沙漏模型(1)
几何第25讲_沙漏模型(学生版)A4
相似三角形模型，就是形状相同，大小不同的三角形．沙漏模型是特殊的相似三角形． 1．AD AE DE AFAB AC BC AG===（对应线段之比等于相似比） 2．22::ADEABCS SAF AG =（面积比等于相似比的平方）重难点：寻找平行线，进而找到沙漏模型，利用沙漏模型解决线段比例关系或图形的面积比例关系．题模一：简单沙漏模型例1.1.1如图，DC 平行AB ，AC 和DB 交于点O ，AB :DC =3:2，则DO :OB =__________．例1.1.2如图所示，AC 与BD 平行，AB 与CD 垂直，交点为O ．已知2AO =，4OB =，3OC =，则△OBD 的面积是△AOC 面积的__________倍．例1.1.3如图，AD 平行BC ，AC 与BD 交于点O ，AD 长12厘米，BC 长20厘米，BO 比OD 长4厘米，那么BD 长__________厘米．几何第25讲_沙漏模型F GACBDE沙漏模型 A BCDOA DOB C题模二：梯形沙漏例1.2.1如图，梯形ABCD的上底AD长为3厘米，下底BC长为9厘米，而三角形ABO的面积为12平方厘米．则梯形ABCD的面积为多少平方厘米?例1.2.2梯形ABCD的面积是100，上底和下底的比是2:3，那么三角形ABO的面积是多少？A BOD C例1.2.3如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC、BD交于O，已知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是____________平方厘米．题模三：构造沙漏例1.3.1如图所示，已知长方形ABCD中，△FDC的面积为4，△FDE的面积为2，则阴影四边形AEFB的面积为多少？例1.3.2如图，已知平行四边形ABCD 的面积为72，E 点是BC 上靠近B 点的三等分点，则图中阴影部分的面积为____________．例1.3.3如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块．已知其中3块面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为__________平方厘米．例 1.3.4如图所示，图中的两个正方形的边长分别是6和4，那么阴影部分的面积是__________．例1.3.5如图所示，正方形ABCD 的边长是6，E 点是BC 的三等分点．△AOD 的面积为_________．FA BDC E42ABCODEABC DEFO258?A HG FE D CB例1.3.6如图，平行四边形ABCD 的面积是12，13DE AD =，AC 与BE 的交点为F ，那么图中阴影部分面积是__________．例 1.3.7已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是___________平方厘米．例1.3.8如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？例1.3.9如图，四边形ABCD 和EFGH 都是平行四边形，四边形ABCD 的面积是16，:3:1BG GC =，则四边形EFGH 的面积=________．例1.3.10如图，正方形ABCD 和正方形CGEF ，AG 交CF 于点H ，且CF =3CH ，△CHG 的面积是6，求正方形ABCD 的面积．OEAB C DH G FEDCBAAOEDC B随练1.1如图，DC 平行AB ，AC 和DB 交于点O ，AB :DC =2:1，则DO :OB =____________．随练1.2如图所示，AB 与CD 平行．已知:3:4AB CD =，6AO =，那么OC =__________．随练1.3如图，梯形ABCD 中，:2:5AB CD =．已知△COD 的面积是5，那么梯形的面积是多少？随练1.4如图，22S =，34S =，则梯形的面积为________．随练1.5如图所示，正方形ABCD 的面积是1，M 是AB 边的中点，则图中阴影部分的面积为__________．S 4S 3S 2S 1ABCDOA ODC BAODC B随练1.6如图所示，梯形ABCD 的面积是50，下底长是上底长的1.5倍，阴影三角形的面积是_________．随练1.7如图所示，图中的两个正方形的边长分别是10和6，那么阴影部分的面积是多少？作业1如图，AB 与CD 垂直，交点为O ．已知4AO =，3CO =，5AC =，15BD =．求△BOD 的面积．作业2如图，AD 平行BC ，AC 与BD 交于点O ，AD 长9厘米，BC 长15厘米，BO 比OD 长4厘米，那么BD 长__________厘米．A HG FED C BAODCB ADB CO作业3如图，DC 平行AB ，AC 和DB 交于点O ，DO 长4厘米，OB 长10厘米，AO 长15厘米，那么OC 长__________厘米．作业4如图，梯形ABCD 中，DC 平行AB ，且AB :DC =2:1，请问图中4块小三角形的面积比，即S 1:S 2:S 3:S 4是__________．作业5梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的23，则三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比为________．作业6如图，在梯形ABCD 中，三角形BCO 的面积是18平方厘米，三角形OCD 的面积是12平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是__________平方厘米．作业7图中的两个正方形的边长分别为6分米和8分米，则阴影部分的面积为作业8下图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是___________平方厘米．OAB CD A BCDOABCDO S 1 S 2S 3S 4ADB CO作业9如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形BCH 的面积是23，求四边形EGFH 的面积．作业10如图所示，图中的两个正方形的边长分别是8和4，那么阴影部分的面积是__________．HFE CDG BA。
【精品奥数】五年级下册数学奥数讲义—第五讲 沙漏模型 通用版(含答案)
沙漏模型及平行线分线段成比例定理
一、沙漏模型
两条线段相交且有一组边平行的图形称为沙漏模型（平行相似），如图所示：
A
性质1
. （通过三角形相似可证）
性质2
.
性质3
. 证明：过点D 作CA 的平行线交BA 的延长线于点G ，过点O 作AB 的平行线交DG 于点H ，如图所示：
四边形DGAC 是平行四边形
，
二、平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段成比例.
如图所示，直线AC、FD被AF、BE、CD
所截，则
证明：连接AE、BF、CE、BD，如图所示：
练习题
1. 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，面积为72，点E、F分别为边AB、BC的中点，
求图中阴影部分的面积？
B
2. 如图所示，四边形ABCD为正方形且面积为1
，点E、F分别为AB、BD的中点, ，
求阴影部分面积？
E
3. 如图所示，正方形ABCD的面积为120，E是AB的中点，F是BC的中点，求四边形BGHF 的面积是多少？
E
参考答案1. 【解答】48
【解析】由沙漏模型可得M、N是
AC的三等分点，
2. 【解答】
【解析】过点F作FH⊥BC垂足为H，过点G作GI⊥BC垂足为I，如图所示：
E
由沙漏模型可得
，
又
，
，
.
3. 【解答】14
【解析】延长CE 交DA 的延长线于点M ，如图所示：。
几何第25讲_沙漏模型(学生版)A4
相似三角形模型，就是形状相同，大小不同的三角形．沙漏模型是特殊的相似三角形． 1．AD AE DE AFAB AC BC AG===（对应线段之比等于相似比）2．22::ADEABCS SAF AG =（面积比等于相似比的平方）重难点：寻找平行线，进而找到沙漏模型，利用沙漏模型解决线段比例关系或图形的面积比例关系．几何第25讲_沙漏模型F GACBDE沙漏模型题模一：简单沙漏模型例1.1.1如图，DC 平行AB ，AC 和DB 交于点O ，AB :DC =3:2，则DO :OB =__________．例1.1.2如图所示，AC 与BD 平行，AB 与CD 垂直，交点为O ．已知2AO =，4OB =，3OC =，则△OBD 的面积是△AOC 面积的__________倍．例1.1.3如图，AD 平行BC ，AC 与BD 交于点O ，AD 长12厘米，BC 长20厘米，BO 比OD 长4厘米，那么BD 长__________厘米．题模二：梯形沙漏例1.2.1如图，梯形ABCD 的上底AD 长为3厘米，下底BC 长为9厘米，而三角形ABO 的面积为12平方厘米．则梯形ABCD 的面积为多少平方厘米?例1.2.2梯形ABCD 的面积是100，上底和下底的比是2:3，那么三角形ABO 的面积是多少？A BCDOADB CO例1.2.3如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC 、BD 交于O ，已知△AOB 与△BOC 的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是____________平方厘米．题模三：构造沙漏例1.3.1如图所示，已知长方形ABCD 中，△FDC 的面积为4，△FDE 的面积为2，则阴影四边形AEFB 的面积为多少？例1.3.2如图，已知平行四边形ABCD 的面积为72，E 点是BC 上靠近B 点的三等分点，则图中阴影部分的面积为____________．例1.3.3如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块．已知其中3块面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为__________平方厘米．OABDC FA BDC E42ABCODE例 1.3.4如图所示，图中的两个正方形的边长分别是6和4，那么阴影部分的面积是__________．例 1.3.5如图所示，正方形ABCD 的边长是6，E 点是BC 的三等分点．△AOD 的面积为_________．例1.3.6如图，平行四边形ABCD 的面积是12，13DE AD =，AC 与BE 的交点为F ，那么图中阴影部分面积是__________．例1.3.7已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是___________平方厘米．OEAB C DABC DEFO258?A HG FE D CB AOEDC B例1.3.8如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？例 1.3.9如图，四边形ABCD 和EFGH 都是平行四边形，四边形ABCD 的面积是16，:3:1BG GC =，则四边形EFGH 的面积=________．例1.3.10如图，正方形ABCD 和正方形CGEF ，AG 交CF 于点H ，且CF =3CH ，△CHG 的面积是6，求正方形ABCD 的面积．随练1.1如图，DC 平行AB ，AC 和DB 交于点O ，AB :DC =2:1，则DO :OB =____________．随练1.2如图所示，AB 与CD 平行．已知:3:4AB CD =，6AO =，那么OC =__________．H G FEDCBAABCDO随练1.3如图，梯形ABCD中，:2:5AB CD=．已知△COD的面积是5，那么梯形的面积是多少？随练1.4如图，22S=，34S=，则梯形的面积为________．随练1.5如图所示，正方形ABCD的面积是1，M是AB边的中点，则图中阴影部分的面积为__________．随练1.6如图所示，梯形ABCD的面积是50，下底长是上底长的1.5倍，阴影三角形的面积是_________．随练1.7如图所示，图中的两个正方形的边长分别是10和6，那么阴影部分的面积是多少？S4S3S2S1AOD CBAOD CB作业1如图，AB 与CD 垂直，交点为O ．已知4AO =，3CO =，5AC =，15BD =．求△BOD 的面积．作业2如图，AD 平行BC ，AC 与BD 交于点O ，AD 长9厘米，BC 长15厘米，BO 比OD 长4厘米，那么BD 长__________厘米．作业3如图，DC 平行AB ，AC 和DB 交于点O ，DO 长4厘米，OB 长10厘米，AO 长15厘米，那么OC 长__________厘米．A HG FED C BAODCB ADB COA BCDO作业4如图，梯形ABCD 中，DC 平行AB ，且AB :DC =2:1，请问图中4块小三角形的面积比，即S 1:S 2:S 3:S 4是__________．作业5梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的23，则三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比为________．作业6如图，在梯形ABCD 中，三角形BCO 的面积是18平方厘米，三角形OCD 的面积是12平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是__________平方厘米．作业7图中的两个正方形的边长分别为6分米和8分米，则阴影部分的面积为____________．作业8下图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是___________平方厘米．O ABCD ABCDO S 1 S 2S 3S 4ADB CO作业9如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形BCH 的面积是23，求四边形EGFH 的面积．作业10如图所示，图中的两个正方形的边长分别是8和4，那么阴影部分的面积是__________．HFE CDG BA。
金字塔模型与沙漏模型
金字塔模型与沙漏模型①ADAB=AEAC=DEBC=AFAG② S△ADE:S△ABC =AF2:AG2所谓的相似三角形,就就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变她们都相似),与相似三角形相关,常用的性质及定理如下: (1) 相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比;(2) 相似三角形面积的比等于它们相似比的平方;(3) 连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线;三角形中位线定理:三角形的中位线长等于她所对应的底边长的一半。
相似三角形对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
如果三边分别对应A,B,C与a,b,c:那么:A/a=B/b=C/c,即三边边长对应比例相同。
判定方法定义对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
预备定理平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似。
(这就是相似三角形判定的定理,就是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明)1判定定理常用的判定定理有以下6条:判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
(简叙为:两角对应相等,两个三角形相似。
)(AA) 判定定理2:如果两个三角形的两组对应边成比例,并且对应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。
)(SAS)判定定理3:如果两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形相似。
(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。
)(SSS)判定定理4:两个三角形三边对应平行,则个两三角形相似。
(简叙为:三边对应平行,两个三角形相似。
)判定定理5:如果一个直角三角形的斜边与一条直角边与另一个直角三角形的斜边与一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
(简叙为:斜边与直角边对应成比例,两个直角三角形相似。
)(HL)判定定理6:如果两个三角形全等,那么这两个三角形相似(相似比为1:1)(简叙为:全等三角形相似)。
小学数学奥数专题 沙漏模型 PPT+课后作业 带答案
4
8 18
练习5
如图：在三角形ABC中，MN平行于BC，AM＝2厘米，BM＝3厘米，三角形MNP的面积是 4平方厘米，求三角形BPC的面积。
MN:BC= AM:AB= 2:（2+3）=2:5 S△MNP:S△BPC=4:25 △BPC的面积：4÷4×25=25（平方厘米）
小学几何模型之 沙漏模型
课前引入：相似三角形
（1）认识相似三角形 形状相同，大小相似（三个角对应相等）
∠A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠F
△ABC和△DEF相似
（2）相似三角形的对应线段（对应高，对应边）的比等于相似比
相似比 AB AC BC AM DE DF EF DN
M
N
沙漏模型
如图：三角形AOB和三角形COD组成沙漏模型。 判定方法：①一组平行线，②一组交叉线。
2
2
3
QN:AB=NC:BC=3:（3+2）=3:5
QN的长度：（1+2）÷5×3=59（cm）
FQ的长度：2－ 59= 15（cm）
阴影部分的面积：
1 3
×
1 5
÷
2
=
310（cm2）
总结：金字塔模型中对应边比相同
练习4
如图：正方形BDEF和直角三角形ABC重叠在一起，已知AF:FB＝1:3，BD:DC＝3:4，AC 与EF、ED分别交于点G、H。求三角形EGH与正方形BDEF的面积比。
总结：金字塔模型中三角形面积比等于对应边平方的比
练习3
如图：在三角形ABC中，DE、FG、BC互相平行。已知AD＝3厘米，DF＝2厘米，FB＝1 厘米，求三角形ADE、三角形AFG和三角形ABC之间的面积比。
沙漏模型的公式及定理推导
沙漏模型的公式及定理推导沙漏模型，或称为沙漏问题，是数学上的一个经典问题，它涉及到时间的问题以及两个容器之间物质的运动。
本文将从基本公式开始，逐步推导出沙漏模型的定理。
首先，我们定义一个沙漏模型，它由两个等高、相连的圆锥形容器构成。
这两个圆锥形容器的上底和下底的圆面积分别为A1和A2，两底的半径分别为r1和r2，容器的高度为h。
现在，我们考虑在这两个容器之间运动的物质。
假设容器中有一固定量的物质，我们用V表示它的体积。
由于沙漏两底的扁平性，在任意时刻，容器中的物质会形成一个沙漏形状，即物质在两个容器之间形成的界面是一个水平的面积为A的圆环。
这个圆环的半径我们用r表示。
那么，根据圆锥容器的几何关系，我们可以得到以下公式：V=A1*h1+A2*h2其中h1和h2分别表示物质在两个容器中的高度。
根据沙漏的形状，我们可以通过几何关系得到r和h之间的关系：h=h1+h2r1/h1=r/h=r2/h2将r1/h1和r2/h2两个式子分别代入第一个式子得：V=A1*h1+A2*(h-h1)V=A1*h1+A2*(h-r1*h1/r2)进一步化简得到：V=(A2*r1/r2-A2)*h1+A2*h为了推导出沙漏模型的定理，我们需要引入一个前提，即V和A是已知量。
通过观察发现，在V和A不变的情况下，h1和h2之间存在一个最大最小关系。
也就是说，当我们改变h1时，h2会相应地发生变化，而他们的乘积h1*h2是一个常数。
这个常数我们用K来表示。
由此，我们可以得到以下公式：K=h1*h2接下来，我们来证明K的常数性质。
将h2的值代入到K的公式中得：K=h1*(h-h1)对K求导：dK / dh1 = 1 * (h - 2h1)要使得K为常数，即dK / dh1 = 0，我们得到h1的取值：h1=h/2这说明当沙漏呈现对称形状时，容器中的物质分布是处于均衡状态的。
因此，根据以上推导，我们得出沙漏模型的定理：在一个呈沙漏形状的容器中，当物质量V和沙漏截面面积A都是已知量时，物质在容器中的分布会处于一个均衡状态。
沙漏模型的公式及定理推导
沙漏模型原理及公式:
1.沙漏由两个白色的座子和三根透明的柱子搭成,中间是两个水滴形状的透明玻璃罩组成的葫芦。
它的玻璃罩里有许多紫色的沙粒,这些沙粒能通过小孔,从一个玻璃罩流向另一个玻璃罩。
1、沙漏模型公式有两个:
AD/AB=AE/AC=DE/BC=AF/AG;
S△ADE:S△ABC=AF^
2、AG^2。
沙漏如图：
模型特点：
①两条平行线段，端点连线相交于点O，形成上下两个三角形；
②同一直线上两条边的长度比都等于平行两条边的长度比；
③两个三角形的面积比，等于平行两条边的长度平方比。
我们可以把沙漏模型和蝴蝶模型一起记，梯形两条对角线相交，形成上下左右四个三角形。
左右两个三角形面积相等（蝴蝶模型），上下两个三角形的面积比等于梯
形两条平行边的长度平方比。
沙漏模型公式及蝴蝶定理的公式：
如沙漏原理就是说沙漏定理即八字定理，有两个相似三角形组成，△ABC和△XYZ，面积分别为S1和S2，
S1:S2=AB·BC:XY·YZ。
沙漏定理和蝴蝶定理大都是运用于梯形对角线分成四个三角形，沙漏定理通常可以算出上面的三角形与下面三角形的面积比，蝴蝶定理可以算出四个三角形的面积之比。
六年级春第17讲 金字塔、沙漏模型(一) (教师版)
金字塔、沙漏模型（一）知识纵横例 1如图，DE 平行于 BC，且 AD=2 , AB=5 , AE=4 ，求 AC 的长为多少？【答案】10。
【解析】如图，DE 平行于BC ，且AD=3, BD=5, AE=4，求AC 的长为多少？【答案】2103。
【解析】如图，DE 平行于BC ，且AD=2, AB=5 , 三角形ADE 的面积为8，那么三角形ABC 的面积为多少？试一试 1例 2【答案】50。
【解析】如图，在△ABC 中，DE，FG，BC互相平行，且AD=DF=FB ，求 S△ADE :SDFGE:SFBCG的面积比。
【答案】1:3:5。
【解析】试一试 2例 3如下图，已知在平行四边形ABCD中，AB=12，AD=10 ，BE=4，那么FC的长度是多少？【答案】7.5。
【解析】试一试 3如下图，边长为8 厘米和12 厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影部分的面积。
【答案】45平方厘米。
【解析】如图，已知三角形ABC的面积为1平方厘米，D、E分别是AB、AC边的中点。
求三角形OBC的面积。
【答案】13。
【解析】例 4试一试 4如图，已知DE//BC，AB=5cm ，AD=2cm ，三角形BOC的面积为25cm²，求三角形DOE和三角形COE的面积。
【答案】4、10。
【解析】小练习1、如图，DE平行于BC，且AD=4 ,AB=7,AE=6，求AC的长为多少？【答案】10.5。
【解析】2、如图，DE 平行于 BC，且 AD=5 , AB=11 , 三角形ADE的面积为50 ，那么三角形ABC的面积为多少？【答案】242。
【解析】3、如下图，已知在平行四边形ABCD中，AB=20，AD=15 ，BE=4，那么FC的长度是多少？【答案】12。
【解析】4、如图，已知三角形ABC中，DE平行BC ，若AD:DB=2:3，且梯形DBCE的面积比三角形ADE的面积大8.5平方厘米，求三角形ABC的面积。
第九讲 六年级奥数——沙漏模型(教师版)
第九讲六年级奥数——沙漏模型（教师版）一、知识储备沙漏模型和金字塔模型又称相似模型，这两个模型都是在相似三角形内。
（1）相似三角形就是三角分别相等，形状相同，大小不同的三角形。
（2）相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，且等于他们的相似比。
相似三角形面积的相似比等于他们相似比的平方。
如图，一组平行线AB与CD，与一组相交线AD与BC。
当相交线的焦点O在平行线中间时，构成沙漏模型。
当交点在两条平行线的同一侧时，构成金字塔模型。
沙漏模型金字塔模型AB∶CD＝AO∶OD＝BO∶OCS△AOB∶S△COD=AB2∶CD2蝴蝶模型根据沙漏模型可得，如果AD=a，BC=b，则S1∶S2∶S4∶S3＝a2∶ab∶ab∶b2二、例题讲解1、如图，在平行四边形ABCD中，AB=16厘米，AD=10厘米，BE=4厘米，那么FC的长度是多少？82、直角三角形ABC 中，AB 平行于DE ，AB=4厘米，BC=6厘米。
又知BE:EC=1：3，求三角形CDE 的面积。
6.753、如图，ABC ∆ 中，DE ，FG ，BC 互相平行，FB DF AD ==， 则FGCB DEGF ADE S S S 四边形四边形::∆=? 1:3:54、如图，边长为8厘米和12厘米的两个正方形并排放在一起，求图中三角形EOF 和三角形GHO 的面积。
16.2EGF A D CB5、如图，DE 平行BC ，若3:2:=DB AD ，那么ECB ADE S S ∆∆:=？ 4:156、如图，梯形ABCD 的面积是36平方厘米，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？ 167、如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知△AOB 与△BOC 的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？ 1443525OABCDAEDCB8、如图，梯形ABCD 中，△AOB 、△COD 的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD 的面积。
金字塔模型与沙漏模型
金字塔模型与沙漏模型①ADAB=AEAC=DEBC=AFAG②S△ADE：S△ABC =AF2：AG2所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变他们都相似)，与相似三角形相关，常用的性质及定理如下：(1) 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；(2) 相似三角形面积的比等于它们相似比的平方；(3) 连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线长等于他所对应的底边长的一半。
相似三角形对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
如果三边分别对应A,B,C和a，b，c：那么：A/a=B/b=C/c，即三边边长对应比例相同。
判定方法定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
预备定理平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）1判定定理常用的判定定理有以下6条：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
）（AA）判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
）（SAS）判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
）（SSS）判定定理4：两个三角形三边对应平行，则个两三角形相似。
（简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
）判定定理5：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
（简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
）（HL）判定定理6：如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（简叙为：全等三角形相似）。
沙漏模型的推导过程
沙漏模型的推导过程
沙漏模型的推导过程是基于拐点定理，把储存的热量视作一滴油，假设油在容器中以沙漏的形式慢慢流失，下面分析沙漏模型的推导过程：
（1）先定义系统的拐点，即系统有几个拐点，比如现在有一个有储存的热量的容器，那它就有一个拐点；
（2）用拐点定理来计算拐点沙漏流失热量的速度，用热容量和拐点残差定义：
$V=\frac{q}{\delta T}$
其中V是拐点流量，q是热量储存量，$\delta T$是拐点残差；
（3）再计算热量流失速度：用时间定义热量流失率，即热量每单位时间流失的量，用下式定义：
$\frac{dQ}{dt}=V$
其中Q是热量储存量，t是时间变量，V是拐点流量；
（4）最后求出热量与时间的函数关系，即沙漏模型：
$Q(t)=-V\cdot t+Q_0$
其中Q(t)是热量储存量随时间t变化的函数关系，Q0是初始热量储存量，V是拐点流量。
证明沙漏模型的结论
证明沙漏模型的结论在经典的沙漏模型中，当我们把一个沙漏对放在另一边时，它们将在不同的角度相互倾斜，这表明随着时间的流逝，沙子将从上面的沙漏中流入下面的沙漏，并且流动的速度会随着时间的推移而减慢。
沙漏模型被广泛地应用于现实世界中的许多情况，用来表达一些随着时间的推移而发生的事件，这往往涉及到财富的分配、资源的流向、声望的变化以及人口的变化等等。
例如，在财富和收入方面，我们可以用沙漏模型来表达随着时间的推移，财富和收入将从那些富有的人群流入那些穷人群体中，从而使社会贫富差距更加明显。
此外，沙漏模型同样可以用来描述资源的消耗。
随着时间的推移，资源消耗者往往会加快资源消耗的过程，而可替代资源的进入速度往往会比资源消耗者加快资源消耗的过程要慢，从而导致资源枯竭。
沙漏模型也被用来描述声望变化的过程。
随着时间的推移，一个人或一家公司的声望往往会随之发生变化，从最初的繁荣，到最终的颓废。
在这种情况下，沙漏模型将声望的变化比作沙子流入沙漏，这与客观实际情况是一致的。
同样，沙漏模型也可以用来描述人口的变化，对于发展中国家而言，人口变化是引起社会动荡的重要原因之一。
随着时间的推移，人口的变化往往是以一种正向的滚动的形式发生的，其中随着时间的推移，人口变化的速度会逐渐减慢，而不是立即达到一个固定的水平。
在总结以上的讨论，我们可以得出结论，沙漏模型是一种可用于描述随着时间推移而发生的许多现实情况的有效模型。
其原理在于随着时间的流逝，沙子会逐渐从上面的沙漏流入下面的沙漏，而流动的速度也会随着时间推移而减慢，这一模型可以用来描述财富的分配、资源流向、声望变化以及人口变化等多项现实生活中的情况。
沙漏模型0.1之欧阳科创编
欧阳科创编 2021.02.05
欧阳科创编 2021.02.05 一、
沙漏模型
时间：2021.02.05 创作：欧阳科
1、
2、
3、
二、梯形中的沙漏模型
1、连结沙漏模型的上下两个顶
点，你发现了什么？
2、如果在组成的图形中AB:CD ＝
2:3，那么我们能计算出哪些数量
关系呢？
练习：如图所示，在梯形ABCD 中，AB:CD ＝3:4，那么你能标出梯形各部分的面积比吗？
如果梯形的面积是98，那么你能求出梯形各部分的面积吗？
三、例题讲解
例1、如图所示，梯形ABCD 的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？
例2、如图所示，平行四边形ABCD 的面积是90，已知E 点是AB 上靠近A 点的三等分点，求阴影部分的面积。
时间：2021.02.05
创作：欧阳科 CD AB ∥。
金字塔模型与沙漏模型
金字塔模子与沙漏模子①ADAB=AEAC=DEBC=AFAG② S△ADE：S△ABC =AF2：AG2所谓的类似三角形,就是外形雷同,大小不合的三角形(只要其外形不转变,不管大小如何转变他们都类似),与类似三角形相干,经常应用的性质及定理如下：(1) 类似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的类似比;(2) 类似三角形面积的比等于它们类似比的平方;(3) 衔接三角形双方中点的线段我们叫做三角形的中位线;三角形中位线定理：三角形的中位线长等于他所对应的底边长的一半.类似三角形对应角相等.对应边成比例的两个三角形叫做类似三角形.假如三边分离对应A,B,C和a,b,c：那么：A/a=B/b=C/c,即三边边长对应比例雷同.剖断办法界说对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做类似三角形.准备定理平行于三角形一边的直线截其它双方地点的直线,截得的三角形与原三角形类似.（这是类似三角形剖断的定理,是以下剖断办法证实的基本.这个引理的证实办法须要平行线与线段成比例的证实）1剖断定理经常应用的剖断定理有以下6条：剖断定理1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形类似.（简叙为：两角对应相等,两个三角形类似.）（AA）剖断定理2：假如两个三角形的两组对应边成比例,并且对应的夹角相等,那么这两个三角形类似.（简叙为：双方对应成比例且夹角相等,两个三角形类似.）（SAS）剖断定理3：假如两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形类似.（简叙为：三边对应成比例,两个三角形类似.）（SSS）剖断定理4：两个三角形三边对应平行,则个两三角形类似.（简叙为：三边对应平行,两个三角形类似.）剖断定理5：假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形类似.（简叙为：斜边与直角边对应成比例,两个直角三角形类似.）（HL）剖断定理6：假如两个三角形全等,那么这两个三角形类似（类似比为1：1）（简叙为：全等三角形类似）.类似的剖断定理与全等三角形基底细等,因为全等三角形是特别的类似三角形.必定类似相符下面的情形中的任何一种的两个（或多个）三角形必定类似：全等三角形是特别的类似三角形,类似比为1：1.填补：假如△ABC∽△A‘B’C‘,∴AB/A’B‘=AC/A’C ‘=BC/B'C’=K当K=1时,这两个三角形全等.（K为它们的比值）两个等腰三角形,假如个中的随意率性一个顶角或底角相等,那么这两个等腰三角形类似.两个等边三角形,三个内角都是60度,且边边相等,所以类似.因为斜边的高形成两个直角,再加上一个公共的角,所以类似.2性质定理(1)类似三角形的对应角相等.(2)类似三角形的对应边成比例.(3)类似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角等分线的比都等于类似比.(4)类似三角形的周长比等于类似比.(5)类似三角形的面积比等于类似比的平方.[1]由（5）可得：类似比等于面积比的算术平方根.3定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形类似.推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形类似.推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形类似.推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都类似.推论五：假如一个三角形的双方和三角形随意率性一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形类似.性质1.类似三角形对应角相等,对应边成正比例.2.类似三角形的一切对应线段(对应高.对应中线.对应角等分线.外接圆半径.内切圆半径等）的比等于类似比.3.类似三角形周长的比等于类似比.4.类似三角形面积的比等于类似比的平方.5.类似三角形内切圆.外接圆直径比和周长比都和类似比雷同,内切圆.外接圆面积比是类似比的平方6.若a/b =b/c,即b²=ac,b叫做a,c的比例中项8.不必是在统一平面内的三角形里.。
沙漏模型的面积比
沙漏模型的面积比
沙漏模型是一种用来表示社会结构的模型，它由一个大的圆形和一个小的圆形组成，大圆形代表社会的上层，小圆形代表社会的下层。
沙漏模型的面积比可以反映出社会的不平等程度，即上层人口占总人口的比例。
如果上层人口占总人口的比例较大，则沙漏模型的面积比也会较大；反之，如果上层人口占总人口的比例较小，则沙漏模型的面积比也会较小。
因此，沙漏模型的面积比可以反映出社会的不平等程度，从而为政府制定改善社会不平等的政策提供参考。
沙漏模型例题
沙漏模型例题沙漏模型是一种常用的时间管理技巧，它的设计灵感来自于沙漏的形状。
它可以帮助我们更有效地安排时间，提高工作效率。
在这篇文章中，我们将通过一个例题来介绍沙漏模型的应用方法和实际操作。
假设你是一位学生，每天需要平衡学习、娱乐和休息三个方面。
为了更好地管理时间，并确保这三个方面都能得到充分的满足，你决定采用沙漏模型来规划每一天的活动。
首先，你需要制定一个具体的计划。
比如，你决定每天投入8个小时用于学习，4个小时用于娱乐，8个小时用于休息和睡眠。
接下来，将这些时间段画成一个沙漏的形状，以便更加直观地掌握时间分配情况。
沙漏的上部分代表学习时间，中部分代表娱乐时间，下部分代表休息和睡眠时间。
你可以在图中标注出具体的时间段，比如上午8点到下午4点用于学习，下午4点到晚上8点用于娱乐，晚上8点到早上6点用于休息和睡眠。
一旦你完成了这个沙漏图，你需要始终牢记你的时间分配计划，并努力按照计划执行。
当然，灵活性也很重要，你可以根据实际情况进行适当的调整。
比如，如果你发现在学习过程中需要更多的时间来完成任务，你可以从娱乐时间中借用一部分时间来满足学习的需要。
除了每天的计划，你还可以使用沙漏模型来规划更长时间范围内的活动。
比如，你可以制定一个周计划，将每天的沙漏图整合在一起，并标注出自己每天的主要任务和目标。
这样一来，你可以更好地了解每周的时间分配情况，更好地安排时间。
另外，沙漏模型还可以帮助你更好地管理时间碎片。
在我们的生活中，经常会出现一些零散的时间，比如等车的时间、排队的时间等。
这些时间看似很短暂，但如果能够合理利用起来，也会对我们的工作和学习产生积极的影响。
你可以在沙漏图中留出一些空白，专门用来规划和利用这些时间碎片。
使用沙漏模型来管理时间的好处不仅仅体现在更高效的工作和学习上，还可以帮助我们更好地平衡生活。
通过合理规划时间，我们可以减少焦虑和压力，更好地享受生活。
同时，沙漏模型也教会了我们时间的珍贵性，提醒我们合理安排时间，并充分利用每一刻。
金字塔模型与沙漏模型
金字塔【2 】模子与沙漏模子①ADAB=AEAC=DEBC=AFAG② S△ADE：S△ABC =AF2：AG2所谓的类似三角形,就是外形雷同,大小不同的三角形(只要其外形不转变,不论大小如何转变他们都类似),与类似三角形相干,常用的性质及定理如下：(1) 类似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的类似比;(2) 类似三角形面积的比等于它们类似比的平方;(3) 衔接三角形双方中点的线段我们叫做三角形的中位线;三角形中位线定理：三角形的中位线长等于他所对应的底边长的一半.类似三角形对应角相等.对应边成比例的两个三角形叫做类似三角形.假如三边分离对应A,B,C和a,b,c：那么：A/a=B/b=C/c,即三边边长对应比例雷同.剖断办法界说对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做类似三角形.准备定理平行于三角形一边的直线截其它双方地点的直线,截得的三角形与原三角形类似.（这是类似三角形剖断的定理,是以下剖断办法证实的基本.这个引理的证实办法须要平行线与线段成比例的证实）1剖断定理常用的剖断定理有以下6条：剖断定理1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形类似.（简叙为：两角对应相等,两个三角形类似.）（AA）剖断定理2：假如两个三角形的两组对应边成比例,并且对应的夹角相等,那么这两个三角形类似.（简叙为：双方对应成比例且夹角相等,两个三角形类似.）（SAS）剖断定理3：假如两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形类似.（简叙为：三边对应成比例,两个三角形类似.）（SSS）剖断定理4：两个三角形三边对应平行,则个两三角形类似.（简叙为：三边对应平行,两个三角形类似.）剖断定理5：假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形类似.（简叙为：斜边与直角边对应成比例,两个直角三角形类似.）（HL）剖断定理6：假如两个三角形全等,那么这两个三角形类似（类似比为1：1）（简叙为：全等三角形类似）.类似的剖断定理与全等三角形根本相等,因为全等三角形是特别的类似三角形.必定类似相符下面的情形中的任何一种的两个（或多个）三角形必定类似：1.两个全等的三角形全等三角形是特别的类似三角形,类似比为1：1.补充：假如△ABC∽△A‘B’C‘,∴AB/A’B‘=AC/A’C‘=BC/B'C’=K当K=1时,这两个三角形全等.（K为它们的比值）2.随意率性一个顶角或底角相等的两个等腰三角形两个等腰三角形,假如个中的随意率性一个顶角或底角相等,那么这两个等腰三角形类似.3.两个等边三角形两个等边三角形,三个内角都是60度,且边边相等,所以类似.4.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形因为斜边的高形成两个直角,再加上一个公共的角,所以类似.2性质定理(1)类似三角形的对应角相等.(2)类似三角形的对应边成比例.(3)类似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角等分线的比都等于类似比.(4)类似三角形的周长比等于类似比.(5)类似三角形的面积比等于类似比的平方.[1]由（5）可得：类似比等于面积比的算术平方根.3定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形类似.推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形类似.推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形类似.推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都类似.推论五：假如一个三角形的双方和三角形随意率性一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形类似.性质1.类似三角形对应角相等,对应边成正比例.2.类似三角形的一切对应线段(对应高.对应中线.对应角等分线.外接圆半径.内切圆半径等）的比等于类似比.3.类似三角形周长的比等于类似比.4.类似三角形面积的比等于类似比的平方.5.类似三角形内切圆.外接圆直径比和周长比都和类似比雷同,内切圆.外接圆面积比是类似比的平方6.若a/b =b/c,即b²=ac,b叫做a,c的比例中项7.a/b=c/d等同于ad=bc.8.不必是在统一平面内的三角形里.。
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一、 沙漏模型
1、 2、
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二、 梯形中的沙漏模型
1、连结沙漏模型的上下两个顶点，你发现了什么？
2、如果在组成的图形中AB:CD ＝2:3，那么我们能计算
出哪些数量关系呢？
练习：如图所示，在梯形ABCD 中，AB:CD ＝3:4，那么
你能标出梯形各部分的面积比吗？
如果梯形的面积是98，那么你能求出梯形各部分的
面积吗？
三、 例题讲解
例1、如图所示，梯形ABCD 的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？ 例2、如图所示，平行四边形ABCD 的面积是90，已知E 点是AB 上靠近A 点的三等分点，求阴影部分的面积。
CD
AB ∥。