【集合】精品讲义

第1章集合与常用逻辑用语

第1节集合

1．元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．

(2)集合中元素与集合的关系：

元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和

∉.

(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图．

2．集合间的基本关系

描述

关系

文字语言符号语言

集合间的基本关系

子集A中任意一元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A 真子集

A中任意一元素均为B中的元素，且B

中至少有一个元素A中没有

A B或

B A 相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B

集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2

3．集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁U A

图形表示

意义{x|x∈A，

或x∈B}

{x|x∈A，

且x∈B}

{x|x∈U，且x∉A}

1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．

2．要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系．

3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．

4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．

5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．

考点一集合的含义与表示

1. 正确理解集合的概念

研究一个集合，首先要看集合中代表元素的属性(是点集、数集或其他情形)，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y ＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．

2. 注意元素的互异性

对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．

3．注意空集的特殊性

空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．

1．（2013福建，5分）若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为() A．2B．3 C．4 D．16

解析：本题主要考查集合的交集及子集的个数等基础知识，意在考查考生对集合概念的准确理解及集合运算的熟练掌握．A∩B＝{1,3}，故A∩B的子集有4个．

答案：C

2．（2013江西，5分）若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝() A．4 B．2 C．0 D．0或4

解析：本题主要考查集合的表示方法(描述法)及其含义，考查化归与转化、分类讨论思想．由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)．

答案：A

3．（2013山东，5分）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A, y∈A}中元素的个数是()

A．1 B．3 C．5 D．9

解析：本题考查集合的含义，考查分析问题、解决问题的能力．逐个列举可得．x＝0，y ＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；x＝2，y＝0,1,2时，x －y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．答案：C

4．（2011广东，5分）已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

解析：由⎩⎪⎨⎪⎧

x 2＋y 2＝1x ＋y ＝1消去y 得x 2－x ＝0，解得x ＝0或x ＝1，这时y ＝1或y ＝0，即A ∩B ＝{(0,1)，(1,0)}，有两个元素．

答案：C

5．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2 013＝________.

解析：由M ＝N 知

⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝m ，log 2n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧

m ＝2，n ＝2. 答案：－1或0

6．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．

解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；

当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12

≠3符合题意．所以m ＝－32

. 答案：－32

7．（2010福建，5分）设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下

三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22

≤m ≤0. 其中正确命题的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析：若m ＝1，则x ＝x 2，可得x ＝1或x ＝0 (舍去)，则S ＝{1}，因此命题①正确；若m ＝－12，当x ＝－12时，x 2＝14∈S ，故l min ＝14

，当x ＝l 时，x 2＝l 2∈S ，则l ＝l 2可得，可得l ＝1或l ＝0(舍去)，故l max ＝1，∴14≤l ≤1，因此命题②正确；若l ＝12，则⎩⎨⎧ m ≤12m ≤m 2≤12，得－22

≤m ≤0，因此命题③正确． 答案：D

考点二 集合的基本关系

1．已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化