b6由递推公式求数列通项中的数学思想

3n
1+1=
1
2
点评：（ 1）分析一中先猜测出前后两项差的关系，再用累加法求出通项；这种用不完全归纳法求出前几项再找规律
的的方法，对所有求数列通项的题均适用，应培养归纳能力；
（ 2）分析二中构造出新数列，由新数列求出
an 的通项；
（ 3）分析三使用迭代法，这也是由递推式求通项的基本方法。
本文将由此例题展开，对它进行各种变形，力求归纳出由递推公式求通项公式的方法。
an+1 +
1
=3（ an+
），即数列
1
{a n+
} 为一个公比为
3 的等比数列，则
2
2
2
1
an+ =(1+
1 ) · 3n-1 =
3n
1。
2
2
2
分析三：迭代法。 an=3an-1 +1=3(3a n-2 +1)+1=3 2an-2 +3 1+1=, =3n-1 a1+3n-2
1+3n-3
1 +,
+3
二．基本概念：
递推公式：如果已知数列的首项（或前几项） ，而且数列的任一项 an 与它的前一项（或前几项）之间的关系可用公
式的形式，这个公式叫递推公式。
三．题型 1
例 1. 已知数列 {a n} 满足 a1=1, 而且 an+1=an+1，求 an。
例 2. 已知 {a n} 满足 a1=1, 且 a = n+1 3an ，求 an。
2004
一．引入问题： 已知数列 {a n} 满足 a1=1, 且 an+1 = 3an +1, 求 an。
1
2
3
n-1
分析一： 归纳法。 由递推公式， 可求出 a2=4，a3=13，a4=40。则 a2-a 1=3=3 ，a3-a 2=9=3 ，a4-a 3=27=3 。由此猜测： an-a n-1 =3
（可用数学归纳法证明）
，所以
an-1 -a
=3n-2
n-2
，
an-2
-a
=3n-3
n-3
,,
，
a4-a 3=33 ， a3-a 2=32， a2-a 1=31，把上式子累加，得，
an-a 1 =31+32+33+,,
+3n-1 =，得
3n
an=
1。
2
分析二：构造法。由
an+1 = 3an +1，得
1
2 ，累加，得
34
23
1
1
1
1
an-a 1 =2
...
n(n 1) ( n 1)n (n 2)(n 1)
23
=2 1 1 。 2 n1
点评：（1）例 3 由例 1 中的常数项 1 变为 f(n) 而得来；
（ 2）递推式为 an+1=an+f(n) ，只要 f(1)+f(2)+ ,, +f(n-1) 是可求的，可用累加法求出。
（ 3）今年北京考题中有这样一题：定义“等和数列” ：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常
数，那么这个数列叫做等和数列， 这个常数叫做此数列的公和； 已知数列 {a n} 满足 a1=2，公和为 5，那么 a18的值为
；
1
知识改变命运 百度提升自我
这个数列的前 n 项和 Sn 的计算公式为 四．题型 2
p1
p1
q
令 an+1+x =p(a n+x) ，化简，得 an+1=pan+px-x ，因此 px-x=q ，即 x=
。得证。
p1Fra Baidu bibliotek
例 4：已知数列 {a n} 中， a1=1， an 1
an ，求 an。 an 3
分析：把两边取倒数，可得
1
1
1
3
1 。令 bn
，则 bn+1=3bn+1，即引入问题，按上法可求解。
。显然，可把等和数列理解为 an+1+an=d 形式，即摆动数列。
2
例 3. 已知数列 {a n} 中， a1=1，对任意自然数 n 都有 an an 1
，求 an。
n( n 1)
分析：由已知， an an 1
2
， an 1 an 2
2 ，,, ，
n(n 1)
(n 1)n
a3 a2
2 ， a2 a1
f(n) 不
同而已，依照上法，可以轻松求解。
（ 4）运用类比推理的思想方法，把例 3 与例 1 的形式进行比较后可看出类似之处，从而在方法上类同。
五．引入问题——基本题型的归纳
q
q
对递推式为 an+1=pan+q（p、q 为常数）时，可构造新数列 a + n+1
=p(a n+
) 。其证明的简略过程如下： 由 an+1=pan +q，
分析：例 1 中，由已知条件得 an+1-a n=1，即 {a n} 为等差数列；例 2 中，得 an 1 =3，即 {a n} 为等比数列。 an
点评：（ 1）例 1 由引入问题中 3 变为 1 ；例 2 由引入问题中的 1 变为 0；
（ 2）递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（ d,q 为常数）时，可直接转化为等差数列或等比数列从而求解。
c
②若 d， c ≠ 0, 且 bc≠ ad，令 an= b n+t(t 为待定系数 ) 转化为情形①。 例 5. 设数列 {a n} ：a1=1, 且 4an+1-a nan+1+2an=9。求通项 an.
知识改变命运 百度提升自我
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本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！ ！
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由递推公式求数列通项中的数学思想
成都市玉林中学 周先华 递推公式是认识数列的一种重要形式，是给出数列的基本方式之一。在近几年高考题目中均有此类题，特别是 年全国及各省市地方命题中以较大分值出现；而且数列是初等数学与高等数学的衔接点之一。另一个面，数学思想方法 的考查在高考中逐年加大了它的份量。学习数学的根本目的在于培养数学能力，即运用数学解决实际问题和进行发明创 造的本领，而这种能力，不仅表现在对数学知识的记忆，而且更主要地反映在数学思想方法的素养上。因此，研究由递 推公式求数列通项公式中的数学思想方法是很有必要的。
（ 3）今年安徽题中也有这样一题：已知数列
{a n} 中 a1=1，且 a2k=a2k-1 +(-1) k，a2k+1=a2k+3k，其中 k=1,2,3 ,, （ 1）求
a3，a5（ 2）求数列 {a n} 的通项公式。这是一个 an+1=an+f(n) 型的函数，只不过偶数项减奇数项与奇数项减偶数项的
an 1
an
an
点评：（ 1）转换问题，化成基本型后求解（运用反思维定势定势方法中的转移思维方法）
（ 2）对分式型递推数列可归纳如下：设
a1=a， an 1
can
d (a
0)
aan b
①若 d=0，则上式变形为 1
b1 a
1
b
a
，令 bn
, 则 bn 1
bn
, 即基本型。
an 1 c an c
an
c