《高中数学》必会基础练习题__《导数》

《数学》必会基础题型——《导数》

【知识点】

１．导数公式:'0C =

'1()n n x nx -= '(sin )cos x x = '(cos )sin x x =-

'()x x e e = '()ln x x a a a = '1(ln )x x

= '1(log )ln a x x a

= 2.运算法则:'''()u v u v +=+ '''()u v u v -=- '''()uv u v uv =+

3.3.复合函数的求导法则：（整体代换)例如:已知2()3sin (2)3

f x x π

=+，求'()f x 。４.导数的物理意义：位移的导数是速度,速度的导数是加速度。

5.导数的几何意义:导数就是切线斜率。

6．用导数求单调区间、极值、最值、零点个数：对于给定区间[,]a b 内,若'()0f x >，

则()f x 在[,]a b 内是增函数;若'()0f x <,则()f x 在[,]a b 内是减函数。

【题型一】求函数的导数 (1)ln x y x = (2)2sin(3)4

y x π=- (3）2(1)x y e x =- (４)3235y x x =-- (5)231

x x y x -=+ (6)2211()y x x x x

=+

+ 【题型二】导数的物理意义的应用

１.已知物体的运动方程为223s t t

=+(t 是时间,s 是位移），则物体在时刻2t =时的速度为 。

【题型三】导数与切线方程（导数的几何意义的应用） 2.曲线32y x x =+-在点(2,8)A 处的切线方程是 。

3．若(1,)B m 是32y x x =+-上的点，则曲线在点B 处的切线方程

是 。

4.若32y x x =+-在P 处的切线平行于直线71y x =+,则点P 的坐标

是 。

5.若2

3ln 4

x y x =-的一条切线垂直于直线20x y m +-=,则切点坐标为 。 ６．函数12+=ax y 的图象与直线x y =相切， 则a = 。

7.已知曲线11

x y x +=-在(3,2)处的切线与0ax y m ++=垂直，则a = 。 8.已知直线y x m =+与曲线321y x x =-+相切,求切点P 的坐标及参数m 的值。

9．若曲线)(x h y =在点（,()a h a ）处切线方程为012=++y x ,那么（ )

A ．0)('a h C. 0)('=a h D. )('a h 的符号不定

10.曲线46323+++=x x x y 的所有切线中, 斜率最小的切线的方程是 。

11．求曲线3231y x x =-++过点(1,1)和(2,5)的切线方程。【易错题】

【题型四】导数与单调区间

１2．函数13)(23+-=x x x f 的减区间为 。

13.函数)0,0(≥>=-x n e x y x n 的单调递增区间

为 。

1４.判断函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数( ）

Ａ.3(,)22ππ B.(,)22

ππ- C.(,2)ππ D ．(0,)π 15．已知函数32321y x x =+-在区间(,0)m 上为减函数， 则m 的取值范围是 。

【题型五】导数与极值、最值

１6．函数3125y x x =-+在x = 时取得极大值 ，在x = 时取得极小值 。

17．函数32()23f x x x =-+在[1,1]-上的最大值是 ，与最小值是 。 １8.函数)0(≥-=x x x y 的最大值为 。

19.函数93)(23-++=x ax x x f 在3-=x 时取得极值, 则=a 。 ２0.已知a a x x x f (62)(23+-=为常数)在]2,2[-上有最大值是3, 那么]2,2[-在上的最小值是 。

21.已知函数322+--=x x y 在区间[,2]a 上的最大值为154

, 则a = 。

22.函数⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-∈-=2,2,2sin ππx x x y 的最大值是 ,最小值是 。 23.若1)2(33)(23++++=x a ax x x f 既有极大值又有极小值，求a 的取值范围。

【题型六】导数与零点,恒成立问题

零点定理:若函数()f x 在区间[,]a b 上满足()()0f a f b ⋅<,则()f x 在区间[,]a b 上是至少有一个零点。(即()0f x =在区间[,]a b 上是至少有一个解) ２5．判断函数2()log (2)f x x x =+-在[1,3]上是否存在零点？

26.已知[1,3]x ∈-,且144234++-≤x x x a 恒成立，则a 的最大值为 。

27．证明ln x x < (0)x >恒成立。 练习:证明x e x > (0)x >恒成立

2８.已知函数321()22

f x x x x c =--+,若对于[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。

2９．若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点，求实数a 的取值范围。

３０．是否存在实数m ,使得函数2()8f x x x =-+与()6ln g x x m =+的图像有且只有三个不同的交点？若存在求出m 的范围,若不存在说明理由。

【题型七】综合应用题

31．已知1=x 是函数1)1(3)(23+++-=nx x m mx x f (0)m <的一个极值点, (１）求m 与n 的关系式； (２)求)(x f 的单调区间; （3） 当[1,1]x ∈-时, 函数)(x f y =的图象上任意一点的切线斜率恒大于m 3, 求m 的取值范围。

32.已知某工厂生产x 件产品的成本为++=x c 20025000240

1x 元， (1)要使平均成本最低,应生产多少件产品？

（２)若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件产品?