方数，又是立方数的数， 所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉平方数和立方数后还有20254512+31971--=项，此时距2020项还差2020197149-=项， 所以这个数列的第2020项是2025492074+=， 故选：C. 【点睛】本题考查学生的实践创新能力，解决该题的关键是找出第2020项的大概位置，所以只要弄明白在数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解，属于中档题.9．C解析：C 【解析】分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，当2n ≥时，221(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦， 且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.10．A解析：A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，可知10q -<<或01q <<，计算出111lim 1n n a S q a →∞==-，可得出q 关于1a 的表达式，结合q 的范围，可解出1a 的取值范围. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于11lim n n S a →∞=，则10q -<<或01q <<， ()111n n a q S q-=-，则()11111lim lim11n n n n a q a S qq a →∞→∞-===--，得211q a =-. ①若10q -<<，则21110a -<-<，即2112a <<，11a >，解得1a <<； ②当01q <<，则21011a <-<，得2101a <<，11a >，则2101a <<不成立.综上所述，1a的取值范围是(. 故选A. 【点睛】本题考查利用极限求等比数列首项的取值范围，解题的关键就是得出公比与首项的关系，结合公比的取值范围得出关于首项的不等式，考查运算求解能力，属于中等题.11．C解析：C 【分析】利用等比数列前n 项和的性质k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -，成等比数列求解.【详解】因为数列{} n a 为等比数列，则3S ，63S S -，96S S -成等比数列， 设3S m =，则63S m =，则632S S m -=， 故633S S S -=96632S S S S -=-，所以964S S m -=，得到97S m =，所以937SS =. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列前n 项和性质的运用，难度一般，利用性质结论计算即可.12．A解析：A 【分析】由等比数列的性质，510515102015,,,S S S S S S S ---仍是等比数列，先由51051510,,S S S S S --是等比数列求出15S ，再由10515102015,,S S S S S S ---是等比数列，可得20S . 【详解】由题得，51051510,,S S S S S --成等比数列，则有210551510()()S S S S S -=-，215123(15)S =-，解得1563S =，同理有215101052015()()()S S S S S S -=--，2204812(63)S =-，解得20255S =.故选：A 【点睛】本题考查等比数列前n 项和的性质，这道题也可以先由510315S S ==，求出数列的首项和公比q ，再由前n 项和公式直接得20S 。
由递推公式求数列通项中的数学思想
由递推公式求数列通项中的数学思想成都市玉林中学 周先华递推公式是认识数列的一种重要形式，是给出数列的基本方式之一。
在近几年高考题目中均有此类题，特别是2004年全国及各省市地方命题中以较大分值出现；而且数列是初等数学与高等数学的衔接点之一。
另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。
学习数学的根本目的在于培养数学能力，即运用数学解决实际问题和进行发明创造的本领，而这种能力，不仅表现在对数学知识的记忆，而且更主要地反映在数学思想方法的素养上。
因此，研究由递推公式求数列通项公式中的数学思想方法是很有必要的。
一．引入问题：已知数列{a n }满足a 1=1, 且a n+1 =3n a +1,求a n 。
分析一：归纳法。
由递推公式，可求出a 2=4，a 3=13，a 4=40。
则a 2-a 1=3=31，a 3-a 2=9=32，a 4-a 3=27=33。
由此猜测：a n -a n-1=3n-1（可用数学归纳法证明），所以a n-1-a n-2=3n-2，a n-2-a n-3=3n-3……，a 4-a 3=33，a 3-a 2=32，a 2-a 1=31，把上式子累加，得，a n -a 1=31+32+33+……+3n-1=，得a n =312n -。
分析二：构造法。
由a n+1 =3n a +1，得a n+1 +12=3（a n +12），即数列{a n +12}为一个公比为3的等比数列，则 a n +12=(1+12)·3n-1 =312n -。
分析三：迭代法。
a n =3a n-1+1=3(3a n-2+1)+1=32a n-2+3⨯1+1=…=3n-1a 1+3n-2 ⨯1+3n-3⨯1 +…+3⨯1+1=312n - 点评：（1）分析一中先猜测出前后两项差的关系，再用累加法求出通项；这种用不完全归纳法求出前几项再找规律的的方法，对所有求数列通项的题均适用，应培养归纳能力；（2）分析二中构造出新数列，由新数列求出a n 的通项；（3）分析三使用迭代法，这也是由递推式求通项的基本方法。
数列通项公式的若干求法及转化思想
数列通项公式的若干求法及转化思想求通项公式是学习数列时的一个难点。
由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。
一． 公式法（1）已知数列的前n 项和求通项时，通常用公式⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn 。
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”即a 1和a n 合为一个表达式。
例1、已知数列{}n a 的前n 项和为：① n n S n -=22 ② 12++=n n S n 求数列{}n a 的通项公式。
二． 由递推式求数列通项对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。
称辅助数列法。
例题：已知数列｛n a ｝中，211=a ，)2(141≥+=+n a a n n ， 变式1：已知数列｛n a ｝中，211=a ，1134---=n n n a a 。
求n a 变式2：已知数列｛n a ｝中，211=a ，23411+-=--n n n a a 。
求n a 变式3：已知数列｛n a ｝中，211=a ，n n n n a a 23411+-=--。
求n a 变式4：已知数列｛n a ｝中，211=a ，2341+-=-n a a n n 。
求n a 变式5：已知数列｛n a ｝中，211=a ，23421++-=+n n a a n n 。
求n a 变式6：已知数列｛n a ｝中，211=a ，13411++-=-+n a a n n n 。
求n a 类型1 递推公式为类型2递推公式为例1．已知｛n a ｝满足n n a a 211=+，且21=a ，求n a 例2．已知｛n a ｝满足0,1≠=+n n n a na a ，且11=a ，求n a 例4．已知数列满足，求。
例5。
已知11313,(1)32n n n a a a n n +-==≥+，求n a 。
由递推公式求数列的通项(说课稿)
由递推公式求数列的通项（说课稿）一、学情分析和教法设计：1、学情分析：学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也学过了数列通项公式的求法，也接触过了数列的递推关系。
但这部分内容学生容易出差错，所以有必要对此内容进行深入研究，使学生能更好的掌握。
本节课作为一节专题探究课，将会根据递推公式求出数列的项，并能运用累加、累乘、化归等方法求数列的通项公式，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。
2、教法设计：本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。
采用以问题情景为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。
先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题及变式中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。
在教学过程中采取如下方法：①诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性；②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性；③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
④思维导图：利用思维导图，将本节课内容进行梳理，联系之前学习的内容，进行发散思维，加深学生的记忆。
二、教学设计：1、教材的地位与作用：递推公式是认识数列的一种重要形式，是给出数列的基本方式之一。
对数列的递推公式的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考常新的内容；化归思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。
高中二年级下学期数学《利用数列的递推公式求通项公式(1)》教学设计
1.数列的递推公式的转化；
2.会用递推公式求通项公式.
教学过程
教学流程图
复习回顾→复习证明→例题解析→归纳总结→布置作业
一、复习回顾
引导语：在前面，我们知道：如果一个数列的相连两项或多项之间的关系可以用一个式子来变式，那么这个式子就叫递推公式。
设ห้องสมุดไป่ตู้意图：温故而知新，为本节课的学习作铺垫.
二、复习证明
回顾等差数列的递推公式的推导过程：
设一个等差数列 的首项为 ，公差为 ，求数列 的通项公式.
由定义，得：
再有
进一步可得: ,
则就可以得到等差数列的递推公式为：
【问题1】紧接着，提出疑问：如果 ，那我们该如何求通项公式呢？
那么，就得出累加法求这类满足通项公式的作法。
三、例题解析
例1 在数列 中， 且 ，求数列 的通项公式.
【问题2】这个题该如何求解呢？
①你能改变它的递推公式吗？
②它的递推公式能改变成什么样子？
【问题3】如果递推公式改变为： ，接下来又该怎么做呢？
①我们不妨令
②接着两边进行累加就可以计算出最终的通项公式.
举一反三
练习：在数列 中， 且 ，求数列 的通项公式.
疑问：
如果递推公式 ，那我们该如何求它的通项公式呢？这里我们可以类比等比数列的递推公式的求法？
【方法】运用累乘法求出最终的通项公式.
例2 在数列 中， 且 ，求数列 的通项公式.
【问题4】这个题该如何求解呢？
①你能改变它的递推公式吗？
②它的递推公式能改变成什么样子？
【问题5】如果递推公式改变为： ，接下来又该怎么做呢？
①我们不妨令
②接着两边进行累乘就可以计算出最终的通项公式.
关于巧用数学思想妙解数列问题
关于巧用数学思想妙解数列问题引言数列问题在高中数学中占据了很重要的位置，也是许多学生觉得难以理解和解决的难点之一。
本文将探讨一些巧用数学思想的方法，来解决数列问题。
我们将通过以下三个方面来进行分析和讨论：1.计算排列组合的摸索；2.列方程法；3.对数列常用方法进行总结和提炼。
计算排列组合的摸索数列问题中最常用的方法是计算排列组合。
有时，通过对问题中几个数的组合形式进行分析，我们可以推断出问题的规律，从而解决问题。
举个例子：已知数列a n的前3项分别为1,2,6，且a n+a n−1=3a n−2，则数列a n的通项公式为多少？对于这个问题，我们可以先从通项公式进行推导。
但是，如果您观察到公式中的3和2，就会有种意识到了某些排列组合的感觉。
事实上，我们可以将a n和a n−1的和a n−2表示为两个非零整数之和，而a n−2则表示这两个整数的积。
这实际上是一种很常见的排列组合方式，遵循着这个模式可以解决出这个问题。
列方程法列方程法是数列问题中的常用方法。
通过对问题中数列的趋势进行分析，并建立各种方程式，我们可以解决许多复杂的问题。
例如，有人在8月1日买下了100元的股票，并在接下来的7个交易日内进行了一系列交易。
已知在第i天买入后第二天卖出的收益为，其中a1=−7，a2=3，a3=−5，a4=6，a5=−1，a6=4，a7=2。
请计算并输出这七天中最大的收益是多少。
对于这个问题，我们可以通过列方程式来解决它。
我们定义f i为在第i天卖出到最后并得到的最大收益。
对于i，计算f i的方法可以表示为：$$ f_i=\\max(a_i,a_i+f_{i+1}) $$我们按从i=7开始的顺序递归计算出每个f i，并求出最大值，就可以得到答案。
对数列常用方法进行总结和提炼在数列问题中，除了以上两种方法外，还有很多其他的算法可以用来解决这些问题。
但是，这些方法都具有一些共同特点，它们的基础都是数学推理和论证。
我们可以总结出以下一些方法，以便更好地解决数列问题。
数列通项公式的若干求法及转化思想
数列通项公式的若干求法及转化思想数列通项公式是数列中每一项的表达式，它可以帮助我们快速计算数列中的任意一项。
在数学学科中，数列通项公式的求法有多种，并且存在着一些转化思想可以帮助我们简化求解过程。
本文将介绍数列通项公式的若干求法以及相关的转化思想。
一、数列通项公式的递推关系求法在数列中，如果每一项都与前一项有规律地递推关系，我们可以通过观察这种递推关系来求解数列的通项公式。
以斐波那契数列为例，它的递推关系是每一项等于前两项的和。
即f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(n)表示第n项的值。
通过观察递推关系，我们可以推导出斐波那契数列的通项公式为f(n) = [(1+√5)/2]^n / √5 - [(1-√5)/2]^n / √5。
二、数列通项公式的公式求法有些数列的通项公式是通过数学公式直接求出的，这种方法适用于特定的数列。
比如等差数列，它的通项公式为a(n) = a(1) + (n-1)d，其中a(n)表示第n项的值，a(1)表示首项的值，d表示公差。
等比数列的通项公式为a(n) = a(1) * r^(n-1)，其中a(n)表示第n项的值，a(1)表示首项的值，r 表示公比。
三、数列通项公式的数学工具求法在数列的求解过程中，我们还可以借助一些数学工具来求出通项公式。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的求解数列通项公式的方法。
它基于拉格朗日插值多项式的思想，通过已知的数列项来构造多项式，再根据多项式的性质求解通项公式。
2. 生成函数法生成函数是一种将数列转化为形式幂级数的数学工具，通过求解生成函数的表达式可以得到数列的通项公式。
四、数列通项公式的转化思想在求解数列通项公式的过程中，有时我们可以通过一些转化思想简化求解过程，使得问题更易于处理。
1. 利用性质转化有些数列具有周期性或对称性的性质，我们可以利用这些性质来求解数列的通项公式。
比如，等差数列中差值为1的数列，可以通过平方或立方等方式进行变形，得到更简单的表达式。
高三数学由递推关系求通项公式的数列问题知识点分析
由递推关系求通项公式的数列问题通过递推关系求出数列的通项公式，是解决数列问题时经常遇到的，这类问题的处理方法是向特殊数列转化，利用特殊数列的性质求数列的通项公式，下面提供几类有规律的变形。
一、递推关系行如：1()n n a a f n +=+的数列利用迭加的方法直接求解或利用迭加，迭代法得1(1)(2)(1)n a a f f f n =++++-，（2n ≥）然后求解。
例1 数列{}n a 中11a =，且221212(1),3k kk k k k a a a a -+=+-=+，其中1,2,3,k =，求数列{}n a 的通项公式。
解：2123k k k a a +=+=21(1)k k a -+-3k+∴21k a +－21k a -=(1)k -3k +同理21k a -－23k a -=13k -+1(1)k --，，313(1)a a -=+-∴（21k a +－21k a -）+（21k a -－23k a -）++31a a -=（123333kk -++++）+[1(1)(1)(1)k k --+-++-]从而21k a +－1a =31(31)[(1)1]22k k -+-- 易得到{}n a 的通项公式：n 为奇数时：121231(1)122n n n a -+=+-⨯- n 为偶数时：2231(1)122nn n a =+-⨯- 二、递推关系形如：1()n n a a f n +=的数列利用迭乘或迭代法可得：1(1)(2)(1)()n a a f f f n f n =-≥（n 2）例2 数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且1a =1，2*()n n a n N =∈n s ，求数列{}n a 的通项公式解：由2n n a =n s 知21(1)n n a -=-≥n-1s （n 2）∴221(1)n n n a n a -=--n n-1s -s 又≥n 2时=n n-1s -s n a则(1)n +1(1)n n a n a -=-≥（n 2）由110a =≠知各项都不等于0，得：111n n a n a n --=+ ∴32121121,,,341n n a a a n a a a n --===+ 各项相乘得：12(1)n a a n n =+ ∴2(1)n a n n =≥+（n 2） 又n=1时适合上式，所以数列{}n a 的通项公式2(1)n a n n =+三、递推关系形如：11n n n n a a pa a ---=（p 为常数且0p ≠）的数列可化为111n n a a --=p 求出1na 的表达式，再求n a 例3 数列{}n a 中11a =，当≥n 2时其前n 项和n s 满足21()2n a =n n s s -，求数列{}n a 的通项公式。
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2004
一．引入问题： 已知数列 {a n} 满足 a1=1, 且 an+1 = 3an +1, 求 an。
1
2
3
n-1
分析一： 归纳法。 由递推公式， 可求出 a2=4，a3=13，a4=40。则 a2-a 1=3=3 ，a3-a 2=9=3 ，a4-a 3=27=3 。由此猜测： an-a n-1 =3
f(n) 不
同而已，依照上法，可以轻松求解。
（ 4）运用类比推理的思想方法，把例 3 与例 1 的形式进行比较后可看出类似之处，从而在方法上类同。
五．引入问题——基本题型的归纳
q
q
对递推式为 an+1=pan+q（p、q 为常数）时，可构造新数列 a + n+1
=p(a n+
) 。其证明的简略过程如下： 由 an+1=pan +q，
（可用数学归纳法证明）
，所以
an-1 -a
=3n-2
n-2
，
an-2
-a
=3n-3
n-3
,,
，
a4-a 3=33 ， a3-a 2=32， a2-a 1=31，把上式子累加，得，
an-a 1 =31+32+33+,,
+3n-1 =，得
3n
an=
1。
2
分析二：构造法。由
an+1 = 3an +1，得
1
。显然，可把等和数列理解为 an+1+an=d 形式，即摆动数列。
2
例 3. 已知数列 {a n} 中， a1=1，对任意自然数 n 都有 an)
分析：由已知， an an 1
2
， an 1 an 2
2 ，,, ，
n(n 1)
(n 1)n
a3 a2
版权所有 仅供参考
本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！ ！
本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！ ！
由递推公式求数列通项中的数学思想
成都市玉林中学 周先华 递推公式是认识数列的一种重要形式，是给出数列的基本方式之一。在近几年高考题目中均有此类题，特别是 年全国及各省市地方命题中以较大分值出现；而且数列是初等数学与高等数学的衔接点之一。另一个面，数学思想方法 的考查在高考中逐年加大了它的份量。学习数学的根本目的在于培养数学能力，即运用数学解决实际问题和进行发明创 造的本领，而这种能力，不仅表现在对数学知识的记忆，而且更主要地反映在数学思想方法的素养上。因此，研究由递 推公式求数列通项公式中的数学思想方法是很有必要的。
二．基本概念：
递推公式：如果已知数列的首项（或前几项） ，而且数列的任一项 an 与它的前一项（或前几项）之间的关系可用公
式的形式，这个公式叫递推公式。
三．题型 1
例 1. 已知数列 {a n} 满足 a1=1, 而且 an+1=an+1，求 an。
例 2. 已知 {a n} 满足 a1=1, 且 a = n+1 3an ，求 an。
分析：例 1 中，由已知条件得 an+1-a n=1，即 {a n} 为等差数列；例 2 中，得 an 1 =3，即 {a n} 为等比数列。 an
点评：（ 1）例 1 由引入问题中 3 变为 1 ；例 2 由引入问题中的 1 变为 0；
（ 2）递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（ d,q 为常数）时，可直接转化为等差数列或等比数列从而求解。
2 ，累加，得
34
23
1
1
1
1
an-a 1 =2
...
n(n 1) ( n 1)n (n 2)(n 1)
23
=2 1 1 。 2 n1
点评：（1）例 3 由例 1 中的常数项 1 变为 f(n) 而得来；
（ 2）递推式为 an+1=an+f(n) ，只要 f(1)+f(2)+ ,, +f(n-1) 是可求的，可用累加法求出。
p1
p1
q
令 an+1+x =p(a n+x) ，化简，得 an+1=pan+px-x ，因此 px-x=q ，即 x=
。得证。
p1
例 4：已知数列 {a n} 中， a1=1， an 1
an ，求 an。 an 3
分析：把两边取倒数，可得
1
1
1
3
1 。令 bn
，则 bn+1=3bn+1，即引入问题，按上法可求解。
an+1 +
1
=3（ an+
），即数列
1
{a n+
} 为一个公比为
3 的等比数列，则
2
2
2
1
an+ =(1+
1 ) · 3n-1 =
3n
1。
2
2
2
分析三：迭代法。 an=3an-1 +1=3(3a n-2 +1)+1=3 2an-2 +3 1+1=, =3n-1 a1+3n-2
1+3n-3
1 +,
+3
c
②若 d， c ≠ 0, 且 bc≠ ad，令 an= b n+t(t 为待定系数 ) 转化为情形①。 例 5. 设数列 {a n} ：a1=1, 且 4an+1-a nan+1+2an=9。求通项 an.
3n
1+1=
1
2
点评：（ 1）分析一中先猜测出前后两项差的关系，再用累加法求出通项；这种用不完全归纳法求出前几项再找规律
的的方法，对所有求数列通项的题均适用，应培养归纳能力；
（ 2）分析二中构造出新数列，由新数列求出
an 的通项；
（ 3）分析三使用迭代法，这也是由递推式求通项的基本方法。
本文将由此例题展开，对它进行各种变形，力求归纳出由递推公式求通项公式的方法。
an 1
an
an
点评：（ 1）转换问题，化成基本型后求解（运用反思维定势定势方法中的转移思维方法）
（ 2）对分式型递推数列可归纳如下：设
a1=a， an 1
can
d (a
0)
aan b
①若 d=0，则上式变形为 1
b1 a
1
b
a
，令 bn
, 则 bn 1
bn
, 即基本型。
an 1 c an c
an
c
（ 3）今年安徽题中也有这样一题：已知数列
{a n} 中 a1=1，且 a2k=a2k-1 +(-1) k，a2k+1=a2k+3k，其中 k=1,2,3 ,, （ 1）求
a3，a5（ 2）求数列 {a n} 的通项公式。这是一个 an+1=an+f(n) 型的函数，只不过偶数项减奇数项与奇数项减偶数项的
（ 3）今年北京考题中有这样一题：定义“等和数列” ：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常
数，那么这个数列叫做等和数列， 这个常数叫做此数列的公和； 已知数列 {a n} 满足 a1=2，公和为 5，那么 a18的值为
；1知识改变命运 提升自我这个数列的前 n 项和 Sn 的计算公式为 四．题型 2