吕林根版解析几何说课

六. 对其它同时段课程及后继课程的渗透和作用
（1）为高等代数中抽象的线性空间概念提供具体模型
1)a b b a; 2)(a b) c a (b c); 3)a 0 a; 4)a (a ) 0; 5)1 a a; 6) ( a ) ( )a; 7)( )a a a; 8) (a b) a b.
§2.二次曲线的渐近方向、中心、渐近线（2）
各章的重点与难点
全书的难点
第一章 重点是介绍向量的代数运算、向量的内积、向量的外积、 向量的混合积以及它们的几何意义。难点是：向量的线性关系与向 量的分解、向量的数性积，向量积与混合积的几何意义，在仿射坐 标系下利用向量法证明几何问题。 第二章 重点是介绍曲面与空间曲线的方程，球面的方程。难点 是参数方程的求法。 第三章 重点是建立满足指定条件的平面和直线的方程；根据方 程的系数判定直线与直线，直线与平面及平面与平面的位置关系。 难点是方程的建立，相关量的计算，有轴平面束的运用。 第四章 重点是掌握几种特殊曲面的方程及其形状。难点是理解曲 面的直纹性，曲面围成的空间区域的作图及两曲面交成的空间曲线 形状的认识。 第五章 重点是了解二次曲线不变量的意义，了解坐标的变换公式 及二次曲线的分类。难点是使用矩阵工具处理坐标变换问题。 全书的难点：向量积的方向、向量的线性关系、建立合适坐标系 求曲线与曲面的方程、异面直线的公垂线求法、有轴平面束的运用、 8 曲面围成的空间区域及两曲面交线的作图、二次曲线的化简。
直线
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第四章 柱面 锥面 旋转曲面与二次曲面
§1. 柱面
x2 y2 z2 §4.椭球面 2 2 2 1 a b c
单叶 ~ §5.双曲面 双叶 ~
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
§2.锥面
椭圆 ~ 双曲 ~
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
矩阵的秩、 线性变换 等概念提供几何意义；
（3）为高等代数中特征值、
特征向量、 化二次型为标准形式
1. 高 等 代 数
子空间的和与直和、
等提供一个实际应用.
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（1）为数学分析中导数、偏导数、定积分、二重三重积分、
方向导数、梯度等概念提供几何意义；
（2）为数学分析中理解曲面的形状与类型、曲面
形状与计算、曲面围成的空间体积及计算、曲面交 成的曲线形状、确定多重积分上下限等提高能力和 水平；
第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面12课时
§1.柱面（2） §2.锥面（1） §3.旋转曲面（1） §4.椭球面（2） §5.双曲面（1） §6.抛物面（2） §7.单叶双曲面与双曲抛物面的直母线（1） 第五章 二次曲线的一般理论 12课时 §1.二次曲线与直线的相关位置（2）
§3.二次曲线的切线（1） §4.二次曲线的直径（1） §5.二次曲线的主直径与主方向（1） §6.二次曲线方程的化简与分类（0.5） 7 §7.应用不变量化简二次曲线的方程（0.5）
向量空间 （线性空间） 欧氏空间 （度量空间） 1. 高 等 代 数
9)a b b a; 10)( a) b (a b); 11)(a b) c a c b c; 12)a a a 0.
2
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（2）为高等代数中线性相关、
行列式计算、
有普遍性的方法的作用．
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解析几何学的创立者
17世纪前半叶，解析几何创立，其中 法国数学家笛卡尔（Descartes，1596-1650) 法国数学家费尔马（Fermat，1601-1665） 作出了最重要的贡献，被公认为解析几何学的创立者。 和
笛卡尔
费尔马
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二. 课程性质、教学目标、考核方式、成绩计算
· 解析几何是高等师范院校数学专业的一门必修基础课，在 ·通过本课程的学习达到以下基本要求：
第一学期开设。为学生学习其它如《数学分析》、《高等代 数》、《大学物理》等课程提供知识、工具及思维准备。能 明显提高学生的计算能力、空间想象能力等。
1.掌握解析几何的基本知识和基本理论，善于运用坐标和向量 为工具，把几何问题转化为代数方程并解决相应的几何问题. 2.培养用形数结合的方法来解决问题的能力； 3.熟练地掌握一些几何图形的性质及其标准方程，熟练地进行 某些几何量的计算； 4.会描绘一些常见的空间曲线和曲面的图形，进一步提高空间 想象能力。
f : R V V
向量的运算
a 1 a1 n a n
1 a1 n a n 0
g : V V V ; 加群, 但不为环. h : V V R §7.两向量的数性积 a b m R
§8.两向量的向量积 §9.三向量的混合积
§5.标架与坐标
§3.二次曲线的切线
直线与曲线有 重合的两个交 点时
§2. 二次曲线的渐近方向、 中心、渐近线
直线与曲线的 交点有0个或1 个或无穷多个
§1. 二次曲线与直线的相关位置
有两个交点时一 组平行弦的中点 轨迹
§6.二次曲线方程 的化简与分类
§4.二次曲线的直径
平行弦 与直径 垂直
§5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二次曲线的主 直径与主方向
2.代数的发展为解析几何的诞生创造了条件． 1591年法国数学家韦达第一个在代数中有意识地系统 地使用了字母，他不仅用字母表示未知数,而且用以表示
已知数，包括方程中的系数和常数．这样，代数就从一门
以分别解决各种特殊问题的侧重于计算的数学分支，成为 一门以研究一般类型的形式和方程的学问．这就为几何曲 线建立代数方程铺平了道路．代数的符号化，使坐标概念 的引进成为可能，从而可建立一般的曲线方程，发挥其具
《 解 析 几 何 》课 程 说 课
泰州学院
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一. 解析几何产生的实际背景和数学条件 二. 课程性质、教学目标、考核方式、成绩计算
三. 课程内容、课时安排、重点与难点
四. 课程内容的框架结构与逻辑体系 五.主要数学思想、观念和处理问题的方法及实践
六. 对其它同时段课程及后继课程的渗透和作用
七. 解析几何的进一步发展
x2 y2 2 2z 2 a b
§6.抛物面 § 3.旋转曲面
图形及性质 图形及性质
方程
方程
x2 y2 2 2z 2 a b
§7.单叶双曲面与双曲抛物面 13 的直母线
2 2 第五章 二次曲线的一般理论 a11 x 2a12 xy a22 y 2a13 x 2a23 y a33 0
r xe1 ye2 z e3
§6.向量在轴上的射影
ab c
(a b) c R (a b) c
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§10.三向量的双重向量积
a
b
向量的运算
第二章 轨迹与方程
两曲面的交线 §1.曲面的方程 §2.空间曲线的方程
特殊的曲面：圆柱面、球面、螺面、母线平行于轴的柱面； 特殊的曲线：螺旋线、旋轮线、渐伸线、维维安尼曲线、空 间的投影曲线等。
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2
一. 解析几何产生的实际背景和数学条件
解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求。
解析几何产生数学自身的条件：
1.几何学已出现解决问题的乏力状态
从16世纪开始，欧洲资本主义逐渐发展起来，进入了一个生 产迅速发展，思想普遍活跃的时代。生产实践积累了大量的新经 验，并提出了大量的新问题。可是，对于机械、建筑、水利、航 海、造船、显微镜和火器制造等领域的许多数学问题，已有的常 量数学已无能为力，人们迫切地寻求解决变量问题的新数学方法。 16世纪以后,哥白尼提出日心说，伽利略得出惯性定律和自由 落体定律，这些都向几何学提出了用运动的观点来认识和处理圆 锥曲线及其他几何曲线的课题．几何学必须从观点到方法来一个 3 变革，创立起一种建立在运动观点上的几何学．
四. 课程内容的框架结构与逻辑体系
第三章 平面与空间直线
第四章 柱面、锥面、旋转曲面 与二次曲面
第二章 轨迹与方程
第五章 二次曲线 的一般理论
第一章 向量与坐标
中学数学 相关知识、 矩阵行列式
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第一章 向量与坐标
§1. 向量的概念
§2.向量的加法 §3.数量乘向量
ab c
a
a
§4.向量的线性关系与向量的分解
2. 数 学 分 析
（3）为数学分析中理解多元函数微分学、线积分、
面积分、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式等提 供帮助。
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3.为学习后续课程大学物理、高等几何、微分几何等提供 所需的相关知识、公式、实例以及计算能力、空间想象能 力的训练和数学思维等的培养。
二次曲线的仿射性质、 度量性质 向量及其运算、 物体的运动轨迹方程 基本三棱形、法向量、方向、 迪潘指标线、渐近线、曲率线
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第三章 平面与空间直线 §1 §2 1.平面的方程 2.平面与点的相关位置 §3 §4 3.两平面的相关位置 4.空间直线的方程 §5 5.直线与平面的相关位置 §6 6.空间两直线的相关位置 §7 §8. 8 平面束 7.空间直线与点的相关位置§
平行平面 经过同一直线的平面
平面
Ch1 §5
点
一. 解析几何产生的实际背景和数学条件
二. 课程性质、教学目标、考核方式、成绩计算
三. 课程内容、课时安排、重点与难点 四. 课程内容的框架结构与逻辑体系 五.主要数学思想、观念和处理问题的方法及实践 六. 对其它同时段课程及后继课程的渗透和作用 七. 解析几何的进一步发展
谢谢大家！核心第四、五、六部 分从内容到形式全为自创。欢迎各 位同仁赐教、交流！
· 考核方式：闭卷考试 · 总评成绩＝平时成绩×10%+期中考查×20%+期末考试成绩70%
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三. 课程内容、课时安排、重点与难点
课程内容、课时安排（共60课时）
第一章 向量与坐标 18课时 §1. 向量的概念（2） §2.向量的加法（1） §3.数量乘向量（1） §4.向量的线性关系与 向量的分解、行列式（1+1） §5.标架与坐标（3） §6.向量在轴上的射影（1） §7.两向量的数性积（2） §8.两向量的向量积（2） §9.三向量的混合积（1） §10.三向量的双重向量积（1） 第二章 轨迹与方程 4课时 §1.曲面的方程 （2课时） §2.空间曲线的方程 （2） 第三章 平面与空间直线 14课时 §1.平面的方程（2） §2.平面与点的相关位置（1） §3.两平面的相关位置（1） §4.空间直线的方程（2） §5.直线与平面的相关位置（1） §6.空间两直线的相关位置（1） §7.空间直线与点的相关位置（1） §8.平面束（1）
§7. 应用不变量化简 二次曲线的方程
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五. 主要数学思想、观念和处理问题的方法及实践
1.主要数学思想：将空间的几何结构代数化、数量化；运用向量 法、坐标法将几何问题转化为代数问题并求解；自始至终体现了数 形结合的数学思想。 (Ch1，3，4，5) 2.主要数学观念：（1）直角坐标系与仿射坐标系； (Ch1，3) （2）几何图形的度量性质与仿射性质； (Ch1，3) （3）代数方程组及其变形、消元法的几何意义；(Ch2，3，4) （4）曲线族、曲面族的概念与意义； (Ch3，4) （5）认识二次曲线的不变量，对数形结合的一个新认识。(Ch5) 3.几种新的解决问题的方法： （1）如何建立适当坐标系推导空间曲线和曲面方程； (Ch2，4) （2）求由曲线运动生成的曲面方程的一般方法； (Ch4) （3）根据方程认识曲线、曲面的形状和性质的一般方法；(Ch4) 4.实践与应用：在日常生活及实际生产中的应用；曲面、曲线的 15 更广认识；中学数学解题；数学软件Maple 。 (Ch2，3，4，5)
高等几何 大学物理 微分几何
3. 后 续 课 程
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七. 解析几何的进一步发展
解析几何已经发展得相当完备，但这并不意味着解 析几何的活力已结束。经典的解析几何在向近代数学的 多个方向延伸。例如：
n 维空间的解析几何学，无穷维空间的解析几何（希 尔伯特空间几何学） 20世纪以来迅速发展起来的两个新的宽广的数学分 支——泛函分析和代数几何，也都是古典解析几何的直 接延续。 微分几何的内容在很大程度上吸收了解析几何的 20 成果。