8,9章习题答案

十一、真空中的恒定磁场
11-1 一均匀磁场沿x 轴正方向，磁感应强度21Wb/m B =。

求在下列 情况下，穿过面积为22m 的平面的磁通量：（1）平面与y z -面平面平行，（2）平面与x z -面平面，（3）平面与y 轴平行又与x 轴成045角。

解: (1) d s
B S ⋅=Φ=⎰⎰d S
B S ⋅⎰⎰=x x Be e BS s =⋅
=2Wb
(2)
d d 0x y s
s
B S B S Be e S ⋅=⋅==Φ=⋅⎰⎰⎰⎰
(3)
0d d cos45x x s
s
B S B S Be e S ⋅=⋅==
Φ=⋅⎰⎰⎰⎰
11-2 一无限长直导线折成如图所示形状，已知I=10A ，P A =2cm, θ=600,
求P 点的磁感应强度。

解：由毕奥—沙伐02
d 4d r B I l
e r μπ=⨯尔定律，
可知，导线II 在P 点产生的磁感应强度为0。

由课本
P341页例子可知，导线I 在P 产生的磁感应强度为
012(sin sin )4cos30I
B PA μββπ=
-
7000
41010A (sin30sin0)40.02cos30ππ-⋅=
-
5
2.8810-=⨯ （T ）
11-3 两根无限长直导线互相平行的放置在真空中，其中通以同向的
电流I 1=I 2=10A ，已知PI 1=PI 2=0.5m,PI 1垂直于PI 2，求P 点的磁感应强度。

解：根据安培环路定理，两导线在P 点形成的磁 感应强度大小相等，方向如图所示，两 导线产生的磁感应强度在Y 方向上互相 抵消。

12x x B B B =+ 0
000cos45cos4522I I
r r
μμππ=+
7410100.52
ππ-⋅⋅=
65.6610-=⋅（T ）
11-4 一质点带有电荷q =8.0×10-19 C,以速度v=3.0×105m/s 做匀速圆
周运动，轨道半径R=6.0×10-8m,求：（1）该质点在轨道圆心产生的磁感应强度大小；（2）质点运动产生的磁矩。

解：电荷运动产生的电流为 2v I
q R
π=⋅
在轨道中心产生的磁感应强度大小为
00222I
qv B R R R
μμπ==
7195
82
4108103104(6.010
)
ππ---⨯⨯⨯⨯⨯=
⨯
56.610-=⋅（T ）
产生的磁矩：
217.22P IS qv R R
ππ==⋅
⋅=（Tm 2
）
方向与运动方向成右手螺旋关系。

11-5 如图所示，流出纸面的电流强度为2I ，流进纸面的电流强度为I ，
则电流产生的磁感应强度沿着3个闭合环路的线积分
01
d 2B l I μ⋅=-⎰
02d B l I μ⋅=-⎰
，03
d B l I μ⋅=-⎰
（箭头表示绕行方向）
1
2
3
11-6 如图所示的无限长空心圆柱形导体内外半径分别为R 1和R 2，
导体内通有电流I ，电流均匀分布在导体的横截面上。

求导体内部任一点（R 1<r<R 2）和外部任一点（r>r 2）的磁感应强度。

解：当R 1<r<R 2 时，以r 为半径作一圆形环路由安培环路定理
22012221d ()
()
l
I
B l r R R R μππ⋅=--⎰
得
22012
2
21()
2()
I r R B r R R μπ-=
-
当r>R 2时，
0d l
B l I μ⋅=⎰
得02I B r
μπ=
r
R1
R2
11-7无限长圆柱体半径为R ，沿轴向均匀流有电流I 。

（1）求圆柱体内部任一点（r<R ）和外部任一点（r>R ）的磁感应强度（2）在圆柱体内部过中心轴作一长度为1m 的平面S ，如图所示，求通过平面的磁通量。

解：（1）当 r<R 时，由安培环路定理
22
0022d l
Ir r B l I R R μπμπ⋅==⎰ 2
2
0002
2
2
222Ir Ir Ir
B rR rR R μμμπππ=
=
=
当r>R 时
0d l
B l I μ⋅=⎰
02I
B r
μπ= （2）
0020d d 42R S
Ir I
B S r R μμπ
πΦ=⋅=⋅=
⎰⎰⎰
S
11-8一无限长直导线，通有电流I ，方向如图所示，其旁边有一矩形线圈abcd , ab 边与直导线平行，线圈与直导线共平面，ab=l 1,bc=l 2,求穿过此线圈的磁通量。

解：
0d l
B l I μ⋅=⎰
02I
B r
μπ= 20012
1d d ln
22h l h S
I Il h l B S l r r h
μμππ++Φ=⋅=⋅=⎰⎰⎰
I
b
d
a h
c
11
l 2
11-9电流回路如图所示，弧 AD
、 BC 为同心半圆环，半径分别为R1、R2 ，某时刻一电子以速v
沿水平向左的方向通过圆心O 点，求
电子在该点受到的洛仑兹力大小和方向。

解：
由毕奥—沙伐尔定律可知AB 、CD 在圆心 处产生的磁感应强度为0。

AD
上的电流在圆心产生的磁感应强度为
011
122I
B R μπ=方向垂直于纸面向内
BC
上的电流在圆心产生的磁感应强度为 022
122I
B R μπ= 方向垂直于纸面向外。

O 点处的磁感应强度：
02121
111
()22I B B B R R μπ=-=-方向垂直于纸面向外
电子受的洛仑兹力为
021
11()4Iqv f qv B qvB qv R R μπ=⨯=-=-- 其中
191.610C q -=-⨯为电子电量，方向垂直于DC 延长线向下。

A B
C
D
R 2 R 1
v
11-10 一无限长直导线通有电流I 1，其旁边有一直角三角形线圈，通有电流I 2，线圈与直导线在同一平面内，ab=bc=l, ab 边与直导线平行，求：此线圈每一条边受到I 1的磁场的作用力的大小和方向，以及线圈所受的合力。

解：电流I 1 产生的磁感应强度为
02I
B r
μπ= 三段导线的受力分别如图所示。

由安培定律导线 ab 受力为
01012222ab I I F I ab I d d
μμππ==
bc 受力为
1
0101221
d ln
22d bc d
I I I d F I r r d
μμππ++=
⋅=⎰
对ac 段，由d F Idl B =⨯
00
22(cos45cos45)x y d F I dl B I dl B e e =⨯=⋅+
1
00120d (cos45cos45)
2sin45
d x y d
I r F I e e r μπ+=
+⎰
0121ln ()2x y I I d e e d
μπ+=+
合力大小为：
0120120121ln 2211(ln )2x x
x
I I I d F e I e d d
I I d e d d
μμππμπ+=-+=-
d
I 1
a b c
d
f 2
f 1 f 3 Y X
11-11 如图所示的半圆弧形导线，通有电流I ，放在与匀强磁场B 垂直的平面上，求此导线受到的安培力的大小和方向
解：由安培定律d F Idl B =⨯
可知， 对任一电流微元d I l ，受力d F
指向圆心
由对称性可知，导线受到的安培力的方向为 Y 方向
y dF BIdl θ=⋅
sin 2y F F BIR d BIR π
θθ===⎰
θ O B R ×××××× ×××××× ××××××××××××××××××
11-12 如图所示，一边长为6cm 的正方形线圈可绕y 轴转动，线圈中通有电流0.1A ，放在磁感应强度大小B=0.5T ，的均匀磁场中，磁场方向平行于x 轴，求线圈受到的磁力矩。

解：
M m B =⨯ sin M mB θ=
200.10.060.5T sin60A =⋅⋅⋅ 41.510-=⨯（Nm ）
300
11-13 一半径为R的半圆形闭合线圈，通有电流I，放在磁感应强度大小为B的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，如图所示，求：（1）线圈所受磁力矩的大小和方向（以直径为转轴）。

（2）若线圈在力矩作用下转到了线圈平面与磁场垂直的位置，则力矩作功为多少。

解：（1）
2
1
2
m
M p B R IB
π
==
方向沿直径方向向上。

（2）
2
1
2
A I R IB
π
=∆Φ=
十三 电磁感应
13-1 有一圆形单匝线圈放在磁场中，磁场方向与线圈平面垂直，如
通过线圈的磁通量按2
671t t Φ=++的关系随时间变化，求2s
t =时，线圈回路中感应电动势的大小。

解：
3d (127)10d t t
ε-Φ=-=-+⨯(V)
当2s t =时，
32(1227)10 3.110ε--=-⋅+⨯=-⋅(V)
13-2如图所示，在两平行长直导线所在的平面内，有一矩形线圈，如长直导线中电流大小随时间的变化关系是0cos I t ω ，求线圈中的感应电动势随时间的变化关系。

解：
12Φ=Φ-Φ
010*******
ln ln 22Il Il d l d
l d d μμππ++=-
01221221
()ln 2()I d l d l d l d μπ+=+ d d t
εΦ
=- 1
0122221()d ln 2()d l d l d I
d l d t
μπ+=-⋅
+
10122221
()ln sin 2()l d l d t d l d μω
ωπ+=+
d 2 I
d 1
11
l 2
I
13-3 AB 和BC 两段导线，其长度均为10cm,在B 处相连成300 角，若导线在均匀磁场中以速度v=1.5m/s 运动，方向如图，磁场方向垂直纸面向内，磁感应强度为2.5×10-2 T 。

求A 、C 两端间的电势差，哪一端电势高？ 解
0(1cos30)Blv ε
=+
2
2.510
0.1 1.5(12
-=⨯⨯⨯+
3710-=⨯
A 点电势高。

选择A-B-C 为dl 方向，则
d =()v B dl ε⨯
C A
=()()()B C A
B
v B dl v B dl v B dl ε⨯=⨯+⨯⎰⎰⎰
00
cos(18030)C
B
Blv vB dl =-+-⎰
(2
Blv vBl =-+-
3
710
-⨯=3
710-⨯（V ）
×××××××××××××××××××××××××× ××××××
13-4 一面积为S 的单匝平面线圈，以恒定速度ω在磁感应强度为
0cos B tk B ω=
的均匀磁场中运动，转轴与线圈共面且与 B 垂直。

如果t=0 时线圈法线方向沿 k
方向，求任一时刻t 线圈中的感应电
动势。

解
：
2000cos cos cos cos B tk B t S t B S t B S S ωωωω⋅=Φ=⋅=⋅=
d d t
εΦ=-
2000dcos 2cos sin sin 2d t
B S B S t t B S t
t
ωωωωωω=-=⋅= （V ）
13-5 一螺线管的自感系数为10Mh ,通过的电流强度为4A ，求它储存的能量。

解：2322
0111010481022
m W LI --==⋅⨯⋅=⨯（J ）
13-6长直电缆由一个圆柱导体和一共轴圆筒状导体铸成，两导体中通过的电流强度均为I ，方向相反，电流均匀分布在导体横截面上，两导体之间充满磁导率为μ 的磁介质。

求介质中离中心轴为r 的某点的磁感应强度和磁场能量密度。

解：由安培环路定理，r 处的磁感应强度为
2I B r
μπ= 能量密度为；
22
2111()2228m B I I r r μμωμμππ===
（J/m 3）
13-7 一根无限长直导线，通有电流I ，电流均匀分布在导线横截面上，求单位长度导线内储存的磁场能量。

解：设导线半径为R ，当（r<R ）时，r 处的磁感应强度为
2
0022
22Ir I B r r R R μμππππ==
能量密度为
22
220001111()2282m Ir I r B R R μμωμμππ===
单位长度上的储能为
22024
0012d 2d 8R
R m I r W r r r r R μωπππ=⋅=⎰
⎰
22
4
004
164I I R R μμππ==。