隐函数的求导方法总结

河北地质大学
课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法
学院：信息工程学院
专业名称：电子信息类
小组成员：史秀丽
角子威
季小琪
2016年05月27日
摘要 (3)
一．隐函数的概念 (3)
二．隐函数求偏导 (3)
1.隐函数存在定理1 (3)
2.隐函数存在定理2 (4)
3.隐函数存在定理3 (4)
三. 隐函数求偏导的方法 (5)
1.公式法 (5)
2.直接法 (6)
3.全微分法 (6)
参考文献 (8)
摘要
本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法
一．隐函数的概念
一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一
值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确
定了一个隐函数。

例如，方程013
=-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-，
内取值时，变量y 有确定的值与其对应。

如等时时321,10=-===y x y x 。

二．隐函数求偏导
1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。

，y 。

）在某一领域内具有连续偏导数，
且0),(=οοy x F ，0),(≠οοy x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。

，y 。

）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(οοx f y =，并有
y
x
y F F d d x -
=。

例1:验证方程2x -2
y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx
dy
在x=1处的值。

解 令),(y x F =2x -2
y ,则
x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0
由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有
dx dy =y x F F -=y x 22=y
x
故
1=x dx
dy
=
)
1,(!y
x
=1 2.隐函数存在定理2 设函数()z y x F ,,在点）（οοοz y x P ,,的某一邻域内具有连续偏
导数，且）（οοοz y x F ,,=0，0,,≠）（οοοz y x F z ，则方程()0,,=z y x F 在点()οοοz y x ,,的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数()y x f z ,=,它满足条件()οοοy x f z ,=并有
z
y z x F F y z
F F x z -=∂∂-=∂∂,。

例2：设函数()y x z z ,=由方程z y x z xy ++=2
所确定，求y
z
∂∂ 解：设()z y x z xy z y x F ---=2
,,
则012
≠-=xy F z （将x ，y 当常数，对z 求偏导）
12-=xyz F z （将x ，y 当做常数，对y 求偏导）
根据定理2：2
211
2112xy xyz xy xyz F F y z z y --=
---=-=∂∂ 3.隐函数存在定理3 设()v u y x F ,,,、()v u y x G ,,,在点()0000,,,v u y x P 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又()()0,,,,0,,,00000000==v u y x G v u y x F ，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比
(Jacobi)）
()()
v F v
G u F u G v u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=,,
在点()0000,,,v u y x P 不等于零，则方程组()()0,,,,0,,,00000000==v u y x G v u y x F 在点
()0000,,,v u y x 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数
),(),,(y x v v y x u u ==,它们满足条件),(000y x u u =，),(000y x v v =，并有
Gv
Gu Fv Fu Gv Gx Fv
Fx v x G F J u -=∂∂-=∂∂)
,()
,(1x
Gv
Gu Fv Fu Gx Gu Fx
Fu
x u G F J v -=∂∂-=∂∂)
,()
,(1x
Gv Gu Fv Fu Gv Gy Fv
Fy
v y G F J u -=∂∂-=∂∂),(),(1y
Gv
Gu Fv Fu Gy Gu Fy
Fu
y u G F J v -=∂∂-=∂∂),()
,(1y
例3：设1,0=+=-xv yu yv xu ，求
.,,,y
v
x v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂ 解：⎩⎨⎧→⎪⎩
⎪⎨⎧⎩⎨⎧−−−−−→−-=∂∂⋅-∂∂⋅-=∂∂⋅+∂∂⋅=⋅∂∂-∂∂⋅+=∂∂⋅++∂∂⋅=-=+u x
v
y x u x v x v x x u y y x v x u x u x v x v x u y x yv xu xv yu 0001求导方程两边对
由定理3可求 022≠+==
=
-∂∂∂∂∂∂∂∂J y x J y x
x y v F v
G u F u
G 且
则2
2y
x yv
xu x
u y x
x y y x u v +=-
==∂∂----
2
2y x xv
yu x
v y x
x y u v x y +-=
=∂∂---
{
⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎩⎪⎨⎧−−−−−→−=∂∂⋅-∂∂⋅-=∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅--∂∂⋅=∂∂⋅+∂∂⋅+=-=+v y v y y u x u y
v x y u y y
v y v y u x y v
x y u y u yv xu xv yu 00y 01
求导方程两边对
同上可求得
22y x yu xv y u +-=∂∂ 22y
x yu
xv y v +--=∂∂
三. 隐函数求偏导的方法
1.公式法：即将方程中所有非零项移到等式一边，并将其设为函数F,注意应将x,y,z 看作
独立变量，对F(x,y,z)=0分别求导，利用公式
=x z -Z X F F ,=y z
-z
y F F 。

2.直接法：分别将F(x,y,z)=0两边同时对x,y 看作独立变量，z 是x,y 的函数，得到含y
z x z ,的
两个方程，解方程可求出y
z x z ,.
3.全微分法：利用微分形式的不变性，对所给方程两边求微分，整理成
,),,(),,(dy z y x v dx z y x u dz +=则dy dx ,的系数便是y
z x z ,，在求全微分时，z 应看做自变量.
例1.已知x y y x arctan ln 22=+，求2
2
dx
y d . 解. 方法一：
令22ln ),(y x y x F +=-)ln(21arctan 22y x x y +=x
y arctan -
则2
222),(,),(y x x
y y x F y x y x y x F y
x +-=++=
所以
=dx dy =-y x F F x
y y x -+-
上式再对x 求导得
3
222'22)
()
(2)(22y x y x y x y xy dx y d -+=--= 方法二： 方程,0arctan
ln
22=-+x
y
y x 两端分别对x 求导得 22'y x yy x ++02
2'=+--y x y
xy
y
x y x dx dy -+= 3
222'22)()
(2)(22y x y x y x y xy dx y d -+=
--= 方法三：
方程x
y
y x arctan ln
22=+，两端分别求微分得
)(arctan )(ln 22x
y
d y x d =+
利用全微分不定性，上式化为
x y
d x
y y x dy dx 2
22
22
21121+=
++ 由全微分运算法则计算并化简得
3
222'22)()
(2)(22)()(y x y x y x y xy dx y d x
y y x dx dy dx
y x dy y x -+=--=-+=
+=-
参考文献
【1】同济大学数学系.高等数学第七版下册【M】北京：高等教育出版社，2014.7
【2】段生贵，曹南斌.高等数学学习指导【M】成都：电子科技大学出版社，2014.8
【3】邵燕南.高等数学【M】
北京：高等教育出版社，2014.7
【4】王顺风，吴亚娟.高等数学【M】
南京：东南大学出版社，2014.5
【5】陈纪修，於崇华，金路.数学分析【M】北京：高等教育出版社，2004.4。